浙江专版高中数学课时跟踪检测十三数列求和习题课新人教A版必修5

课时跟踪检测（五） 数列的概念与简单表示法层级一学业水平达标1•有下面四个结论：① 数列可以看作是一个定义在正整数集 （或它的有限子集）上的函数；② 数列的项数一定是无限的； ③ 数列的通项公式的形式是唯一的； ④ 数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15 ，…不存在通项公式.其中正确的是（ ）A.①B.①②C.③④D.②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知， ①正确；有穷数列的项数就是有限的,因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一， ③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15存在通项公式，④错误•故选A.2. 下列说法正确的是（）A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的B. 数列1,2,3与数列3,2,1是相同的1C 数列1+n 是递增数列是摆动数列解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以 A , B 不正确；选项 C 中的数列是递减数列；选项 D 中的数列是摆动数列.3. 数列｛a n ｝中，a = 3n -1，则a 2等于（）A. 2B. 3C. 9D. 32解析：选B 因为a n = 3 1,所以a 2 = 3 1 = 3.D.数列 4. 数列…的一个通项公式是（ A. a n =n -2 nC. a n =n -1 n +1 a n = n -2 n + 2解析：选C 已知数列可化为：0,a n =12 3 n5. 已知数列--~,^, ，则0.96是该数列的（）2 3 4 n 十1解析：选C 由n^=0.96，解得n = 24.6. ___________________________________________________________ 已知数列Q 2,寸5, 2迟，寸11,…，贝y 2西是该数列的第 ___________________________________ 项. 解析：a i = “./2, a 2 =* 5, a 3=j 8, a 4=”：11, •'•a n = ：J 3 n — 1.由 3n — 1 = 2 5? 3n — 1 = 20? n = 7, • 2 5是该数列的第7项. 答案：77.数列a , b , a , b ,…的一个通项公式是解析： a + b a — b a + b a — b a + b n +1 a —ba = 2 + 2 ,b = 2 2 ，故 a n = 2 + ( 1) 2 答案： a + b n +1 a — b2 + ( —1) 2&已知数列｛a n ｝的通项公式a n = 19— 2n ,则使a n >0成立的最大正整数 n 的值为__________ 19 解析：由 a n = 19 — 2n >0，得 n v~2・T n € N ,• n w 9.答案：99•观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： A.第20项 C.第24项B .第22项 D .第26项(3)2,13 12'_5 12’ 3' ，2'3 9 ⑷ 2, 4,65 16'解：（1）根据观察：分母的最小公倍数12,把各项都改写成以 12为分母的分数，则口 号 12 3 4J J JJ9 8 71212 12 -5 6J J 5 4 12 12于是应填12,而分子恰为10减序号, 故应填2,通项公式为a n =卫1尹.17 '16+ 115迺 ^/25+1莎 _ 25- 1， 仰寸36+ 1 药=36- 1只要按上面形式把原数改写， 便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方通项公式为a n =I a n = n + 尹与1的和的算术平方根，分母为序号加 1的平方与1的差.故应填-10,8⑶因为2= 1, 1 = 2, 1 2 2-，所以数列缺少部分为 23数列的通项公式为 32 a n =-n(4)先将原数列变形为 1 1 12，24,1 4— ,16’ 1…，所以应填38,数列的通项公式为10.数列｛a n｝中，a1= a, a n+1 =2a n1 + a n,写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律,解：••• a i= a,2 a na n + 1 =1 + a2a 二a2=后，2a2 X ----2a2 1 + a 4aa3 = = = ，同理：1 + a2 2a 1 + 3a1 + -8aa4=石aa，观察规律：an2n-1• a1+ 2n-1- 1 a.层级二应试能力达标1 .已知数列｛a n｝的通项公式a n= n+1贝U a n •a n + 1 •a n+2等于()nA.n+2写出该数列的一个通项公式.C.n + 1 n ±2D.n±J n + 3解析：选Bn n +1 n + 2n时an+「an +2= n+i • n+^ • n+^n + 3故选A. B.2. 数列1,5 7 9z,乔,—石，…的一个通项公式是 8 15 24A. a n = ( 一 1)+12n±!(n € N)n + n' 丿B. a n= (- 1)-12^(n € N) n + 3nc. a n = (— 1)+121—1(n € N)n+2n')D. a n = ( — 1) —!2 n + 1*一 E n € N)3解析：选D A 项中a= 2, B 项中a = 3, D 项中a = 1,因此首先排除AB. 3na 1 = 4, c 项中 通过观察可以发现：第 n 个图形中，火柴棒的根数为 （5. ________________________________________________________________________ 数列 1,1 + 2+ 1,1 + 2 + 3 + 2+ 1,1 + 2+ 3 + 4+ 3 + 2+ 1,…其通项公式为 ____________________解析：1 = 12,21 + 2+ 1 = 4=2 ,21 +2 +3 + 2+ 1= 9 = 3 , 1 + 2 + 3 + 4+ 3+ 2 + 1 = 16= 42,观察归纳出通项公式为 a n = n 2.答案：a n = n6•如图(1)是第七届国际数学教育大会 (简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是 由如图 ⑵ 的一连串直角三角形演化而成的， 其中0A = AA = 缶=•••= AA = 1,如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA, 0A ,…，0A,…的长度构成数列｛a n ｝，则此数列的通项公式为 a n= ________解析：因为 OA = 1, OA =“』2, OA =“』3, =3，…，an=“J n .答案：.n 7.已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = p n+ q (p , q € R)，且a — *, a 2=- |.(1)求｛a n ｝的通项公式；⑵—255是｛a n ｝中的第几项?(3)该数列是递增数列还是递减数列? 解：(1) ••• a n = p n+ q,又 a 1= — 2,1p + q = —了，1 2 p =；,•••解得 223—彳 p+q=—4，q=—II ，II n因此｛a n ｝的通项公式是a n = 2 — 1.3a2= —4，人255 刚1 n 255(2)令an=_ 256,即2 —1= _ 256，1 1 255所以 =齐^,解得n= 8.故一刁花是｛a n｝中的第8项.2 256 2561 n1 n⑶由于a n= 2 n- 1，且2 n随n的增大而减小，因此a n的值随n的增大而减小,是递减数列.(1) 求这个数列的第10项；(2) 1981是不是该数列中的项，为什么?⑶求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；1 2(4)在区间3，3内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.. 9n —9n+ 2解：(1)设a n= f(n) = 9n2— 1 -3n—1 3n—2 _ 3n—23n —1 3n+1 ~ _ 3n+ 128 令n = 10,得第10 项a10= f(10) =3 1e * 3又n C N」0<1 —市<1，••• 0<a n<1. •••数列中的各项都在区间(0,1) 内.人 1 3n— 2 2⑷令3<an=亍<3，7n>；,3n+ 1<9 n —6, 69n—6<6 n+ 2, 8临.故{a n}&已知数列29n - 9n+ 223n—2 3n+ 198 而，得9n= 300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项.⑶证明: a n =3n —23n+ 133n+1，•••当且仅1 2 4n=2时，上式成立，故在区间空，3内有数列中的项，且只有一项为a2= 7.A. 3n—1C. 3n+ 1D. 3（n+ 1）解析：选C通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4 + 3 根；第3个图形中，火柴棒有4 + 3+ 3= 4+ 3X2根；第4个图形中，火柴棒有4 + 3+ 3 + 3 =4 + 3X3根；第5个图形中，火柴棒有4 + 3 + 3+ 3 + 3= 4+ 3X4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3,即a2—a1 = 3,3—决=3, a4—a3= 3, a z—a4= 3,…，a n —a n—1= 3（n》2），把上面的式子累加，则可得第n个图形中，a n=4 + 3（n —1）= 3n+1（根）.n—14. 已知数列｛a n｝的通项公式是a n= ，那么这个数列是（）n+ 1A.递增数列 B .递减数列C.常数列 D .摆动数列解析：选 A a n= ^+1 = 1 —当n越大，越小，贝U a n越大，故该数列是递增数列.。

课时跟踪检测(十三) 数列求和(习题课)一、选择题1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．292．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012D ．－2 0123．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120D ．1214．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( )A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋15．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n项的和为( )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1二、填空题6．数列{a n }中，S n ＝3n＋m ，当m ＝________时，数列{a n }是等比数列．7．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 三、解答题9．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n ＜1.答 案课时跟踪检测(十三)1．选C 设{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝16[1－ 125]1－12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C. 2．选A S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 3．选C ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋ (n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 4．选B 该数列的通项为a n ＝2n n ＋1，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…， 则S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 5．选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n n ＋1 ＝4(1n －1n ＋1)．∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1n ＋1)． 6．解析：因为a 1＝S 1＝3＋m ，a 2＝S 2－S 1＝32－3＝6，a 3＝S 3－S 2＝33－32＝18，又由a 1·a 3＝a 22，得m ＝－1.答案：－17．解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋12× 1＋232＝153.答案：1538．解析：数列的通项公式a n ＝10n＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10))＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝10 1－10n1－10＋n 1＋2n －1 2＝109(10n －1)＋n 2.答案：109(10n －1)＋n 29．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)易知b n ＝2n －1，则S n ＝2 1－2n1－2＋n ×1＋n n －1 2×2＝2n ＋1＋n 2－2.10．解：(1)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n＝1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *，∴1n ＋1＞0，即T n ＜1.。

课时跟踪检测（六） 数列的通项公式与递推公式层级一学业水平达标C.（―汽 0）解析：选C •/｛a n ｝是递减数列, ••• a n +i — a n = k ( n + 1) — kn = k <0.2 _____________________3.数列｛a n ｝中，a 1= 1,对所有的n 》2,都有a 1• a 2 •空 .... a n = n ,则a s +a 5等于（ ）2 2解析：选C 由题意a 1a 2a s = 3 , aG = 2 ,2 2 aa 2a 3a 4a 5= 5 , a 1a 2a 3a 4=4 ,2 23 9 525 斗61则 a 3= 2= , a 5 = 2 =. 故 a 3 + a 5=.24' 416 164. 已知数列｛a n ｝满足要求 a 1 = 1, a n +1 = 2a n + 1,则 a 5等于( )A .15 B . 16C .31 D . 32解析：选 C •••数列｛a n ｝满足 a 1= 1, a n +1 = 2a n +1,•- a 2 = 2x 1 + 1 = 3, a 3=2x 3+ 1 = 7, ◎= 2x 7+ 1 = 15, a 5= 2x 15+ 1 = 31.5.由1,3,5 ,…，2n — 1,…构成数列｛ ch ｝,数列｛ b n ｝满足b 1= 2,当n 》2时，b n = ab n — 1 , 则b 6的值是()A. 9 B . 17 C. 33D . 65解析：选 C T b n = ab n —1, • b 2= ab 1 = a 2= 3, b a = ab 2= a 3= 5, b 4= ab 3= a 5= 9, b 5= ab 4=a 9 = 17,b e = ab 5= ai 7= 33.A. 1 1 B .235C.4D.8解析：选B 由a 1= 1,1 1• a 2=尹计= 1,依此类推1 a 4=. 22.在递减数列｛a n ｝ 中, a n =kn （k 为常数），则实数 k 的取值范围是（ )1 .已知数列｛a n ｝的首项为a i = 1,且满足a n +1 = 2a n +扌，则此数列的第 A. RB . (0，+m)4项是（D . ( —a, 0]25 A©25 B.花61 316.已知数列｛a n｝满足a1 =彳,nan+1=n+1an,得a n=解析：由条件知= ，分别令n = 1,2,3，…，n — 1,代入上式得n — 1个等式,a n n +1a 2 a 3 a 4 a n 1 2 3 n — 1 a n 12 2■ • ■ • .. =—X —X — x (x)? —=—.又a 1 = ,「• a n = . a 1 a 2 a 3 a n —12 3 4 nan 3 3n答案：23n7.数列｛a n ｝的通项公式为a n = n 2— 6n ,则它最小项的值是 ___________ . 解析：a n = n 2— 6n = (n — 3)2— 9，二当 n = 3 时，a n 取得最小值—9. 答案：—9&已知数列｛a n ｝, a n = b + m ( b <0, n € N)，满足 a 1= 2, a 2= 4,贝U a s = ____________ .2= b + mb =— 1,解析：T 2二4= b + m ,m = 3.n3a n =( — 1) + 3，二 a 3= ( — 1) + 3 = 2.答案：29.根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式. (1) a 1= 0, a n +1 = a n + 2n —1(n € N*)；a n*⑵ a= 1, an +1 = an + n + 1(n€ N);(3) a 1 = 2, a 2= 3, a n +2 = 3a n +1 — 2a n (n € N). 解：(1) a 1= 0, a 2= 1, a 3= 4, a 4= 9.猜想 a n = (n — 1)2.34(2)a i = 1, a 2= 2, a 3=夕⑶ a 1= 2, a 2= 3, a 3= 5, a 4= 9.猜想 a n = 2+ 1.10.已知数列｛a n ｝中，a 1= 1,当n € N 且n 》2时，(2n + 1) a n = (2n — 3) a n -1,求通项公a 4= 5.猜想 a n =n +124 3 a - 一3 2 a - a 2 1 a - 一2n — 2n — 31・32n —2n +12n2n +a n a i32n — 1 2n + 1 32n — 12n + 1，当n = 1时符合上式, a n3 2n — 12n + 1,n € N.层级二应试能力达标4a n + 3 * —4 —(n € N)，且 a 1= 1,贝U a 仃=(1.若数列｛a n ｝满足a n +1 =A. 13 B . 14 D . 164 a n + 3 3解析： 选 A 由 a n +1= 4—? a n +1 — a n = 4, a 仃=a 1+ (a 2— a" + (a 3— a ?) +…+ (a 仃一a 16) 3=1 + 4x 16= 13,故选 A.x — 1, x >1,€ N ，贝 U a 2 015 + a 2 016 等于(A. 4 7C.7 解析：选B4a3=f|1 1 5 =—+ —=— 32 6'C. 15 2. 在数列｛a n ｝中，a 1= 2, a +1 = a n + ig 1 1 +-nA. 2 + Ig n 2 + (n — 1)lg C. 2 + n ig n1 + n + ig解析：选A 由a n +1= a n + ig a n +1 — a n = ig那么 a n = a 1+ (a 2 — aj +…+ (a n — a n —1) = 2+ lg 2 + lg |+ lg43+…+ ig n ■一^=2+ ig23 2X 3X _Xn百=2+ ig n.23.已知数列{a n }, a n = — 2n +入n ,若该数列是递减数列,则实数入的取值范围是( A. ( —R, 3] ——oo4] C. ( —R, 5) ——R6)解析：选D 依题a n +1 — a n = — 2(2 n + 1) + 入<0, 即入＜2(2 n +1)对任意的n € N 恒成立.注意到当 n € N时,2(2 n + 1)的最小值是 6, 因此 入＜6,即入的取值范围是(一R,6).4.已知函数f (x )=12x — 1, 2<x <1,若数列｛a n ｝满足 a 1 = £ a n +1 = f (a n ) , n115 a5=f 6a6= f3 = 2X3—1 =3；即从a s 开始数列｛a n ｝是以3为周期的周期数列.a 2 015 + a 2 016 = a 5+ a 3= 1.故选 B.5.若数列｛a n ｝满足(n — 1)a n = (n + 1)a n —1,且 a 1= 1，贝U a 00 =解析：由(n — 1) a n = (n + 1) a n — 1?a n — 110199= 5 050.答案：5 050a n■2，a n 为偶数，卄a n +1 =右 a 6 = 1,3a n + 1, ◎为奇数.则m 所有可能的取值为 _________解析：右a 5为奇数，则3a 5+ 1 = 1, a 5= 0（舍去）. a^若a 5为偶数，则—=1, a 5= 2.1若a 4为奇数，贝U 3a 4 +1 = 2, a 4=3（舍去）. 若a 4为偶数，贝U = 2, a 4= 4.若 a 3为奇数，则 3a 3 +1 = 4, a 3 = 1，贝U a 2= 2, a 1= 4. 若a 3为偶数，则a = 4, a 3= 8.7若a 2为奇数，贝U 3a 2 +1 = 8, a 2=3（舍去）. a?若a 2为偶数，则—=8, a 2= 16. 若 a 1 为奇数，则 3a 1 +1= 16, a = 5. 若a 1为偶数，则 专=16, a 1= 32. 答案：4,5,322n *7.已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =歹（n € N ），则这个数列是否存在最大项？若存在,山a a 3 a100 3 4 ,贝 U a 100 = a 1 • • ---- ... • • ——1x - Xa 1 a2a99126•已知数列｛a n ｝满足：a 1= m （m 为正整数）， n + 1 n —1请求出最大项；若不存在，请说明理由.解：存在最大项.理由:1a1= 2,22a2=产1,32 98’42a4=〒=1,5225a5=〒= 32'9 又 T a 1 <a 3, a 2<a 3，二 a n < a 3=.8•••当n = 3时，a 3 = 8为这个数列的最大项.81--a n = （ n 》2）.n + 12, a n a n -1= a n — 1— a n （n 》2），求数列｛a n ｝的通项公式.1又n = 1时，a 1 = 2，符合上式，当n 》3时,a n + 1a nn + 1 2n +12 2n _ n +1 2_1 _x F = 2n^ = 21 + 1 2<1,n--a n +1<a n ，即 n 》3时，｛a n ｝是递减数列.1n + 1.&已知数列｛a n ｝满足a i角牛：• a n a n —i = a —i — a n ,1-丄=1.a n —11111=——+ —————— a na 1 a 2a i1 a 3— a ; +…+ =2+ 1+ 1 + •••n-1 个1 = n + 1.。

（浙江专用）高中数学课时跟踪检测（二）余弦定理新人教A 版必修5课时跟踪检测（二） 余弦定理A 级——学考水平达标1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cosC ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.5．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24＝2ab cos C 4＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，即tanC ＝1.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0. 答案：07．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.解析：∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0， ∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1. 答案：18．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. 答案：49．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C . 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角． 由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A <180°， ∴A ＝120°， ∴sin A ＝sin 120°＝32. 由正弦定理，得sin C ＝c sin A a＝5×327＝5314. ∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.B 级——高考能力达标1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sinC .一定成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A 在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .3．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ， ∴cos B ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，∴cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2b .若sin C ＝34，则sinB ＝________；若b 2＋bc ＝2a 2，则cos B ＝________.解析：因为c ＝2b ，所以sin C ＝2sin B ＝34，所以sin B ＝38.因为c ＝2b ，所以b 2＋bc ＝3b 2＝2a 2，所以a ＝62b . 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32b 2＋4b 2－b 226b2＝368.答案：38 3686．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得：AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)， 再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2，所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝1，因此b ＝2.8．如图，D 是直角三角形△ABC 斜边BC 上一点，AC ＝3DC . (1)若∠DAC ＝30°，求B ；(2)若BD ＝2DC ，且AD ＝22，求DC . 解：(1)在△ADC 中，根据正弦定理， 有AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，∵AC ＝3DC ，所以sin ∠ADC ＝3sin ∠DAC ＝32， 又∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝∠B ＋60°>60°， ∴∠ADC ＝120°，∴∠C ＝180°－120°－30°＝30°，∴∠B ＝60°. (2)设DC ＝x ，则BD ＝2x ，BC ＝3x ，AC ＝3x ， ∴sin B ＝AC BC ＝33，cos B ＝63，AB ＝6x ， 在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ， 即(22)2＝6x 2＋4x 2－2×6x ×2x ×63＝2x 2， 得x ＝2.故DC ＝2.。

课时跟踪检测（十三）数列求和（习题课）层级一学业水平达标1.已知a n= （—1）n,数列｛a n｝的前n项和为S,则$与S o的值分别是（）A. 1,1B.—1,—1C. 1,0 D . —1,0解析：选 D S）=— 1 + 1 —1+ 1 — 1 + 1 —1+ 1 — 1 = —1 ,S o= S9 + a1o=—1 + 1 = 0.2•数列｛a n｝的通项公式是1:'n+ .. n+1 ，若前n项和为10,则项数为A. 11B . 99C. 120 D . 121解析：选C •' a n = ―\ ------- =7n+1 —x/n, V n+/n+i Y *■ S1= a1 + a2 +…+ a n=(.'2 —1) + ( ：'3—：2) +…+ ( n+ 1 —:n)=,n+ 1 —1,令n+ 1 —1 = 10,得n= 120.2 13.等差数列｛a n｝中，a1= 1, a n, a n+1是方程x —(2 n+ 1)x + -= 0的两个根，则数列｛b n｝b前n项和S=( )1 1A. 'B.2n+ 1 n+ 1n nC. 'D.2n+ 1 n+ 12 1解析：选D 因为a n, a n+1是方程x —(2 n+ 1)x+「= 0的两个根，所以a n+ a n+1 = 2n+ 1, b n又因为数列1=n. a n a n+1 = n(n+ 1) = 77,所以1b n =n n+11 1 11 —不，所以数列｛bn｝前n项和$= 1-2 +1 1 1 1 1 n—一—+‘. ’+ —— = 1 — =2 3++n n+ 1 1n+1 n+1.4.在数列｛a n｝中，已知S= 1 —5+ 9 —13+ 17 —21 +…+ ( —1)n—1(4 n—3)，贝U S s+ & —S31的值()A. 13 B . —76 C. 46 D . 76解析：S = 3，故q z 1, S B&对于数列｛&｝，定义数列｛a n+1 — a n ｝为数列｛a n ｝的“差数列”，若 31= 2, ｛&｝的“差数列”的通项公式为 2n ，则数列｛a n ｝的前n 项和S = __________ .解析：T 3n+ 1 — 3n = 2：14解析：选 B •/ S 15 = ( — 4) X 7+ ( — 1) (4 X 15— 3) = 29. $2= ( — 4) X 11 = — 44.30S1=( — 4) X 15+ ( — 1) (4 X 31 — 3) = 61.••• S 5+ S 22— S 31 = 29— 44 — 61 = — 76. 5.数列 1,1 + 2,1 + 2+ 22,…，1 + 2+ 22+…+ 2n —二 …的前 99 项和为( 100A. 2 —101 99B . 2 — 101C. 2100—QQD . 2 — 99n2n — 11 —2 n解析：选 A 由数列可知a n = 1 + 2 + 22+…+ 2—1== 2 — 1，所以，前 1 — 299项的和992 99 2 992 I 2 为 $9= (2 — 1) + (2 — 1) +…+ (2 — 1) = 2+ 2 +-+ 2 — 99 =1 — 2100—99= 2 — 101.6.已知等比数列｛a n ｝的公比q z 1,且a 1= 1,3a s = 2a 2+ ◎,则数列 1a a 的前4项和为a n a n+ 1解析: •••等比数列｛a n ｝中，a 1= 1,3 a 3= 2a 2+ a 4,「. 3q 2= 2q + q 3.又■/ q ^ 1,A q = 2,「.a n = 2n — 1,2n — 1•数列 答案: a n a n +11 1 1，即厂一是首项为2公比为4的等比数列, a n a n+11 1 421— 485的前4项和为a n a n+ 11 1281 —-4851287.等比数列｛a n ｝的前n 项和为 S 1，若S = 3，a 1 - q 61 — q3 2 - 22 -X — a 1a1二3n = ( 3n —3n— 1)+ ( 3n— 1 —3n— 2)+…+(32 —3l) + 3l=2n"+ 2n「2+…+ 22+ 2+ 2 = 2-2n1-2卜2 = 2n—2+ 2= 2n.2-2"+1=产i1 —2 -2.答案：2n+1-29•已知｛a n｝是递增的等差数列，a1 = 2, a2= a4+ 8.⑴求数列｛a n｝的通项公式；⑵若b n = a n + 2a n，求数列｛b n｝的前n项和S.解：⑴设数列｛a n｝的公差为d, d>0.由题意得(2 + d)2= 2+ 3d+ 8,解得d= 2.故a n= a1 + (n—1) • d= 2 + ( n—1) • 2= 2n.(2) b n = a n+ 2a n= 2n+ 2 ,S n = b1 + b2 +…+ b n=(2 + 22) + (4 + 24) + …+ (2n+ 22n) =(2 + 4+…+ 2n) + (2 2+ 24+…+ 22n)2+ 2n • n 4 •n1 —42 + 1 —4.n+1 -4=n( n+ 1) +10.在等差数列｛a n｝中，a s= 4, a7= 8.(1)求数列｛a n｝的通项公式a n；a n⑵令b n =尹，求数列｛b n｝的前n项和T n.解：⑴因为d= a—a = 1，所以a n= a3+ ( n- 3) d= n+ 1.7 —3(2) b n =a n n+1 n— 1 = n— 1 2 2T n= b1+ b2+-+ b n= 2 + 2+ 帶+…十n+ 1 1 2 3 n n+1尹=2 +戸+…+2n—1 +2n，②由①一②得1T n= 2+ 2+ £+•••+ 2—1—号」=1 + ■+*+•••+ + +1 —11 —〒2 n+1 1 n+11+ 1 —2n= 2 1 —歹+ 1 —2n1 — 2因为 a n+1 = S+1 — S,所以由 Si = 2a n+1, 得 Si = 2( Si +i — S)，整理得 3Si =4 1 1------------ =4 —— ------a n a n+1 n n + 1n n + 1 '11111 1 1• $=41 — 2+ 2—3+3—4+…+ 厂—1=41—n +r.解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为 1.1 a , 一个等比数列，首项为1.1 a ,公比为1.1.所以其前5项和为S 5=1.1 a〔 ——J — = 11x (1.1 5—1) a 亿元，故选A.4.已知是｛a n ｝等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ,若a s , a 4, a *成等比数列，则 ( )=3—学, 所以 T n = 6— 2J — 3.层级二应试能力达标1.已知数列 {a n }的前 n 项和为 S, a 1 = 1, S= 2a n+1,则 S=( )n —1A. 23 n — 1B. 2C .2 n -1S n+ 1 2S +1,所以—I ，所以数列｛S ｝是以S = a 1= 1为首项,3 3 2为公比的等比数列，故 S = 2 n2.已知数列 {a n }: 112 12 3 — —+—— ——+ — +——2，3+ 3，4+ 4 + 4,1 2 3 415+ 5 + 5+5，…，那么数列{b n }= a n a n+1 刖 n项的和为( ) 1 A 41—n + 11D .2—解析：选A ■/ a n = n + 1n + 1 n + 1 2'解析：选B1 •'•b n =n n +13. 某厂去年的总产值是 a 亿元, 假设今后五年的年产值平均增长率是10%则从今年起到第5年年末该厂的总产值是( A. 11 x (1.1 5— 1)a 亿元 B . 10x (1.1 5— 1)a 亿元 C. 11x (1. 14— 1)a 亿元D . 10x (1.14— 1) a 亿元从今年起每年年末的总产值构成A. a i d>0, dS>0 B . a i d>0, dS<0 C. a i d<0, dS<0 D. a i d<0, dS>0解析：选C •••在等差数列｛a n｝中，a3, a4, a*成等比数列，2 5•°. (a i + 3d) = (a i + 2d)( a i + 7d) ? a i = —3d,2•- S = 2( a i + a4)= 2( a i + a i + 3d) = —3d,35 2 2 2• a i d= —3d <0, dS = —3d <0，故选 C.3 35 .求和：i i i i i i i i i S= i + i + + i + 2+ 4 + i + 2 + 4 + g + …+i + 2+N +…+ 厂解析：被求和式的第k项为:i —1 i ia k= i + ^+；+…+ -k—=— ,2 4 2 ii —2所以s=2 i —i +i ii i— / n—ri—2i=2 n—i —i=2n + 2^—i —2.…i答案：2n + 2'n—i —26.已知等比数列｛a n｝及等差数列｛b n｝，其中b i = 0,公差d M0.将这两个数列的对应项相加，得一新数列i,i,2，…，则这个新数列的前i0项和为__________ .解析：设数列｛a n｝的公比为q,则｛a n｝的前三项分别为i, q, q2, ｛b n｝的前三项分别为0, q+ d= i, q= 0, q= 2,d,2d,于是2解得(舍去)或于是新数列的前i0项和为q2+ 2d= 2, d= i d=—i.i0i —2(a i + b) + (a2 + b2)+…+ (a i°+ b i°) = (a i + 殳+…十aw) + (b i + b2 + …+ b i°) =' + i0X0i —210- 12X (—1) = 978.答案：9787.已知数列｛时的前n项和S,满足S= n(n—6)，数列｛b n｝满足b = 3, € N)(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；a，n为奇数，(2) 记数列｛6｝满足6= 求数列｛C n｝的前n项和T n.t n, n为偶数，b n+1= 3b n( n解：(1)当n= 1 时，a i= S i=-5,2 2当n时，a n= S n —Si-1 = n —6n —(n —1) + 6(n—1) = 2n —7,n= 1 也适合上式，••• a n= 2n—7.* —t n+1-b n+1 = 3b n( n € N)，且b2 工0 ,• • ~t~ = 3,• {b n}为等比数列，• b n= 3n —1,⑵由(1)得，C n= n—!n为偶数3,当n为偶数时，T n= C1 + C2+…+ C nn n2 —5+ 2n —931 —922n—乙n为奇数，2 1 —9当n为奇数时，T I= C1 + C2+…+ C nn+ 1—5+2n—7 22n—1 1—9n+ 1 n—6n n —7 3 3n—12 +8_ ,n为偶数,综上所述：T n =n + 12n—6+3 38—1，n为奇数.n — 2=—2—n~2&设数列｛a n ｝的前n 项和记为 S,且S= 2-a n , n € N ，设函数f (x ) = log17>X ,且满足b n = f ( a n ) — 3. (1)求出数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式; ⑵记C n = a n • b n , ｛ C n ｝的前n 项和为T n ,求T n 的最小值. 解：⑴ 当 n = 1 时，S = 2— a i 得 a i = 1. 1当 n 》2 时，a n = S — S n- 1 = (2 — a n ) — (2 — a n-1 ) = — a n + a n-1,可得 a n = ^a n-1• ｛a n ｝是首项为1,公比为1的等比数列, 由题意得 b n = f (a n ) — 3 = log 1 a n — 3= log 121 n — 1⑵由(1)得 C n = (n — 4) 2 — 1 法: T C i = — 3<0, C 2=— 1<0, 当n 》5时，c n >0.••• ｛ C n ｝的前n 项和T n 的最小值为法二：T n = — 3X 1 n — 1— 3 = n — 4.1C 3= —一<0, C 4= 0 ,417T 3 = T i =——4-2x J — 1x 12+ •••+ (n — 4) xn- 1• •• 1T n = — 3X 21—2X+ (n —4) x—(n — 4) x1 2 1 — =—3+ - 1 211 -1n — 1—(n — 4) x • T n = — 4— n — 22n —1 .-T n + 1 — T n =n — 1—4 —寸n —2 n —3—4 —』一1 =~,2 2当n w2时, T n+ 1<T n ，当 n = 3 时，T1 + 1 = T n ,当门》4 时，T n +1 >T n .{C n}的前n项和T n的是小值为T3 = T4 = 1•-2Tn=—3 +17~411。

课时跟踪检测（五） 数列的概念与简单表示法A 级——学考水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式． 其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1n 是递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋(－1)nn 是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．已知数列 2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项． 答案：77．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 解析：a ＝a ＋b 2＋a －b2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 答案：a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 28．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：99．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13，…； (2)53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12，…；(4)32，94，________，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ________ 512 412于是应填612，而分子恰为10减序号，故应填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填108， 通项公式为a n ＝(n ＋1)2＋1(n ＋1)2－1. (3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，________，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为a n＝n ＋12n .10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a 1＋3a ，同理：a 4＝8a 1＋7a ，观察规律：a n ＝2n －1·a1＋(2n －1－1)a. B 级——高考能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2B.nn ＋3C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n －1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D A 项中a 1＝32，B 项中a 1＝14，C 项中a 1＝13，D 项中a 1＝1，因此首先排除A 、B 、C ，故选D.3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A ．3n －1 B ．3n C ．3n ＋1D ．3(n ＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N *)，则 (1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．解析：(1)由a 4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12； (2)由a n ＝n 2－4n －12＝65，得n ＝11或n ＝－7(舍去)， ∴65是第11项． 答案：(1)－12 (2)116．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解， 所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

课时跟踪检测（九）等差数列的前n 项和3.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S= 9, S = 36，贝U a ? + a s + a o 等于()A. 63 B . 45 C. 36D . 27解析：选B T a 7 + a s + a o = S o - S,而由等差数列的性质可知， S , 3— S 3, S 9- 3构成 等差数列，所以 S 3+ (S o — S 6) = 2(S a — S 3)，即 a 7 + a 8+ a 9= S 9— S 6= 2S 6— 3S 3= 2x 36— 3x 9= 45.4.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n,7a 5+ 5a 9= 0,且a 9>a 5，则$取得最小值时n 的值为（）A. 5 B . 6 C. 7D . 8解析：选 a 1 17 B 由 7a 5+ 5a 9= 0,得匚=—丁. d3又a 9>a 5,所以 d >0, a 1<0.因为函数y =尹2+ a 1 — x 的图象的对称轴为x = n — , = c + c = c ,取最接近的整数2 d 23 66,故S n 取得最小值时n 的值为6.a 5 595.设S 是等差数列｛a n ｝的前n项和，若石=9则S 等于（）层级一学业水平达标1 .已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2-3n ,则｛a n ｝的前n 项和S 等于（3 2 nA.-尹 + 2 32 nC.2n+ 2D.2n 2-22 2解析：选 A •/a n = 2-3n ,A a 匸 2-3 — 1」決 n - 1 ；2-3n3 2 n -2n + 2.2.等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,若a 7>0, a s <0，则下列结论正确的是（）A. S 7<SS l5<S l6 C. $3>0S l5>0解析：选 C 由等差数列的性质及求和公式得,13 $3 = a 1 + a 13~2=13a 7>0, S 15 =15 a 1+ a 152 =15a s <0，故选 C.A. 199、 S 9 2 ai +a9解析：选A S =5 ----------------2 a i + a s 9a s 9 5 =—=-X —= 1. 5a3 5 96•若等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n =An 2 + Bn,则该数列的公差为 ____________ . 解析：数列｛a n ｝的前n 项和为S n =An 2 + Bn,所以当n 》2时，a n = S — S —1 = An 2 + Bn- A (n —1)2— B (n -1) = 2An + B — A,当 n = 1 时满足，所以 d = 2A答案：2A7.设等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S,且S m =— 2, Sn+1= 0, S m+ 2= 3，贝U m = ___________ .SS m S n H 2解析：因为 S 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，所以数列 一是等差数列，所以一+ ---= n mm — 2& n — 1 44所以S = —^ = 33 解得n = 3，所以项数2n — 1 = 7,S 奇一$偶=a n +1,即卩a 4= 44 — 33 = 11为所求中间项.答案：11 79.已知数列｛a n ｝的前n 项和为$,且满足log 2(S — 1) = n — 1，求数列｛a n ｝的通项公式.n + 1解：由已知条件，可得 $— 1 = 2 ,则 S n = 2n — 1— 1. 当 n = 1 时，a 1= S = 3,当 n 》2 时，a n = S — S-1 = (2 n — 1 — 1) — (2n — 1) = 2n ,C. 2D.29X2 a s5X2 a 3写，即三—二= n — 1 m n — 2解得 m= 4.答案：4&设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 项是 ___________，项数是 _________ .解析：设等差数列｛a n ｝的项数为2n — 1,S 奇=a 1— a 3—・・— a 2n —144,偶数项之和为33,则这个数列的中间n — 1a 1 — a 2n —12=(n — 1) a n — 1,S 偶=a 2 — a 4 — a 6—…—n a 2 — a 2n=na n —1,1 又当n= 1时，3工2 ,93, n = 1,故 a n = n2 , n 》2.10.在等差数列｛a n ｝中，S 为其前n 项的和，已知 a i + a s = 22,45.(1) 求 a n , S ；(2) 设数列｛S ｝中最大项为S ，求k .2a 2= 22，a 2= 11, 解：(1)由已知得即5a 3= 45,a 3= 9,a 1 = 13,2所以所以 a n = — 2n + 15, S=— n 2+ 14n .d =— 2,(2)由a n >0可得n w 7,所以S z 最大，k = 7.层级二应试能力达标1.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S, S 4= 40, S = 210, S —4= 130,贝U n =( )A. 12 B . 14 C. 16D . 18解析：选 B 因为 S n — S n — 4= a n + N n — 1 + N n — 2+ a n — 3= 80 , S l = 81+ 82+ 83+ &4= 40 ,所以 4( &1丄小 n a 1 + a n/口+ a n ) = 120, a 1 + a n = 30,由 S == 210,得 n = 14.2.在等差数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S 2 011= S 2 014, S k = S 2 009,则正整数k 为（）A. 2 014B . 2 015D . 2 017 解析：选C 因为等差数列的前 n 项和S 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称 3.已知S 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，S <0,2& +也=0，则S 取最小值时，n 的值为 ( )A. 11 B . 12 C. 13D . 14解析：选A 设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由2& + $5= 0得，67a 1+ 720d = 0，又d >0, •••67a 11 = 67( a 1 + 10d ) = 67a 1+ 670d <0,67a 12= 670+ 11d ) = 67a 1+ 737d >0，即 an<0, a 12>0. 故选A.4.已知等差数列｛a n ｝和｛ b n ｝的前n 项和分别为 A 和B,且A =巾］；5,B n n + 3C. 2 016 性及 S 2 011 = S 2 014 , S = S 2 009 ,可得 2 011 + 2 014 22 009 + k 解得k = 2 016.故选C.则使得b n 为整数a i + a2 n—i a i + a2n—1的正整数n的个数是（）A. 2C. 45.若数列｛a n ｝是等差数列，首项 a 1<0, a 203 + a 204>0, a 203 • a 204<0,则使前n 项和S<0的 最大自然数n 是 ______________ .解析：由 a 203 + a 204>0? a 1 + a 406>0? S°6>0，又由 a 1<0 且 a 203 • a 204<0,知 a 203<0, a 204>0, 所以公差d >0，则数列｛a n ｝的前203项都是负数，那么 2a 203= a 1+ a 405<0,所以 弘<0,所以 使前n 项和S<0的最大自然数n = 405.答案：405 6. 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S,若Sw4,15,则a 4的最小值为 __________ .解析：S = 2( a 1 + a 4)w4 ? 2a 3— d w 2, S= 5a 3》15? a 3》3.因为 2a 3 — d w 2,所以 d — 2a 3》 —2，又因为a 3>3,所以2a 3>6,所以d >4,所以a 4= a 3+ d >乙所以a 4的最小值为7.答案：7 7.已知等差数列｛a n ｝的公差d >0,前n 项和为S,且a 2a 3= 45, S= 28.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵若b n = C 为非零常数)，且数列｛ b n ｝也是等差数列，求 C 的值.n 十c又 a 2a 3 = 45,公差 d >0, • a 2<a 3,「・ a 2= 5, a 3= 9,a 1 + d = 5, a 1 = 1, a 1+ 2d = 9,解得 d = 4,•an= 4n — 3.2\jii(2)由(1)，知 S = 2n — n ,「. b n = n +C又｛b n ｝也是等差数列, • b 1 + b 3 = 2b 2,解析：选Db n b i + b 2n - 1 b i + b 2n — 1~2~2n — 1 2n — 1An —1_72n — 1 + 45_14 n + 38 B 2n —12n — 1+ 3 2n + 212+ n + 1， •••当n 取 1,2,3,5,11 时，符合条件，•••符合条件的 n 的个数是5.解：(1) ••• S = 28,匕=28,a 1+ a 4= 14, a 2 + a 3= 14,b 1 =1,b 2= 1+ C 6 152+C ，b3=3+C .2n 2— n n + c ，a i + a 2 n — i a i + a 2n — 11解得c =— 2( C = 0舍去).即2X1 15 1 + c + 3+ c ，[f盈邊锻範&在等差数列｛a n｝中，a io= 23, a25=- 22.(1)数列｛a n｝前多少项和最大？⑵求｛| a n|｝的前n项和Sa1 + 9d= 23, a1 =50,解：(1)由得a1 + 24d = —22, d=—3,•- a n = a1 + (n —1)d = —3n + 53.人 f 53令a n>0，得n<~3,•••当n w 17, n€ N时，a n>0；当n》18, n€ N时，a n<0,••• ｛a n｝的前17项和最大.⑵当n W 17, n€ N*时，n n —1 3 2 103 | a i| + | a2| +…+ | a n| = a1+ a2+・・・+ a n= na+ 2 ---- d=—㊁门 +-^n.当n》18, n€ N时，| a11 + I a21 +…+ | a n |=a1 + a2 + …+ a仃一a18—a19一…一a n=2( a1 + a2 + …+ a17)—(a1 + a2 +…+ a n)3 2 103 3 2 103=2 —17+〒x 17 ——尹 +-^n3 2103=2门—亍n+ 884.3 2 103 *—罗 +~^n, n w 17, n€ N,•. Si =3 2 103 *尹—丁n+ 884, n> 18, n€ N.。

新浙江专版高中数学课时跟踪检测十四不等关系与不等式新人教A版必修5层级一 学业水平达标1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x 个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是( )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋40≤400解析：选B x 月后他至少有400元，可表示成30x ＋60≥400.2．已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0.那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0解析：选A 由c <b <a ，且ac <0，知a >0，c <0，故由b >c ，a >0⇒ab >ac ，A 正确；由b <a ，c <0⇒(b －a )c >0，B 错误；由c <a ，b 2≥0⇒cb 2≤ab 2，当b ＝0时取等号，故C 错误；由c <a ，ac <0⇒ac (a －c )<0，D 错误．故选A.3．已知：a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B 选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.4．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则2α－β3的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，56πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，56πC.()0，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π 解析：选D 0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π.5．已知M ＝2x＋1，N ＝11＋x2，则M ，N 的大小关系为( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．不确定解析：选A ∵2x>0，∴M ＝2x ＋1>1，而x 2＋1≥1， ∴11＋x2≤1，∴M >N ，故选A.6．某校高一年级的213名同学去科技馆参观，租用了某公交公司的x 辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．则题目中所包含的不等关系为________．解析：根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －，30x >213.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x －，30x >2137．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4. 解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4] ＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1≥1＞0， 故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4. 答案：＞8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析：∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，－2≤－12(x ＋y )≤12，5≤52(x －y )≤152，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z 的取值范围是[3,8]． 答案：[3,8]9．两种药片的有效成分如下表所示：满足怎样的不等关系？用不等式的形式表示出来．解：设提供A 药片x 片，B 药片y 片，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，5x ＋7y ≥70，x＋6y ≥28，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.10．(1)若a ＜b ＜0，求证：b a ＜a b； (2)已知a ＞b ，1a ＜1b，求证：ab ＞0.证明：(1)由于b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝b ＋a b －aab，∵a ＜b ＜0，∴b ＋a ＜0，b －a ＞0，ab ＞0， ∴b ＋ab －aab ＜0，故b a ＜ab.(2)∵1a ＜1b，∴1a －1b＜0，即b －aab＜0，而a ＞b ，∴b －a ＜0，∴ab ＞0. 层级二 应试能力达标1．若x ∈R ，y ∈R ，则( ) A ．x 2＋y 2>2xy －1 B ．x 2＋y 2＝2xy －1 C ．x 2＋y 2<2xy －1D ．x 2＋y 2≤2xy －1解析：选A 因为x 2＋y 2－(2xy －1)＝x 2－2xy ＋y 2＋1＝(x －y )2＋1>0，所以x 2＋y 2>2xy －1，故选A.2．已知a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．M ≥N解析：选B ∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴－1<a 1－1<0，－1<a 2－1<0，∴M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)>0，∴M >N ，故选B.3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2<α－β<0 B ．－2<α－β<－1 C ．－1<α－β<0D ．－1<α－β<1解析：选A 由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，∴－2<α－β<2.又∵α<β，故知－2<α－β<0.4．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x 超过85分，技能操作成绩y 不低于90分，答辩面试成绩z 高于95分，用不等式组表示为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x >85y ≥90z ≥95B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥85y >90z >95C.⎩⎪⎨⎪⎧x >85y ≥90z >95D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥85y >90z ≥95解析：选C x 超过85分表示为x >85，y 不低于90分表示为y ≥90，z 高于95分，表示为z >95，故选C.5．已知|a |＜1，则11＋a 与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1. ∴1＋a ＞0,1－a ＞0. 即11＋a 1－a ＝11－a2 ∵0＜1－a 2≤1，∴11－a 2≥1，∴11＋a ≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 6．给出下列四个命题：①若a >b ，c >d ，则a －d >b －c ；②若a 2x >a 2y ，则x >y ；③a >b ，则1a －b >1a ；④若1a <1b <0，则ab <b 2.其中正确命题的是________．(填所有正确命题的序号) 解析：①由c >d 得：－d >－c ，同向不等式相加得：a －d >b －c ；②若a 2x >a 2y ，显然a 2>0，所以x >y 成立；③a >b ，则1a －b >1a 不一定成立，如a ＝1，b ＝－1；④若1a <1b<0，则b <a <0，所以b 2－ab ＝b (b －a )>0，即ab <b 2.答案：①②④7．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小． 解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)， 所以当a >b 时，x －y >0，所以x >y ； 当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a <b 时，x －y <0，所以x <y .8．已知x ，y 为正实数，且1≤lg(xy )≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解：由题意，设a ＝lg x ，b ＝lg y ， ∴lg(xy )＝a ＋b ，lg x y＝a －b ， lg(x 4y 2)＝4a ＋2b .设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4， ∴6≤4a ＋2b ≤10，∴lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．。

课时跟踪检测(十三) 数列求和(习题课)一、选择题1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．292．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012D ．－2 0123．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120D ．1214．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( )A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋15．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n项的和为( )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1二、填空题6．数列{a n }中，S n ＝3n＋m ，当m ＝________时，数列{a n }是等比数列．7．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 三、解答题9．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n ＜1.答 案课时跟踪检测(十三)1．选C 设{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝16[1－125]1－12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C. 2．选A S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 3．选C ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋ (n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 4．选B 该数列的通项为a n ＝2nn ＋，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…， 则S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 5．选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋2n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋＝4(1n －1n ＋1)．∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1n ＋1)． 6．解析：因为a 1＝S 1＝3＋m ，a 2＝S 2－S 1＝32－3＝6，a 3＝S 3－S 2＝33－32＝18，又由a 1·a 3＝a 22，得m ＝－1.答案：－17．解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＋2＝153.答案：1538．解析：数列的通项公式a n ＝10n＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10))＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－10n1－10＋n＋2n －2＝109(10n －1)＋n 2. 答案：109(10n －1)＋n 29．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)易知b n ＝2n －1， 则S n ＝－2n1－2＋n ×1＋n n －2×2＝2n ＋1＋n 2－2.10．解：(1)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *，∴1n ＋1＞0，即T n ＜1.。

课时跟踪检测（十二）等比数列的前n项和层级一学业水平达标1.设｛a n｝是公比为q的等比数列，S是它的前n项和，若｛S｝是等差数列，则q等于（）A. 1B. 0C. 1 或0 D . - 1解析：选A因为S-S-1 = a n,又｛$｝是等差数列，所以a n为定值，即数列｛a n｝为常数列，所以q=皀=1.a n-12.已知数列｛a n｝是公比为3的等比数列，其前n项和S = 3n+ k（n€ N），则实数k为（）A. 0C.—1n *解析：选C由数列｛a n｝的前n项和3 + k（n€ N）,当n = 1 时，a1= S = 3 + k；当n》2时，a n= S—S-1= 3 + k—(3 + k)n —1=2X3因为数列｛a n｝是公比为3的等比数列，所以a1 = 2x31—1= 3 + k,解得k =- 1.3.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于（）A. 31 B . 33C. 35 D . 37解析：选B根据等比数列性质得S^ = q5,Sl0 —1 5=2，二S°= 33.1“ 5 5 S4.已知等比数列｛a n｝的前n项和为S, a1+ a s=，且比+ a4=，则一=（）2 4 a nn— 1 n “A. 4 B . 4 - 1C. 2n—1 D . 2n- 1解析：选D设等比数列｛a n｝的公比为q,“ 2 7a1 1 + q = 2, 则d2 5a1q 1 +q = 4,a1 = 2, 解得 1a i 1 - q ni-Tn — i~a i q5.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 5= 2, S o = 6，贝U a 16+ 3仃+ a 18+ &伯+ a 2o 等于()A. 8 B . 12 C. 16D . 24解析：选C 设等比数列｛a n ｝的公比为q,因为S 2n —S= q n S n ，所以So — S 5= q 5S 5,所以55151515151515,6— 2 = 2q ，所以 q = 2，所以 a 16+ a 17 + a 18+ a 19 + a 2o = ag + a 2q + a 3q + a 4q + a 5q = q (a153+ a 2 + a 3 + a 4 + a 5)= q S= 2 X 2= 16. 6.等比数列｛a n ｝共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比 q =2解析：设｛a n ｝的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为 q ，首项为a ，偶数项之和与奇数项之和分别为 S 偶，S 奇，由题意S 偶+ S 奇=3S 奇， 即$偶=2S 奇，因为数列｛a n ｝的项数为偶数，S 禺所以q =S = 2.答案：2 7.等比数列｛刘中，若a 1 + a 3+-+ a 99= 150,且公比q = 2,则数列｛a n ｝的前100项和为 ________ .数列｛a n ｝的前 100 项的和 S°0= (a 1+ a 3 + …+ a 99)+ ( a 2+ a 4 + …+ a 100)= 150+ 300= 450.答案：4501 1 1&在等比数列｛a n ｝中，a 1+ 比+…+ a 6= 10，—+ —+ …+ — = 5，贝U a — a 2.............................. a 6 =a 1 a 2 a 6a 1 一 a 6q 111解析：由等比数列的前n 项和公式，a 1 + a 2 + •••+ a 6= a —■ = 10, - +苗…+ a =2x 1-；sa n2n — 1.解析: a 2 + a 4+°・・+ a 1ooa 1 + a 3+・・・+ a 99q = 2，得a 2+ a 4+…+ a 1oo 150=2?a 2 + a 4+…+ a 100 = 300，则- -•—a1 a6 q11 —- a〔a6q—13 =5,把a1—a6q= 10(1 —q)代入，得a1a6= 2,又a1 • a2 .................. a6= (a1 • a6)当 n = 2k (k € N )时，b n = 0, 当 n = 2k — 1( k € N)时，b n = ai.0,n = 2k , k € N ,即 b n =*a n , n = 2k — 1, k € N...b 1 + b 2 + b 3 + …+ b 2n — 2+ b 2n — 1 = 8 + &3+…+ a 2n — 116 1 n 16 亍1一 4亏层级二应试能力达标答案：89. 设等比数列｛a n ｝的前n 项和为 $.已知a 2= 6,6a i + a 3= 30,求a n 和S.aq = 6,解：设｛a n ｝的公比为q ,由题设得26a i + a i q = 30,a i = 3,a i = 2,解得或q = 2 q = 3.当 a i = 3, q = 2 时，a n = 3x2 1, S n = 3(2 n — 1)；当 a i = 2, q = 3 时，a n = 2x3 , S= 3 — 1.10.已知｛a n ｝为递减的等比数列，且 ｛a i , a 2, a s ｝｛— 4,— 3,— 2,0,1,2,3,4｝(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；1 — — 116 (2) 当 b n = 2 a n 时，求证：b+ b+ b a +・・・+ b 2n —1<3.2 3解：(1) ••• ｛a n ｝是递减的等比数列， •••数列｛a n ｝的公比q 是正数，--a n = ag(2)证明：由已知得b n =8[1 — 23.在等比数列｛a n ｝中，若 a 1 + a 2+-+ a n = 2n — 1，贝U a 1+ a 2+…+ a 2=（）n21 nA. （2 — 1）2B.3（4 — 1）C ・3（2n - 1）解析：选B 由a 1 + a 2 +…+ a n = 2 — 1，得a 1= 1, a 2 = 2,所以｛a n ｝是以1为首项，2为 公比的等比数列，所以｛a 2｝是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 a 2+ a 2 + -+ V = 1x 1 — 4n 1 n 一—= 3（4 ―1）.4.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 底层所点灯的盏数是（）A. 190B . 1911.设S 为等比数列｛a n ｝的前n 项和，且8a 2 + a 5= 0,则等于（ ）S ?A. 11 B . 5 C. — 8D . - 11解析：选D 设｛ a n ｝的公比为q .因为8a 2+ a 5= 0. 所以 8a 2 + a 2 • q 3 = 0.所以 a 2（8 + q 3） = 0. 因为a 2工0,所以q 3=— 8.所以q = — 2.a 1 - q 5 S ~~ 1 — q 5 1 + 32 33 一 … 1 — q 1 — 4 — 32•已知｛a n ｝是首项为 1的等比数列，S 是｛a n ｝的前n 项和，且 1 9$= S 6,则数列 的前a n5项和为（31C.柩15 D.8解析：选C 由题意,3a 1 1 — qq z 1,由 9S s = S 6,得 9X ——6a 1 1 — q—厂汁，解得q = 2,1 1 1 1故a n = a 1q n —1 = 2n — 1, = - n— 1,A 数列 一是以1为首项，恳为公比的等比数列，其前 5项a n 2 a n 2 1X 1— 15 和为31 162倍，一共点381盏灯，则C. 192D. 193解：(1)设第n年的旅游业收入估计为a n万元,1 5则a1= 400, a n+1 = 1 + ： a n= a n,4 45 n⑵由⑴知S = 1 600 4 - 1，令S n>8 000 ,5 n即 1 600 4 —1 >8 000 ,5 n 5 n…4 >6，- l g 4 >l g 6，lg 6••• n>~ 8.029 6. 171 a1 1— 2解析：选 C 设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q = £n=7,由----------- 1一 = 381,1 —2解得a i = 192.5.设数列｛a n｝是首项为1,公比为一2的等比数列，贝U a i+ | a2| + a3 + | a4| =解析：依题意得a1 = 1, a2 = —2, a3= 4, a4=—8，所以a+ | a?| + a3+ | a4|=15.答案：156.设数列｛a n｝的前n项和为S,点n,孕(n€ N*)均在直线y = x +1上. ab n= 3则数列｛b n｝的前n项和T n =解析：依题意得色=n+ 2,即$= n2+ j n.当n》2时，a n= S—S—1 =n 2 2 —［（n—1）21 1 3 11+ 2（n—1）］= 2n—2；当n= 1 时，a1= S = q,符合a n= 2n—2 所以a n= 2n—空（n€ N），贝Ua nb n= 312= 32n,由2 n+1 nb n+1 3 2 「2xi t 9 1 — 9= 32 —= 3 = 9,可知｛b n｝为等比数列，b1= 3 = 9，故T n= 〔—答案:n+ 19 —97 .某地本年度旅游业收入估计为400万元, 由于该地出台了一系列措施，进一步发展(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元.a n + 1 5 a n 4’5•••数列｛a n｝是公比为4的等比数列, na1 1 —q • Si = ■1—q5 lg41, n = 1,n +1口2 , a = 0且 n >2, 综上所述，S=3n _ 12 , a = 1 且 n 》2,n + 1a — a n 口 口 + , a 工0且a 工1且n 》2. 2 1 — a旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加(1)求n 年内旅游业的总收入;5 n 400 1 —451—5=1 600 5 n — 1 ,5 n即n 年内旅游业总收入为1 6005 —1万元.1, n = 1,&在数列｛a n ｝中，若a n =n — 11a + 2，n 》2,解：当 n = 1 时，S= a 1 = 1. 当n 》2时，1, n = 1,若 a = 0,有 a n = 12, n >2,…1n +1则 S n = 1 + 2(n — 1) = 丁1, n = 1,若 a = 1，有 a n = 32, n 》2, 小33n — 1则 S n = 1 + 尹-1)= — 右a 工0且a 工1,11 21 n —1则 S n = 1++ a + 2+ a +…++ a•大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元.求数列｛a n ｝的前n 项和.=1 + *n—1) + (a+ a* 1 2+・・・+ a n—1) n+ 1 a—a n= ---- + -----2 +1 —a'。

（浙江专用）高中数学课时跟踪检测（十二）等比数列的前n 项和新人教A 版必修5课时跟踪检测（十二） 等比数列的前n 项和A 级——学考水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N *)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1.3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1B ．4n－1 C ．2n －1D ．2n－1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q 2)＝52，a 1q (1＋q 2)＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝12，∴S n a n ＝a 1(1－q n)1－q a 1q n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－122×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2n－1.故选D. 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇， 因为数列{a n }的项数为偶数， 所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 6＝10，1a 1＋1a 2＋…＋1a 6＝5，则a 1·a 2·…·a 6＝________.解析：由等比数列的前n 项和公式，a 1＋a 2＋…＋a 6＝a 1－a 6q 1－q ＝10，1a 1＋1a 2＋…＋1a 6＝1a 1－1a 6·1q 1－1q＝a 6q －a 1a 1a 6q －1＝5，把a 1－a 6q ＝10(1－q )代入，得a 1a 6＝2，又a 1·a 2·…·a 6＝(a 1·a 6)3＝23＝8.答案：89．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.10．已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当b n ＝1－(－1)n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解：(1)∵{a n }是递减的等比数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1qn －1＝82n . (2)证明：由已知得b n ＝8[1－(－1)n]2n ＋1， 当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0， 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n .即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，(n ＝2k ，k ∈N *)，a n ，(n ＝2k －1，k ∈N *)，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. B 级——高考能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 3．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n≥187，则n 的最小值为8.4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n)1－9＝9n ＋1－98. 答案：9n ＋1－987．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元． 解：(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元， 则a 1＝400，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14a n ＝54a n ， ∴a n ＋1a n ＝54，∴数列{a n }是公比为54的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n 1－54＝1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1， 即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1万元．(2)由(1)知Sn ＝1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1， 令S n >8 000，即1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1>8 000，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54n >6，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫54n>lg 6， ∴n >lg 6lg 54≈8.029 6.∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．8．在数列{a n }中，若a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，a n －1＋12，n ≥2，求数列{a n }的前n 项和．解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝1. 当n ≥2时，若a ＝0，有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，n ＝1，12，n ≥2，则S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.若a ＝1，有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，32，n ≥2，则S n ＝1＋32(n －1)＝3n －12.若a ≠0且a ≠1，则S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a n －1 ＝1＋12(n －1)＋(a ＋a 2＋…＋a n －1)＝n ＋12＋a －a n 1－a.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋12，a ＝0且n ≥2，3n －12，a ＝1且n ≥2，n ＋12＋a －a n1－a，a ≠0且a ≠1且n ≥2.。

——教学资料参考参考范本——浙江专版高中数学课时跟踪检测十八简单的线性规划问题新人教A版必修5______年______月______日____________________部门层级一学业水平达标1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为( )A．3 B．4 C．18 D．40解析：选C 由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.2．某服装制造商有10 m2的棉布料，10 m2的羊毛料和6 m2的丝绸料，做一条裤子需要1 m2的棉布料，2 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裙子需要1 m2的棉布料，1 m2的羊毛料和1 m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为( )A.z＝20x＋40yB.z＝20x＋40yC.z＝20x＋40yD.z＝40x＋20y解析：选A 由题意知A 正确．3．已知变量x ，y 满足约束条件则的取值范围是( ) A.B.∪[6，＋∞)C ．(－∞，3]∪[6，＋∞)D ．(3,6] 解析：选A 作出可行域，如图中阴影部分所示，可理解为可行域中一点与原点的连线的斜率，又B ，A(1,6)，故的取值范围是.4．某学校用800元购买A ，B 两种教学用品，A 种用品每件100元，B 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A ，B 两种用品应各买的件数为( )A ．2,4B ．3,3C ．4,2D ．不确定解析：选B 设买A 种用品x 件，B 种用品y 件，剩下的钱为z 元，则⎩⎨⎧100x＋160y≤800，x≥1，y≥1，x，y∈N*.求z ＝800－100x －160y 取得最小值时的整数解(x ，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．5．已知若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a>－2，则(1,0)为最优解，所以a ＝2；若a≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－，舍去，故a ＝2.6．若点P(m ，n)在由不等式组所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 的最大值为3.答案：37．已知x ，y 满足约束条件则x2＋y2的最小值是________． 解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由⎩⎨⎧x＝1，x－y＋1＝0，得A(1,2)，所以|AO|2＝5. 答案：58．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：a b (万吨) c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：设购买铁矿石A ，B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则⎩⎨⎧0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，x≥0，y≥0.目标函数z ＝3x ＋6y. 由得记P(1,2)，画出可行域，如图所示．当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P(1，2)时，z 取到最小值，且最小值为zmin ＝3×1＋6×2＝15.答案：159．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x －y ＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，解得－4<a<2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．10．某人承担一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．解：设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y)个，绘画标牌(2x ＋y)个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥5，x＋2y≥4，x≥0，y≥0，x，y∈N，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图．在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)， ∴最优解为x ＝2，y ＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．层级二 应试能力达标1．设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A. B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：选A 作出可行域如图所示． 目标函数z ＝3x －y 可转化为y ＝3x －z ，作l0：3x －y ＝0，在可行域内平移l0，可知在A 点处z 取最小值为－，在B 点处z 取最大值为6.2．已知实数x ，y 满足条件若目标函数z ＝mx －y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m 的值为( )A ．1 B.12C ．－D ．－1解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y ＝mx －z(m≠0)与直线2x －2y ＋1＝0重合，即m ＝1时，目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个，故选A.3．已知实数x ，y 满足：z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.B ．[0,5]C ．[0,5)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 解析：选C 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示．令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A(2，－1)时，u ＝5，经过点B 时，u ＝－，则－≤u<5，所以z ＝|u|∈[0,5)，故选C.4．x ，y 满足约束条件若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.或－1 B ．1或－12C ．2或1D ．2或－1解析：选B 作出可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝y －2ax ，得y ＝2ax ＋z.当2a ＝2或2a ＝－1，即a ＝1或a ＝－时，z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一，故选B.5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB|＝________.解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C(2，－2)，D(－1,1)，所以|AB|＝|CD|＝＝3.答案：3 26．某公司计划用不超过50万元的资金投资A ，B 两个项目，根据市场调查与项目论证，A ，B 项目的最大利润分别为投资的80%和40%，而最大的亏损额为投资的40%和10%，若要求资金的亏损额不超过8万元，且使利润最大，投资者应投资A 项目________万元，投资B 项目________万元．解析：设投资者对A ，B 两个项目的投资分别为x ，y 万元，则由题意得约束条件为⎩⎨⎧x＋y≤50，0.4x＋0.1y≤8，x≥0，y≥0，即⎩⎨⎧x＋y≤50，4x＋y≤80，x≥0，y≥0.投资者获得的利润设为z ，则有z ＝0.8x ＋0.4y.作出可行域如图所示，由图可知，当直线经过点B 时，z 取得最大值．解得B(10,40)．所以，当x ＝10，y ＝40时，获得最大利润，最大利润为24万元． 答案：10 407．某运输公司每天至少要运送180 t 货物，公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，且有10名驾驶员．A 型卡车每天可往返4次，B 型卡车每天可往返3次，每辆A 型卡车每天花费320元，每辆B 型卡车每天花费504元，如何合理调用车辆，才能使公司每天花费最少？解：设每天调用A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，每天花费z 元． 则即目标函数z ＝320x ＋504y.作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线320x＋504y＝z经过直线4x＋5y＝30与x轴的交点(7.5,0)时，z有最小值．又(7.5,0)不是整点，由分析知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是直线320x＋504y＝2 560，经过的整点是(8,0)，它是最优解．所以要使公司每天花费最少，每天应调用A型卡车8辆，B型卡车0辆．8．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．解：可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f(x)＝x2＋ax＋2b必满足f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，即画出可行域如图中阴影部分所示，由线性规划可知，点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM<k<kBM,∵A(－3,1)，B(－1,0)，∴<<1，即的取值范围为.。

层级一学业水平达标在厶 ABC 中，已知（a + b + c ）（ b + c — a ） =3bc ，则角 A 等于（ ）解析：选 B ■/ （ b + c ）2- a 2= b 2+ c 2+ 2bc — a 2= 3bc ,.2 2 2 .••• b + c — a = bc ,2 122b +c — a 1• cos A =—；2bc2 2c — a —课时跟踪检测（二） 余弦定理1. A.30° B . 60°C. 120° D. 150° A = 60°.2'A. 一定是锐角三角形B .一定是直角三角形c.一定是钝角三角形D .是锐角或直角三角形的值为（）4A. 32D.32 2 2 2 2 2 2 2解析：选A 由（a + b ） — c = 4,得a + b — c + 2ab = 4,由余弦定理得 a + b — c =4C = 2ab cos 60 ° = ab,则 ab + 2ab = 4，二 ab = 3.2.在△ ABC 中，若 a = 8, b = 7, cos 13C =石，则最大角的余弦值是（） 1 A — 51 C — 7解析：选C 由余弦定理，得2 2 2 2 2c = a + b — 2ab cos C= 8 + 7 — 2x 8x 7x 13^= 9,所以c = 3,故a 最大, 所以最大角的余弦值为b 2+c 2 — a 2 72 + 32 — 82 1cosA =阪=2X 7X3 = — 7.3.在△ ABC 中，角 A , B, C 的对边分别为 2 2 . 2c — a — ba ,b ,c ,若一^ >0,则厶 ABC2ab ^>0 得-cosC >0,所以cos C <0,从而C 为钝角，因此△ ABC-定是钝角三角形.4•若△ ABC 的内角A , B, C 所对的边a ,b ,c 满足（a + b ）2 — c 2= 4,且 C = 60° 则ab C. 1 2ab cos5.在△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若(a 2+ c 2— b 2)tan B = 3ac ,则 角B 的值为()nA.— 6 n 亠2 nB. 3 或 3n 5 nD ."6 或 T解析：选 B 因为(a 2+ c 2— b 2)tan B= 3ac , 所以 2ac cos B tan B = 3ac ,即 sin所以B=—或B=，故选B. 6•已知 a , b , cABC 勺三边，B = 120°,贝U a 2+ c 2+ ac — b 2= _________2 2 2 2 2解析：T b = a + c — 2ac cos B = a + c — 2ac cos 120 °2 2=a + c + ac ,a 2 + c 2 + ac —b 2= 0.答案：02 n7.在△ ABC 中，若 b = 1, c = ^3, C =，贝U a = _______ .2 2 2解析：T c = a + b — 2ab cos C,••• a 2 + a —2 = 0,即(a + 2)( a — 1) = 0, a = 1，或 a = — 2(舍去)..•• a = 1.答案：11&在△ ABC 中，若 a = 2, b + c = 7, cos B = — 4，则 b = ___________ , 解析：因为b + c = 7,所以c = 7 — b. 由余弦定理得：b 2= a 2 + c 2 — 2ac cos B,1221即 b = 4+ (7 — b ) — 2X 2X (7 — b ) X — 4 , 解得b = 4. 答案：49.在△ ABC 中, A + C = 2B, a + c = 8, ac = 15,求 b. 解：在△ ABC 中, T A + C = 2B, A + B+ C = 180°, • B = 60°.n C.§B =由余弦定理，2 2 2 2彳得 b = a + c 一 2ac cos B =（ a + c ） 一 2ac — 2ac cos B21=8 -2X 15-2X 15X 2= 19.b = 19.10.在△ ABC 中，已知a = 7, b = 3, c = 5,求最大角和sin C 解：I a >c >b ,「. A 为最大角.由余弦定理的推论，得又••• 0°<A <180°, ••• A = 120°,• sin A = sin 120层级二应试能力达标1. 在△ ABC 中，有下列关系式：2 2 2①a sin B = b sin A ；② a = b cos C + c cos B ；③ a + b — c = 2ab cos C;④ b = c sin A +a sin C一定成立的有（ ）A. 1个 B . 2个 C. 3个D. 4个解析：选C 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立.对于②，由正弦定理及 sin A=sin （ B + C ） = sin B cos O sin C cos B,知显然成立.对于④，利用正弦定理，变形得 sin B= sin C sin A + sin A sin C = 2sin A sin C,又 sin B = sin （ A + C ） = cos Csin A + cosA sinC,与上式不一定相等，所以④不一定成立.故选C.2.在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 C = 120°, c = , 2a ,则 a , b 的大小关系为（ ）A b2+ c 2 - a 2 32 + 52 - 72cos A=2bc2X 3X5 1 2.由正弦定理，得sinc sin C =a3 5X2 管 714 -•最大角A 为120°,sin C =5,3百.A. a>bB. a<bC. a= bD.不能确定2 2 2 2 2 t~ 2解析：选 A 在厶ABC中，c = a + b —2ab cos 120 ° = a + b + ab. •/ c = , 2a,「. 2a =J3D —于5.在厶ABC 中, AB= 2, AC= -.J 6, BC= 1 +飞i'3, AD 为边BC 上的咼，则AD 的长是•- AD= AC si n C= J 3.答案：•. 3a6.在△ ABC 中, A = 120°，AB = 5, BC = 7,则誥「的值为 ------------------ 解析：由余弦定理可得 49= AC + 25— 2X 5X AO cos 120 °，整理得:AC + 5 - AC — 24 = 0,a sin3.在△ ABC 中, cos 2B = a + c ~2c ， 则厶ABC 是（ A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形2B a + c解析：选B吩-2c-cos B + 1— + c2= -2c -—•••cos B = c ，—2+ c 2 - b 2 — 2—c = c ，即—2+ b 2=『，•••△ ABC 为直角三角形. 4 .在△ ABC 中，内角 A,B ,C 的对边分别为 —,b , c .若b 2 + c 2 + bc — —2= 0,30°— Cb — c1 A.2解析：选A由余弦定理得 cos .2 2 2A= b +c ——2bc_ 2 2 2，又 b + c + be — — = 0，贝U cos A =- 12,0°<A <180° ，贝U A = 120°60° — C ,所以—?^^—J 。

课时跟踪检测（八） 等差数列的性质层级一 学业水平达标1.在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+ a 8= 16,贝U 比+ a io =（）A ．12B ．16C . 20D . 24解析：选B 因为数列｛a n ｝是等差数列，所以 a2 + a io = a 4 + a $= 16.B . 6 D . 10又T a 1 + a 9= 10,即 2a 5= 10,a 5 = 5.因为 a , b , c 成等差数列,贝 2b = a ＋c , 所以 2b ＋4= a ＋c ＋ 4,即 2（b ＋2） = （a ＋2） ＋（c ＋ 2） , 所以 a ＋2, b ＋2, c ＋2 成等差数列. 4.在等差数列 ｛a n ｝ 中, a 1= 2, a 3＋ a 5= 10,则 a 7= （）B . 8C . 10D . 14解析：选B 由等差数列的性质可得 a 1+ a 7= a 3 + a 5= 10,又a 1 = 2,所以a 7= 8. 5.等差数列｛a n ｝中，a 2 + a 5 + a 8= 9,那么方程x 2 + （a 4+ a 6）x + 10= 0的根的情况（）A.没有实根 B •两个相等实根 C.两个不等实根D •无法判断2解析：选 A 由a 2 + a 5 + a 8 = 9得a 5= 3,二a °+ a 6= 6,方程转化为 x + 6x + 10= 0.因为 A <0,所以2.在等差数列｛a n ｝中，a i + a 9= 10, 则a 5的值为（ A . 5 C . 8解析：选 A 由等差数列的性质,a 1+ a 9= 2a 5,3. 列说法中正确的是 （ A . a , b , c 成等差数列,贝 2a ,b 2, c 2成等差数列 B . a ,b ,c 成等差数列,贝 log 2a , log 2b , log 2c 成等差数列C . a , b , c 成等差数列,贝D . a , b , c 成等差数列,贝 a ＋2, b ＋ 2, c ＋2 成等差数列2a ，2b ，2c成等差数列解析： A . 5方程没有实根.6. 若三个数成等差数列,它们的和为______________ 9,平方和为59,则这三个数的积为.解析：设这三个数为a－d, a, a＋d,a—d+ a+ a+ d= 9,则 2 2 2a—d + a + a+ d = 59.a= 3, a= 3,解得或d = 4 d=—4.•••这三个数为一1,3,7或7,3 , —1. •••它们的积为一21.答案：—217. 若a, b, c成等差数列，则二次函数y= ax2—2bx+ c的图象与x轴的交点的个数为解析：••• a, b, c成等差数列，• 2b= a+ c,2 2 2•- A = 4b —4ac= (a+ c) —4ac= (a—c) >0.•••二次函数y= ax2—2bx+ c的图象与x轴的交点个数为1或2.答案：1或22& 已知等差数列｛a n｝满足a m—1 + a m+1—a m—1 = 0，且m>1,贝V ai + a2n—1 = _________ .解析：因为数列｛a n｝为等差数列，则a n—1+ a m+ 1= 2a m,贝U a n—1+ a m+ 1 —a m—1 = 0可化为2a m—a m—1 = 0,解得a m= 1,所以a1 + a2m-1= 2a m= 2.答案：29. 在等差数列｛a n｝中，若a1 + Q +…+ a5= 30, a6 + a7+…+ ao= 80,求an + a12+ …+ a15.解：法一：由等差数列的性质得a+ an = 2a6,比+ a12= 2a?,…,a5 + a15= 2a o.•- (a1+ a2 + …+ a5)+ (an + a12+ …+ 日5)= 2( a6 + a7 + …+ ae).•- an + a12+…+ a15= 2( a6 + a7+…+ ae) —(a1 + a2+…+ a5)= 2x 80—30= 130.法二：•••数列｛a n｝是等差数列，• a1+ a2+・・・+ a5, a6 + a? +•••+ a® an+ a12+・・・+ a15 也成等差数列，即30,80 , a“ + a12 +•+ a15成等差数列.•- 30 + (an + &佗+…+ a15) = 2x 80, • an + a12+…+ a15= 130.10. 有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类影碟机，问去哪家商场买花费较少.解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元，售价依台数n成等差数列.设该数列为｛a n｝.a n= 780 + (n—1)( —20) = 800 —20n,解不等式a n>440,即卩800—20n》440,得n w 18.当购买台数小于等于18台时，每台售价为(800 —20n)元，当台数大于18台时，每台售价为440元.到乙商场购买，每台售价为800X 750%= 600元.作差：(800 — 20n ) n — 600n = 20n (10 — n ), 当 n <10 时，600n <(800 — 20n ) n , 当 n = 10 时，600n = (800 — 20n ) n , 当 10<n w 18 时，(800 — 20n ) n <600n , 当 n >18 时，440n <600n .即当购买少于10台时到乙商场花费较少，当购买10台时到两商场购买花费相同，当购 买多于10台时到甲商场购买花费较少.层级二应试能力达标1.已知等差数列｛a n ｝: 1,0，— 1, — 2,…；等差数列｛b n ｝: 0,20,40,60 ，…，则数列 ｛a n + b n ｝是( )A.公差为一1的等差数列 B .公差为20的等差数列C.公差为一20的等差数列D .公差为19的等差数列解析：选 D (a 2 + b 2) — (a 1+ b 1) = (a 2— a" + (b 2— b" =— 1 + 20= 19. 2.已知数列｛a n ｝为等差数列且a 1+ a y + a 13= 4n,则tan ( a ?+ a^的值为()A. 3 B . ± 3 C - fD . — 34 n解析：选D 由等差数列的性质得 a 1+ a 7 + a 13= 3a 7 = 4n,「. a 7=.13.若方程(x 2— 2x + m )( x 2— 2x + n ) = 0的四个根组成一个首项为 的等差数列，贝U |m —n | =()A. 1 1 C.2解析：选C 设方程的四个根 a 1, a 2, a s , a 4依次成等差数列，则 a 1+ a 4= a 2+ a s = 2, 再设此等差数列的公差为 d ,则2a 1 + 3d = 2,••• tan( a 2 + a 12)= tan(2 a ?) = tanr =tan2n=—,3.BQ 3-a1=4,…d= 2,1 1 3 1 5 • a2=4+2 = 4’ a3= 4 +1= 4,4，3.a 4+ —4+ 2I m-n | = | a i a 4 — a 2&| 173 5X ----- X -44 4 4“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数解析：选B 设所构成的等差数列｛a n ｝的首项为a i ，公差为d ，则有a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 3, a 7 + a 8 + a 9 = 4,135. _____________________________________________________ 已知｛a n ｝为等差数列，且 a 6= 4,则a 4a 7的最大值为 _______________________________________ .解析：设等差数列的公差为 d ,则 a 4a 7= (a e — 2d )( a e + d ) = (4 — 2d )(4 + d ) = — 2(d + 1)2 +18，即a 4a 7的最大值为18.答案：18a n a n + 16. _______________________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝满足a 1= 1,若点 n , n +1在直线x — y + 1 = 0上，贝U a n= ____________________________________ .解析：由题设可得 色一空 + 1 = 0,即 空—色=1,所以数列 色是以1为公差的等差 n n +1n +1 n n 数列，且首项为1,故通项公式an = n ,所以a n = n 2.n答案：n 21 21 17.数列｛a n ｝为等差数列，b n = a n ,又已知 b 1+ b 2 + b 3= , bbb 3=，求数列｛a n ｝的 2 8 8通项公式.11 1 21 1 1解：T b 1 + b 2 + b 3=a 1 + a 2 + a 3= , db 2b 3= a+ a 2 + a 3 = , • a + a 2+ & = 2228 2 812.4 •《九章算术》列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(A. 1升B. 67升 c.47升D.37升 4a 1 + 6d = 3,即3a 1 + 21d = 4.解得故第5节的容积为 6767升.a1=22,766,则 a s = a 1 + 4d =篇,=2 017 ,••• a i , a 2, a 3成等差数列，二 比=1,故可设 a i = 1 -d , a 3 = 1 + d ,得 2d+ 2-d= ”，解得 d = 2 或 d =-2.当 d = 2 时，a 〔 = 1 — d = — 1, a n = — 1 + 2(n — 1) = 2n — 3； 当 d = — 2 时，a 1 = 1 — d = 3, a n = 3 — 2(n — 1) = — 2n + 5.[f盈邊锻範&下表是一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， a j 表示位于第i 行第j 列的数.(1) 写出a 45的值；(2) 写出a ij 的计算公式，以及 2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置. 解：通过每行、每列都是等差数列求解. (1) a 45表示数阵中第4行第5列的数.先看第1行，由题意4,7，…，a 15,…成等差数列， 公差 d = 7— 4= 3，贝y a 15= 4+ (5 — 1) x 3= 16. 再看第2行，同理可得a 25= 27.最后看第5列，由题意a 15, a 25，…，a 45成等差数列， 所以 a 45= ai 5 + 3d = 16 + 3 x (27 — 16) = 49.(2) 该“等差数阵“的第 1行是首项为4,公差为3的等差数列a 1j = 4 + 3(j — 1); 第2行是首项为7,公差为5的等差数列aa = 7+ 5( j — 1);第i 行是首项为4+ 3( i — 1)，公差为2i +1的等差数列, ••• a ij = 4 + 3( i — 1) + (2i + 1)( j — 1) =2ij + i + j = i (2j + 1) + j .要求2 017在该“等差数阵”中的位置，也就是要找正整数 -1-d +1+ - 1+d2 + 2+ 221~8，i , j ，使得 i (2j + 1) + j2；；［¥•又 j € N* ,•••当i = 1 时，得j = 672.••• 2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672 列.。