复变函数综合测试题(八)

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．×二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑. 2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数). 所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z 的支点为0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z 的幅角共增加2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续.( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________. 3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题 1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =. 所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0n n n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z在:C z R =上时, 有111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00n a z = 有相 同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( ) 6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z 的周期为_________. 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z 在|z |<1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 \( z = a + bi \) 可以表示为平面上的一个点 \( (a, b) \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部。

复数的模 \( |z| \) 表示该点到原点的距离，即 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

2. 复数的运算两个复数 \( z_1 = a + bi \) 和 \( z_2 = c + di \) 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 \( z = a + bi \) 的共轭为 \( \overline{z} = a - bi \)，模为 \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

4. 复数的指数形式复数 \( z \) 可以表示为指数形式 \( z = re^{i\theta} \)，其中\( r = |z| \) 是模，\( \theta \) 是 \( z \) 的辐角，满足\( \cos\theta = \frac{a}{r} \) 和 \( \sin\theta = \frac{b}{r} \)。

5. 复数的对数复数 \( z \) 的对数定义为 \( \log z = \log r + i\theta \)，其中 \( r = |z| \)，\( \theta \) 是 \( z \) 的主辐角。

6. 复数的导数设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是复函数，其中 \( z = x +iy \)，则 \( f(z) \) 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

《复变函数》综合测试题及答案一、选择题（单选题）1、（容易）复数z i =的幅角主值为（ ） （A ）3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6π2、（中等）复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ ） （A ）2sin2θ （B ）2sin2θ- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-3、（容易）设z =，则z 的指数表示为（ ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=4、（中等）若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-5、（容易）函数()f z z =在z 平面上（ ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、（容易）满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（ ）（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、（容易）函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ ）（A ）,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续 （B ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、（容易）1(0)()nz a dz z a ρρ-=>-⎰的值为（ ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π9、（容易）1zz e dz z==⎰（ ） （A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+=L 10、（容易）()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()nz n N ∈ 11、（容易）复级数1n n z ∞=∑收敛的必要条件是（ ）（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z =（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=12、（容易）幂级数11n n n z n∞=+∑的收敛半径为（ ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、（容易）0z =为()sin f z z z =-的（ ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、（容易）设1()1zf z e =-，则0z =是()f z 的（ ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、（容易）0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、（容易）若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ ） （A ）2π （B ）2π- （C ）4π（D ）4π-17、（中等）复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ ） （A ）2cos2θ （B ）2cos2θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+18、（容易）设z =，则z 的指数表示为（ ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=19、（中等）若12ω=-，则23ωωω++=（ ）（A ）0 （B ）ω （C ）2ω （D ）ω-20、（中等）函数()Re f z z =在z 平面上（ ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、（容易）下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1Re 2z >（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、（中等）若()f z u iv =+，且在区域D 内满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微23、（容易）113z dz z =-⎰的值为（ ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、（容易）1sin z zdz z==⎰（ ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-25、（中等）若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00uxu y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（ ）（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞=∑收敛，则（ ）（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z ≠（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=27、（容易）幂级数11!nn z n ∞=+∑的收敛半径为（ ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、（中等）0z =为()1cos f z z =-的（ ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点29、（容易）设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ ）（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、（容易）变换az bw cz d+=+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a bc d= （D ）a b c d ===31、（容易）复数1z =的幅角主值为（ ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π（D ）3π-32、（中等）若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-33、（容易）下列等式正确的是（ ）（A ）z z z ⋅= （B ）2z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、（中等）下列哪些函数在复平面上解析（ ） （A ）sin z （B ）z （C ）2z （D ）Re z 35、（中等）满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（ ） （A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z >36、（容易）使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ ） （A ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u vx y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、（中等）设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内 （ ）（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡38、（容易）1()nCdz z a -⎰（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、（容易）21zz e dz z==⎰（ ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）i π 40、（中等）()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z41、（中等）在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞=∑的函数只能是（ ）（A ）1(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1(1)1z z<-42、（中等）幂级数21121n n z n -∞=-∑的收敛半径为（ ）（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、（容易）若1()cosf z z i=+，则z i =-是()f z 的（ ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、（中等）若()()g z f z z a=-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '45、（中等）变换(01)1z aw a a z-=<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、（容易）arg(34)i -+=（ ）（A ）3arctan4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、（中等）若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ ）（A ）ω （B ）ω- （C ）2ω- （D ）i48、（中等）下列等式不正确的是（ ）（A ）2z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、（容易）下列哪些函数在复平面上不解析（ ） （A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）ze -50、（容易）设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（ ）（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、（容易）使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件52、（容易）设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()Cf z dz z=⎰（ ） （A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅53、（中等）11cos z dz z==⎰（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π54、（容易）若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）ze55、（中等）()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（ ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z56、（中等）在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ ） （A ）sin()2z π+ （B ）sin()z π+（C ）sin iz （D ）sin z57、（容易）若幂级数1nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1nn n a z ∞=∑（ ）（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、（中等）0z =为21cos ()zf z z-=的（ ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点59、（容易）函数1()z e f z z-=在0z =处的留数为（ ）（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、（容易）变换z iw z i-=+把上半平面Im 0z >保形映射成（ ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w >61、（容易）若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ ）（A ）4π-（B ）4π（C ）34π- （D ）34π 62、（中等）若21z =-，则z 等于（ ） （A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±63、（容易）下列点集是区域的是（ ）（A ）1{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2z z > （D ）2{1}z z = 64、（容易）设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ ）（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、（中等）设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、（容易）下列哪些函数在z 平面上解析（ ） （A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）ze 67、（容易）11cos z dz z==⎰（ ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、（容易）1zz e dz z==⎰（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）12iπ （D ）2i π 69、（中等）若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、（容易）若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（ ）（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点71、（中等）复级数0n n i ∞=∑（ ）（A ）一定收敛 （B ）等于11i- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、（容易）设幂级数为00()n n n a z z ∞=-∑，则（ ）（A ）00()nn n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞=-∑在全平面上收敛（C ）00()nn n a z z ∞=-∑在点0z 不收敛 （D ）00()n n n a z z ∞=-∑在点0z 收敛73、（容易）幂级数11n n n n z ∞=+⋅∑的收敛半径为（ ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、（容易）幂级数1n n z ∞=∑在1z <内的和函数为（ ）（A ）11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1zz+ 75、（中等）()1cos f z z =-以0z =为（ ）（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点76、（容易）设()f z 在00z z R <-<内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ ）（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、（中等）若21cos ()zf z z-=，则0z =必为()f z 的 （ ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、（中等）若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ ）（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、（容易）若1()zf z e =，则Re (,0)s f = （ ）（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、（中等）映射322w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ ）（A （B ） （C ）25 （D ）581、（容易）若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ ）（A ）23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、（中等）若31z =且Im 0z >，则z 等于（ ）（A ）1 （B ）122i -+ （C ）122+ （D ）122--83、（容易）下列点集不是区域的是（ ）（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、（中等）设()f z i z =⋅，则（ ）（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析85、（容易）设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ ）（A ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u vx y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、（容易）在z 平面上处处不解析的函数是（ ） （A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin ze87、（容易）13z zdz z ==-⎰（ ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、（中等）21sin z z dz z==⎰（ ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）089、（中等）若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）ze 90、（容易）若()zf z e =，则下列结论不成立的是（ ）（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、（容易）幂级数0!nn n z ∞=⋅∑的收敛半径为（ ）（A ）+∞ （B ）1（C ）0 （D ）以上结论都不对92、（容易）设幂级数为0nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ ）（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分93、（中等）在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0(1)n n n x ∞=-⋅∑的函数只能为（ ）（A ）11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）211z- 94、（容易）若1()cos f z z i=+，则z i =-为()f z 的（ ）（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、（中等）2()(1)z zf z e =-以0z =为（ ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、（容易）若()()z f z z aϕ=-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =（ ）（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ97、（容易）22()1iz e f z z =+在z i =的留数为 （ ）（A ）2i i e --（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112e -- 98、（容易）ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ ）（A ）1n n z n ∞=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!n n z n ∞=∑99、（中等）变换1i z iw ei zθ-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、（中等）变换i z iw ez iθ-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、（较难）若122ω=--是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（ ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2ω 2、（较难）复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ ） （A ）2sin2θ （B（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin2θ-3、（较难）下列点集哪些是区域 （ ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4z π<≤（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =4、（较难）若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ ）（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、（较难）若1()1f z z=+，则下列结论正确的是 （ ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2Re (,0)1s f = （C ）2Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=6、（较难）若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（ ） （A ）ω （B ）3ω （C ）1- （D ）ω-7、（较难）复数z =的指数表示形式为 （ ） （A ）4i z eπ-⋅= （B ）4i z e π⋅= （C ）(2)4i k z eππ-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)4i k z eππ⋅+= （k Z ∈）8、（较难）设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （ ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域 9、（较难）下列哪些函数在全平面上不解析（ ）（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2z 10、（较难）若1()sinf z z=，则0z =为()f z 的（ ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、（中等）复数(3)(2)(3)(2)i i z i i +-=-+的模z = 。

《复变函数》考试试题（八）参考答案一、判断题.1. ×2. ×3. ×4. √5. × 二、填空题.1. 1-2. ()π-3. 1()f z z z=+4. 0,∞5. i6. 2π7. 18. 221nπ-9.本性 10. π- 三、计算题.1.解：arg 2155z k ik w zeπ+= 0,1,2,3,k =1=- 得251k ieππ+-= 从而有2k =4114105102331(1)22(co s sin )44iw i e i i ππππ-+--=⋅=+=2.解：（1）2()1L n z f z z =-的各解析分支为2ln 2()1k z k f z z π+=-，(0,1,)k =± .1z =为0()f z 的可去奇点，为()k f z 的一阶极点(0,1,)k =± 。

0R e ((),1)0s f z = R e ((),1)ks f z k i π= (1,2,)k =±± （2）1100011R e R e !!znn n z z n e z ss zz n n ∞++===⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑ 3.计算下列积分 解：（1）72323221()12(1)(2)(1)(1)zf z z z z zz==-+-+1R e (,)1s f C -∞=-=-2()2[R e (,)]2z f z d z i s f i ππ==-∞=⎰（2）设2222222()()()()zzf z z a z a i z a i ==++-令22()()zz z a i ϕ=+， 32()()a iz z z a i ϕ'=+则23()2()1R e (,)1!(2)4a i a i s f a i i a i aϕ'===-I m 0()2R e (,)2z f z d z i s f a i aππ>==⎰2222()2x d x x a aπ+∞-∞=+⎰4.儒歇定理：设c 是一条围线，()f z 及()z ϕ满足条件： （1）它们在c 的内部均解析，且连续到c ； （2）在c 上，()()f z z ϕ>则f 与f ϕ+在c 的内部有同样多零点，即()10f z = 6()6g z z z =+有 ()()f z g z >由儒歇定理知66100z z ++=在1z <没有根。

应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。

（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。

()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。

()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。

()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

复变函数及答案一、填空题（每题3分，共15分）1.计算ln(1)i +=2.设3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-，计算()f z '=3.25|z|=1sin d (2)zezz z =-⎰4..求留数3sin R e [,0]z z s z-＝______________5. 幂级数11nnn z n∞=∑的收敛半径R=______________二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）. 1、设211()sinf z z z z=-，则Re s[(),0]f z 为( )A ．1，B ．2，C ．0，D ．2i π。

2、复数 23412i i ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的模为 ( )A.5； B. 5； C. 55； D ．253、复数 i 31-- 的主辐角为 ( )A. 3arctan ；B. π+3arctan ；C. arctan 3π--;D. arctan 3π- 4、方程 220z i -= 的根为 ( )A. 121,1z i z i =+=--；B. 121,1z i z i =+=-+；C. 121,1z i z i =+=-;D. 121,1z i z i =-=-- 5、设 22()2()f z x y i y x =+-，则 ()f z '= ( )A. 22x y i +；B. 22y x i -；C. 22x y i -；D. 22x y i -- 三、(20分) 求下列积分的值:(1) 2sin d ,(1)Czz zz -⎰ :||2C z =的正向. （10分）(2) 21sin d Cz z z ⎰ , 其中:1,C z = 且方向为正向. (10分)四、(15分) 将函数)2()1(1)(--=z z z f在0z =点展开为洛朗 (Laurent) 级数．.五、(15分) 由2(1),(2)u x y f i =-=- 求出解析函数()f z u iv =+关于z 的表达式.六、(15分)利用Laplace 变换求解微分方程组：()()1,(0)0,()(),(0) 1.x t y t x x t y t t y '+==⎧⎪⎨'-==⎪⎩七、 (5分) 求积分11d 2z z z =+⎰ ，从而证明：012cos d 0.54cos πθθθ+=+⎰.一、填空题（每题3分，共15分）1.1ln(1)ln 224i iπ+=+2. 2()3f z iz '= 3.25|z|=1sin d 0(2)zezz z =-⎰4.. 3sin R e [,0]0z z s z-= 5. R=+∞二、单项选择题（每题3分，共15分， 每题只有一个正确答案，请将答案填在题后的方框内，错选或多选均不得分 ）.1、B.2、B3、D4、A5、B 三、(20分) 求下列积分的值: (1) 解：令)1(sin)(22-=z z zz f ，在2||=z 内，函数)(z f 有两个奇点．=z 为可去奇点，0]0),([Res =z f ，1=z 为一阶极点，)()1(lim ]1),([Res 1z f z z f z -=→1sin sin 2122===z zz，原式1sin 2])1),([Res ]0),([Res (22i z f z f i ππ=+= (2)解：令21()sinf z z z =，在||1z =内，0=z 为)(z f 的本性奇点，21sinz z2357111111()1!3!3!5!7!z zzzzz =-+-+=-⋅+，原式22R es [(),0]3!3i ii f z πππ==-=-四、解：)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z zz---=2111，在复平面上以原点为中心分为三个解析环：1||0<≤z ， 2||1<<z ，+∞<<||2z ．(1) 在 1||0<≤z 内，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f∑∑+∞=+∞=-=221n nn n nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1211n nn z ．(2) 在 2||1<<z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n nn n nz zz∑∑+∞=++∞=+--=01121n n nn n z z．(3) 在 +∞<<||2z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n nzzzz∑+∞=+-=11)12(n n nz．五、解： 2(1),(2)u x y f i =-=- 2,2(1)u u y x xy∂∂==-∂∂(,)(0,0)(,)d d x y yxv x y u x u y C=-++⎰(,)(0,0)2(1)d 2d x y x x y y C=--++⎰222(1)d 2d 2xyx x y y C x x y C =-++=-++⎰⎰.又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.故221,(,)21C v x y x x y ==-++. 从而222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+另解： 2(1),u x y =- 由2,y x v u y == 得2d (),y v v y y x ϕ==+⎰又()2(1)x y v x u x ϕ'==-=- 即()2(1)x x ϕ'=-由此得2()2x x x C ϕ=-+所以222v y x x C=+-+又 (2)(2,0)(2f u i v=+ i C i ==.于是有222()2(1)(21)(21)f z x y i x x y i z z =-+-++=-+六、解：对方程两边取拉氏变换并代入初值得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.1)1)(()(,1)()(2s s sY s X ss Y s X s 求解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1)(,)1(1)(222s ss Y s s s X 求拉氏逆变换得⎩⎨⎧=-=.cos )(,sin )(t t y t t t x七 (8分).证明： 因为11d d 22(sin cos )(2cos sin )d (2cos sin )(2cos sin )12cos 12cos d 2d 54cos 54cos i iz iez z e i i i i i i θπθππππππθθθθθθθθθθθθθθθθ=---=++-++-=+++-++==++⎰⎰⎰⎰⎰又因11d 02z z z ==+⎰所以12cos d 054cos πθθθ+=+⎰。

习题八答案 1． 求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。

()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。

令 则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。

1复变函数综合练习题及答案第一部分 习题一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否则填⨯.(共20题) 1. 在复数范围内31有唯一值1.( ) 2. 设z=x+iy , 则=z z 22y x +.()3. 设,2321i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.( ) 5. 方程1=ze 有唯一解z=0.( ) 6.设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)()(z g z f 在点0z 处必可导.()7.设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在00iy x z +=处可导,则)(00,0)()(y x yui y v z f ∂∂-∂∂='.( )8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.()11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则0)(00=-⎰=-r z z n z z dz.()13. 设)(z f 为连续函数,则⎰⎰'=1)()]([)(t t cdt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲线c 的起点,终点对应的t 值.( )214. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则0)(=⎰cdz z f .( )15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有)(2)(00z if dz z z z f cπ=-⎰. ( )16. 设幂级数∑+∞=0n n nz c在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z fz f )(!)()(000)(-=∑+∞=. ( )18. 设级数n n nz z c)(0-∑+∞-∞=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它是)(z f 在此环域内的罗朗级数.( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.()20. 设函数)(z f 在圆周1<z 内解析,0=z 为其唯一零点,则⎰==1].0),([Re 2)(z z f s i z f dzπ ( )二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题)1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________.A. 45,8πB. 4,24πC. 47,22π2.)Re(1z z -<是__________区域.A. 有界区域B. 单连通区域C. 多连通区域3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零B. 仅存在一个z 使z z-=1C.iz z i=14.在复数域内,下列数中为实数的是__________.A. i cosB. 2)1(i -C.38-35.设i z +=1,则=)Im(sin z _________.A. sin1ch1B. cos1sh1C. cos1ch16.函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成___________.A. 412v u -<B. 412v u -≤C. 214v u -<7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导C. 解析8. 下列函数中为解析函数的是_____________.A. )(z f =iy x -2B.)(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x -9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析.A. 可导函数B. 调和函数C. 共轭调和函数10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则⎰-cn z z dz)(0=________________. A. 0B. i π2C. 0或i π211. 积分dz z zz ⎰=-22)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin112. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A.⎰=-23z dz z zB. 1sin z zdz z =⎰C.⎰=15z zdz ze 13. 复数项级数∑+∞=13n nnz 的收敛范围是________________.A. 1≤zB.1<zC.1>z14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ⋃⋃组成4复合闭路Γ且D D ⊂Γ,则___________________. A. 0)()()(21=++⎰⎰⎰c c c dz z f dz z f dz z fB. 0)(=⎰Γdz z fC.⎰⎰⎰-=21)()()(c c c dz z f dz z f dz z f15.函数)(z f =221ze z-在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数B. 罗朗级数C. 都不是16. 0=z 是4)(zshzz f =的极点的阶数是_____________. A. 1B. 3C. 417. 0=z 是411)(zez f z-=的____________________. A. 本性奇点B. 极点C. 可去奇点18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n nz z cz f )()(0∑+∞-∞=-=,其中系数n c =______________________.A.!)(0)(n z fn , ,2,1,0=nB.!)(0)(n z fn ,,2,1,0±±=nC.,,2,1,0,)()(2110 ±±=-⎰+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f =1-ze z,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0B. 1C. i π2 20. 设函数)(z f =)1(cos -z e z z,则积分⎰=1)(z dz z f =________________.5A. i π2B. ]0),([Re 2z f s i πC. .2,0,]),([231i z zz f ik k kππ±=∑=三. 填空题 (共14题)1. 复数方程31i e z-=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3.411<++-z z 表示的区域是___________________________________.4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________,),(y x v =_______________________.5. 设函数)(z f =⎩⎨⎧=≠+-0,00,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________.6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ⎰=-++22173,则)1(+'i f =________________________.若)(z f =ζζζζd z z ⎰=-+2353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则⎰1)(z z dz z f =_______________________.8. 当a =________时,xyiarctgy x a z f ++=)ln()(22在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的__________阶极点,为)()(z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f =zzsin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________.612. 设∑+∞-∞==n nn z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c .13. 积分dz zez z⎰=11=________________________.14. 留数__________]0,1[Re _,__________]0,1[Re 2sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题(共6题)1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求)(z f '.2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足i f =)0(.3. 试讨论定义于复平面内的函数2)(z z f =的可导性. 4. 试证22),(y x yy x u +=是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f .5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且zz e e =')(.6. 证明⎰⎩⎨⎧>==-c n n n i z z dz1,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周.五. 求下列积分 (共24题)1. 计算dz z c⎰sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至)1,1(1z 的折线段.2.⎰+cdz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.73.⎰+-cdz z z)652(2, 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线.4.dz ze iz ⎰+π11. 5.dz z z i z ⎰=-++21)4)(1(122 6.dz z z zz ⎰=--ππ2)1(cos 2.7.⎰=-232)(sin z dz z zπ. 8.⎰-+=cz z dzI )2()1(2,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9.⎰++=cz z dzI )1)(12(2,其中曲线c 分别为1)1=-i z2)23=+i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e cz⎰-3)1(. 11. 23cos sin [](2)zzz e z e I dz z z z ==+-⎰. 12.⎰=--2)1(12z dz z z z . 用留数定理计算下列各题.13. dz z z e z z⎰=-1302)(,其中0z 为10≠z 的任意复数.14. dz z e z z⎰=+222)1(π.815.⎰=-24)1(sin z dz z zπ. 16.dz z z zz ⎰=-+12)12)(2(sin π. 17.⎰=1z zdz tg π.18.dz z zz ⎰=22sin . 19.⎰=+-122521z dz z z . 20.dz z z z ⎰=+-14141. 21.dz iz z z ⎰=-+122521.22. dz z z z c ⎰++)4)(1(222,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线.23. dz z z c ⎰++1142,其中c 同上.24.⎰++c dz z z )1)(9(122,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题)1.421)(z e z f z-=.2. 1sin )(-=z z z f .3.3)1(sin )(z zz f +=.94.224)1(1)(++=z z z f . 5.1)(-=z e z z f . 6.2)1()(-=z z e z f z. 7. 11)(23+--=z z z z f .8.z zz f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题)1.)2()1(1)(22z z z z f --=110<-<z2.13232)(2+--=z z zz f231<+z 3.1)(-=z e z f z+∞<-<10z4. 21)(2--=z z z f1)1<z ,2). 1<z <2,3). 2<∞<z5.)1(1)(2z z z f -=110<-<z 6.z z f cos )(=+∞<-πz 7.2)1(1)(z z f +=1<z8.zzz f sin 1)(+=π<<z 0 (写出不为零的前四项)9.)1(cos )(2-=z e z z z f+∞<<z 0 (写出不为零的前三项)1010. zz z f sin )(=π<<z 0 (写出不为零的前三项)11第二部分解答一、判断题.(共20题)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √二、单项选择题.(共20题)1. A.2. B.3. C.4. A.5. B.6. A.7. A.8. B.9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B.三、填空题 1.,210)(235(2ln ±±=++，，k k i ππ) 2.47π ，i 472ln 23π+ 3. 13422<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos +5. 16. i ππ2612+- ，π36-7.)()(01z G z G -8.21 9.n m + ，n m -10.2π 11. π<<z 01212. 1 ，-61 13.i π14. 0 ，1四、求解下列各题1. 由题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2323),(),(lxyx y x v ynx my y x u利用yv nxy x u ∂∂==∂∂2 ，得l n =222233ly x xvnx my y u --=∂∂-=+=∂∂，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy xvi x u z f -+-=∂∂+∂∂='23iz =2. 由于x xu y v 6=∂∂=∂∂ 所以 ⎰+==)(66),(x xy xdy y x v ϕ，)(6x y xvϕ'+=∂∂ 又由yux v ∂∂-=∂∂，即y x y 6)(6='+ϕ 所以 0)(='x ϕ，C x =)(ϕ（C 为常数）故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)(将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=23)(3. 由题意知⎩⎨⎧=+=0),(),(22y x v y x y x u ，由于1302=∂∂==∂∂y v x x u ，02=∂∂-==∂∂x v y y u 可得⎩⎨⎧==00y x 由函数可导条件知，2)(z z f =仅在0=z 处可导。

《复变函数论》试题库梅一A111《复变函数》考试试题（一）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分) 1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。

国开形成性考核《复变函数》形考任务(1-8)试题及答案（课程ID：00421，整套相同，如遇顺序不同，Ctrl+F查找，祝同学们取得优异成绩！）形考任务1一、单项选择题题目：1、若z1=（a，b），z2=（c，d），则z1·z2=（C）。

【A】：（ac+bd，a）【B】：（ac-bd，b）【C】：（ac-bd，bd+ad）【D】：（ac+bd，bd-ad）题目：2、若R>0，则N（∞，R）={z：（D）}。

【A】：丨Z丨<R【B】：0<丨Z丨<R【C】：R<丨Z丨<+∞【D】：丨z丨>R题目：3、若z=x+iy，则y=（D）。

【A】：【B】：【C】：【D】：题目：4、若，则丨A丨=（C）。

【A】：3【B】：0【C】：1【D】：2二、填空题（如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样）题目：5、若z=x+iy ，w=z 2=u+iv ，则v=（2xy ）.题目：6、复平面上满足 Rez=4 的点集为（{z=x+iy|x=4}）题目：7、（设E 为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。

题目：8、设z0=x0+iy0，zn=xn+iyn （n=1，2，…），则{zn}以z0为极限的充分必要条件是=（x 0）且=（y 0）。

三、计算题（要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样）题目：9、求复数 -1-i 的实部、虚部、模与主辐角.解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-1 题目：10、写出复数 -i 的三角式.解：题目：11、写出复数的代数式.解：题目：12、求根式的值. ππ45|11|arctan ),1(12)1()1(=--+=--∴--=-+-i ary i 在第三象限解：四、证明题(要求写出解题过程，如果通过附件上传答案，请在答题输入框中，输入“见附件”字样)题目：13、证明：若，则a2+b2=1.解：而题目：14、证明：解：形考任务2一、单项选择题题目：1、若f（z）=x2-y2+2xyi，则=（D）。

复变函数历年考试真题试卷一、选择题1. 下列哪个函数不是复变函数？A. f(z) = e^zB. f(z) = z^2C. f(z) = |z|D. f(z) = ln(z+1)2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？A. ∂u/∂x = 3x^2 + 6ixy - 3y^2B. ∂u/∂y = 3x^2 + 6ixy - 3y^2C. ∂v/∂x = -3x^2 + 3y^2 - 6ixyD. ∂v/∂y = -3x^2 + 3y^2 - 6ixy二、填空题1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。

2. 当z → ∞ 时，f(z) = z^2 + 3z + 1的极限是________。

3. 若f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是全纯函数，则满足柯西-黎曼方程的条件是∂u/∂x = ________。

三、计算题1. 计算复变函数f(z) = z^3 - 4z的积分，其中C为以原点为圆心、半径为2的圆周。

2. 当z = -i 时，计算复变函数f(z) = 2z^2 + 3iz的导数。

四、证明题证明：若复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在单连通域D上解析，则f(z) 在D 上也是调和函数。

（请自行根据题目要求增减字数，使得文章达到合适的长度。

）（文章正文）选择题：1. 下列哪个函数不是复变函数？2. 设f(z) = u(x,y) + iv(x,y)是一个复变函数，下面哪个等式成立？3. 对于复变函数f(z) = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3，下列哪个等式成立？填空题：1. 设f(z) = z^2 + 2iz - 1，则f(z)的共轭函数是________。

复变函数复习考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. $e^z$B. $\frac{1}{z}$C. $\sqrt{z}$D. $\ln(z)$2. 复变函数在孤立奇点处的洛朗级数展开中，负幂项系数的含义是？（）A. 函数在该点的留数B. 函数在该点的导数C. 函数在该点的极限D. 函数在该点的幅角3. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是？（）A. 柯西黎曼方程成立B. 洛朗级数展开存在C. 原函数存在D. 哈尔迪惠特尼定理成立A. 柯西积分定理B. 奇点定理C. 留数定理5. 复变函数在孤立奇点处的留数等于？（）A. 奇点处的函数值B. 奇点处的导数C. 奇点处的极限D. 奇点处 Laurent 展开式中负幂项系数的和6. 复变函数的导数等于？（）A. 实部关于 x 的偏导数B. 虚部关于 y 的偏导数C. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的和D. 实部关于 x 的偏导数与虚部关于 y 的偏导数的差7. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是？（）A. D 为单连通区域B. D 为多连通区域C. D 为有界区域D. D 为无界区域8. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是？（）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 无条件收敛D. 不能确定二、填空题（每题4分，共40分）1. 复变函数 $f(z) = e^z$ 在 $z=0$ 处的泰勒级数展开式为______。

2. 复变函数的导数 $f'(z)$ 满足______方程。

3. 若复变函数 $f(z)$ 在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径______。

4. 复变函数在孤立奇点处的留数等于该点______项系数的和。

5. 复变函数在解析区域内解析的充分必要条件是______。

6. 复变函数在区域 D 内解析，则其在 D 内的积分与路径无关的条件是 D 为______区域。

7. 复变函数的泰勒级数展开式在收敛圆内的性质是______。

习题88.3.求下列函数的Laplace 变换.t e t t f 22)1()((3)-=解：t t t f 3cos )((4)= 解：at n e t t f =)( )7( （n 为正整数）解：8.4 求下列函数的Laplace 变换⎰-=td e t t f 032sin )( )2(τττ解：tatt f sin )( )3(=（a 为实数） 解：利用像函数的积分性质=)s (F ℒ]sin [t at ==⎰∞ds kt L s ][sin s a s ds as a s ∞=+⎰∞arctan 22 .cot arctan2asarc a s =-=π(4)2sin )( )5(03⎰-=tt tdt te t f解：⎰-=tt dt tte tf 023sin )( (6) 解：⎰⎰∞∞--+=++===s s t t s s ds s s ds t e L s t t e L s s F 32arctan 19)2(31]3sin [1]3sin [1)(222 8.5计算下列积分⎰+∞-0sin (1)dt e tt t解：.4420)1s arctan(1)1(1]sin [02πππ=-=∞+=++==⎰⎰∞∞-ds s ds t e L t⎰+∞--0cos 1 (4) dt e tt t解：⎰+∞-032sin )5(tdt te t解：8.9． 求下列函数的逆变换))(()( )1(b s a s ss F --=)4)(1()( (2) 22++=s s ss F5691s )( )5(2+++=s s s F解：611652)( )7(232+++++=s s s s s s F 解：8.10． 解下列微分方程;0)0()0(,cos 222 )1(='==+'-''y y t e y y y t解：;2)0(,1)0(,2cos 5sin 4 )3(-='-=+='-''y y t t y y解：;0)0()0()0(, )5(2=''='=='+'''y y y e y y t解：;1)0(,0)0()0()0(,02 )8()4(=''='''='==+''+y y y y y y y解：8.11． 求解下列积分方程及微分积分方程0)0(,)(sin 20=-=+'⎰y d y t y y tττ解：两端取拉氏变换，并由微分和积分性质，有)(111Y(s)2 (s) 2s Y s s sY -+=+ 即11)()312( 2+=++s s Y s2222)1(1211121)1()1()( +-+=++=s s s s s s Y因此t te t t y --=21sin 21)( )(sin 21t te t --=8.12．求解下列方程组（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='==-''-'='-=='+-''21)0(,1)0( 221)0(,23)0( 2 2y y t y y x x x e y x x t解： 设ℒ),()]([s X t x =ℒ)()]([s Y t y =在方程组两边去Laplace 变换，并应用初始条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-+-=+---+3222)(221)(23)(112)(2)(2123)(s s Y s s Y s s sX s s sY s X s s X s 解方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+--=.231)1(21)(2)1(23)(32s s s s Y s s s X求它们的逆变换得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=232121)(223)(2t e t y t e t x t t。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 复变函数中，下列哪个函数是全纯函数？A. f(z) = z^2 + 1B. f(z) = |z|C. f(z) = Re(z)D. f(z) = z + |z|2. 复变函数f(z)在z=a处解析的充分必要条件是？A. f(z)在z=a处可导B. f(z)在z=a处的导数存在C. f(z)在z=a处的极限存在D. f(z)在z=a处的 Laurent 级数展开收敛3. CauchyRiemann方程中，u和v分别表示什么？A. u表示实部，v表示虚部B. u表示虚部，v表示实部C. u表示模，v表示幅角D. u表示幅角，v表示模4. 复变函数f(z)的Taylor级数展开式中，系数an与下列哪个量有关？A. f(z)在z=0处的导数B. f(z)在z=0处的值C. f(z)在z=0处的n阶导数D. f(z)在z=0处的Laurent级数5. 复变函数积分中，下列哪种方法不能用来计算复变函数积分？A. 定积分B. 不定积分C. Cauchy积分公式D. 复合积分法二、判断题（每题1分，共5分）1. 复变函数的导数与实变函数的导数定义相同。

（）2. 复变函数的积分路径可以任意选取。

（）3. 复变函数的Taylor级数展开一定收敛。

（）4. 复变函数的Laurent级数展开中，负幂项表示奇点。

（）5. 复变函数在孤立奇点处的留数总是唯一确定的。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 复变函数f(z) = z^2的导数为______。

2. 复变函数f(z)在z=0处的Taylor级数展开为______。

3. Cauchy积分公式中，积分路径C必须围绕______。

4. 复变函数f(z)在z=a处的留数是______。

5. 复变函数f(z) = e^z的Laurent级数展开为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述复变函数的可导与解析的关系。