高三下学期高考数学试卷附答案 (25)

福建高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数等于（）A．B．C．D．2.数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．3.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4.对于向量和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．7.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．8.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．9.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A．B．C．D．210.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．11.已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．12.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知实数满足则的取值范围是________．2.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．3.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．4.中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．三、解答题1.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．2.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．3.（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．4.（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；5.（本小题满分12分）等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．6.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．福建高三高中数学高考真卷答案及解析一、选择题1.复数等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略2.数列的前项和为，若，则等于（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】略3.已知集合，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略4.对于向量和实数，下列命题中真命题是（）A．若，则或B．若，则或C．若，则或D．若，则【答案】B【解析】略5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】A【解析】略6.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（）A．B．C．D．2【答案】D【解析】略10.顶点在同一球面上的正四棱柱中，，则两点间的球面距离为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略11.已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略12.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略二、填空题1.已知实数满足则的取值范围是________．【答案】【解析】略2.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．【答案】【解析】略3.两封信随机投入三个空邮箱，则邮箱的信件数的数学期望．【答案】【解析】略4.中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有；（2）对称性：对于，若，则有；（3）传递性：对于，若，，则有．则称“”是集合的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．【答案】答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．【解析】略三、解答题1.（本小题满分12分）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）最小边【解析】解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．2.（本小题满分12分）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．【答案】（Ⅰ）平面（Ⅱ）二面角的大小为（Ⅲ）点到平面的距离为【解析】解法一：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．连结，在正方形中，分别为的中点，，．在正方形中，，平面．（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．，为二面角的平面角．在中，由等面积法可求得，又，．所以二面角的大小为．（Ⅲ）中，，．在正三棱柱中，到平面的距离为．设点到平面的距离为．由得，．点到平面的距离为．解法二：（Ⅰ）取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，，．平面．（Ⅱ）设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面法向量，．点到平面的距离3.（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）；最大值（万元）．【解析】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．4.（本小题满分12分）如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：，化简得．（Ⅱ）设直线的方程为：．设，，又，联立方程组，消去得：，，故由，得：，，整理得：，，．解法二：（Ⅰ）由得：，，，．所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．（Ⅱ）由已知，，得．则：．…………①过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，则有：．…………②由①②得：，即．5.（本小题满分12分）等差数列的前项和为．（Ⅰ）求数列的通项与前项和；（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列【解析】解：（Ⅰ）由已知得，，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．即．，．与矛盾．所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．6.（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，求证：．【答案】（Ⅰ）由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（Ⅱ）实数的取值范围是（Ⅲ）【解析】解：（Ⅰ）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（Ⅱ）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（Ⅲ），，，由此得，故．。

2024年福建省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。

福建省福州市鼓楼区2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ）A ．128B ．65C ．64D ．632．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．163．执行如图所示的程序框图，若输出的310S =，则①处应填写（ ）A ．3?k <B ．3?kC ．5?kD ．5?k <4．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知抛物线()220y px p =>经过点(2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．22B ．24C ．22D ．22-6．已知复数z 满足(1)43z i i +=-，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）A ．52B ．522C ．52D ．547．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=8．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）． A ．32B ．105C ．155D ．639．函数()1log 1a x f x x x +=+（01a <<）的图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ．D ．10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且11．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．412．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数()2i 1i 1z =−+，则z =（ ）A.B.C. 5D. 13【答案】B 【解析】【分析】先化简z 的表达式，然后求得z 的模. 【详解】()22i 1i 12i 2i 132i z =−+=−+=+，所以z .故选：B2. 已知抛物线2:2C y x =，则抛物线C 的焦点到准线的距离是（ ）A. 4B.14C. 2D.12【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线方程求出p ，由抛物线定义可得解. 【详解】由抛物线2:2C y x =可得212x y =， 所以122p =，14p =，故抛物线C 的焦点到准线的距离是14p =. 故选：B3. 等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A. 4:1 B. 6:1C. 7:1D. 9:1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S −，32k k S S −，43k k S S −， 成等比数列求解. 【详解】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S −，96S S −成等比数列，设3S m =，则63S m =，则632S S m −=， 故633S S S −=96632S S S S −=−，所以964S S m −=，得到97S m =，所以937S S =. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列前n 项和性质的运用，难度一般，利用性质结论计算即可.4. 现有一个正四棱台形水库，该水库的下底面边长为2km ，上底面边长为4km ，侧棱长为，则该水库的最大蓄水量为（ ） A.3112km 3B. 3112kmC.356km 3D. 356km【答案】A 【解析】【分析】根据题意，水库的最大蓄水量等于正四棱台的体积，进而用台体的面积公式即可求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示，其中1AH OO =且1//AH OO .由1112,4,AB A B AA ===11AC A C =，又1AH OO =且1111//,AH OO OO AO ⊥，可得1AHO O 是长方形，则1OA O H =，所以1111A H O A O H =−=，4AH =，则，正四棱台的高4h =，下底面的面积1222S =×=，上底面的面积24416S =×=.于是正四棱台的体积(()121111241684333V S S h =++=×++×=. 故该水库的最大蓄水量为3112km 3. 故选：A.5. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线被圆22(3)9x y −+=所截得的弦长为2a ，则双曲线C 的焦距是（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】求出圆心到渐近线的距离，根据圆的几何性质建立弦心距、半弦长、半径的方程即可求解 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，则圆心()3,0到渐近线的距离3b dc ， 由圆的半径3r =及圆的几何性质可得2222222222222999939b c a a a d a a a c c c −=+=+=+=+−， 化简得2229a a c=，解得29c =，所以3,26c c ==， 故选：D6. 若函数()()2ln e 1xf x ax =+−是偶函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为（ ）A. 12−B. 0C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】利用偶函数的定义可求得1a =，进而求得()y f x =在0x =处的导数，可得结论.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x −=，又易得函数()f x 的定义域是R ， 即()()22ln e1ln e 1xx ax ax −++=+−， 所以()()22222e 12ln e 1ln e1ln lne e 21x xxxx x x a −− +=+−+===+ ，所以2(1)0a x −=，又R x ∈，所以解得1a =，所以()()2ln e 1xf x x =+−，所以()2212e e 11xxf x ′=+− ，所以()202012e e 0101f ××′=−+= ， 所以曲线()y f x =在0x =处的切线斜率为0. 故选：B.7. 对于非空数集,A B ，定义(){},,AB x y x A y B ×=∈∈，将A B ×称为“A 与B 的笛卡尔积”．记非空数集M 的元素个数为M ，若,A B 是两个非空数集，则4A A B BA B×+××的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据A B ×、M 的定义对.【详解】设,A m B n ==，*,N ∈m n ，则22444A A B B m n m n A B mn n m ×+×+==+×4≥=， 当且仅当4,2m n m n n m==时等号成立， 所以4A A B BA B×+××的最小值是4. 故选：B8. 已知圆22:60M x y y +−=与圆()22:(cos )(sin )102πN x y θθθ−+−=≤≤交于,A B 两点，则ABM （M 为圆M 的圆心）面积的最大值为（ ）A.B.94C.D.92【答案】C【解析】【分析】求出两圆的半径，从而可得2AB ≤，因为AMB ∠为锐角，所以要使ABM 的面积最大，只要sin AMB ∠取得最大值即可，此时2AB =，解出ABM 的面积，即可得解.【详解】由题意得：()22:39M x y +−=，所以圆心()0,3M ，半径3r =，由两圆相交于,A B 两点可知：MA MB =3r ==，所以ABM 面积1sin 2ABMS MA MB AMB =××∠ 133sin 2AMB =×××∠ 9sin 2AMB ∠， 因为N 是半径为1的圆，所以2AB ≤， 当2AB =时，MN =，又MN=，1sin 3θ=，cos θ=|AAAA |可以取最大值2； 所以当2AB =时，AMB ∠最大，且是锐角，根据函数sin y x =的单调性可知：当2AB =时，sin AMB ∠最大，在ABM 中由余弦定理可得：222cos 2MA MB AB AMB MA MB+−∠=×222332233+−=××79=，所以sin AMB ∠=所以92ABM S≤ = 故选：C.【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找|AAAA |的最大值，从而确定面积的的最大值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失，而在水平面上积聚的水层深度，一般以毫米为单位．降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少，它对农业生产、水利工程、城市的排水等有着重要的影响．如图，这是,A B 两地某年上半年每月降雨量的折线统计图．下列结论正确的是（ ）A. 这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大B. 这年上半年A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数大C. 这年上半年A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大D. 这年上半年A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意将A 、B 地月降雨量按升序排列，结合平均数、中位数、极差以及百分位数的定义逐项分析判断.【详解】由题意可知：A 地月降雨量按升序排列可得：25,27,28,38,42,50， B 地月降雨量按升序排列可得：22,25,30,37,40,45， 对于选项A ：可知A 地月平均降雨量为252728384250356x +++++=，B 地月平均降雨量为22253037404519966y+++++=，因为x y >，所以这年上半年A 地月平均降雨量比B 地月平均降雨量大，故A 正确； 对于选项B ：A 地月降雨量的中位数为2838332+=，B 地月降雨量的中位数为303733.52+=， 因为3333.5<，所以A 地月降雨量的中位数比B 地月降雨量的中位数小，故B 错误； 对于选项C ：A 地月降雨量的极差为502525−=，B 地月降雨量的极差为452223−=， 因为2523>，A 地月降雨量的极差比B 地月降雨量的极差大，故C 正确； 对于选项D ：因为680% 4.8×=，可知A 地月降雨量的80%分位数为42，B 地月降雨量的80%分位数为40，且4240>，所以A 地月降雨量的80%分位数比B 地月平均降雨量的80%分位数大，故D 正确； 故选：ACD.10. 已知函数()sin 2cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为2πB. 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0sin x =C. ()f x 在[]0,π上的值域为 −D. 若(],,0,2παβαβ≠∈，且()()2f f αβ==−，则()3cos 5αβ+=【答案】ACD 【解析】【分析】应用辅助角公式化简())f x x ϕ=+且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，结合正弦型函数的性质、诱导公式、倍角余弦公式判断各项正误.【详解】由()sin 2cos )f x x x x ϕ=++且sin ϕϕ=，不妨令π02ϕ<<，由化简后的解析式，易知其最小正周期为2π，A 对； 若直线0x x =是()f x 图象的对称轴，则0ππ2x k ϕ+=+且Z k ∈，即0ππ2x k ϕ=+−，所以0πsin sin(π)cos 2x k ϕϕ=+−=±B 错； 由[]0,πx ∈，则0[,π]x ϕϕϕ+∈+，且π3π0ππ22ϕϕ<<<<+<，所以()min π)2f x ϕϕ+=−，()maxπ2f x ==，故值域为 − ，C 对；由题设，令())2f x x ϕ+=−，则(21)πx k ϕϕ+=++或2πk ϕ−，且Z k ∈， 所以(21)πx k =+或2π2k ϕ−，又(],,0,2παβαβ≠∈，不妨令π,2π2αβϕ==−，则()23cos cos()cos 253π212cos ϕϕϕαβ+==−−=−=，D 对.故选：ACD11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，14,,AB AD AA E F ===分别是棱111,A D BB 的中点，G 是1A B 的中点，直线1C G 与平面ABCD 交于点P ，则（ ） A. 异面直线EF 与CDB. 点C 到平面DEFC. 三棱锥1P AAC −D. 四面体CDEF 外接球的表面积是34π 【答案】ACD 【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出EF 与CD利用夹角的余弦公式计算后可判断A 的正误，利用向量法可求点C 到平面DEF 的距离后可判断B 的正误，求出P 的坐标后可计算三棱锥1P AAC −的体积，从而可判断C 的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D 的正误.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()((4,0,0,0,2,,4,C E F ，故()(4,0,0,4,2,DC EF ==，故cos ,DC EF =故异面直线,DC EF，故A 正确；因为(0,2,ED −−，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z = ，则由00n ED n EF ⋅= ⋅=可得20420y x y −−=+−=，取(1)n − ，而(0,CF = ，故点C 到平面DEF的距离是CF n n ⋅= B 错误；又(1(4,0,2,C G ，设(),,0P a b ，则((114,,,2,,PC a b GC =−−=−因为11,PC GC 共线，所以4224a b−−==−，故8,0b a ==，即()0,8,0P ， 故4AP =，且P 在y轴上，故1114432P AA C V −=××××=，故C 正确； 设四面体CDEF 外接球的球心为(),,O s t w ，则OCOD OF OE ===，即()2222224x y z x y z ++=−++；()()(22222244x y z x y z ++=−+−+−；()(2222222x y z x y z ++=+−+−，整理得到：2818412x y y = +=+=，故22x y z= = =故外接球的表面积为174π34π2×=，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知单位向量,a b满足|3|a b +，则a 与b 的夹角为______________．【答案】3π##60【解析】【分析】将等式|3|a b +两边平方即可.【详解】因为222|3|6913a b a a b b ++⋅+， 所以12a b ⋅= ，所以1cos ,2a b 〈〉= ，[],0π,3a b a b π∈= ，，．故答案为：3π.13. 一场篮球比赛需要3名裁判员（1名主裁判、2名助理裁判），现从9名（5男4女）裁判员中任意选取3人担任某场篮球比赛的裁判，则这3名裁判员中既有男裁判员，又有女裁判员，且男裁判员担任主裁判的概率是______． 【答案】55126【解析】【分析】求解计划是先计算出既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数，再计算从9名裁判员中选3人的总情况数，最后用前者除以后者得到概率.【详解】先计算既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数.因为男裁判员担任主裁判，所以先从5名男裁判员中选1名作为主裁判，有15C 5=种选法.后有两种情况.从4名女裁判员中选2名作为助理裁判，有244!C 62!(42)!==−种选法. 从4名女裁判员中选1名作为助理裁判，和从4名男裁判员中选1名作为助理裁判，有144116C C =种选法.根据乘法原理，既有男裁判员又有女裁判员且男裁判员担任主裁判的情况数为5(616)110×+=种. 再计算从9名裁判员中选3人的总情况数.从9名裁判员中选3人作为裁判，总数为399873C 325232××=×=×种. 所求概率11055252126P ==. 故答案为：55126.14. 已知0x 满足 ()02000e ln 001xx x x +<<，则0003ln 1e x x x +−=_______． 【答案】3 【解析】【分析】原方程可化为01ln 001e ln e x x x x =，结合函数()e ,0x g x x x =>的单调性可得001ln x x =，故可求目标代数式的值.【详解】因为()02000e ln 001x x x x +<<，故001ln 0000111e ln ln e x x x x x x ==，因为001x <<，故011x >，所以01ln 0x >，设()e ,0x g x x x => 则()()1e 0xg x x =+>′，故()g x 在(0,+∞)上为增函数， 故001lnx x =，故001e x x =，且00ln x x =−，故00003ln 13ln e 3x x x x x +−=−=， 故答案为：3.【点睛】思路点睛：对于与指数、对数都出现的代数式，注意利用同构结合新函数的单调性进行转化.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()()321342f x x a x ax =+−−+． （1）当6a =时，求()f x 的极值； （2）讨论()f x 的单调性．【答案】（1）极大值为14，极小值为12（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的极值.（2）先求得ff ′(xx )，对a 进行分类讨论，从而求得()f x 的单调区间.小问1详解】【当6a =时，()()()()322364,3363212f x x x x f x x x x x =+−+=+−=+−′， 所以()f x 在区间()(),2,1,∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间()2,1−上()()0,f x f x ′<单调递减，所以()f x 的极大值是()28612414f −=−+++=， 极小值为()31116422f =+−+=. 【小问2详解】()()321342f x x a x ax =+−−+，()()()233313a f x x a x a x x=+−−=−+′ ，当1,33aa −==−时，()()0,f x f x ′≥单调递增； 当1,33a a −><−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上()()0,f x f x ′>单调递增， 在区间1,3a−上()()0,f x f x ′<单调递减. 当1,33a a −−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上()()0,f x f x ′>单调递增，在区间,13a−上()(0,f x f x ′<单调递减. 综上：当3a =−时，ff (xx )在R 上单调递增； 当3a <−时，()f x 在区间(),1,,3a ∞∞−−+上单调递增，在区间1,3a − 上单调递减.当3a >−时，()f x 在区间(),,1,3a ∞∞−−+ 上单调递增，在区间,13a−上单调递减. 16. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()cos cos cos b c A a B C +=−． （1）证明：2A B =．（2）若ABC 是锐角三角形，求ba的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin()sin()A C A B +=−，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得π6π4B <<，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有12cos b a B=，即可求范围. 【小问1详解】由题设()()sin sin cos sin cos cos B C A A B C +=−， 所以sin cos sin cos sin cos sin cos B A C A A B A C +=−，则sin cos sin cos sin cos sin cos C A A C A B B A +=−，即sin()sin()A C A B +=−， 又πA C B +=−，则sin()sin sin()πB B A B =−−=，且,(0,π)A B ∈， 所以2B A B A B =−⇒=，得证. 【小问2详解】由题设π02π02ππ2A B A B <<<<<+<，即π022π02π3π2B B B<< << << ，得π6π4B <<，由sin sin 1sin sin 22cos b B B a A B B ===，而cos B ∈，故b a ∈. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，其中AB CD ∥，24,AB CD AD ===．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ．（2）若3PD =，求二面角B PA C −−的余弦值． 【答案】（1）证明见详解（2 【解析】【分析】（1）过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，建系标点，利用空间向量可得AC BD ⊥，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥，即可证线面垂直；（2）根据题意分别求平面PAC 、平面PAB 的法向量，利用空间向量求二面角. 【小问1详解】过D 作DE AB ⊥，垂足为M ，则33,3BE AE DE ====，因为AB CD ∥，则DECD ⊥，且PD ⊥平面ABCD ，如图所示，以D 为坐标原点，,,DE DC DP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()3,1,0,3,3,0,0,2,0,0,0,0A B C D −，可得()()3,3,0,3,3,0AC DB =−= ，因为9900AC DB ⋅=−++= ，则AC BD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则AC PD ⊥， 且BD PD D = ，,BD PD ⊂平面PBD ，可得AC ⊥平面PBD ， 又因为AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBD . 【小问2详解】若3PD =，由（1）可知：()0,0,3P ，可得()()()0,4,0,3,1,3,3,3,0AB PA AC ==−−=−，设平面PAC 的法向量为mm ��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)，则11111330330m PA x y z m AC x y ⋅=−−= ⋅=−+=， 令13x =，则113,2y z ==，可得()3,3,2m =， 设平面PAB 的法向量为nn �⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)，则222233040n PA x y z n AB y ⋅=−−= ⋅==， 令21x =，则220,1y z ==，可得()1,0,1n =，则cos,m n m n m n⋅==⋅，由图可知二面角B PA C −−为锐二面角，所以二面角B PA C −−18. 已知()()2,0,2,0A B −，直线,AM BM 交于点M ，且直线,AM BM 的斜率之积为14−，点M 的轨迹记为曲线C ． （1）求C 的方程．（2）不过点()0,1N 的直线l 与C 交于,P Q 两点，且直线PN 与QN 的斜率之和为2，试问直线l 是否过【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±（2）直线l 过定点(1,1)−−，理由见详解. 【解析】【分析】（1）设点(,)M x y ，利用14AM BM k k ⋅=−建立等量关系，求M 的轨迹方程. （2）分直线l 的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出两根之和和两根之积，根据直线PN 与QN 的斜率之和为2得到参数的关系，可得直线恒过定点，当斜率不存在时，求点,P Q 的横坐标，可得直线过定点. 【小问1详解】设(,)M x y ，则(2)2AM y k x x =≠−+，(2)2BMyk x x =≠−，由题意得，1224AM BM y yk k x x ⋅=⋅=-+-，整理得221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为221(2)4x y x +=≠±.【小问2详解】 设1122)(,),(,P x y Q x y ，当l 斜率存在时，设:(1)l y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =++=得，222(41)8440k x kmx m +++−=， ∴222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->，即22410k m −+>，∴2121222844,4141km m x x x x k k −+=−=++， ∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴1212112y y x x −−+=， ∴12211221212(1)(1)(1)()(1)22221kx m x kx m x m x x m kmk k x x x x m +-++--+-⋅=+=-=-，∴210m km k -+-=，整理得(1)(1)0m m k -+-=， ∵1m ≠， ∴1m k =−，∴直线l 方程为1(1)1y kx k k x +−+−，恒过定点(1,1)−−. 当直线l 斜率不存在时，1212,x x y y ==−，∵直线PN 与QN 的斜率之和为2，∴121112111111122y y y y x x x x x ------+=+==，∴11x =−，此时直线:1l x =−，恒过定点(1,1)−−. 综上得，直线l 过定点(1,1)−−.19. 某项测试共有n 道多项选择题，每道题的评分标准如下：全部选对得5分；部分选对得2分；有选错或不答得0分．记n 道题的总得分为,X X 的取值个数为n a ． （1）求123,,a a a 的值；（2）当5n =时，若某人参加这项测试，每道题得5分、2分、0分的概率相等，且每道题答对与否相互独立，求10X =的概率； （3）求数列11n n a a +的前n 项和n S ． 【答案】（1）1233,6,9a a a === （2）11243（3）9(1)n nS n =+.【解析】【分析】（1）通过列举分析的方式确定123,,a a a 的值. （2）确定10X =时分两种情况，分别计算相加即可.（3）分情况讨论每种情况下总得分的取值个数，相加计算n a ，表示11n n a a +，用裂项相消法计算前n 项和.【小问1详解】当1n =时，总得分取值为5,2,0，13a =，的当2n =时，情况如下：①两题都得5分；两题都得2分；两题都得0分；②一题得5分，一题得2分； ③一题得5分，一题得0分；④一题得2分，一题得0分.233(21)6a =+⨯-=.当3n =时，情况如下：①三题都得5分；三题都得2分；三题都得0分； ②一题得5分，两题得2分；两题得5分，一题得2分； ③一题得5分，两题得0分；两题得5分，一题得0分；. ④一题得2分，两题得0分；两题得5分，一题得0分； ⑤一题得5分，一题得2分，一题得0分，总得分与②重复，333(31)9a =+⨯-=. 综上得，1233,6,9a a a === 【小问2详解】由题意得，每道题得5分、2分、0分的概率均为13. 当两题得5分，三题得0分时，10X =，概率为23251110C 33243 ××=， 当5个题得分均为2分时，10X =，概率为5113243=， ∴10X =的概率为10111243243243+=. 【小问3详解】当题目个数为(3)n n ≥时，①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分取值个数为3，②当每个题目得分为5分和2分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ③当每个题目得分为5分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ④当每个题目得分为2分和0分的一种时，总得分的取值个数为11C 1n n −=−， ⑤当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，总得分情况与②重复， ∴33(1)3(3)n a n n n =+-=≥，经检验得123,,a a a 均满足上式，.的∴3n a n =， ∴13(1)n a n +=+， ∴111111()9(1)91n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()(1)92231919(1)n n S n n n n =−+−++−=−= +++ . 【点睛】思路点睛：本题属于计数原理综合题目，具体思路如下： ①全部得5分，全部得2分，全部得0分，总得分的取值个数为3.②当题目个数为n 个，每个题目得分为5分和2分的一种时，要计算总得分的取值个数，相当于有n 个位置，在1n −个空中选择一个空放入挡板，个数为11n C −，其他情况可类比分析计算.③当每个题目得分包含了5分、2分和0分时，在②中能找到相同的总得分情况，需要排除.。

内蒙古巴彦淖尔第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425-B ．725-C ．1625D ．853．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线xy e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）A ．NM N-B ．MM N-C ．M NN- D ．M N4．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．5．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤<C ．{}|23x x <≤D ．{}|02x x <≤7．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．28．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．1009．某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种10．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12B 5C 5D ．511．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ） A ．1a = B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。

江苏省东台市2025届高三下学期联合考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}32．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π3．直线l 过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则4||||AF BF +的最小值是 A ．10B ．9C ．8D ．74．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A．18种B ．36种C ．54种D ．72种5．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞6．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,87．等比数列{}n a 的各项均为正数，且384718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．已知||23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）. A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形10．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．3212．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+，则λμ+= （ ） A ．13-B ．13C ．12-D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

QOF 2F 1P yx江苏高考数学预测卷25一、填空题: 本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1．已知集合{}|M y R y x =∈=，{}22|2N y R x y =∈+=，则M N =2．复数Z ＝12i i-的虚部是 ；3．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：①若a ⊂α，b β⊂，且a ∥b ，则α∥β；②若a ⊂α，b β⊂，且a ⊥b ，则α⊥β； ③若a ∥α，b α⊂，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； 其中正确命题的序号为4．曲线xy e =（其中 71828.2=e ）在1x =处的切线方程为5．若不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线y kx =分为面积相等的两部分，则k 的值为 6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况， 抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方 图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为_____________．7．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .8．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ．9．已知数列}{n a ，其前n 项和121110982,1a a a a a n n S n ++++++=则= 。

10．可以证明：“正三角形内任意一点到三边的距离之和是一个定值”，我们将空间与平面进行类比，可得结论： 11．已知非零向量a 、b 满足a b b +=，① 若a 、b 共线，则a ＝－2b ；②若a 、b 不共线，则以2a a b b +、、2 为边长的三角形为直角三角形； ③22b a b >+； ④22b a b <+。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）A. \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \)B. \( f(x) = \frac{1}{x} \)C. \( f(x) = \ln(x + 1) \)D. \( f(x) = |x| \)2. 函数\( f(x) = 2^x \)的图像是（）A. 图像过点（0，1）B. 图像过点（1，0）C. 图像过点（2，4）D. 图像过点（3，8）3. 若\( a > 0 \)，\( b < 0 \)，则\( a + b \)的符号是（）A. 正B. 负C. 不确定D. 无法确定4. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 函数\( y = x^3 - 3x \)的极值点是（）A. 0B. 1C. -1D. 36. 在三角形ABC中，若\( \angle A = 60^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则\( \angle C \)的度数是（）A. 75^\circB. 90^\circC. 105^\circD. 120^\circ7. 下列不等式中，正确的是（）A. \( 2x > 3x \)B. \( -2x > 3x \)C. \( 2x < 3x \)D. \( -2x < 3x \)8. 若\( \sin x = \frac{1}{2} \)，则\( x \)的取值范围是（）A. \( x = 30^\circ \)B. \( x = 60^\circ \)C. \( x = 90^\circ \)D. \( x = 120^\circ \)9. 函数\( y = \log_2(x - 1) \)的图像是（）A. 图像过点（1，0）B. 图像过点（2，1）C. 图像过点（3，2）D. 图像过点（4，3）10. 若\( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，则\( \tan x \)的取值范围是（）A. \( (-\infty, \infty) \)B. \( (-1, 1) \)C. \( (0, 1) \)D. \( (-1, 0) \)二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 若\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \)，则\( xy \)的最小值是______。

广东省普通高中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2cos (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(0,2]2．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度3．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ） A ．6898B ．6896C ．5268D ．52664．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ）A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则12n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．若复数21z m mi =-+（m R ∈）在复平面内的对应点在直线y x =-上，则z 等于( ) A ．1+i B ．1i -C ．1133i -- D ．1133i -+7．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．8．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．169．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A ．312+ B ．512+ C ．32D ．51+10．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．1211．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1012．已知复数21z i =+　，其中i 为虚数单位，则z =（ ） ABC ．2D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

卜人入州八九几市潮王学校新会华侨2021届高三数学下学期测试试题理〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(){}2|{()|},1,A x y xy B x y y x ====，，那么A B =〔〕A.{}0,1B.(){}1,1C.()(){}0,0,1,1D.∅【答案】B 【解析】 【分析】先分析出集合分别表示曲线1xy =、2y x =上的点组成的集合，直接求曲线1xy =和2y x =的交点即可. 【详解】集合(){}|,1A x y xy ==表示曲线1xy =上的点组成的集合.集合2{()|}Bx y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.由21xy y x =⎧⎨=⎩解得：1,1x y ==.所以A B =(){}1,1.应选：B【点睛】此题考察集合的描绘法，集合的交集运算，属于根底题.1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的〔〕 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先将复数()11ai i +化简，得到a i -，再判断. 【详解】()11,ai ia i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -.当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a >所以实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 应选：A【点睛】此题考复数的几何性质和充分条件、必要条件的判断，属于根底题.{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，那么7a =〔〕A.8B.8-C.6D.6-【答案】A 【解析】 【分析】 由条件131533a a a a +=-=-,，结合等比数列的通项公式可得212,1,q a ==由通项公式可求答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,133a a +=，即()2113a q +=①153a a -=-，即()4113a q -=-②由÷②①得:211q -=-,即212,1q a ==.那么1n n n a a q q ==所以()36278a q q ===应选：A【点睛】此题考察求等比数列的通项公式和求数列中的项，属于根底题.110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC AEFD 中取一点，那么取自矩形ABCD 的概率为〔〕B.3352【答案】A 【解析】 【分析】 设1EF=,根据题意可求出,CF AE 的长，再矩形AEFD ,ABCD 的面积即可得到答案.【详解】设1EF=，那么由条件有12CF EF =.那么12CF =，所以12AE = 故1AB =.所以矩形AEFD的面积为11122S AE EF =⨯=⨯=矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =⨯=⨯取自矩形ABCD的概率为P ==应选:A【点睛】此题考察几何概率问题，属于根底题.()()()1,00,12,1a b c ===,,，那么()λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=〔〕A.3-B.2C.2-D.3【答案】B 【解析】【分析】 先求出()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c 有()0a b c λ-⋅=，根据向量的数量积的坐标公式可求得结果.【详解】由向量()()()1,00,12,1a b c ===,, 那么()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c .那么()0a b c λ-⋅=，即()()1,2,10λ-⋅=.所以()1210λ⨯+-⨯=，故2λ=，应选：B【点睛】此题考察根据向量的垂直关系求参数，属于根底题. 6.在以下四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为〔〕A.①②B.①④C.③②D.③④【答案】D 【解析】 【分析】 由()f x 和()g x 的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案.【详解】函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择.又3322f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，排除①，应选③；函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择.又()11,g=-排除,②应选④，应选:D【点睛】此题考察函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于根底题.,x y 满足约束条件2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩，那么〔〕A.z x y =+有最小值B.z x y =+无最大值C.2zx y =+有最小值 D.2zx y =+无最大值【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件作出可行域，在对选项进展验证，可得答案.【详解】由2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩知，可行域在两相交直线的下方.z x y =+与边界限20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点.所以2zx y =+无最大值，也无最小值.应选:D【点睛】此题考察简单的线性规划问题，属于根底题. 8.执行如下列图的程序框图，假设输入的10241n S ==，，那么输出的n 的结果是〔〕A.2B.3C.4D.5【答案】B 【解析】 【分析】由框图可知程序是求数列(){}log 1nn -求积的运算，根据运算可求出输出的n 值.【详解】设输出的值是n m .由框图可知程序是对数列(){}log 1nn -求积.所以()()10241023111023102210.11024m lg m Slog log log m lg -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=≤化简得()1024log 10.1m -≤，即()21log 10.110m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，完毕，输出3n = 应选:B【点睛】此题考察程序框图中的循环构造，属于中档题.()2222:10,0x y C a b a b-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 假设三角形12AF F 的面积为2.那么12AF AF ⋅=〔〕A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的离心率为2可得ab =，从而有2AF =，渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒，在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA ==利用等面积的方法求出2c =，进一步求出1AF 与2AF 的长，得到答案.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 由2222212c b e a a==-=，可得a b =. 所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线为y x =±，即245F OA ∠=︒. 由条件设2AF 垂直于渐近线y x =2AF =.过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H .又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA == 所以221122OA AF OF AH⨯⨯=⨯⨯,222OA AF cAH OF ⋅==故12AF F △面积为112222c c ⋅⋅=， 所以2c =，那么2AF ==1AH OH ==,1AF ==应选:C【点睛】此题考察双曲线的离心率和渐近线的性质，以及三角形的面积的应用，属于中档题.10.我国古代认为构成宇宙万物的根本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行〞，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，假设取出的两行为“生"的次数记为X，那么()EX 与()D X 的值分别为〔〕 A.91,10B.213,10C.55,2D.217,10【答案】C 【解析】 【分析】从五行中随机任取两行为“生〞的概率为12，那么重复取10次，所以随机变量X服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.【详解】设从五行中随机任取两行为“生〞的事件为,A那么()25512P A C == 依题意，随机变量X服从二项分布，有()~10,0.5X B ，故()()5 2.5,EX D X ==,应选:C【点睛】此题考察古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.11.如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体所有的外表中面积最大的值是〔〕 A.8 B.12C.18D.22【答案】C 【解析】 【分析】由三视图，在正方体中将该几何体复原，然后再计算出面积最大的面. 【详解】由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点. 侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：424122S +=⨯=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，那么,H G 分别为1,A D FE 的中点.侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥所以1AD ⊥平面11A B CD ，那么1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG取1A H的中点P ,那么1//PB HG ,所以1GH B P ===其面积为1(18.2⨯⨯= 该几何体所有的外表中最大的值是18. 应选:C【点睛】此题考察三视图以及几何体中面积最大的面，属于中档题.()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩；函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，那么正确结论的编号是〔〕 A.①③ B.②③C.②④D.③④【答案】D 【解析】 【分析】由条件()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =,可得函数()f x 的图像特点,再结合()g x【详解】()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像.将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12，得到3,22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的图像， 依此类推可得()f x 的图像，如图.所以()f x 不是周期函数，所以①错误.由(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩，作出其函数图像，如图.由图显然()gx 在R 上不是单调递增函数，所以②错误.当x 大于0，且0x →时，logx π→-∞.所以当x 大于0，且0x →时()()() h x f x g x =-→+∞.所以()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-无最大值,故③正确.函数()()() ,(),hx f x g x x ππ=-∈-的零点个数,即函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上交点的个数.作出函数()y f x =与()y g x =的图像,如同由图像可知,函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确.应选:D【点睛】此题考察函数的图像变换,函数零点以及利用函数图像分析函数性质,属于难题. 二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕X满足2~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，那么()20202035P X <<=_________.【解析】 【分析】 随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，()20050.2P X <=，那么()200520200.3P X <<=，根据正态曲线的对称性可得答案.【详解】随机变量X满足2~202()0,X N σ，那么可知对于的正态分布曲线的对称轴为2021，又()20050.2PX <=，那么()200520200.3P X <<=.20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<=所以()202020350.3PX <<=.【点睛】此题考察由正态分布曲线的对称性求概率问题，属于根底题.()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中x 的系数为8，那么展开式中的常数项是__________(用数字答题)【答案】13 【解析】 【分析】由411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rr r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数，从而得到答案.【详解】由()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rrr T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭由于411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开式中不含x 的项，∴()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项为1421axC x⋅ 所以()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数为14a C ⋅由x 的系数为148a C ⋅=，可得2a =.故展开式中的常数项是241213C +=.故答案为：13【点睛】此题考察二项式展开式中根据特定项的系数求参数，属于中档题.{}n a 满足()21n n n S a a =+，那么100S =__________.【答案】5050 【解析】 【分析】根据n a 与n S 的递推关系1111nn n an a S S n -=⎧=⎨->⎩，消去n S 得到n a 的递推关系，从而求出n a ，再求答案.【详解】由己知得: 1a =， 又()21n nn S a a =+①得()()111212n n n S a a n ---=+≥②-①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，整理得:()()1110n n n n a a a a --+--=因为{}n a 是正项数列，所以-11n n a a -=，故()11na n n =+-=所以100110010050502S +=⨯=. 故答案为：5050【点睛】此题考察由含n a 与n S 的递推关系求通项公式，属于中档题.16.如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，那么此时的四棱锥的外接球半径为________.【答案】10【解析】 【分析】 连接OF 交AB 于I ，那么OI x =，5FI x =-，那么正四棱锥的高为h =，表示出其体积，求出体积最大时正四棱锥的各个棱长，然后再求外接球的半径.【详解】连接OF 交AB 于I ，如图，那么OI x =，5FI x =-.那么正四棱锥的高为h=依题意，此时的四棱锥体积为:令()()4552,0,2gx x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 那么()()343'2010102,g x x x x x =-=-可知当2x=时，此时()()E FGH ABCDmaxV -这时，棱锥的高为OE ==，又OB=BE ==设此时的四棱锥的外接球半径为R ，球心为O '.那么由Rt BOO '△中,OO R '=,OB =BO R '=.那么222O B OB OO ''=+,即)(222R R=+,解得10R =【点睛】此题考察空间线线、线面以及面面的位置关系，考察锥体的体积和锥体的外接球问题，属于中档题. 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 464,b asinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭.〔1〕求A ；〔2〕假设3,aAD DC AE EB ===,求DE 的长. 【答案】〔1〕3π；〔2〕2 【解析】【分析】(1)由464,basinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭结合正弦定理可得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭，进一步得到sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理可得tanA =.(2)由正弦定理得:2b sinBsinA a ==,由条件可得3B π=,结合条件由余弦定理可得答案.【详解】〔1〕依题意，6A asinBbcos π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭由正弦定理得6sinAsinBsinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭0B π<<.0sinB ∴≠故sincos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即122sinA cosA sinA =-即3,2sinA =即tanA =〔2〕由正弦定理a b sinA sinB =得:b sinB sinA a ==ABC 是锐角三角形，故3B π=，所以90CAB ==,3AE EB =，故AE = AD DC =,故2AD =.在ADE 中，由余弦定理可得:24122242DE =+-⨯⨯=， 故2DE =【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题. 18.如图，矩形ABCD 所在的平面与正三角形CDE 所在的平面互相垂直，F 为CE 的中点，连接AE BE 、.〔1〕证明:平面AFD ⊥平面CBE ； 〔2〕假设直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2 【解析】 【分析】〔1〕连接，可得ECDF ⊥，由条件可证AD EC ⊥，可得EC ⊥平面ADF ，从而可证.〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系,直线AF与平面CDE所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =，运用向量的方法求解.【详解】〔1〕证明:连接.DF三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点， 平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面,CDECD =,AD CD AD ⊥⊂平面CDEAD ∴⊥平面CDEEC ⊂平面CDE .AD DF D ⋂=，AD ⊂平面,ADF FD ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADFEC ∴⊂平面CBE∴平面AFD ⊥平面CBE〔2〕取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，如图.直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =.设2CD =， 那么5AD DF ==，)E ，()0,1,0C，(()0,0,1,0A D --，故()3,1,0CE =-，(0,CA =-设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，那么00m CE m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(,,3,1,00,,0,2,0x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩即2y y ==⎪⎩ 令1x =，那么2y z ==，故1,3.()2m =.平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =，设所求二面角E AC D --的大小为θ， 那么,m n θ=由()1,0,024m n cos m nθ⋅⋅===⋅，故二面角E AC D --的余弦值为:【点睛】此题考察面面垂直的证明和求二面角的大小，属于中档题.100名旅客进展调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占34.〔1〕请完成的22⨯列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关〞 〔2〕为优化效劳质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到参加座谈会，会后再进展抽奖活动，奖品一共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客假设中奖每人得800元，40岁以上的旅客假设中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X元，求X的分布列与数学期望()EX .参考公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.n a b c d =+++参考数据如表【答案】〔1〕表格见解析，有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞；〔2〕分布列见解析，()2640EX =【解析】 【分析】〔1〕根据条件及22⨯列联表中数据，完善22⨯列联表，再计算出()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，得到结论. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人，从“40岁以上〞的人中抽取2人，X 的可能取值为:240026002800，，,求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望. 【详解】〔1〕由可得，40岁〔含〕以下采用乘坐京广高铁出行的有360454⨯=人 22⨯列联表如表:由列联表中的数据计算可得2K 的观测值由于24.2410.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关〞. 〔2〕采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下〞的人中抽取3人， 从“40岁以上〞的人中抽取2人，由30M N =⎧⎨=⎩或者21M N =⎧⎨=⎩或者12M N =⎧⎨=⎩X的可能取值为:240026002800，，故分布列如表:数学期望()2400260028002640101010EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察HY 性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 、右顶点为,A 过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆相交于B C 、两点，所得四边形1ABF C 为菱形，且其面积为323. 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于D E 、两点，试求三角形2DEF 面积的最大值.【答案】〔1〕22198x y ；〔2〕163【解析】 【分析】(1)由椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，可得B 的纵坐标为2B b y a=，四边形1ABF C 的面积为()2132223b ac a +⨯⋅=，结合,,a b c 的关系求解出,a b ，即可得到得答案.(2)设()()1122,,,D x y E x y ，设直线l 的方程为:1,x ky =-由直线方程与椭圆方程联立，得到12,y y +12y y 的表达式，求出三角形2DEF 面积的表达式，再求其最大值.【详解】〔1〕如图，因椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，即2c a c =-，即3a c =①令x c =，得点B 的纵坐标为2B by a=由四边形1ABF C 的面积为323故()2132223b ac a +⨯⋅= 即28b =②又222c a b =-③联立①②③得:2298a b ⎧=⎨=⎩故椭圆方程为22198x y〔2〕由()1知:()1121,02,F F F -=，设直线l 的方程为:1,x ky =- 假设()()1122,,,Dx y E x y .由221981,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得:()229118ky y -+=即()228916640ky ky +--=由()()()2216489640k k =--+->得:210k +>，故k ∈R .(1,)t t =≥那么()2224848481818198DEF t t St t t t===+-++设()()181f t t t t =+≥由()21'80f t t =->可知:()()181f t t t t =+≥单调递增，故()2max163DEF S = 【点睛】此题考察求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考察三角形的面积的最值，属于中档题. 21.()sin 1( ()x f x sinx e x e ππ=+--<<函数为自然对数的底数).〔1〕求()f x 的单调递增区间与最小值；〔2〕设()12gx sinx x =-，证明:在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【答案】〔1〕,02π⎛⎫-⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2f x e =-最小值；〔2〕见解析【解析】【分析】(1)由()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=-，令()0,f x '=得出解，再用表格得出()f x '与()f x 变化关系,得到单调性，从而得到最小值.(2)要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，设()sinx 112g x x e =+-，求出()g x '，得到()g x 的单调性，从而证明结论.【详解】〔1〕()()sin sin 'cos cos 1x x f x cosx e x x e =-⋅=- 令()0,f x '=那么()sin 10x cosx e -=即0,cosx=或者sin 10x e -= 当(),x ππ∈-时，2x π=-或者0x =，或者2x π= ()()f x f x '、随(),x ππ∈-变化如下:所以，()f x 的单调递增区间为,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12f x e f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，或者()22f x e f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值 因为12e e ->- 故()2,f x e =-最小值〔2〕要证()()f x g x ≤即证sin 112x sinx e sinx x +-≤-，即证sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. [方法一]令()sinx 112g x x e =+-，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()sinx 112g x x e =+-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 即sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤ [方法二]只需证sinx 112e x ≥+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立 因1t e t ≥+为恒成立，即sin 1 xe sin x ≥+恒成立， 故需证1112sinx x +≥+上成立， 即证 20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 令()2,h x sinx x =-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()h x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 即20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立， 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 【点睛】此题考察利用导数求函数的单调区间和最小值以及利用导数证明不等式，属于中档题.22.*,n N ∈在直角坐标系xOy 中，曲线n C 的参数方程为2x nt y nt⎧=⎨=⎩(t 为参数)，直线n l 的普通方程为40309x y n+-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 〔1〕当1n =时，求曲线1C 的极坐标方程； 〔2〕设射线000(,)':0903l tan θθθθ=<<=与,n n C l 分别交于n n A B 、两点，设(),n n n ON f OB =+求()f n 的最小值.【答案】〔1〕2sin cos ρθθ=；〔2〕9【解析】【分析】(1)先求出曲线n C 的普通方程为2y nx =，再化为极坐标方程2sin cos n ρθθ=，将1n =代入即可.(2)将射线'l 与,n n C l 的极坐标方程分别联立，得到n OB =，n OA =，那么()4f n n n ⎫=+⎪⎝⎭，再求其最值. 【详解】〔1〕曲线n C 的普通方程为2y nx = 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()2sin sin n ρθρθ=，即2sin cos n ρθθ= 1n =时，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ= 〔2〕由题意可得：000tan 3sin θθθ=⇒==直线n l 的极坐标方程为40sin 3sin 9n ρθρθ+=， 可得()409cos 3sin n ρθθ=+故4099310n OB n n ==+⎪⎭同理，2cos sin n n OA θθ===故()4f n n n ⎫=+≥⎪⎝⎭当且仅当2n =时，()f n的最小值为9【点睛】此题考察参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标下极径的几何意义的运用，属于中档题.。

2021年高三下学期普通高考测试（二）数学理试题含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，集合，则（）．A．B．C．D．2．已知是复数，是虚数单位，若，则=（）．A．B．C．D．3．随机变量服从正态分布，若，则的值为（）．A．B．C．3 D．44．一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（）．A．B．C．D．5．在右图所示的程序框图中，输出的和的值分别为（）．A．3,21 B．3,22 C．4,21 D．4,226．设是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则=（）．A．3 B．2 C．1 D．07．若平面向量与的夹角是，且，则的坐标为（）．A．B．C．D．8．对于任意正整数，定义“”如下：当是偶数时，；当是偶数时，；且有．则如下四个命题：①；②；③的个位数是；④的个位数是．其中正确的命题有（）．A．个B．个C．个D．个二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9．曲线在点（0,0）处的切线方程是________________．10．双曲线的离心率是．11．_______________．12．某所学校计划招聘男教师名，女教师名，和须满足约束条件，则该校招聘的教师最多是名．13．已知全集，在中任取四个元素组成的集合记为，余下的四个元素组成的集合记为，，则集合的取法共有____________种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角是．15．（几何证明选讲选做题）如图，在梯形中，，，，点．分别在．上，且，若，则的长是．三．解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设函数（1）求函数在区间上的值域（2）记内角的对应边分别为，若，且，求的值．17．（本小题满分12分）某中学一名数学教师对全班50名学生某次考试成绩分男生女生进行了统计（满分150分），得到右面频率分布表：其中120分（含120分）以上为优秀．（1）根据以上频率表的数据，完成下面的22列联表；（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取3人，已知取到的第一个人是男生，求取到的另外2人中至少一名女生的概率．18．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，0⊥，⊥，==平面DCDCPD．AD=，且//ADAB1BCD452CDABCD=AB,,∠（1）若点M是PD的中点，证明：;（2）若得面积为，求二面角的余弦值．19．（本小题满分14分）数列的前项和记为，对任意正整数，均有，且．求及数列的通项公式；令，求数列的前n项和．20．（本小题满分14分）已知曲线E上的任一点到点和点的距离之和为4．（1）求曲线E的方程；（2）已知点，设直线与曲线E交于B．D两点（B在第一象限），求四边形ABCD面积的最大值．21．（本小题满分14分）已知函数为实数，．（1）若，且函数的值域为，求；（2）设，，且函数为偶函数．证明：；（3）设的导函数是当时，证明：对任意实数，．24900 6144 慄21944 55B8 喸34192 8590 薐37318 91C6 釆23645 5C5D 屝40612 9EA4 麤a22390 5776 坶|lvk/22752 58E0 壠。

福建高三高中数学高考真卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若（是虚数单位），则的值分别等于（）A．B．C．D．2.若集合，，则等于（）A． B． C． D3.下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（）A．2B．7C．8D．1285.若直线过点，则的最小值等于（）A．2B．3C．4D．56.若，且为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．7.设，，．若，则实数的值等于（）A．B．C．D．8.如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．9.变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A．B．C．D．10.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11.“对任意，”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题1.若中，，，，则_______．2.若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．3.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．三、解答题1.（本小题满分12分）等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．2.（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．（Ⅰ）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．3.（本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．4.（本题满分12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．5.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．（ⅰ）求函数的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．6.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．福建高三高中数学高考真卷答案及解析一、选择题1.若（是虚数单位），则的值分别等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，所以，选A．【考点】复数的概念．2.若集合，，则等于（）A． B． C． D【答案】D【解析】由交集定义得，故选D．【考点】集合的运算．3.下列函数为奇函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数和是非奇非偶函数；是偶函数；是奇函数，故选D．【考点】函数的奇偶性．4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入的值为1，则输出的值为（）A．2B．7C．8D．128【答案】C【解析】由题意得，该程序表示分段函数，则，故选C．【考点】程序框图．5.若直线过点，则的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号．【考点】基本不等式．6.若，且为第四象限角，则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D．【考点】同角三角函数基本关系式．7.设，，．若，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，因为，则，因此，解得，故选A．【考点】平面向量数量积．8.如图，矩形中，点在轴上，点的坐标为．且点与点在函数的图像上．若在矩形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，，．则矩形面积为，阴影部分面积为，故该点取自阴影部分的概率等于．【考点】几何概型．9.变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时，不满足题意；当时，画出可行域，如图所示，其中．显然不是最优解，故只能是最优解，代入目标函数得，解得，故选C．【考点】线性规划．10.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，，，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．【考点】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．11.“对任意，”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则．综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件，选B．【考点】导数的应用．二、填空题1.若中，，，，则_______．【答案】【解析】由题意得．由正弦定理得，则，所以．【考点】正弦定理．2.若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．【答案】【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．【考点】函数的图象与性质．3.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以．【考点】等差中项和等比中项．三、解答题1.（本小题满分12分）等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．2.（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数（Ⅰ）现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】解法一：（Ⅰ）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共个．其中，至少有家融合指数在内的基本事件是：，，，，，，，，，共个．所以所求的概率．（Ⅱ）这家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于．解法二：（Ⅰ）融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为，．从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是：，，，，，，，，，，共个．其中，没有家融合指数在内的基本事件是：，共个．所以所求的概率．（Ⅱ）同解法一．【考点】1、古典概型；2、平均值．3.（本小题满分12分）已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得．因为，即，解得，所以抛物线的方程为．（Ⅱ）因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，所以，，所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．因为点在抛物线上，所以，由抛物线的对称性，不妨设．由，可得直线的方程为．由，得，解得或，从而．又，故直线的方程为，从而．又直线的方程为，所以点到直线的距离．这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．【考点】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．4.（本题满分12分）如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】解法一：（Ⅰ）在中，因为，为的中点，所以．又垂直于圆所在的平面，所以．因为，所以平面．（Ⅱ）因为点在圆上，所以当时，到的距离最大，且最大值为．又，所以面积的最大值为．又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．（Ⅲ）在中，，，所以．同理，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．又因为，，所以垂直平分，即为中点．从而，亦即的最小值为．解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）在中，，，所以，．同理．所以，所以．在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．当，，共线时，取得最小值．所以在中，由余弦定理得：．从而．所以的最小值为．【考点】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．5.（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．（ⅰ）求函数的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为．所以函数的最小正周期．（Ⅱ）（Ⅰ）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象．又已知函数的最大值为，所以，解得．所以．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即．由知，存在，使得．由正弦函数的性质可知，当时，均有．因为的周期为，所以当（）时，均有．因为对任意的整数，，所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．【考点】1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．6.（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ），．由得解得．故的单调递增区间是．（Ⅱ）令，．则有．当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增．从而当时，，即，综上，的取值范围是．【考点】导数的综合应用．。

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福建省泉州一中2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交2．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．33．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（ ）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,24．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．35．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-6．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．20177．在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论： ①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为212； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①④D ．①②④8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像9．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =± B ．2y x =± C ．y x =± D ．2y x =±10．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心11．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A 2B ．14C ．1162D ．14或4 12．已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上投影为2-，则3a b -的最小值为( ) A ．12B ．10C 10D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年2月赤峰市高三数学下学期考试卷（试卷满分150分；考试时间120分钟）2024.02一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2104A x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭，1B ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,1D ．[]0,12．复数()32i2ia z a -=∈R 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在某知识竞赛中，共设有10道题目，每题1分，经统计，10位选手的得分情况如下表：得分()X 678910人数12421则这10位选手得分的方差为（）A ．12B ．8C ．0.8D ．1.24．实数,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数23z x y =-的最小值为（）A ．83-B ．83C ．43-D ．435．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为2，则双曲线的左焦点F 到一条渐近线的距离为（）AB．C ．1D ．26，下底面半径为则该圆台的体积为（）A ．B ．56πC ．3D ．56π37．已知实数,m n 满足10m n >>>，设ln ln ln ,,n m n a m b n c n ===，则（）A ．a b c=>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．c a b>=8．若()2024*381011a a -⨯+∈N 能被64整除，则正整数a 的最小值为（）A ．53B ．54C ．55D ．569．将函数()2sin2f x x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 在π6x =处取得极大值，则m 的最小值为（）A ．π12B ．π6C ．11π12D ．5π610．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m n ≠，当212m n a a m +=时，有212n ma a n+=，则m n S +=（）A ．2()m n +B ．2()m n -+C ．22m n -D ．22n m -11．在ABC 中，D 为边BC 上一点，2π,4,23DAC AD AB BD ∠===，且ADC △的面积为sin ABD ∠=（）A ．8B ．8+C ．4D ．4+12．已知定义在R 上的函数()22f x +为奇函数，且对x ∀∈R ，都有1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，定义在R 上的函数()f x '为()f x 的导函数，则以下结论一定正确的是（）A ．()2f x +为偶函数B ．7122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭'D ．()f x '为偶函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知单位向量,a b满足22a b a b +=- ，则34a b + =.14．执行如图所示的程序框图，如果输入的m 值为2，则输出的n 的值为．15．已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若sin sin2cos cos P αβαβ=+，则P 的最大值为．16．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于点P （异于坐标原点)O ，与x 轴交于点Q ，若2,1PF FQ ==，则向量FP 与PQ的夹角为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17--21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．已知数列{}n a 中，1112,2n n n a a a ++==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b na =，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．18．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11122AB AC A B AA ====，11π3A AB A AC ∠=∠=，π2BAC ∠=．(1)证明：111A A B C ⊥；(2)求直线1BB 与平面11A ACC 所成角的正弦值．19．某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖.(1)随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；(2)假设每张彩票售价为()*a a ∈N 元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a 的最小值．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，离心率为1,2A 为椭圆上一点，O 为坐标原点，直线OA 与椭圆交于另一点B ，直线AF 与椭圆交于另一点D （与点B 不重合），ABF △(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P 为直线4x =上一点，记,,PA PF PD 的斜率分别为123,,k k k ，若12324k k k ++=，求点P 的坐标．21．已知函数()1e x f x ax =+，()e xxg x =．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若直线1y =与曲线()y f x =相切，试判断函数()y f x =与()y g x =的图象的交点个数，并说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22,2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若P 为曲线C 上到直线l 的距离最小的点，求点P 在平面直角坐标系中的坐标．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数()2212f x x x a =--+．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)对x ∀∈R ，若不等式()24f x a ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．1．B【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再解出集合B ，最后根据交集的定义计算可得.【详解】由2104x -≤，即11022x x ⎛⎫⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得1122x -≤≤，所以21110422A x x x x ⎧⎫⎧⎫=-≤=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，1≥，可得01<，解得01x <≤，所以{}1|01B x x ⎧⎫=≥=<≤⎨⎬⎩⎭，所以10,2A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦.故选：B 2．C【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为()1232i i 32i 32i 2i 2i 2a a a z ---===--，又120a ->，所以复数z 在复平面内对应的点为132,2a -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：C 3．D【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意()1672849210810X =+⨯+⨯+⨯+=，所以方差()()()()()222222168278488298108 1.210S ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+-=⎣⎦.故选：D 4．A【分析】作出平面区域，用线性规划求解.【详解】可行域表示的平面区域如图所示，设23z x y =-，则233zy x =-，当直线233z y x =-过点24,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值83-，故选：A.5．A【分析】根据条件列方程组求出,,a b c ，然后利用点到直线的距离求解即可.【详解】由已知得22222a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，解得1a b c =⎧⎪⎨⎪=⎩则双曲线的左焦点()F，一条渐近线y =，故双曲线的左焦点F=.故选：A.6．D【分析】由题意可知圆台的轴截面为等腰梯形，计算出梯形的高，结合圆台的体积公式求解即可.4，则该圆台的体积为(22156π4π33⎡⨯⨯+=⎢⎣.故选：D.7．D【分析】根据x y n =的单调性判断,b c 大小，再比较ln ,ln a b 大小得解.【详解】因为10m n >>>，所以ln ln m n >，又x y n =为减函数，所以ln ln m n n n <，即b c <，又ln ln ln ,ln ln ln a m n b m n =⋅=⋅，故a b =，所以c a b >=，故选：D.8．C【分析】根据二项式定理可得01012111202401121010101021012101201210123C 8C 8C 8C 1898101a a =⨯+⨯+⨯-++⨯⨯+++ ，依题意只需9a +能被64整除，即可求出a 的最小值.【详解】因为()1012102401223810119810118181011a a a -⨯+=-⨯+=+-⨯+，其中()1012010********10101010210111012101210121012101210121012C 8C 8C 88C 8C 8C 1=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯++ ，所以010*********01121010101021012101201210123C 8C 8C 8C 1898101a a =⨯+⨯+⨯-++⨯⨯+++ ，因为()2024*381011a a -⨯+∈N 能被64整除，则只需9a +能被64整除，所以a 的最小值为55.故选：C 9．C【分析】先化简，然后平移得到()g x ，再根据()g x 在π6x =处取得极大值列式计算即可.【详解】())2πsin2sin2cos 22sin 23f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭其向左平移(0)m m >个单位长度得()π2sin 223g x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭又若()g x 在π6x =处取得极大值，则ππsin 22163m ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，则πππ222π,Z 632m k k ⨯++=+∈，解得ππ,Z 12m k k =-+∈，又0m >，所以m 的最小值为π11ππ1212m =-+=.故选：C.10．B【分析】根据等差数列通项及前n 项和公式计算化简即可求解.【详解】212m n a a m+= ，212n m a a n +=，则()3322222m n n m n m a a m n nm--=-=，()()()222m n m n nmm n d nm--++∴-=，则()222mn nm d nm-++=，所以()()()()()2112222m n m m nn m n nd m n a a m n a a nd m S ++⎛⎫++ ⎪+++++⎝⎭===()()()()()2222222222n m nm n m n n m mn n m nm n m n m n m m ⎛⎫++ ⎪+-⋅ ⎪⎛⎫++⎝⎭ ⎪==+-=-+ ⎪⎝⎭.故选：B.11．A【分析】由面积公式求出AC ，即可得到ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理求出sin BAD ∠，即可求出cos BAD ∠，最后由()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭利用两角差的正弦公式计算可得.【详解】因为11sin 4222ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯⨯=△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则π6ADC ∠=，在ADB 中由正弦定理可得sin sin AB DB ADB BAD=∠∠，即21sin 2DB DBBAD =∠，解得1sin 4BAD ∠=，因为5π6ADB ∠=，所以BAD ∠为锐角，所以15cos 4BAD ∠，所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD =∠=-∠故选：A 12．D【分析】利用奇偶对称性、周期性以及复合函数求导法则即可判断各项正误.【详解】对于选项A ，因为()22f x +为奇函数，所以()()2222f x f x -+=-+，则有()()22f x f x -+=-+，故()2f x +为奇函数，故A 错误；对于选项B ，因为1322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()113122222f x f x f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()()22f x f x -+=-+，故()()2(4)f x f x f x =-+=+，即函数()f x 周期为4，则771142222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于选项C ，因为()()22f x f x -+=-+，所以()()22f x f x ''⎡⎤⎡⎤-+=-+⎣⎦⎣⎦，即()()22f x f x --+='-+'，即()()22f x f x -+='+'.因为()()2f x f x =-+，所以()()()22f x f x f x ''=-'=-+-+，所以113322222f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''⎝'⎝⎭⎭，故C 错误；对于选项D ，由选项C 可知，()()22f x f x -+='+'，所以()f x '为偶函数，故D 正确.故选：D 13．5【分析】根据22a b a b +=- 得到0a b ⋅= ，然后求34a b + 即可.【详解】因为单位向量a ，b满足22a b a b +=- ，所以2222a b a b +=- ，即22224242a a b b a a b b +⋅+=-⋅+r r r r r r r r ，即0a b ⋅=，222349241625a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r ，所以345a b +=r r .故答案为：5.14．0【分析】模拟执行程序，即可计算输出值.【详解】当输入的m 值为2时，第一次执行22220m =-=，第二次执行20021m =-=-，满足0m <，退出循环，则ln10n ==，输出n 的值为0.故答案为：015．54【分析】sin()P αϕ=+sin()αϕ+的最大值得P 的最大值.【详解】将sin sin2cos cos P αβαβ=+视为α的函数，故sin()P αϕ=+，其中cos 1tan sin 22sin βϕββ==，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当π2αϕ+=时sin()αϕ+的最大值为1，设t =25cos 8β=时，t 取得最大值54，所以P 的最大值为54.故答案为：54【点睛】关键点点睛：此题求解关键是将sin sin2cos cos P αβαβ=+视为α的函数，使用辅助角公式转化，sin()αϕ+的最大值.16．56π##150︒【分析】由题意可得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()2,02t P t t p ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，利用导数求出切线方程，即可求出Q 点坐标，再由距离公式求出p 、t ，最后由向量夹角公式计算可得.【详解】由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()2,02t P t t p ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，由22(0)x py p =>可得212y x p =，则1y x p '=，所以直线l 的斜率t k p =，则直线l 的方程为()22t t y x t p p -=-，令0y =，解得2tx =，所以,02t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222t p PF p =+=，1FQ ==，解得1p =（负值舍去）t =当t =时)FP =，33,22PQ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则cos ,FP PQ FP PQ FP PQ ⋅===⋅，所以向量FP 与PQ 的夹角为5π6，同理当t =FP 与PQ 的夹角也为5π6，故向量FP 与PQ 的夹角为5π6.故答案为：5π6【点睛】思路点睛：涉及抛物线的切线问题，通常利用导数的几何意义表示出切线方程.17．(1)1222,2,n n nn a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(2)()110452n n ++-⨯【分析】（1）当1n =时求出2a ，再由112n n n a a ++=得到22n na a +=，从而得到数列{}n a 的奇数项和偶数项均是以首项为2，公比为2的等比数列，即可求出通项公式；（2）由（1）可得1222,2,n n nn n b n n +⎧⨯⎪=⎨⎪⨯⎩为奇数为偶数，利用分组求和法及错位相减法计算可得.【详解】（1）因为12a =，112n n n a a ++=，当1n =时2122a a =，解得22a =，又2122n n n a a +++=，所以22n na a +=，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项均是以首项为2，公比为2的等比数列，所以1222,2,n n n n a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.（2）因为n n b na =，所以1222,2,n n n nn n b na n n +⎧⨯⎪==⎨⎪⨯⎩为奇数为偶数，所以()2221222324221222n n nT n n =⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ()()232312325221222426222n nn n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎣⎦ ，设()23123252212nn P n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，2322426222n n H n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，则()23412123252212n n P n +=⨯+⨯+⨯++-⨯ ，所以()()34112222212n n n P n ++-=++++--⨯ ()()11812221212n n n -+⨯-=+--⨯-，整理得()16232n n P n +=+-⨯，同理可得()2412n n H n +=+-⨯，所以()1210452n n n T +=+-⨯.18．(1)证明见解析【分析】（1）取BC 的中点D ，连接1A B 、1A C 、1A D 、AD ，即可证明BC ⊥平面1A AD ，从而得到1AA BC ⊥，又11//BC B C 即可得证；（2）过点1A 作AD 的垂线，垂足为O ，过点O 作OF 垂直于AB ，垂足为F ，连接1A F ，即可证明1A O ⊥平面ABC ，再证明1A F AB ⊥，过点O 作BC 的平行线，交AB 于点E ，所以OE 、OD 、1OA 三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接1A B 、1A C 、1A D 、AD ，因为AB AC =，所以AD BC ⊥，又11π3A AB A AC ∠=∠=，AB AC =，11AA AA =，所以11A AB A AC ≌△△，所以11A B A C =，所以1A D BC ⊥，因为1AD A D D ⋂=，1,AD A D ⊂平面1A AD ，所以BC ⊥平面1A AD ，又1AA ⊂平面1A AD ，所以1AA BC ⊥，又11//BC B C ，所以111AA B C ⊥.（2）过点1A 作AD 的垂线，垂足为O ，过点O 作OF 垂直于AB ，垂足为F ，连接1A F ，由（1）BC ⊥平面1A AD ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面1A AD ，平面ABC ⋂平面1A AD AD =，1A O ⊂平面1A AD ，所以1A O ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1AB A O ⊥，又1OF AO O = ，1,OF A O ⊂平面1OFA ，所以AB ⊥平面1OFA ，1A F ⊂平面1OFA ，所以1A F AB ⊥，由1π3A AF ∠=，π2BAC ∠=，可得AF OF =，12AO A O ==，2OD =，4BD =，过点O 作BC 的平行线，交AB 于点E ，所以OE 、OD 、1OA 三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()4,2,0C -，()10,0,2A ，()4,2,0B ，()12,2,2B ，()10,2,2AA =，()4,4,0AC =- ，()12,0,2BB =-，设平面11A ACC 的法向量为(),,m x y z = ，则1220440m AA y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()1,1,1m =- ，设直线1BB 与平面11A ACC 所成角为θ，则11sin 3m BB m BB θ⋅==⋅ ，所以直线1BB 与平面11A ACC 所成角的正弦值为63.19．(1)35(2)8【分析】（1）利用古典概型的概率公式分别求出获得三、二、一等奖的概率，从而相加即可；（2）首先得到一张彩票的奖金ξ的分布列与数学期望，即可判断.【详解】（1）若获得三等奖则可能是出现：①3、6、9；②3、6、9中出现2个，1、2、4、7、8五个中出现1个；③3、9中出现1个，1、2中出现1个，还有一个7；④1、6、7；⑤3、6、9中出现1个，1、2、4、8四个中出现2个；则获得三等奖的概率()321111233522343310C C C C C1C C13C40 P++++==，若获得二等奖则可能是出现：①5、10中出现2个，1、2、4、7、8五个中出现1个；②5、10中出现1个，1、2、4、7、8五个中出现2个；则获得二等奖的概率122125252310C C C C5C24 P+==，若获得一等奖则可能是出现：①一个7，3、9中出现1个，4、8中出现1个；②一个7，一个6，2、4、10、8四个中出现1个；则获得一等奖的概率1111111221141310C C C C C C1C15P+==，所以随机抽取一张彩票，则这张彩票中奖的概率1231513 15524403P P P P=++=++=.（2）一张彩票的奖金ξ的取值可能为0、5、10、50元，其分布列为：ξ051050P251340524115所以()13511690510504024155422E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，所以若盈利，则()16924a E ξ>=，又*a ∈N ，所以a 的最小值为8.20．(1)22143x y +=(2)()4,3【分析】（1）直接根据题目条件列方程组求解,,a b c 即可；（2）当AD 斜率为零时，可直接求出点P 的坐标，当AD 斜率不为零时，设:1AD l x my =+，和椭圆联立，然后利用点的坐标表示出12324k k k ++=，列式，利用韦达定理代入计算可求得点P 的坐标．【详解】（1）由已知得22212122c a c b a b c⎧=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩2,1a b c ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当AD 斜率为零时，()()()2,0,1,0,2,0A F D -，设()4,P p ，则123424241422k k p p p k =++-+++=-，解得3p =，此时()4,3P ，当AD 斜率不为零时，设()()1122:1,,,,AD l x my A x y D x y =+，()4,P p ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2234690m y my ++-=，则12122269,3434m y y y y m m --+==++，()22Δ3636340m m =++>，因为12324k k k ++=，所以1212424144y p y p px x ---+⨯---=+得121212112444443y y pp x x x x ⎛⎫+-+=- ⎪----⎝⎭得121212112444443y yp x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪----⎝⎭所以121212121212444433112112443333y y y y x x my my p x x my my +-+-----==+------()()()()()()()()122112211233433233333y my y my my my my my my my -+----=-+----()()()()21212121221212122343926393my y y y m y y m y y m y y m y y m y y ⎡⎤-+--++⎣⎦=⎡⎤+---++⎣⎦()()()()2121221212243123623123m m y y m y y m y y m y y ---+-=+--，()()222222962431236343462931234334mm m m m m m m m m m ---⋅--⋅-++=--⋅-⋅-++()()2214413481m m -+==-+，所以3p =，即点P 的坐标为()4,3.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交，经常联立后利用韦达定理代入计算，当计算非常复杂的时候，要坚持算下去，相关量会逐渐消去，最后达到计算出结果的目的.21．(1)答案见解析(2)无交点，理由见解析【分析】（1）求出导函数，再分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）设切点为()()00,x f x ，利用导数的几何意义求出a ，即可得到()f x 解析式，再令()()f x g x =，即e 10x x x -+=，令()e 1xm x x x =-+，利用导数说明函数的零点，即可判断.【详解】（1）函数()1e x f x ax =+的定义域为R ，且()1e 1e e x x xa f x a -'=-=，当0a ≤时()0f x '<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减，当0a >时，令()0f x '=，解得ln x a =-，所以当ln x a <-时()0f x '<，当ln x a >-时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞，综上可得：当0a ≤时()f x 在R 上单调递减；当0a >时()f x 的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞.（2）由()1ex f x a '=-，设切点为()()00,x f x ，则()0010e x f x a '=-=，易知0a >，所以0ln x a =-，又()01f x =，即0011ex ax +=，即ln 10a a a --=，设()ln 1h x x x x =--，则()ln h x x '=-，所以当()0,1x ∈时()0h x '>，则()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()()10h x h ≤=，所以1a =，则()1e xf x x =+，令()()f xg x =，即e 10x x x -+=，令()e 1x m x x x =-+，则()()1e 1xm x x '=+-，令()()()1e 1x n x m x x '==+-，则()()2e xn x x =+'，所以当(),2x ∞∈--时()0n x '<，则()n x 单调递减，当()2,x ∈-+∞时()0n x '>，则()n x 单调递增，又()22e 10n --=--<，()00n =，当1x <-时()0n x <，所以当(),0x ∈-∞时()0m x '<，则()m x 单调递减，当()0,x ∈+∞时()0m x '>，则()m x 单调递增，所以()()01m x m ≥=，所以方程e 10x x x -+=无实根，所以函数()y f x =与()y g x =的图象无交点.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．(1)2213y x +=；30x y ++=(2)13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的普通方程，利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设与直线l 平行的直线方程为0x y c ++=，与椭圆方程联立，令Δ0=可得点P 坐标.【详解】（1）对于直线l的参数方程1,22,2x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得3x y +=-，即直线l 的普通方程为30x y ++=；对于曲线C 的极坐标方程为()2212cos 3ρθ+=，利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩变形得22223x y x ++=，即曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=；（2）设与直线l 平行的直线方程为0x y c ++=，联立22013x y c y x ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得224230x cx c ++-=令()22Δ41630c c =--=得2c =或2c =-，当2c =时，直线20x y ++=与2213yx +=的交点为曲线C 上到直线l 的距离最小的点，解方程24410x x ++=得12x =-，此时13222y =-=-即点P 在平面直角坐标系中的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.23．(1)14x x ⎧⎫<-⎨⎩⎭(2){}13a a -≤≤【分析】（1）当1a =时，()2121f x x x =--+，分12x ≤-、1122x -<<、12x ≥三种情况解不等式()1f x >，综合可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得()f x 的最大值，可得出关于实数a 的不等式，解之即可.【详解】（1）解：当1a =时，()2121f x x x =--+，当12x ≤-时，由()()122121f x x x =-++=>恒成立；当1122x -<<时，由()()122141f x x x x =--+=->，解得14x <-，此时，1124x -<<-；当12x ≥时，由()()212121f x x x =--+=-<，原不等式无解.综上所述，当1a =时，原不等式的解集为14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭.（2）解：x ∀∈R ，()()()2222122121f x x x a x x a a =--+≤--+=+，当且仅当22a x ≤-时，等号成立，由题意可得2124a a +≤+，即()()222124a a +≤+，即()()221241240a a a a +--+++≤，即()()2223250a a a a --++≤，因为()2225140a a a ++=++>，所以，2230a a --≤，解得13a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是{}13a a -≤≤.。