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4-1根轨迹的基本概念

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自动控制原理 第四章根轨迹

自动控制原理 第四章根轨迹

第四章根轨迹法4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-1 根轨迹法的基本概念一、根轨迹的概念根轨迹：系统中某个参数从零到无穷变化时，系统闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

根指的是闭环特征根(闭环极点)。

根轨迹法是根据开环传递函数与闭环传递函数的关系，通过开环传递函数直接分析闭环特征根及系统性能的图解法。

K =0 s 1=0 s 2=-40 < K <1s 1 s 2为不等的负实根K =1s 1=-2 s 2=-21 < K < ∞s 1s2 实部均为-2由根轨迹可知：1）当K =0时,s 1=0,s 2=-1,这两点恰是开环传递函数的极点,同时也是闭环特征方程的极点.2）当0<K < 1 时,s 1,2都是负实根,随着k 的增长,s 1从s 平面的原点向左移,s 2从-1点向右移。

3) 当K = 1时, s 1,2= -2,两根重合在一起,此时系统恰好处在临界阻尼状态。

4) 1 <K <∞,s 1,2为共轭复根,它们的实部恒等于-2，虚部随着K 的增大而增大,系统此时为欠阻尼状态。

★在s平面上,用箭头标明K增大时,闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。

有了根轨迹图就可以分析系统的各种性能：(1)稳定性:根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有K>0都是稳定的。

(2)稳态性能:如图有一个开环极点(也是闭环极点)s=0。

说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。

在速度信号V0t作用下,稳态误差为V0/K，在加速度信号作用下,稳态误差为∞。

(3)动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼K越大，阻尼比ξ越小,超调量σ%越大。

由此可知：1、利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能的影响。

2、根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置；从而确定出可变参数的大小，便于对系统进行设计。

由以上分析知：根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是,高阶方程很难求解，用直接解闭环特征根的办法来绘制根轨迹是很麻烦的。

第四章根轨迹法§4-1反馈系统的根轨迹

第四章根轨迹法§4-1反馈系统的根轨迹
(2) 闭 环 零 点 由 开 环 前 向 通路 传 递 函 数 的 零 点 和 反馈 通 路 传 函 的 极 点 所 组 成;对 于 单 位 反 馈 系 统,闭 环 零 点 就 是 开 环 零点
(3) 闭 环 极 点 与 开 环 零 点 、开 环 极 点 以 及 根 轨 迹 增益 均 有 关
根 轨 迹 法 的 基 本 任 务: 如 何 由 已 知 的 开 环 零 极点 的 分 布 及 根 轨 迹 增 益, 通 过 图 解 的
s2 2 闭 环 极 点 与 开 环 极 点同相 s1, s2均 为 负 实 数 s1 s2 -1
k 1/2时
s1,2 -1 j 2k - 1, 实 部 相 同 位 于 垂 直 于 实 轴 的 直上线
k 时 沿 上 述 直 线 趋 于 无 穷.远
K
s1 -1 1 - 2k s2 -1 - 1 - 2k
(s zi )
i 1 n
(s pj )
1 K
j 1
幅值条件
m
n
G(s)H(s) (s zi ) - (s p j)
i 1
j 1
m
n
i - j
i 1
j 1
180 (1 2) ( 0,1,2,)
相角条件
(s
j 1
z
j
)
h
(s
j 1
pj )
f
l
则
G(s)H(s)
K
(s
i 1 q
Zi
)
(s
j 1 h
zj)
(3)
(s
i 1
Pi
)
(s
j 1
z
j
)
n qh
mf l

自动控制原理2011第4章

自动控制原理2011第4章

=0
s1, 2 j3.74
K = 60
10+K
14
补充规则
规则八：闭环极点之和
系统满足n-m≥2时,系统闭环极点之和等于
开环极点之和
规则九：闭环极点之积
系统的n-m≥２且有开环零点位于原点时,系
统闭环极点之积就等于开环极点之积
15
返回
2 p 3 s180 [ 0.s 3) * s ( s 3K * j ) ( s 0 ) ( s 6)] 65 .6 ( 212 K (0 5 6 1 j1 1 j1) 5 3) ( ⑤分离点 .6 * 90* 141 11.4 ) 43.8 2.5 180 (26 K 135.163 K 3940 1 105 1a 0 j 1 1 1 s1 K * 0 41 0 * 65.6 0.212 K * K ds 0 3K * d d 5渐近线与实轴的夹角为 1 j d 6 0 d①根轨迹有5支 1 j d * 3 1 34 K * 3 (2k .2 1) ③实轴上的根 0 5 4 ，0 * .6 * 0.212 66 d 65135d K 0 142 s* 123 s 0 51,26， .0 s K 0 极点 45,，0,3 ,k K 0 K a 2 轨迹位于0-3 -1 0 j K 1 j 3940 105 K * 0.163 K *05 1 1 ，* 35.6 0 -3 -6 -5 用试探法求得分离点为45 及-5-6之间 a1 1.34 , 零点 45 , * * -5.53 0 a 2 3，无穷远 K K * 2 d 5.53 0 135 , 135 * (65.6 0.212 K ) S 33K 0 a 4 a * * K K 将 K * 35.6 代入辅助方程， 解得 S j1.34

4-1 根轨迹法基本概念

4-1 根轨迹法基本概念

4.4.2 根轨迹与系统性能 1.稳定性 稳定性 当开环增益K从 变化 当开环增益 从0变化 到无穷时，根轨迹均在s 到无穷时，根轨迹均在 左半平面变化， 左半平面变化，不会进入 s右半平面，因此，对任 右半平面， 右半平面 因此， 均稳定。 意K值，系统均稳定。 值 2.稳态性能 稳态性能 因为开 因为开环系统只有一个 极点位于原点， 极点位于原点，所以系统 型系统， 为I型系统，其静态速度 型系统 误差系数为K。 误差系数为 。

i =1 1 j =1
比较开环传递函数与闭环传递函数可得： 环传递函数与闭环传递函数可得 比较开环传递函数与闭环传递函数可得： (1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 闭环系统根轨迹增益， 闭环系统根轨迹增益 道根轨迹增益 道根轨迹增益。 对单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于 对单位反馈系统 闭环系统根轨迹增益等于 开环系统根轨迹增益 开环系统根轨迹增益。 (2)闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环传递函数中前向通道传递函 闭环零点由开环 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 数的零点和反馈通道传递函数的极点组成。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。 (3)闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零、极点及开环系统根轨迹 闭环极点与开环零 增益K*有关 有关。 增益 有关。
第4章 线性系统根轨迹法 章
平顶山学院计算机科学与技术学院
根轨迹法是一种图解方法， 根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制 理论中对系统进行分析和综合的基本方法之 一。由于根轨迹图直观地描述了系统特征方 程的根（即系统的闭环极点） 平面上的分 程的根（即系统的闭环极点）在s平面上的分 因此， 布，因此，用根轨迹法分析自动控制系统十 分方便， 分方便，特别是对于高阶系统和多回路系 应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 统，应用根轨迹法比用其他方法更为方便， 因此在工程实践中获得了广泛应用 中获得了广泛应用。 因此在工程实践中获得了广泛应用。本章主 要介绍根轨迹的概念， 要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的基本规 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法 能的方法。 则和用根轨迹分析自动控制系统性能的方法。

根轨迹法的基本概念

根轨迹法的基本概念

K*
s1,2 1
1 K*
令K*（由0到∞ ）变动，s1、s2在s平面的移动轨 迹即为根轨迹。
K* 0, s1 0, s2 2 K* 1, s1 1, s2 1 K* 2, s1 1 j, s2 1 j K* 5, s1 1 2 j, s2 1 2 j
特征方程的根 运动模态 性、系统性能）
1
1
1 ,d 4
m
(s zi )
1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) K*
i1 n
m
(s pj )
(s zi )
j 1
K * i1 n
1
(s pj )
j 1
m
n
模值条件： (s zi ) (s pj ) (2k 1)
i1
j1
n
s pj
相角条件： K *
j 1 m
s zi
i 1
相角条件是确定根轨迹的充分必要条件。相角条件满足(2k 1) 称为180º根轨迹。
4-2 绘制根轨迹的基本法则
一、基本法则
1、 根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于 开环极点个数，则有（n-m)条根轨迹终止于无穷远处。
起点： K* 0 s pi
K* s p1 s z1
i 1, 2, n
s pn s zm
终点： K* s zi j 1, 2, m
例题：单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)H (s) K *(s 1)
s(s 2)(s 3)
试绘制闭环系统的根轨迹
解： 1、开环零点z1=-1，开环极点p1=0，p2=-2，p3=-3， 根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。

自动控制原理4 根轨迹法的基本概念

自动控制原理4 根轨迹法的基本概念

K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。

[工学]4-1根迹法

[工学]4-1根迹法

轨迹上对应的Kg值。相角条件是确定s平面上根轨迹的
充要条件，这就是说，绘制根轨迹时，只需要使用相
角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使
用幅值条件。
12
下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘
制系统的闭环根轨迹图。
j
已知开环零极点分布如图示。
2
p2
在s平面找一点s1 ，
画出各开环零、极点到
根只有实根和复根两种，实根本身位于实轴上，复根
必成对共轭出现，而根轨迹是根的集合，所以必然对
称于实轴。
[证毕]
18
K j
K= 0
K= 0
0
K Kg
j Kg
0
Kg
j
0
19
j
0
j
-21
j
1
0
20
法则3 根轨迹的渐近线：当开环传函中m < n 时， 有n m 条根轨迹分支沿着与实轴交角为a ，交点为a
为阻尼振荡过程。 2
K p% ，但
是
ts不会显著变化。ts
3
n
3 2k
K=0.5 K= 0
1 0
K
9
4.1.3 根轨迹方程
研究下图所示负反馈控制系统的一般结构。
R(s)
C(s)
+﹣
G(s)
H(s)
系统的闭环传递函数为
(s) C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
该系统的特征方程为: D(s) = 1 + G(s)H(s) = 0
s1点的向量。
z1
1
s1 1
p1 0
3
检验s1是否满足相角条件： p3

第四章根轨迹分析法

第四章根轨迹分析法

j=1
i=1 ≠b
例 设系统开环传递函数零、极点的分布如图4-9所
示，试确定根轨迹离开复数共极点- p1 、- p2的出
射角。
解 按公式（4-28），由作图结果得
øb= +180°（2k+1) + - p1+ z1- - p1+ p2-
jw
- p1+ p3- - p1+ p4
S平面
= +180°（2k+1) +45° -90°-135°-26.6°
根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现 纯虚根。故可在闭环特征方程中令s=jw，然后令 其实部和虚部分别等于0，从中求得交点的坐标 值及其相应的Kg值。 例 设系统的开环传递函数为
Gk（s）=s（s+1K）g（s+2）
试求根轨迹和虚轴的交点，并计算临界根轨迹增 益Kgp。
解 闭环系统的特征方程为 s（s+1）（s+2）+Kg=0
确定根轨迹上某点对应的K*值
例：开环传函 G(s)H(s)= K ，求根轨迹
(s+1)(s+2)
解 1、确定极点、零点
开环 –p1= -1, –p2= -2
无零点
1、相角条件
∠(s+zi)- ∠(s+pj) = 0-[∠(s+1)+ ∠(s+2)] =±180o(2k+1)
试差法 s= -1.5
∠θ1+ ∠θ2=180 o
故 D’(s)=3s2+6s+2
N’(s)=0
解得 s1=-0.423 s2=-1.577
由于s2不在根轨迹上，因而分离点是s1 。

根轨迹法PPT课件

根轨迹法PPT课件
定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研究一个 或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性 能的影响.
W.R.EVAOVS(依万斯)于1948年首先提出了求解特征方程 式根的图解法─根轨迹法。
根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷
时，闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
解： n 3，m 0
① p1 0，p2 1，p3 2 为根轨迹的起点；
开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。
②
a
(2q 1)
nm
(2q 1)
3
60、180、300
(q 0,1,2)
n
m
a
i 1
pi z j
j 1
nm
3 0 1 3
③ 实轴上根轨迹：
（ ,2]，[1,0]
j
p3 2
第四章 线性系统的根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 §4-3 参数根轨迹 §4-4 正反馈回路和零度根轨迹 §4-5 利用根轨迹法分析系统的暂态响应
§4-1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的概念
从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在
s 平面上的位置是密切相关的，分析系统性能时往往要求确
对于实轴上0至1线段的实数根而言，其对应的K*值在
b 点为极大值。
可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，
分离角为 (2k 1) l .
k 0，1， ，l -1
例4-3：求上例中 b 点的坐标。
[规则3] 根轨迹的渐进线
当开环有限极点数 n大于有限零点数时，有 (n m)
条根轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a的一组

4_1_闭环系统的根轨迹.

4_1_闭环系统的根轨迹.

G ( s ) H ( s ) 1 或 由于 G(s) H (s) 是复数，可以用向量表示，将其分成两 个方程。 幅角条件： G ( s ) H ( s ) 180 ( 2 k 1) (k 0,1,2, )
幅值条件： G(s) H (s) 1
Institute of Control and Information
Im
K1

K1 0.25
K1 0
1
K1

0 .5
0
Re
Institute of Control and Information
4
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱinciple of Automatic Control
4-1-1 根轨迹定义

稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的；
1

s ( s 1)
闭环传递函数
K1 (s) 2 s s K1
特征方程
特征方程的根：
Institute of Control and Information
s 2 s K1 0
s1, 2 0.5 0.5 1 4K1
3
Principle of Automatic Control

( s pj )
180 (2k 1)
(k 0,1,2, )
幅值条件：
K1 s zi
i 1 m
G( s) H ( s)
s p
j 1
n
1
或
s pj
K1
n
j
s zi
i 1
8

根轨迹的基本概念

根轨迹的基本概念

i 1 n
(s pj)
j 1
式中：kg称为根轨迹增益； zi，p j为开环零 、极点。
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以 及根轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程：1 Gk (s) 0 的根。
m
(s zi )
换句话说，满足：Gk (s) 1或：kg
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹 和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图， 然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在该点 的旁边。
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的点 连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件:
系统的方块图如下：
R(s)
Y (s)
G(s)
-
H (s)
闭环传递函数为：(s) G(s)
1 G(s)H (s)
开环传递函数为：Gk (s) G(s)H (s)
将 Gk
(s)写成开环零、极点形式
m
得：
(s zi )
Gk (s) kg
这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹 应满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨 迹和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点: 由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判

4_1_闭环系统的根轨迹.

4_1_闭环系统的根轨迹.

Im
K1

K1 0.25
K1 0
1
K1

0 .5
0
Re
Institute of Control and Information
4
Principle of Automatic Control
4-1-1 根轨迹定义

稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的；
Principle of Automatic Control
自动控制原理
(频域分析部分)
航空航天学院 肖刚
Institute of Control and Information
1
Principle of Automatic Control
第四章 根轨迹法
4－1
闭环系统的根轨迹 4－2 绘制根轨迹图的基本规则 4－3 控制系统性能的根轨迹分析

( s pj )
180 (2k 1)
(k 0,1,2, )
幅值条件：
K1 s zi
i 1 m
G( s) H ( s)
s p
j 1
n
1
或
s pj
K1
n
j
s zi
istitute of Control and Information
5

Institute of Control and Information
Principle of Automatic Control
4-1-1 根轨迹定义
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的 联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系 统根轨迹图，显然是不适用的。我们希望能有简便 的图解方法，根据已知的开环传递函数迅速绘出闭 环系统的根轨迹。 为此，需要研究开环零、极点与闭环系统的根轨 迹之间的关系。

自动控制原理课后答案第4章

自动控制原理课后答案第4章

5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）

5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。

第四章 根轨迹法

第四章 根轨迹法
2 当 K1 a 时，则两根为实数且相等，即
s1 s2 a
。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念
当 a 2 K1 时，两根成为共轭的复数 根，其实部为
a
，这时根轨迹与实
j
轴垂直并相交于 ( a, j0) 点。
(s+2a)
K1由0向∞变化时的根轨迹，如图4-2 所示。箭头表示K1增大方向。 由图可见： 1) 此二阶系统的根轨迹有两条， K1 0 时分别从开环极点 p1 0 和 p2 2a 出发。
m
| s pi |
i 1
j
1
或
K1
| s pi | | s z j |
j 1 i 1 m
n
(s z
j 1
m
) ( s pi ) 180 (2q 1)
i 1
n
q 0, 1, 2,
在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹。 因此，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件，而幅值条件
D' (s) A' (s) K1B(s) 2(s s1 ) p(s) (s s1 ) 2 p(s) 0
将
A( s ) K1 代入上式，得 B( s)
图4-3 反馈控制系统
G(s) H (s) 1 和 G(s) H (s) 180 (2q 1) q 0, 1, 2,
以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制根轨迹的重 要依据。在s平面的任一点，凡能满足上述幅值条件和相角条件的，就是
系统的特征根，就必定在根轨迹上。
s p1=0 O a
p2=2a

第四章 根轨迹法(1)

第四章 根轨迹法(1)

an1 p1 p2
n
pn p j , j 1
n
a0 p1 • p2 • • pn p j j 1
闭环系统的特征方程为：F (s) 1 Gk (s) 0 ，即： (1)
设闭环系统的极点为： s1, s2 ,... sn ，则
(2)
系统闭环特征方程为：
F (s) sn an1sn1 ... a0 Kg (sm bm1sm1 ... b0 )
倾角：设根轨迹在无限远处有一点 sk ，则s平面上所有的 开环有限零点和极点到 sk 的相角都相等，即为渐近线的倾
角 。代入根轨迹的相角条件得：
m
n
(s zi ) (s p j ) m n (2k 1)
i 1
j 1
规定：相角逆时针为正，顺时针为负。
渐近线与实轴的交点
[例]系统开环传递函数为：Gk (s)
（2）实轴上相邻开环零点（包括无穷远零点）之间是根轨迹， 则这段根轨迹上必有会合点；
（3） 实轴上根轨迹在一个开环零点与开环极点之间， 则存在两种情况，既有 分离点也有会合点，既无分离点 也无会合点；
[分离点和会合点的求法]：
代数重根法：
m
Go (s) Kg
(s zj )
j 1
n
(s pi )
根轨迹法的优点有哪些：
1、从已知的开环零、极点的位置及某一变化参数来求 取闭环极点的分布，即解决闭环特征式的求根问题。
2、根轨迹图不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部 信息，而且可以指明系统参数应该怎样变化才能满足给定 闭环系统的性能指标要求。
2
4.1根轨迹法的基本概念
一、根轨迹的定义
例4-1 某随动系统如图所示
p3

4-1根轨迹基本概念

4-1根轨迹基本概念
2011-1-15 3
s 特征根为： 特征根为：1, 2 = −1 ± 1 − 2 K
[讨论]： 讨论] K=0时 ① 当K=0时，s1=0,s2=-2, 是开环传递函数的极点 K=0.32时 ② 当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6 K=0.5时 ③ 当K=0.5时，s1=-1,s2=-1 K=1时 ④ 当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j K=5时 ⑤ 当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j K=∞时 ⑥ 当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j
1 j= 1 j=
i= 1 q
∏(s − zi )∏(s − zi )
i= 1 h
* * 为开环根轨迹增益。 K* = KG KH 为开环根轨迹增益。
2011-1-15
9
整理后则有： 整理后则有： Φ(s) =
K ∏(s − zi )∏(s − pi )
* G i=1
f
h
∏(s − p j ) + K ∏(s − z j )
2011-1-15
2
例1：如图所示二阶系统 系统开环传递函数为： 系统开环传递函数为：
K Gk ( s ) = s (0.5s + 1)
R (s )
-
K s (0.5s + 1)
C (s )
2K Φ (s) = 2 闭环传递函数： 闭环传递函数： s + 2s + 2K
特征方程为： 特征方程为： s2 + 2s + 2K = 0 特征根为： 特征根为：s1,2 = −1± 1− 2K
2011-1-15 6
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密切的联系。 然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图， 然而，对于高阶系统，用解析的方法绘制系统根轨迹图， 显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法， 显然是不适用的。我们希望能有简便的图解方法，因为 开环传递函数相对容易得到， 开环传递函数相对容易得到，因此要求能够根据已知的 开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要： 开环传递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的关系。
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17:19
一、根轨迹概念：
根轨迹： 当开环系统某一参数从零变到∞时，对
应的闭环系统特征方程的根在 s 平面上变化的轨迹。
根轨迹法： 利用闭环系统的根轨迹来分析系统的
三大性能的方法。
17:19
例1 已知一单位负反馈系统的开环传递函 数为
K G(s) H( s) s(0.5s 1)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数K 的变化在s平面上全部可能的分布情况。
第四章 线性系统的 根轨迹法
17:19
本章主要内容
• • • • 4.1 4.2 4.3 4.4 根轨迹法的基本概念 根轨迹的基本规律及绘制 广义根轨迹 系统性能的根轨迹分析法
17:19
没有时域分析法的基础，根轨 迹法只是一个“空中楼阁”。离开 时域分析法来谈根轨迹方法是没有 意义的，所以在学习根轨迹方法的 时候要注意联系时域分析法的知识 和结果。事实上，根轨迹方法只是 时域分析方法的一种辅助图解法。
i 1 i j 1 m * j i j 1 j
f
h
(s p ) K (s z )
i 1
结论：
（1）闭环系统的根轨迹增益 =开环系统前向通路根轨迹 增益。
（2）闭环系统的零点=开环前向通路传递函数的零点+反 馈通路传递函数的极点。
（3）闭环极点与开环零极点、开环根轨迹增益均有关。
s
(K→∞)
17:19
二、用根轨迹分析系统的性能
• 稳定性 根轨迹没有进入右半s平面，闭环系统稳 定。 • 稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点， 系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系 数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K*是根轨 迹增益，根轨迹增益 K* 与开环增益 K 之间有一个 m ( zi ) 转换关系。 * i 1
开环系统的根轨迹增益K*与开环系统的增益K之间 仅相差一个比例常数，这个比例常数只与开环传 递函数中的零点和极点有关。
把开环传函化为零极点增益形式也可以得到根轨迹增益K*。
17:19
小结
• • • • 掌握根轨迹和根轨迹法的概念； 理解根轨迹可以用来分析系统的三大性能； 理解开环传函可以反应闭环传函的特征； 掌握根轨迹满足的基本条件。
17:19
三、闭环零极点与开环零极点之间的关系
R( s )
-
G (s)
C (s)
H (s)
前向通路传函：
KG (1s 1)( s 2 1 2 s 1) * KG G( s) s (T1s 1)(T s 2 2T2 s 1)
2 2 2 2 2 2
17:19
s1 1 1 2K , s2 1 1 2 K
K 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
s1,s2 -1±1 -1±0.89 -1±0.77 -1±0.63 -1±0.45
K 1.5 2.0 3.0 4.0 6.0
s1,s2 -1±j1.41 -1±j1.73 -1±j2.24 -1±j2.65 -1±j3.32
17:19
第四章 线性系统的根轨迹法
第一节 根轨迹法的基本概念
17:19
闭环极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
1 G( s ) H ( s ) 0
0 1
0
1 0
1
1
1
1
17:19
问题的提出
从开环传递函数的极零点确定闭环传递函数 的极点，实质上是求解闭环特征方程式的根。 困难：
KK
( p )
j 1 j
n
• 动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估 计(定性)。
17:19
说明：
上面用解出闭环特征方程的根，然后
画成曲线得到根轨迹的办法并没有实际意义， 因为这又回到求解高阶代数方程的问题上了。 根轨迹图之所以能被广泛应用，就是因为有 简便的作图方法可以画出根轨迹而不必求解 高阶代数方程。
开环零极点和根轨迹增益
17:19
根轨迹图
闭环极点
分析系统
四、根轨迹满足的基本条件(根轨迹方程) (s z )
m
1 G(s) H (s) 0 G(s) H (s) 1 K *
向量相等必须满足两个条件：
相角条件：
(s p )
i 1 i
j 1 n
j
1e j (2 k 1)
17:19
说明
• 相角条件是确定s平面上根轨迹的充分必要条件。绘 制根轨迹时，只需要使用相角条件。当需要确定根 轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件，仍实际上还 是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找出根轨迹的一些 基本规律。
17:19
※ 根轨迹增益K*与开环增益K的关系
4-1 根轨迹法的基本概念
项目 内容
理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实
教 学 目 的 质，初步理解根轨迹的条件。
教 学 重 点 和模值条件。
掌握根轨迹的基本概念、根轨迹方程、相角条件
深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零
教 学 难 点 极点的关系以及根轨迹图上反映出的系统信息。
讲授技巧及注 紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可 能地用已学过的知识导出新知识。 意事项
1、用解析法求解高次代数方程的根并非易事。 2、当系统中的参数发生变化时，系统特征方程 的系数会发生变化，引起特征方程的根也随之变化， 这就需要进行反复大量的计算，既繁琐又费时。
17:19
一个美好的愿望：
开环传递函数(开环零极点+开环增益) 闭环零极点全部可能的分布图 分析系统的三大类性能
17:19
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 q i
f
反馈通路传函：
* H (s) K H
(s z ) (s p )
j 1 j j 1 h j
l
17:19
开环传函：
* * G( s) H ( s) KG KH
(s z ) (s z ) (s p ) (s p )
17:19
0.5
0.6 0.8
-1±0
-1±j0.45 -1±j0.77
10.0
20.0 50.0
-1±j4.36
-1±j6.24 -1±j9.95
1.0
17:19
-1±j1
+∞
-1±j∞
以K为参数的数学曲线可以根据计算的数据表绘出(描点法)：
jw
(K→∞) [s]
P1 (K=0) -2
(K=½） -1
P2 (K=0) 0
设K的变化范围是„0,∞），
①当K=0时, s1=0，s2=-2（正好是开环极点）; ②当0<K<1/2时，s1与s2为不相等的两个负实根； ③当K=1/2 时，s1=s2=-1 为等实根； ④当1/2<K<∞时,s1和s2为一对共轭复根，其实部 恒等于-1，虚部绝对值随K*值的增加而增加； ⑤当 K→∞时 , s1 和 s2 的实部都等于 -1 ，虚部趋向 无穷远处 。
由第三章，系统的开环增益为
K lim s G (s) H (s)
s 0
m m

K lims G(s) H(s) limK*
s 0 s 0
(s z ) (s p )
i 1 i j1 n j
K*
( z ) ( p )
i 1 i j1 n j
(s z ) (s p ) (2k 1) , (k 0, 1, 2,)
j 1 j i 1 i
m
n
模值条件：
K*

i 1 m j 1
n
s pi
j
sz
注意：s为闭环传函 的特征根 ( 极点 ) ， zj 和 pi 为 开 环 传 函 的 零点和极点。
K
n
* G
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 m * j i j 1 j
f
h
1 K *
17:19
(s z ) (s p ) K (s z )
j 1 n j i 1 i 1 i
(s p )
K ( s )
n
* G
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 j
f
f
l
i 1 q
i
j 1 h
j
K*
(s z ) (s p )
i 1 i j 1 n j
m
闭环传函：
K G (s) ( s) 1 G ( s) H ( s)
* G
(s z ) (s p )
i 1 m i i 1 q i
17:19
解：系统的闭环传递函数
C(s) G(s) 2K (s) 2 R(s) 1 G(s) H(s) s 2 s 2 K
系统的特征方程为
s 2 2s 2 K 0
特征方程的根是
s1 = 1 1- 2K , s2 1 1 2K
17:19
讨论： s1 1 1 2K , s2 1 1 2K