2020年高考数学(文)之纠错笔记专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入(含答案解析)

换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知()13f x x --＝，求f （x ）的解析式.t =，则x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2，即有f （x ）＝2－x 2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f 法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．t =，则t ≥0，且x ＝t 2＋1，所以f （t ）＝3－（t 2＋1）＝2－t 2（t ≥0），即f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．【参考答案】f （x ）＝2－x 2（x ≥0）．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知)1fx =+()f x =A ．()211x x -≥ B ．21x -C ．()211x x +≥D ．21x +【解析】（换元法）：令1t ，则()21,1x t t =-≥，所以()()()()2212111f t t t t t =-+-=-≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ． 【答案】A注意：用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：))211111fx x =+=+-=-11≥，所以()()211f x x x =-≥．故选A ．分段函数的参数范围问题设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩,则满足()()()2a f f f a ＝的a 的取值范围是A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1，＋∞）【错解】当a <1时，f （a ）＝3a －1， 此时f （f （a ））＝3（3a －1）－1＝9a －4，()3122a f a －＝，方程无解．当a≥1时，()21af a >＝，此时()()()22222aaa f ff a ＝，＝，方程恒成立，故选D ．【错因分析】对字母a 的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a －1与1的大小进行探讨，即参数a 的分界点应该有2个，a ＝23或a ＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【试题解析】①当23a <时，()311f a a <＝－，()()331()194f f a a a ＝－－＝－,()3122a f a －＝，显然()()()2f a f f a ≠.②当23≤a <1时，()311f a a ≥＝－，()()()31,31222a a f a ff a －－＝＝，故()()()2a f f f a ＝.③当1a ≥时，()21af a >＝，()()22aff a ＝，()222a af ＝，故()()()2af ff a ＝.综合①②③知a ≥23.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f （x 0）时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A ．(0,3)B ．(]0,3 C ．(0,2)D ．(]0,2【解析】∵()f x 为R 上的减函数，∴1x ≤时，()f x 单调递减，即30a -<，则3a <；1x >时，()f x 单调递减，即0a >,即2a ≤. 综上，a 的取值范围是02a <≤,故选D. 【答案】D对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a 的取值范围是________.【错解】函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a ≥2，即a ≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．【试题解析】因为函数f （x ）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f （x ）的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 所以有－a ＝2，即a ＝－2. 【参考答案】a ＝－2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I .而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数2()6f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是 A ．()4,16 B ．[]4,16 C ．[)16,+∞D ．][(),416,-∞+∞【解析】根据题意，函数2()6f x x kx =--的对称轴为x 2k =， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有2k ≤2或2k≥8， 解可得：k ≤4或k ≥16，即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；故选D ． 【答案】D忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）＝（x －1）x ＋1x －1； （2）f （x ）＝1－x2|x ＋2|－2.【错解】（1）f （x ）＝（x －1）·x ＋1x －1＝x 2－1.∵()()f f x x -，∴f （x ）为偶函数．（2） ()f x -， ∵f （－x ）≠－f （x ）且f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f （x ）进行变形，以利于判定其奇偶性． 【试题解析】（1）由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}， ∵f （x ）定义域关于原点不对称， ∴f （x ）为非奇非偶函数．（2）由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f （x ）＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x，∵()()f x f x x-=--， ∴f （x ）为奇函数．【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．下列函数是奇函数的是 A ．cos y x x =+ B ．3sin y x x =C ．)ln y x =D ．e e x x y -=+【解析】cos11cos(1)1,cos11[cos(1)1]+≠--+≠---，所以A 为非奇非偶函数，33sin [()sin()],x x x x x =--∈R ，所以B 为偶函数，210,,x x x x +->≥∴∈R ())2lnln()ln10x x x ++-==，所以C 为奇函数，()e e e e ,x x x x x ----+=+∈R ，所以D 为偶函数，故选C. 【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找()f x 与()f x -的关系，若()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则函数()f x 为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）12]12＝________.【错解】（1－a）[（a－1）－2·（－a）12 ]12＝（1－a）（a－1）－1·（－a）14＝－（－a）14 .【错因分析】忽略了题中有（－a）12，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]12≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）12知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）12 ]12＝（1－a）（1－a）－1·（－a）14＝（－a）14 .【参考答案】（－a）14在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中12()a-，则必须有－a≥0，即a≤0.5．已知a=b=c=则A．a b c>>B．a c b>>C．b a c>>D．c b a>>【解析】a=b=c=则a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257，c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，又b70＝514＝（57）2＝（78125）2c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，∴a＞b＞c，故选A．【答案】A忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A ．（－∞，5）B ．（2,5）C ．（2，＋∞）D ．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a >0，∴a <5.故选A ．【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数． 【试题解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D ．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则113x y+的最小值是A ．2B ．C ．4D ．【解析】∵lg2x+lg8y＝lg2，∴lg （2x•8y）＝lg2，∴2x +3y＝2，∴x +3y ＝1．∵x ＞0，y ＞0，∴()1111333x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭2323y x x y ++≥+=4，当且仅当x ＝3y 12=时取等号． 故选：C ． 【答案】C复合函数理解不到位出错已知函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，求实数a 的取值范围.【错解】设f （x ）＝x 2－x －a ，则y ＝log 2f （x ），依题意，f （x ）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a <0， ∴a <－14，即a 的范围为（－∞，－14）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y ＝log 2（x 2－x －a ）值域为R 的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f （x ）＝x 2－x －a 的值能够取遍一切正实数．．．．．．．．．时，y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域才为R .而当Δ<0时，f （x ）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f （x ）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f （x ）能取遍一切正实数，作为二次函数，f （x ）图象应与x 轴有交点（但此时定义域不再为R ）．【试题解析】要使函数y ＝log 2（x 2－x －a ）的值域为R ，应使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正数， 要使f （x ）＝x 2－x －a 能取遍一切正实数，应有Δ＝1＋4a ≥0，∴a ≥－14，∴所求a 的取值范围为[－14，＋∞）．【参考答案】[－14，＋∞）．1．求复合函数单调性的具体步骤是： （1）求定义域； （2）拆分函数；（3）分别求y ＝f （u ），u ＝φ（x ）的单调性； （4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y ＝f [g （x ）]及其里层函数μ＝g （x ）与外层函数y ＝f （μ）的单调性之间的关系（见下表）.7．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是 A ．（1，3] B ．（1，3） C ．（0，1）D ．[3，+∞）【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >， 故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a <≤.故选A ．【答案】A不论1a >还是01a <<，都有6t ax =-为减函数，又()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则1a >，这是求解本题的关键.零点存在性定理使用条件不清致误函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0B ．1C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <.所以函数()f x 没有零点，故选A ．【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞【解析】函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩的图象如图：若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选D ． 【答案】D一、函数（1）映射：设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.（2）函数：非空数集A→非空数集B 的映射，其要素为定义域A 、对应关系f ，函数的值域()C C B ⊆. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0； ③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数tan y x =中，x 的取值范围是x ∈R ，且ππ+,2x k k ≠∈Z .求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合． （2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义． （3）复合函数问题：①若f （x ）的定义域为[a ，b ]，f （g （x ））的定义域应由a ≤g （x ）≤b 解出； ②若f （g （x ））的定义域为[a ，b ]，则f （x ）的定义域为g （x ）在[a ，b ]上的值域． [注意] ①f （x ）中的x 与f （g （x ））中的g （x ）地位相同；②定义域所指永远是x 的范围． 二、函数的性质 （1）函数的奇偶性如果对于函数y ＝f （x ）定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-（或()()f x f x -=），那么函数f （x ）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f （x ），若对于任意12x x D ∈,，当12<x x 时，都有12(<)f x f x )( （或12(>)f x f x )(），则称f （x ）在区间D 上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f （x ）是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f （x ）在给定区间（a ，b ）上恒有f ′（x ）>0（f ′（x ）<0），则f （x ）在区间（a ，b ）上是增（减）函数，（a ，b ）为f （x ）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y ＝f （x ），x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得对任意x ∈D ，都有f （x ＋T ）＝f （x ），则函数f （x ）为周期函数，T 为y ＝f （x ）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （或f （x ）≥M ）；②存在0x I ∈，使得()0f x M ＝，那么称M 是函数y ＝f （x ）的最大值（或最小值）． 三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． （2）利用函数图象的变换作图 ①平移变换0,0,()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=-右移个单位长度左移个单位长度， 0,0,()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位长度下移个单位长度. ②伸缩变换101,11,()()y f x y f x ωωωωω<<>=−−−−−−−−−→=横坐标伸长到原来的倍横坐标缩短到原来的倍， 01,1,()()A A A A y f x y Af x <<>=−−−−−−−−−→=纵坐标缩短到原来的倍纵坐标伸长到原来的倍. ③对称变换()()x y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， ()()y y f x y f x =−−−−−→=-关于轴对称， =()(2)x a y f x y f a x =−−−−−−→=-关于直线对称， ()()y f x y f x =−−−−−→=--关于原点对称.四、函数与方程、函数的应用 1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f （x ），我们把使f （x ）＝0的实数x 叫做函数f （x ）的零点． （2）函数的零点与方程根的联系：函数F （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点就是方程f （x ）＝g （x ）的根，即函数y ＝f （x ）的图象与函数y ＝g （x ）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f （a ）·f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ）使得f （c ）＝0, 这个c也就是方程f （x ）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：⇒⇒⇒读题建模求解反馈文字语言数学语言数学应用检验作答与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x--B ．e 1x-+C ．e 1x--- D ．e 1x--+【答案】D【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -， 则当0x <时，0x ->，则()e 1()x f x f x --=-=-， 得()e 1x f x -=-+． 故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．3．函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0πx ∴=、或2π．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3.故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养，直接求出函数的零点可得答案.4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算. 5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦ D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点， 平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法. 7．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )ay x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．已知单调函数()f x ，对任意的x ∈R 都有()26f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，则()2f = A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】C【解析】设()2t f x x =-，则()6f t =，且()2f x x t =+，令x t =，则()236f t t t t =+==，解得2t =，∴()22f x x =+，∴()22226f =⨯+=． 故选C ．【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力．9．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案． 10．函数()exx f x =，关于x 的方程()()()2110fx m f x m -++-=有4个不相等实根，则实数m 的取值范围是A ．22e e(,1)e e-+B ．22e e +1(,)e e-+∞+C ．22e e 1(,1)e e-++D ．22e e (,)e e-+∞+【答案】C【解析】根据题意画出函数()f x 的图象，如图.令()t f x =，原问题等价于关于t 的方程()2110t m t m -++-=有两个根12,t t ，每个t 值对应两个x值，故有两种情况：1201(0,)e t t =⎧⎪⎨∈⎪⎩①；121e 1(0,)e t t ⎧>⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩②.当属于情况①时，将0t =代入()2110t m t m -++-=得到1m =，此时方程()2110t m t m -++-=的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况②时，2221110e e 1, 1.e ee e 10m m m m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩ 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−b， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴b1−b＜0且{−b ＞013(b +1)3−12(b +1)(b +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 12．已知函数()()()ln 2ln 6f x x x =-+-，则A ．()f x 在()2,6上单调递增B ．()f x 在()2,6上的最大值为2ln2C ．()f x 在()2,6上单调递减D ．()y f x =的图象关于点()4,0对称 【答案】B【解析】()()()()()ln 2ln 6ln 26f x x x x x ⎡⎤=-+-=--⎣⎦，定义域为()2,6，令()()26t x x =--，则ln y t = ,二次函数()()26t x x =--的对称轴为直线4x =，所以()f x 在()2,4上单调递增，在()4,6上单调递减，A错，C 也错，D 显然是错误的；当4x =时，t 有最大值，所以()()()max ln 42ln 642ln2f x =-+-=，B 正确．13．已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+,若()12f =，则()()()()1232018f f f f ++++=A ．2018-B ．2C ．0D ．50【答案】B【解析】f （x ）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数， 可得f （﹣x ）=﹣f （x ），f （1﹣x ）=f （1+x ）即有f （x +2）=f （﹣x ），即f （x +2）=﹣f （x ），进而得到f （x +4）=﹣f （x +2）=f （x ），f （x ）是周期为4的函数，若f （1）=2，可得f （3）=f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2，f （2）=f （0）=0，f （4）=f （0）=0，则f （1）+f （2）+f （3）+f （4）=2+0﹣2+0=0， 可得f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2018） =504×0+2+0=2． 故选：B ．14．若函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，则a =__________．【答案】1或1-【解析】令()211e 1x a u x +=-+，根据函数()211e 1x a f x x ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭为偶函数，可知()211e 1xa u x +=-+为奇函数，利用()201010e 1a u +=-=+，可得21a =，所以1a =或1a =-.【名师点睛】该题考查的是根据函数的奇偶性求解参数的值的问题，在解题的过程中，注意对两个奇函数的乘积为偶函数的性质的灵活应用，再者就是在零点有定义的奇函数一定有0所对的函数值为0，得到等量关系式求得结果，也可以应用定义进行求解.解本题时，根据函数()f x 为偶函数，观察其特征，可得()211e 1x a u x +=-+为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点处有定义，则一定有()00u =，从而得到相应的关系式，求得结果.15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数在上是增函数，则a ＝__________．【解析】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意. 16．设函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，()30f =，且()()1g x f x =+为偶函数，则不等式()220g x -<的解集为__________． 【答案】()0,2【解析】易知()f x 的图象向左平移1个单位得到()1f x +的图象，∵()f x 在[1，+∞）上为增函数，∴()1f x +在[0，+∞）上为增函数，即()g x 在[0，+∞）上为增函数，且g （2）=f （2+1）=0， ∵()g x =()1f x +为偶函数，∴不等式g （2﹣2x ）＜0等价于g （2﹣2x ）＜g （2），即g （|2﹣2x |）＜g （2），则|2﹣2x |＜2，即﹣2＜2x ﹣2＜2，即0＜2x ＜4，即0＜x ＜2，所以不等式()220g x -<的解集为（0，2），故答案为（0，2）．【名师点睛】对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x fx =-=，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．17．已知函数()212,632,x x af x x x x a ⎧+>⎪=⎨⎪++≤⎩，函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是__________．()(0,1)xf x a a a =>≠()(14g x m =-[0,)+∞1a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==【答案】1,36⎛- ⎝【解析】函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，就是函数()f x 与y ax =有三个交点，也就是函数y ax =与()232,f x x x x a =++≤的图象有两个交点，y ax =与()12,6f x x x a =+>的图象有一个交点，画出函数()f x 与y ax =的图象如图，函数y ax =，看作直线斜率为a ，由图象可知，1,6a a >小于直线与抛物线相切的斜率，由232y ax y x x =⎧⎨=++⎩，可得()()22320,380x a x a ∆+-+==--=，解得3a =-综上1,36a ⎛∈- ⎝时，函数()f x与y ax =的图象有三个交点，即函数()()g x f x ax =-恰有三个不同的零点，故答案为1,36⎛- ⎝.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .18．记[]x 为不超过x 的最大整数，如[][]2.72, 1.32=-=-，则函数()()[]ln 1f x x x =+-的所有零点之和为__________． 【答案】1e 2e+-【解析】由题意可知：[]1x x x -<≤ . 令()ln(1)(1)g x x x =+--.则()1101g'x x =-<+. 所以()g x 在[)3,+∞上单调递减，有()()3ln420g x g <=-<， 所以()()[]ln 1f x x x =+-在[)3,+∞上无零点，只需考虑：()10ln 11x x -<<⎧⎪⎨+=-⎪⎩，()01ln 10x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()12 ln 11x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩，()23ln 12x x ≤<⎧⎪⎨+=⎪⎩可得三个零点分别为11,e 1,0e--， 故答案为:1e 2e+-． 【名师点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题，属于中档题.研究函数零点(方程根)的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题，交点的横坐标即零点.19．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是__________．【答案】1,34⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根， 要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴13k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素. 20．设函数32()31f x x x ．已知0a ≠，且2()()()()f x f a x b x a ，x R ，则实数a =__________，b =__________．【答案】2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．【思路点睛】先计算()()f x f a ，再将2()()x b x a 展开，进而对照系数可得含有a ，b 的方程组，解方程组可得a 和b 的值．21．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()()44f x f x f x =-=-，当[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，则函数()()()2log 1g x f x x =--的零点个数为__________． 【答案】512 【解析】定义在R 上的函数()f x ，满足()()44f x f x -=-，∴()f x 为R 上的偶函数，因为()f x 满足()()4f x f x -=，∴函数()f x 为周期为4的周期函数，且为R 上的偶函数， 因为[]0,2x ∈时，()31xf x x =+-，所以，在[]0,2上()f x 递增，且值域为[]0,10，根据周期性及奇偶性画出函数()y f x =的图象和()2log 1y x =-的图象，如图，易知()2log 1y x =-的图象在()2,+∞上单调递增，且当1025x =时，2log 102510=， 当1025x >时，()2log 1y x =-的图象与函数()y f x =的图象无交点， 结合图象可知有512个交点，故答案为512.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22．在直角坐标系xOy 中，如果相异两点(),A a b ，(),B a b --都在函数()y f x =的图象上，那么称A ，B 为函数()f x 的一对关于原点成中心对称的点（A ，B 与B ，A 为同一对）函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有_______________对关于原点成中心对称的点． 【答案】3【解析】()y f x =关于原点的对称图象的解析式为()y f x =--，因此()f x 关于原点对称的点的个数实际上就是()()f x f x =--在()0,+∞上解的个数． 又当0x >时，()sin2f x x π--=，考虑sin 2y x π=与6log y x =在()0,+∞上的图象的交点的个数．如下图所示，它们有3个公共点，从而函数()6sin ,02log ,0x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上有3对关于原点成中心对称的点．23．已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是__________． 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤，化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.。

高考专题训练十三 推理与证明班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2020·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72020的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543…由此可知数列{7n＋1}的每项末两位数字每隔4项出现一项循环，又2020＝(4×502＋2)＋1， ∴72020的末两位数字为43.答案：B2．(2020·郑州市高中毕业班质量预测)已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <bc ＋a，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由已知得c (b ＋c )<a (a ＋b )，a (c ＋a )<b (b ＋c )，即(c －a )(a ＋b ＋c )<0，(a －b )(a ＋b ＋c )<0.又a ＋b ＋c >0，因此有c －a <0，a －b <0，故c <a <b ，选A.答案：A3．(2020·四川省绵阳市高三诊断性测试)记a ＝sin(cos2020°)，b ＝sin(sin2020°)，c ＝cos(sin2020°)，d ＝cos(cos2020°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：注意到2020°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2020°＝－sin30°＝－12，cos2020°＝－cos 30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>d＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0，因此选C. 答案：C4．(2020·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( )A ．|b －a ＋1c －b|≥2 B ．a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 4＋b 4＋c 4C ．b 2>ac D ．|b |－|a |≤|c |－|b |解析：设等差数列a ，b ，c 的公差为d (d ≠0)，则|b －a ＋1c －b |＝|d ＋1d |＝|d |＋|1d|≥2 |d |×1|d |＝2，因此A 成立；b 2－ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－ac ＝a －c 24>0，因此C 成立；由2b ＝a＋c 得|2b |＝|a ＋c |≤|c |＋|a |，即|b |－|a |≤|c |－|b |，因此D 成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，a 3b ＋b 3c ＋c 3a ＝53，a 4＋b 4＋c 4＝98，此时B 不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2020·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2020·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2020·南昌一模)观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n28．(2020·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________________________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝09．(2020·苏北四市调研(三))已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．解析：将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，则内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2.答案：R 2tan α210．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a t ＝6a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以当n＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41.答案：41三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n －2S n ＝1，数列{b n }满足b n ＝2log12a n ，n ∈N *.(1)求函数{a n }的通项公式a n 与{b n }的前n 项和T n ； (2)设数列{b n a n}的前n 项和为U n ，求证：0<U n ≤4.解：(1)易得a 1＝12.当n ≥2时，4a n －2S n ＝1， ① 4a n －1－2S n －1＝1， ② ①－②得2a n －4a n －1＝0⇒a n ＝2a n －1， ∴a na n －1＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以a 1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －2，a 1＝12也适合此式，故a n ＝2n －2.从而b n ＝4－2n ，其前n 项和T n ＝－n 2＋3n .(2)证明：∵{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，b n a n ＝4－2n2n －2.∴U n ＝212＋01＋－22＋…＋6－2n 2n －3＋4－2n2n －2， ③12U n ＝21＋02＋－222＋…＋6－2n 2n －2＋4－2n2n －1， ④ ③－④得12U n ＝4－21－22－222－…－22n －2－4－2n 2n －1，∴U n ＝4n2n －1.易知U 1＝U 2＝4，当n ≥3时，U n －U n －1＝2－n2n －3<0，∴当n ≥3时，数列{U n }是递减数列， ∴0<U n ≤U 3＝3. 综上，0<U n ≤4.12．(13分)在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝3，且数列{a n ＋1＋a n }是公比为2的等比数列，数列{a n ＋1－2a n }是公比为－1的等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1<32k ＋1；(3)求证：当n ∈N *时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n<1.解：(1)依题意有a n ＋1－2a n ＝(a 2－2a 1)(－1)n －1＝3(－1)n ，a n ＋1＋a n ＝(a 2＋a 1)·2n －1＝3·2n ，两式相减有a n ＝2n＋(－1)n ＋1，n ∈N *.(2)证明：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1＝12k ＋1＋12k ＋1－1＝3·2k22k ＋1＋2k －1<32k ＋1.(3)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1＋1a 2n <322＋324＋…＋322n ＝1－14n <1，n ∈N *.。

§12.3算法与程序框图1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a ．UNTIL 语句b ．WHILE 语句题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．( × ) (3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( × )(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( √ ) (5)5＝x 是赋值语句．( × )(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．( √ )题组二 教材改编2．[P30例8]执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 按照程序框图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin5π6＝12.3．[P25例5]如图为计算y＝|x|函数值的程序框图，则此程序框图中的判断框内应填．答案x<0?解析输入x应判断x是否大于等于零，由图知判断框应填x<0？.题组三易错自纠4．(2016·全国Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12 C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C.5．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？答案 C解析 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填“s ≤1112？”．6．运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是 ．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1； 当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．题型一 算法的基本结构1．(2017·厦门质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )A ．2B ．7C ．8D ．128 答案 C解析 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.2．(2017·全国Ⅲ)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下： t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是N 的最小值． 故选D.3．(2016·全国Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1， x 2＋y 2<36；第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量：①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . ③累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .题型二 程序框图的识别与完善命题点1 由程序框图求输出结果典例 (1)(2017·全国Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，则输出的S 等于( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 B解析当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7＞6，输出S＝3.结束循环．故选B.(2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为()A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0答案 D解析当x＝7时，∵b＝2，∴b2＝4＜7＝x.又7不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＞7＝x，∴退出循环，a＝1，∴输出a＝1.当x＝9时，∵b＝2，∴b2＝4＜9＝x.又9不能被2整除，∴b＝2＋1＝3.此时b2＝9＝x，又9能被3整除，∴退出循环，a＝0.∴输出a＝0.故选D.命题点2完善程序框图典例(2017·全国Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入()A．A>1 000？和n＝n＋1B．A>1 000？和n＝n＋2C．A≤1 000？和n＝n＋1D．A≤1 000？和n＝n＋2答案 D解析因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以▭内填入“n＝n＋2”．由程序框图知，当◇内的条件不满足时，输出n，所以◇内填入“A≤1 000？”．故选D.命题点3辨析程序框图的功能典例如果执行如图的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则()A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 答案 C解析 不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3， 则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3， 故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.思维升华 (1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果． (2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．跟踪训练 (2018·唐山模拟)根据下面的程序框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1答案 C解析 由程序框图可知，第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C.题型三 基本算法语句典例 (2017·宜春模拟)如图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2＋4n (n ∈N *)的项，则所得y 值的最小值为( )A ．4B ．9C ．16D ．20答案 C解析 由条件语句，知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <5，5x ，x ≥5.又n 2＋4n ＝n ＋4n ≥4(当且仅当n ＝2时等号成立)，所以当x ＝4时，y 有最小值42＝16.思维升华 解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．跟踪训练 (2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S ＝ .答案 7解析 I ＝1，S ＝1；S ＝1＋2＝3，I ＝1＋3＝4＜8； S ＝3＋2＝5，I ＝4＋3＝7＜8； S ＝5＋2＝7，I ＝7＋3＝10＞8. 退出循环，故输出S ＝7.程序框图中变量的取值典例 执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A 等于( )A．2 047 B．2 049 C．1 023 D．1 025现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．(2016·全国Ⅲ)执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2016·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v 的值为()A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.3．(2017·天津)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析 第一次循环执行条件语句，此时N ＝24,24能被3整除，则N ＝24÷3＝8. ∵8≤3不成立，∴进入第二次循环执行条件语句，此时N ＝8,8不能被3整除，则N ＝8－1＝7. ∵7≤3不成立，∴进入第三次循环执行条件语句，此时N ＝7,7不能被3整除，则N ＝7－1＝6. ∵6≤3不成立，∴进入第四次循环执行条件语句，此时N ＝6,6能被3整除，则N ＝6÷3＝2. ∵2≤3成立，∴此时输出N ＝2. 故选C.4．(2017·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53 D.85答案 C解析 开始：k ＝0，s ＝1； 第一次循环：k ＝1，s ＝2； 第二次循环：k ＝2，s ＝32；第三次循环：k ＝3，s ＝53，此时不满足循环条件，输出s ，故输出的s 值为53.故选C.5．(2018·南宁质检)已知实数x ∈{1,2,3,4,5,6,7,8}，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于121的概率为( )A.34B.58C.78D.12 答案 B解析 由题意可知，当输入x ＝1时，进入循环体，输出x ＝40；当输入x ＝2时，进入循环体，输出x ＝67；当输入x ＝3时，进入循环体，输出x ＝94；当输入x ≥4时，输出的x 均不小于121，因此输出的x 不小于121的概率为58.6．(2018·佛山模拟)如图，若依次输入的x 分别为5π6，π6，相应输出的y 分别为y 1，y 2，则y 1，y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法确定答案 C解析 由程序框图可知，当输入的x 为5π6时，sin 5π6>cos 5π6成立，所以输出的y 1＝sin 5π6＝12； 当输入的x 为π6时，sin π6>cos π6不成立，所以输出的y 2＝cos π6＝32，所以y 1<y 2.7．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为 ．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.9．(2017·江苏)如图是一个程序框图，若输入x 的值为116，则输出y 的值是 ．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.故输出y 的值为－2.10．(2017·安徽江南名校联考)某程序框图如图所示，判断框内为“k ≥n ？”，n 为正整数，若输出的S ＝26，则判断框内的n ＝ .答案 4解析 依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26.因此当输出的S ＝26时，判断框内的条件n ＝4.11．如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 ．答案 3解析 由x 2－4x ＋3≤0，解得1≤x ≤3.当x ＝1时，满足1≤x ≤3，所以x ＝1＋1＝2，n ＝0＋1＝1； 当x ＝2时，满足1≤x ≤3，所以x ＝2＋1＝3，n ＝1＋1＝2； 当x ＝3时，满足1≤x ≤3，所以x ＝3＋1＝4，n ＝2＋1＝3； 当x ＝4时，不满足1≤x ≤3，所以输出n ＝3.12．(2017·西安模拟)执行如图所示的程序框图，如果输出S ＝3，那么判断框内应填入的条件是 ．答案 k ≤7?解析 首次进入循环体，S ＝1×log 23，k ＝3；第二次进入循环体，S ＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2，k ＝4；依次循环，第六次进入循环体，S ＝3，k ＝8， 此时结束循环，则判断框内填k ≤7？.13．(2018·泉州模拟)下面程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．14 答案 B解析 由题知，若输入a ＝14，b ＝18，则 第一次执行循环结构时，由a ＜b 知，a ＝14，b ＝b －a ＝18－14＝4； 第二次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝14－4＝10，b ＝4； 第三次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝10－4＝6，b ＝4； 第四次执行循环结构时，由a ＞b 知， a ＝a －b ＝6－4＝2，b ＝4；第五次执行循环结构时，由a ＜b 知， a ＝2，b ＝b －a ＝4－2＝2；第六次执行循环结构时，由a ＝b 知，输出a ＝2，结束． 故选B.14．阅读下面的程序，当分别输入实数x ＝3和x ＝0时，其输出的结果是 ．答案3－2和0解析 由程序可知，它解决的是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，2x ，x ≤1的函数值问题，显然，当x ＝3时，y ＝3－2；当x ＝0时，y ＝0.故输出的结果是3－2和0.15．(2016·山东)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为 ．答案 3解析 第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ；第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3.16．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝ .答案 495解析 取a 1＝815，则b 1＝851－158＝693≠815，则a 2＝693；由a 2＝693知b 2＝963－369＝594≠693，则a 3＝594；由a 3＝594知b 3＝954－459＝495≠594，则a 4＝495；由a 4＝495知b 4＝954－459＝495＝a 4，则输出b ＝495.17．(2018·太原模拟)关于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b ]，则输出的区间是 ．答案 [0,1]解析 由程序框图的第一个判断条件为f (x )>0，当f (x )＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x )＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．18．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为 ．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.19．(2018·沈阳质检)以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是 ；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为 ．答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15.(2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则，即x ＝3，y ＝2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.20．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0172 018，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是 ．(填序号)①n ≤2 017?②n ≤2 018? ③n >2 017?④n >2 018?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0，得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ， 即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 由1－1n ＋1>2 0172 018，得n >2 017. 故可填入②.。

复数运算问题的解题思路『对接训练』．A＝2＋1A．A＝1＋1 2A执行下边的程序框图，如果输入的)本题主要考查含有当型循环结构的程序框图，考查考生的推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理．(1)求输出结果的题目，要认清输出变量是什么，『对接训练』本题主要考查程序框图，考查考生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算和逻辑推理．s＝2×13×1－2＝2；k，跳出循环．输出的s＝2.]如图所示的程序框图的功能是＋…－119的值＋…＋119的值＋…＋121的值＋…＋121的值，S＝0；S＝1，合情推理的解题思路『对接训练』，所以执行程序框图，第一次执行循环体后，；第二次执行循环体后，，S ＝34，i ＝4>3，退出循环．所以输出执行程序框图，得K ＝1，S ＝0；S ＝，K ＝3；S ＝lg 3＋lg 3＋…；S ＝lg 98＋lg 98＋198)或 3D．－1或 3模拟执行程序框图，可得S＝0，k16；k＝8，S＝12＋14时应不满足条件，退出循环，输出S的值为25答案：C11．[2019·重庆云阳联考]甲、乙两人均知道丙从集合A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}中取出了一个数对，设其为P点坐标，丙告诉了甲P点的横坐标，告诉了乙P点的纵坐标，然后甲先说：“我无法确定点P的坐标”，乙听后接着说：“我本来也无法确定点P的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点P 的坐标为()A．(3,4) B．(3,5)C．(5,2) D．(5,5)解析：∵横坐标为1或2或4的点唯一，甲知道横坐标但不能确定点P，∴横坐标不是1或2或4.乙得知甲不能确定点P，乙可确定点P横坐标不是1或2或4，若乙知道点P纵坐标为3或4或5，则它们分别对应两个坐标，无法确定P点坐标，只有乙知道P点纵坐标为2时，才能确定P点坐标为(5,2)，故选C.答案：C12．[2019·东北三省四校一模]执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5，记第一次输出的a的值为a1，第二次输出的a的值为a2，则a1－a2＝()A．2 B．1C．0 D．－1解析：当输入x的值为4时，不满足b2>x，但是满足x能被b整除，输出a＝0＝a1；当输入x的值为5时，不满足b2>x，也不满足x 能被b整除，故b＝3；满足b2>x，故输出a＝1＝a2.则a1－a2＝－1，故选D.答案：D13．[2019·广西南宁摸底]用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一个能被11整除．”那么反设的内容是________．解析：用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b本题主要考查算法流程图，考查考生的读图能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．，S＝12，不满足条件；，不满足条件；x＝4，S＝北京朝阳区模拟]观察下列各式：，S4＝4，…，则S16＝________.解析：将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1个全行(第1行除外)的数都为1的是第2行，第2个全行的数都为1的是第4行，第3个全行的数都为1的是第8行……由此可知全是奇数的行出现在行数为2n时，故第n个全行的数都为1的是第2n行，24＝16，则第16行全部为1，则S16＝16.答案：16。

10不等式、推理与证明考纲原文（十三）不等式1．不等关系认识现实世界和平常生活中的不等关系，认识不等式（组）的本质背景.2．一元二次不等式（ 1）会从本质情境中抽象出一元二次不等式模型.（ 2）经过函数图像认识一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（ 3 ）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（ 1 ）会从本质情境中抽象出二元一次不等式组.（ 2 ）认识二元一次不等式的几何意义，能用平面地域表示二元一次不等式组.（ 3 ）会从本质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）认识基本不等式的证明过程 .（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（ 1 ）认识合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，认识合情推理在数学发现中的作用. （ 2 ）认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）认识合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（ 1）认识直接证明的两种基本方法——解析法和综合法；认识解析法和综合法的思虑过程、特点.（ 2）认识间接证明的一种基本方法——反证法；认识反证法的思虑过程、特点.3．数学归纳法认识数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.这部分内容与2018 考纲对照没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向以下:不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（ 2）解答题中平常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或相关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.推理与证明的命题方向为：（ 1）选择题或填空题中常将相关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（ 2）解答题中平常以其他知识为主，经过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上.考向一解不等式样题 1 （ 2018 新课标全国Ⅲ理科）设 a log 0.3 ， b log 2 0.3 ，则A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵ a log 0.3 ， b log 2，，，, 即，又，，即，应选 B.考向二一元二次不等式的解法样题 2（2018新课标全国Ⅰ理科）已知会集，则e R AA．B．C．D．【答案】 B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，应选 B．样题 3若不等式的解集为, 则不等式的解集为A．或B．C．D．或【答案】 B考向三目标函数的最值问题样题4（2018新课标I理科）若x，y满足拘束条件，则z 3x 2 y 的最大值为_____________ ．【答案】 6【解析】依照题中所给的拘束条件，画出其对应的可行域，以下列图：由 z 3x 2 y 可得，画出直线y3 x ，将其上下搬动，结合z 的几何意义，可知2 2当直线过点 B 时， z 获取最大值，由，解得 B 2,0 ，此时，故答案为 6.【名师点睛】该题观察的是相关线性规划的问题，在求解的过程中，第一需要正确画出拘束条件对应的可行域，此后依照目标函数的形式，判断z 的几何意义，此后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，依照不同样的形式，应用相应的方法求解.样题 5 已知 x, y 满足，则的取值范围是A．121,81 B．121,732 2C．65,73 D．65,81【答案】 A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数表示点 P 3, 4与可行域内点的距离的平方，点P到直线x y 4 的距离：，点 P 到坐标原点的距离加上半径：，则目标函数的取值范围是121 ,81 . 应选 A．2考向四利用线性规划解决实责问题样题 6某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 4 吨，丙染料 2 吨，生产每吨产品，需要甲染料 1 吨，乙染料0 吨，丙染料 5 吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不高出50 吨、 160 吨和 200 吨，若是产品的利润为300 元 / 吨，产品的利润为200 元 / 吨，则该颜料公司一天之内可获取的最大利润为A．14000 元B． 16000 元C．16000 元D． 20000 元【答案】 A【解析】依题意，将题中数据统计以下表所示：设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依照题意得目标函数为，拘束条件为, 欲求目标函数的最大值，先画出拘束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当搬动该直线过点时，获取最大值，则也获取最大值（也可经过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品 40 吨，产品10吨时，才可获取最大利润，为14000 元 . 选 A．考向五推理样题 7 （ 2017 新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师咨询成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位优秀，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．依照以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】 D考向六数学归纳法样题 8设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－ a n x－ a n=0有一根为 S n－1( n∈N*)．（1）求a1，a2；（2）猜想数列 { S n} 的通项公式，并给出证明．【解析】（ 1）当n=1 时，方程x2－ a1x－ a1=0有一根为 S1－1=a1－1，2 1∴( a1－ 1) －a1( a1 －1) － a1=0，解得 a1=2.当n=2时，方程 x2－ a2x－a2=0有一根为 S2－1=a1+a2－1=a2－1，2∴ a2－ 1 2－2 a2－1 － 2 ，解得 212 a 2 a =0 a =6.下面用数学归纳法证明这个结论．①当 n =1 时，结论成立．*k②假设 n =k ( k ∈ N ， k ≥1) 时结论成立，即 S k =k ＋ 1，1 1k ＋ 1 k 1 .当 n = k +1 时， S =2－ S k =k =k ＋ 2=(k 1) 1k+12－k ＋ 1即当 n =k +1 时结论成立．n由①②知 S n =n ＋ 1对任意的正整数 n 都成立．。

专题13 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入易错点1 忽略判断框内的条件阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S的值为.【错解】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋28＋1＋2＋3＋…＋8=546，故输出S的值为546.【错因分析】解题过程错在循环是在k=10终止，而不是在k=9时终止，所以循环体最后一次执行的是S=S ＋29＋9.【试题解析】依题意，该程序框图的任务是计算S=21＋22＋23＋…＋29＋1＋2＋…＋9=1067，故输出S的值为1067.【参考答案】1067【警示】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明晰循环结构程序框图的真正含义，对于本题，要认清程序框图运行的次数.1. 注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.2. 注意条件结构与循环结构的联系：对于循环结构有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.1．执行如图所示的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】阅读流程图，初始化数值1,1,0a k S =-==. 循环结果执行如下：第一次：011,1,2S a k =-=-==； 第二次：121,1,3S a k =-+==-=； 第三次：132,1,4S a k =-=-==； 第四次：242,1,5S a k =-+==-=； 第五次：253,1,6S a k =-=-==； 第六次：363,1,7S a k =-+==-=， 结束循环，输出3S =.故选B.【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.易错点2 误将类比所得结论作为推理依据已知111222,,,,,a b c a b c 都是非零实数,不等式221112220,0a x b x c a x b x c ++<++<的解集分别为M ,N ,则“111222a b c a b c ==”是“M =N ”成立的条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一种).【错解】由111222a b c a b c ==知两个不等式同解,即“111222a b c a b c ==”是“M =N ”成立的充要条件. 【错因分析】错解将方程的同解原理类比到不等式中,忽略了不等式与等式的本质区别.【试题解析】当111222a b c a b c ==时，可取1112221,1a b c a b c ======-,则,M N =∅=R , 故111222=/a b c M N a b c ==⇒; 当M N ==∅时，可取1112221,1,2,3a b c a b c ======，则111222a b c a b c ≠≠，即111222=/a b c M N a b c ⇒==. 综上知“111222a b c a b c ==”是“M =N ”成立的既不充分又不必要条件. 【参考答案】既不充分又不必要条件类比推理是不严格的,所得结论的正确与否有待用实践来证明,解题时若直接使用类比所得结论进行推理则容易出现错误.2．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出，“割之弥细，所失弥少，制之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++L “…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，2x x +=确定出来2x =，类比上述结论可得222log 2log (2log ()[]2)+++L 的正值为 A ．1 B 2C ．2D ．4【答案】C【解析】由题意可得2log (2)x x =+，0x >，∴22x x =+，解得2x =，故选C.易错点3 小前提错误判断函数||2x y =的单调性．【错解】指数函数(1)xy a a =>是增函数，而||2x y =是指数函数，所以函数||2x y =是增函数．【错因分析】错解中的小前提“||2x y =是指数函数”是错误的，函数||2x y =不是指数函数，而是一个分段函数，在每一个分段区间上是指数函数，并且底数的取值不同，要对单调性进行讨论．【试题解析】对于指数函数xy a =，当1a >时是增函数，当01a <<时是减函数，故当[0,)x ∈+∞时，||22x x y ==是增函数；当(,0]x ∈-∞时，||12()2x x y ==是减函数．演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的小前提.3．矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中 A ．推理形式错误 B ．小前提错误C ．大前提错误D ．结论错误【答案】C【解析】矩形的对角线不是垂直的, 正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了错误.【名师点睛】本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键.易错点4 反证法误区——推理中未用到结论的反设已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0,用反证法证明:关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根.【错解】假设方程22250x x p -+-=有实数根，由已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0，解得122p -<<-，而关于x 的方程22250x x p -+-=的根的判别式24(4)p ∆=-.∵122p -<<-,∴2144<p <，∴∆<0,即关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根.【错因分析】错解在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法.【试题解析】假设方程22250x x p -+-=有实数根，则该方程的根的判别式24(4)0p ∆=-≥，解得2p ≥或2p ≤- ①,而由已知实数p 满足不等式(2p +1)(p +2)<0，解得122p -<<-②. 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立，从而关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根.利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60︒，反证假设正确的是A ．假设三内角都大于60︒B ．假设三内角都不大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒【答案】B【解析】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60︒不成立，即假设三内角都不大于60︒，故选B.【名师点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.易错点5 对复数的相关概念不理解出错设复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模为3，则（a ＋b i ）（a －b i ）= .【错解】复数a ＋b i 22=3a b +则a 2＋b 23又（a ＋b i ）（a －b i ）=a 2－b 2i 2=a 2＋b 23故（a＋b i ）（a －b i ）3【错因分析】上述的解题过程对复数模的运算处出现了一个简单的失误，对于复数z =a ＋b i 的模|z |22a b +故应为a 2＋b 2=3.【试题分析】复数a ＋b i （a ，b ∈R 22=3a b +，则a 2＋b 2=3，则（a ＋b i ）（a －b i ）=a 2－（b i ）2=a 2－b 2i 2=a 2＋b 2=3. 【参考答案】3复数的运算过程中要注意灵活运用复数的概念及运算法则.如本例中模的计算要两边同时平方而得出正确结论.1. 判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.3. 两个虚数不能比较大小.4. 利用复数相等a ＋b i =c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.5. 注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z 1，z 2∈C ，2212+z z =0，就不能推出z 1=z 2=0；z 2<0在复数范围内有可能成立.5．已知复数12i3iz +=-（其中i 为虚数单位），则||z =A ．2B ．12C D 【答案】A【解析】12i (12i)(3i)17i 3i (3i)(3i)10z ++++===--+，∴||z ==，故选A. 【名师点睛】首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．一、算法初步1. 在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普遍性.2. 在画算法框图时首先要进行结构的选择.若所要解决的问题不需要分情况讨论，只用顺序结构就能解决；若所要解决的问题要分若干种情况讨论时，就必须引入选择结构；若所要解决的问题要进行许多重复的步骤，且这些步骤之间又有相同的规律时，就必须引入变量，应用循环结构.3. 循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，主要解决需要反复执行的任务，用循环语句来编写程序.4. 关于赋值语句，有以下几点需要注意：（1）赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m 是错误的.（2）赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y =x ，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.（3）在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.二、推理与证明1．常见的类比、归纳推理及求解策略（1）在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．（2）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法. 2．利用综合法、分析法证明问题的策略（1）综合法的证明步骤如下：①分析条件,选择方向：确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等；②转化条件,组织过程：将条件合理转化,书写出严密的证明过程.特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程.（2）分析法的证明过程是：确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可.（3）实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径.3．用反证法证明不等式要把握的三点（1）必须先否定结论，即肯定结论的反面．（2）必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证.（3）推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的.4．反证法的一般步骤用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.这个过程包括下面三个步骤:（1）反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真;（2）归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾;（3）存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立.即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真.三、数系的扩充与复数的引入1. 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2. 在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.3. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合及平面向量是一一对应关系，即4. 复数运算常用的性质：（1）①（1±i ）2=±2i ；②1i =1i +-i ，1i=1i-+-i.（2）设ω=12-，则①|ω|=1；②1＋ω＋ω2=0；③ω=ω2. （3）i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3=0（n ∈N *）.1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】设3i12iz -=+，则||z =A ．2BCD ．1【答案】C【分析】先由复数的除法运算（分母实数化）求得z ，再求||z 即可．【解析】方法1：由题可得(3i)(12i)17i (12i)(12i)55z --==-+-，所以||z ==C ．方法2：由题可得|3i ||||12i |z -====+，故选C ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算、复数模的计算，是基础题．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设)i i (2z =+，则z = A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -D ．12i --【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念写出z 即可． 【解析】由题可得2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12i z =--，故选D ．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数，是容易题，注重对基础知识、基本计算能力的考查．其中，正确理解概念、准确计算是解答此类问题的关键，部分考生易出现理解性错误． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】D【解析】由题可得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【名师点睛】本题考查复数的除法的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．4．设i 为虚数单位，复数z 满足(1z +=2(i)，则共轭复数z 的虚部为A B ．CD ．【答案】C【分析】根据条件求出复数z ，然后再求出共轭复数z ，从而可得其虚部．【解析】∵2(1(i)2z +==-，∴1z ===-，∴1z =-+，∴复数z ．故选C ．【名师点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数z 是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了2i 1=-．5．已知复数z 满足||z =2z z +=（z 为z 的共轭复数）（i 为虚数单位）则z =A ．1i +B ．1i -C ．1i +或1i -D ．1i -+或1i --【答案】C【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，2z z a +=，所以22222a b a ⎧+=⎨=⎩，得11a b =⎧⎨=±⎩，所以1i z =+或1i z =-．故选C ．6．已知i 为虚数单位,且(1+i)z =−1,则复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】∵(1+i)z =−1,∴z =−11+i =−12+12i , z 对应的点是(−12,12),复数z 对应的点位于第二象限. 故选B. 7．复数()2ii 12i m A B m A B -=+∈+R 、、，且0A B +=，则m 的值是 A ．23- B ．23CD ．2【答案】A【解析】因为()2ii 12im A B m A B -=+∈+R 、、，所以()()2i i 12i m A B -=++，即()2i 22i m A B A B -=-++，由此可得222A B A B m -=⎧⎨+=-⎩，结合0A B +=可解之得232323A B m ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩. 故应选A. 8．下面关于复数z =2−1−i的四个命题:p 1:|z|=2;p 2:z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1); p 3:z 的虚部为-1; p 4:z 2=−2i , 其中的真命题是A．p2,p3B．p1,p2C．p2,p4D．p3,p4【答案】C【解析】z=2−1−i=−1+i,则p1:|z|=√2;p2:z的共轭复数z̅=−1−i在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1); p3:z的虚部为1;p4:z2=−2i.故真命题是p2,p4.故选C．9．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．12AA=+B．12AA=+C．112AA=+D．112AA=+【答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【解析】初始：1,122A k==≤，因为第一次应该计算1122+=12A+，1k k=+=2；执行第2次，22k =≤，因为第二次应该计算112122++=12A+，1k k =+=3， 结束循环，故循环体为12A A=+，故选A ． 【秒杀速解】认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+． 10．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<L 满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-L ，故选C ．【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 11．【2019年高考天津卷文数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．29【答案】B【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果即可．【解析】1,2S i ==；11,1225,3j S i ==+⨯==；8,4S i ==，结束循环，输出8S =．故选B ．【名师点睛】解答本题要注意要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 12．【2019年高考北京卷文数】执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可． 【解析】初始：1s =，1k =，运行第一次，2212312s ⨯==⨯-，2k =，运行第二次，2222322s ⨯==⨯-，3k =，运行第三次，2222322s ⨯==⨯-，结束循环，输出2s =，故选B ．【名师点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．13．习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…来源于<乾坤谱>中对<易传>“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图,输入m =10,则输出的S = A ．100 B ．140 C ．190D ．250【答案】C【解析】由题意得,程序的功能是计算当输入m =10时,S 的值,S =12−12+222+32−12+42−12+⋯+92−12+1022．计算可得S =12(8+24+48+80)+12(4+16+36+64+100)=190. 故选C ．14．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的ε为0．01，则输出s 的值等于A ．4122- B ．5122-C ．6122-D ．7122-【答案】C【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果． 【解析】输入的ε为0.01，11,01,0.01?2x s x ==+=<不满足条件；1101,0.01?24s x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<L 满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S =+++=⨯-=-L ，故选C ．【名师点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析．15．宋元时期数学名著<算学启蒙>中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b 分别为5,2,则输出的n =A ．2B ．3C ． 4D ．5【答案】C【解析】由题可得,因为a =5,b =2,有n =1,a =5+52=152,b =4.因为152≤4不成立,所以n =2,a =152+154=454,b =8,因为454≤8不成立,所以n =3,a =454+458=1358,b =16,因为1358≤16不成立,所以n =4,a =1358+13516=40516,b =32.因为40516≤32成立,所以输出n =4.故选C ．16．用秦九韶方法求多项式f(x)=12+35x −8x 2+79x 3+6x 4+5x 5+3x 6在x =−4的值时,v 2的值为A ．34B ．220C ．-845D ．3392【答案】A【解析】因为f (x )=((((((3x +5)x +6)x +79)x −8)x +35)x +12,因为x =−4,所以v 0=3,v 1=−7,v 2=34. 故选A ．17．【2019年高考全国I 卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B综上，169.89<<178.22AD .故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则262611052x x y +==+，得42.07cm, 5.15cm x y ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm ．故选B ．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．18．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如6613用算筹表示就是,则1227用算筹表示为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得千位的1用算筹表示为“一”.故选B．19．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的.成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知俩人获奖，则获奖的是A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁【答案】D【解析】乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可知矛盾，故乙、丁的预测不成立，从而获奖的是乙和丁，故选D.【名师点睛】本题考查了逻辑推理能力，假设法是解决此类问题常用的方法.20．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是A．甲没过关B．乙没过关C．丙过关D．丁过关【答案】B【解析】因为甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有两人过关,两不过关,又因为,丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁,根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关,不过关的可能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁,结合以上六种情况,同时成立的是乙丁不过关,所以一定正确的结论是乙没过关.故选B ．21．用反证法证明命题“已知x ，y ∈N *，如果xy 可被7整除，那么x ，y 至少有一个能被7整除”时，假设的内容是A ．x y ，都不能被7整除B ．x y ，都能被7整除C ．x y ，只有一个能被7整除D ．只有x 不能被7整除 【答案】A【解析】用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x y ，至少有一个能被7整除”的否定是“x y ，都不能被7整除”．故选A.【名师点睛】此题考查量词的否定.至少有一个的否定是一个也没有，因此此题假设内容为都不能. 22．在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排6人的座位,使他们在如图所示的6个椅子中就坐,且相邻座位(如1与2,2与3)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这6人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在1号位置上,则4号位置上坐的是A ．小方B ．小张C ．小周D ．小马 【答案】A 【解析】由题可得,因为小林坐在1号位置上,根据相邻座位的人有共同的体育兴趣爱好,所以2号位置上坐小马的话,则3号位置只能坐小李,所以6号位置只能坐小张,所以4号位要与3、5号位置有共同的兴趣爱好,则只能是小方.故选A ．23．下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为A ．120B ．163C ．164D ．165 【答案】C【解析】考查每行第二个数组成的数列：2,3,4,5L ，归纳推理可知其通项公式为1n b n =+， 其前8项和887821442B ⨯=⨯+⨯=； 每行第三个数组成的数列：1,3,6,10L ，归纳推理可知其通项公式为()()21122n n n c n n +==+， 其前8项和()()()88812818181120262C ⎡⎤⨯+⨯⨯++⨯=⨯+=⎢⎥⎣⎦， 据此可得题中数列前16项的和为12044+=164.本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.24．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________.【答案】2【解析】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为2018=4504+2⨯，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.25．“求方程(35)x +(45)x =1的解”有如下解题思路:设f(x)=(35)x +(45)x ,则f(x)在R 上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x =2.类比上述解题思路,不等式x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2的解集是 ．【答案】(−∞,−1)∪(2,+∞)【解析】x 6−(x +2)>(x +2)3−x 2可化为x 6+x 2>(x +2)3+(x +2)，构造函数f (x )=x 3+x ，则f(x)在R 上单调递增，所以原不等式等价于f (x 2)>f(x +2)，则x 2>x +2，所以x <−1或x >2，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞). 26．观察下列式子，1ln 23>，11ln 335>+，111ln 4357>++，……，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________．【答案】()111ln 13521n n +>++++L L 【解析】根据题意，对于第一个不等式，1ln 23>，则有()1ln 11211+>⨯+， 对于第二个不等式，11ln 335>+，则有()11ln 213221+>+⨯+， 对于第三个不等式，111ln 4357>++，则有()111ln 3135231+>++⨯+， 依此类推：第n 个不等式为：()111ln 13521n n +>++++L L ， 故答案为：()111ln 13521n n +>++++L L ． 【名师点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．27．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有__________．①若4n =，则甲有必赢的策略；②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略；④若9n =，则甲有必赢的策略.【答案】①②④【解析】先证明以下事实： 当遇到盒中球数为3、4、5时，先拿者有必赢的策略.证明：不妨设甲先拿，因为最后为一个球，所以当球数为3时，甲先拿1个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.当球数为4时，甲先拿2个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.当n =5时，甲先拿3个即可赢，即当球数为5时，甲先拿3个，乙只能拿一个，最后甲拿1个赢.证完.由已证命题可知①正确.当n =6时，无论甲先拿几个球皆输.因为若甲先拿1个，则还剩5个，据上述命题这时乙有必赢的策略；若甲先拿2个，则还剩4个，据上述命题这时乙有必赢的策略；若甲先拿3个，则还剩3个，据上述命题这时乙有必赢的策略.所以②正确.当n =7时，乙不能必赢.反例：当甲先拿1个时，还剩6个，由②知甲有必赢的策略.所以③错误. 当n=9时，甲先拿3个，还剩6个，据②知甲有必赢的策略.所以④正确.综上，应填①②④.【名师点睛】(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.对每一个选项逐一判断，前面3个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理.(2)说明一个命题是假命题，只要列举一个反例即可,如果要说明它是真命题，则要分析推理证明.。

2020高考数学考点预测13算法步骤算法初步、考点回忆讲解、复习备考建议考纲对？算法初步？的要求是〔1〕算法的含义、流程图：了解层次 ---了解算法的含义，了解 算法的思想；明白得层次---明白得三种结构：顺序结构、选择结构、循环结构。

〔2〕差不多算法语句：明白得层次---输入语句、输出语句、赋值语句、选择语句、循环语句的含义。

由此可见复习的重点是流程图和差不多算法语句。

而重中之重的是结构中的选择结构与循 环结构，因为它既是难点也是重点。

三、典型考题剖析考点一：自然语言表示的算法考题〔09安徽蚌埠一中模拟〕某公司做人事调整： 设总经理一个，配有经理助理一名；设副经理两人，直截了当对总经理负责，设有 6个部门,其中副经理A 治理生产部、安全部和质量部，经理B 治理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产 部和安全部共同治理，公司配有质检中心和门岗。

请依照以上信息设计并画出该公司的人事结构图。

解答过程：〔1〕运算的是2006和1600的最大共约数〔2〕设置两个数较大数为 M 较小数为N,第一步，运算m 除n 的余数r ;1、 试题特点〔1〕前两年考试情形简介 算法初步是新课标教材的新增内容， 在新课改地区如广东、宁夏、海南、考查的是程序框图。

〔2〕试题特点显示一：考小题，考程序框图 近两年高考中算法都考了程序框图， 显示二：考框图，考循环结构07、08两年新课改地区加上上海程序框图共考了08年海南、宁夏考了条件结构，07上海有语言考查。

见安徽09也应如此，求稳〕2、 高考命题趋势〔1〕高考题型：选择与填空。

〔2〕难易程度：以中档题为主，基础题为辅。

〔3〕高频考点：循环结构的程序框图。

讲明：安徽2007开始第一年高考，到 2018年是第三年了，前两年 山东都显现了算法初步的咨询题， 但都以小题出现且都 一个小题选择或填空--5 分。

11题，有9题考查了循环结构，只有 且大部分题差不多上与数列结合。

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1 与数字有关的等式的推理 【易错点】例1观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝__________. 【答案】 43×n ×(n ＋1)【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.2 与不等式有关的推理例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 22≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4； …照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a nn ≥______. 【答案】na 1a 2…a n【解析】 根据题意得a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n (n ∈N *，n ≥2)． 3 与数列有关的推理 例3观察下列等式：1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)； 1＋3＋6＋…＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)； 1＋4＋10＋…＋16n (n ＋1)(n ＋2)＝124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)； …可以推测，1＋5＋15＋…＋124n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)＝____________________. 【答案】1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4)(n ∈N *) 【解析】 根据式子中的规律可知，等式右侧为 15×4×3×2×1n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) ＝1120n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)(n ＋4) (n ∈N *)． 4 与图形变化有关的推理例4某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 【答案】 D【解析】由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.【思维点拨】 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性． 题型二 类比推理例1(1)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q 2 B ．q 2 C.q D.nq【答案】C【解析】由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝(1)21n nn b q-.∴nT n ＝121n b q-，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.(2)在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a ＋P b h b ＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 【答案】P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1 【解析】设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d＝1.【思维点拨】 (1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等． 题型三 演绎推理例1数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n . 【答案】略【解析】(1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【思维点拨】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提． 直接证明与间接证明 题型四分析法 例1已知a ＞0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【答案】略 【解析】要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2，只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， 0>a ，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．【思维点拨】分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证． 题型五 综合法例1已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤g (x )． 【答案】a ＝0，b ＝1.【解析】(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝f (0)，f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln (x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)， h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1，∵x >－1，∴当－1<x <0时，h ′(x )>0； 当x >0时，h ′(x )<0.则h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．【思维点拨】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性． 题型六 反证法例1 等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{}a n 的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{}b n 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 【答案】（1）S n ＝n (n ＋2)（2）证明略.【解析】(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．【思维点拨】(1)适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．(2)关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【巩固训练】合情推理与演绎推理 题型一 归纳推理1.将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2 016到2 018的箭头方向是( )【答案】A【解析】从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，箭头垂直指下，4→5箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2 016＝4×504，所以2 016→2 017也是箭头垂直指下，之后2 017→2 018的箭头是水平向右，故选A.2.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】C【解析】由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·n (n －1)2＝3n 2－3n ＋1，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n－8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．3.观察下列等式：12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6；12－22＋32－42＝－10； …依此规律，第n 个等式可为________【答案】12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2【解析】第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2. 题型二 类比推理1.若数列{}a n 是等差数列，则数列{}b n ⎝⎛⎭⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}c n 是等比数列，且{}d n 也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nn C ．d n ＝nc n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n【答案】D【解析】若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D ．2.在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A －CD －B ，且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是______【答案】AE EB ＝S △ACDS △BCD【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACD S △BCD .题型三 演绎推理1.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则()A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀、1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.2.已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．【答案】证明略【解析】设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x1<x2，∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．∴y＝f(x)为R上的单调增函数．3.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B. 直接证明与间接证明 题型四分析法1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0【答案】C【解析】由于a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以0,0,a c b a c ><=--且，b 2－ac <3a ⇔b 2－ac ＜3a 2⇔(a ＋c )2－ac ＜3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0⇔ －2a 2＋ac ＋c 2＜0⇔2a 2－ac －c 2＞0⇔ (a －c )(2a ＋c )＞0⇔(a －c )(a －b )＞0.2．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定【答案】C【解析】不妨设P ＜Q ，∵要证P ＜Q ，只要证P 2＜Q 2，只要证2a ＋7＋2a (a ＋7)＜2a ＋7＋2·(a ＋3)(a ＋4)， 只要证a 2＋7a ＜a 2＋7a ＋12， 只要证0＜12，∵0＜12成立，∴P ＜Q 成立．3．要使3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b 【答案】D【解析】要使3a －3b ＜3a －b 成立，只要(3a －3b )3＜(3a －b )3成立，即a －b －33a 2b ＋33ab 2＜a －b 成立，只要3ab 2＜3a 2b 成立，只要ab 2＜a 2b 成立，即要ab (b －a )＜0成立， 只要ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且a ＜b 成立． 题型五 综合法1．设a ，b ，c 均为正实数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( ) A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D【解析】∵a >0，b >0，c >0， ∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.2．如果a a ＋b b >a b ＋b a 成立，则a ，b 应满足的条件是__________________________． 【答案】a ≥0，b ≥0且a ≠b【解析】∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a ) ＝(a －b )(a －b ) ＝(a －b )2(a ＋b )．∴当a ≥0，b ≥0且a ≠b 时，(a －b )2(a ＋b )>0. ∴a a ＋b b >a b ＋b a 成立的条件是a ≥0，b ≥0且a ≠b . 3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2>lg a ＋lg b ＋lg c . 【答案】证明略【解析】∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 由于a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc >0成立． 上式两边同时取常用对数，得 lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg abc ，∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .题型六反证法1．用反证法证明命题：若a＋b＋c为偶数，则“自然数a，b，c恰有一个偶数”时正确反设为() A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】由于“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a，b，c都是奇数或至少有两个偶数”，故选D．2.用反证法证明命题“已知a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】用反证法证明命题的步骤中第一步是假设命题的反面成立，而“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”，故选A．3.已知四棱锥S－ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】略【解析】(1)证明由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SA⊥平面ABCD.(2)解假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD.11∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面FBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．∴不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.12。

忽略了n 的取值已知数列{}na 满足3123=()n a a aa n n ∈*N ，求数列{}n a 的通项公式n a ．【错解】由3123=n a a aa n，可得31231=(1),n a a aa n --两式相除可得33=(1)n n a n -．【错因分析】31231=(1)n a a aa n --仅适用于n ∈*N 且2n >时的情况，故不能就此断定33=(1)n n a n -就是数列{}na 的通项公式．【试题解析】当1n =时,11a=；当2n ≥时，由3123=n a a aa n ，可得31231=(1),n a a a a n --两式相除可得33=(1)n n a n -，故331,1.,1,(1)nn a n n n n =⎧⎪=⎨>∈⎪-⎩*N已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1）形如a n ＋1＝a n f （n ）,常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·错误!·错误!·…·错误!求通项公式．(2）形如a n ＋1＝a n ＋f （n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋（a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)求通项公式．(3)形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0，1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )（其中x ＝错误!)，则{a n ＋x ｝是公比为b 的等比数列,利用它即可求出a n 。

(4）形如a n ＋1＝错误!(p ，q ，r 是常数）的数列,将其变形为错误!＝错误!·错误!＋错误!.若p ＝r ，则错误!是等差数列，且公差为错误!,可用公式求通项； 若p ≠r ，则采用(3）的办法来求．(5）形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ,q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝（－q ）·（a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1｝(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n －a n －1＝f (n ),然后用累加法求得通项．（6）形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子， 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f （n ）,①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n 。

第十一章 算法、复数与推理证明第1讲 算法初步[考纲解读] 1.了解算法的含义及思想，掌握程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．(重点)2.了解几种算法的基本语句，输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是每年高考的必考内容. 预测2020年将会考查：①框图的直接计算；②根据框图的输出值添加满足的条件. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档题型.1．算法的含义与程序框图(1)算法：算法是指按照□01一定规则解决某一类问题的□02明确和□03有限的步骤． (2)程序框图：程序框图又称□04流程图，是一种用□05程序框、□06流程线及□07文字说明来表示算法的图形．在程序框图中，一个或n 个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序．(3)算法框图的图形符号及其功能2．三种基本逻辑结构及相应语句续表1．概念辨析(1)一个程序框图一定包含顺序结构，也包含条件结构(选择结构)和循环结构．( )(2)当型循环是给定条件不成立时，执行循环体，反复进行，直到条件成立为止．( )(3)在算法语句中，X＝X＋1是错误的．( )(4)输入语句可以同时给多个变量赋值．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)根据给出的程序框图(如图)，计算f(－1)＋f(2)＝( )A．0 B．1 C．2 D．4答案 A解析f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.(2)计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bENDA．1,3 B．4,1 C．0,0 D．6,0答案 B解析读程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.(3)已知输入实数x＝12，执行如图所示的流程图，则输出的x是()A．25 B．102 C．103 D．51答案 C解析输入x＝12，经过第一次循环得到x＝2×12＋1＝25，n＝2，经过第二循环得到x＝2×25＋1＝51，n＝3，经过第三次循环得到x＝2×51＋1＝103，n＝4，此时输出x，故选C.(4)按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为( )A．k≥16 B．k＜8 C．k＜16 D．k≥8答案 A解析程序运行过程中，各变量的值如下表所示：故退出循环的条件应为k≥16，故选A.题型一顺序结构和条件结构1．阅读如图所示程序框图．若输入x为3，则输出的y值为( )A．24 B．25 C．30 D．40答案 D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.2．(2017·江苏高考)下图是一个算法流程图．若输入x 的值为116，则输出y 的值是________．答案 －2解析 输入x ＝116，116≥1不成立，执行y ＝2＋log 2116＝2－4＝－2.输出y 的值为－2.条件探究 将举例说明2中“输入x ”改为“输出y ”，求输入的x 的值．解 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥1，2＋log 2x ，x <1，当x ≥1时，2x≥2，所以若输出y ＝116，则必有x <1,2＋log 2x ＝116，解得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123116.应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)条件结构：利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足.定义运算a ⊗b 的结果为执行如图所示的程序框图输出的S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1 答案 A解析 由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa －b ，a ≥b ，ba ＋1，a <b ，因为2cos 5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2，所以⎝⎛⎭⎪⎫2cos 5π3⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4＝2×(1＋1)＝4. 题型 二 循环结构角度1 由程序框图求输出(输入)结果1．(2019·烟台模拟)执行如图所示的程序框图，输出的n 值为( )A ．6B ．7C ．8D ．12 答案 C解析 由程序框图可知，第一次循环：S ＝13，n ＝2；第二次循环：S ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132，n ＝3；第三次循环：S ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133，n ＝4；……第六次循环：S ＝13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫136＝1－17292<10082017，n ＝7； 第七次循环：S ＝13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫137＝1－121872>10082017，n ＝8. 故终止循环，输出n ＝8.故选C.角度2 完善程序框图2．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i ＝i ＋1B ．i ＝i ＋2C ．i ＝i ＋3D ．i ＝i ＋4答案 B解析 由S ＝1－12＋13－14＋…＋199－1100，知程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入i ＝i ＋2，选B.角度3 逆向求解问题3．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 假设N ＝2，程序执行过程如下：t ＝1，M ＝100，S ＝0，1≤2，S ＝0＋100＝100，M ＝－10010＝－10，t ＝2，2≤2，S ＝100－10＝90，M ＝－－1010＝1，t ＝3，3＞2，输出S ＝90＜91.符合题意． ∴N ＝2成立．显然2是最小值．故选D.1．循环结构程序框图求输出结果的方法解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体的过程中：第一，要明确是当型循环结构还是直到型循环结构，根据各自特点执行循环体； 第二，要明确框图中的累加变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 2．程序框图补全问题的求解方法 (1)先假设参数的判断条件满足或不满足；(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； (3)根据此时各个变量的值，补全程序框图.1．(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的程序框图是为了求出满足3n －2n>1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1000？和n ＝n ＋1B ．A >1000？和n ＝n ＋2C ．A ≤1000？和n ＝n ＋1D ．A ≤1000？和n ＝n ＋2 答案 D解析 因为题目要求的是“满足3n－2n＞1000的最小偶数n ”，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2”．由程序框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1000？”．故选D.2．(2018·洛阳三模)定义[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下图的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》．执行该程序框图，则输出a ＝( )A ．9B ．16C ．23D ．30 答案 C解析 由程序框图得k ＝1，a ＝9，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝0≠2；k ＝2，a ＝16，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝1≠2；k ＝3，a ＝23，a －3·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3＝2，a －5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 5＝3，退出循环体，所以输出a ＝23，故选C.3．(2018·东北三省四市模拟)庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题．现用程序框图描述．如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎪⎫1516，6364，则输入的n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 C解析 第一次循环得S ＝12，k ＝2；第二次循环得S ＝34，k ＝3；第三次循环得S ＝78，k＝4；第四次循环得S ＝1516，k ＝5；第五次循环得S ＝3132∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1516，6364，k ＝6，此时满足题意，退出循环，所以输入的n 值为5，故选C.题型 三 基本算法语句1．根据如图算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61 答案 C解析 该语句表示分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤50，25＋0.6×x －50，x >50，当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝31. 故输出y 的值为31.2．如图程序执行后输出的结果是________．答案 990解析 程序反映出的算法过程为i ＝11⇒S ＝11×1，i ＝10； i ＝10⇒S ＝11×10，i ＝9； i ＝9⇒S ＝11×10×9，i ＝8；i ＝8<9，退出循环，执行“PRINT S ”．故S ＝990.1．解决算法语句的三步骤(1)通读全部语句，把它翻译成数学问题； (2)领悟该语句的功能；(3)根据语句的功能运行程序，解决问题． 2．算法语句应用的四关注(2018·保定模拟)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析S＝1，I＝1；1<8，S＝3，I＝4；4<8，S＝5，I＝7；7<8，S＝7，I＝10；10>8，终止循环，输出S＝7.。

专题十二 算法初步、推理与证明、数系的扩充与复数的引入狂刷55 推理与证明1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”的正确假设为 A ．自然数a 、b 、c 中至少有一个是偶数 B ．自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数 C ．自然数a 、b 、c 都是奇数 D ．自然数a 、b 、c 都是偶数【答案】B【解析】“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数a 、b 、c 中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数a 、b 、c 中两个偶数一个奇数或全是偶数”， 即“自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数”，故选B ．2．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是 A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 【答案】B【解析】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ． 3．用数学归纳法证明“()*111112321n n n n +++⋯+<∈>-N ，”时，第一步需要验证的不等式是 A ．123< B ．1122+<C ．111223++<D ．11112234+++<【答案】C【解析】()*111112321n n n n +++⋯+<∈>-N ，， 第一步验证2n =时的情况，即111223++<.故选C.4．利用反证法证明：若20a b +=，则0a b ==，应假设 A ．a ，b 不都为0B ．a ，b 都不为0C ．a ，b 不都为0，且a b ¹D ．a ，b 至少一个为0【答案】A【解析】反证法是先假设结论不成立，结论0a b ==表示“,a b 都是0”，∴结论的否定为：“,a b 不都是0”.5．因为正弦函数是周期函数，()sin f x x =是正弦函数，所以()sin f x x =是周期函数，以上推理 A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 【答案】C【解析】根据演绎推理得：小前提：()sin f x x =是正弦函数，错误． 故选C ．6．由①安梦怡是高三（2）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高三（2）班的学生都是独生子女．写一个“三段论”形式的推理，则大前提、小前提和结论分别为 A ．②①③ B ．③①② C ．①②③D ．②③①【答案】B【解析】因为高三（2）班的学生都是独生子女，且安梦怡是高三（2）班的学生，所以安梦怡是独生子女．大前提、小前提和结论分别为③①②，故选B ．7．由命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”可猜想：在表面积为定值的长方体中， A ．正方体的体积取得最大 B ．正方体的体积取得最小 C ．正方体的各棱长之和取得最大 D ．正方体的各棱长之和取得最小 【答案】A【解析】根据平面几何与立体几何对应类比关系：周长类比表面积，长方形类比长方体，正方形类比正方体，面积类比体积，因此命题“周长为定值的长方形中，正方形的面积取得最大”，类比猜想得：在表面积为定值的长方体中，正方体的体积取得最大，故选A ．8．某程序执行后的输出结果为△△△△△△△△△△△△△△△，按这种规律往下排，则第43个图形 A ．是△B ．是C ．是△的可能性大D ．是的可能性大【答案】A【解析】观察可知△与交替出现，到第n 个圆共有3()1232n n n n ++++++=个图形，当7n =时，共有35个图形，当8n =时，共有44个图形，所以第43个图形是△．故选A ．9．公安人员审问了一起盗窃案，查明了以下事实：①罪犯就是甲、乙、丙三人中的一人或一伙；②不伙同甲，丙决不会作案；③罪犯是带着赃物开着汽车逃跑的，但乙不会开汽车．那么一定参与盗窃的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不确定【答案】A【解析】由于乙不会开汽车，因此不是乙单独盗窃；由于不伙同甲，丙决不会作案，因此不是丙单独盗窃，也不是乙、丙合伙盗窃，从而可知甲一定参与了盗窃．故选A ．10．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是A ．397B ．398C ．399D ．400【答案】D【解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ， 所以第20行，最后一项为400．故选D.11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,2)=-n 的直线方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，即2110x y -+=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,2,3)A ，且法向量为(1,2,1)=--m 的平面的方程为________________．【答案】220x y z +--=【解析】在所求平面内任取一点(,,)P x y z ，则(1,2,3)AP x y z =---，因为所求平面的法向量为(1,2,1)=--m ，所以类比平面中求动点轨迹方程的方法，可得(1)2x ---⨯(2)1(3)0y z -+⨯-=，即220x y z +--=．12．已知凸n 边形有()f n ()*4,n n ≥∈N条对角线，则()()1f n f n +-=________________．【答案】1n -【解析】第1n +个点与不相邻的2n -个点有2n -条对角线，再加上与第1n +个点相邻的两点有1条对角线，所以共增加了1n -条对角线. 故答案为1n -.13．某大学宿舍三名同学A ，B ，C ，他们来自北京、天津、上海三个不同的城市，已知C 同学身高比来自上海的同学高；A 同学和来自天津的同学身高不同；B 同学比来自天津的同学高，则来自上海的是________________同学. 【答案】A【解析】由于A 同学，B 同学都与C 同学比较，故C 同学来自天津；B 同学比来自天津的同学高，即比C 同学高；而C 同学身高比来自上海的同学高，故来自上海的是A 同学.14．在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，A ，B ，C 三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：A 猜测冠军是乙或丁；B 猜测冠军一定不是丙和丁；C 猜测冠军是甲或戊．比赛结束后发现：A ，B ，C 三个人中只有一个人的猜测是正确的，则冠军是________________． 【答案】丁【解析】若冠军是甲或戊，则B 与C 的猜测都正确，不符合题意；若冠军是乙，则A 与B 的猜测都正确，不符合题意；若冠军是丙，则A ，B ，C 三个人的猜测都不正确，不符合题意；若冠军是丁，只有A 的猜测正确，符合题意，故冠军是丁．15．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为 A ．8 B ．7 C ．6D ．5【答案】D【解析】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=， 当()225f n =时，可得5n =. 故选D.16．将数列{21}n -依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，…，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，……依此类推，则数列{21}n -中的2019位于分组序列的 A ．第404组 B ．第405组 C ．第808组 D ．第809组【答案】A【解析】令212019n -=，解得1010n =，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组有202组，故数列{21}n -中的2019位于分组序列的第404组，故选A ．17．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁【答案】B【解析】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意. 综上可得，获奖人为乙. 故选B ．18．已知n ∈N ，则43n n +-+与21n n +-+的大小关系为A ．4321n n n n +-+>+-+B ．4321n n n n +-+<+-+C ．4321n n n n +-+=+-+D ．不能确定【答案】B 【解析】要比较43n n +-+与21n n +-+的大小，只需比较2(41)n n +++与23(2)n n +++的大小，只需比较(4)(1)n n ++与(2)(3)n n ++的大小，只需比较(4)(1)n n ++与(2)(3)n n ++的大小，即比较254n n ++和256n n ++的大小，因为254n n ++-256()20n n =++-<，所以4321n n n n +-+<+-+，故选B ．19．设F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，当72AB FB =时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为 A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB FB =时，该双曲线的离心率为2B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB FB =时，该双曲线的离心率为4C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为2D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为4 【答案】C【解析】对于双曲线而言，FB AB >，排除A ，B ．由72FB AB =，得22222222734224c b c c c a c e e a+=⇒-=⇒==⇒=.故选C ．20．若、、A B C 是ABC △的内角，,,A B B C C A αβγ=+=+=+，则,,αβγ一定A ．都大于2π3 B ．都不大于2π3C ．都小于2π3D ．有一个不小于2π3【答案】D【解析】假设,,αβγ都小于2π3，则2π2π2π,,333A B B C A C +<+<+<，所以2π32π3A B B C A C +++++<⨯=， 所以πA B C ++<. 这与πA B C ++=矛盾，所以假设不成立，所以,,αβγ有一个不小于2π3. 故选D.21．类比三角形中的性质：①两边之和大于第三边；②中位线长等于底边的一半；③三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于底面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理的结论正确的有 A ．① B ．①② C ．①②③ D ．都不对【答案】C【解析】根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积，①正确；由平面几何中位线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于底面面积的14，②正确；将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，可得四面体的六个二面角的平分面交于一点，③正确．故选C ． 22．观察下列各式：， ，， ， ……据此规律，所得的结果都是 的倍数.由此推测可得 A ．其中包含等式： B ．其中包含等式： C ．其中包含等式： D ．其中包含等式：【答案】A【解析】数列3,7,11,15，…的通项为3(1)441n a n n +==--， 当n =26时， ，但是85,53,33都不是数列中的项， 故选A.23．一布袋中装有n 个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回地抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断正确的是 A ．若9n =，则乙有必赢的策略 B ．若7n =，则甲有必赢的策略 C ．若6n =，则甲有必赢的策略 D ．若4n =，则乙有必赢的策略 【答案】A【解析】若9n =，乙有必赢的策略：①若乙抓1个球，甲抓1个球时，乙再抓3个球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后1个球；②若乙抓1个球，甲抓2个球时，乙再抓2个球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后1个球；③若乙抓1个球，甲抓3个球时，乙再抓1个球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后1个球．故选A ．24．在ABC △中，内角A 、B 、C 满足不等式1119πA B C ++≥；在四边形ABCD 中，内角A 、B 、C 、D 满足不等式1111162πA B C D +++≥；在五边形ABCDE 中，内角A 、B 、C 、D 、E 满足不等式11111253πA B C D E ++++≥.猜想，在n 边形12n A A A L 中，内角12,,,n A A A 满足不等式12111nA A A +++≥________________． 【答案】2n n (-2)π【解析】在ABC △中，不等式1119πA B C ++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162πA B C D +++≥成立，在五边形ABCDE 中，不等式11111253πA B C D E ++++≥成立，所以在n 边形12n A A A L 中，不等式12111n A A A +++≥2n n (-2)π成立. 25．在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距离是到对边中点的距离的两倍．类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条“中线”的交点称为三棱锥的“重心”，则三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的________________倍． 【答案】3【解析】在四面体ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BE ，且M ，N 分别为ACD △，BCD △的重心，AN ，BM 交于点G ，在ABE △中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则13EM EN AE BE ==，所以MN AB ，3AB MN =，所以3AG GN =，故三棱锥的“重心”到顶点的距离是到对面重心距离的3倍．26．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4⨯100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求.甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定，在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是________________. 【答案】丙【解析】由题意知乙、丙均不跑第一棒和第四棒，则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个， 当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁是第一棒，甲是第四捧，符合题意， 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，丁只能跑第四棒，甲跑第一捧，不符合题意， 故跑第三棒的人是丙，故答案为丙. 27．数式1111++…中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得:令原式=t ，则11+t t =，则210t t --=，取正值得512t +=.用类似方法可得121212...+++=_____________. 【答案】4【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．令12122(0)m m +++=>，则两边平方得2121212m +++=，即122m m +=，解得4m =（3m =-舍去）. 故答案为4.28．【2019年高考全国I 卷理数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【答案】B【解析】方法一：如下图所示. 依题意可知：5151,22AC AB CD BC --==， ① 腿长为105 cm 得，即>105CD ，5164.892AC CD -=>， 64.89105169.89AD AC CD =+>+=，所以AD >169.89.②头顶至脖子下端长度为26 cm ， 即AB <26，42.07512ABBC =<-， =+<68.07AC AB BC ，110.15512ACCD =<-， +<68.07+110.15=178.22AC CD ，所以<178.22AD .综上，169.89<<178.22AD .故选B.方法二：设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626511052x x y +-==+，得42.07cm, 5.15cm x y ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm ．故选B ．【名师点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．29．【2019年高考全国II 卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 A ．21M R M B ．212M R MC ．2313M R M D ．2313M R M 【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=， 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++， 解得3213M M α=， 所以321.3M r R R M α==【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．30．【2019年高考北京卷理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1 C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A ．【名师点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.31．【2017年高考全国II 卷理数】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．32．【2017年高考北京卷理】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】B【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多. 故选B.33．【2016年高考新课标II 卷理】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________． 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上的数字为1和3，乙的卡片上的数字为2和3，丙的卡片上的数字为1和2．34．【2019年高考全国II 卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 【答案】26，21-【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长CB 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，22,2(21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+=+=， 12121x ∴==-+，即该半正多面体棱长为21-．【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形． 35．【2016山东】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；……照此规律，2222π2π3π2π(sin )(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++________________． 【答案】4(1)3n n + 【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即(1)n n +，故答案为4(1)3n n +．。