人教A版高中数学必修五浙江专用课时跟踪检测(十九) 基本不等式

a —L b课时跟踪检测（十九）基本不等式：ab < 2层级一学业水平达标1.下列结论正确的是（）1 A. 当 x >0 且 X M1 时，lg x + >2ig xB. 当x>0时, X+ I >21C. 当x >2时，x — -的最小值为2XD.当O<X W2时，X —】无最大值x1D . x +->2x解析：选C 对于A ,当x <0时，无意义，故 A 不恒成立；对于 B ,当x = 1时，X 2+ 1 2 1=2x ，故B 不成立；对于 D,当x <0时，不成立.对于 C , x + 1 > 1 ,••• 2 <1成立.故x + 1选C.解析：选B A 中，当0<x <1时, lg x <0, lg x +1ig x>2不成立; 由基本不等式知正确；C 中，由对勾函数的单调性，知1 5 1X + X 的最小值为-；D 中，由函数f （x ） = X —（在区间（0,2］上单调递增，知x — X 的最大值为2,故选B.X 22. 下列各式中，对任何实数2x 都成立的一个式子是（2B . x + 1>2x 3.设a , b 为正数，且a — b <4, 则下列各式中正确的一个是（1 1 A・a + b <11 1 B・a +b >1C.1■+ b <2 a b 解析：选B 因为ab < 一 a — b 2<4.四个不相等的正数 a , b , c , d 成等差数列，则（ 4 21A号〉.be C•呼=.be B.宁<.be D.a—. be解析：选A 因为a , b , c , d 成等差数列，则a + d = b + c ,又因为a , b , c , d 均大于1 16. 若a >0, b >0,且a +亍嗣，则a3+ b 3 4的最小值为解析：a >0, b >0,.••寸0B =亍+、^0^,即卩ab >2,当且仅当a = b =Q 2时取等号， ••• a 3 + b 3>2 ab3>2 23= 4 2,当且仅当a = b = , 2时取等号，则a 3+ b 3的最小值为4,2.答案：4 27. __________________________________________________________ 已知正数x , y 满足x 2+ 2xy — 3 = 0，则2x + y 的最小值是 __________________________________ .3 — x 2解析：由题意得，y =~2厂,3 — x 2 3x 2+ 3 3• 2x+y = 2x+ ~2F = ~~2xT = 249. (1)已知x <3,求f (x ) =+ x 的最大值; x — 30且不相等，所以b +c >2 be ,故 a -rd > bc .5.若 x >0, y >0，且 x +y =1, 则xy 有（A. 最大值641.最小值64 C.1最小值2.最小值64解析：选D 由题意xy =y xy = 2y + 8x 》2p 2y x = ^/xy , ^J xy >8, 即卩 xy 有 最小值64,等号成立的条件是 x = 4, y = 16.当且仅当 x = y = 1时，等号成立.答案：38. 若对任意x>0, 三a恒成立，则a的取值范围是1所以有xd右=十< 1 1X + x+ 32 +3 5'解析：因为x>°,所以x+ 2.当且仅当x= 1时取等号,八 1 1即x^r^xn的最大值为5，故a>5.1 3(2)已知x , y 是正实数，且x + y = 4,求- + -的最小值.x y解：⑴••• x<3,x — 3<0,44二f(x ) = x~3+x =x ~3 +(x — 3) + 3亡+ 3— x +3一 23- x +3=-1,当且仅当即x = 1时取等号, ••• f(x )的最大值为一1. ⑵•/ x , y 是正实数,1 3y 3x•••(x +y ) x + 厂4+x +7》4+ 2 3.y 3x当且仅当7= 丁,即 x = 2( 3 — 1), y = 2(3 — 3)时取“=又 x + y =4, • 1+ 3> 1+ 申,x y 2 故x +3的最小值为 x y1+i 310•设a, b, c都是正数，试证明不等式:证明：因为a>0, b>0, c>0,b a所以a+尹2,所以b+ aa b即a = b= c时，等号成立.所以氓寺+吐^ 6a b c层级二应试能力达标1. a, b€ R,则a2+ b2与2| ab|的大小关系是()2 2 2 2A. a + b >2| ab |B . a + b = 2| ab |2222C. a + b < 2| ab | D . a + b >2| ab |解析：选 A •/ a 2 + b 2 -2|ab | = (| a | - | b |) 2>0,二 a 2 + b 2>2| ab |(当且仅当 | a | = | b | 时，等号成立).1 1 12.已知实数a , b , c 满足条件a >b >c 且a + b + c = 0, abc >0，则-+二+-的值()a b cA. —定是正数 B .一定是负数 C.可能是0D .正负不确定解析：选 B 因为 a >b >c 且 a + b + c = 0, abc >0,所以 a >0, b <0, c <0,且 a =- (b + c ),因为 b <0, c <0,所以 b + c w — 2 bc ,最小值为（A. 0C. 2A. C.2 • 丫 解析：选D 子+令=丄+ ・x + y x + 2y 1 + y 1 + 2. y xx设 t =x >0,1 1 1 所以a +b +c =1 1 1 + — + 一 b + c b c ，1 1 1 1所以-乐W 2「bc ，又b + c < ——2 虫bc <0故选B.3.已知 x >0, y >0, x , a ,b , y 成等差数列，x ,c ,d , y 成等比数列，则的cd解析：选 D 由题意，知a +b =x + y , cd = xy ,所以a +b 2 cd2 2 2x + y x + y + 2xyxyxy2 1 2x + y2> 2 +xy2= 4,当且仅当x = y 时，等号成立.4. 若实数x , y 满足xy >0,则命+禺的最大值为（1 1 1 1所以-乐+ b + cW丽12t 1 2t + 1 — 1 t 1 + = + = 1+ = 1 ------------------------------------------------------------------ 1 + t 2t + 1 t + 1 2t + 1 t + 1 2t + 1 12t + 下 + 31最大值为 1 ---------- = 4 — 2飞.2.2羽 + 3 V1 4 y 25.若两个正实数 x , y 满足-+ - = 1,且不等式x + 4<m i — 3m 有解，则实数 m 的取值范✓x. V围是 ________ .y 2 y 2 1 4解析：因为不等式 x + 4<m — 3m 有解，所以x + - min <m — 3m 因为x >0, y >0,且-+ -= y y 1 44x y/4x y4x y1,所以 x + = x ++- =+ —+ 2>2- + 2 = 4,当且仅当一=可，艮卩 x = 2, 44 x y y 4x. y 4x y 4x ? ，y2y = 8时，等号是成立的，所以x + 4 min = 4,所以m — 3m >4,即(n + 1)( m — 4)>0，解得m r —1 或 m >4.答案：(—a, — 1) u (4 ,+s)1 16. _________________________________________________________ 若正数 a , b 满足a +b = 1,则3^+2 + 3b + 2的最小值为 ____________________________________ _答案：47•某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品k的年产量）x （单位：万件）与年促销费用n （mi>0）（单位：万元）满足x = 3— （ k 为常数）, 1如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2016年生产该产品的固定投入为解析：由a + b = 1,知 1 13a + 2 + 3b + 2 3b + 2+ 3a + 2 3a + 23b + 279ab + 10，又 ab<a + b21 1=4（当且仅当a = b =2时等号成立），7 - 49 9ab +10<7，…9ab + 10又每件产品的销售价格为1.5 X8 + 16x 一元, 8万元，每生产1万件该产品需要再投入 16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1） 将2016年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用 m 的函数； （2）该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？2解：（1）由题意，可知当 m= 0 时，x = 1,A 1 = 3 — k ,解得 k = 2,「. x = 3 —:,nr+ 11 1&已知k >6,若对任意正数 x , y ,不等式3k —- x + ky > 2xy 恒成立，求实数 k 的 最小值.解：••• x >0, y >0,.不等式3k — x + ky ，冷2xy 恒成立等价于 3k —2、£ +，羽恒成立.1又 k>6，• • k min = .216=— +m + 1m + 1+ 29( m> 0).⑵••• m>0,^+1+ (m +1) >216= 8,当且仅当 器=1，即m= 3时等号成立,=4+ 8 3 ——m..y w — 8+ 29 = 21,. y max = 21.y = x1.5 X 8 + 16x—(8 + 16x + m = 4 + 8x — m2m+1 故该厂家2016年的促销费用为 3万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21万元.? 1 1 1 ••• 2 k 3k —2 > 2,解得 k w — 3(舍去)或 k >-,。

第 1 页 共 10 页一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1 BCD ．12【答案】D【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤ . 故选：D.2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）A ．18B ．9C ．6D ．【答案】C【解析】因为90,30a b >>，22a b +=，所以936a b +≥==， 当且仅当233a b =，即1,12a b ==时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-第 2 页 共 10 页C．a b +≥-D．a b +≤【答案】B【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】依题意241x x y x -+=-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以411151x x -++≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立. 故选B.5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第 3 页 共 10 页【答案】C【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A．B．C ．3D ．2【答案】B第 4 页 共 10 页【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥2(1)111b a a b ++=++，即a =b =.故选B7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A．a v <<B．v =C2a bv +<D ．2abv a b=+ 【答案】AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b+，22s abv s s a b a b∴==++.0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+ 另一方面22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<故选：AD.8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠；第 5 页 共 10 页C2(0)ab ≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 【答案】ACD【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；对B 项，当0x >时，112x x x x +=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立 当0x <时，112x x x x +=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确； 对C 项，当0,0a b <<0<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，22111x x +=+，则D 错误； 故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农，鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个． 【答案】2【解析】110a b<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确；第 6 页 共 10 页110ab ab a b⋅<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；0b a ->->，则1b b a a -=>-，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确. 故答案为：2.10．（2020·江苏滨湖，辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.【答案】【解析】正实数,x y，则39x y +=≥92≤，2318x y =++≤≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.又()()()111124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦------⎝⎭⎝⎭, 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4.第 7 页 共 10 页12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．【答案】 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,a b ∈R ，222a b ab +-=，所以222()3()4a b a b +=+-．因为22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以223()4()2a b a b ++≥+，解得a b -≤+≤，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2)823(ab a b =+≤+，解得223ab -≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值.【解析】（1）因为()()2125255255y x xx x x x =-=-=⨯⨯- 已知205x <≤，所以250x ->， 所以()252552512x x x x⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭第 8 页 共 10 页所以15y ≤，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，所以y ＝2x －5x 2的最大值为：15（2）因为8x ＋2y ()⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y xy x y ， 当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21,33x y ==时，取等号， 所以8x＋2y 的最小值.为18. 14．（2017·福建高三（理））已知a ，b为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b为正实数，且11a b+=，所以11a b +=ab ≥12(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)． 因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为11a b+=，所以a b +=，第 9 页 共 10 页因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥， 所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0， 因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x-1）（1y -1）（1z-1）＞8． 【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，∴（1x -1）（1y -1）（1z -1）y z x z x y x y z ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞8． ∴（1x-1）（1y -1）（1z -1）＞816．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭第 10 页 共 10 页[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。

温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

课后巩固作业（二十四）(30分钟 50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( )①ab ≤1;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3; ⑤11 2.ab+≥(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2-=+>=≠-（）（）则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定 3.设a aa 11x 2xm log x,n log ,p log ,221x+===+其中0＜a ＜1,x ＞0且x ≠1,则下列结论正确的是( )（A ）m ＜n ＜p (B) m ＜p ＜n (C)n ＜m ＜p (D)n ＜p ＜m4.已知不等式1a x y)()9xy++≥（对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值 为( )(A)8 (B)6 (C) 4 (D)2二、填空题(每小题4分，共8分) 5.在4×+9×=60的两个中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________.6.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________. 三、解答题(每小题8分，共16分)7.已知函数f(x)=lgx(x>0),试比较()()121f x f x 2+［］与12x x f ()2+的大小，并加以证明.8.已知：a>0,b>0,c>0, 求证：bc ac aba b c.a b c++≥++ 【挑战能力】（10分）若0<x<1,a>0,b>0.求证：()222a b a b .x 1x+≥+-答案解析1.【解析】选C.∵ab ≤2a b ()2+=1,∴①正确；(2a ba b 22a b 4,+=++=+≤++=2,≤故②不正确；()222a b a b 2,2++≥=∴③正确;∵a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=2［(a+b ）2-3ab ］=2(4-3ab)=8-6ab ≥8-6=2, ∴④不正确;11a b 22,a b ab ab++==≥ ∴⑤正确，故正确的为①③⑤，共3个.故选C. 2.【解析】选A.11m a a 22a 2a 2=+=-++--（） 又∵a>2,∴a-2>0.m 2 4.a 2∴≥+=-）即m ∈［4,+∞). 由b ≠0得b 2>0,∴2-b 2<2.22b 24,-∴<即n<4,∴n ∈（0,4）.综上易得m>n,故选A.3.【解析】选C.∵x ＞0且x ≠1,1x2+∴＞∵0＜a ＜1,a a 1x 1log log log x,n m.22+∴=＜即＜又由1x2+＞得22x 1x 1x ∴=++＜aa 2x 1log log log x,1x 2∴=+＞即p ＞m,∴n ＜m ＜p. 4.【解题提示】只需求()1a x y ()x y++的最小值大于等于9即可. 【解析】选C.()1a ax y ax y x y ()1a a 12a 2a 1,xyy x y x++=+++≥++=++ 当且仅当ax yy x =时，等号成立.使1a x y ()9xy++≥（）对任意正实数x,y 恒成立，则219.++≥即280.+-≥24≥≤- (舍),∴a ≥4，即a 的最小值为4，故选C.5.【解析】设两数为x,y ，即4x+9y=60.11114x 9y 14x 9y ()(13x y x y 6060y x++=+=++≥） ()115(131312.60x 6012+=⨯+=当且仅当4x9y ,y x=且4x+9y=60,即x=6且y=4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 46.【解题提示】的取值范围，再求得ab 的取值范围. 【解析】∵a,b 是正数.ab ab 33∴=++≥（当且仅当a=b 时取“=”），即ab 30,31--≥≥≤-（舍去）. ∴ab ≥9. 答案：［9,+∞)7.【解析】()()1212x x 1f x f x f ().22++≤［］ 证明：∵f(x 1)+f(x 2)=lgx 1+lgx 2=lg(x 1x 2),1212x x x x f ()lg ,22++= 又∵x 1，x 2∈(0,+∞),21212x x x x (),2+≤ ()()212121212x x lg x x lg().2x x 1lg x x lg ,22+∴≤+∴≤ 即1212x x 1lgx lgx lg.22++≤（） 当且仅当x 1=x 2时，等号成立.()()1212x x 1f x f x f ().22+∴+≤［］ 8.【解题提示】可以利用基本不等式直接给出证明. 【证明】∵a>0,b>0,c>0,bc ac 2c,a b b∴+≥= 同理bc ab2b a c +≥ ac ab2a b c+≥ ()bc ac ab2()2a b c .a b c∴++≥++当且仅当bc ac aba b c==即a=b=c 时，等号成立.bc ac aba b c.a b c∴++≥++ 【方法技巧】巧用“拼凑法”解题本题采用了“拼凑法”，即将不等式左边扩大为原来的2倍，然后分开重组，寻求基本不等式的形式，应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形. 【挑战能力】【解题提示】注意到x+(1-x)=1(定值)，2222a b a b 1().x 1x x 1x +⨯+--可将看成【证明】左边=22a b x 1x)()x 1x+-+-（()222222222x 1x a b b a 1x xa b ax a b 2ab a b -=+++-≥++=++=+=右边，当且仅当22x 1x b a 1x x -=-即a x a b=+时等号成立. ()222a b a b .x 1x ∴+≥+-。

课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab ≤a ＋b2层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x >0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1B.1a ＋1b ≥1C.1a ＋1b<2D.1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－243－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc， 即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. 层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( )A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选 A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )， 所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c ＋1b ＋1c ，因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ， 所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc，所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc－21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选 D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy＝x 2＋y 2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立． 4．若实数x ，y 满足xy >0，则xx ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：选Dxx ＋y＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·yx1＋2·yx， 设t ＝y x>0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t t ＋t ＋＝1＋12t ＋1 t＋3. ∵2t ＋1t≥22，∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2.5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y4x＋2≥24xy ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________．解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2a ＋b ＋＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12xy ＋k yx≥2恒成立． 又k >16，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －12x y＋k y x≥2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12，∴2k ⎝⎛⎭⎪⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12，∴k min ＝12.。

3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）1.若2.3.1a ⎛ ⎝4.设5.是.6.()f t 前7．（bc a +的最大)，52元，. )x .3.4()002a ba b+≤≥≥，（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3． 4． 5. 6.二、解答题7.8.9.10.3.4()002a ba b +≤≥≥，（苏教版必修5）参考答案1.4 解析：222111()()120f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=+-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令12t x x=+≤-，则2()2(2)g t t t t =--≤-，当2t =-时，()g t 有最小值4. 2.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：π),()π<2π).x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当0,πx ∈［］时，令cos [11]t x =∈-，，构造函数2154t g t t-=+（），整理，得1591()544644g t t t ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=-++⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦5388+≤-5184+=，所以1()02f x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，. 同理，当(π,2π]x ∈时，1()02f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，()f x =02πx ≤≤）的值域是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.3.≥解析：∵,,a b c +∈R 且1a b c ++=，∴11(1)(1)(1)()1(1())11a b c b c a a b c c a b abc abc ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝---+++=⎭⎝⎭≥8=，当且仅当13a b c ===时取等号.4.4 解析：22111111()224()()()a a ab ab a a b ab ab a a b ab a a b a a b ab++=-+++=-+++≥+=---，当且仅当()1a a b -=且1ab =，即a，b 时取等号. 5.26-∞-+∞U （，，）］［解析：∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴232a b ab a b +⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭，∴2()4()12a b a b +-+-0≥，即[()6][()2]0a b a b +-++≥，∴6a b +≥或2a b +≤-，∴a b +的取值范围是26-∞-+∞U （，，）］［.6.18解析：平均销售量2()1011066118y f t t t t t t t==+++≥+=.当且仅当16t t=，即4130t =∈，［］时等号成立，即平均销售量最少为18盒.7.证明：∵,,a b c 都是正数，∴,,bc ca aba b c都是正数. ∴2bc caa bc +≥，当且仅当a b =时等号成立， 2ca ab b c a +≥，当且仅当b c =时等号成立， 2ab bcc ab +≥，当且仅当ac =时等号成立. 三式相加，得22bc ca ab c ba a cb ⎛⎫++⎪⎝⎭≥++（），即bc ac ab a b c ++a b c ≥++，当且仅当a b c ==时等号成立. 8．解：∵ 503x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴530x ->.∴222235325()2(53)3326x x f x x x +-⎛⎫=-=≤•= ⎪⎝⎭.当且仅当353x x =-，即56x =时，等号成立.故()f x 的最大值为256. 9.解：因为00x y >>，，且21x y +=，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=212y x++x y +≥33++当且仅当2y x =xy且21x y +=，即1x =，1y =时，取得等号.所以1x +1y的最小值为3+. 10.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分36x批，每批价值为20x 元. 由题意得36()420x f x k x •=+•.由4x =，()52f x =，得161805k ==. ∴*1444(03)()6,N <<x x f x x x=∈+.(2)由(1)知*1444(3))(06,x x x x x f =+∈<N <，∴()48f x ≥. 当且仅当1444xx =，即6x =时，上式等号成立. 故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《基本不等式》一、选择题1.下列不等式正确的是( )A ．a ＋1a ≥2B ．(-a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤-2C ．a 2＋1a 2≥2D ．(-a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤-22.已知m=a ＋1a＋1(a>0)，n=3x (x<1)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m=n D ．m≤n3.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.234.已知f(x)=x ＋1x-2(x<0)，则f(x)有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为-4 D ．最小值为-45.下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x 2≥2 36.若-4<x<1，则f(x)=x 2－2x ＋22x －2( ) A ．有最小值1 B ．有最大值1 C ．有最小值-1 D ．有最大值-17.设f(x)=ln x,0<a<b ，若 p=f(ab)，q=f(a ＋b 2)，r=12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )A ．q=r<pB ．q=r>pC ．p=r<qD ．p=r>q二、填空题8.当x>12时，函数y=x ＋82x －1的最小值为________．9.若x ，y 均为正实数，且x ＋4y=1，则x·y 的最大值为________．10.已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．11.若正数a ，b 满足ab-(a ＋b)=1，则a ＋b 的最小值是________．12.函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，其中m ，n>0，则1m ＋2n的最小值为________．三、解答题13.已知不等式ax 2-3x ＋2<0的解集为A={x|1<x<b}．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)=(2a ＋b)x ＋25b －a x ＋a(x ∈A)的最小值．14.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？1 a ＋1b＋1c≥9.15.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1.求证：答案解析1.答案为：C ；解析：因为a 2＋1a 2中a 2>0，所以a 2＋1a 22≥a 2·1a 2，即12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥1，所以a 2＋1a2≥2.2.答案为：A ；解析：因为a>0，所以m=a ＋1a ＋1≥2a ·1a＋1=3，当且仅当a=1时等号成立． 又因为x<1，所以n=3x <31=3，所以m>n.3.答案为：B ；解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34，当且仅当3x=3-3x ，即x=12时等号成立．4.答案为：C ；解析：∵x<0，∴f(x)=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋1－x -2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1－x ，即x=-1时取等号．5.答案为：D ；解析：a<0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a=1，b=1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a=4，b=16， 则ab<a ＋b 2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．6.答案为：D ；解析：f(x)=x 2－2x ＋22x －2=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1＋1x －1， 又∵-4<x<1，∴x-1<0.∴-(x-1)>0.∴f(x)=-12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x －1＋1－x －1≤-1. 当且仅当x-1=1x －1，即x=0时等号成立．7.答案为：C ；解析：p=f(ab)=ln ab ，q=f(a ＋b 2)=ln a ＋b 2， r=12(f(a)＋f(b))=12ln ab=ln ab ，函数f(x)=ln x 在(0，＋∞)上单调递增， 因为a ＋b 2>ab ，所以f(a ＋b 2)>f(ab)，所以q>p=r.8.答案为：92； 解析：设t=2x-1，∵x>12，∴2x-1>0，即t>0，∴y=t ＋12＋8t =t 2＋8t ＋12≥2t 2·8t ＋12=92. 当且仅当t 2=8t ，即t=4， x=52时，取等号．9.答案为：116； 解析：1=x ＋4y≥24xy=4xy ，∴xy≤116，当且仅当x=4y 时等号成立．10.答案为：32； 解析：因为x ＞a ，所以2x ＋2x －a =2(x-a)＋2x －a ＋2a≥22x －a ·2x －a ＋2a=2a ＋4， 即2a ＋4≥7，所以a≥32.即a 的最小值为32.11.答案为：22＋2；解析：由于ab-(a ＋b)=1，所以ab=a ＋b ＋1，而ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ＋1≤14(a ＋b)2. 令a ＋b=t(t>0)，所以t ＋1≤14t 2，解得t≥2＋22，即a ＋b≥22＋2. 当且仅当a=b=1＋2时取等号．12.答案为：8；解析：函数y=log a (x ＋3)-1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(-2，-1)，且点A 在直线mx ＋ny ＋1=0上，∴2m ＋n=1，m ，n>0，∴1m ＋2n =⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ·(2m＋n)=4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n=8， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝1，n m ＝4m n，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝14，n ＝12时等号成立．13.解：(1)由题意知，1，b 是方程ax 2-3x ＋2=0的两根，且b>1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2.(2)由(1)得f(x)=(2×1＋2)x ＋252－1x ＋1=4x ＋25x ＋1=4(x ＋1)＋25x ＋1-4≥24x ＋1·25x ＋1-4=16.当且仅当4(x ＋1)=25x ＋1，即x=32∈A 时等号成立．∴函数f(x)的最小值为16.14.解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋ (x)=200＋12x(x ＋1)·16(万元)．∴y=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤100x －200－12x x ＋1·16=16(-2x 2＋23x-50)． (2)年平均利润为y x =16⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2x －50x =16⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x .又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2x ·25x =10，当且仅当x=5时，等号成立，此时yx ≤16×(23-20)=48.∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元．15.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c=1，∴1a ＋1b ＋1c =a ＋b ＋c a ＋a ＋b＋c b ＋a ＋b ＋cc=3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ba ＋ab ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ca ＋ac ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋bc ≥3＋2＋2＋2=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立．。

基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

课时跟踪检测（九） 基本不等式A 级——学考水平达标练1．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b 2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab解析：选 C ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列不等式一定成立的是( ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：选B A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.3．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y >14B.1x ＋1y≥1C.xy ≥2D.1xy≥1解析：选B 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 4．若－4<x <1，则x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1.又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴x 2－2x ＋22x －2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C 由题意，得a >0，b >0.∵ab ＝1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b时等号成立，∴ab ≥2 2.6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3， 高为1 m ，得另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：1607．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是__________________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立． 答案：(a －b )(b －c )≤a －c28．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：49．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ， 三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋abc ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.B 级——高考水平高分练1．某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选A 设左、右两臂长分别为b ，a ，两次放入的黄金的克数分别为x ，y ，依题意有ax ＝5b ，by ＝5a ，∴xy ＝25.∵x ＋y2≥xy ，∴x ＋y ≥10，又a ≠b ，∴x ≠y .∴x ＋y >10，即两次所得黄金大于10 g ，故选A.2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47. 答案：473．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.4．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形的一边长为x m ，则另一边长为800xm ，因此种植蔬菜的区域宽为(x －4)m ，长为⎝⎛⎭⎪⎫800x －2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3 200x≤808－22x ·3 200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3 200x，即x ＝40时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.5．方程x 2－px －12p2＝0的两根分别为x 1，x 2且满足x 41＋x 42≤2＋2，则p ＝________.解析：由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p ，x 1·x 2＝－12p 2，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝p 2＋1p2，x 41＋x 42＝(x 21＋x 22)2－2x 21x 22＝⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋1p 22－12p 4≤2＋2，即p 4＋12p 4≤2， 又p 4＋12p4≥2p 4·12p 4＝2，故p 4＋12p4＝2，当且仅当p 4＝12p 4时等号成立，即p ＝±182.答案：±182。

课时作业23 基本不等式时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列选项中正确的是( ) A ．当a ，b ∈R 时，a b ＋b a ≥2a b ×b a＝2 B ．当a >1，b >1时，lg a ＋lg b ≥2lg a lg b C ．当a ∈R 时，a ＋9a≥2a ×9a＝6 D ．当ab <0时，－ab －1ab ≤－2解析：选项A 中，可能b a<0，所以A 不正确； 选项C 中，当a <0时，a ＋9a<0，所以C 不正确；选项D 中，当ab <0时，－ab >0，－1ab>0，则－ab －1ab≥2，当且仅当－ab ＝－1ab，即ab ＝－1时取等号，所以D 不正确；很明显，选项B 中当a >1，b >1时，lg a >0，lg b >0， 则lg a ＋lg b ≥2lg a lg b 成立，所以B 正确． 答案：B2．设a >b >0，下列不等式中不正确的是( ) A ．ab <a 2＋b 22B ．ab <(a ＋b2)2C.2aba ＋b>ab D.ab >2aba ＋b解析：2ab a ＋b <2ab2ab＝ab . 答案：C3．设x 是实数，且满足等式x 2＋12x＝cos θ，则实数θ等于( )A ．2k π(k ∈Z )B ．(2k ＋1)π(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D.12k π(k ∈Z ) 解析：若x >0，由x 2＋12x≥2x2×12x＝1 当且仅当x ＝1时取等号， ∴cos θ＝1.同理，当x ＝－1时，cos θ＝－1. ∴cos θ＝±1，∴θ＝k π(k ∈Z )． 故选C. 答案：C4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝4，则下列各式中正确的不等式是( ) A.1a ＋1b ≤14 B.1a ＋1b≥1C.ab ≥2D.1ab≥1解析：由a >0，b >0，知a ＋b2≥ab .又a ＋b ＝4，∴ab ≤4，∴1ab ≥14.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，即1a ＋1b≥1. 答案：B5．如果0<a <b 且a ＋b ＝1，那么下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．b C ．2abD ．a 2＋b 2解析：由0<a <b 且a ＋b ＝1知，b >12，ab <a 2＋b22，于是ab <ab ＋a 2＋b 222＝(a ＋b2)2＝14，2ab <12.由b >12，2ab >a ，于是b >a ＋b －2ab ＝1－2ab ＝(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2.答案：B6．已知f (x )＝(12)x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f (a ＋b 2)，G ＝f (ab )，H ＝f (2ab a ＋b )，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b .又∵函数f (x )＝(12)x是减函数，∴A ≤G ≤H .故选A.答案：A二、填空题(每小题8分，共计24分)7．若x >0，则5－2x －1x有________值是________．解析：∵x >0，∴2x ＋1x≥22x ·1x＝22，当且仅当x ＝22时等号成立． ∴5－2x －1x≤5－2 2.答案：最大 5－2 28．若a >1,0<b <1，则log a b ＋log b a 的取值范围是________．解析：∵a >1,0<b <1，∴log a b <0，log b a <0，∴－(log a b ＋log b a )＝(－log a b )＋(－log b a )≥2，∴log a b ＋log b a ≤－2.答案：(－∞，－2] 9．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析：由题意知A (1,1)，∴m ＋n ＝1， ∴1m ＋1n ＝(1m ＋1n )(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥4，当且仅当m ＝n 时“＝”成立． 答案：4三、解答题(共计40分)10．(10分)判断下列各式的正误，并说明理由． (1)f (x )＝12x＋3x 的最小值为12；(2)x >0时，函数f (x )＝1x 2＋2x ≥21x2·2x ＝22x，∴当且仅当x 2＝2x 即x ＝2时，取最小值；(3)x >0时，x ＋1x ＋1x ＋1x的最小值为2.解：(1)错误．∵x 的正负不知，所以分x >0与x <0两种情况进行讨论． 当x >0时， f (x )＝12x ＋3x ≥212x×3x ＝12，当且仅当12x＝3x ，即x ＝2时，等号成立，∴x >0时， f (x )有最小值12.x <0时， f (x )＝12x ＋3x ＝－[－12x＋(－3x )]．∵－12x＋(－3x )≥2－12x－3x ＝12，∴f (x )≤－12，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴当x <0时， f (x )有最大值－12. (2)错误．∵1x2·2x 不为定值(常数)，∴x ＝2时， f (x )取不到最小值． (3)错误．等号当且仅当x ＋1x ＝1x ＋1x即(x ＋1x)2＝1时成立，又x >0，∴x ＋1x＝1，即x 2－x ＋1＝0，此方程无解，∴等号取不到，应该有x ＋1x ＋1x ＋1x>2.11．(15分)已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c . 证明：∵a >0，b >0，c >0，∴bc a ＋ac b ≥2abc 2ab ＝2c ，ac b ＋abc ≥2a 2bcbc＝2a ， bc a ＋ab c≥2bc a ·abc＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bc a ＋ac b ＋abc>a ＋b ＋c .12．(15分)已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1，x 2∈R ＋，比较12[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．解：12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. ∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22，又∵x 1，x 2∈R ＋，x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222.∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. ∴12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．。