复旦附中2015级高一上数学期中考试卷

2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是．2．（4分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是．3．（4分）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=．4．（4分）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=．5．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=．6．（4分）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A=．7．（4分）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．8．（4分）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B=．9．（4分）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N=．10．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是．11．（4分）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是．12．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是．13．（4分）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．14．（4分）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是．（填所有正确命题的序号）二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与16．（5分）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞17．（5分）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件18．（5分）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．20．（14分）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．21．（14分）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．22．（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．23．（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2015秋•上海校级期中）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是7．【解答】解：∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，∴集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数为23﹣1=7，故答案为：7．2．（4分）（2011•湘西州一模）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．【解答】解：∵“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，∴命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”．故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．3．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知函数，g（x）=x﹣3，，则f（x）g（x）+h（x）=x（x≠±3）．【解答】解：由得：x≠±3，又∵函数，g（x）=x﹣3，，∴f（x）g（x）+h（x）=+=x（x≠±3），故答案为：x（x≠±3）4．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={y|y=x2﹣2x﹣3}，集合B={y|y=﹣x2+2x+13}，则A∩B=[﹣4，14] ．【解答】解：由A中y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4≥﹣4，得到A=[﹣4，+∞）；由B中y=﹣x2+2x+13=﹣（x﹣1）2+14≤14，得到B=（﹣∞，14]，则A∩B=[﹣4，14]，故答案为：[﹣4，14]5．（4分）（2014•上海）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=3．【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，故答案为：3．6．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，则集合A={3，5} ．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5}，且B∩∁U A={1，2}，A∩∁U B={5}，∁U A∩∁U B={0，4}，由韦恩图可知A={3，5}故答案为：{3，5}7．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知集合A={a|关于x的方程有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A=．【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x2﹣1有一个不为±1的解，或x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1或﹣1，当x+a=x2﹣1有一个解时，△=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为1时，a=﹣1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x2﹣1有两解，其中一个为﹣1时，a=1，x=2，或x=﹣1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：8．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于集合A，B，定义运算：A﹣B={x|x∈A且x∉B}，A△B=（A﹣B）∪（B﹣A）．若A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}，则A△B={﹣1，0，2} ．【解答】解：∵A={1，2}，B={x||x|＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴A﹣B={2}，B﹣A={﹣1，0}，∴A△B={﹣1，0，2}，故答案为：{﹣1，0，2}9．（4分）（2015秋•上海校级期中）设全集为R，对a＞b＞0，集合M=，，则M∩C R N={x|b＜x≤} ．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞b，＜a，由基本不等式可得，＞，由补集的运算可得C R N={x|x≤或x≥a}，由交集的意义，可得M∩C R N={x|b＜x≤}．10．（4分）（2015秋•上海校级期中）已知关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为，其中a，c∈R，则关于x的不等式﹣cx2+2x﹣a＞0的解集是（﹣2，3）．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2x+c＞0的解集为（﹣，），∴﹣，是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a＜0；即，解得a=﹣12，c=2；∴不等式﹣cx2+2x﹣a＞0化为﹣2x2+2x+12＞0，即x2﹣x﹣6＜0，化简得（x+2）（x﹣3）＜0，解得﹣2＜x＜3，该不等式的解集为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．11．（4分）（2015秋•上海校级期中）对于实数x，若n≤x＜n+1，规定[x]=n，（n∈Z），则不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0的解集是[2，4）．【解答】解：不等式4[x]2﹣20[x]+21＜0，求得＜[x]＜，2≤x＜4，故答案为：[2，4）．12．（4分）（2015秋•上海校级期中）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣3＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（﹣1，2] ．【解答】解：当a=2时，不等式化为﹣3＜0，对x∈R恒成立，当时，即，解得﹣1＜a＜2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（﹣1，2]．故答案为：（﹣1，2]．13．（4分）（2015秋•上海校级期中）定义关于x的不等式|x﹣A|＜B（A∈R，B＞0）的解集称为A的B邻域．若a+b﹣3的a+b邻域是区间（﹣3，3），则a2+b2的最小值是．【解答】解：由题意可得|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b的解集为（﹣3，3），|x﹣（a+b﹣3）|＜a+b 等价于（﹣3，2（a+b）﹣3），∴2（a+b）﹣3=3，求得a+b=3，∴a2+b2≥=，故a2+b2的最小值为，故答案为：．14．（4分）（2015秋•上海校级期中）给出下列四个命题：（1）若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣c；（2）若a2x＞a2y，则x＞y；（3）a＞b，则；（4）若，则ab＜b2．其中正确命题是（1）（2）（4）．（填所有正确命题的序号）【解答】解：（1）由c＞d，得﹣d＞﹣c，又a＞b，则a﹣d＞b﹣c．故（1）正确；（2）若a2x＞a2y，则a2≠0，则，∴x＞y．故（2）正确；（3）若a＞0＞b，则a﹣b＞a＞0，则．故（3）错误；（4）若，则b＜a＜0，∴ab＜b2 ．故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列每组中的两个函数是同一函数的是（）A．f（x）=1与g（x）=x0B．与g（x）=xC．f（x）=x与D．f（x）=x与【解答】解：∵f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系不同，不是相同函数．故选：B．16．（5分）（2006•江西）若a＞0，b＞0，则不等式﹣b＜＜a等价于（）A．＜x＜0或0＜x＜B．﹣＜x＜C．x＜﹣或x＞D．x＜或x＞【解答】解：故选D．17．（5分）（2015秋•上海校级期中）下列说法正确的是（）A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要非充分条件C．“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件D．“”是“a＞2且b＞2”的充分必要条件【解答】解：A．“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6．∴“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C．由a=1且b=2⇒a+b=3，且逆否命题为：若“a+b≠3”，则“a≠1或b≠2”，因此“a+b≠3”是“a≠1或b≠2”的充分非必要条件，正确．D．由“a＞2且b＞2”⇒“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a＞2且b＞2”的必要非充分条件，不正确．故选：C．18．（5分）（2015秋•上海校级期中）若x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，则a的最小值是（）A．2 B．C．2 D．1【解答】解：∵≤2（x+y），x＞0，y＞0，且+≤a恒成立，∴，∴a的最小值是．故选：B．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．（12分）（2015秋•上海校级期中）解关于x的不等式：mx2﹣（2m+1）x+2＞0（m∈R）．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为﹣x+2＞0，即x＜2；…（2分）（2）当m≠0时，分两种情形：①当m＞0时，原不等式化为（mx﹣1）（x﹣2）＞0，即；若时，即时，不等式的解集为；…（4分）若时，即时，不等式的解集为；…（6分）若时，即时，不等式的解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；…（8分）②当m＜0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；…（10分）综上所述：当m=0时，解集为（﹣∞，2）；当时，解集为；当时，解集为；当m＜0时，解集为．…（12分）20．（14分）（2015秋•上海校级期中）已知集合，集合B={x||x+2a|≤a+1，a∈R}．（1）求集合A与集合B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x﹣3）（x+2）（x+1）≤0，解得：x≤﹣2或﹣1＜x≤3，即A=（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3]，当a+1＜0时，即a＜﹣1时，B=∅；当a+1≥0时，即a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]；（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，当a＜﹣1时，B=∅满足题意；当a≥﹣1时，B=[﹣3a﹣1，﹣a+1]，此时有：﹣a+1≤﹣2或，解得，a≥3或﹣1≤a＜0，综上所述，a∈（﹣∞，0）∪[3，+∞）．21．（14分）（2015秋•上海校级期中）设A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}（1）A∩B=A∪B，求a的值；（2）若∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，求a的值；（3）A∩B=A∩C≠∅，求a的值．【解答】解：（1）∵B={x|x2﹣5x+6=0}={ 2，3 }，A∩B=A∪B，∴A=B．∴2和3是方程x2﹣ax+a2﹣19=0 的两个根，∴2+3=a，∴a=5．（2）∵∅⊊（A∩B）且A∩C=∅，∴A与B有公共元素而与C无公共元素，∴3∈A∴9﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或a=5．当a=﹣2时，A={3，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}此时A∩C={2}不满足题意，∴a=﹣2（3）A∩B=A∩C≠∅，∴2∈A，∴4﹣2a+a2﹣19=0解得a=﹣3，a=5．当a=﹣3时，A={2，﹣5}满足题意；当a=5时，A={2，3}不满足题意，故a=﹣3．故答案为：a=﹣3．22．（16分）（2015秋•上海校级期中）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．23．（18分）（2015秋•上海校级期中）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立．（1）已知函数f（x）=x2+1，，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x∈[﹣1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）任取，∵，∴﹣1≤x1+x2≤1，∴0≤|x1+x2|≤1∴|x1+x2||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|即|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|成立，f（x）属于集合M…（4分）（2）∵g（x）=ax+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|=|a||x1﹣x2|≤|x1﹣x2|∴…（10分）（3）若p（x）∈M，则|p（x1）﹣p（x2）|≤|x1﹣x2|对任意的x1、x2∈[﹣1，+∞）都成立．即，∴|a|≤|（x1+2）（x2+2）|∵x1、x2∈[﹣1，+∞），∴|（x1+2）（x2+2）|≥1，∴|a|≤1，﹣1≤a≤1∴当a∈[﹣1，1]时，p（x）∈M；当a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）时，p（x）∉M．…（18分）。

2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）用列举法表示集合= ．2．（4分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是 ．3．（4分）函数y=的定义域为 ．4．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有 个．5．（4分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为 ．6．（4分）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q= ．7．（4分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ．8．（4分）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为 ．9．（4分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是 ．10．（4分）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x= 公里．11．（4分）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a= ．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc13．（4分）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ ）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣314．（4分）是成立的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（4分）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（ ）A．﹣4≤a≤4B．a≥9或a≤﹣7C．a≤﹣2或a≥4D．﹣2＜a＜4三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．17．（8分）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．18．（10分）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19．（10分）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．（10分）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．21．（14分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共44分）1．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）用列举法表示集合=　{﹣1，2，3，4}　．2．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是　若x2≠1，则x≠1　．3．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）函数y=的定义域为　[﹣2，1）∪（1，2]　．4．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有　4　个．5．（4分）（2007•上海）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为 ．6．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）已知集合P=x，Q={x|（x+1）（2x﹣3）（x﹣4）＞0}，则P∩Q= ．7．（4分）（2014•万州区校级模拟）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣2，2]　．8．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）若关于x不等式ax2+bx+c＜0的解集为，则关于x不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为 ．9．（4分）（2014•天门模拟）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是　①③④　．10．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费p（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成反比，而每月库存货物的运费k（万元）与仓库到停车库的距离x（公里）成正比．如果在距离停车库18公里处建仓库，这两项费用p和k分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x=　3　公里．【解答】解：=+8x　11．（4分）（2012•浙江）设a∈R，若x＞0时均有[（a﹣1）x﹣1]（x2﹣ax﹣1）≥0，则a= ．二、选择题（每题4分，共16分）12．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc　C13．（4分）（2015秋•昭通校级期中）设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（ ）A．f（x）=x，g（x）=B．f（x）=，g（x）=C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．f（x）=，g（x）=x﹣3　B14．（4分）（2014秋•杨浦区校级期中）是成立的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A15．（4分）（2015•上海模拟）在关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（ ）A．﹣4≤a≤4B．a≥9或a≤﹣7C．a≤﹣2或a≥4D．﹣2＜a＜4【解答】解：若关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0没有实根，则，解得﹣2＜a＜4，则关于x的方程x2﹣ax+4=0，x2+（a﹣1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中，已知至少有一个方程有实数根时，a≤﹣2或a≥4，故选C．三、解答题（共6大题，满分60分）16．（8分）（2014秋•杨浦区校级期中）解关于x的方程：x2+|2x﹣3|=2．【解答】解：或，解之x=2或．方程的解为：x=2或；17．（8分）（2014秋•杨浦区校级期中）设关于x的不等式：．（1）解此不等式；（2）若2∈，求实数k的取值范围．【解答】解：（1），即有（k﹣2）x≥k2﹣k﹣4，所以①当k=2时，不等式的解为R；②当k＞2时，不等式的解为，即解集为：[）；③当k＜2且k≠0时，不等式的解为，即解集为：（﹣∞，]；（2）由于，所以k=2，3符合；结合（1）可以得到：，解之2＜k＜3；或，解之0＜k＜2．综上k∈（0，3）．18．（10分）（2014秋•杨浦区校级期中）已知P=，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}，其中m＞0，全集U=R．若“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由“x∈∁U P”是“x∈∁U Q”的必要不充分条件，可得∁U P⊋∁U Q，即P⊊Q，P=={x|﹣2≤x≤10}，Q={x|x2﹣2x+（1﹣m2）≤0}={x|1﹣m≤x≤1+m}，则，即，解得m≥9，故实数m的取值范围[9，+∞）．19．（10分）（2014秋•杨浦区校级期中）现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【解答】解：当x＞y时，则x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；当x＜y时，则y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）=（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）=（x﹣y）2（x+y）＞0．∴在不知道x，y的大小的情况下，取A，D能够稳操胜券，其他的都没有必胜的把握．故只有1种，就是取A，D．20．（10分）（2014秋•杨浦区校级期中）定义实数a，b间的计算法则如下：a△b=．（1）计算2△（3△1）；（2）对x＜z＜y的任意实数x，y，z，判断等式x△（y△z）=（x△y）△z是否恒成立，并说明理由；（3）写出函数y=（1△x）△x﹣（2△x）的解析式，其中﹣2≤x≤2，并求函数的值域．【解答】解：（1）∵（3△1）=3，∴2△（3△1）=2△3=9；（2）由于y＞z，∴（y△z）=y，x△（y△z）=x△y=y2；由于x＜y，∴（x△y）=y2，即有（x△y）△z=y2△z，此时若y2≥z，则（x△y）△z=y2；若y2＜z，则（x△y）△z=z2．∴等式x△（y△z）=（x△y）△z并不能保证对任意实数x，y，z都成立．（3）由于，2△x=2，所以，函数的值域为[﹣1，2]．21．（14分）（2014秋•杨浦区校级期中）已知实数a，b，c满足a＞b＞c．（1）求证：＞0；（2）现推广如下：把的分子改为一个大于1的正整数p，使得＞0对任意a＞b＞c都成立，试写出一个p并证明之；（3）现换个角度推广如下：正整数m，n，p满足什么条件时，＞0对任意a＞b＞c都成立，请写出条件并证明之．【解答】证明：（1）由于a＞b＞c，所以a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只需证明．左边=，证毕．（2）欲使，只需，左边=，所以只需4﹣p＞0即可，即p＜4，所以可以取p=2，3代入上面过程即可．（3）欲使，只需，左边=，只需，即（m，n，p∈Z+）．　参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；qiss；智者乐水；sllwyn；xintrl；gongjy；zwx097；whgcn；lincy；炫晨；刘长柏；301137；maths；双曲线；刘老师（排名不分先后）菁优网2016年10月28日。

复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数2y x=-的定义域为______．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.315.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞，D.()01，16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．20.设函数()f x x a a=++．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．复旦大学附属中学2015学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（每题4分，共48分）1.函数y =的定义域为______．【答案】[1,2)(2,)-+∞ 【分析】由解析式有意义求解．【详解】由题意1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠．故答案为：[1,2)(2,)-+∞ ．【点睛】本题考查求函数定义域，属于基础题．2.已知,a b ∈R ，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题__________.【答案】若0ab =，则220a b -≤【分析】根据否命题的形式写出即可.【详解】命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题是“若0ab =，则220a b -≤”故答案为若0ab =，则220a b -≤【点睛】本题主要考查了否命题的形式，属于基础题.3.已知,x y R +∈且2xy =,则当x =________时，224x y +取得最小值.【答案】2【分析】由2xy =，解出2y x=，代入224x y +中，化简利用基本不等式即可求出x 的值.【详解】因为2xy =，所以2y x=222222216448x y x x x x ⎛⎫+= =++≥⎝⎭=⎪当且仅当2216x x=，即2x =时，224x y +取得最小值.故答案为2【点睛】本题主要考查了基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件，考查学生利用知识分析和解决问题的能力，属于基础题.4.已知集合3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥，则集合A 的子集个数为______个．【答案】8【分析】求出集合A 中元素，由子集的定义求解．【详解】3|11A x x Z x ⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭，≥{012}=，，，子集个数为328=．故答案为：8.【点睛】本题考查求子集个数，掌握子集概念是解题关键．，含有n 元素的集合的子集个数为2n ．5.已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =________【答案】223x x -++【分析】求0x <的解析式()f x ，可先求出()f x -的解析式，再利用奇函数()f x 与()f x -的关系求出()f x .【详解】设0x <，则0x ->，所以2()23f x x x -=--，又因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()2()23f x f x x x =--=-++.故答案为223x x -++.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求解函数的解析式，主要利用转化法把所求转化到已知区间，结合奇偶性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R （R 为实数集），则k 的取值范围为_________【答案】3[0,4【分析】由函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，转化为2430kx kx ++≠在R 上恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由题意，函数25()43kx f x kx kx +=++的定义城为R ，即2430kx kx ++≠在R 上恒成立，当0k =时，30≠恒成立，当0k ≠时，则满足2(4)430k k ∆=-⨯⨯<，即2430k k ∆=-<，解得304k <<，综上可得，实数k 的取值范围是3[0,4.故答案为：3[0,4.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的定义，以及一元二次式的恒成立问题，其中解答中合理转化，结合二次函数的性质，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若a b ，为非零实数，则不等式①232a a +>，②4433a b a b ab ++≥，③a b a b +-≥，④2b aa b+≥中恒成立的序号是_______．【答案】①②【分析】用作差法比较大小证明不等式，举反例说明不等式不成立．【详解】2232(1)20a a a +-=-+>，232a a +>恒成立，①正确；44333322222213()()()()()[()]024a b a b ab a b a b a b a ab b a b a b b +--=--=-++=-++≥，∴4433a b a b ab ++≥恒成立，②正确；2,1a b ==-时，③④均不成立，故答案为：①②．【点睛】本题考查不等式的性质，作差法是证明不等式的基本方法，必须掌握．对不恒成立的不等式可通过举反例说明，较方便．8.已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()()210f x g x a x x a +=>++，若()113f =-，则a =__________．【答案】1【分析】由奇偶性求出(),()f x g x ，再由(1)f 求得a ．【详解】∵()()21f xg x x x a +=++，①，∴21()()f x g x x x a-+-=-+，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴21()()f x g x x x a-+=-+，②，（①-②）除以2，得22111()(2f x x x a x x a=-++-+，∴1111(1)(223f a a =-=-+，∵0a >，∴1a =．故答案为：1.【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键．9.关于x 的方程()2290x a x a a R ++-=∈有唯一的实数根，则a =________．【答案】3【分析】考虑绝对值的性质，方程的唯一实根只能是0，即0x =，由此分析可得结论．【详解】方程2290x a x a ++-=为2290x a x a ++-=，因此原方程有唯一实根，则0x =，290a -=，3a =±，3a =-时，方程为230x x -=，x =0或3，不合题意，3a =时，方程为230x x +=，0x =，3x =-舍去．故答案为：3.【点睛】本题考查方程根的分布，根据绝对值的性质易得结论．10.对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．【答案】[3,1)(3,)--+∞ 【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B∆【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞ ，故答案为：[3,1)(3,)--+∞ 【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．11.已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，{|0,}B x x x =>∈R ，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是________．【答案】4a >-【分析】根据A B =∅ 可知，A =∅或方程2(2)10x a x +++=只有非正根，由此可解得a 的范围.【详解】分A ≠∅和A =∅两种情况讨论．①当A ≠∅时，A 中的元素为非正数，A B =∅ ，即方程2(2)10x a x +++=只有非正数解，所以2(2)40,(2)0,a a ⎧∆=+-≥⎨-+≤⎩解得0a ≥；②当A =∅时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<．综上所述，实数a 的取值范围是4a >-．故答案为：4a >-【点睛】当A B =∅ 时，包含A ≠∅和A =∅两种情况，A =∅容易被忽略.12.若a 、b R ∈，且2249a b +≤≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是________．【答案】312【分析】用三角换元法，转化为求三角函数的最值．【详解】设cos ,sin a r b r θθ==，则23r ≤≤，2222222221cos sin cos sin sin 22a ab b r r r r r θθθθθ-+=-+=-21(1sin 2)2r θ=-，因为1131sin 2222θ≤-≤，249r ≤≤，∴21272(1sin 2)22r θ≤-≤．即22a ab b -+的最大值为272，最小值为2，和为312．故答案为：312．【点睛】本题考查由已知条件求最值，解题关键是三角换元，换元后可把两个变量分开，分别求得最值，再结合求得结论．二、选择题（每题4分，共16分）13.已知函数(1)=-y f x 的定义域为[0,1],则(1)f x +的定义域为（）A.[-2,-1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[2,3]【答案】A 【分析】由题意首先求得函数()f x 的定义域，然后求解函数(1)f x +的定义域即可.【详解】由题意可得，函数()f x 的定义域为：[]1,0-，则函数()1f x +的定义域满足：110x -≤+≤，解得：21x -≤≤-，表示为区间形式即[]2,1--.故选A .【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于中等题.14.给出三个条件：①22ac bc >；②a bc c>；③a b >；④1a b >-．其中能分别成为a b >的充分条件的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【分析】根据不等式的性质作答．【详解】由22ac bc >能得出a b >，由a bc c >不能得出a b >（0c <时不成立），a b >，显然有a b >（原因是b b ≥），1a b >-时可能有a b <，如12a b =-，因此有两个，①③满足题意．故选：C.【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题基础．15.已知{}()(){}||330A x x B x x x =>=-+>，，则A B = （）A.()21-， B.()3-∞-， C.()2-∞， D.()01，【答案】B 【分析】求出集合,A B 后可求其交集．【详解】由20x -≥得2x ≤，当0x ≤x >显然成立，当02x <≤时，由x >得22x x ->，解得01x <<，∴(,1)A =-∞，又()(){}|330B x x x =-+>(,3)(3,)=-∞-+∞ ，∴(,3)A B =-∞- ．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是正确解无理不等式．16.非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|G x x a a b Q ==+∈，，⊕：实数的乘法．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B 【分析】根据新定义运算⊕判断．【详解】（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+，,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.【点睛】本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．三、解答题（本题共5大题，满分56分）17.已知集合{}{}211|0A B x x ax b x R =-=++=∈，，，，若B ≠∅，且A B A ⋃=，求实数a b ，的值．【答案】21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【分析】A B A ⋃=得B A ⊆，结合B ≠∅，可根据B 的各种情形分类讨论．【详解】由A B A ⋃=得B A ⊆，由于B ≠∅，∴{1}B =-或者{1}B =或者{1,1}B =-，若{1}B =-，则111(1)a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，若{1}B =，则1111a b +=-⎧⎨⨯=⎩，即21a b =-⎧⎨=⎩，若{11}B =-，，则1111a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，即01a b =⎧⎨=-⎩，综上，21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查集合的并集，考查集合间的包含关系，解题关键是根据包含关系确定集合B 中各种可能．18.已知二次函数()2f x ax bx =+对任意x ∈R 均有()()2f x f x =--成立，且函数的图像过点312A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式()f x t x -≤的解集为[]4m ，，求实数t 、m 的值．【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）812t m =⎧⎨=⎩．【分析】（1）由()()2f x f x =--得出对称轴，结合点A 坐标可求得,a b ；（2）变形()f x t x -≤得21()02x t t --≤，显然0t >，直接解此不等式，由其解集为[4,]m 可求得,t m ．【详解】∵()()2f x f x =--，∴1x =-是()f x 图象的对称轴，又函数图象过点3(1,)2A ，∴1232baa b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴21()2f x x x =+；（2）2211()()()22f x t x x t x t x x t t --=-+--=--，由题意21()02x t t --≤的解集是[4,]m ，所以0t >，且由21()02x t t --≤得t x t -≤≤+∴4t t m⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得812t m =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查求二次函数解析式，考查解一元二次不等式，掌握二次函数的性质是解题基础．19.已知a R ∈，设集合(){}22|619320A x x a x a a =-+++-<，{}|10B x x a =-+≥．（1）当1a =时，求集合B ．（2）问：12a ≥是A B =∅ 的什么条件．（充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件）？并证明你的结论．【答案】（1）[2,0]B =-；（2）充分非必要条件．【分析】（1）根据绝对值的性质解不等式得集合B ；（2）解不等式得集合,A B ，由A B =∅ 求出a 的范围，再判断是什么条件．【详解】（1）由110x -+≥得11x +≤，111x -≤+≤，20x -≤≤，所以[2,0]B =-；（2）由题意(31,32)A a a =-+，[1,1]B a a =---+，若A B =∅ ，则321a a +≤--或311a a -≥-+，解得34a ≤-或12a ≥．∴12a ≥是A B =∅ 的充分非必要条件．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查解一元二次不等式，考查充分必要条件的判断，掌握集合的包含关系与充分必要条件之间的联系是解题关键．20.设函数()f x =．（a R ∈且0a ≠）（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明．【答案】（1）1a =时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()f x 是奇函数．；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．根据奇偶性定义证明即可．【详解】（1）1a =时，1()11f x x =++，定义域为210110x x ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，11x -≤≤，此时()2x f x x =+，()2x f x x -=-+，()()f x f x -≠-且()()f x f x -≠，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，2a =-时，()22f x x =--，定义域为240220x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，22x -≤≤且0x ≠，此时()22f x x x ==---，()()f x f x x-==-，()f x 是奇函数．（2）0a >时，()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，()f x 是奇函数．与（1）类似，0a >时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得函数定义域是[,]a a -，()2f x x a =+，()2f x x a -=-+与()f x 既不相等也不是相反数，因此()f x 既不是奇函数也不是偶函数，0a <时，由2200a x x a a ⎧-≥⎪⎨++≠⎪⎩，得定义域是[,0)(0,]a a - ，()a x f x x =-，()()a x f x f x x -==-，()f x 是奇函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题基础．判断奇偶性时应先确定函数定义域，在定义域内函数有时可化简，从而易于判断．21.已知关于x 不等式()()241292110kx k k x ---->，其中k ∈R ．（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A B =Z （其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k ++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）k 0<，B 能为有限集；44k -<<-B 中元素个数最少，{2,3,4,5}B =．【分析】（1）对k 分类讨论，利用解一元二次不等式的解法可得；（2）根据A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 为有限集，可得，求出21294k k k++最大值可得集合B 元素个数最少时的集合．【详解】（1）0k =时，不等式为9(211)0x -->．112x <，∴11(,2A =-∞，（2）k 0<时，()21294(21104k k k x x k++-->，又方程()21294()211=04k k k x x k ++--两根为211294k k x k++=，2112x =k 0<时，由对勾函数图象知2112919311()34422k k x k k k ++==++≤<，所以21291142k k x k ++<<，212911(,)42k k A k ++=，（3）0k >时，由21291142k k k ++>得01k <<或9k >，不等式的解为112x <或21294k k x k++>，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，当19k ≤≤时，21291142k k k ++<，不等式的解为112x >或21294k k x k++<，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．综上，k 0<时，212911(,)42k k A k ++=，0k =时，11(,)2A =-∞，01k <<或9k >时，211129(,)(,)24k k A k++=-∞+∞ ，19k ≤≤时，212911(,)(,)42k k A k ++=-∞+∞ ．（2）∵A B =Z （其中Z 为整数集）．集合B 能为有限集，当0k =时，11(,2A =-∞，此时AB =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当01k <<或9k >，211129(,(,)24k k A k++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当19k ≤≤时，212911(,)()42k k A k ++=-∞+∞ ，此时A B =Z 中有无限个整数，不合题意，舍去；当k 0<，212919()344k k k k k++=++,由对勾函数，知函数19(34y k k =++在(,3)-∞-上递增，在(3,0)-上递减，∴3k =-时，19()34y k k =++的最大值为193(3)3432y =-++=-，231112911(,)()2242k k k ++∴⊆，所以当21293142k k k ++<≤,即44k --<<-+B 中元素最少时，{2,3,4,5}B =．【点睛】本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时需分类讨论，属于中档题．。

复旦附中高一期中数学卷2016.11一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为2.已知全集U R =，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B =3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则按A 、B 、C 从小到大的顺序排列是6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N 的“长度”的最小值是8.已知{|}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = 9.对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()X Y X Y ∆=-()Y X -，已知2{|,}A y y x x R ==∈，{|22}B y y =-≤≤，则A B ∆=10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B 中所有元素之和为11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是12.集合{(,)|||,}A x y y a x x R ==∈，{(,)|,}B x y y x a x R ==+∈，已知集合A B 中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B 中的最大元素是（）A.2014 B.2015 C.2016 D.以上答案都不对14.已知全集U A B = 中有m 个元素，()()U U C A C B 中有n 个元素，若A B 非空，则A B 的元素个数为（）A.mn B.n m - C.m n+ D.m n -15.命题“已知,x y R ∈，如果220x y +=，那么0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，如果220x y +≠，那么0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，如果220x y +≠，那么0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，如果0x ≠或0y ≠，那么220x y +≠D.已知,x y R ∈，如果0x ≠且0y ≠，那么220x y +≠16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“ab >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A = ，求实数a ；18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（1介于1a 与2a 之间；（2）2a 比1a ；20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中k R ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B 中元素个数最少，并用列举法表示集合B ；参考答案一.填空题1.201622.{|12}x x << 3.1a ≥ 4.{,}a e 5.B C A <<6.3-7.168.{|30}x x -<<9.[2,0)(2,)-+∞ 10.2a 11.①④12.[1,1]-二.选择题13.A14.D 15.C 16.B三.解答题17.1a =或2或3；18.略；19.略；20.0m >；21.（1）①当0k <，911{|3}442k A x x k =++<<；②当0k =，11{|}2A x x =<；③当01k <<或9k >，11{|2A x x =<或93}44k x k>++；④当19k ≤≤，9{|344k A x x k =<++或11}2x >；（2）0k <，{2,3,4,5}B =；。

复旦附中2015学年第一学期高一数学期中试卷2015.11一. 填空题1. 函数y =的定义域为 ；2. 已知,a b R ∈，写出命题“若0ab ≠，则220a b ->”的否命题 ； 3. 已知,x y R +∈且2xy =，则当x = 时，224x y +取得最小值；4. 已知集合3{|1,}1A x x Z x =≥∈+，则集合A 的子集个数为 个； 5. 已知定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且0x >时，2()23f x x x =+-，则当0x <时，()f x = ；6. 若函数25()43kx f x kx kx -=++的定义域是R ，则实数k 的取值范围是 ； 7. 若,a b 为非零实数，则不等式①232a a +>；②4433a b a b ab +≥+；③||a b +≥||a b -；④2b a a b+≥中恒成立的序号是 ； 8. 已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足21()()f x g x x x a +=++(0)a >， 若1()3f x =-，则a = ；9. 关于x 的方程22||90x a x a ++-=()a R ∈有唯一的实数根，则a = ；10. 对于任意集合X 与Y ，定义：①{|X Y x x X -=∈且}x Y ∉；②()X Y X Y ∆=-()Y X -，X Y ∆称为X 与Y 的对称差；已知2{|2,}A y y x x x R ==-∈，{|3B y y =-≤ 3}≤，则A B ∆= ；11. 已知集合2{|(2)10,}A x x m x x R =+++=∈，且AR +=∅，则实数m 的取值范围是 ；12. 若,a b R ∈，且2249a b ≤+≤，则22a ab b -+的最大值与最小值之和是 ；二. 选择题13. 已知函数(1)y f x =-的定义域为[0,1]，则(1)f x +的定义域为（ ）A. [2,1]--B. [1,0]-C. [0,1]D. [2,3]14. 给出三个条件：①22ac bc >；②a b c c>；③||a b >；④1a b >-；其中能分别成为a b > 的充分条件的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 315. 已知{|}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则AB =（ ） A. (2,1)- B. (3,0)- C. (2,0)- D. (0,1)16. 非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G +∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集；现有下列集合及运算： ①G 是非负整数集，⊕：实数的加法；②G 是偶数集，⊕：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，⊕：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，⊕：实数的乘法；其中为融洽集的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题17. 已知集合{1,1}A =-，2{|0,}B x x ax b x R =++=∈，若B ≠∅，且AB A =，求实数,a b 的值；18. 已知二次函数2()f x ax bx =+对任意x R ∈均有()(2)f x f x =--成立，且函数的图像 过点3(1,)2A（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若不等式(1)f x x -≤的解集为[4,]m ，求实数l 、m 的值；19. 已知a R ∈，设集合22{|(61)9320}A x x a x a a =-+++-<，{|1||0}B x x a =-+≥（1）当1a =时，求集合B ；（2）问：12a ≥是A B =∅的什么条件？并证明你的结论；20. 设函数()f x =，a R ∈且0a ≠；（1）分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2）在a R ∈且0a ≠的条件下，将（1）的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明；21. 已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中k R ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集），试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少时k 的取值范围，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由；。

2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是．2．不等式，当且仅当a=时，等号成立．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=．4．求值：=．5．函数的定义域为．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于016．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，则使N⊊M成立的a的值是﹣1．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由真子集的定义即知N的元素都是集合M的元素，从而分别让a取﹣1，0，1，看得到的集合N能否满足N⊊M，以及能否符合集合元素的性质，从而便得到a的值．解答：解：N⊊M，∴N的元素都是M的元素；若a=0，1时，显然不满足集合的互异性；若a=﹣1，则N={﹣1，1}，满足N⊊M；∴a的值是﹣1．故答案为：﹣1．点评：考查列举法表示集合，真子集的定义，以及集合元素的性质．2．不等式，当且仅当a=±1时，等号成立．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：不等式，当且仅当a2=1，即a=±1时，等号成立．故答案为：±1．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．3．已知函数g（x）=x﹣，那么函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式是f（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知，求出函数g（x），h（x）的定义域，进而可得函数f（x）=g（x）+h（x）的解析式．解答：解：∵函数g（x）=x﹣，（x≥﹣），h（x）=，（x≥﹣，且x≠0）∴函数f（x）=g（x）+h（x）=x+，（x≥﹣，且x≠0）故答案为：x+，（x≥﹣，且x≠0）点评：本题考查的知识点是函数的解析式及求法，函数的定义域，解答时一定要注意两个基本函数定义域对复合函数定义域的影响．4．求值：=4．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用有理指数幂的运算性质及对数的运算性质计算．解答：解：===．故答案为：4．点评：本题考查对数的运算性质，关键是对对数运算法则的记忆与运用，是基础题．5．函数的定义域为（0，7）．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据使函数的解析式有意义的原则，我们可以构造出自变量x的不等式组，解不等式组，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．解答：解：要使函数的解析式有意义，自变量必须满足：解得：0＜x＜7故函数的定义域为（0，7）故答案为：（0，7）点评：本题考查的知识点是对数函数的定义域，函数的定义域及其求法，其中正确理解，求函数的定义域即求使函数的解析式有意义的自变量的取值范围，是解答本题的关键．6．函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2）．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由原函数求得x，把x，y互换求得原函数的反函数．解答：解：由y=x2+1（x≤﹣1），得x2=y﹣1，∴x=（y≥2），x，y互换得：（x≥2），∴函数y=x2+1（x≤﹣1）的反函数为（x≥2），故答案为：（x≥2）．点评：本题考查函数的反函数的求法，注意反函数的定义域为原函数的值域，是基础题．7．设函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），若f（﹣1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，则a+b=3．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣1）=0，可得b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立，可得恒成立，可求出a，b的值；解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+1（a、b∈R），f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0即b=a+1，又对任意实数x均有f（x）≥0成立∴恒成立，即（a+1）2﹣4a≤0，可得（a﹣1）2≤0恒成立∴a=1，b=2；a+b=3．故答案为：3．点评：本题考查了函数的恒成立问题及二次函数的性质的应用，难度一般，关键是掌握二次函数的性质．8．函数f（x）=ax2+bx+6满足条件f（﹣1）=f（3），则f（2）的值为6．考点：函数的值；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由题意应对a进行分类：a=0时和a≠0时，再由条件分别判断出函数为常函数和二次函数的对称轴，再由函数的性质求值．解答：解：①当a=0时，∵f（﹣1）=f（3），∴函数f（x）是常函数，即a=b=0，∴f（x）=6，则f（2）=6，②当a≠0时，则函数f（x）是二次函数，∵f（﹣1）=f（3），∴f（x）的对称轴是：x=1，∴f（2）=f（0）=6，综上得，f（0）=6故答案为：6．点评：本题考查了利用常函数和二次函数的性质求值，特别再求出对称轴后，不用a和b的值直接由f（2）=f（0）求解，易错点易忘对a进行讨论．9．若函数y=的反函数的图象的对称中心是点（1，3），则实数a的值为3．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），再由函数的解析式可得对称中心是（a，1 ），比较可得a的值解答：解：由题意可得函数f（x）=的对称中心是（3，1），又函数f（x）==1+的对称中心是（a，1 ），∴a=3，故答案为：3．点评：本题考查函数与反函数的图象间的关系，函数的对称中心，由函数y=得到对称中心为（a，1）是解题的关键，是基础题．10．在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是．考点：反函数．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求也m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故答案为﹣．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．11．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．解答：解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．点评：本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．12．定义两种运算：a⊕b=，则函数f（x）=的奇偶性为奇函数．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解答：解：由定义知f（x）==，由4﹣x2≥0且|x﹣2|﹣2≠0，得﹣2≤x＜0或0＜x≤2，即函数f（x）的定义域为{x|﹣2≤x＜0或0＜x≤2}，关于原点对称；此时f（x）===，则f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故f（x）是奇函数．故答案为：奇函数点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，根据新定义将函数进行化简是解决本题的关键．二、选择题（每题4分，共16分）13．“a=0”是“函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间．分析：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，结合二次函数的图象求出a的范围，再利用集合的包含关系判充要条件．解答：解：函数f（x）=x2+ax在区间（0，+∞）上是增函数，0，a≥0，“a=0”⇒“a≥0”，反之不成立．故选A点评：本题考查充要条件的判断，属基本题．14．若函数f（x）在（4，+∞）上为减函数，且对任意的x∈R，有f（4+x）=f（4﹣x），则（）A．f（2）＞f（3） B．f（2）＞f（5）C．f（3）＞f（5）D．f（3）＞f（6）考点：抽象函数及其应用．分析：因为所给选项为比较函数值的大小，所以要根据已知条件将所给函数值都转化到同一个单调区间上去，因此分析f（4+x）=f（4﹣x）的含义也就成了解答本题的关键．解答：解：∵f（4+x）=f（4﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=4对称，∴f（2）=f（6），f（3）=f（5），又∵f（x）在（4，+∞）上为减函数，∴f（5）＞f（6），∴f（5）=f（3）＞f（2）=f（6）．故选D．点评：（1）f（a+x）=f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=a对称；（2）f（a+x）=﹣f（a﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点（a，0）对称；（3）f（a+x）=f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于直线x=对称；（4）f（a+x）=﹣f（b﹣x）⇔函数f（x）的图象关于点对称．特别地，当a=b=0时，有f（﹣x）=f（x）及f（﹣x）=﹣f（x），f（x）分别表示偶函数与奇函数．15．已知函数f（x）=（）x﹣log2x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为负值B．等于0 C．恒为正值D．不大于0考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，再由条件即可得到答案．解答：解：由于实数x0是方程f（x）=0的解，则f（x0）=0，由于y=（）x在x＞0上递减，log2x在x＞0上递增，则f（x）在x＞0上递减，由于0＜x1＜x0，则f（x1）＞f（x0），即有f（x1）＞0，故选C．点评：本题考查函数的单调性及运用，考查运算能力，属于基础题．16．若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为y=2x2+1，值域为{3，19}的“孪生函数”共有（）A．15个B．12个C．9个D．8个考点：函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：根据“孪生函数”的定义确定函数定义域的不同即可．解答：解：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=﹣1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=﹣3，即定义域内﹣1和1至少有一个，有3种结果，﹣3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选：C．点评：本题主要考查函数定义域和值域的求法，利用“孪生函数”的定义是解决本题的关键．三、解答题17．已知log a484=m，log a88=n，试用m、n表示log211．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：把已知利用对数的运算性质变形求解log a2，log a11的值，然后利用对数的换底公式得到log211．解答：解：∵log a484=m，∴，即①，又log a88=n，∴log a8+log a11=n，即3log a2+log a11=n②，联立①②得：，．∴log211===．点评：本题考查对数的运算性质，考查了对数的换底公式，是基础的计算题．18．f（x）=（1）作出函数的大致图象；（2）求不等式f（x）＞f（1）的解集．考点：其他不等式的解法；函数的图象．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，从而画出函数的图象．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集．解答：解：（1）对于函数f（x）=，当x≥0时，f（x）=（x﹣3）（x﹣1）；当x＜0时，f（x）=﹣=﹣（）=﹣（+）=﹣﹣，故函数f（x）的图象如图所示．（2）结合函数f（x）的图象可得f（﹣3）=f（1）=f（3）=0，数形结合可得不等式f（x）＞f（1）的解集为{x|﹣3＜x＜1，或x＞3}．点评：本题主要考查分段函数的应用，分式不等式的解法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．19．如果函数y=x+的最小值为6，求b的值．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，结合x的范围，从而求出函数取最小值时的b的值．解答：解：y′=1﹣=，令y′＞0，解得：x＞，令y′＜0，解得：x＜，∴函数在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴函数在x=时取得最小值，∴+=6，解得：2b=9，代入函数的不表达式得：x=3，∵x≥4，不合题意，∴x=4时，函数值最小，此时：4+=6，解得：b=3．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式取最小值时的条件，是一道中档题．20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？考点：函数模型的选择与应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．解答：解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=为奇函数，（1）求a的值；（2）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）解关于x的不等式：f﹣1（x）＞log2．考点：反函数；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用函数的奇偶性，得到f（﹣x）=﹣f（x），解方程即可求a的值；（2）根据反函数的定义即可f（x）的反函数f﹣1（x）；（3）根据对数函数的单调性，结合分式不等式的解法进行求解即可．解答：解：（1）∵函数的定义域为{x|x≠0}且f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，即+=0，则+=0，即﹣a﹣2x+a•2x+1=0，则（1﹣a）（1﹣2x）=0，∵x≠0，∴1﹣a=0．即a=1．此时f（x）=．（2）由y=得（2x﹣1）y=2x+1．即y•2x﹣y=1+2x，即（y﹣1）•2x=1+y，当y=1时，方程等价为0=1，不成立，∴y≠1，则2x=，由2x=＞0得y＞1或y＜﹣1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由2x=，得x=log2，即f（x）的反函数f﹣1（x）=log2，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；（3）∵f﹣1（x）＞log2．∴log2＞log2．①若k＞0，则x+1＞0，即x＞﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＞1，此时不等式等价为＞，即，则0＜x﹣1＜k，即1＜x＜k+1，②若k＜0，则x+1＜0，即x＜﹣1，∵x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；∴此时x＜﹣1，此时不等式等价为＞，即＜，则x﹣1＞k，即﹣1＞x＞k+1，综上若k＞0，不等式的解集为（1，1+k），若k＜0，不等式的解集为（1+k，﹣1）．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数反函数的求解，对数不等式的求解，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22．已知函数，其中x＞0．（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b），求ab的取值范围；（2）是否存在实数a、b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域和值域都是，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由；（3）若存在a、b（a＜b），使得y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0），求m的取值范围．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：（1）讨论a，b的范围，确定a∈（0，1），b∈，由此出发探究a，b的可能取值，可分三类：a，b∈（0，1）时，a，b∈（1，+∞）时，a∈（0，1），b∈（1，+∞），分别建立方程，寻求a，b的可能取值，若能求出这样的实数，则说明存在，否则说明不存在；（3）由题意，由函数y=f （x）的定义域为，值域为（m≠0）可判断出m＞0及a＞0，结合（1）的结论知只能a，b∈（1，+∞），由函数在此区间内是增函数，建立方程，即可得到实数m所满足的不等式，解出实数m的取值范围．解答：解：（1）f（x）=，若a，b∈（0，1），f（x）递减，f（a）＞f（b）不成立；若a，b∈，而y≥0，x≠0，所以应有a＞0，又f（x）=，①当a，b∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上为减函数，故有，即，由此可得a=b，此时实数a，b的值不存在．②当a，b∈（1，+∞）时，f（x）在∈（1，+∞）上为增函数，故有，即，由此可得a，b是方程x2﹣x+1=0的根，但方程无实根，所以此时实数a，b也不存在．③当a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，显然1∈，而f（1）=0∈不可能，此时a，b也不存在．综上可知，符合条件的实数a，b不存在；（3）若存在实数a，b使函数y=f（x）的定义域为，值域为（m≠0）．由mb＞ma，b＞a得m＞0，而ma＞0，所以a＞0，由（，1）知a，b∈（0，1）或a∈（0，1），b∈（1，+∞）时，适合条件的实数a，b不存在，故只能是a，b∈（1，+∞），∵f（x）=1﹣在∈（1，+∞）上为增函数∴，即，∴a，b是方程mx2﹣x+1=0的两个不等实根，且二实根均大于1，∴，解之得0＜m＜，故实数m的取值范围是（0，）．点评：本题的考点是函数与方程的综合应用，考查了绝对值函数，函数的定义域、值域，构造方程的思想，二次方程根与系数的关系等，解题的关键是理解题意，将问题正确转化，进行分类讨论探究，属于难题和易错题．。

复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B =________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C按从小到大的顺序排列是________.6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X-=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X∆=-- ，已知{}2,A y y x x R==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B；复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________【答案】20162【分析】若集合中有n 个元素,则该集合有2n 个子集,显然,集合中的元素有2016个,即2016n =,代入2n 中即可【详解】由题,集合中有2016个元素,所以该集合有20162个子集,故答案为:20162【点睛】本题考查集合的子集个数,属于基础题2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B = ________【答案】{|12}x x <<【分析】先求的A B ⋃,再求得补集即可【详解】由题,{|1A B x x ⋃=≤或}2x ≥,所以(){}U |12A B x x ⋃=<<ð,故答案为:{|12}x x <<【点睛】本题考查集合的并集、补集运算,属于基础题3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【分析】由A B ⋂≠∅,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________【答案】{,}a e 【分析】由题,用维恩图来表示集合,由图即可得到B 集合【详解】由题,将集合用维恩图表示,则{},B a e =,故答案为:{,}a e 【点睛】本题考查图示法处理集合问题,属于基础题5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C 按从小到大的顺序排列是________.【答案】B ＜C ＜A【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.【详解】方法一：212112120,0,1a a b b a a b b >>>>+=+= ，不妨令12121212,,,3333a ab b ====，11221221145224,999999A a b a bB a b a b =+=+==+=+=，1 4.529C == ，B C A \<<，故答案为：B ＜C ＜A .方法二：∵210a a >>，210b b >>，∴由排序原理可知：22112112a b a b a b a b +>+，∵12121,1a a b b +=+=，()()1212111221221a a b b a b a b a b a b ∴=++=+++()()()2211211222112a b a b a b a b a b a b =+++<+221112a b a b ∴+>，∴A ＞C ＞B ﹒故答案为：B ＜C ＜A .6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________【答案】16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12,当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=,故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________【答案】{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >,所以{}|30A B x x ⋂=-<<,故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X ∆=-- ，已知{}2,A y y x x R ==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.【答案】[)()2,02-+∞ ，【分析】由A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，先求出A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，再求A △B 的值．【详解】∵A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，∴A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，∴A △B ＝{y |y ＞2}∪{y |﹣2≤y ＜0}，故答案为[﹣2，0）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X ﹣Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }、X △Y ＝（X ﹣Y ）∪（Y ﹣X ）．10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________【答案】2a【分析】分别求出集合A 、B 中的元素,再求出集合A 、B 的并集,即可求解【详解】由题,因为12x a a -<+,所以11222x a -<<+,则11|2,22A x x a x Z ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭；因为2x a <,所以22a x a -<<,则{}|22,B x a x a x Z =-<<∈,因为常数a 是正整数,所以{}0,,,,2A a a = ,{}21,,0,,21B a a =-+- ,所以{}21,,0,,21,2A B a a a ⋃=-+- ,所以A B ⋃中所有元素之和是2a ,故答案为:2a【点睛】本题考查集合的并集,考查解含绝对值的不等式11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________【答案】①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”【详解】①对于任意非负整数,a b ,则a b +仍为非负整数,即a b G +∈；取0e =,则00a a a +=+=,故①符合题意；②对于任意偶数,a b ,则ab 仍为偶数,即ab G ∈；但是不存在e G ∈,使对一切a G ∈都有ae ea a ==,故②不符合题意；③对于G 是所有二次三项式组成的集合,若,a b G ∈,ab 不再是二次三项式,故③不符合题意；④对于{|,}G x x a a b Q ==+∈,设1x a =+2x c =+,则()(122x x ac bd ad bc ⋅=+++,即12x x G ⋅∈；取1e =,则11a a a ⨯=⨯=,故④符合题意,故答案为:①④【点睛】本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【分析】将A B ⋂中有且仅有一个元素，转化为方程只有一个解，分情况讨论，确定参数范围.【详解】由集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，且A B ⋂中有且仅有一个元素，a x x a ∴=+只有1个解，若0x ≥，则ax x a =+，1a x a =-，若0x <，则ax x a -=+，1ax a =-+，所以0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪-≤⎪+⎩或101a a a =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩，解得11a -≤≤，故答案为：[]1,1-.二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【答案】A【分析】由题意可知集合B 表示整数的3倍且大1的数的集合,则找到集合A 中符合条件的最大元素即可【详解】由题,因为{|31,}B x x k k Z ==+∈,即为整数的3倍且大1的数的集合,则A B ⋂中的最大元素为2014,故选:A【点睛】本题考查集合的交集定义,属于基础题14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-【答案】D【详解】因为()()()U UUB A B A ⋃=⋂痧所以()()U UU A B A B ⋂=⋃⎡⎤⎣⎦痧，所以A B ⋂共有m n -个元素，故选D ．15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠【答案】D【分析】直接利用逆否命题的定义得到答案.【详解】己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是：己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠故选D【点睛】本题考查了命题的逆否命题，意在考查学生对于命题基础知识的掌握情况.16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可【详解】①“a b =”⇒“ac bc =”,但当0c =时,“ac bc =”无法推出“a b =”,则“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故①是假命题；②“5a +是无理数”⇒“a 是无理数”,且“a 是无理数”⇒“5a +是无理数”,则“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故②是真命题；③当12a b =>-=时,2214a b =<=,即“a b >”无法推出“22a b >”,且当2241a b =>=时,21a b =-<=,即“22a b >”无法推出“a b >”,则“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；④因为{}|3a a <{}|4a a <,所以“4a <”是“3a <”的必要条件,故④是真命题；综上,真命题有2个,故选:B【点睛】本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；【答案】1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；【答案】证明见解析【分析】先对33+a b 与22a b ab +作差证明3322a b a b ab +≥+,同理证明3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,再求和即可得证【详解】证明:()()()()()()()()233222222a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=--=+-,因为,,a b c R +∈,所以0a b +>,()20a b -≥,所以()()33220a b a b ab +-+≥,即3322a b a b ab +≥+,同理,3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,所以333333222222a b b c a c a b ab b c bc a c ac +++++≥+++++,即3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c++≥+++++【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）作差(12111a a a -=+,讨论1a2a （2）整理问题为21a a <-,进而求证即可【详解】证明:（1）(121112111a a a a --=+-++,因为若1a >,则10a >,又10<,则2a <；若1a <则10a <,又10-<,则2a >,介于1a 与2a 之间（2）12111121a a a a a a ----=--+,因为10a >20-<,10a>,所以210a a -<,所以21a a -<-所以2a 比1a 【点睛】本题考查不等式的证明,考查运算能力与分类讨论思想20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；【答案】19m <<【分析】①对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,讨论0m =与0m ≠的情况,进而求解；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,二者求并集即可【详解】解:①由题,对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,当0m =时,不等式为310x -+>不成立,舍去；当0m ≠时,()20340m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩,解得19m <<；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,综上,19m <<【点睛】本题考查含参的一元二次不等式恒成立问题,考查分类讨论思想21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B 中元素个数最少，并用列举法表示集合B ；【答案】（1）答案见解析（2）[44k ∈--+，{2,3,4,5}B =【分析】（1）对k 进行分类讨论,分别讨论0k =,0k <,01k <<或9k >,19k ≤≤的情况,进而求解即可；（2）由（1）可知当0k <时,集合B 为有限集,利用对勾函数可知933442k k ++≤,当且仅当3k =-时等号成立,进而求解即可【详解】（1）当0k =,11{|}2A x x =<；当0k ≠时,令21291142k k k ++=,解得1k =或9k =,则当1k <或9k >时,9113442k k ++<,当19k <<时,9113442k k ++>,①当0k <,911{|3}442k A x x k =++<<；②当01k <<或9k >,11{|2A x x =<或93}44k x k >++；③当19k ≤≤,9{|344k A x x k =<++或11}2x >；（2）因为B A Z = （其中Z 为整数集）,由（1）,当0k ≥时,集合B 中的元素的个数无限；当0k <时,集合B 中的元素的个数有限,此时集合B 为有限集,因为0k <,所以9933333444422k k k k ⎛⎫++=---+≤-+= ⎪⎝⎭,当且仅当944k k -=-,即3k =-时等号成立,所以{2,3,4,5}B =且93144k k++≥，所以2890k k ++≤，所以[44k ∈--+【点睛】本题考查解含参的不等式,考查交集的定义的应用,考查分类讨论思想。

2014-2015学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1．求值：＝．2．函数f（x）＝ln|x﹣1|+lg的定义域是．3．已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）﹣f（1）＝．4．若函数y＝f（x﹣2）的定义域为[0，1]，则函数y＝f（x）的定义域是．5．函数的单调区间是．6．已知函数的定义域为R则实数a的取值范围是．7．已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．8．将函数y＝2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移1个单位得到图象C2，C2关于直线y ＝x对称的图象为C3，则C3所对应的函数解析式为y＝．9．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（3+x）＝f（3﹣x），当x∈（0，3）时，f（x）＝2x，则f（x）在区间（3，6）上的解析式是f（x）＝．10．若函数f（x）＝a|x﹣b|+c满足①函数f（x）的图象关于x＝1对称；②在R上有大于零的最大值；③函数f （x）的图象过点（0，1）；④a，b，c∈Z，试写出一组符合要求的a，b，c的值．11．在实数集R上定义一种运算“△”，对任意a，b∈R，具有性质：①a△b＝b△a；②a△1＝a；③（a△b）△c＝c△（a•b）+（a△c）+（b△c）+c，则当x≠0时，函数f（x）＝x△的值域是．12．已知函数f（x）＝，且关于x的函数F（x）＝af2（x）+bf（x）+c恰有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32＝．二、选择题（每题4分，共16分）13．某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w 是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是（）A．y是x的函数B．z是y的函数C．w是z的函数D．w是x的函数14．函数y＝的图象大致是（）A．B．C．D．15．给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y＝x﹣1，，y＝（x﹣1）2，y＝x3中有三个是增函数；②若log m3＜log n3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；④已知函数则方程有2个实数根，其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．416．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）三、解答题17．（8分）解不等式log2（4x﹣1）≤log2（2x+1）．18．（10分）已知g（x）＝﹣x2﹣3，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）是奇函数，且当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式．19．（10分）若关于x的指数函数方程4x﹣（a+3）•2x+1＝0（1）有实数解，求实数a的取值范围；（2）在区间（﹣1，3]上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．20．（14分）已知集合M＝{f（x）|当x∈[0，4]时，|f（x）|≤2恒成立}（1）判断函数g（x）＝是否属于集合M，说明理由；（2）已知f（x）＝x2+bx+c（c≥2）满足f（x）∈M，求b和c的值；（3）已知f（x）是定义在区间[﹣4，4]上的奇函数，f（4）＝0且对任何实数x1，x2∈[﹣4，4]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，求证：f（x）∈M．21．（14分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中实数k为常数．（1）求g（x）的值域．（2）若函数f（x）是区间[0，1]的单调函数，求实数k的取值范围．（3）在（2）的条件下，若对任何x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，求k的取值范围．2014-2015学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试卷解析一、填空题（每题4分，共48分）1．【解答】解：＝＝6．故答案为：6．2．【解答】解：要使函数有意义，则，即，解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3，即函数的定义域为{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}，故答案为：{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}3．【解答】解：因为函数为幂函数，所以设其解析式为y＝xα，因为函数图象经过（9，3），所以3＝9α＝32α，所以，所以幂函数的解析式为，所以f（2）﹣f（1）＝，故答案为．4．【解答】解：∵函数y＝f（x﹣2）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则﹣2≤x﹣2≤﹣1，则函数y＝f（x）的定义域是[﹣2，﹣1]，故答案为：[﹣2，﹣1]5．【解答】解：令t＝x2﹣4＞0，求得x＞2或x＜﹣2，故函数的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且y＝t，故本题即求函数t在定义域内的单调区间．由于函数t在定义域内的单调减区间为（﹣∞，﹣2），故函数y的增区间为（﹣∞，﹣2）；由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+∞），故函数y的减区间为（2，+∞）．故答案是：（﹣∞，﹣2）、（2，+∞）．6．【解答】解：函数的定义域为R，只需分母不为0即可，所以a＝0或可得﹣12＜a≤0，故答案为：{a|﹣12＜a≤0}．7．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）＝0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）8．【解答】解：函数y＝2x的图象向左平移一个单位得到f（x）＝2x+1的图象，再向上平移一个单位得到f（x）＝2x+1+1的图象，根据关于直线y＝x对称的函数互为反函数得出C3的解析式g（x）＝log2（x﹣1）﹣1．则C3的解析式为：y＝log2（x﹣1）﹣1．故答案为：log2（x﹣1）﹣19．【解答】解：由f（3+x）＝f（3﹣x）知，函数f（x）的对称轴为x＝3；设x∈（3，6），该区间关于x＝3对称的区间为（0，3）；x关于x＝3对称的点为6﹣x，6﹣x∈（0，3）；∴f（x）＝f（6﹣x）＝26﹣x；即f（x）在区间（3，6）上的解析式为f（x）＝26﹣x．故答案为：26﹣x．10．【解答】解：∵函数f（x）＝a|x﹣b|+c满足①函数f（x）的图象关于x＝1对称∴b＝1；∵函数f（x）＝a|x﹣b|+c满足②在R上有大于零的最大值；∴a＜0，c＞0；∵函数f（x）＝a|x﹣b|+c满足③函数f（x）的图象过点（0，1）；∴a+c＝1；故试写出一组满足b＝1，a+c＝1，a＜0，c＞0，a，b，c∈z要求的a，b，c的值皆可．故答案为：满足b＝1，a+c＝1，a＜0，c＞0，a，b，c∈z皆可．11．【解答】解：由运算“△”的性质知：＝1；∴；∴x＞0时，，f（x）≥4；x＜0时，，f（x）≤0；∴函数f（x）的值域为（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）．12．【解答】解：由题意可得F（x）＝0有3个实数根，而＝k有解时总会有2个根，所以必含有1这个根．令＝1，解得x＝2或x＝0，所以x12+x22+x32＝02+12+22＝5．故答案为：5．二、选择题（每题4分，共16分）13．【解答】解：姓名不是数集，故A，D不成立；可能有两个身高相同的学生成绩不同，这样就变成了“一对多”，所以不一定是函数，故C不成立．故选：B．14．【解答】解：∵f（﹣x）＝﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x＝1时，f（x）＝0排除C故选：D．15．【解答】解：对于①，四个函数中y＝x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，y＝（x﹣1）2在区间（0，+∞）上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故①不正确；对于②，由log m3＜log n3＜0，得0＞log3m＞log3n由函数y＝log3x是增函数，可得0＜n＜m＜1，故②正确；对于③，因为f（x）是奇函数，得y＝f（x）图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，得③正确；对于④，函数，可得当x＝2﹣log32或x＝时满足，即方程有2个实数根，可得④正确其中的真命题是②③④，共3个故选：C．16．【解答】解：因为f（x），g（x）图象上存在关于y轴对称的点，设P（x，y）（x＜0）在函数f（x）上，则P关于y轴的对称点Q为（﹣x，y），则存在x∈（﹣∞，0），满足x2+e x﹣＝（﹣x）2+ln（﹣x+a），即方程e x﹣＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．三、解答题17．【解答】解：由log2（4x﹣1）≤log2（2x+1），得，由①得：4x＞1，即x＞0；由②得：x∈R；由③得：（2x）2﹣2x﹣2≤0，解得：﹣1≤2x≤2，即x≤1．∴0＜x≤1．∴不等式log2（4x﹣1）≤log2（2x+1）的解集为（0，1]．18．【解答】解：设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）则g（x）+f（x）＝（a﹣1）x2+bx+c﹣3为奇函数，∴a＝1，c＝3∴∵当x∈[﹣1，2]时f（x）的最小值为1∴或（8分）解得b＝3或（10分）∴（12分）故f（x）的表达式为：．19．【解答】解：（1）4x﹣（a+3）•2x+1＝0即为a+3＝＝2x+2﹣x，由2x＞0，可得2x+2﹣x≥2＝2，当且仅当x＝0时取得最小值2．即有a+3≥2，即为a≥﹣1；（2）由a+3＝2x+2﹣x，x∈（﹣1，3]，即有2x∈（，8]，2x+2﹣x在（﹣1，0）递减，且2x+2﹣x∈（2，），在（0，3]递增，2x+2﹣x∈（2，]，由在区间（﹣1，3]上有且只有一个实数解，则a+3＝2或≤a+3≤，解得a＝﹣1或﹣≤a≤．20．【解答】解：（1）g（x）＝＝＝1﹣，则当x∈[0，4]时，g（x）为增函数，则g（0）≤g（x）≤g（4），∵g（0）＝0，g（4）＝，∴0≤g（x）≤，满足|g（x）|≤2恒成立，即g（x）属于集合M．（2）∵f（x）＝x2+bx+c（c≥2），∴f（0）＝c≥2，∵f（x）∈M，∴|f（x）|≤2，则，|f（0）|≤2，即c≤2，∴c＝2，即f（x）＝x2+bx+2．∵f（x）∈M，∴对称轴x＝﹣≥2，即b≤﹣4，若对称轴x＝﹣≥4，即b≤﹣8，此时只要f（4）＝18+4b≥﹣2，即4b≥﹣20，解得b≥5，与b≤﹣8矛盾，不成立，若若对称轴x＝﹣∈[2，4），即﹣8＜b≤﹣4，则函数的最小值为f（﹣）＝（﹣）2﹣×b+2＝2﹣，此时应该满足f（﹣）＝2﹣≥﹣2，即≤4，b2≤16，解得﹣4≤b≤4，又∵﹣8＜b≤﹣4，∴b＝﹣4，即b＝﹣4，c＝2，（3）∵f（x）是定义在区间[﹣4，4]上的奇函数，f（4）＝0且对任何实数，x1，x2∈[﹣4，4]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（x）max﹣f（x）min|＝2|f（x）|max，则当x∈[0，4]时，2|f（x）|max≤|x1﹣x2|＝4，即|f（x）|max≤2，即f（x）∈M．21．【解答】解：（1）令2x+1＝t（1≤t≤3），则2x＝t﹣1，即有g（x）＝＝t+﹣8，在[1，2]递减，在[2，3]递增，即有t＝2取得最小值﹣4，t＝1取得最大值﹣3．则g（x）的值域为[﹣4，﹣3]；（2）当x∈[0，]，f（x）递减，则f（x）是区间[0，1]的单调减函数，当x∈（，1]时，f（x）＝（t＝x+1∈（，2]）＝2k（t+﹣2），由于t+在（，2]递增，则k＜0，又f（x）在[0，1]递减，即有≤﹣﹣，解得k≤﹣；（3）当x∈[0，]，f（x）∈[﹣，﹣]；当x∈（，1]，f（x）＝2k（t+﹣2）（＜t≤2），可得f（x）∈[k，）．（k≤﹣），即有f（x）的值域为[﹣，﹣]∪[k，）．又g（x）的值域为[﹣4，﹣3]，由对任何x1∈[0，1]，都存在x2∈[0，1]，使得g（x1）＝f（x2）成立，可得g（x）的值域⊆f（x）的值域，即有[﹣4，﹣3]⊆[k，）．即为k≤﹣4且﹣3＜，解得﹣9＜k≤﹣4．则k的范围是（﹣9，﹣4]．。

一、填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分．）1.集合{}*|03,A x x x N =≤<∈的真子集的个数是 . 【答案】3 【解析】试题分析：{}*|03,={1,2}A x x x N =≤<∈，真子集个数22-1=3，所以答案应填：3． 考点：集合的子集概念．2.命题“如果,a b 都是奇数，那么a b +是偶数”的逆否命题是 . 【答案】如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数 【解析】试题分析：命题的条件和结论否定后交换，所以答案应填：如果a b +不是偶数，那么,a b 不都是奇数． 考点：逆否命题．3.已知函数()922-=x x x f ，()3-=x x g ，()33+=x x x h ，则()()()=+x h x g x f ．【答案】(3)x x ≠±考点：函数的定义域．4.已知集合{223}A y y x x ==--，集合{}2213B y y x x ==-++，则A B = .【答案】[4,14]- 【解析】试题分析：由2223=1)44y x x x =----≥-（，22213(1)1414y x x x =-++=--+≤，知A B =[4,14]-，所以答案应填：[4,14]-．考点：1、集合；2、二次函数值域．5.函数2()|1|||f x x x a =-+-（常数a R ∈），若(2)1f =，则(1)f = .【答案】3 【解析】试题分析：(2)1f =得：4a =，故(1)3f =，所以答案应填：3． 考点：函数概念．6.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，且{}1,2U B C A =，{}5U A C B =,{}0,4U U C A C B =，则集合A = . 【答案】{3,5}考点：1、集合的交集2、集合的补集． 7.已知集合{|A a =关于x 的方程211x ax +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合 A = ．【答案】51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：由211(1)(1)x a x ax x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0∆=，54a =-，所以答案应填：51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭． 考点：含参分式方程．8. 对于集合,A B ，定义运算：{}A B x x A x B -=∈∉且，()()A B A B B A ∆=--．若{}1,2A =，{}2,B x x x Z =<∈，则A B ∆= ．【答案】{}1,0,2- 【解析】试题分析：{}1,2A =，{}2,{1,01}B x x x Z =<∈=-，，()(){2}{1,0}{1,0,2}A B B A --=-=-，所以答案应填：{}1,0,2-． 考点：集合的运算．9. 已知全集U R =，实数,a b 满足0a b >>，集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<<， 则U MC N = ．【答案】(b考点：集合的交集、补集．10.已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-，其中,a c R ∈，则关于x 的不等式022>-+-a x cx 的解集是 .【答案】)3,2(- 【解析】试题分析：由不等式022>++c x ax 的解集为)21,31(-知2113216a c a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以022>-+-a x cx 即为260x x -++>，解得23x -<<，所以答案应填：)3,2(-．考点：1、一元二次不等式；2、一元二次方程．【思路点晴】本题主要考查的是含参一元二次不等式的解法，属于中档题．解题时一定注意不等式的解集端点与相应方程的关系，即端点是方程的根，再根据根与系数关系得出a ，c ，从而解出022>-+-a x cx 的解集．11.对于实数x ，若1,n x n ≤<+规定[]x n =()n Z ∈，则不等式[][]2420210x x -+<的解集是．【答案】 【解析】试题分析：解一元二次不等式得：[]3722x <<，[]{2,3}x =，所以24x ≤<，所以答案应填：[)2,4． 考点：二次不等式．12.不等式 2(2)2(2)30a x a x -+--<对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】(]1,2-考点：含参二次不等式恒成立．【思路点晴】本题主要考查是含参数二次不等式的恒成立问题，属于中档题．解题时一定注意对2a -的分类讨论，不能忘记20a -=的情况，同时，要结合二次函数图象及方程根的情况，应该开口向下，判别式小于零，列出满足的条件求解．13.定义关于x 的不等式(,0)x A B A R B -<∈>的解集称为A 的B 邻域．若3a b +-的a b +邻 域是区间(3,3)-，则22a b +的最小值是 . 【答案】92【解析】试题分析：由邻域的定义知(3)x a b a b -+-<+的解集是(3,3)-，解此不等式：3+3=223x a b a b a b -<<++-+-，所以3a b +=，由重要不等式222()2a b a b ++≥知：2292a b +≥，所以答案应填：92． 考点：1、绝对值不等式；2、重要不等式．【思路点晴】本题主要考查的是绝对值不等式及重要的均值不等式，属于难题题．解题时先有邻域的概念及绝对值不等式的解法得3a b +=，再考查22a b +与条件3a b +=的关系，利用重要不等式222()2a b a b ++≥求出22a b +的最小值．14.给出下列四个命题：（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；（2）若22a x a y >，则x y >；（3）ab >，则11a b a>-； （4）若110a b<<，则2ab b <.其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号） 【答案】（1）（2）（4）考点：1、不等式性质2、做差法比较大小．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分．）15.下列每组中的两个函数是同一函数的是（ ） A ．1)(=x f 与0)(x x g =B.33)(x x f =与x x g =)(C ．x x f =)(与2)()(x x g =D.x x f =)(与2)(x x g =【答案】B 【解析】试题分析：1)(=x f 与0)(x x g =，x x f =)(与2)()(x x g =的定义域不同，x x f =)(与()g x =对应法则不同，所以两个函数不是同一函数，故选B ． 考点：函数的概念．16.若0a >，0b >，则不等式1b a x-<<的解是（ ） A ．10x b -<<或10x a<< B.11x a b-<< C ．1x a <-或1x b>D.1x b <-或1x a>【答案】D 【解析】试题分析：根据题意分类讨论，当0x >时，只需01x ax >⎧⎨<⎩，所以1x a >，当0x <时，只需01x bx <⎧⎨->⎩，所以1x b <-，因此1b a x-<<的解是1x b <-或1x a >，故选D ．考点：1、分式不等式；2、分类讨论；3、不等式的恒成立． 17.下列说法正确的是（ ）A ．“若21x =，则1x =”的否命题是“若21x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要非充分条件C ．“3≠+b a ”是“1≠a 或2≠b ”的充分非必要条件D ．“44a b ab +>⎧⎨>⎩”是“2a >且2b >”的充分必要条件【答案】C考点：1、充分条件、必要条件；2、逆否命题；3、否命题．【方法点晴】本题主要考查的是否命题、充分条件与必要条件的真假性，属于中档题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化． 18.若0>x ，0>y ，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ ）A.22C. 2D.【答案】B 【解析】试题分析：分离参数得a ≤恒成立，两边平方得21a +≤，而112x yx y++≤+=+，当且仅当x y =时等号成立，所以a ≥，故选B ．考点：1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19.（本题满分12分）解关于x 的不等式：2(21)20()mx m x m R -++>∈. 【答案】当0m =时，解集为(,2)-∞；当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m -∞+∞；当12m >时，解集为1(,)(2,)m -∞+∞；当0m <时，解集为1(,2)m．当102m <≤时，解集为1(,2)(,)m-∞+∞； 当12m >时，解集为1(,)(2,)m-∞+∞； 当0m <时，解集为1(,2)m． 考点：1、分类讨论；2、二次不等式；3、二次函数；4、数形结合．20.（本题满分14分）共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知集合2601x x A xx ⎧⎫--⎪⎪=≤⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，集合{}21,B x x a a a R =+≤+∈. （1）求集合A 与集合B ； （2）若AB B =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(,2](1,3]A =-∞--，{}311B x a x a =--≤≤-+；（2）()[),03,a ∈-∞+∞．考点：1、分式不等式；2、绝对值不等式；3、集合的交集；4、集合的子集．21.（本题满分14分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 设集合}019|{22=-+-=a ax x x A ， }065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ． （1）若AB A B =，求实数a 的值；（2）若A B ∅Ü，且A C =∅，求实数a 的值；（3）若AB AC =≠∅，求实数a 的值.【答案】（1）5a =；（2）2a =-；（3）3a =-.（2）由题意得，3A ∈， 所以5a =或2a =-，………………7分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去； 当2a =-时，{5,3}A =-，满足题意； 所以2a =-；………………9分（3）由题意得，{2}A B A C ==，所以5a =或3a =-，………………12分当5a =时，{2,3}A =，不符合题意，舍去； 当3a =-时，{5,2}A =-，满足题意； 所以3a =-.………………14分考点：1、集合的交集；2、集合的并集；3、集合的真子集．22.（本题满分16分）共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分． 我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S （平 方米）的矩形AMPN 健身场地.如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知60=∠ACB ， 30||=AC 米，=AM x 米，]20,10[∈x .设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为Sk37 元，再把矩形AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为Sk12元（k 为正常数）. （1）试用x 表示S ，并求S 的取值范围； （2）求总造价T 关于面积S 的函数)(S f T =；（3）如何选取||AM ，使总造价T 最低（不要求求出最低造价）.【答案】（1）(30),[10,20]S x x =-∈ ，32253200≤≤S ；（2）)3216(25SS k T +=，32253200≤≤S ；（3）选取||AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.考点：1、二次函数的值域；2、均值不等式；3、实际问题中的函数．【方法点晴】本题主要考查的是函数在实际问题中的应用，及函数定义域值域和均值不等式求最值，属于难题．在实际问题中，要特别注意函数定义域的实际意义，根据函数形式选取合适方法求其值域，在运用均值不等式时，注意等号成立的条件.23.（本题满分18分）共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，使得对函数()f x 定义域内的任意两个自变量12x x 、，均有1212()()f x f x x x -≤-成立.（1）已知函数()21f x x =+，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由； （2）已知函数()g x ax b M =+∈，求实数,a b 的取值范围；（3）是否存在实数a ,使得()2a p x x =+，[)1x ∈-+∞，属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存 在，请说明理由.【答案】（1）()f x 属于集合M ，理由见解析；（2）11a -≤≤，b R ∈；（3）存在[]1,1a ∈-时，()p x M ∈.考点：1、绝对值的性质；2、函数的最值；3、绝对值不等式的恒成立；4、集合的概念．【方法点晴】本题主要考查的是利用绝对值不等式的性质、解决含参绝对值不等式及绝对值不等式恒成立问题，属于难题．注意本题中涉及绝对值不等式，要善于运用相关绝对值的性质，同时含参数恒成立问题，要学会分离参数，转化为求函数最值问题．：。

上海市复旦大学附属中学2014-2015学年高一上学期期中考试-数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc>2．设x 取实数，则()f x 与()g x 表示同一个函数的是（）A ．()(),f x x g x =B ．()()()22,xf xg x x==C ．()()()01,1f x g x x ==- D ．()()29,33x f x g x x x -==-+3．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件4．在关于x 的方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．44a -≤≤B ．97a a ≥≤-或C ．24a a ≤-≥或D ．24a -<<第II 卷（非选择题)二、填空题5．用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．6．命题“若21x =，则1x =”的否命题为__________．7．函数y =__________．8．已知集合1,2,3,4A ＝｛｝ 、1,2B ＝｛｝ ,满足A C B C ⋂=⋃ 的集合C 有___个9．已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____10．已知集合{()()(){}3,12340P x x Q x x x x =-≥=+-->，则P Q =I __________．11．若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 成立，则a 的取值范围是 _ _ .12．已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是1|22x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或，则不等式20cx bx a -+>的解集为_________13．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =U U U U ，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________14．某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库，已知每月土地占用费P (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成反比，而每月库存货物的运费K (万元)与仓库到停车库的距离x (公里)成正比.如果在距停车库18公里处建仓库，这两项费用P 和K 分别为4万元和144万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库到停车库的距离x = ________ 公里. 15．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．三、解答题16．解方程：212324x x +-= 17．若关于x 的不等式：21241(0)x x k k k+-≥+≠ （1）解此不等式； （2）若21242{|1}x x x k k+-∈≥+，求实数k 的取值范围. 18．已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19．现有A B C D 、、、四个长方体容器，A B 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；C D 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、 (其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？20．定义实数,a b 间的计算法∆则如下：2,,a a ba b b a b≥⎧∆=⎨<⎩ （1）计算()231∆∆（2）对x z y <<的任意实数,,x y z ，判断等式()()x y z x y z ∆∆=∆∆是否恒成立，并说明理由：（3）写出函数()()12y x x x =∆∆-∆的解析式，其中22x -≤≤并求其值域. 21．已知,,a b c ∈R ，满足a b c >>.（1）求证：1110a b b c c a++>---； （2）现推广：把1c a -的分子改为另一个大于1的正整数p ，使110pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出一个p ，并证明之；（3）现换个角度推广：正整数m n P 、、满足什么条件时，不等式0m n pa b b c c a++>---对任意a b c >>恒成立，试写出条件并证明之.参考答案1．C 【解析】 【分析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，即可得出结果. 【详解】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ，斜边为222()c c a b =+， 则外围的正方形的面积为2c ，即22a b +； 四个阴影部分面积之和刚好为2ab ，对任意的正实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. 故选：C. 【点睛】本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 2．B 【解析】 【分析】()f x 与()g x 表示同一个函数，则函数的定义域、对应法则、值域都相同，对选项进行逐一分析,得到答案. 【详解】A. ()g x x ==表达式与()f x x =不同，所以不是同一函数，A 不正确.B ．()()1f x g x ==()0x >,()(),f x g x 的定义域、对应法则、值域都相同，所以表示同一函数，正确.C. ()()01g x x =-的定义域为{}|,1x x R x ∈≠且，()1f x =的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，C 不正确.D.()293x f x x -=+ 的定义域为{}|,3x x R x ∈≠-且，()3g x x =-的定义域为R ，定义域不同，所以不是同一函数，D 不正确. 故选：B 【点睛】本题考查同一函数的判断，属于基础题. 3．A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 4．C 【解析】 【分析】可以采用补集思想．三个判别式均小于0的条件下取交集后再取补集即可． 【详解】若方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=都没有实数根.则()()2122221601640443100a a a a ⎧=-<⎪⎪=--<⎨⎪=-+<⎪⎩V V V ，解得：24a -<<. 则方程()22401160x ax x a x -+=+-+=，和223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根. 所以2a ≤-或4a ≥ 故选：C 【点睛】本题考查了命题与命题的否定，考查补集的方法解题，属于基础题． 5．{}1,2,3,4- 【解析】 【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ． 【详解】 因为a Z ∈且*65N a∈- 所以a 可以取1-，2，3，4. 所以{}1,2,3,4A =- 故答案为：{}1,2,3,4- 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题. 6．若21x ≠，则1x ≠ 【解析】 【详解】根据逆否命题的写法：既否条件又否结论，原命题的否命题为若21x ≠，则1x ≠.故答案为若21x ≠，则1x ≠. 7．[)(]2,11,2-U 【解析】 【分析】函数的定义域满足被开方数非负和分母不为0得到不等式组，从而可得函数的定义域. 【详解】函数y =.2010x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得22x -≤≤且1x ≠所以函数y =[)(]2,11,2-U故答案为：[)(]2,11,2-U 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题. 8．4 【解析】由条件A C B C ⋂=⋃ 可知：B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃⊆⋂⊆（）（）（）（），则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}，4 的子集的个数，共4个． 9．116【解析】211414()44216x y xy x y +=⋅≤=，当且仅当x=4y=12时取等号. 10．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】先求出不等式3x -≥P ，根据数轴标根法求出()()()12340x x x +-->的解集，即求出集合Q ，由交集的运算求出P Q I.【详解】由3x -≥()2103031x x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得：12x ≤≤，即[]1,2P =.用数轴标根法解()()()12340x x x +-->得312x -<<或4x >. ()31,4,2Q ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭U 。

复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b≥ B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y f x -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a -=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.复旦大学附属中学2015-2016学所第一学期高一年级数学期末考试试卷（满分：120分考试时间：100分钟所有答案都写在答题纸相应位置上）一、填空题（每题4分，共48分）1.函数()()lg 12+=-x f x x 的定义域为__________.【答案】(1,2)(2,)-+∞ 【分析】结合分式和对数式对变量的限制条件可求.【详解】由题意可得2010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且2x ≠，故答案为：(1,2)(2,)-+∞ .【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，明确分式、根式、对数式等对自变量的限制条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.2.设函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =__________.【分析】分段讨论进行求解.【详解】当1x ≤-时，由()3f x =可得1x =（舍）；当12x -<<时，由()3f x =可得x =或x =；当2x ≥时，由()3f x =可得32x =（舍）；综上可得x =【点睛】本题主要考查分段函数，分段函数求值问题一般是分段讨论解决，侧重考查数学运算的核心素养.3.已知幂函数()f x x α=是偶函数，在[)0,+∞上递增的，且满足1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f .请写出一个满足条件的α的值，α=__________.【答案】23【分析】结合偶函数和单调性及1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f 可得，答案不是唯一的.【详解】因为1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以1α<；因为()f x 在[)0,+∞上递增的，所以0α>；因为幂函数()f x x α=是偶函数，所以α的值可以为23.故答案为：23.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于α，侧重考查数学抽象的核心素养.4.函数()()01=>+xf x x x 的反函数为()1f x -=__________【答案】,(0,1)1xx x∈-【分析】反解x ，然后可得反函数.【详解】因为()()01=>+xf x x x ，所以11(0,1)11x y x x ==-∈++.由1xy x =+得1y x y=-，所以()1,(0,1)1xf x x x-=∈-.故答案为：,(0,1)1xx x∈-.【点睛】本题主要考查反函数的求法，求解反函数的关键是反解x ，注意定义域的变化，侧重考查数学抽象的核心素养.5.设函数()()20.5log 23f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为_________．【答案】(),1-∞-【分析】将函数视为复合函数，根据“同增异减”的判断原则，进行求解；注意定义域的取舍.【详解】记()223u x x x =--，因为0.5log y u =为减函数，所以当()y f x =单调递增时，()y u x =单调递减，由()2230u x x x =-->得3x >或–1x <，又当1x <-时，()y u x =单调递减.故–1x <．故答案为：()–,1∞-.6.函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线__________对称.【答案】y x=【分析】利用反函数图象的性质可求.【详解】因为313log log y x x =-=，所以13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =-互为反函数，所以函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象与函数3log y x =-的图象关于直线y x =对称.故答案为：y x =.【点睛】本题主要考查反函数的特征性质，互为反函数的两个函数图象关于直线y x =对称，侧重考查数学抽象的核心素养.7.已知5log 3a =，57=b ，则用a ，b 的代数式表示63log 105=__________.【答案】12a b b a+++【分析】先对63log 105进行转化，然后可求.【详解】因为57=b ，所以5log 7b =，55563555log 105log 5log 211log 105log 63log 7log 92a bb a +++===++.故答案为：12a bb a+++.【点睛】本题主要考查对数的运算，熟悉对数的运算公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.8.方程：()()2122log 26log 21+-=++x x x 的解为__________.【答案】2log 3【分析】移项化简，然后求解指数方程可得.【详解】原方程等价于()()2122log 26log 21x x x +--+=，()()212122226log 26log 21log 21x x xx x ++---+==+，即有2126221x x x +-=+，整理得()22260x x --=，解得23x =，即2log 3x =.故答案为：2log 3.【点睛】本题主要考查对数方程的求解，明确对数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.若函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，则实数a 的取值范围是__________【答案】(,4][0,)-∞-+∞ 【分析】根据函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R 可得2t x ax a =+-能取到所有正数，结合图象位置可求a 的取值范围.【详解】设2t x ax a =+-，因为函数()()23log =+-f x x ax a 的值域是R ，所以240a a ∆=+≥，解得0a ≥或4a ≤-.故答案为：(,4][0,)-∞-+∞ .【点睛】本题主要考查对数型函数的性质，复杂函数的值域问题一般利用换元法进行转化，侧重考查数学抽象的核心素养.10.若函数()232622xx ax x f x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围为__________.【答案】9[]2-【分析】先求2x ≥时的值域，结合函数的值域确定实数a 的取值范围.【详解】当2x ≥时，()262x f x =-≥-；因为()f x 的值域为[)2,-+∞，所以当2x <时，()2f x ≥-，当22a>时，4232a -+≥-，解得942a <≤；当22a ≤时，223242a a -+≥-，解得4a -≤≤；综上可得92a -≤≤；故答案为：9[2-.【点睛】本题主要考查分段函数的值域问题，分段函数的值域应该分段进行考虑，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数()10lg 0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围为__________.【答案】81(0,10【分析】作出图象，结合图象的对称性可求.【详解】作出函数的图象，如图，不妨设1234x x x x <<<，由图可得122x x +=-，341x x =，4110x <≤；所以12344412x x x x x x +++=+-，易知函数1y x x =+在区间(1,10]上为增函数，所以101(2,10y ∈，则有123481(0,]10x x x x +++∈.故答案为：81(0,10.【点睛】本题主要考查函数的图象应用，发现函数图象中的对称关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.12.已知函数（1）()3ln f x x =；（2）()231f x x =+；（3）()3xf x e =；（4）()3=f x x.其中满足对于任意1x D ∈（其中D 为函数的定义域），相应地存在唯一的2x D ∈3=的函数的序号为____________________.【答案】（3）（4）【分析】根据条件进行逐个验证，求解每个函数的值域可得.【详解】（1）中函数的定义域为()0,∞+，当11x =时，1ln 0x =3=；（2）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()1f x ≥，此时19(0,9]()f x ∈，不满足存在唯一的2x R∈，使3=；（3）中函数的定义域为R ，任意1x R ∈，都有1()0>f x ，此时()190,()f x ∈+∞，因为()3x f x e =为增函数，所以存在唯一的2x R ∈3=；（4）中函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，任意1(,0)(0,)x ∈-∞+∞ ，都有()1(,0)(0,)f x ∈-∞+∞ ，当1(,0)x -∞∈时，()19,0()f x ∈-∞，因为()3=f x x 在(),0-∞为减函数，所以存在唯一的2(,0)x ∈-∞，使3=；同理，当1(0,)x ∈+∞时，也存在唯一的2(0,)x ∈+∞，使3=；故答案为：（3）（4）.【点睛】本题主要考查函数性质的应用，准确理解题目中的新定义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.二、选择题（每题4分，共16分）13.下列函数中，既是偶函数，又是在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.1y x=B.2xy = C.1lny x= D.3y x =【答案】C【分析】结合选项和函数单调性奇偶性进行判断.【详解】选项A,D 均为奇函数，不合题意；当0x >时，22x xy ==为增函数，不合题意；当0x >时，11ln ln ln y x x x===-，易知为减函数.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的性质，结合基本函数解析式的特征可求性质，侧重考查数学抽象的核心素养.14.若1,1a b ><-则函数xy a b =+的图象必不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【详解】试卷分析：令2,2a b ==-，则22x y =-的图像如图所示，不经过第二象限，故选B.考点：1、指数函数图像；2、特例法解题.15.若a ，b ，c 均大于1，且log log 4a b c c ⋅=，则下列各式中，一定正确的是（）A.ac b ≥B.ab c≥ C.≥bc aD.ab c≤【答案】B【分析】利用对数的运算公式及不等式求解.【详解】因为log log 4a b c c ⋅=，所以11log log 4a b c c =⋅，即1log log 4c c a b ⋅=；因为a ，b ，c 均大于1，所以log 0,log 0c c a b >>，所以()22log log log log log ()24c c c c c ab a b a b +⋅≤=，即log 1c ab ≥或log 1c ab ≤-（舍）.由log 1c ab ≥可得ab c ≥.故选：B.【点睛】本题主要考查对数的运算公式及基本不等式，条件的等价转化是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.16.定义在实数集R 上函数()y f x =的反函数为()1y fx -=.若函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，则()y f x =-是（）A.是奇函数，不是偶函数B.是偶函数，不是奇函数C.既是奇函数数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数【答案】A【分析】利用反函数求解原函数，结合奇偶性定义进行判定.【详解】因为函数()y f x =-的反函数是()1y f x -=-，所以()x f y -=，即()y f x =-，所以()()f x f x -=-，即()y f x =-是奇函数.因为()y f x =-存在反函数，所以一定不是偶函数.故选：A.【点睛】本题主要考查反函数的求解及性质，明确反函数的求解方法是解题的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三、解答题17.已知函数()lg(1)f x x =+，解不等式0(12)()1f x f x <--<.【答案】21,33⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】利用对数运算法则可得()()220lg 22lg 1lg 11xx x x -<--+=<+，结合对数函数的单调性可得结果.【详解】解：不等式()()0121f x f x <--<，即()()220lg 22lg 1lg11xx x x -<--+=<+．由22010x x ->⎧⎨+>⎩，解得11x -<<．由220lg11x x -<<+，得221101xx -<<+．因为10x +>，所以1221010x x x +<-<+，解得2133x -<<．由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<．故不等式的解集为21,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了对数型不等式的解法，注意对数函数的单调性以及真数的范围是解题的关键.18.已知实数0a >，且函数()22x xaf x a-=+为奇函数.判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】增函数；证明见解析.【分析】利用奇偶性先求解实数a ，然后判断单调性，证明单调性.【详解】因为实数0a >，所以()22x x af x a-=+的定义域为R .又函数()22x x af x a -=+为奇函数，所以()1001a f a -==+，即1a =，经检验知符合题意；()21212121x x xf x -==-++，函数()f x 为增函数；证明如下：任取12,x x R ∈，设12x x <，()()121222112121x x f x f x -=--+++()()()()()()()121221121222122122222212121212121x x x x x x x x x x +-+-=-==++++++，因为2x y =为增函数，所以1222x x <，即有()()12f x f x <，所以函数()f x 为增函数.【点睛】本题主要考查利用单调性的定义判定函数的单调性，注意定义法证明的步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.19.已知函数()2020xx a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，其中a R ∈.(1)若0a =，解不等式()14f x ≥；(2)已知函数()y f x =存在反函数，其反函数记为()1y f x -=.若关于x 的不等式：()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1[2,0)[,)2-+∞ ；(2)()1,23,4⎤⋃⎦.【分析】(1)把0a =代入，分段讨论求解即可；(2)根据函数存在反函数可得实数a 的范围，再结合()()14--≤f a f x 可求.【详解】(1)若0a =，当0x ≥时，由214x ≥可得12x ≥；当0x <时，由124x≥可得20x -≤<；综上可知不等式()14f x ≥的解集为1[2,0)[,)2-+∞ .(2)因为函数()y f x =存在反函数，则()y f x =必为单调函数，所以1a ≥；由解析式的特征可知，()y f x =为增函数，所以0x ≥时，()(0)f x f a ≥=；121()log ,01x f x x x -≥=<<⎪⎩在(0,)+∞也为增函数，()()14--≤f a f x 在[)0,x ∈+∞上恒成立，所以140(4)a f a a -->⎧⎨-≤⎩，当041a <-<时，即34a <<，2log (4)a a -≤恒成立；当41a -≥时，即13a ≤≤a ≤12a ≤≤综上可得实数a的取值范围是()1,23,4⎤⋃⎦.【点睛】本题主要考查分段函数的性质，分段函数问题主要是分段处理，侧重考查数学抽象的核心素养.20.若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由.（2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0ff x x=，求证：()00f x x =.【答案】（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值．（3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0．【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-，∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立，∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立，∵()341,2x -∈-∴2a ≥；∵()422,6x -∈∴2a ≤.综上，满足条件的2a =.（3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x >，即()00xf x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增，∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =.【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题.21.设定义在R 上的函数()f x 、()1f x 和()2f x ，满足()()()12f x f x f x =+，且对任意实数1x 、2x （12x x ≠），恒有()()()()11122122->-f x f x f x f x 成立.（1）试写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，使()1f x 为增函数，()2f x 为减函数，但()f x 为增函数.（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由.命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数.（3）已知()321=+++f x x x x ，写出一组满足条件的具体的()1f x 和()2f x ，且()2f x 为非常值函数，并说明理由.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）命题1）为真，命题2）为假，理由见解析；（3）答案不唯一，详见解析.【分析】（1）根据题意找出满足条件的一组()1f x 和()2f x 即可，答案不唯一；（2）命题1）为真命题，结合单调性定义进行说明；命题2）为假命题，列举反例即可；（3）由()321=+++f x x x x 写出一组符合题意的()1f x 和()2f x 即可.【小问1详解】()13=f x x 为R 上的增函数，()2f x x =-为R 上的减函数，()2f x x =为增函数；【小问2详解】命题1）：若()1f x 为增函数，则()f x 为增函数，是真命题；理由如下：设12x x <，由()1f x 为增函数可得()()1112f x f x <；若()2f x 为增函数或者常数函数，则()()()12f x f x f x =+一定为增函数；若()2f x 满足()()2221f x f x >，则由()()()()11122122->-f x f x f x f x 可得()()()()11122122f x f x f x f x -+>-，()()()()11211222f x f x f x f x +<+，即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数；命题2）：若()2f x 为增函数，则()f x 为增函数，是假命题；如()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，()()()()3322111211222112121113333f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=-----=-+++ ⎪⎝⎭，()()212212f x f x x x -=-，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()2221121212133x x x x x x x x -+++>-，12x x ≠，即证22121233x x x x +++>，22221212122133324x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭ ，且1212x x +与2x 不同时为零，所以不等式22121233x x x x +++>恒成立，即()3113x x f x =--，()2f x x =满足()()()()11122122->-f x f x f x f x ，且()3113x x f x =--为减函数，()2f x x =为增函数，但是()313f x x =-不是增函数；所以命题2）是假命题；【小问3详解】答案不唯一；由()321=+++f x x x x ，令()31f x x x =+，为增函数，()221f x x =+非常数函数，()()()()()3322111211*********f x f x x x x x x x x x x x -=+-+=-+++，()()()()()22212212121211f x f x x x x x x x -=+-+=-+，若证()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立，即证()()()()2212121212121x x x x x x x x x x -+++>-+，12x x ≠，即证221212121x x x x x x +++>+，又222212121221311024x x x x x x x ⎛⎫+++=+++> ⎪⎝⎭恒成立，所以当120x x +≥时，即证221212121x x x x x x +++>+，且()()()2222212121212121111110222x x x x x x x x x x +++--=++-+->恒成立，又12x x ≠，所以110x -=与210x -=不同时成立，即221212121x x x x x x +++>+恒成立，同理当120x x +<时，()221212121x x x x x x +++>-+，因为()()()222221212121212111111222x x x x x x x x x x +++++=+++++，又12x x ≠，所以110x +=与210x +=不同时成立，所以()()()2221212111110222x x x x +++++>恒成立，即原不等式恒成立，综上所述，221212121x x x x x x +++>+恒成立，即()()()()11122122->-f x f x f x f x 恒成立.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：1．若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是．3．满足等式=0的复数z为．4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是．5．（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是．6．直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=．7．阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是．8．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为cm3．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．10．数列{a}中，若a1=1，（n∈N*），则=．11．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n 取到最小正值时，n=．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是．14．已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．二、选择题15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣117．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间18．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q三、解答题19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．20．（14分）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．21．（14分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（2）若p=，且{a2n﹣1（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市复旦大学附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：1．若集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，B={x||x+1|＜2，x∈R}，则A∩B=（﹣3，0）．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2}，B={x||x+1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x+1＜2}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}=（﹣3，0）．故选：（﹣3，0）．2．函数f（x）=log2x+1（x≥4）的反函数f﹣1（x）的定义域是[3，+∞）．【解答】解：函数f（x）=log2x+1（x≥4）的值域为[3，+∞），∴f﹣1（x）的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．3．满足等式=0的复数z为﹣1．【解答】解：∵等式=0，∴z（1+i）+i（1﹣i）=0，∴z（1+i）（1﹣i）+i（1﹣i）（1﹣i）=0，∴2z+2=0，解得z=﹣1．故答案为：﹣1．4．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是30．【解答】解：∵甲校，乙校，丙校的学生的人数之比为：3600：5400：1800=2：3：1，∴抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数为：，故答案为：30．5．（x2﹣）9的二项展开式中，含x3项的系数是﹣126．【解答】解：（x2﹣）9的二项展开式中，通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，令18﹣3r=3，求得r=5，故展开式中含x3项的系数为﹣=﹣126．故答案为：﹣126．6．直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=﹣2．【解答】解：∵直线l1：（a+3）x+y﹣3=0与直线l2：5x+（a﹣3）y+4=0，∴直线l1的方向向量为=（1，﹣（a+3）），直线l2的方向向量为=（1，），∵l1的方向向量是l2的法向量，∴两直线的方向向量垂直，即•=1×1+（﹣a﹣3）×=0，解得a=﹣2，∴实数a=﹣2．故答案为：﹣2．7．阅读程序框图，如果输出的函数值y在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，0] ．【解答】解：由程序框图可得分段函数：y=，∴令2x∈[，1]，则x∈[﹣2，0]，满足题意；∴输入的实数x的取值范围是[﹣2，0]．故答案为：[﹣2，0]．8．已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为20πcm2，则此圆锥的体积为16πcm3．【解答】解：∵圆锥的母线长是5cm，侧面积是20πcm2，设圆锥的半径为r，∴有πr×5=20π⇒r=4，∴圆锥的高为=3，∴圆锥的体积为×π×r2×3=16πcm3．故答案：16πcm3．9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．10．数列{a}中，若a1=1，（n∈N*），则=．+a2n）=【解答】解：由，得（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1==，∴==，故答案为：．11．甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）【解答】解：甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．基本事件总数n=10×9=90，甲、乙都抽到判断题包含的基本事件个数m=4×3=12，∴甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率：p=1﹣=1﹣=．故答案为：．12．已知等差数列{a n}满足：，且它的前n项和S n有最大值，则当S n取到最小正值时，n=19．【解答】解：由题意知，S n有最大值，所以d＜0，由，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0，又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0，所以S19为最小正值．故答案为：19．13．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．故答案为：（0，）．14．已知抛物线C：y2=2x，过抛物线C上一点P（1，）作倾斜角互补的两条直线PA、PB，分别交抛物线C于A、B两点，则直线AB的斜率为．【解答】解：∵点P坐标为（1，），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知MA的斜率存在且不为0，设PA：y﹣=k（x﹣1），即y=kx﹣k+，代入抛物线的方程得：y2﹣y﹣k+2=0，则：y1+=，故：y1=，设PB：y﹣=﹣k（x﹣1），即y=﹣kx+k+，代入抛物线的方程得：y2+y﹣k﹣2=0，则：y2+=﹣，故y2=﹣，∴y2﹣y1=﹣=．y2+y1=4﹣2．y1=kx1﹣k+，y2=﹣kx2+k+，y2+y1=﹣kx2+kx1+2=4﹣2，x2﹣x1=直线AB的斜率k AB===﹣2﹣2．∴直线BC的斜率为定值；故答案为：．二、选择题15．若f（x）和g（x）都是定义在R上的函数，则“f（x）与g（x）同是奇函数或同是偶函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：由“f（x）与g（x）同是奇函数”可得“f（x）•g（x）是偶函数”；反之不成立，例如可能f（x）与g（x）同是偶函数．因此“f（x）与g（x）同是奇函数”是“f（x）•g（x）是偶函数”的充分不必要条件．故选：A．16．已知数列{a n}前n项和满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2），a1=1，则a n=（）A．n B．2n﹣1 C．n2D．2n2﹣1=+，得=+，【解答】解：由S n﹣S n﹣1∴，∴数列{}是一个首项为1公差为1的等差数列．∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n2．当n≥2，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1；a1=1适合上式，∴a n=2n﹣1，故选：B．17．若对任意x∈R，都有f（x）＜f（x+1），那么f（x）在R上（）A．一定单调递增B．一定没有单调减区间C．可能没有单调增区间D．一定没有单调增区间【解答】解：若f（x）是增函数，则由x＜x+1可知f（x）＜f（x+1）一定成立，但F（x）＜F（x+1）并不能保证f（x）＜f（x+0.5），比如令f（x）=x+sin2πx则f（x+1）=x+1+sin2πx=f（x）+1＞f（x）但显然它不单调，因此，无法证明f（x）是增函数，同理，函数f（x）可能没有单调增区间，可能没有单调减区间．故选：C．18．设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）A．A=N*，B=NB．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}C．A={x|0＜x＜1}，B=RD．A=Z，B=Q【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f （x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”；对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”；对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”；前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．故选：D．三、解答题19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．20．（14分）已知向量（m∈R），且．设y=f（x）．（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在上图象最低点M的坐标．（2）若对任意，f（x）＞t﹣9x+1恒成立，求实数t的范围．【解答】解：（1）∵，即，消去m，得，即，时，，，即f（x）的最小值为1，此时∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是（2）∵f（x）＞t﹣9x+1，即，当时，函数单调递增，y=9x单调递增，∴在上单调递增，∴的最小值为1，为要恒成立，只要t+1＜1，∴t＜0为所求．21．（14分）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米，滴管内液体忽略不计．（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm3=1000mm3）【解答】解：（1）设每分钟滴下k（k∈N*）滴，则瓶内液体的体积cm3，k滴球状液体的体积cm3，∴，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．（2）由（1）知，每分钟滴下πcm3药液，当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h），即，此时0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h），即，此时144＜x≤156．综上可得．22．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．【解答】解：（1）由已知可得b=2，，…（2分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则…（6分）由，得x1=2x，y1=2y﹣2代入上式得…（10分）（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．…（11分）则，．∵k1+k2=8，∴+=8，∴2k+（m﹣2）×=8．…（12分）∴k﹣=4，整理得m=．故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）﹣2．所以直线AB过定点（，﹣2）．…（14分）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知+=8，得x0=﹣．此时AB方程为x=﹣，显然过点（，﹣2）．综上，直线AB过定点（，﹣2）．…（16分）23．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1﹣a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和．（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（2）若p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（3）若p=1，对于给定的正整数n，是否存在一个满足条件的数列{a n}，使得S n=n，如果存在，给出一个满足条件的数列，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，又a2﹣a1=p，a3﹣a2=p2，所以3p2﹣p=0，解得p=或者p=0（舍去）（2）p=，且{a2n﹣1}是递增数列，{a2n}是递减数列，所以a2n﹣a2n﹣1＞0，a2n+1﹣a2n＜0，，，所以a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…（a n﹣a n﹣1）=1﹣+…+=；（3）由题意得|a n+1﹣a n|=1，而a1=1，所以a2=2，0；a3=3，1，﹣1；a4=4，2，0，﹣2…所以S1=1，S2=3，1；S3=6，4，2，0；S4=10，8，6，4，0，﹣2…即S4k﹣3为奇数；S4k﹣2为偶数；S4k为偶数；因此只有S4k﹣3，S4k满足S n=n．。

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠2．∴函数的定义域为{x|x＞﹣1且x≠2}．故答案为：{x|x＞﹣1且x≠2}．2．（4分）（2012•余杭区校级模拟）设f（x）=，若f（x）=3，则x= ．【解答】解：当x≤﹣1时，即x+2=3，解得x=1（舍去）当﹣1＜x＜2时，即x2=3，解得x=，或x=﹣（舍去）当x≥2时，即2x=3，解得x=（舍去）故当f（x）=3，则x=故答案为：3．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，且满足．请写出一个满足条件的α的值，α= ．【解答】解：根据幂函数f（x）=xα是偶函数，在[0，+∞）上递增的，知α＞0，且α为偶数；又满足．所以α＜1；写出一个满足条件的α值，则α=即可．故答案为：．4．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的反函数为f﹣1（x）= ，（x∈（0，1））．【解答】解：由y=，解得x=＞0，解得0＜y＜1，因此f（x）的反函数为f﹣1（x）=，（x∈（0，1））．故答案为：，（x∈（0，1））．5．（4分）（2015春•龙岩期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）6．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数的图象与函数y=﹣log3x的图象关于直线y=x 对称．【解答】解：∵y=﹣log3x=log x，∴同底的指数函数和对数函数互为反函数，则图象关于y=x对称，故答案为：y=x7．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知log53=a，5b=7，则用a，b的代数式表示log63105=．【解答】解：∵log53=a，5b=7，∴=a，b=log57=，∴lg3=alg5，lg7=blg5，∴log63105===．故答案为：．8．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）方程：的解为{log23} ．【解答】解：由22x+1﹣6＞0，得2×4x＞6，即4x＞3，则方程等价为=log22x+log2（2x+1）=log22x（2x+1），即22x+1﹣6=2x（2x+1），即2（2x）2﹣6=（2x）2+2x，即（2x）2﹣2x﹣6=0，则（2x+2）（2x﹣3）=0，则2x﹣3=即2x=3，满足4x＞3，则x=log23，即方程的解为x=log23，故答案为：{log23}9．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域是R，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．【解答】解：∵函数的值域是R，∴其真数函数g（x）=x2+ax﹣a的函数值应该能够取遍所有正数，∴函数y=g（x）的图象应该与x轴相交即△=a2+4a≥0解得a≤﹣4或a≥0．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．10．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数的值域为[﹣2，+∞），则实数a的取值范围为[﹣2，] ．【解答】解：∵函数的值域为[﹣2，+∞），当x≥2时，f（x）=﹣6+2x≥﹣2．当x＜2，f（x）=x2﹣ax+3=（x﹣）2+3﹣，当=2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a≤2，a=4∈[﹣2，2]，故a=4成立；当＜2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥3﹣≥﹣2，解得﹣2≤a＜4．当＞2时，f（x）=（x﹣）2+3﹣≥（2﹣）2+3﹣≥﹣2，解得4＜a．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．11．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4．则x1+x2+x3+x4的取值范围为（，9）．【解答】解：作函数的图象如下，方程f（x）=a有四个不同的实根x1，x2，x3，x4，结合图象，A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，故x1+x2=﹣2，x3∈（，1），x4∈（1，10），故x3+x4∈（，11），∴x1+x2+x3+x4∈（，9），故答案为：（，9）．12．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数（1）f（x）=3lnx；（2）f（x）=3x2+1；（3）f（x）=3e x；（4）．其中满足对于任意x1∈D（其中D为函数的定义域），相应地存在唯一的x2∈D，使的函数的序号为（3）、（4）．【解答】解：根据题意可知：对于（1），函数f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；对于（2），函数f（x）=3x2+1，当x1=0时，存在x2=±使得使，故不符合题意；对于（3），函数f（x）=3e x，对任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；对于（4），函数f（x）=，对定义域内的任意一个自变量x，函数f（x）都有倒数，且使成立；所以成立的函数序号为（3）、（4）．故答案为：（3）、（4）．二、选择题（每题4分，共16分）13．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=2|x|C．D．y=x3【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递增，不满足；对于C，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减，满足；对于D，函数是奇函数，不满足，故选C．14．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）若0＜a＜1，b＜﹣1，则函数f（x）=a x+b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解答】解：函数f（x）=a x（0＜a＜1）的是减函数，图象过定点（0，1），在x轴上方，过一、二象限，函数f（x）=a x+b的图象由函数f（x）=a x的图象向下平移|b|个单位得到，∵b＜﹣1，∴|b|＞1，∴函数f（x）=a x+b的图象与y轴交于负半轴，如图，函数f（x）=a x+b的图象过二、三、四象限．故选A．15．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知a，b，c均大于1，且log a c•log b c=4，则下列各式中，一定正确的是（）A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c【解答】解：∵a、b、c均大于1，log a c•log b c=4，∴log c a•log c b=，∴log c a、log c b大于零，则log c a•log c b≤（log c a+log c b）2，即≤（log c a+log c b）2，∴（log c a+log c b）2≥1，∴（log c ab）2≥1，∴log c ab≥1或log c ab≤﹣1，当且仅当log c a=log c b，即a=b时取等号，∵a、b、c均大于1，∴log c ab＞1，解得ab≥c，故选：B16．（4分）（2015秋•杨浦区校级期末）定义在实数集R上函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x）．若函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x），则y=f（﹣x）是（）A．是奇函数，不是偶函数B．是偶函数，不是奇函数C．既是奇函数数，又是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数【解答】解：函数y=f（﹣x）的反函数是y=f﹣1（﹣x）=﹣f﹣1（x），关于原点对称，∴y=f（﹣x）是奇函数，故选A．三、解答题17．（8分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知函数f（x）=lg（x+1），解关于x的不等式0＜f （1﹣2x）﹣f（x）＜1．【解答】解：∵函数f（x）=lg（x+1），∴不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为0＜lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）＜1，即；化简得，即，解得即﹣＜x＜；∴原不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．18．（10分）（2015秋•杨浦区校级期末）已知实数a＞0，且函数为奇函数．判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明．【解答】解：∵函数为奇函数，实数a＞0，∴有f（0）=0，即=0，解可得a=1，∴f（x）=；f（x）=1﹣理由：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）是增函数．19．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）函数f（x）=，其中a∈R．（1）若a=0，解不等式f（x）≥；（2）已知函数y=f（x）存在反函数，其反函数记为y=f﹣1（x）．若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，，∵，∴当x≥0时，f（x）=x2，解得x≥；当x＜0时，f（x）=，解得﹣2≤x＜0；综上，不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或x≥}；（2）若函数y=f（x）存在反函数，则函数f（x）在R为单调函数，则a≥1，此时函数f（x）在R为单调递增函数，x∈[0，+∞）时，f（x）≥f（0）=a；此时f﹣1（x）=在（0，+∞）上也为增函数，若关于x的不等式：f﹣1（4﹣a）≤f（x）在x∈[0，+∞）上恒成立，则，当0＜4﹣a＜1，即3＜a＜4时，log2（4﹣a）≤a恒成立，当4﹣a≥1，即1≤a≤3时，解：得：﹣1+≤a≤2综上可得：a∈[﹣1+，2]∪（3，4）．20．（12分）（2015秋•杨浦区校级期末）若函数f（x）满足：对于其定义域D内的任何一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，则称函数f（x）在D上封闭．（1）若下列函数的定义域为D=（0，1），试判断其中哪些在D上封闭，并说明理由．f1（x）=2x﹣1，f2（x）=2x﹣1．（2）若函数g（x）=的定义域为（1，2），是否存在实数a，使得g（x）在其定义域（1，2）上封闭？若存在，求出所有a的值，并给出证明：若不存在，请说明理由．（3）已知函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．若x0∈D且f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．【解答】解：（1）在f1（x）=2x﹣1中，对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f1（x0）∈（﹣1，1）∉D1，故函数f1（x）=2x﹣1在D1上不封闭；在f2（x）=2x﹣1中，2x﹣1∈（0，1），在D1上封闭．（2）g（x）=的定义域为（1，2），对称中心为（﹣2，5），当a+10＞0时，函数g（x）=在D2上为增函数，只需，解得a=2当a+10＜0时，函数g（x）=在D2上为减函数，只需，解得a∈∅综上，所求a的值等于2．证明：（3）∵函数f（x）在其定义域D上封闭，且单调递增．x0∈D且f（f（x0））=x0，∴根据单调函数性质f（x0）∈D，则有唯一的x0∈D，∴f（x0）=x0．21．（14分）（2015秋•杨浦区校级期末）设定义在R上的函数f（x）、f1（x）和f2（x），满足f（x）=f1（x）+f2（x），且对任意实数x1、x2（x1≠x2），恒有|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|成立．（1）试写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），使f1（x）为增函数，f2（x）为减函数，但f（x）为增函数．（2）判断下列两个命题的真假，并说明理由．命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数．（3）已知f（x）=x3+x2+x+1，写出一组满足条件的具体的f1（x）和f2（x），且f2（x）为非常值函数，并说明理由．【解答】解：（1）根据题意，设函数f1（x）=3x为（0，+∞）上的增函数，f2（x）=﹣2x为（0，+∞）减函数，则f（x）=3x﹣2x是（0，+∞）上的单调增函数；（2）命题1）：若f1（x）为增函数，则f（x）为增函数，是真命题；理由是：设x1＜x2由y=f1（x）是区间D上的增函数可得f1（x1）＜f1（x2）①若f2（x）为单调递增或常函数，则y=F（x）是区间D上的增函数②若函数f2（x1）＞f2（x2），则由|f1（x1）﹣f1（x2）|＞|f2（x1）﹣f2（x2）|可得，﹣f1（x1）+f1（x2）＞f2（x1）﹣f2（x2）∴f1（x1）+f2（x1）＜f1（x2）+f2（x2），即f（x1）＜f（x2）；综上，函数f（x）为单调递增函数；命题2）：若f2（x）为增函数，则f（x）为增函数，是假命题；如函数f1（x）=﹣3x为减函数，f2（x）=2x为增函数，但f（x）=2x﹣3x不是单调递增函数；（3）由f（x）=x3+x2+x+1，令f1（x）=x3，为定义域R上的增函数，f2（x）=x2+x+1，且f2（x）为非常值函数，则f′（x）=3x2+2x+1=3+＞0，所以f（x）是定义域R上的增函数．。