数轴与相反数

有理数、数轴、相反数一、有理数是一个整数a和一个整数b的比，表示ab。

无理数：不能写作两个整数的比，也就是无限不循环小数。

如果一个数既不是整数，也不是分数，那么它一定不是有理数。

有理数的分类：正整数正整数正有理数整数0正分数负正数有理数0 有理数负正数正分数负有理数分数负分数负分数正数：大于0的数负数：在正数前加上“－”（读负号）的数。

0既不是正数，也不是负数。

二、数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线。

在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向，选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上去点。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。

三、相反数相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

性质：任何一个数都有且只有一个相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

特征：a与b互为相反数。

a＋b＝0化简：正号省略，负负得正。

正号的个数不影响最终结果。

负号的个数如果是偶数不影响最终结果；负号的个数如果是奇数个只保留一个负号。

不管是正数还是负数求它的相反数，只在它们前面加一个负号，然后化简符号。

例题：写出它们的相反数，并化简。

﹣6 ﹣（5）＋（﹣7）﹣（﹣4）＋9四、绝对值数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

记作a 。

正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；①如果a ＞0，那么a ＝a ②如果a ＜0，那么a ＝﹣a③如果a ＝0，那么a ＝0 ④若a,b 为有理数，a ＝b ，则a ＝±b五、有理数的大小（1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数；（3）两个负数比较，绝对值大的反而小；（4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；六、有理数的加法（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.七、有理数的减法①减去一个数等于加上它的相反数。

数轴反数知识点总结一、数轴反数的概念1. 实数：实数包括有理数和无理数两大类。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数；无理数是无法表示为有理数的数，如π和√2等。

2. 数轴：数轴是用来表示实数的有序直线。

数轴上任意一点都与一个实数一一对应，数轴的原点通常表示为0，正方向表示为向右，负方向表示为向左。

3. 反数：对于任意一个实数a，与其相加得到0的实数称为a的反数，通常用-symbol(a)表示，即-symbol(a) + a = 0。

二、数轴反数的性质1. 反数的性质：实数a的反数是-symbol(a)，即-symbol(a) + a = 0。

2. 反数的性质：两个数的反数互为相反数，即a + (-symbol(a)) = 0，-symbol(-symbol(a)) = a。

3. 反数的性质：0的反数是0，即-symbol(0) = 0。

三、数轴反数的运算规律1. 加法运算：a的反数是-symbol(a)，那么a + (-symbol(a)) = 0，这就是说，加上一个数的反数就可以得到0。

同样地，(-symbol(a)) + a = 0。

2. 减法运算：a - b可以理解为a + (-b)，即a减去b等价于a加上b的反数。

例如，5 - 3 = 5 + (-3)。

3. 乘法运算：两个数相乘，其中一个数为正，另一个数为负，它们的积为负。

例如，-5 * 3 = -15。

4. 除法运算：两个数相除，如果被除数和除数符号相同，则商为正；如果被除数和除数符号相反，则商为负。

例如，(-6) ÷ 2 = -3，6 ÷ (-2) = -3。

四、数轴反数的图示下面是一个示意图，可以帮助理解数轴反数的概念和性质。

```-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 —————————————————————————————————————————————————————————————————```在上面的数轴上，可以看到0是原点，负方向是向左，正方向是向右。

数轴、相反数、绝对值数学是研究数量、结构、变化及空间等概念的学科。

在数学中，数轴、相反数和绝对值是非常重要的概念，它们在解决各种实际问题中发挥着关键作用。

一、数轴数轴是数学中的一个基本概念，它是一个有序的直线，用来表示实数和有理数。

数轴上的点表示实数，原点表示零，正半轴表示正数，负半轴表示负数。

通过数轴，我们可以直观地比较两个实数的大小，也可以找出任何实数的相反数和绝对值。

二、相反数相反数是数学中的另一个重要概念。

如果一个数x的相反数是-x，那么它们在数轴上位于原点的两边，并且它们的距离相等。

例如，3的相反数是-3，5的相反数是-5。

在数学中，相反数经常被用于抵消或中和，以解决各种问题。

三、绝对值绝对值是数学中的一个非常有用的概念。

在数轴上，任何一个实数x的绝对值就是从原点到点x的距离。

例如，3的绝对值是3，-5的绝对值也是5。

绝对值的计算公式是|x| = x(x > 0)或 0(x = 0)或 -x(x < 0)。

绝对值的概念可以帮助我们确定一个数的符号和它的大小。

四、总结数轴、相反数和绝对值是数学中的基本概念，它们在解决各种实际问题中发挥着关键作用。

通过了解这些概念，我们可以更好地理解数学的本质，并解决各种复杂的问题。

因此，对于每一个学习数学的人来说，理解这些基本概念都是非常重要的。

《相反数、绝对值复习》课件一、教学目标1、复习相反数和绝对值的概念和性质，掌握它们的计算方法。

2、提高学生对于相反数和绝对值的理解和应用能力。

3、培养学生的思维能力和自主学习能力。

二、教学内容1、相反数的概念及性质。

2、绝对值的概念及性质。

3、相反数和绝对值的计算方法。

三、教学重点与难点重点：掌握相反数和绝对值的计算方法。

难点：理解相反数和绝对值的概念及性质，并应用到实际问题中。

四、教学方法与手段1、通过PPT展示相反数和绝对值的概念和性质，让学生自主思考和讨论。

2、通过例题讲解和练习，让学生掌握计算方法。

考点02数轴与相反数知识框架⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩数轴的概念数轴的读数与画法基础知识点数轴上的点与有理数之间的关系数轴与数的大小利用数轴求两点之间的距离重点题型数轴上点的运动⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩相反数的概念基础知识点相反数的意义多重符号化简相反数的意义及求法重点题型相反数与数轴结合 基础知识点知识点2.1 数轴的概念1）数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴 2）三要素：①原点—参考点，正负数分界点； ②方向—一般选取向右为正方向；③单位长度—同一条数轴上的单位长度应当一致 知识点2.2 数轴的读数与画法1）数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数轴的右边，则为负数。

2）画数轴步骤：a .直线b .确定原点c .选正方向（通常从原点向右或向上定位正方向）d .选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…）e .标数（用实心点标数）.例1．以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（） A ． B ． C ．D ．例2．下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里？①②③④⑤⑥⑦【答案】①②③④⑥画的数轴不对，⑤和⑦画的数轴正确，原因见解析.【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．【解析】解：①画的数轴不对，缺原点；②画的数轴不对，缺正方向；③画的数轴不对，数轴不是射线而是直线；④画的数轴不对，缺单位长度；⑥画的数轴不对，单位长度不统一．⑤和⑦画的数轴正确．【点睛】本题考查了数轴的识别．规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．例3．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．－1知识点2.3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）1）数轴上的点并不是都是有理数2）正方向可以不按照常规方向选取3）a>0，与原点的距离是a，在数轴上可以是 a（存在多解的情况）注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向例1.下列说法：①规定了原点、正方向的直线是数轴②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数③有理数1100数轴上无法表示出来④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点其中正确的是（）A．①②③④B．②③④C．③④D．④例2.数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．A．整体B．方程C．转化D．数形结合【分析】因为数轴是解决数的运算的一种重要工具，所以它充分体现了数形结合的思想．【点睛】本题考查几种数学思想，解题的关键是理解数形结合的定义：根据数与形之间的一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而起到优化解题途径的目的．例3.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（）个A．13或14个B．14或15个C．15或16个D．16或17个若在数轴上随意画线段AB，其左侧端点A的位置存在两种可能性：一种可能是点A与数轴上某一个整点重合(如图中数轴①所示；为清楚起见，图中用长方形代表线段AB)，另一种可能是点A落在数轴上某两个整点之间的区域内(如图中数轴②所示). 因为线段AB的长是一个定值，所以当线段左侧端点A的位置确定时线段右侧端点B的位置也随之确定.(1) 分析图中的数轴①可知，由于数轴的单位长度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A与一个整点重合，所以线段AB的两个端点各自盖住1个整点，线段的其他部分盖住了14个整点，故线段AB一共盖住了16个整点.(2) 分析图中的数轴②可知，由于数轴的单位长度为1厘米，线段AB的长为15厘米，且左侧端点A落在两个整点之间的区域内，所以线段AB的两个端点均无法盖住任何整点，线段的其他部分盖住了15个整点，故线段AB一共盖住了15个整点.综上所述，线段AB盖住的整点的个数共有15或16个.故本题应选C.点睛：本题不仅考查了数轴的相关知识，还考查了利用简单的数形结合思想解决问题的能力. 解决本题的关键在于结合图形针对可能出现的情况进行分类讨论. 在分析的过程中，线段左侧端点在数轴上可能的位置是分情况讨论问题的一个重要出发点，左侧端点是否与某一整点重合直接影响线段所能覆盖的整点数量.知识点2.4 数轴与数的大小1）正方向上，离原点越远，数越大2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。

有理数的概念（数轴、相反数）要点一、正数与负数大于0的数，叫做正数； 像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点二、有理数的分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．要点三、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点四、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.类型一、正数和负数（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？知识导航典题精练例题1举一反三：【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克【变式2】（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________．类型二、有理数的概念及分类（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，2.4，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（ ） （2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）例题2【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【变式3】下列说法正确的是（）A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B．正有理数和负有理数组成全体有理数C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D．零既不是正数，也不是负数【变式4】把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }类型三、数轴（1）下面图形是数轴的是（）A．B．C．D．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．举一反三：【变式】（1）如图，表示数轴正确的是（）A．B．C．D．（2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为-2，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．例题3（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________．（3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？举一反三：【变式】（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0类型、相反数（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-< D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数例题4例题5举一反三：【变式1】我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个或更多化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)举一反三：【变式1】如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--【变式2】（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．例题6一、选择题1.如图所示，在数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.62．从原点开始向右移动3个单位，再向左移动1个单位后到达A 点，则A 点表示的数是( )． A.3 B.4 C.2 D.-23．关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数 4.下列说法中：（1）0是最小的自然数；（2）0是最小的正数；（3）0是最大的负整数；（4）0属于整数集合；（5）0既非正数也非负数．正确的是（ ） A ．（1）（2）（4） B ．（4）（5） C ．（1）（4）（5） D ．（1）（2）（5） 5.一个数的相反数是非负数，则这个数一定是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6.在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④ 7.-（-2）=（ ） A.-2B. 2C.±2D.4二、填空题1.不大于4的正整数的个数为 ．2.已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是 ．3. 既不是正数，也不是负数的有理数是 ．4.如图所示，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．5.数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为m , 距离原点等于3.5的点的个数为n , 则3____m n -=.6.已知x 与y 互为相反数，y 与z 互为相反数，又2z =，则z x y -+= .7. 已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为 ．8.一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.课堂巩固三、解答题9．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?10．把下列各数填在相应的大括号内： 1.2-，３，１，41，0，－14.3，101-，6.20，25-，1056，－７．正分数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}；正整数集合：{ …}； 负整数集合：{ …}．11．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭12.若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 是最大的负整数．求代数式的值．13.在数轴上有三个点A ，B ，C 如图所示，请回答：(1)将B 点向左移动3个单位长度后，三个点表示的数谁最小？ (2)与A 点相距3个单位长度的点所表示的数是什么？(3)将C 点左移6个单位长度后，这时B 点表示的数比C 点表示的数大多少？。

第2节数轴与相反数知识梳理1、数轴的概念：规定了原点、正方向（向右为正）、单位长度的直线叫做数轴.任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示.2、相反数的概念（1）(代数意义）：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（2）(几何意义）：在数轴上位于原点两旁且到原点距离相等的两个点表示的数叫做互为相反数.合作学习：数轴在一条东西向的马路上，离车站的西面3米处有一辆小汽车，车站的东面6米处有一棵柳树，小汽车的西面5米处有一棵樟树，试用图表示这一情景.我们在小学学习数学时，就能用直线上依次排列的点来表示自然数，所以我们可以画一条直线表示马路，从左到右表示由西到东的方向，任取一点O表示车站的位置，点C，点B，点A分别表示柳树、小汽车、樟树的位置，为了表达更加清晰，我们把点O左右两边的数分别用负数和正数来表示，如图所示.从以上得到一点启发：我们在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.具体做法如下：画一条直线（通常画成水平方向），在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示O。

规定直线上从原点向右为正方向，画上箭头，那么相反方向为负方向。

再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…，如图所示。

概括：像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.典例精析考点1：运用数轴表示有理数【例1】画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：5，-2，-4，+1，3.5分析：在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一侧，再在相应的一侧上确定它与原点相距几个单位长度.解：如图：点评：画数轴要注意三要素：（1)原点、（2)正方向（向右为正）、（3)单位长度跟踪训练1如图，数轴上的点A，B，C，D，E分别表示什么数？跟踪训练2A点表示-3，B点表示-1.5，C点表示0，D点表示+1.5，E点表示+3考点2：运用数轴解决实际问题【例2】小明的家（记为A)、学校（记为B)、书店（记为C)依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了30米到达D处，以B点为原点，试用数轴表示上述A、B、C、D的位置，并写出A，B，C，D四点表示的数.解：如图，A点表示的数为-30，B点表示的数为0，C点表示的数为+50，D点表示的数为+10.点评：本题利用了“数形结合”的数学思想，将实际问题转化为数学问题，数轴正是实现这一转化的桥梁.跟踪训练2邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2km到达A村，继续向南骑行3km到达B村，然后向北骑行9km到达C村，最后回到邮局.（1）以邮局为原点，以北为正方向，用lcm表示lkm，画出数轴，并在该数轴上表示出A，B，C三个村庄的位置；（2）C村离A村有多远？（3）邮递员一共骑了多少km?跟踪训练2（1）图略；（2）C村离A村有6km；（3）邮递员一共骑了18km合作学习：观察以下两对数中，各有什么共同特点？很明显，每对数中的两个数都只有符号不同.概括：像这样只有符号不同的两个数称互为相反数，如3和3-互为相反数。

第02讲数轴和相反数1.理解相反数的概念，能正确求出一个数的相反数；2.掌握相反数的性质，并能进行多重符号的化简；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.通过数轴与有理数是相互对应的，初步培养学生数学结合思想。

知识点1 ：相反数（1）概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。

（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。

（2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。

两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。

（3）多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）知识点2：数轴（1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度（2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

（3）应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。

（注意不带“+”“—”号）【题型 1 相反数的概念和表示】【典例1】（2023•舟山模拟）2023的相反数是（）A．2023B．﹣2023C．D．±2023【变式1-1】（2023•商河县二模）﹣4的相反数是（）A．±4B．﹣4C．4D．【变式1-2】（2023•武汉模拟）数a的相反数为﹣5，则a的值为（）A．﹣5B．C．D．5【变式1-3】（2022秋•荔湾区期末）下列两数互为相反数的一组是（）A．+20和﹣（﹣20）B．+（﹣0.1）和﹣（﹣）C．﹣0.3和﹣（+0.3）D．2.5和﹣[+（﹣）]【题型 2 相反数的性质运用】【典例2】（2021秋•绥棱县校级期末）若m，n互为相反数，则（m+n）2021＝．【变式2-1】（2022秋•历城区期中）若|x﹣2|与|2y+6|互为相反数，则x+y＝．【变式2-2】（2021秋•宁远县期末）若a与b互为相反数，则代数式2021a+2021b ﹣5＝．【变式2-3】（2022秋•德惠市校级月考）已知m，n互为相反数，则2m+2n+2﹣＝.【题型 3 数轴的画法及应用】【典例3】（2022•苏州模拟）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2022•杭州模拟）下列说法中正确的是（）A．数轴是一条射线B．数轴上离开原点距离越远的点表示的数越大C．数轴上的点所表示的数从左到右依次减小D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示【变式3-2】（2021秋•凉州区校级期末）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（）个．A．0B．1C．2D．3【典例4】（2022秋•自贡期末）a，b为有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示．则下列关系式正确的是（）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜aC．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a＜﹣b＜b＜﹣a【变式4-1】（2023•贵阳模拟）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＞0C．ab＞0D．【变式4-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，已知a，b均为有理数，且a+b＝0，则它们在数轴上的位置不可能落在（）A．线段AB上B．线段BC上C．线段BD上D．线段AD上【变式4-3】（2022秋•江阴市期末）如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论正确的是（）A．a+b＞0B．a﹣b＞0C．ab＞0D．以上都不正确【典例5】（2022秋•兴文县期中）如图，已知数轴上从左到右有A，O，C，B四点，点A，B之间的距离为10个单位长度，且点A和点B到原点O的距离相等，点A，C之间的距离为7个单位长度．（1）点A所表示的有理数是，点C所表示的有理数是；（2）从点C出发、沿数轴向左移动4个单位长度到达点D，求点D所表示的有理数；（3）在（2）的基础上，一只小虫从点D开始沿数轴运动了6次，规定向右运动为正，每次运动情况如下表所示，求第6次运动后小虫在原点什么位置？它一共运动了多少个单位长度？运动次数第1次第2次第3次第4次第5次第6次运动变化﹣3+2﹣4+3﹣2﹣1【变式5-1】（2022秋•方城县期中）如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5、b、4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．（1）在图1的数轴上，AC＝个长度单位；在图2中，AC＝cm；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的cm；（2）求在数轴上点B所对应的数b；（3）若点Q是数轴上一点，且满足AQ＝2AB，通过计算，求点Q所表示的数【变式5-2】（2022秋•阳信县月考）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达小彬家，继续向东跑了1km到达小红家，然后又向西跑了4km到达学校，最后又向东，跑回到自己家．（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点B表示出小红家，用点C表示出学校的位置；（2）小彬家与学校之间的距离是km；（3）小明一共跑了多远距离？【变式5-3】（2022秋•平桂区期中）根据下面给出的数轴，解答下面的问题：（1）请你根据图中A、B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：B：；（2）观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是；（3）若将该数轴中标有刻度的部分折叠，使得A点与﹣3表示的点重合，则B点与数表示的点重合．【题型 4 数轴上的点所表示的数】【典例6】（2022秋•天津期末）已知数轴上点A到点B的距离是4，且点B所表示的数是2，则点A所表示的数是（）A．4或﹣4B．6或﹣2C．6或2D．﹣6或﹣2【变式6-1】（2022秋•武冈市期末）点A为数轴上表示﹣2的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为（）A．7或﹣3B．3或﹣7C．3或﹣3D．7或﹣7【变式6-2】（2023•义乌市校级开学）如图，小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数的和是（）A．﹣1B．0C．1D．2【变式6-3】（2023•新邵县校级一模）在数轴上表示数﹣1和2021的两个点之间的距离为（）个单位长度．A．2022B．2021C．2020D．2019【题型5数轴中点规律问题】【典例7】（2023•新华区校级二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【变式7-1】（2022秋•公安县期末）在数轴上，若点A，B表示的数分别是﹣3和5，点M是线段AB的中点，则M表示的数为（）A．1B．2C．4D．﹣4【变式7-2】（2022秋•江岸区期末）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是﹣19和3．点C为线段AD的中点，且BC＝6BD，则点C表示的数为（）A．﹣9B．﹣9.5C．﹣10D．﹣10.51．（2023•重庆）8的相反数是（）A．﹣8B．8C．D．2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（）A．2023B．﹣2023C．D．﹣3．（2022•鄂尔多斯）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．3 4．（2021•广州）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB ＝6，则点A表示的数为（）A．﹣3B．0C．3D．﹣6 5．（2021•长春）﹣（﹣2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣2 6．（2021•怀化）数轴上表示数5的点和原点的距离是（）A．B．5C．﹣5D．﹣7．（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．8．（2020•乐山）数轴上点A表示的数是﹣3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（）A．4B．﹣4或10C．4或﹣10D．﹣10 9．（2020•长春）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（）A．﹣1B．﹣1.5C．﹣3D．﹣4.2 10．（2020•包头）点A在数轴上，点A所对应的数用2a+1表示，且点A到原点的距离等于3，则a的值为（）A．﹣2或1B．﹣2或2C．﹣2D．1 11．（2023•四平模拟）化简﹣（﹣2）的结果为（）A．﹣1B．0C．1D．2 12．（2023•裕华区校级模拟）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应﹣4，直尺的0刻度位置对应﹣6，则线段AB中点对应的数为（）A．4B．5C．8D．12 13．（2023•建邺区二模）表示数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，下列选项中一定成立的是（）A．a+b＞b+c B．a﹣c＞b﹣c C．ab＞bc D．14．（2023•南安市模拟）如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+2b ＝0．若A、B两点间的距离为12，则点A表示的数为（）A．4B．﹣4C．8D．﹣8 15．（2023•贵州模拟）如图，点A，B在数轴上所对应的点表示的数分别为a，b，则下列结论正确的是（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a+b＝0 16．（2023•新华区校级二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段AB的中点表示的数为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣41．（2023•淇县二模）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．2．（2022秋•电白区期末）如图，在数轴上，小手遮挡住的点表示的数可能是（）A．﹣1.5B．﹣2.5C．﹣0.5D．0.5 3．（2023•南皮县校级一模）﹣（+2）的相反数是（）A．2B．C．﹣D．﹣2 4．（2023•锡林浩特市三模）如图，数轴（单位长度为1）上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A．﹣2B．0C．1D．4 5．（2022秋•市北区校级期末）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（）①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①②B．①④C．②③D．③④6．（2022秋•湖北期末）a，b互为相反数，下列各数中，互为相反数的一组为（）A．a2与b2B．a3与b5C．a2n与b2n（n为正整数）D．a2n+1与b2n+1（n为正整数）7．（2023•秦皇岛一模）如图，数轴上点A对应的数是，将点A沿数轴向左移动2个单位至点B，则点B对应的数是（）A．﹣B．﹣2C．D．8．（2022秋•隆回县期末）若数轴上表示﹣2和3的两点分别是点A和B，则点A和点B之间的距离是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5 9．（2023•济南二模）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（）A．﹣（a+1）B．﹣（a﹣1）C．a+1D．a﹣1 10．（2023•五华县校级开学）如图，数轴上点C对应的数为c，则数轴上与数﹣2c对应的点可能是（）A．点A B．点B C．点D D．点E 11．（2022秋•益阳期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（）A．0B．1C．2D．3 12．（2023•大埔县校级开学）在﹣，﹣0.7，﹣9，25，，0，﹣7.3，300%中，分数有个．13．（2022秋•市北区校级期末）代数式3x﹣8与2互为相反数，则x＝．14．（2022秋•荣昌区期末）如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是．15．（2022秋•宣州区期末）在数轴上与﹣2所对应的点相距4个单位长度的点表示的数是．16．（2022秋•洛阳期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上“0cm”和“8cm”分别对应数轴上的﹣3和x，那么x的值为．17．（2022秋•东平县校级期末）若x﹣1与2﹣y互为相反数，则（x﹣y）2022＝．第02讲数轴和相反数。

数轴与相反数教案教案标题：数轴与相反数教案目标：1. 学生能够理解和运用数轴的概念，正确表示和比较正数、负数和零。

2. 学生能够理解相反数的概念，并能在数轴上找到相反数。

3. 学生能够运用数轴和相反数的知识解决实际问题。

教案步骤：引入活动：1. 创设情境，例如讲述一个关于温度变化的故事，引发学生对数轴和相反数的兴趣。

2. 准备一个数轴模型，向学生展示数轴的基本概念和用途。

探索活动：1. 引导学生观察数轴上的正数、负数和零的位置，并解释它们的意义。

2. 让学生通过数轴模型的实际操作，找到给定数值的相反数。

3. 引导学生发现相反数的特点，例如它们在数轴上的位置和数值的关系。

拓展活动：1. 给学生一些数值，让他们在数轴上标出这些数，并找到它们的相反数。

2. 给学生一些实际问题，例如温度变化或海拔高度变化，让他们利用数轴和相反数的概念解决这些问题。

3. 给学生一些数轴上的比较题目，让他们通过比较正数、负数和零的位置来回答问题。

巩固活动：1. 给学生一些练习题，让他们在数轴上找到给定数值的相反数。

2. 给学生一些实际问题，让他们利用数轴和相反数的知识解决这些问题。

3. 组织小组讨论，让学生分享他们在解决实际问题中的思路和方法。

评估活动：1. 通过观察学生在活动中的参与程度和回答问题的准确性来评估他们对数轴和相反数的理解。

2. 给学生一些练习题或小测验，检验他们对数轴和相反数的掌握程度。

教案扩展：1. 引导学生思考数轴的扩展应用，例如分数、小数和根号等。

2. 鼓励学生设计自己的数轴活动，分享给其他同学。

教学资源：1. 数轴模型2. 实际问题练习题3. 练习题或小测验4. 小组讨论记录表教学反思：1. 在引入活动中，要确保创设的情境能够引发学生的兴趣和好奇心。

2. 在探索活动中，要注重学生的实际操作和观察，让他们亲自体验数轴和相反数的概念。

3. 在拓展活动中，要提供不同难度和类型的问题，以满足学生的不同需求和能力水平。

第五讲 数轴与相反数【知识要点】1.数轴①数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

②利用数轴比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

2.相反数①相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

0的相反数是0。

②几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等； ③判断互为相反数的两种方法：a.从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；b.从直观上看a a -与是互为相反数。

3.求一个数的相反数就是在这个数的前面添加“—”。

【经典例题】【例1】①下面表示数轴的图中，画得准确的是( )。

A ．B ．C ．D ．②在数轴上表示下列各数，并按照从小到大的顺序用“＜”号连接起来。

+3， -1， 0， 2,32, -1.5, 521, -2, 312-,-3【例2】①如果a+b=0，那么a ，b 两个实数一定是（ ）A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数 ②若a 与-5互为相反数，那么a 是（ ）A ．-5B ．51C ．51- D ．5 ③若a ，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）A ．-2a 和-2bB ．a+1和b+1C ．a+1和b-1D ．2a 和2b【例3】化简。

①⎪⎭⎫ ⎝⎛--32 ②⎪⎭⎫ ⎝⎛+-54 ③()100++④⎪⎭⎫ ⎝⎛-+324 ⑤ ()a -- ⑥ ()2a b -++⎡⎤⎣⎦【例4】若a 为有理数，试确定a 与a -在数轴上的位置，且比较其大小。

【例5】①如图，数轴上的点A 向左移动2个单位长度得到点B ，则点B 表示的数是_____________.②数轴是一个非常重要的数学工具，通过它把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．请利用数轴回答下列问题：a.如果点A 表示数-2，将点A 向右移动5个单位长度到达点B ，那么点B 表示的数是_________，A 、B 两点间的距离是________；b.如果点A 表示数5，将点A 先向左移动4个单位长度，再向右移动7个单位长度到达点B ，那么点B 表示的数是______，A 、B 两点间的距离是__________；c.一般的，如果点A 表示的数为a ，将点A 先向左移动b 个单位长度，再向右移动c 个单位长度到达点B ，那么点B 表示的数是________③一只小鸟落在数轴上的某点,第一次从向左跳一个单位到，第二次从向右跳2个单位到，第三次从向左跳3个单位到，第四次从向右跳4个单位到，…，按此规律跳了100次时，它落在数轴上的点所表示的数恰是2068，这只小鸟初始位置所表示的数是_________.【初试锋芒】1.下列说法正确的是（ ）A.所有的有理数都可以用数轴上的点表示B.数轴上的每一个点都表示一个整数C.规定了正方向和单位长度的一条直线叫做数轴D.在同一数轴上，单位长度可以不统一2.在数轴上和表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是( )A.-8B.2C.-8和2D.13.点A 表示的数是-2，将点A 沿数轴移动6个单位后到达点B ，则点B 表示的数为（ ）A.-8B.4C.4或-8D.不能确定4.如图1-2-1所示，在数轴上有六个点，且AB=BC=CD=DE=EF ，则此数轴的原点在（ ）A.在点A 、B 之间B.在点B 、C 之间C.在点C 、D 之间D.在点D 、E 之间5.数轴上的点A 、B 、C 、D ，分别表示数a 、b 、c 、d ，已知A 在B 的右侧，C 在B 的左侧，D 在B 、C 之间，则下列式子成立的是（ ）A.a ＜b ＜c ＜dB.b ＜c ＜d ＜aC.c ＜d ＜a ＜bD.c ＜d ＜b ＜a6.如图1-2-2所示，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分中共有 个整数。

数轴与相反数数轴是一种用来表示实数的图形工具，它将实数映射到一条直线上。

数轴的中心点是原点，正方向是向右，负方向是向左。

数轴上的每个点对应着一个实数，而相反数则是指与某个数相加等于零的数。

数轴的作用是帮助我们直观地理解和比较实数的大小关系。

在数轴上，我们可以清晰地看到不同实数之间的距离，进而判断大小关系。

相反数是指两个数相加等于零的数。

例如，2和-2是一对相反数，-5和5也是一对相反数。

相反数具有以下特点：1. 相反数的绝对值相等，符号相反。

这意味着如果一个数是正数，它的相反数就是负数，反之亦然。

例如，3和-3的绝对值都是3，只是符号不同。

2. 任何数与它的相反数相加等于零。

这是数学中的一个基本性质，即一个数加上它的相反数等于零。

例如，5 + (-5) = 0。

3. 相反数可以用来表示方向。

在物理学和几何学中，相反数可以用来表示方向。

例如，正数表示向右的方向，而负数表示向左的方向。

数轴和相反数在数学和实际生活中都有广泛的应用。

在数学上，数轴可以帮助我们比较大小关系、进行加减运算、解方程等。

通过将数映射到数轴上，我们可以更直观地理解数的大小和位置。

在解决一些实际问题时，数轴也是一个有用的工具。

在实际生活中，数轴可以用来表示温度、时间、距离等概念。

例如，摄氏度和华氏度可以通过数轴进行转换和比较；时间可以用数轴表示一天中的不同时刻；距离可以用数轴表示两个地点之间的距离。

相反数在实际生活中也有许多应用。

例如，在银行账户中，存款和取款可以用正数和负数来表示。

存款是正数，取款是负数。

通过相反数的概念，我们可以方便地进行账户余额的计算和管理。

相反数也可以用来表示物体的运动方向和速度。

在物理学中，正数表示向右的方向，负数表示向左的方向。

通过相反数的概念，我们可以更准确地描述物体的运动状态。

数轴和相反数是数学中的重要概念，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

数轴可以帮助我们直观地理解和比较实数的大小关系，相反数则是一种特殊的数，它与原数的和为零。

数轴与相反数【知识要点】1．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。

2. 利用数轴比较大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

1. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。

0的相反数是0。

2. 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数； ②从直观上看a a -与是互为相反数。

【典型例题】例1 如下图所示，数轴中正确的是（ ）例2 把下列各数在数轴上表示出来，并且从小到大用“＜”连接起来： －2，132，0，14-，1，142-，152。

例3 已知A 、B 是数轴上的点。

（1）若点A 表示－3，以点A 出发，沿数轴移动4个单位长度到达B 点，则B 点表示的数是 。

（2）若将点A 向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A 表示的数是0，那么点A 原来表示的数是 。

例4 试比较a 与a -的大小．例5 点M 在数轴上原点左边，离原点213个单位的一个点，如把点M 沿着数轴向右移动7个单位，到达点M '，则点M '表示什么数？数轴与相反数练习一、选择题1．下列所画数轴中正确的是（ ）A B C D 2．下面说法中正确的是（ ）①在―4与―3之间没有负数； ②在0与1之间有无数个数； ③在―4与―3之间没有其他整数； ④在0与1之间没有负数． A 、①②③B 、②③④C 、①③④D 、①②④B－11ACD-1 0 13．下面说法正确的是（ ）A 、任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来B 、数轴上右边的数表示正数，左边的数表示负数C 、数轴上离开原点距离越远的点所表示的数越大D 、0是最小的正整数4．如果一个数的相反数是非负数，那么这个数一定是（ ） A 、正数B 、负数C 、非正数D 、非负数5．下列说法正确的是（ ） A 、()2+-是－2的相反数 B 、()2--是－2的相反数 C 、－2的相反数是()2+- D 、+3的相反数是()3--二、填空题1．分别写出下列各数的相反数：－2，212+，0，－1.9，π-，472．+3的相反数是 ，－3的相反数是 ，()3+-的相反数是 ，()3-+的相反数是 ． 3．2-a 的相反数是 ，a -2的相反数是 ． 4．用“>”或“<”填空．（1）若a 是正数，则a - 0 （2）若a 是负数，则a - 0 （3）若a -是正数，则a 0 （4）若a -是负数，则a 05．在数轴上用点A 表示－3，则点A 到原点的距离是 ，到原点的距离等于3的点表示的数为 ．6．比较下列各组数的大小：（1）3.5 0； （2）－2.8 0；（3）65- 75-；（4）－1.95 －1.59； （5）75 76-；（6）31- 0.3；（7）7.1 1117-；（8）7.1 1117．三、解答题1．在下图中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 各表示什么数？2．在数轴上把数+31、－2.5、0、211表示出来，并用“<”把它们连接起来．A EB OC FD 12 33．在数轴上画出表示大括号内的一组数的点：（1）{}5000,10000,5000-； （2）{}0,0001.0,0003.0-4.若a 为有理数，试确定2a a 与在数轴上的位置，且比较其大小。

数轴和相反数————初中知识链接————一、数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．二、相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．【经典题型】初中经典题型1．下列图形中，属于数轴的是（）A． B．C． D．2．下列数轴画正确的是（）A． B．C． D．3．在数轴上到-1的点的距离是3的点所表示的数为（）A．2 B．4-或2 C．4-D．2-或44．下列语句中正确的是( )A．数轴上的点只能表示整数B．数轴上的点只能表示分数C．数轴上的点只能表示有理数D．所有有理数都可以用数轴上的点表示出来5.数轴上点A表示-4，点B表示2，则A，B两点之间的距离是（）A．-2 B．-6 C．6 D． 86．若数轴上点A表示的数是﹣3，则与点A相距2个单位长度的点B表示的数是（）A．±5 B．±1 C．1或5 D．﹣1或﹣57．如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是（）A．﹣1.3 B．1.3 C．3.1 D．2.38．如图，在数轴上点A表示的数最可能是（）A．﹣2 B．﹣2.5 C．﹣3.5 D．﹣2.99．-3的相反数是( )A．-3 B．3 C．13D．13-10．2019的相反数是（）A．12019B．-2019 C．12019-D．201911．5的相反数是( )A．15B．15-C．5D．5-12．12019的相反数是（）A．2019 B．-2019 C．12019D．12019-13．化简－(+2)的结果是（）A．－2 B．2 C．±2 D．0 14．下列各对数中，不是相反数的是A．与 B．与C．8与 D．与15.在数轴上与﹣3的距离等于4的点表示的数是（）A．1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．无数个16.在数轴上与2的距离等于3个单位的点表示的数是17．在数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为．18．数轴上，离原点6个单位长度的点所表示的数是_____．19．把数轴上表示数2的点移动3个单位长度后，表示的数为_____ 20．数轴上距原点5个单位长度的点表示的数是_______21．化简－[－(＋43)]＝_____．22．________．23．如果，则x=_________.。

【导语】奥林匹克数学竞赛或数学奥林匹克竞赛，简称奥数。

奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼀年级奥数知识点：数轴、相反数与绝对值，欢迎⼤家阅读。

⼀、数轴1、数轴：规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫数轴。

2、画数轴的步骤：⑴画⼀条直线。

⑵选取原点、正⽅向。

⑶规定单位长度。

⑷数轴上⽤短竖标出刻度。

⑸数轴下⽤标出数值。

3、数轴三要素：原点、正⽅向和单位长度4、数轴特点：⼀般地，设a是⼀个正数，则数轴上表⽰数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表⽰数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

5、数轴上点与有理数关系：每⼀个有理数都可以⽤数轴上的⼀个点来表⽰;但数轴上的点不都表⽰有理数。

注意：不能出现相同长度表⽰的不等的量。

数轴两端不能画点。

⼆、相反数1、相反数定义：在数轴上原点的两旁到原点距离相等的两点所表⽰的数叫互为相反数。

只有符号不同的两个数叫互为相反数。

2、相反数表⽰法：a的相反数是-a，0的相反数是它本⾝0.a+b=0 a=-b3、多重符号化简⽅法：⼀个数前⾯有偶数个“-”号，结果为正。

⼀个数前⾯有奇数个“-”号，结果为负。

0前⾯⽆论有⼏个“-”号，结果都为0。

4、相反数在数轴上与原点关系：关于原点对称。

三、绝对值(1)绝对值：在数轴上表⽰数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：。

⼀个正数的绝对值等于本⾝，⼀个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.(2)相反数：符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

若a、b互为相反数，则a+b=0;相反数是本⾝的是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。

(3)绝对值最⼩的数是0;绝对值是本⾝的数是⾮负数。

任何数的绝对值是⾮负数。

最⼩的正整数是1，的负整数是-1。

练习1 判断下列说明是否正确(1)-(-3)表⽰-3的相反数( )，(2)-2.5的相反数是2.5( )(3)2.7与-3.7是互为相反数( )(4)-π是相反数。

数轴与相反数要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】类型一、数轴的概念1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．类型二、相反数的概念2．﹣的相反数是（）A．5 B． C．﹣ D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【变式1】填空：(1) －(－2.5)的相反数是；(2) 是-100的相反数；(3)155-是的相反数；(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）155；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A. 0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B3．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．类型三、多重符号的化简4.化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫--⎪⎝⎭（2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)【答案】 (1)112233⎛⎫--=⎪⎝⎭（2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25（4）1122⎛⎫+-=-⎪⎝⎭（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a【解析】(1)123⎛⎫--⎪⎝⎭表示123-的相反数，而123-的相反数是123，所以112233⎛⎫--=⎪⎝⎭；（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；（4）负数前面的“+”号可以省略，所以1122⎛⎫+-=-⎪⎝⎭；（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．所以-(-a)= a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．类型四、利用数轴比较大小5．在数轴上表示2.5，0，34-，-1，-2.5，114，3有理数，并用“＜”把它连接起来．【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，34-，-1，-2.5，114，3．由上图可得：∴312.5101 2.5344-<-<-<<<< 【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．举一反三：【变式1】有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）A ．b ﹣a ＞0B ．﹣b ＜0C ．﹣a ＞﹣bD ．﹣ab ＜0【答案】D【变式2】填空： 大于763-且小于767的整数有______个； 比533小的非负整数是____________． 【答案】11；0，1，2，3类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）6．已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a ，b(a ＜b)并且A 、B 两点间的距离是144，求a 、b 两数． 【思路点拨】因为a 、b 两数互为相反数(a ＜b)，所以表示a ，b 的两点A 、B 离原点的距离相等，而A 、B 两点间的距离是144，所以A 、B 两点到原点的距离就是1142248÷=． 【答案与解析】解：由题意A 、B 两点到原点的距离都是：1142248÷=而a ＜b ，所以128a =-，128b =．【总结升华】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．举一反三：【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】（1）±5， 提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．。