2016年北京市东城区高三期末物理试题及答案2016.1

东城区2015-2016学年度第一学期期末教学统一检测本试卷共5贞.150分•芳试时K 120分钟•考住务必将答至答在答題卡上■仗试卷I：作答无效•考试结束后•将本试总和答題卞一并交何.第一部分（选择题共40分）一■选择理（共8小0 ■毎小& 5分，共40分•在毎小題列出的囚个选项中■选出符合求的一项）1 •已知集合1丿=（1・2・3出几集合A»n>3>4h B={2・4}・那么集合（CM）nB-3•设i为谨数烦位.如果复数z满足（l-2i）z=5i^那么厂的虚邪为A. - IB. IC. •D.-i4•已知刃€«0・1〉・令a = b肛2. h二4『=2-・那么之树的大小关系为A. b<c<aB. b<a<cC. a<b<cD. c<u<b5・Ci知克线/的倾斜角为i斜卒为点.那么"a>y M是7A®的A.充分而不必耍条件B.必耍而不充分条件C.充分必姿条件D.既不充分也不必耍条件高三數学（现科）第1页（共5页）高三数学（理科）2016. 1側（左）现图A.⑵B・{4}C. {1.3} I). 24}11 9 cm Jf 1i ~ +1 • 0V#£26•已知旳数x •如果关丁丄的方程/Cr〉=A有两个不同的实根•那* lnx» x>2么实数百的取值范隔2A・(l.+vo〉B・[^・ + oo) C・[e+.+8) D.[ln2・+8)7.过抛物线;/=2仇r(p>0)的魅点F的f[线交粗物线于A・B丙点•点O泉坐标原点.如架I BF| =3, | BF|>|AF| ・ZBFO=¥・那么 | AF| 的伙为、夕A. 1B.yC.2 I). |&如图所示•正方体AHCD-A f B，C，D,的梭长为1, F・F分别圧梭八人'・CC'的中点.过血线EF的平面分別与梭BB'.DD'交丁M,M设BM-小.* (0・1〉，给出以卜四个命题：①四边形MENF为平行四边形I②若四边形MENF血枳Sr /(X). x€(0,l).则/(z)冇九小侑；③若四棱锥人一MENF的体积V=-p(x). ze<0.1>.则p(“为恋瓯数；④若多而体AHCD-MENF^J体枳V = A(.r),苏I),则AQ)为单浏函数. 只中假命题为• • •A.①B•②C•③D•④高三敷爭(瓦科)第2页(拱$员)第二部分（G选择&兵110 分〉二、填空11（共6小逊■毎小JR 5分，共30分）9•在△ ABC中・a・6分别为角八•〃的对边.如果〃一30°«： - IO5S a " •那么b .0在平而向M Q.b中・已知a = （】・3）・ b=（2.y）・如果a • b = 5・那么y= ___ ；如果|a + b| = |a — b|・那么y= ____ •丁一yWlO.11. 已知『q海足约束条件1—，£2・那么的歧大值为・才$312. 如來險数/Cr）-rsiar+«的图象过点GJ〉. R /（z）-2.那么•13. 如來平面直角坐标系中的f»iAA（«-l.a+D.B（a.a）X于虫线，对称.那么直线？的方程为•M•数列｛“.｝満足：如和+“…>2如5>lmWN・）,给出卜•述命吆*①若数列2」溝足:如 >尙・则a>“. ,（”>】・”€'•）皿立；②存在甜数c使扫a.>r（W€N->成立：③若 /> + q>m + /t（其中）•则a»+y>“.=a. i④存在席数/使得“A心? 5-】>d3€N・）郁成立.上述命題正珂的是_.（吗出所冇正晞结论的*仍〉三、解答题（共6小麵，共80分.解答虫禹出文字说明，演算步廉或证明过程）15•（本小題共13分）设S.、#一个公比为曲>0心\）的等比数列•巾，・3“八2心成等力数列.且它的询4项和S< = 15.< I〉求数列"・>的通项公式：< 11〉令6=a. + 2”・5=l・2・3……）•求敷列仏｝的前肪项和.高三软竽（理科〉第3页〈共5页）16. （4-小题共13分〉已知函数/（x） = sin2x+2 73sinTcosi* —cos:^（^6 R）.＜I ）求/4〉的皿小正周期和在Co.xZJ：的单训递减区间；（【I）若a为第四欽限角，且cosa-y,求/（f+ jf）的fft.17. （本小题典14分）如图.在P-ABCD中.底丽ABCD为正方形，PA丄底面ABCD・AB=AP.E为披PD的中点.（I ）证明:AELCD；（II）求il^AE弓平而PHD所成卅的正弦值；（山）若尸为人3中点，棱PC上是否存在一点M・使得FM丄八（：・若存在.求出耀的值.若不存在，说明埋山.18. （本小題共13分〉已知桶圆$ I话=讥＞〃＞0》的焦点是斤・幵，H. |F,F?| = 2、离心率为*・（I ＞求椭B0C的方程；（II〉若过椭圆右很点丘的直线/交椭圆FA,B两点•求\AF Z\• IF屮I的取值范国.高三散学〈理科）第4页（共5贞）19. (4：小題从I I分)(2知西数/<-r) -- ----- a(.r —< [)当a亠1时.试求/(j->/t(U/(D)处的切线方程(<n)当“wo时，试求/a》的单河风何：(111)若/<x)ft(OJ)内有极(TL试求"的取值范用.20•(本小聽共13分》已知初线(・.的方程为：i^r 11〉・1・=】>.<【〉分別求出”二1・” =2时.曲线C.所冊成的图形的滴枳,< II〉若5(”€2〉衣朋曲线C.所阳成的图形的面积.求证：S.(N€N-以于”是递增的;'5)若方程上・+>*=^5A2・”W?OdwHO・没右正整数解.求证：曲线C.(W>2>M6N*〉上任一点对应的坐标(x.y). .r.y不能全尺有理数.高三做孕(理科)事5页(*S M>东城区2015-2016学年度第-学期期末教学统一检测裔三数学（理科）参考答案及评分标准2016. 1 一、选择題二■填空超9. 2 72. 10. U- ・】1・5& 12. X0. 14•①④.三、廉答1915•解：（I圈为一个公比为g（g>0・</工1）的等比数列.所以= “I矿'・心*0・因为4““3“，・2山成等矗数列.所以6g = 4® +2“）•即—34/4-2=0.H得g=2或gh】（含）.乂它的询 4 项和S,工15.1!）^^- = !5（v>0.<?#l）.解冯5^1.所以2・'• .......................................................................................................... 9分(II )W 为九FT.+2机所以i^ = ia. + V2； = 2- + n(w4 1)-1. ............................................................... 13 分•—1 •* I •—>16. 解” 1〉由己知 /<x）^>ii/ar4 2 ySsiiurcosx—co>\r IX>52X—2sin（2x~b所以故小正周期丁守一几3 Z由計2*n<2r-矜蓼亠2虹""•得手卜后W/W罟+及irMW龙.故旳数“ 0在[0・O上的单调递滥区间泉石7：・|■町. ...............9分<l] ）W为a为第四徐琨用・H cose二g •所以0g--£・浙三啟学（仗科〉冬脅怎案第I页（*50所以 /(号讨辔〉三f -|-) = — 2sina —y. 13分17. ( I )证明：因为卩人丄磺面ABCD.CDC平A AHCD.所以”人丄(。

东城区 2015-2016学年度第二学期高三综合练习（一）理科综合物理试题13．以下说法正确的选项是A．气体从外界汲取热量，气体的内能必定增添B．液体中的悬浮微粒越小，布朗运动越显然C．关闭在气缸中的气体，体积减小，压强必定减小D．两块纯净的铅板压紧后能合在一同，说明此时分子间不存在斥力14 ．已知单色光 a的频次低于单色光b的频次，则A ．经过同一玻璃三棱镜时，单色光a的偏折程度小B ．从同种玻璃射入空气发生全反射时，单色光a的临界角小C．经过同一装置发生双缝干预，用单色光a照耀时相邻亮纹间距小D．照耀同一金属发生光电效应，用单色光a照耀光阴电子的最大初动能大15 ．以下表述正确的选项是A ．中，X表示B ．是重核裂变的核反响方程C．放射性元素的半衰期与原子所处的化学状态没关D．β衰变中放出的β射线是核外电子摆脱原子核的约束而形成的16．2015年 12月 29日 0时 04分，我国在西昌卫星发射中心成功发射高分四号卫星．至此我国航天发射“十二五”任务圆满收官．高分四号卫星是我国首颗地球同步轨道高分辨率光学成像卫星，也是当前生界上空间分辨率最高、幅宽最大的地球同步轨道卫星，它的发射和应用将明显提高我国对地遥感观察能力，该卫星在轨道正常运转时，以下说法正确的选项是A．卫星的轨道半径能够近似等于地球半径B．卫星的向心加快度必定小于地球表面的重力加快度C．卫星的线速度必定大于第一宇宙速度D．卫星的运转周期必定大于月球绕地球运动的周期17．如下图为一列沿 x轴正方向流传的简谐横波在 t＝ 0时的波形图，当 x＝ 4cm处质点在 t＝ 0时的运动状态流传到 x＝ 10cm处质点时，以下说法正确的选项是A． x＝ 2cm处质点的位移最大B．x＝ 4cm处质点的速度最大C．x＝ 6cm处质点沿x轴正方向运动到x＝ 12cm处D． 4cm＜ x＜ 6cm 的质点正在向y 轴负方向运动18．实验小组为了研究物体在倾角不一样的斜面上的运动状况，将足够长的粗拙木板的一端固定在水平川面上，使物体以大小同样的初速度v0由底端冲上斜面，每次物体在斜面上运动过程中斜面倾角保持不变。

2015~2016学年度东城区第一学期期末教学统一检测高 三 物 理 2016.01第Ⅰ卷（选择部分：12*4=48分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

每小题只有一个选项正确。

) 1．物理学上经常用物理学家的名字命名物理量的单位，以纪念他们做出的突出贡献。

下列说法正确的是A ．用牛顿的名字命名力的单位B ．用安培的名字命名功率的单位C ．用伏特的名字命名磁感应强度的单位D ．用焦耳的名字命名电场强度的单位2．如图所示为某质点做直线运动的v -t 图像，由此可知 A ．前1秒物体的位移大小为1mB ．第2秒末物体的瞬时速度大小2 m/sC ．第3秒内物体的加速度大小为3 m/s 2D ．前3秒物体做匀变速直线运动 3．在水平地面上方同一位置将物体沿水平方向抛出，不计空气阻力的影响，物体在同一地方下落过程中，下列说法正确的是A ．物体的加速度逐渐减小B ．物体运动的时间只由高度决定C ．物体落地的位置与初速度无关D ．物体落地时的速度方向竖直向下4．如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，由图可知A ．此列简谐横波的频率是4HzB ．介质中各质点的振幅都是4cmC ．x =1m 处质点此时刻所受合外力最大，方向沿y 轴负方向D ．x =2m 处质点此时刻速度最大，方向沿y 轴正方向5．清洁工人在清洁城市道路时驾驶洒水车沿平直粗糙路面匀速行驶。

当洒水车行驶到某一路口时开始洒水，若洒水车的速度保持不变，且所受阻力与车重成正比，则开始洒水后A ．洒水车受到的牵引力保持不变B ．洒水车受到的牵引力逐渐增大C ．洒水车发动机的输出功率保持不变D ．洒水车发动机的输出功率不断减小 6．“蹦极”是一种很有挑战性的运动。

将一根有弹性的绳子系在蹦极者身上，另一端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。

将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。

从蹦极者离开跳台到第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是 A ．蹦极者受到的合力始终增大 B ．蹦极者始终处于失重状态C ．弹性绳刚好被拉直时，蹦极者的速度最大D ．蹦极者下降至最低点时，蹦极者的机械能最小第4题图s2第2题图7．科学研究中经常利用磁场来改变带电粒子的运动状态。

答案及必要的解析1.【答案】：A2.【答案】：A3【答案】：B第3题【解析】：不计空气阻力，物体做平抛运动，加速度为重力加速度，大小方向恒定不变，运动时间只与抛出点距离地面的高度有关，t =位置与运动时间和初速度有关，0x v t =，物体落地时的速度方向与水平方向夹角为θ，0tan gt v θ=。

故ACD 错误，B 正确。

【考点】：平抛运动。

【总结】：平抛运动是初速度与加速度方向垂直的匀加速曲线运动。

4.【答案】：C 【解析】：首先本图像是简谐横波图像，一个波形沿x 轴的长度的物理含义是一个波长，而并非是周期，故而频率无法求出，所以A 错。

y 轴偏移平衡位置的最大距离为振幅，根据图像可得知振幅为2cm ，故而B 错。

平衡位置处速度最大，加速度最小，而最大位移出速度最小，加速度最大，加速度方向始终指向平衡位置，x=1cm 处的质点在y 轴最大位移处，所以合外力最大，方向指向x 轴，即向y 轴负方向，故而C 正确。

根据上选项得知x=2cm 处的质点确实是速度最大，但由于机械波具有双向性，并不能确定机械波的传播方向，故而无法确定质点的振动方向，故而D 错。

【考点】：机械波图像，机械波中点的位置对应的速度、加速度大小和方向，机械波的双向多解性，同侧法确定机械波传播方向和振动方向的联系。

【总结】：简谐横波图像与机械振动图像的横坐标物理含义不同，一个波形的长度表示物理含义也就不一样，需要注意区分。

并且做机械波问题需要注意机械波多解性，双向性、周期性、波本身的不确定性等问题，并结合同侧法和微平移法判断机械波的传播方向和质点振动方向。

5.【答案】：D 【解析】：首先本题考察的是功率与牵引力问题，公式是P=Fv ，而此时因车是匀速行驶，所以汽车牵引力和汽车所受摩擦力是相等的，而摩擦力f=uN ，N=mg ，因洒水车一直在洒水，而导致质量减小，所以摩擦力减小，所以牵引力减小，故A 、B 都错。

根据功率P=Fv ，F 变小，v 不变，所以汽车输出功率不断减小，故而选D 。

m 东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）2016.1学校班级姓名考号_本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知集合U = {1, 2,3, 4}，集合 A = {1,3, 4}， B ={2, 4}，那么集合(C A )B =U（A ）{2} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{2, 4}（2） 已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，那么该三棱锥的体积等于3 33 正（主）视图1侧（左）视图13 俯视图3（A ）2cm 3（B ） 2 cm 3（C ） 3 cm 3（D ） 9 cm 3（3） 设i 为虚数单位，如果复数 z 满足(1- 2i )z = 5i ，那么 z 的虚部为（A ） -1（B ）1（C ） i（D ） -i（4） 已知m ∈(0,1) ，令a = log 2 ，b = m 2， c = 2m，那么a ,b , c 之间的大小关系为（A ）b < c < a （B ）b < a < c （C ）a < b < c （D ）c < a < b（5） 已知直线l 的倾斜角为α ，斜率为k ，那么“α >π”是“ k > 3（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3 ”的（6）已知函数f (x) =⎪x1⎧1+1, 0 <x ≤ 2⎨，如果关于x 的方程f (x) =k 有两个不同的实根，⎪⎩ln x,那么实数k 的取值范围是x > 23 3（A）(1, +∞)（B）[ , +∞)2（C）[e2 , +∞) （D）[ln 2, +∞)（7）过抛物线y2 = 2 px（p > 0) 的焦点F 的直线交抛物线于A, B 两点，点O 是原点，如果BF = 3 ，BF >AF，∠BFO =2π，那么AF 的值为3( A) 1 (B)32(C) 3 （D） 6（8）如图所示，正方体ABCD -A'B'C'D'的棱长为1, E, F 分别是棱AA'，CC'的中点，过直线E, F 的平面分别与棱BB'、DD'交于M ,N ，设BM =以下四个命题：① 四边形MENF 为平行四边形；x ，x ∈(0,1) ，给出② 若四边形MENF 面积s =值；f (x) , x ∈(0,1) ,则f (x) 有最小③ 若四棱锥A MENF 的体积V =p(x)p(x) 常函数；，x ∈(0,1) ，则④ 若多面体ABCD -MENF 的体积V =h(x) ，x ∈( ,1) ，2则h(x) 为单调函数．其中假．命．题．为( A) ①(B)②(C) ③（D）④⎨ ⎩n n -1 n +1 n n 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9） 在∆ABC 中， a 、b 分别为角 A 、B 的对边，如果 B = 300， C = 1050， a = 4 ，那么 b = .（10） 在平面向量a,b 中，已知 a = (1,3) ， b = (2,y) .如果 a ⋅ b = 5，那么 y= ；如果a +b = a -b ，那么 y= .⎧x +y ≤ 10 ,（11） 已知 x , y 满足满足约束条件⎪x - y ≤ 2, ，那么 z = x 2 + y 2 的最大值为 .⎪x ≥ 3 （12） 如果函数 f (x ) = x2sin x + a 的图象过点(π,1) 且 f (t ) = 2 ．那么a = ；f (-t ) = ．（13） 如果平面直角坐标系中的两点 A (a -1, a +1) ，B (a , a ) 关于直线l 对称，那么直线l的方程为 .（14） 数列{a } 满足： a + a > 2a (n >1, n ∈ N *) ，给出下述命题：①若数列{a } 满足： a > a ，则a > a(n > 1, n ∈ N *) 成立；n21n n -1②存在常数c ，使得a > c (n ∈ N *) 成立；③若 p + q > m + n (其中p , q ,m ,n ∈ N *)，则a+ a > a + a ；pqmn④存在常数d ，使得a n > a 1 + (n -1)d (n ∈ N *) 都成立． 上述命题正确的是．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共 13 分）设{a n }是一个公比为q (q > 0, q ≠ 1) 等比数列，4a 1 ,3a 2 4 项和 s 4 = 15 .（Ⅰ）求数列{a n } 的通项公式；, 2a 3 成等差数列,且它的前 （Ⅱ）令b n = a n + 2n ,(n = 1, 2,3 ..... ) ,求数列{b n }的前n 项和.E D（16）（本小题共 13 分）已知函数 f (x ) = s in 2 x + 2 3sin x cos x - c os 2x(x ∈R ) ．（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期和在[0, π]上的单调递减区间； （Ⅱ）若α 为第四象限角，且cos α = 3 ，求 f (α + 7π) 的值. 52 12P（17）（本小题共 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = AP , E 为棱 PD 的中点.C（Ⅰ）证明: AE ⊥ CD ；（Ⅱ）求直线 AE 与平面 PBD 所成角的正弦值；AB（Ⅲ）若 F 为 AB 中点，棱 PC 上是否存在一点M ，使得 FM ⊥ AC ，若存在， PM 求出的值，若不存在，说明理由.MC（18）（本小题共 13 分）x 2 y 2 1 已知椭圆 + a 2 b 2= 1（ a > b > 0 ）的焦点是 F 1、F 2 ，且 F 1F 2 = 2 ，离心率为 ． 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点 F 2 的直线l 交椭圆于 A ， B 两点，求| AF 2 || F 2 B | 的取值范 围．（19）（本小题共 14 分）e x 已知函数f (x ) =- a (x - ln x ) ．x（Ⅰ）当a = 1时，试求 f (x ) 在(1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当a ≤ 0 时，试求 f (x ) 的单调区间；（Ⅲ）若 f (x ) 在(0,1) 内有极值，试求a 的取值范围．nn n n n（20）（本小题共 13 分）已知曲线C 的方程为： x n+y n= 1 (n ∈ N *) .（Ⅰ）分别求出n = 1, n = 2 时，曲线C n 所围成的图形的面积;（Ⅱ）若 S (n ∈ N *) 表示曲线C 所围成的图形的面积，求证：S (n ∈ N *) 关于n 是递增的;(III) 若方程 x n + y n = z n ( n > 2, n ∈ N )， xyz ≠ 0 ， 没有正整数解， 求证： 曲线C (n > 2, n ∈ N * ) 上任一点对应的坐标(x , y ) ， x , y 不能全是有理数.。

东城区2016—2017 学年度第一学期期末教学统一检测高三物理2017．1本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共120 分。

考试时长100 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

第I 卷（选择题，共48 分）一、单项选择题（本题共12 小题，每小题 4 分，共48 分。

每小题只有一个选项正确。

）1.下列物理量中属于矢量的是（）A．加速度B．动能C．功率D．电势能2.为了研究超重与失重问题，某同学站在电梯中的体重计上不动并观察示数变化。

在电梯运动的某阶段，他发现体重计的示数大于自己实际体重，此时电梯的运动状态可能是（）A．匀速上升B．加速上升C．匀速下降D．加速下降3．匀强电场的电场线如图所示，a 、b 是电场中的两点。

下列说法中正确的是（）A. a 点电势一定小于b 点电势B. a 点电势一定等于b 点电势C. a 点电场强度一定小于b 点电场强度D. a 点电场强度一定等于b 点电场强度4.如图所示，一线圈在匀强磁场中匀速转动，当线圈平面转动至与磁场方向平行位置时（）A．穿过线圈的磁通量最小，磁通量的变化率最大B．穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率最大C．穿过线圈的磁通量最小，磁通量的变化率最小D．穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率最小5.如图所示，将两个完全相同的均匀长方体物块A 、B 叠放在一起置于水平地面上。

两物块重均为2mg 。

现用弹簧秤竖直向上拉物块A ，当弹簧秤示数为mg 时，下列说法中正确的是（）A. 物块 A 对物块 B 的压力大小为mgB. 物块 B 对地面的压力大小等于2mgC. 地面与物块 B 之间存在静摩擦力D. 物块 A 与物块 B 之间存在静摩擦力6. 利用水滴下落可以粗略测量重力加速度 g 的大小。

调节家中沙龙头，让水一滴一滴地流出，在水龙头的正下方放一个盘子，调整盘子的高度，使一滴水刚碰到盘子时，恰好的另一滴水刚开始下落， 而空中还有一滴水正在下落。

2015—2016学年度东城区第一学期期末教学统一检测高 三 物 理 2016．01第Ⅰ卷（选择题，共48分）一．单项选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。

每小题只有一个选项正确。

) 1．物理学上经常用物理学家的名字命名物理量的单位，以纪念他们做出的突出贡献。

下列说法正确的是A ．用牛顿的名字命名力的单位B ．用安培的名字命名功率的单位C ．用伏特的名字命名磁感应强度的单位D ．用焦耳的名字命名电场强度的单位2．如图所示为某质点做直线运动的v -t 图像，由此可知 A ．前1秒物体的位移大小为1mB ．第2秒末物体的瞬时速度大小2 m/sC ．第3秒内物体的加速度大小为3 m/s 2D ．前3秒物体做匀变速直线运动3．在水平地面上方同一位置将物体沿水平方向抛出，不计空气阻力的影响，物体在同一地方下落过程中，下列说法正确的是 A ．物体的加速度逐渐减小 B ．物体运动的时间只由高度决定 C ．物体落地的位置与初速度无关 D ．物体落地时的速度方向竖直向下4．如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，由图可知A ．此列简谐横波的频率是4HzB ．介质中各质点的振幅都是4cmC ．x =1m 处质点此时刻所受合外力最大，方向沿y 轴负方向D ．x =2m 处质点此时刻速度最大，方向沿y 轴正方向5．清洁工人在清洁城市道路时驾驶洒水车沿平直粗糙路面匀速行驶。

当洒水车行驶到某一路口时开始洒水，若洒水车的速度保持不变，且所受阻力与车重成正比，则开始洒水后A ．洒水车受到的牵引力保持不变B ．洒水车受到的牵引力逐渐增大C ．洒水车发动机的输出功率保持不变D ．洒水车发动机的输出功率不断减小 6．“蹦极”是一种很有挑战性的运动。

将一根有弹性的绳子系在蹦极者身上，另一端固定在跳台上，人从几十米高处跳下。

将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。

从蹦极者离开跳台到第一次下降至最低点的过程中，下列说法正确的是 A ．蹦极者受到的合力始终增大 B ．蹦极者始终处于失重状态C ．弹性绳刚好被拉直时，蹦极者的速度最大D ．蹦极者下降至最低点时，蹦极者的机械能最小第4题图s2第2题图7．科学研究中经常利用磁场来改变带电粒子的运动状态。

北京市东城区2015-2016学年第二学期理科综合 物理部分13．已知阿伏伽德罗常数为N A ，油酸的摩尔质量为M ，密度为ρ。

则一个油酸分子的质量可表示为 A.A N M B. MNA C. ρA MN D.MN Aρ14．一束单色光在某种介质中的传播速度是其在真空中传播速度的0.5倍，则 A ．该介质对于这束单色光的折射率为0.5B ．这束单色光由该介质射向真空发生全反射的临界角为60°C ．这束单色光在该介质中的频率为其在真空中频率的0.5倍D ．这束单色光在该介质中的波长为其在真空中波长的0.5倍 15．如图所示，两竖直杆顶端M 、N 位于等高处，将一根不可伸长的轻绳两端分别固定在M 、N 两点，物体通过轻质光滑挂钩挂在轻绳中间，静止时轻绳所成夹角为120°。

若保持绳长不变，只适当增加两竖直杆之间的水平距离，此时 A ．轻绳的弹力比物体的重力小 B ．轻绳的弹力与物体的重力相等 C ．轻绳的弹力比物体的重力大 D ．轻绳的弹力大小与物体的重力无关16．关于静止在地球表面（两极除外）随地球自转的物体，下列说法正确的是 A ．物体所受重力等于地球对它的万有引力 B ．物体的加速度方向可能不指向地球中心 C ．物体所受合外力等于地球对它的万有引力D ．物体在地球表面不同处角速度可能不同17．惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。

如图1所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟。

图2所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。

在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其它调整时摆动加快了，下列说法正确的是A ．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动B ．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动第15题图MN120°第17题图图1摆杆 圆盘 螺母图2C ．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动D ．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动18．如图所示，在粗糙的水平绝缘桌面上有两个大小相同、带有同种电荷的小物块P 和Q 。

北京市东城区2015—2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理科）2016．1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，那么集合()U A B = ð（）．A ．{}2B ．{}4C ．{}1,3D ．{}2,42．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）．A ．23cm2B ．22cmC ．23cmD ．29cm 3．设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12i)5i z -=，那么z 的虚部为（）．A ．1-B ．1C ．iD ．i-4．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么a ，b ，c 之间的大小关系为（）．A ．b c a<<B ．b a c<<C ．a b c <<D ．c a b <<5．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“π3α>”是“k >的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()11,02ln ,2x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩≤，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）．A ．()1,+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．32e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)ln 2,+∞7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，如果3BF =，BF AF >，2π3BFO ∠=，那么AF 的值为（）．A ．1B ．32C ．2D ．528．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB ，'DD 交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值；③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 为常函数；④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则()h x 为单调函数．其中假命题为（）．A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．在ABC △中，a ，b 分别为角A ，B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，那么b =__________．10．在平面向量a r ，b r 中，已知(1,3)a =r ，(2,)b y =r ．如果5a b ⋅=r r，那么y =__________；如果a b a b +=-r r r r ，那么y =__________．11．已知x ，y 满足约束条件1023x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，那么22z x y =+的最大值为__________．12．如果函数2()sin f x x x a =+的图像过点(π,1)，且()2f t =，那么a =__________；()f t -=__________．13．如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为__________．14．数列{}n a 满足：112(1n n n a a a n -++>>，*)n ∈N ，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则1n n a a ->成立；②存在常数c ，使得n a c >()n ∈*N 成立；③若p q m n +>+（其中p ，q ，m ，n ∈*N ），则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得1(1)n a a n d >+-()n ∈*N 都成立．上述命题正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）设{}n a 是一个公比为q (0q >，1)q ≠的等比数列，14a ，23a ，32a 成等差数列，且它的前4项和415S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a n =+，(1,2,3)n =LL ．求数列{}n b 的前n 项和．16．（本题满分13分）已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-()x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四想象角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值．17．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由．18．（本题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b ab +=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．求12AF F B ⋅的取值范围．19．（本题满分14分）已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．20．（本题满分13分）已知曲线n C 的方程为：1()nnx y n +=∈*N ．（Ⅰ）分别求出1n =，2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积；（Ⅱ）若()n S n ∈*N 表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n ∈*N 关于n 是递增的；（Ⅲ）若方程n n n x y z +=(2n >，)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线n C (2n >，)n *∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．北京市东城区2015—2016学年度高三第一学期期末统一考试数学答案及解析（理工类）2016．1一、选择题1．已知集合{}1,2,3,4U =，集合{}1,3,4A =，{}2,4B =，那么集合()U A B = ð（）．A ．{}2B ．{}4C ．{}1,3D ．{}2,4【答案】A【解析】∵{}1,2,3,4U =，{}1,3,4A =，∴{}2U A =ð，又∵{}2,4B =，∴(){}2U A B = ð．故选A ．2．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）．A ．23cm2B ．22cmC ．23cmD ．29cm【答案】A【解析】三视图的直观图如下：∴1131333322ABC V S DC ⨯=⋅=⨯⨯=△．故选A ．3．设i 为虚数单位，如果复数z 满足(12i)5i z -=，那么z 的虚部为（）．A ．1-B ．1C ．iD ．i-【答案】B【解析】由题可得，5i5i(12i)5i 10i 212i (12i)(12i)5z +-====---+，∴虚部为1．故选B ．4．已知(0,1)m ∈，令log 2m a =，2b m =，2m c =，那么a ，b ，c 之间的大小关系为（）．A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b<<【答案】C【解析】∵(0,1)m ∈，∴log 2log 10m m a =<=，2(0,1)b m =∈，0221m c =>=，∴a b c <<．故选C ．5．已知直线l 的倾斜角为α，斜率为k ，那么“π3α>”是“k >的（）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题意得[)0,πα∈，当k >ππ(,)32α∈，∵ππ(,32是π(,π)3的真子集，∴“π3α>”是“k >的必要不充分条件．故选B ．6．已知函数()11,02ln ,2x f x xx x ⎧+<<⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取值范围是（）．A ．()1,+∞B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．32e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)ln 2,+∞【答案】B【解析】由题可得，函数图像如下：由图像可得，当3,2k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，有两个不同实数根．故选B ．7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，如果3BF =，BF AF >，2π3BFO ∠=，那么AF 的值为（）．A ．1B ．32C ．2D ．52【答案】A【解析】如图：∵2π3BFO ∠=，∴π3AFO ∠=，∴226BM BE BE ===，∴F 为MB 中点，∴32BEBFFG ===，∴MA AN MF GF =，∴3332AF AF -=，∴1AF =．故选A ．8．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB ，'DD 交于M ，N ，设BM x =，(0,1)x ∈，给出以下四个命题①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =，(0,1)x ∈，则()f x 有最小值；③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =，(0,1)x ∈，则()p x 为常函数；④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =，1(,1)2x ∈，则()h x 为单调函数．其中假命题为（）．A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】D【解析】对于正方体''''ABCD A B C D -，因为平面''ABB A I 平面MENF ME =，平面''DCC D I 平面MENF NF =，平面''ABB A ∥平面''DCC D ，所以ME NF ∥，同理MF NE ∥，故四边形MENF 是平行四边形，①正确；易证四边形MENF 是菱形，所以12S MN EF =⋅=，其中当M ，N 分别为'BB ，'DD 的中点时，MN 取最小值．故()S f x =有最小值，②正确；1122236A MENF A NEF F AME AME V V V S BC ---===⋅⋅⋅=△，③正确；多面体ABCD MENF -与多面体''''A B C D MENF -关于正方体中心对称，二者大小形状一致，故12V =，④错误．故选D ．二、填空题9．在ABC △中，a ，b 分别为角A ，B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，那么b =__________．【答案】【解析】由正弦定理得：sin sin a bA B =，∴sin(π)sin a b B C B =--，即sin 45sin 30a b =︒︒，sin 30sin 45a b ︒==︒10．在平面向量a r ，b r 中，已知(1,3)a =r ，(2,)b y =r ．如果5a b ⋅=r r，那么y =__________；如果a b a b +=-r r r r ，那么y =__________．【答案】1，23-【解析】∵1235a b y ⋅=⨯+=r r，∴1y =．∵a b a b +=-r r r r ，∴222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅r r r r r r r r，∴40a b ⋅=r r ，即230y +=，解得23y =-．11．已知x ，y 满足约束条件1023x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥，那么22z x y =+的最大值为__________．【答案】58【解析】由约束条件画出可行域如下图：22z x y =+表示可行域内的点到原点的距离的平方．由图知，当3x =，7y =时z 取得最大值58．12．如果函数2()sin f x x x a =+的图像过点(π,1)，且()2f t =，那么a =__________；()f t -=__________．【答案】1，0【解析】∵函数图像过点(π,1)，∴(π)1f a ==，又∵2()sin 12f t t t =+=，∴2sin 1t t =，∴2()sin 10f t t t -=-+=．13．如果平面直角坐标系中的两点(1,1)A a a -+，(,)B a a 关于直线l 对称，那么直线l 的方程为__________．【答案】1y x =+【解析】由题可得，111AB a ak a a+-==---，∴l 的斜率为1，又l 过AB 中点2121(,22a a -+，∴1y x =+．14．数列{}n a 满足：112(1n n n a a a n -++>>，*)n ∈N ，给出下述命题：①若数列{}n a 满足：21a a >，则1n n a a ->成立；②存在常数c ，使得n a c >()n ∈*N 成立；③若p q m n +>+（其中p ，q ，m ，n ∈*N ），则p q m n a a a a +>+；④存在常数d ，使得1(1)n a a n d >+-()n ∈*N 都成立．上述命题正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】由112n n n a a a -++>得：1112210n n n n n n a a a a a a a a +---->->->>->L ，∴1n n a a ->，①正确；令ln n a n =-，此时n a 单调递减且无下界，②错误；令2n a n =-，1m n ==，1p >，1q >，此时恒有p q m n a a a a +<+，③错误；设21a a d -=，则111221n n n n n n a a a a a a a a d +---->->->>-=L ，累加得1(1)n a a n d ->-，即1(1)n a a n d >+-，④正确．三、解答题15．设{}n a 是一个公比为q (0q >，1)q ≠的等比数列，14a ，23a ，32a 成等差数列，且它的前4项和415S =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令2n n b a n =+，(1,2,3)n =LL ．求数列{}n b 的前n 项和．解：（Ⅰ）因为{}n a 是一个公比为(0q q >，1)q ≠等比数列，所以11n n a a q-=．因为14a ，23a ，32a 成等差数列，所以213642a a a =+，即2320q q -+=．解得2q =，1q =（舍）．又它的前4项和415S =，得41(1)15(01a q q q-=>-，1)q ≠，解得11a =，所以12n n a -=．（Ⅱ）因为2n n b a n =+，所以11122(n 1)1nnnn i i i i i b a i n ====+=++-∑∑∑．16．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-()x ∈R．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和在[]0,π上的单调递减区间；（Ⅱ）若α为第四想象角，且3cos 5α=，求7π()212f α+的值．解：（Ⅰ）由已知22()sin cos cos f x x x x x=+-2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-．所以最小正周期2π2ππ2T ω===．由ππ3π2π22π262k x k +-+≤≤，k ∈Z ．得2π10πππ36k x k ++≤≤，k ∈Z ．故函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间15π,π36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）因为α为第四象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α=-．所以7π7ππ()2sin()2sin 21266f ααα+=+-=-85=．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AB AP =，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：AE CD ⊥；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由．解析：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥．因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ．由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设2AB AP ==，可得(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．由E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E ．(0,1,1)AE =向量(2,2,0)BD =- ，(2,0,2)PB =-．设(,,)n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uur即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩．不妨令1y =，可得(1,1,1)n =r为平面PBD 的一个法向量．所以cos ,AE EF = ．所以，直线EF 与平面PBD（Ⅲ）解：向量(2,2,2)CP =-- ，(2,2,0)AC = ，(2,0,0)AB =．由点M 在棱PC 上，设CM CP λ=，(01)λ≤≤．故(12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--．由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=uuur uuu r，因此，(12)2(22)20λλ-⨯+-⨯=，解得34λ=．所以13PM MC =．18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点是1F ，2F ，且122F F =，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若过椭圆右焦点2F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点．求12AF F B ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知2221222a b c c a c ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得2a =，b =所以椭圆的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）因为2(1,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，3(1,)2A ，3(1,2B -，则229||||4AF F B ⋅=，不符合题意．当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为(1)y k x =-．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=（*）．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以2222834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．所以21||1AF =-，所以22||1F B ==-，所以2221212||||(1)()1AF F B k x x x x ⋅=+-++222224128(1)13434k k k k k -=+-+++229(1)34k k =++229(1)34k k =++291(1)434k =++当20k =时，22||||AF F B ⋅取最大值为3，所以22||||AF F B ⋅的取值范围9,34⎛⎤⎥⎝⎦．又当k 不存在，即AB x ⊥轴时，22||||AF F B ⋅取值为94．所以22||||AF F B ⋅的取值范围9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．已知函数e ()(ln )xf x a x x x=--．（Ⅰ）当1a =时，试求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，试求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，试求a 的取值范围．解：（Ⅰ）当1a =时，2e (1)1()1x x f x x x-'=-+，(1)0f '=，(1)e 1f =-．方程为e 1y =-．（Ⅱ）2e (1)1()(1)x x f x a x x -'=--2e (1)(1)x x ax x x ---=，2(e )(1)x ax x x --=．当0a ≤时，对于(0,)x ∀∈+∞，e 0x ax ->恒成立，所以()01f x x '>⇒>；()001f x x '<⇒<<．所以单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)．（Ⅲ）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令2(e )(1)()0xax x f x x --'==⇒e 0xax -=⇒e x a x =．设e ()xg x x=，(0,1)x ∈，所以e (1)()x x g x x-'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞，即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，'2(e )(1)()0x ax x f x x --==有解．设()e x H x ax =-，则()e 0x H x a '=-<，(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减．因为(0)10H =>，(1)e 0H a =-<，所以()e x H x ax =-在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以有：x0(0,)x 0x 0(,1)x ()H x +0-()f x '-+()f x 极小值所以当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一．当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立．综上，a 的取值范围为(e,)+∞．20．已知曲线n C 的方程为：1()nnx y n +=∈*N ．（Ⅰ）分别求出1n =，2n =时，曲线n C 所围成的图形的面积；（Ⅱ）若()n S n ∈*N 表示曲线n C 所围成的图形的面积，求证：()n S n ∈*N 关于n 是递增的；（Ⅲ）若方程n n n x y z +=(2n >，)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解，求证：曲线n C (2n >，)n *∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．解：（Ⅰ）当1n =，2时，由图可知1141122C =⨯⨯⨯=，2πC =．（Ⅱ）要证*()n S n ∈N 是关于n 递增的，只需证明：*1(n )n n S S +<∈N ．由于曲线n C 具有对称性，只需证明曲线n C 在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线n C 与1n C +，因为*1()(1)n nx y n +=∈N 因为11*1()(2)n n xyn +++=∈N 在(1)和(2)中令0x x =，0(0,1)x ∈，当0(0,1)x ∈，存在1y ，2(0,1)y ∈使得011n n x y +=，11021n n x y +++=成立，此时必有21y y >．因为当0(0,1)x ∈时100n n x x +>，所以121n n y y +>．两边同时开n 次方有，1221n ny yy +>>．（指数函数单调性）这就得到了21y y >，从而*()n S n ∈N 是关于n 递增的．（Ⅲ）由于(2n n n x y z n +=>，)n ∈N 可等价转化为()(1n nx y zz +=，反证：若曲线(2n C n >，*)n ∈N 上存在一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 全是有理数，不妨设q x p =，ty s=，p ，q ，s ，*t ∈N ，且p ，q 互质，s ，t 互质．则由1nnx y +=可得，1nnq tps +=．即nnnqs pt ps +=．这时qs ，pt ，ps 就是(2n n n x y z n +=>，*)n ∈N 的一组解，这与方程(2n n n x y z n +=>，*)n ∈N ，0xyz ≠，没有正整数解矛盾，所以曲线(2n C n >，*)n ∈N 上任一点对应的坐标(,)x y ，x ，y 不能全是有理数．。