数学竞赛各种杂题

简单有趣的数学竞赛题目1. 求等差数列之和在一场足球比赛中，观众们排成了一列。

他们的座位按等差数列排列，第一个座位编号为1，等差为3。

如果一共有100个座位，那么观众们的座位编号之和是多少？2. 解方程小明在参加一个数学竞赛时遇到了这个方程：3x + 8 = 23 - x。

他需要求解x的值。

请问小明应该得出什么结果？3. 组合排列小红有3条短裤和4个T恤，她想选择一条短裤和一件T恤组成搭配。

请问小红一共有多少种不同的搭配方式？4. 平均数问题某次小明和他的朋友们一起玩一个数学游戏，他们每个人写下了自己家里的电视数量。

小明看到有些数比较大，有些数比较小，于是他决定计算所有朋友的电视数量的平均数。

请问小明应该怎么做？5. 图形面积计算小华正在参加一个数学竞赛，他需要计算一个梯形的面积。

已知这个梯形的上底长度为10，下底长度为18，高度为8。

请问小华计算得到的梯形的面积是多少？6. 解方程组小明和小红一起参加了一个数学竞赛，他们需要解这个方程组：2x + y = 8x + 3y = 10请问小明和小红应该得出什么结果？7. 排列组合问题有5个人参加一场比赛，其中第一名将获得一等奖，第二名将获得二等奖，第三名将获得三等奖。

请问参赛者按照不同的名次获奖有多少种可能性？8. 图形几何问题小华正在参加一个数学竞赛，他需要计算一个正方形的对角线长度。

已知这个正方形的边长是12。

请问小华计算得到的对角线长度是多少？9. 计算百分比在一场数学竞赛中，有100名选手参加。

其中60%的选手是男性，剩下的是女性。

请问这场竞赛有多少名女性参加？10. 统计数据问题小明正在参加一个数学竞赛，他需要统计一组数据中的众数。

已知这组数据为5，3，8，2，7，6，5。

请问小明应该得出什么结果？以上就是我准备的十个简单有趣的数学竞赛题目，每个题目都涵盖了数学中的不同领域，希望能够帮助你提供一些有趣的数学竞赛题目。

六杂题1 某人工作一年的报酬是8400元和一台电冰箱,他干了7个月不干了,他得到3900元钱和一台电冰箱.问：这台电冰箱价值多少元？2 某次测试,甲、乙的成绩和是190分,乙、丙的成绩和是193分,甲、丙的成绩和是195分.问：甲、乙、丙各得多少分？3 某次数学测试,甲、乙的成绩和是184分,乙、丙的成绩和是187分,丙、丁的成绩和是188分,甲比丁多1分.问：甲、乙、丙、丁各得多少分？4 某学生语文、数学、英语三科的平均成绩是93分,其中语文、数学平均90分,语文、英语平均93.5分.问：该学生三门成绩各多少分？5 甲、乙、丙三人练习打靶,靶子及环数见右图.每人打了4发,甲、乙共命中71环,乙、丙共命中75环,甲、丙共命中76环.乙最多命中几个10环？6 A,B两点相距100米,一只蜗牛从A爬到B,再从B沿原路返回A.蜗牛去时每10米休息一次,返回时每7米休息一次.问：蜗牛在去时和返回的途中有没有相同的休息地点？如果有,这个休息点距A点多远？7 商店有三种颜色的油漆,红色的每桶1.5千克,黄色的每桶2千克,白色的每桶2.5千克,为了方便顾客,把三种油漆都分装成0.5千克的小桶.三种油漆的价格各不相等,每千克10元的装了80小桶,12元的装了75小桶,15元的装了68小桶.问：三种颜色的油漆每千克的价格各是多少？8 12名同学包租一辆汽车到公园去玩,租车费大家平均分摊.临上车时又来了3名同学和他们同去,这样租车费就15人平均摊了,因此原来的12人每人比原方案少出了1元钱.租车费是多少元？9 用大豆榨油,第一次用去了大豆1264千克,第二次用去1432千克,第二次比第一次多出油21千克.两次共出油多少千克？10 有一个边长为20米的正方形花圃,绕着花圃的边沿,里面和外面各铺一排边长为0.5米的水泥方砖.问：共需要多少块水泥方砖？11 有一个正方形花池,周围用边长25厘米的方砖铺了一条宽1.5米的小路,共用方砖1776块.求花池的面积.12 甲、乙两个农妇卖鸡蛋,甲的鸡蛋比乙多10个,可是全部卖出后的收入都是15元.如果甲的鸡蛋按乙的价格出售,那么可卖18元.问：甲的鸡蛋每个卖多少钱？13 一盒巧克力和一瓶蜂蜜18元,一包泡泡糖和一袋香肠11元.一包泡泡糖和一瓶蜂蜜14元,一袋香肠比一盒巧克力贵1元.如果有人付了19元买了这四样东西中的两样,那么他买的是什么？14 六年级三个班种了一片树,其中56棵不是一班种的,65棵不是二班种的,61棵不是三班种的.问：三个班各种了多少棵树？15 甲、乙共有图书63册,乙、丙共有图书77册,三人中图书最多的人的图书是图书最少的人的图书的2倍.问：甲、乙、丙三人各有图书多少册？16 原方案有420块砖让假设干学生搬运,每人运砖一样多,实际增加了一个学生,这样每个学生就比原方案少搬2块.问：原有学生多少人？17 有440个零件,平均分配给假设干个工人加工,实际减少了一个工人,这样每个工人就要比原方案多加工4个零件.问：实际每个工人加工了几个零件？18 甲、乙两种巧克力每盒价格相差2.1元,用25.2元买甲种巧克力比买乙种巧克力刚好可以多买2盒.问：甲、乙两种巧克力每盒价格各多少元？19 甲、乙、丙三人的铅笔一样多,后来甲给了乙、丙几支铅笔后,乙比甲多7支铅笔,丙比乙少2支铅笔.甲分别给了乙、丙几支铅笔？20 搬一堆砖,甲队单独干需80分,乙队单独干需60分,两队同时干,由于开展了竞赛活动,两队比单独干时每分共多搬10块砖,一共用30分搬完,这堆砖共有多少块？21 师徒二人第一天共加工零件225个,第二天采用了新工艺,师傅加工的零件数比第一天增加了24％,徒弟增加了45%,两人共加工零件300个.问：师徒二人第二天各加工了多少个零件？22 20只鸡和16只兔分放两堆,共重88千克,如果从两堆中分别取4只鸡与4只兔相交换,两堆重量就相同了,每只兔比鸡重多少千克？23 〔1〕某年的三月份,星期五的日期全部加起来的和是80.问：3月1日是星期几？〔2〕有一个月的星期三的日期全部加起来的和是46,这是几月份？1日是星期几？24 100名少先队员选大队长,候选人是甲、乙、丙三人,选举时每人只能投票选举一人,得票最多的人中选.开票中途累计,前61张选票中,甲得35票,乙得10票,丙得16票.问：在尚未统计的选票中,甲至少再得多少票就一定中选？25 机场上停着10架飞机,第一架飞机起飞后,每隔4分钟有一架飞机起飞,在第一架飞机起飞后2分,有一架飞机在机场降落,以后每隔6分有一架飞机在机场降落,降落在机场的飞机又依次相隔4分在原有的10架飞机后起飞.问：第一架飞机起飞后,经过多少时间,机场上才没有飞机停留？26 甲站有车26辆,乙站有30辆.从上午8点开始,每隔5分由甲站向乙站开出一辆,每隔7.5分由乙站向甲站开出一辆,都经过1时到达对方车站.问：最早在什么时刻,乙站车辆数是甲站的3倍？乙站车辆数是甲站的3倍总共持续多少时间？27 莎莎的储蓄罐中有100枚硬币,她把其中的贰分硬币全部等值地换成伍分硬币,硬币总数变为73枚,她又把壹分硬币全部等值地换成贰分硬币,硬币总数变为55枚.问：莎莎储蓄罐中的硬币共有多少钱？28 莎莎的储蓄罐里有26枚硬币,壹分、贰分和伍分硬币都有.她先把其中的贰分硬币全部等值地换成伍分硬币,然后又把壹分硬币也全部等值地换成伍分硬币,这样硬币总数变为11枚.问：莎莎的储蓄罐里原有伍分、贰分和壹分硬币各多少枚？29 有一筐苹果,苹果数在100到200之间.如果分给甲班每人13个,那么缺7个；如果分给乙班每人10个,那么缺5个.问：甲、乙班各有多少人？30 现有30分的邮票四张,50分的邮票三张,用它们可以付出多少种不同邮资？31 现有3角邮票七张,5角邮票四张,用它们可以付出多少种不同邮资？32 甲、乙二人带着同样多的钱去买钢笔.甲买一等品,乙买二等品,结果甲比乙少买5支,并且剩余4元〔4元不够再买一支〕,乙不余钱.这时甲回去又拿来同样多的钱,结果总共比乙多买3支,并且不余钱.问：二等品钢笔多少钱一支？33 有二百多枚棋子摆成了一个n行n列的正方形,甲先从中取走10枚,乙再从中取走10枚……这样轮流取下去,直到取完为止.结果最后一枚被乙取走.问：乙共取走了多少枚棋子？34 用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面,两条对角线铺黑色的,其它地方铺白色的〔见右图〕.如果铺满这块地面共用了77块黑色瓷砖,那么白色瓷砖用了多少块？35 一艘油轮的船长已经50多岁,船上有三十多名工作人员,其中男性占多数,将船长的年龄、男工作人员的人数、女工作人员的人数相乘,等于15606.问：船上共有多少工作人员？船长的年龄是多少？36 张大伯卖白菜,开始定价是每千克5角钱,一点都卖不出去.后来每千克降低了几分钱,全部白菜很快卖了出去,一共收入22.26元.请算一算,每千克降低了几分钱？37 某班有篮球、足球、乒乓球假设干个,其中每一种的个数都是质数,而且各不相同.用21减乒乓球的个数正好等于篮球的个数乘以足球的个数.问：乒乓球有多少个？38 甲、乙、丙、丁四个工程队中的两个队完成一项工程,所需要的时间分别是：丙、丁需要72天；乙、丙需要30天；甲、乙需要24天；甲、丙需要40天.如果这项工程由一个队单独承包,那么哪个队完成的最快？39 有一批砖,每块砖的长和宽都是自然数,且长比宽长12厘米.假设把这批砖横着铺〔如左下列图〕,那么可铺1275厘米长；假设横竖相间铺〔如右下列图〕,那么可铺975厘米长.每块砖的长是多少厘米？40 有一批砖,每块砖的长和宽都是自然数,且长比宽长12厘米.如下列图所示,假设把这批砖横着铺,那么可铺897厘米长；假设竖横相间铺,那么可铺675厘米长.如果“两横一竖〞铺,那么可铺多少厘米？41 右图是一个道路图,圆圈处有128个孩子,这群孩子从圆圈处开始,经过每个路口时都有一半人向上走,另一半人向右走.问：A,B,C,D四个路口哪个路口经过的人最多？42 男生、女生共90人,分成30组,每组3人.其中只有1个男生的有10组,不少于2个男生的有13组,只有男生和只有女生的组的数量相同.这90个学生中女生有多少人？43 甲、乙两人开展生产竞赛.甲第一天做了100个零件,第二天技术熟练了,多做了4个零件,以后每天都比前一天多做4个零件.乙第一天前半天做了50个零件,后半天多做了1个零件,以后每半天都比上一个半天多做1个零件.工作五天后,谁做的零件多？比对方多做几个零件？44 甲、乙两厂生产同一种玩具,甲厂生产的玩具数量每个月保持不变,乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍.一月份两厂共生产玩具105件,二月份共生产110件.乙厂的月产量第一次超过甲厂是在几月份？45 商店里有相同重量的甲、乙两种糖,甲种糖10元2千克,乙种糖10元1千克.营业员为了省事,把两种糖混在一起卖,10元1.5千克.当糖都卖完后,营业员发现比分开卖少收入60元.商店里原有甲、乙两种糖各多少千克？46 某部队射击练习规定：用步枪射击发给8发子弹,每击中靶心一次奖励2发子弹；用手枪射击发给10发子弹,每击中靶心一次奖励3发子弹.甲用步枪乙用手枪,当他们把发的子弹和奖励的子弹都打完时,两人射击的次数相等.甲击中靶心13次,乙击中靶心几次？47 食堂买来五只羊,每次取出两只合称一次重量,得到10种不同重量〔单位：千克〕：47,50,51,52,53,54,55,57,58,59.问：这五只羊各重多少千克？48 有几个同学想称一下体重,可是秤的秤砣不齐,只能称50千克以上的重量,他们只好每人都和其他人合称一次,共得以下10个数据〔单位：千克〕：75,78,79,80,81,82,83,84,86,88.问：〔1〕有几名同学？〔2〕他们的体重各是多少？49 赵、钱、孙、李、周五户人家,每户至少订了A,B,C,D,E五种报纸中的一种.赵、钱、孙、李分别订了其中的2,2,4,3种报纸,而A,B,C,D 四种报纸在这五户人家中分别有1,2,2,2家订户,那么周姓住户订有这五种报纸中的几种？报纸E在这五户人家中有多少家订户？50 100人排成10×10方阵.先从每行里挑出最高的人,10行共挑出10个“高个〞,并把这10人中最矮的叫“高个里的矮个〞；然后让他们回到原来的位置,再从每列里挑出最矮的人,10列共挑出10个“矮个〞,并把这10人中最高的叫“矮个里的高个〞.问：“高个里的矮个〞与“矮个里的高个〞谁高？51 有七个人围坐成一圈〔左下列图〕,现在要选一位幸运者.选举的方法是：掷一枚六个面分别标有2,3,4,5,6,7的骰子,无论哪个数朝上,例如此数是3,就从坐在1号位上的人开始,顺时针数,每数到第三人就将他排除出去,直至数到剩下最后一人,他便被选为幸运者.请你判断哪个座位上的人永远当不上幸运者？52 有一颗棋子放在右上图中的1号位置上,现按顺时针方向,第一次跳一步,跳到2号位置；第二次跳两步,跳到4号位置；第三次跳三步又跳到1号位置……这样一直进行下去,问：哪几号位置永远跳不到？53 如右图所示,一个圆周上有9个位置,依次编为1～9号.现在有一个小球在1号位置上,第一天顺时针前进10个位置,第二天逆时针前进14个位置.以后,第奇数天与第一天相同,顺时针前进10个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进14个位置.问：至少经过多少天,小球又回到1号位置？54 100个小朋友围成一圈,并依次编为1至100号.从第1号开始1 至2报数,但凡报到1的小朋友退出圈子,这样循环进行到剩下最后一个小朋友为止.问：这个小朋友是多少号？55 有一本连环画,16个小朋友都想先看,于是他们围成一圈〔如左下列图〕,然后从某个小朋友开始沿顺时针方向进行1～3报数,凡报到3的人就退出圈子,余下的人继续进行,直到剩下最后一人,这人就是第一个看书的人.如果A第一个报数,那么谁先看书？如果最后剩下的是A,那么谁最先报的数？56 10个人围成一圈,每人想好一个数并告诉坐在他两边的人,然后每人将他两边人告诉他的数的平均值报出来,报的结果如右上图.问：报6的人想的数是几？57 A,B,C,D,E是五个圆盘〔右图〕,它们的价钱分别为1元,2元,3元,4元,5元,图中标出了相邻两个的差价,求各圆盘的价钱.58 10对夫妇在一次聚会上相遇.每个男人都与除自己夫人外的所有人握手,女人之间不握手.问：共握了多少次手？59 运动会开幕式上,五年级二班组成一个气球队.男生每人拿4个气球,女生每人拿2个气球,平均每人拿2.85个气球.气球总数不超过200个,问：五年级二班男、女生各有多少人？60 合唱队由五、六两个年级的同学组成,其中六年级女生人数是五年级男生的3倍,五年级女生人数是六年级男生的2倍,六年级女生人数是五年级女生的4倍.合唱队至少有多少人？61 中国象棋的马走日字,在下列图的半张棋盘上只有一个马,问：马要以最少的步数走到这张棋盘的任何一个位置上,哪几个位置需要的步数最多？需要多少步？62 某校学生参加数学竞赛,共得5000分,每人得分都是整数,前三名〔没有并列〕同学的成绩分别为90分、88分、85分,最低的成绩为36分,且得同一分数的同学不超过2人.问：至少有多少人的得分不少于60分？63 一只猴子清点一堆桃子,它先两个两个数,结果多一个,它就把这个桃吃了；它又五个五个数,结果还是多一个,它又把这个桃吃了；后来它又七个七个数,还是多一个,就又吃了一个；最后它九个九个数,结果还是多一个.问：这堆桃原有多少个？64 甲、乙、丙、丁四位盲人到河边钓鱼,到了中午他们把钓的鱼都放在一个篓子里,就各自躺在岸边的柳树下睡觉了.甲先醒了,就将篓子里的鱼平均分成四份,还剩一条,他带走一份先回家了；乙醒来时以为另三人还在睡觉,也把篓子里的鱼平均分成四份,还是剩一条,他也带走一份回家了；丙醒来后同样将篓子里的鱼平均分成四份,也剩一条,然后带走一份回家了；丁醒后也将篓子里的鱼分成四份,恰好分光,他也带走一份回家了.问：他们四人至少钓了多少条鱼？各带走几条？篓子里还剩几条？65 唐僧师徒四人西天取经,一日行至一山村,唐僧叫猪八戒去讨点吃的充饥,当日正值元宵节,山民施舍汤元假设干,八戒尝了一个,美味可口,然后点了一下汤元的数目,刚好可等分成四份,八戒正饿得发慌,就先吃掉了自己的一份,吃完后仍感缺乏,接着又偷偷吃了一个,说也奇怪,剩下的汤元又可等分为四份,八戒大喜,忍不住又吃掉一份,由于汤元的数目十分巧妙,使得八戒仍照前两次的方法,接连吃了第三次、第四次,当八戒回到师父身旁时,汤元数目已缺乏100个了.问：八戒一共讨回多少个汤元？66 在一根100厘米长的木棍上,从左至右每隔6厘米染一个红点,同时从右至左每隔5厘米也染一个红点,然后沿红点处将木棍逐段锯开.问：长度是1厘米的短木棍有多少根？67 甲、乙两人对一根100厘米长的木棍涂色.首先,甲从木棍一端开始涂色,涂黑5厘米,间隔5厘米不涂色,再涂黑5厘米,再……这样交替做到底.然后,乙从木棍的另一端开始,涂黑4厘米,间隔4厘米不涂色,再涂黑4厘米,再……这样交替做到底.问：木棍上没有被涂黑的局部的长度总和是多少厘米？68 小明和小燕的画册都缺乏 20本.如果小明给小燕 A本,小明的画册就是小燕的2倍；假设小燕给小明A本,那么小明的画册就小燕的 3倍.原来小明与小燕各有多少本画册？69 某单位送玉石料到玉器厂加工玉器,第一次送去100块,其中20块作为加工费给了玉器厂,还差800元交付了现金；第二次送去70块,其中16块作为加工费给了玉器厂,玉器厂找退60元.问：每块玉石料价值多少元？每块玉石料的加工费多少元？70 9名同学负责教室卫生,每次清扫卫生需要3人参加,如果任意两名同学都只能在一起清扫一次卫生,那么最多能安排清扫多少次卫生？71 甲、乙两队比赛乒乓球,双方各出3名队员按事先排好的顺序出场比赛.双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者继续与对方2号队员比赛……直到一方队员全部被淘汰为止,另一方获胜,这样形成一个比赛过程.问：所有可能出现的不同的比赛过程共有多少种？72 有10名选手参加乒乓球单打比赛,每名选手都要和其它选手各赛一场,最后根据每名选手得胜次数的多少,给这10名选手分等级〔得胜次数相同的选手为同一等级,得胜次数不相同的选手为不同等级〕.问：〔1〕这10名选手能否是同一等级？〔2〕这10名选手能否分成九个等级？73 甲、乙、丙三人赛跑,第一名得a分,第二名得b分,第三名得 c 分〔 0＜ c＜ b＜ a〕,经过两次以上的比赛后,累计甲、乙、丙三人分别得20分、10分和9分,而且乙最后一次是第一名.问：第一次比赛三人名次如何？74 某工厂生产一批玩具,形状为圆盘.在圆盘正面的圆周上均匀安装10个小球,其中3个为红球,7个为白球.如果两个圆盘都正面朝上,可以圆心对圆心,红球对红球,白球对白球叠放在一起,那么它们就算同一种规格.问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？。

小学一年级数学竞赛试题一、小朋友排队看电影，从排头数起，小华是第18个，从排尾数起，小兰是第28个。

已知小华的前三个是小兰。

这队共有（）人。

二、一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子，车棚里放着自行车和三轮车共8辆，共20个轮子。

自行车（）辆，三轮车（）辆。

3、9个小朋友做运球游戏，第一个小朋友从东边运到西边，第二个小朋友接着从西边运回东西，第三个小朋友又接下去……最后球是在（）边，若是有12个小朋友做那个游戏，最后球在（）边。

4、8名女同窗站成一排，每隔2名女同窗插进3名男同窗，共插进（）名男同窗。

五、14个小朋友玩捉迷藏，已经抓住了4个小朋友，还藏着（）个小朋友。

六、十位数字和个位数字相加，和是12的两位数有（）个。

7、小动物举行运动会，小兔、小鹿参加50米的赛跑。

小兔用12秒，小鹿用8秒。

（）跑得快，快（）秒。

八、一根绳索剪1次有2段，剪2次有（）段。

九、口袋里有黑袜子和白袜子各三双，杂乱地放在一路，要你从口袋里去摸，你至少必需摸出（）只袜子能配成一双颜色相同的袜子。

10、一根绳索有2个头，三根半绳索有（）个头。

1一、强强和小华打了2小时的乒乓球，每人打了（）小时。

1二、红花、黄花一共有9朵，猜一猜，红花最多有（）朵。

13、华华家上面有3层，下面有2层，这幢楼共有（）层。

14、把4本本子分给小方和小兰，小方最多能够分（）本，最少分（）本。

1五、华华走向公园的时候，迎面来了三个大人三个小孩，那么到公园去一共有（）人16．在捉迷藏游戏中，被遮住眼睛的小朋友明白有10个男同窗和5个女同窗需要找到并抓住,问参加游戏的小朋友共有（）个。

17、小红和同窗做游戏，她前面有1个人，后面有2个人，左面有3个人，右面有4个人，做游戏一共有（）个人。

18．一只猫吃掉一条鱼需要1分钟。

照如此，100只猫同时吃掉100条鱼需要（）分钟19．5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，照如此，10个小朋友同时吃10个苹果需要（）分钟。

初中趣味数学竞赛题1、两个男孩各骑一辆自行车，从相距2o英里（1英里合1.6093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。

在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。

它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。

这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。

如果每辆自行车都以每小时1o英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？答案每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于2o英里距离的中点。

苍蝇飞行的速度是每小时15英里，所以在1小时中，它总共飞行了15英里。

很多人试图用复杂的方法求解这道题目。

他们计算苍蝇在两辆自行车车把之间的第一次路程，然后是返回的路程，依此类推，算出那些越来越短的路程。

但这将涉及所谓无穷级数求和，这是非常复杂的高等数学。

据说，在一次鸡尾酒会上，有人向约翰冯诺伊曼（johnvon neumann, 1903～1957,20世纪最伟大的数学家之一。

）提出这个问题，他思索片刻便给出准确答案。

提问者显得有点沮丧，他解释说，绝绝大部分数学家总是忽略能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。

冯诺伊曼脸上露出惊奇的神色。

“不过，我用的是无穷级数求和的方法.”他解释道2、有位渔夫，头戴一顶大草帽，坐在划艇上在一条河中钓鱼。

河水的流动速度是每小时3英里，他的划艇以同样的速度顺流而下。

“我得向上游划行几英里，”他自言自语道，“这里的鱼儿不愿上钩！”正当他开始向上游划行的时候，一阵风把他的草帽吹落到船旁的水中。

但是，我们这位渔夫并没有注意到他的草帽丢了，仍然向上游划行。

直到他划行到船与草帽相距5英里的时候，他才发觉这个点。

于是他立即掉转船头，向下游划去，终于追上了他那顶在水中漂流的草帽。

在静水中，渔夫划行的速度总是每小时5英里。

在他向上游或下游划行时，一直保持这个速度不变。

大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。

竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。

二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。

示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。

假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。

设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。

示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。

六年级数学专题六较复杂的分数应用题（含假设法）例1.甲、乙二人原共有存款2400元，当甲取出自己存款的15，乙又存入300元后，甲和乙的存款数相等，求甲原来存款多少元？例2.有两捆电线，共30米长，截去第一捆的13和第二捆的34，共截去15米，原来两捆电线各长多少米？例3.新光小学把栽树70棵的任务分配给五、六年级去完成，当六年级完成分配任务的45时，五年级与六年级已栽种棵树的比是3：4，这时五年级还差6棵没栽，分配给六年级的任务是多少？例4.有甲、乙两桶油，甲桶油比乙桶油少4kg，从两桶中各取出5kg后，甲桶油的1 2等于乙桶油的37，原来两桶油共有多少千克？例5.学校买回一批白兰花和月季花美化校园，六年级拿了其中白兰花盆数的14和月季花盆数的15，五年级拿了其中白兰花盆数的15和月季花盆数的14，这两种花还共剩44盆，如果五年级所拿的盆数比六年级少219，五年级拿了多少盆花？例6.有大、小碗共100个，小碗个数的14比大碗个数的15多7个，大、小碗各多少个？练习及作业1.两根铁丝共长71cm，第一根用去13，第二根用去6cm后，剩下的两根长度相等，第一根用去多少厘米？2. 某班共72人，男生的25和女生的56共47人，求男、女生各多少人？3. 两桶油共重10.8kg，当第一桶油用去了14时，第二桶油用去的相当于第一桶油用去的715，第二桶油还剩2.7千克，求这两桶油原来各装油多少千克？4.有甲、乙两个书架存书本数相同，如果再向甲书架内放入10本，乙书架中放入4本，则此时甲书架中的12与乙书架中书的35相等，求甲书架原存书多少本？5.某校六年级男生的一半和女生的13共72人，女生的一半和男生的13共73人，六年级共有学生多少人？6.某校一年级比二年级少24人，且一年级的13比二年级的14多2人，求一、二年级各多少人？。

1、一个杯子中装满纯酒精，倒出10﹪用水加满，再倒出10﹪用水加满，这时的酒精浓度是。

2、栽一种树苗，成活率最低是50﹪，最高是80﹪，如果想保证种活2400棵树，最少种树棵。

3、甲容器中有4﹪的盐水150克，从乙容器中取出盐水450克加到甲容器中，和甲容器中的盐水混合成8.2﹪的盐水，乙容器中盐水的浓度是﹪。

4、甲套衣服比乙套衣服标价贵100元，后来促销活动中两套衣服都打八八折销售，此时甲套衣服比乙套衣服贵元。

5、把16﹪的盐水400克，变成20﹪的盐水需蒸发掉克水。

6、要把20﹪的盐水与5﹪的盐水混合，制成15﹪的盐水1200克，需要20﹪的盐水克，5﹪的盐水克。

7、水果店运来一种含水99﹪的某种水果1000千克，放置几天后，含水量变成98﹪，这时这种水果变成千克。

8、有浓度20﹪的盐水中加5千克的水，浓度变成15﹪，再加入千克盐后，浓度又变成32﹪。

9、阿姨开了一个杂货店，一天她从外地购进560个洋娃娃，哪知途中损坏了70个，如果她想获利5﹪，每个应加价﹪。

10、一种收录机，今年售价比去年降价25﹪，去年比前年增加20﹪，今年售价比前年降低﹪。

11、商场购进100个足球和80个篮球共用去2800元，卖出时每个足球加价5﹪，每个篮球加价10﹪，这样卖出后共得3020元，一个足球和一个篮球各是多少元？12、甲桶中有含糖4﹪的糖水60千克，乙桶中有含糖20﹪的糖水40千克。

两桶交换多少千克使得两桶糖水的含糖率相同？13、甲种酒精4升，乙种酒精6升，混合成的酒精中含纯酒精62﹪，如果甲乙两种酒精取同样多，混合后的酒精中含酒精61﹪，甲乙两种酒精中各含纯酒精百分之几？14、李叔叔以每股10元的价格购进某种股票5000股，过了一段时间后以每股12元卖出，按规定买卖股票都要按买卖金额的0.55﹪缴纳手续费，李叔叔这次买卖股票实际赚多少元？15、国家个人所得税法规定，个人每月收入超过1600元时，超过部分应缴纳个人所得税，其中超出500元以内（包括500元）按5﹪缴纳，超出500元到2000元部分按10﹪缴纳，超出2000元到5000元的部分按15﹪缴纳。

求2153=+y x 的整数解。

【解答】⎩⎨⎧==07y x ，⎩⎨⎧==32y x方程10064=+y x 有________组整数解。

【解答】9组。

方程26542=++z y x 有_______组整数解。

【解答】14组。

求方程⎩⎨⎧=++=++2624310z y x z y x 的非零整数解。

【解答】⎪⎩⎪⎨⎧===622z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===514z y x 。

如图，6个3×2的小方格表拼成了6×6的大方格表。

请在空白处填入1~6六个数字，使得每行、每列中的数字各不相同，并且原来6个3×2的小方格表中的数字也各不相同。

246415616251难度：A 出处：底稿【解答】根据题目要求，一般的情况下，首先填出能唯一确定数字的方格，然后分析不能唯一确定数字的方格。

第一步，我们当六个小方块分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母表示。

根据题目要求，我们发现F 格中可以将数字1先确定的填入，D 格中我们能确定填入数字6和数字3，之后B 格中可以确定数字1，依此类推，我们就会得出最终的结果。

（填法不唯一）※ 解题的关键在于根据题目要求，认真推理。

如图，在5×5方格表的空白处填入1~5中的数字，使得每行、每列、两条对角线上的数各不相同（其中有些数字已填好）。

【解答】根据题目的要求，每行、每列以及对角线上的数字都各不相同，所以我们能够确定第二行和两条对角线上的空白处应填入的数字，再依此类推。

如图，在图示的七个圆内填入七个连续自然数，使每两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数，那么A 的圆内应填入几呢？11891214106A难度：B 出处：底稿【解答】由于7010691281114=++++++，35270=÷，所以这七个数分别为2、3、4、5、6、7、8 。

66121135=---=A如下图所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.17984【解答】先在每个圆圈内标上字母，如下左图则有 a+4+9=a+b+c （1） b+8+9=a+b+c （2） c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）： （a+b+c ）+56=3（a+b+c ）， a+b+c=28则 a=28-（4+9）=15， b=28-（8+9）=11， c=28-（17+9）=2，如下右图cba 17984如图，七个整数和为67，将它们分别填在下图的七个圆圈内，使图中四个三角形的三数之和都等于31，那么C B A ++等于多少？CBA【分析】知识点：数阵图难度：B 出处：底稿【解答】四个三角形中，A ，C 各出现一次，其余五个数出现两次，)(237431C A +-⨯=⨯，因此10431267=⨯-⨯=+C A ，而C A B +=2，5=B ，所以15=++C B A 。

1、甲乙丙各拿9元钱买练习本，由于甲比丙少拿15本，乙拿的与丙同样多，这样乙和丙两个人都要给甲1.5元，一本练习本 元。

2、一个长方形长减少2/5，宽增加4/5米，则面积不变，原来长方形的宽是 米。

3、火车进隧道，从车头进入到车尾进入，共用A 分钟，又经过B 分钟，车尾出隧道。

已知A ︰B =3︰5，隧道长360米，火车长 米。

4、王叔叔加工50个零件，其中2个是次品，按这样的合格率，他想加工出192个合格零件，应加工 个零件。

5、甲乙两仓库共存粮食260吨，如果甲仓库运25﹪到乙仓库，则乙仓库比甲仓库多20吨，原来甲仓库存粮食 吨。

6、已知三角形的面积是10平方厘米，空白部分面积是 平方厘米。

7、右图五边形的面积是 平方厘米。

8、一个等边三角形与一个正六边形的周长相等，如果三角形的面积是36平方厘米，那么六边形的面积是 平方厘米。

9、钢笔5支包装售51元，8支包装售72元，（钢笔只能整盒卖）张老师打算给全班49名学生每人买1支钢笔，他最少要花 元。

10、某班参加数学兴趣小组，参加的男生占全班的1/5，参加的女生占全班的2/7多2人，不参加的占全班的3/5少5人，全班有 人。

11、小王和小李同时从AB 两地出发相向而行，速度比是5︰4。

已知全程3600米。

那么他们第一次相遇点与第二次相遇点相距多少米？12、有甲乙两个长方体玻璃缸从里面量，它们的深度相等，底面分别是边长4分米和5分米的正方形，现将甲缸盛满水后，倒入乙缸，水面比乙缸深度的4/5还低0.48分米，玻璃缸深多少分米？13、校图书室的图书，如果将400本科技书换成故事书，故事书的本数是科技书的3倍，如果将1000本故事书换成科技书，则故事书是科技书的5/11，原来科技书有多少本？故事书有多少本？14、甲袋中有红球120个、蓝球40个，乙袋中有红球360个、蓝球80个，要使两袋中红球所占的百分数一样，应从甲袋中取多少个蓝球与乙袋中的红球进行等量交换？15、甲乙丙三人进行400米跑比赛。

=（111+189）×6=300×6=18004．小红爷爷今年的年龄加上17后，再缩小4倍，再减去15后，扩大10倍，恰好是100岁，小红爷爷今年（）岁。

解析：可采用倒推法。

（100÷10+15）×4-17=83（岁）5．某校四年级有两个班，其中甲班有a人，乙班比甲班多3人，则该校四年级共有学生（ 2 ×a+3 ）人。

6．工人叔叔修一条路，原计划每天修120米，实际每天多修了30米，结果提前5天完成了任务。

原计划修的这条路有（）米。

解析：可采用假设法。

想：如果按原计划天数，实际总共多修了多少米？又根据实际每天多修30米，可求出计划修的天数，最后求出这条路的长度。

（120+30）×5÷30=25（天）120×25=3000（米）7．一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。

一班有（）人两项比赛都没有参加。

解析：这是包含问题。

可先求出一班共有多少人参加了比赛，再求出多少人没参加。

45-（26+22-12）=9（人）8．一次口算比赛，规定：答对一题得8分，答错一题扣5分。

小华答了18道题，得92分，小华在此次比赛中答错了（ 4 ）道题。

解析：可采用假设法。

假设小华全部答对能得多少分，再与实际得分比较，再除以答错一题相差多）这1999100个1011. 24）12. 7 ）15.相乘，37个试9除以7余2，（2，4，1）如此循环。

1999÷3=666……1，说明还剩下2个细胞。

16.用记号(a)表示a的整数部分，如(10.62)=10，(15÷4)=3，那么(120÷7)×(9.47-1.83)=( 119 )解析：属于新定义运算。

17.□□□□□+□□□□□=199998，则这10个□中的数字之和是( 90 )。

18.印刷厂要印刷数学口算册27万本，白班每天印刷2855本，夜班比白班每天多印刷290本。

中国研究生数学建模竞赛题目
以下是中国研究生数学建模竞赛的一些题目示例：
1. 非线性规划问题：给定某工厂的生产和成本数据，要求优化产量和成本之间的关系，使得产量最大化同时成本最小化。

2. 最优调度问题：某电力公司需要安排多个发电机组的启动和停止时间，以满足不同时间段的电力需求和节约燃料成本等条件。

3. 网络流问题：某物流中心需要将多个物品从供应商通过不同的物流通道送达多个目的地，要求建立一个最优的运输方案，使得总运输时间最短。

4. 高等数学问题：给定一个复杂函数模型，要求推导该函数的极值点、驻点和拐点，并分析函数在不同区间的增减性和凹凸性。

5. 随机过程问题：某金融交易市场的交易量数据呈现随机波动，要求建立一个合适的随机模型，进行交易风险评估和预测。

6. 图论问题：某城市的交通网络由多个节点和边组成，要求分析城市中的交通拥堵情况，找到最短路径和最少换乘的出行方案。

以上只是一些示例题目，实际的竞赛题目会根据具体的考查内
容和难度设置。

每年竞赛的题目都会有所变化，考察的内容也会涵盖数学的不同领域和应用实践。

高中数学竞赛试题解析引言高中数学竞赛是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径之一。

在这个竞赛中，学生们需要面对各种复杂的数学题目，并提供准确的解答。

本文将对高中数学竞赛经典试题进行详细解析，帮助读者更好地理解问题并掌握解题技巧。

试题一：函数与方程题目描述给定一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，已知该函数通过点(1,3)和(2,7)。

求出a、b、c的值。

解析我们可以利用已知的两个点来建立方程组，进而求解a、b、c。

首先，由于f(1)=3和f(2)=7，我们得到以下两个方程：a+b+c=3 (1)4a+2b+c=7 (2)然后，我们可以通过联立方程组来解得a=1,b=1,c=1。

因此，二次函数为f(x)=x2+x+1。

试题二：概率与统计题目描述有一个袋子里面有10个球，其中有3个红色球和7个蓝色球。

现从袋中随机取1个球，然后将其放回，再继续取另一个球。

求：两次都取到红色球的概率是多少？解析设事件A为第一次取到红色球，事件B为第二次也取到红色球。

根据概率的性质和独立性，我们可以使用条件概率公式计算这一概率：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)首先，因为每个球被放回袋中后重新混合，所以第二次取到红色球的概率与第一次没有关系。

故P(B∣A)=P(B)。

其次，第一次取到红色球的概率是310。

因此，两次都取到红色球的概率为：P(A∩B)=P(B∣A)⋅P(A)=P(B)⋅P(A)=(310)2=0.09结论本文对高中数学竞赛中涉及函数与方程、概率与统计等题目进行了详细解析。

通过理解问题背景和运用相应的数学知识和技巧，读者可以更好地应对这类试题，并在竞赛中取得好成绩。

希望本文对您的学习有所帮助！。

大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。

以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。

# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。

答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。

令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。

在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。

在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。

因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。

# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。

首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。

从1~9这个9个数字中挑出6个不同的数字，填在图中的6个圆圈内，使任意相邻的两个圆圈内的数字之和都是质数，那么最多能找到______种不同的填法。

（六个数字相同排列次序不同的算作一种填法。

）【解答】17种。

从最上面的圆圈开始，顺时针填数：2、5、6、1、4、3 ；2、5、6、1、4、9 ；2、1、6、7、4、3 ；2、1、6、7、4、9 ；2、5、6、7、4、3 ；2、5、6、7、4、9 ；2、5、6、7、4、1 ；2、3、8、9、4、1 ；2、5、8、9、4、1 ；2、5、8、9、4、3 ；2、3、8、5、6、1 ；2、9、8、5、6、1 ；4、3、8、5、6、1 ；4、9、8、5、6、1 ；4、3、8、5、6、7 ；4、9、8、5、6、7 。

将1~9这9个数字填入图中的九个圆圈中，使得每条线段两端上的两个数字之和各不相等，即可以得到12个不同的和。

【解答】解析：共有12个不同的和，分别是3，4，6，7，8，9，11，12，13，14，16，17。

图中是3×3的正方形中每一个方格内的字母都代表一个数字，已知其每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

若4,19,22a d l ===，______,______b h ==。

【解答】由题有()2l b d =+÷，则25b =。

又因为a b c c f l ++=++，7f =，则()2a f h =+÷，则1h =。

将1~13这13个数字分别填入图中的三个圆圈内，现已知：1，4，7三个数已填入第一个圆圈；3已填入第三个圆圈。

请把余下的11个数字也填入圆圈中，使得同一个圆圈中每两个数相减所得的差不在这个圆圈内。

【解答】首先7-1=6，不能填在第一个圈中，若填入第三个圈中6-3=3，不符题意，所以6填在第二个圈中。

2-1=1，5-4=1，8-7=1，11-7=4，所以2、5、8、11都不能填在第一个圈中，若8填入第三个圈中，则5和11就都不能填入第三个圈中，而填入第二个圈中11-5=6，不符题意，所以8应填在第二个圈中，则2填在第三个圈中，5填在第二个圈中，11填在第三个圈中。

1、一个小数的小数点分别向右，左边移动一位所得两数之差为2.2，则这个小数用分数表示为。

2、某种皮衣标价为1650元，若以8折降价出售仍可盈利10%（相对于进价）那么若以标价1650元出售，可盈利元。

3、求多位数111……11（2000个）222……22（2000个）333……33（2000个）被多位数333……33（2000个）除所得商的各个数上的数字的和为。

4、计算（1/（1×2）+2/（1×2×3）＋3/（1×2×3×4）＋……＋9/（1×2×3×……×10）的值为。

5、一只船顺流而行的航速为30千米/小时，已知顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船顺水漂流1小时的航程为（）千米。

6、某电视机厂计划15天生产1500台，结果生产5天后，由于引进新的生产线生产效率提高25%，则这个电视机厂会提前（）天完成计划。

7、从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。

8、某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…当将这些页码相加时，某人把其中一个页码错加了两次，结果和为2001，则这书共有（）页。

9、现有21朵鲜花分给5人，若每个人分得的鲜花数各不相同，则分得鲜花最多的人至少分得（）朵鲜花。

10、三名工人师傅张强、李辉和王充分别加工200个零件。

他们同时开始工作，当李辉加工200个零件的任务全部完成时，张强才加工了160个，王充还有48个没有加工。

当张强加工200个零件的任务全部完成时，王充还有__个零件没有加工。

11、有一块表在10月29日零点比标准时间慢4分半，一直到11月5日上午7时，这块表比标准时间快了3分钟，那么这块表正好指向正确的时间是在11月 日 时。

12、一个水箱中的水以等速流出箱外，观察到上午9：00时，水箱中的水是2/3满，到11点，水箱中只剩下1/6的水，那么到什么时间水箱中的水刚好流完？（ ）13、清华大学附中共有学生1800名，若每个学生每天要上8节课，每位教师每天要上4节课，每节课有45名学生和1位教师，据此请推出清华大学附中共有教师 名？14、某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的同学至少有 人？15、一个数先加3，再除以3，然后减去5，再乘以4，结果是56，这个数是_______。

数学奥林匹克竞赛试题数学奥林匹克竞赛是针对中学生的高水平数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维、创新能力和解决复杂问题的能力。

以下是一些典型的数学奥林匹克竞赛试题示例，供大家参考和练习。

代数问题问题1：解方程求解方程 (x^3 - 5x^2 + 7x - 1 = 0)。

问题2：因式分解将多项式 (x^4 - 81) 进行因式分解。

几何问题问题3：三角形面积在直角三角形中，已知两直角边的长度分别为3和4，求斜边上的高。

问题4：圆的性质证明：若一个圆内接四边形的对角互补，则该四边形为矩形。

组合与概率问题问题5：排列组合计算用数字1到9（每个数字仅使用一次）可以组成的所有不同三位数的数量。

问题6：概率计算一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出两个球，求取出的两个球都是红球的概率。

数列与函数问题问题7：等差数列如果数列 (a_n = 2n + 1)，求第10项和前10项的和。

问题8：函数图像画出函数 (y = |x-3|) 的图像，并指出其与x轴的交点。

解析与答案问题1答案通过因式分解或使用牛顿法等方法求解。

问题2答案(x^4 - 81 = (x^2 + 9)(x^2 - 9) = (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3))。

问题3答案斜边上的高 (h = \frac{3 \times 4}{5} = 2.4)。

问题4答案利用圆周角定理和直角三角形的性质证明。

问题5答案总共有 (9 \times 8 \times 7) 种不同的排列方式。

问题6答案概率为 (\frac{C_5^2}{C_8^2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14})。

问题7答案第10项 (a_{10} = 21)，前10项和 (S_{10} = 2(1 + 2 + ... + 10) + 10 = 110)。

问题8答案函数图像为V型，与x轴的交点为(3,0)。

请注意，以上只是示例题目，实际的数学奥林匹克竞赛题目可能会更加复杂和多样。

【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题10 排列组合、二项式定理（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·广东·高三竞赛）袋中装有m 个红球和n 个白球，m ＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组（m ，n ）的个数为_______. 【答案】3 【解析】 【详解】记“取出两个红球”为事件A ，“取出两个白球”为事件B ，“取出一红一白两个球”为事件C ，则()22m m n C P A C +=，()22n m n C P B C +=，()112m nm nC C P C C +⋅=. 依题意得()()()P A P B P C +=，即2211m n m n C C C C +=.所以()2m n m n +=-，从而m n +为完全平方数.又由4m n >≥及40m n +≤，得940m n ≤+≤. 所以9,3,m n m n +=⎧⎨-=⎩或16,4,m n m n +=⎧⎨-=⎩或25,5,m n m n +=⎧⎨-=⎩或36,6,m n m n +=⎧⎨-=⎩. 解之得（m ，n ）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）. 故符合题意的数组（m ，n ）有3个. 故答案为32．（2018·湖南·高三竞赛）已知123A B={a ,,}a a ⋃，当A B ≠时，(,)A B 与(,)B A 视为不同的对，则这样的(,)A B 对的个数有_____个. 【答案】26 【解析】 【详解】由集合A 、B 都是A B 的子集，A B ≠且()123,,A B a a a ⋃=. 当 A =∅时，B 有1种取法； 当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法； 当A 为三元集时，B 有7种取法.故不同的（A ，B ）对有13234726+⨯+⨯+=（个）. 故答案为263．（2018·湖南·高三竞赛）从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数()()20f x ax bx c a =++≠的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 【答案】24 【解析】 【详解】可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成()2f x a bx =+的形式.又()2224b b f x a x a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以其顶点坐标是2,24b b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.若顶点在第一象限，则有02b a >，204b a->.故0a <，0b >. 因此，这样的二次函数有113412A A ⋅=个.若顶点在第三象限，则有02b a -<，204b a-<.故0a >，0b >.这样的二次函数有2412A =个. 由加法原理知，满足条件的二次函数共有11234424A A A ⋅+=个.故答案为244．（2018·湖南·高三竞赛）31||2||x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____.【答案】-20 【解析】 【详解】因为6312x x ⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭.所以()333346120T C ⎛⎫=-=-. 故答案为-205．（2018·四川·高三竞赛）设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，若I 的非空子集A B 、满足A B =∅，就称有序集合对(),A B 为I 的“隔离集合对”，则集合I 的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答） 【答案】6050 【解析】 【详解】设A 为I 的()17k k ≤≤元子集，则B 为I 的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为()()()()7778880880808898888888111212122223216050kkk kk k k k C C C C C C C --===-=-=+-+---=-+=∑∑∑. 故答案为6050.6．（2020·浙江·高三竞赛）已知十进制九位数()12910a a a ⋅⋅⋅，则所有满足1254a a a >>>=，569a a a <<<的九位数的个数为__________.【答案】25 【解析】 【详解】由题意得：{}i (i 1,2,3,4,6,7,8,9)5,6,7,8,9a =∈，且有顺序.于是满足题意的有445525N C C =⋅=.故答案为：25.7．（2018·山东·高三竞赛）集合A 、B 满足{}1,2,3,,10A B =，A B =∅，若A 中的元素个数不是A 中的元素，B 中的元素个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为______． 【答案】186 【解析】 【详解】设A 中元素个数为()1,2,,9k k =，则B 中元素个数为10k -，依题意k A ∉，441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10k B -∉，10k A -∈，此时满足题设要求的A 的个数为1102k C --．其中，当5k =时，不满足题意，故5k ≠．所以A 的个数为018484888882186C C C C C +++-=-=．8．（2020·辽宁锦州·高二期末）202148被7除后的余数为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】将问题转化为二项式定理即可求解. 【详解】()2021202148491=-的通项公式为()202112021491r rr r T C -+=⨯⨯-，当{}0,1,2,,2020r ∈时，1r T +都能整除7，当2021r =时，该项为-1，所以余数为6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查二项式定理，属于基础题.9．（2021·江西·铅山县第一中学高二阶段练习（理））已知多项式()()10310290129101(1)(1)1x x a a x a x a x a x +=+++++++++，则2a =___________.【答案】42 【解析】 【分析】根据题意把310x x +变形为()()3101111x x ⎡⎤⎡⎤-+++-++⎣⎦⎣⎦，然后利用二项式定理来求. 【详解】因为()()3103101111x x x x ⎡⎤⎡⎤+=-+++-++⎣⎦⎣⎦()()10290129101(1)(1)1a a x a x a x a x =+++++++++，所以22231042a C C =-+=.故答案为：42.10．（2021·全国·高三竞赛）若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-=__________．【答案】8-【分析】 【详解】令x 1,y 2==-，条件式立即化为3(2)248a b c d -=-+-，即2488a b c d -+-=-. 故答案为：8-.11．（2020·江苏·高三竞赛）用三个数字“3，1，4”构成一个四位密码，共有___________种不同结果． 【答案】81 【解析】 【详解】解析：只有一个数时，3种；两个数时，()221344242C C C +⨯=种；三个数时，33436⨯⨯=种，共81种． 故答案为：81.12．（2020·江苏·高三竞赛）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，则满足()()()f f f x x =的函数f ：A A →共有___________个．【答案】47 【解析】 【详解】解析,值域中元素的个数为1或6，若值域中元素的个数为1， 则()f x m =（m 为常数），共6种； 若值域中元素的个数6， 当()f x x =时，1种；当()(())((()))x f x f f x f f f x x →→→→，则3个一组，有36240C =．因此题述所求为164047++=个． 故答案为：47.13．（2018·河北·高三竞赛）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.【解析】 【详解】本题采用分步计数原理.第一类：0次一步跨上2阶楼梯，即每步跨上一阶楼梯，跨7次楼梯，只有1种上楼梯的方法；第二类，1次一步跨上2阶楼梯，5次每步跨上一阶楼梯，跨6次楼梯，有166C =种方法；第三类：2次一步跨上2阶楼梯，3次每步跨上一阶楼梯，跨5次楼梯，有5210C =种方法；第四类：3次一步跨上2阶楼梯，1次每步跨上一阶楼梯，跨4次楼梯，有344C =种方法；共计21种上楼梯的方法.14．（2018·河南·高三竞赛）若()()222012224nn n x a a x a x a x n *+=++++∈N ，则242n a a a +++被3除的余数是______．【答案】1 【解析】 【详解】令0x =，得204na =．分别令1x =和1x =-，将得到的两式相加，得()2202421622nn n a a a a ++++=+． 所以()()2222122242162423142nn n n n n n a a a -+++=+-=+- ()()21211121mod3n n -≡-⨯-≡-≡．15．（2018·湖北·高三竞赛）一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______. 【答案】772【解析】 【详解】设1234a a a a 、、、分别是四次投掷骰子得到的点数，那么()1234,,,a a a a 共有46种不同的情况. 如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则1234a a a a ≤≤≤.若1234a a a a 、、、的值都相等，则()1234,,,a a a a 有16C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取两个不同的值，则()1234,,,a a a a 有263C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取3个不同的值，则()1234,,,a a a a 有363C 种不同的情况；若1234a a a a 、、、恰好取4个不同的值，则()1234,,,a a a a 有46C 种不同的情况.因此，满足1234a a a a ≤≤≤的情况共有1234666633126C C C C +++=（种）.故所求的概率为41267672=. 16．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 【答案】256 【解析】 【详解】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：()()()101401450144444435454445C C C C C C C C C C C C +++++++++++()()135014555444C C C C C C =+++++()451012256=++⨯=个.故答案为：256．17．（2019·贵州·高三竞赛）已知m ∈{11，13，15，17，19}，n ∈{2000，2001，…，2019}，则mn 的个位数是1的概率为____________ . 【答案】25【解析】 【详解】当m =11，n ∈{2000，2001，…，2019}时，mn 的个位数都是1，此时有20种选法； 当m =13，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =15时，mn 的个位数不可能为1，此时有0种选法；当m =17，n ∈{2000，2004，2008，2012，2016}时，mn 的个位数都是1，此时有5种选法； 当m =19，n ∈{2000，2002，2004，…，2018}时，m 的个位数都是1，此时有10种选法. 综上，所求概率为205051025205++++=⨯.故答案为：25．18．（2020·全国·高三竞赛）在1，2，3，…，10中随机选出一个数a 在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为______ . 【答案】37100【解析】 【分析】题中条件2a b +是3的倍数，考虑2a 被3除的余数分情况讨论.另外注意有2a 和b 被3除的余数相加是3的倍数. 【详解】数组(),a b 共有210100=种等可能性的选法. 考虑其中使2a b +被3整除的选法数N .若a 被3整除，则b 也被3整除.此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有239=种.若a 不被3整除，则()()222319613321a k k k k k =±=±+=±+，于是2a 被3除余1，那么b 被3除余2.此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428⨯=种.因此92837.N =+=于是所求概率为37100. 【点睛】此题考查计数原理和概率的知识，属于中档题.19．（2021·全国·高三竞赛）把数字09～进行排列，使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边的排法种数为_________． 【答案】151200 【解析】 【分析】 【详解】考虑全排列，有种1010A 排法；将数字2、3、5、7从队列中拿出来，保留原队列顺序，有44A 种排法；使得2在3的左边，3在5的左边，5在7的左边，只能按照2、3、5、7的顺序排列，有1种排法；故满足题意的排法数是1010441151200A A ⋅=． 故答案为：151200.20．（2021·全国·高三竞赛）若多项式219201x x x x -+--+可以表示成1920011920a a y a y a y ++++，这里1y x =+，则2a =___.【答案】1330 【解析】 【分析】 【详解】 因为: ()()219202192021211(1)111(1)y x x x x x x x x x x y -+--+=+-+--+=+=+-，又因为：()()219201920220210119200119201y x x x x y a a y a y a y a y a y a y a y -+--+=++++=++++，所以3221C 1330a ==.故答案为：1330.21．（2021·全国·高三竞赛）有甲乙两个盒子，甲盒中有5个球，乙盒中有6个球（所有球都是一样的）.每次随机选择一个盒子，并从中取出一个球，直到某个盒子中不再有球时结束.则结束时是甲盒中没有球的概率为______. 【答案】319512【解析】 【分析】 【详解】相当于前十次中至少有五次选择了甲盒的概率， 即5101011101051319222512i i p CC ===+=∑.故答案为：319 512.22．（2021·全国·高三竞赛）一次聚会有8个人参加，每个人都恰好和除他之外的两个人各握手一次．聚会结束后，将所有握手的情况记录下来，得到一张记录单．若记录单上的每条握手记录不计先后顺序（即对某两张记录单，可以分别对其各条记录进行重新排列后成为两张完全相同的，则这两张被认为是同一种），则所有可能的记录单种数为_______．【答案】3507【解析】【分析】【详解】根据已知，将这8个人进行分组，每组的所有人排成一个圆圈，每个人和与其相邻的两个人握手．问题转化为这样的分组、以及分完组之后的项链排列（因为要求握手记录无序）方法有几种．注意到最多分成两组，则：当分成一组时，有7!2种；当分成两组时，若两组人数分别为3和5，则有384!2! 22C⋅⋅种；若两组人数都是4，则有483!3!2!22C⋅⋅种．故共有43887!4!2!3!3!3507 2222!22CC+⋅⋅+⋅⋅=种．故答案为：3507.23．（2021·全国·高三竞赛）先后三次掷一颗骰子，则其中某两次的点数和为10的概率为___________．【答案】23 108【解析】【分析】【详解】有两次为5的概率为213531166216C C+=，有两次为6和4的概率为211134323306216A C C C+=，所以概率为163023216216108+=. 故答案为：23108. 24．（2021·浙江·高二竞赛）对于正整数n ，若(5315)n xy x y -+-展开式经同类项合并，(,0,1,,)i j x y i j n =合并后至少有2021项，则n 的最小值为______.【答案】44 【解析】 【分析】 【详解】由(5315)(3)(5)n n n xy x y x y -+-=+-，共有()21n +项，所以2(1)2021n +≥，得1n ≥，则min 44n =. 故答案为：44.25．（2021·浙江·高三竞赛）已知整数数列1a ，2a ，…，10a ，满足1012a a =，4862+=a a a ，且11k k a a +-=（1k =，2，…，9），则这样的数列个数共有______个. 【答案】192 【解析】 【分析】 【详解】 分情况讨论：①先考虑468,,a a a ,设4a r =，则：(1)45678,1,2,3,4a r a r a r a r a r ==+=+=+=+; (2)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==+==+=; (3)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==+==-=; (4)45678,1,2,3,4a r a r a r a r a r ==-=-=-=-; (5)45678,1,2,3,a r a r a r a r a r ==-=-=+=; (6)45678,1,,1,a r a r a r a r a r ==-==-=;②再考虑910,a a ,同理共有4种,且10a r s =+,其中6,4,2,0,2,4,6s =---;③最后考虑123,,a a a 共有8种,且1a r t =+,其中1,3t =±±,所以110a a ≠,故1012a a =一定有解, 综上共有864192⨯⨯=个; 故答案为：192.26．（2021·全国·高三竞赛）将2枚白棋和2枚黑棋放入一个44⨯的棋盘中，使得棋盘的每个方格内至多放入一枚棋子，且相同颜色的棋子既不在同一行，也不在同一列，如果我们只区分颜色而不区分同种颜色的棋子，则不同放法的种数为_________． 【答案】3960 【解析】 【分析】利用去杂法可求不同方法的种数. 【详解】解析：将两枚白棋放入方格中的方法数为169722⨯=种，两枚黑棋放入方格中使得它们既不在同一行，也不在同一列的方法数为169722⨯=，其中至少有1枚黑棋与白棋放入同一方格的方法数为1892=⨯种，两枚黑棋均放入两枚白棋所在的方格中的方法数为1种，故由容斥原理可知不同的方法数为72(72291)3960⨯-⨯+=种． 故答案为：3960. 【点睛】思路点睛：对于较为复杂的组合计数问题，我们可以采用去杂法从反面考虑，但要注意防止重复计算，如本题中同色的棋子不做区分.27．（2021·全国·高三竞赛）用平行于各边的直线将一个边长为10的正三角形分成边长为1的正三角形表格，则三个顶点均为格点且各边平行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数是___________. 【答案】315 【解析】 【详解】解析：设边长为n 的正三角形中由格点构成各边平行于分割线或与分割线重合的正三角形的个数为n a ，则1231,5,13a a a ===，当n 为偶数时，则21+12+212322n n n n n a a C --⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭，其中21n C +为增加的一条边上的1n +分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数； 2212322n n -⎛⎫++++ ⎪⎝⎭为以增加的一条边上的1n +分点中的任意一个点为顶点的正三角形的个数，同理，当n 为奇数时，则21+11+21232n n n n a a C --⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，其中21n C +为增加的一条边上的1n +分点中的任意两个不同的构成的正三角形的个数； 121232n -⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为以增加的一条边上的1n +分点中的任意一个点为顶点的正三角形的个数，故2221034111a C C C =++++()()()()()2012121221221234212345+⨯++⨯+⨯++⨯+++⨯++++⨯++++⎡⎤⎣⎦=()()3223441112123454136101580315C C C C ++++++++++++=++=答案为：315.28．（2021·全国·高三竞赛）设()40382019201k k k x xa x =++=∑，其中(0,1,,4038)i a i =为常数，则134630kk a==∑___________.【答案】20183 【解析】 【详解】 设()201822403601240361x x b b x b x b x ++=++++，则()()()201922498601403611x x x x b b x b x ++=+++++.可见0031236456,,,a b a b b b a b b b ==++=++，因此40384036a b =.20180340380140363a a a b b b +++=+++=.故答案为：20183.29．（2021·全国·高三竞赛）设129,,,a a a 是1，2，…，9的一个排列，如果它们满足123456789a a a a a a a a a <<>>>><<，则称之为一个“波浪形排列”.则所有的“波浪形排列”的个数为___________. 【答案】379 【解析】 【详解】解析： 3a 只能取7､8､9，按照3a 取值依次分成三类，若39a =，有2385280C C =种排列；若38a =，有237484C C =种排列；若37a =，有26=15C 种排列； 可得总数为379. 故答案为：379.30．（2021·全国·高三竞赛）从正方形的四个顶点及四条边的中点中随机选取三个点，则“这三个点能够组成等腰三角形”发生的概率为___________. 【答案】514【解析】 【详解】解析：按照选取点中正方形顶点的个数进行分类，依次可以为3､2､1､0个，相应的等腰三角形个数为3344C 4142C 20+⨯+⨯+=，因此所求概率为38205C 14=. 故答案为：514. 31．（2021·全国·高三竞赛）圆周上有20个等分点，从中任取4个点，是某个梯形4个顶点的概率是_______． 【答案】48323【解析】 【详解】解析：梯形共有两种：从10组平行于直径的9条平行直线中选2条，或从10组不平行于直径的10条平行直线中选2条．第一种去掉矩形有()2910C 4320⨯-=个，第二种去掉矩形有()21010C 5400⨯-=个，共有720个，故概率是42072048323C =．故答案为：48323. 32．（2021·全国·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,){1,2},{1,2,3,4}}K x y x y =∈∈．从K 中随机取出五个点，则其中有四点共线或四点共圆的概率为____________． 【答案】57【解析】 【详解】考虑任四点不共线、任四点不共圆的情形． 由无四点共线知每列至少有一个点不取．不妨设左边一列有两个点不取，分六种情况知方法数为2200228+++++=．故原概率为3838C 165C 7P -==． 故答案为：57.33．（2021·全国·高三竞赛）在0、1、2、3、4、5、6中取5个数字组成无重复数字的五位数，其中是27倍数的最小数是_______． 【答案】14256 【解析】 【详解】解析：首先这个数是9的倍数，故这5个数字只能是0、3、4、5、6或1、2、4、5、6，五位数字之和为18．设五位数是abcde ，则()1000010001001010810mod27a b c d e a b c d e ++++≡+-++， 为了使数最小，考虑1a =，故可取各数字为1、2、4、5、6，先考虑12456，此时10810123250628a b c d e +-++=-++=，不合要求； 再考虑14256，此时10810141650654a b c d e +-++=-++=，符合要求. 故所求的最小的数是14256． 故答案为：14256.34．（2019·山东·高三竞赛）6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是______ .【答案】5924【解析】 【详解】由题意可知，所有的排列方法种数为：12!6!3!3!N =⨯⨯，满足题意的排列方法数量为：5!253!2!n =⨯⨯⨯， 故同色球不相邻的概率为5!2553!2!12!9246!3!3!p ⨯⨯⨯==⨯⨯. 故答案为：5924． 35．（2019·贵州·高三竞赛）若(a +b )n 的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数n =____________ . 【答案】959 【解析】 【详解】设(a +b )n 的展开式中连续三项的二项式系数为11C ,C ,C (11)k k k n n n k n -+-.因为112C C C k k k n n n -+=+，所以22(41)420n k n k -++-=，得到n =①由n 为正整数，则8k +9应为奇完全平方数，故设8k +9=(2m +1)2，即222k m m =+-， 代入①式得n =(m +1)2－2或n =m 2－2. 所以，三位正整数n 的最大值为959. 故答案为：959．36．（2019·广西·高三竞赛）从1，2，…，20中任取3个不同的数，这3个数构成等差数列的概率为____________ . 【答案】338【解析】 【详解】设取出的3个不同的数分别为a 、b 、c .不同的取法共有320C 种，若这3个数构成等差数列，则有a +c =2b .故、c 同为奇数或同为偶数，且a 与c 确定后，b 随之而定.从而所求概率为221010320338C C P C +==. 故答案为：338． 37．（2019·浙江·高三竞赛）在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________. 【答案】39200 【解析】 【详解】易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩ ① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=.故答案为：39200．38．（2019·新疆·高三竞赛）随机取一个由0和1构成的8位数，它的偶数位数字之和与奇数位数字之和相等的概率为____________ . 【答案】35128【解析】 【分析】该8位数首位数字必须为1，分别计算出奇数位上和偶数位上1的个数，结合组合知识求出基本事件总数和偶数位数字之和与奇数位数字之和相等包含的基本事件个数即可得解. 【详解】设n 是满足题意的8位数，故知其偶数位上1的个数和在奇数位上1的个数相同，从而在奇数位上与偶数位上1的个数可能为1、2、3或4.注意到首位为1，下面分情况讨论：（1）奇数位上与偶数位上有1个1，3个0共有0134C C 4⋅=种可能；（2）奇数位上与偶数位上有2个1，2个0，共有1234C C 18⋅=种可能；（3）奇数位上与偶数位上有3个1，1个0，有2334C C 12⋅=种可能；（4）奇数位上与偶数位上有4个1，共有34341C C ⋅=种可能.合计共有4+18+12+1=35个满足条件的自然数n .又因为0和1构成的8位数共有72128=个，从而概率为35128. 故答案为：35128【点睛】此题考查求古典概型，关键在于熟练掌握计数原理，根据分类计数原理结合组合知识求解概率.39．（2019·新疆·高三竞赛）记[x ]为不超过实数x 的最大整数.若27788A ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦201920207788⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A 除以50的余数为____________ .【答案】40 【解析】 【分析】根据21277,88k k -均不是整数，利用放缩法分析出21221217772788k k k k ---⎡⎤⎡⎤-<+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，结合二项式定理得A 除以50的余数. 【详解】注意到21277,88k k-均不是整数. 按定义212212212212177777772117888888k k k k k kk k -----⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-+-<+<+= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦， 所以对任意正整数k 均有21221777188k k k --⎡⎤⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦22771k -=⋅-17(49)1k -=⋅- ()()()1101111117(501)175050111r k k k r k r k k k k C C C ---------=⋅--=⋅⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯-+⋅⋅⋅+⨯--17(1)1(mod 50)k -=⋅--.从而71010(11)101040(mod50)A ≡⋅⋅--≡. 故答案为：40 【点睛】此题考查数论相关知识点，涉及同余问题结合二项式定理处理，需要熟练掌握初等数论相关知识.40．（2020·全国·高三竞赛）现有10张卡片，每张卡片上写有1，2，3，4，5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1，2，3，4，5的五个盒子中，规定写有i ，j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有________种． 【答案】120． 【解析】 【分析】结合题意，对满足情况进行分类，运用组合的相关知识进行求解. 【详解】解：用{,}i j 表示写有i ，j 的卡片．易知这10张卡片恰为{,}(15)i j i j ≤<≤．考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10张卡片，故1号盒至少有3张卡片，能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}．情况一：这4张卡片都在1号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片，故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求，有6264=种好的放法．情况二：这4张卡片恰有3张在1号盒中，且其余每盒最多仅有2张卡片． 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒，且{1,5}在5号盒的放法数N ．卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能，其中6种是在2，3，4号的某个盒中放两张，其余2种则是在2，3，4号盒中各放一张．若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中，不妨设{2,3},{2,4}在2号盒，则{2,5}只能在5号盒，这样5号盒已有{1,5},{2,5}，故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒，即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一；若{{2,3},{2,4},{3,4}在2，3，4号盒中各一张，则2，3，4号盒均至多有2张卡片，仅需再使5号盒中不超过2张卡片，即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中，对应0133C C 4+=种放法．因此612414N =⨯+⨯=．由对称性，在情况二下有456N =种好的放法． 综上，好的放法共有6456120+=种． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是结合题意进行分类讨论，需要考虑全面，不要漏掉情况，要求综合能力较强.41．（2021·浙江·高三竞赛）一条直线上有三个数字1a ，2a ，3a ，数字2a 位于1a ，3a 之间，称数值1223a a a a -+-为该直线的邻差值.现将数字1~9填入33⨯的格子中，每个数字均出现，过横向三个格子､竖向三个格子及对角线三个格子共形成8条直线.则这8条直线的邻差值之和的最小值为______，最大值为______. 【答案】 36 60 【解析】 【分析】 【详解】如图1,这8条直线的邻差值之和：9212387894147636951i i M a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==-+-+-+-+-+-+-+-+-∑,利用局部调整法,当(1,2,,9)i a i i ==⋯时，M 有最小值2226668436+++++++=.当如图2排列时，M 有最大值8189(9823)224602i i =⨯++--⨯=+=∑. 故答案为：36,60.42．（2021·全国·高三竞赛）刘老师为学生购买纪念品，商店中有四种不同类型纪念品各10件（每种类型纪念品完全相同），刘老师计划购买24件纪念品，且每种纪念品至少购买一件．则共有________种不同的购买方案． 【答案】633 【解析】 【详解】解析：只需计算()4210()f x x x x =+++中24x 的系数而()()4104210441()(1)x f x x x x x x -=+++=⋅-又由幂级数展开式可得233411420(1)nn x x C x x +=+++++-，故()()4102030403301464n n n f x x x x x x C x ∞+=⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭∑，故24x 的系数为3332313346633C C C -+=．故答案为：633．43．（2021·全国·高三竞赛）从集合{1,2,,2020}的非空子集中随机取出一个，其元素之和恰为奇数的概率为____________． 【答案】20192020221- 【解析】 【详解】解析：集合{1,2,,2020}共有非空子集202021-个，元素和为奇数的子集个数恰为函数()()22000()(1)11f x x x x =+++的展开式中奇次项系数之和2019(1)(1)22f f --=．故20192020221P =-．故答案为：20192020221-. 44．（2021·全国·高三竞赛）将圆周21n 等分于点1221,,,n A A A +，在以其中每三点为顶点的三角形中，含有圆心的三角形个数为__________． 【答案】1(1)(21)6n n n ++【解析】 【详解】任取一个分点记为P ，然后将其余2n 个分点这样标志， 自P 点后，逆时针方向的连续n 个点依次记为12,,,n A A A ，顺时针方向的连续n 个点依次记为12,,,n B B B ．先考虑以P 为顶点且含有圆心的三角形，如图，显然这种三角形的另两个顶点必须一个属于点集{}12,,,n A A A ，而另一个属于点集{}12,,,n B B B ．且这种i j PA B ，含有圆心当且仅当1,,{1,2,,}i j n i j n ++∈．现计算符合条件的三角形个数：当i k =时，j 可取值,1,,1n n n k --+，共计k 个值．因此这种含有圆心的i j PA B 个数为()112nk n n k =+=∑ ， 当点P 取遍21n 个位置，共得1(1)(21)2n n n ++个三角形，由于每个三角形有三个顶点，故每个三角形重复计算了三遍， 因此符合条件的三角形个数为1(1)(21)6n n n ++．故答案为：1(1)(21)6n n n ++.二、解答题45．（2021·全国·高二课时练习）已知集合M={1，2，3，4，5，6}，N={6，7，8，9}，从M 中选3个元素，N 中选2个元素组成一个含5个元素的新集合C ，则这样的集合C 共有多少个？ 【答案】90 【解析】 【分析】分类计数，再用加法原理求解. 【详解】第一类：从M 中选取3个元素且含6有25C 种，从N 中选取2个元素不含6有23C 种，根据分步乘法计数原理，有2253C C ⨯=10×3=30（种）;第二类：从M 中选取3个元素且不含6有35C 种，从N 中选取2个元素有24C 种，根据分步乘法计数原理，有3254C C ⨯=10×6=60（种）．由分类加法计数原理，集合C 共有30+60=90（个）． 46．（2018·广东·高三竞赛）已知正整数n 都可以唯一表示为2012999m m n a a a a =+⋅+⋅++⋅ ①的形式，其中m 为非负整数，{}0,1,,8j a ∈（0j =，1,,1m -），{}1,,8m a ∈.试求①中的数列012,,,,m a a a a 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和. 【答案】984374748 【解析】【详解】设A 和B 分别表示①中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号S （M ）表示数集M 中所有数的和，并将满足①式的正整数记为110m m n a a a a -=.把集合A 分成如下两个不交子集{}000A n A a =∈=和{}100A n A a =∈≠. 我们有()()()01S A S A S A ==.对任意1n A ∈，令()09f n n A =∈，则f 是1A 到0A 的双射. 由此得()()019S A S A =，从而()()110S A S A =. 又对任意10m m a a a a B -=∈，令()()()()101999m m b g a a a a A -==---∈，则g 是B 到1A 的双射，其中()119999918m m m a b +++=+++=-. 因为{}101018,0,1,,7m m m m B a a a a a a m --=≤<<<≤=所以B 中共有718m m C+=∑个元素，因此()()()7111809918m m m S B S A C ++=+=-∑88880099988k k k k k C C ===-∑∑ ()8891028=-. 又令2A 表示A 中最高位数8m a =的正整数全体，A 中其余的数和零所构成的集合记为3A ， 则()()()23S A S A S A =+. 对任意10m m a a a a B -=∈，令()()()()103888m m b a a a a A σ-==---∈则σ是B 到3A 的双射，其中118989891m m m a b -++=⋅+⋅++=-.所以()()()71138091m m m S B S A C++=+=-∑ ()888091102k k o k C ==-=-∑.最后对任意{}0288ma a a A =∈-，令()()()088mb a a a B τ==--∈.则τ是{}28A -到B 的双射，其中128989891m m m a b +++=⋅+⋅++=-.所以()()()712280891m m m S B S A C ++=+=+-∑()8188818919102k k k C +==+-=⋅-∑.于是，()()()()()8899191021082102S B S A S B S A ⎧+=-⎪⎨⎪+=-⎩解之得()931108096875008032S A =⨯+=，()15624704S B =. 由于A 和B 中都含有1，2，…，8，因此所求正整数的和等于()()36984374748S A S B +-=. 47．（2019·江苏·高三竞赛）平面直角坐标系中有16个格点(i ，j )，其中0≤i ≤3，0≤j ≤3.若在这16个点中任取n 个点，这n 个点中总存在4个点，这4个点是一个正方形的顶点，求n 的最小值. 【答案】11. 【解析】 【分析】分两步来证明：先找到10个点，它们中的任意四点不能构成正方形的顶点，再根据抽屉原理证明任意的11个点，一定存在4个点为正方形的四个顶点. 【详解】存在下面的10点即：点(0，0)，(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(0，2)，(3，2)，(0，3)，(1，3)，(3，3)， 其中任意4个点不能构成正方形的顶点，故11n ≥. 下证：任意11点中，一定存在4个点为正方形的四个顶点.因为共取11个点，分两种情况讨论：（1）有一行有4个点（设为1234,,,P P P P ），则余下三行共有7个点， 由抽屉原理知余下三行中必有一行至少有3个点（设为123,,Q Q Q ），因1234,,,P P P P ，123,,Q Q Q 分布在两行，若该两行相邻或中间隔一行，则存在四个点，它们为正方形的四个顶点；若该两行间隔两行，如图，不妨设1234,,,P P P P 为线段AB 上的格点，123,,Q Q Q 为线段OC 上的格点，对应的点的坐标为()()()0,0,1,0,2,0，余下4个点分布在中间两行，若线段DE 上有两个整点，则它们和1234,,,P P P P 中的两点构成正方形的顶点，否则线段GF 上至少有3个点，则其中必有两个格点与123,,Q Q Q 中的两点构成正方形的顶点.（2）任意一行都没有4个点，则各行的格点数分别为3,3,3,2，故4行中必有相邻两行各有3个格点，这6个格点中必存在4个格点，它们构成正方形的顶点. 【点睛】本题考查组合最值，此类问题，解决的基本方法是先找一个反例，从而确定变量的初始范围，再利用抽屉原理来证明该范围成立.48．（2019·上海·高三竞赛）设n 为正整数，称n ×n 的方格表Tn 的网格线的交点(共(n +1)2个交点)为格点.现将数1，2，……，(n +1)2分配给Tn 的所有格点，使不同的格点分到不同的数.称Tn 的一个1×1格子S 为“好方格”，如果从2S 的某个顶点起按逆时针方向读出的4个顶点上的数依次递增(如图是将数1，2，…，9分配给T 2的格点的一种方式，其中B 、C 是好方格，而A 、D 不是好方格)设Tn 中好方格个数的最大值为f (n ).（1）求f (2)的值；（2）求f (n )关于正整数n 的表达式.【答案】（1）f (2)=3.（2）221()2n n f n ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦.【解析】【详解】(1)如图①，将T 2的4个1×1格子(以下简称“格子”)分别记为A 、B 、C 、D ，将9个格点上的数分别记为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i.当a ，b ，……，i 依次取为1，2，……，9时，易验证B 、C 、D 均为好方格，这表明f (2)≥3. 现假设f (2)=4，即存在一种数的分配方式，使A 、B 、C 、D 均为好方格.由对称性，不妨设边界上8个数a ，b ，……，h 中的最小数为a 或b .此时由A 为好方格知，或者有a <b <i <h ，或者有b <i <h <a ，故b <i <h 总是成立的.进而由B 、C 为好方格知，必有i <f <g <h ，b <c <d <i ，但这时d <i <f ，与D 为好方格矛盾. 综上可得f (2)=3.(2)设Tn 的各格点的数已被分配好，此时好方格有k 个称格子的一条边为一段“格线”我们对Tn 的每段格线标记一个箭头若格线连结了两个格点U 、V ，其中U 上的数小于V 上的数，则对格线UV 标上一个指向UV 顺时针旋转90°后所得方向的箭头.称一个格子S 及S 的一条边UV 所构成的有序对(S ，UV )为一个“对子”，如果UV 上所标的箭头由S 内指向S 外设对子总数为N .一方面，每个格子S 至少贡献1个对子(否则沿逆时针方向读S 顶点上的数将永远递减，矛盾)，而根据好方格的定义每个好方格贡献3个对子，于是()22312N k n k k n +⋅-=+.另一方面，Tn 的每段格线至多贡献1个对子，且Tn 边界上至少有一段格线标有向内的箭头(否则，沿逆时针方向读n 边界上的数将永远递增，矛盾)，从而不贡献对子.注意到Tn 的格线段数为2n (n +1)，所以又有2(1)1N n n +-.综合两方面得，2k +n 2≤2n (n +1)－1，即好方格的个数2212n n k+-. 最后，对n 为奇数和n 为偶数的情况，分别如图②和图③，将1，2，……，(n +1)2按粗线经过的次序依次分配给所有格点对图中标有“▲”记号的每个格子，易验证，按被粗线经过的先后次序排列其4个顶点，恰是一种逆时针排列，因而这些格子均为好方格.。

2022全国数学奥林匹克竞赛试题2022年全国数学奥林匹克竞赛试题：一、基本题：1. 求定积分：设f(x) = (3x + 4)sin(x^2)，求∫0^π f(x) dx的值是多少？2. 求极限：求极限lim（x → 0）(xlnx)的值是多少？3. 解不定方程：x^4 + 4x - 1 = 0的根是多少？4. 求倒数：求1/log2与2/log2的值是多少？二、复杂题：1. 求导数：由f(x) = 1 + 2x + 7x^2，求f'(x)的值是多少？2. 换元：已知f(x) = (2x + 3)sin2(x)，求f(-2)的值是多少？3. 计算一元二次方程：设ax^2 + bx + c = 0，x1及x2是两个不同的解，已知a=6，b=-2，c=-30，求x1及x2的值是多少？4. 几何函数：设圆C：x^2 + y^2 = 16，求圆C上一点P到圆心O的距离是多少？三、数学建模：1. 求最优解：已知函数f(x,y) = x + y，求使得f(x,y)取极大值的x与y的取值是多少？2. 求方程组的解：已知x+y=3，x-y=1，求x与y的取值是多少？3. 利用微积分求最小值：已知函数f(x) = x^3 – x^2，求使函数f取得最小值的x的值是多少？4. 求解隐式方程：设f(x,y) = x^2 + y^2 - 4，求使得f(x,y) = 0的x与y的取值是多少？四、综合考题：1. 利用概率统计求方程解：已知函数f(x) = 4x^2 + 4x – 3，求不等式f(x) ≤ 0的全部实数解。

2. 利用线性代数求方程组的解：已知2x+3y+z=5，3x-7y+3z=1，x+y+8z=9，求x，y，z的取值是多少？3. 利用分析几何求圆的方程：已知圆心为（-3,7），半径为5，求这个圆的标准方程式。

4. 利用泰勒展开求值：设f(x) = x^3，用泰勒展开两项求f(2)的值是多少？。