广东省深圳实验,珠海一中等六校2019届高三第二次联考数学理试题

2019年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）（有答案解析）2019年广东省珠海市高考数学二模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集,,A. B. C. D.2.在复平面内,复数为虚数单位的共轭复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S25=50，则a11+a15=（）A. 4B. 8C. 16D. 25.通过抽样分析2019届高三珠海一模考试数据，我们发现全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85，σ2），且P（60＜X≤85）=0.3．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（）A. 40B. 60C. 80D. 1006.已知定义域为R的函数g(x)＝f(2x)+x2为奇函数，且f(2)＝3，则f(-2)＝（）A. -2B. -5C. 1D. -37.“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1”是“x2+y2≤1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图,若输入的a、b分别为176,320,则输出的a为( )A. 16B. 18C. 20D. 159.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若=12，则∠ADC=（）A. B. C. D.10.已知△ABC的直观图是如图所示的，其中==2，=，则△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的封闭几何体的表面积为（）A. B. C. D.11.已知双曲线的左,右焦点分别为,,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若,则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.D.12.设函数g（x）=e x+（1-）x-a（e为自然对数的底数），定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=x2，且当x≤0时，，若存在x0满足f（x0）+≥f（1-x0）+x0，且x0为函数y=g （x）-x的一个零点，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x,y均为正数,且,则的最小值为______．14.已知数列的各项均为正数,记为的前n项和，若，，则______．15.在△ABC中，若tan A+tan B+tan A tan B=1，则cos2A+cos2B的范围为______．16.已知,,圆O：,直线PM,PN分别与圆O相切,切点为M,N,若,则的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（a+2c）cos B+b cos A=0（1）求B；（2）若b=4，求△ABC的面积的最大值18.已知三棱锥P-ABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中．（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；（2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求直线MA与平面MBC 所成角的正弦值．19.设C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆C上，△D1FF2的周长为2+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆E：x2+y2=上任意一点P作圆E的切线l，若与椭圆C 交于A，B两点，O为坐标原点，求证：∠AOB为定值．20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得2011-2018年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.253 4.96 6.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：（Ⅰ）从该公司2011-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y（百万元）关于年生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）．附：线性回归方程中，，．21.已知函数,若,求的单调区间和极值；设,且有两个极值点,,若,求的最小值．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（0，3），直线与曲线C交于不同的两点A、B，求的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+|2x-1|（a∈R）．（1）a=-1时，求不等式f（x）≥2解集；（2）若f（x）≤2x的解集是[，3]的子集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2-4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|y=lg（2-x）}={x|x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则化简后，求出共轭复数，即可做出判断．【解答】解：，∴其共轭复数为：1-2i，它复平面上对应的点（1，-2）位于第四象限．故选D．3.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的图象与性质的应用，属于基础题．根据函数的单调性排除B，D，根据函数值，排除C．【解答】解：函数定义域为（-1，0）∪（0，+∞），由于，所以函数y=-ln（x+1）在（-1，0），（0，+∞）单调递减，故排除B，D，当x=1时，y=1-ln2＞0，故排除C，故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查等差数列的两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由等差数列{a n}的性质得（a1+a25）=（a11+a15）=50，由此能求出a11+a15的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S25=50，∴（a1+a25）=（a11+a15）=50，解得a11+a15=4．故选A．5.答案：D解析：解：∵全市理科数学成绩X近似服从正态分布N（85，σ2），且P（60＜X≤85）=0.3，∴P（X≥110）==0.2，∴理科数学成绩不低于110分的学生人数约为500×0.2=100．故选：D．由已知求得P（X≥110），乘以500得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6.答案：B解析：【分析】本题考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，属于基础题.根据g（x）是定义在R上的奇函数即可得出g（-1）=-g（1），从而得出f（-2）+1=-[f（2）+1]，然后带入f（2）=3即可求出f（-2）．【解答】解：∵g（x）是R上的奇函数；∴g（-x）=-g（x）；∴g（-1）=-g（1）；∴f（-2）+1=-[f（2）+1]，且f（2）=3；∴f（-2）=-5．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1对应的区域在单位圆内，则“-1≤x+y≤1且-1≤x-y≤1”是“x2+y2≤1”的充分不必要条件，故选A．8.答案：A解析：【分析】本题考查了算法和程序框图，主要是对循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用问题，是基础题．由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=176，b=320，a≠b，且不满足a＞b，则b=320-176=144，由a＞b，则a=176-144=32，由a＜b，则b=144-32=112，由a＜b，则b=112-32=80，由a＜b，则b=80-32=48，由a＜b，则b=48-32=16，由a＞b，则a=32-16=16，由a=b，退出循环，输出a=16．故选：A．9.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．由平面向量线性运算及平面向量数量积运算得：=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，所以||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，得解．【解答】解：因为AB=3，AD=2，=，=，所以=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，即||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，故选：C．10.答案：B解析：【分析】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法，是基础题．根据“斜二测画法”可得AB=4，OC=2，AC=BC=4，△ABC是等边三角形；△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，求它的表面积即可．【解答】解：根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，OC=2，∴AC=BC==4，如图所示，∴△ABC是边长为4的等边三角形．△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为S=2πrl=2π×2×4=16π．故选B．11.答案：D解析：【分析】本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是离心率的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由双曲线的定义可得|MF2|=a，设M（m，n），m＞0，可列出，得到，结合-=1，可得a,b,c的关系，运用离心率公式可得所求值．【解答】解：由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a，若|MF1|=3|MF2|，则|MF2|=a，设M（m，n），m＞0，则有,解得,①又-=1，②把①带入②可得：c2=3a2，则e==．故选D．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．构造函数T（x）=f（x）-x2，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：构造函数T（x）=f（x）-x2，∵f（-x）+f（x）=x2，∴T（x）+T（-x）=f（x）-x2+f（-x）-（-x）2=f（x）+f（-x）-x2=0，∴T（x）为奇函数，当x≤0时，，∴T（x）在（-∞，0]上单调递减，又T（x）为奇函数，则T（x）在R上单调递减，∵存在x0，满足f（x0）+≥f（1-x0）+x0，∴f（x0）-x02≥f（1-x0）-（1-x0）2，化简得T（x0）≥T（1-x0），∴x0≤1-x0，即x0≤，令h（x）=g（x）-x=e x-x-a，（x≤），∵x0为函数y=g（x）-x的一个零点，∴h（x）在x≤时有一个零点，∵当x≤时，=e x-≤-=0，∴函数h（x）在x≤时单调递减，由选项知a＞0，-＜0＜，又∵h（-）=＞0，∴要使h（x）在x≤时有一个零点，只需使h（）=-a≤0，解得a≥，∴a的取值范围为[，+∞），故选：D．13.答案：4解析：【分析】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题．由已知可得，x+y=xy，解不等式可求．【解答】解：∵x+y=xy，解可得，x+y≥4，当且仅当x=y=2时取最小值4，故答案为：4．14.答案：127解析：【分析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．已知关系可整理转化为（a n+a n+1）（a n+1-2a n）=0，根据数列{a n}的各项均为正数，可得a n+1=2a n，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：a n+1=，∴-a n a n+1-2=0，化为：（a n+a n+1）（a n+1-2a n）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n+1=2a n，又∵a1=1，∴数列{a n}为等比数列，公比为2，首项为1，则S7==127．故答案为127．15.答案：（，+1]解析：【分析】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．将已知条件切化弦可得A+B=，B=-A，再把cos2A+cos2B化成1+sin（2A+）后，利用三角函数的性质可得．【解答】解：由tan A+tan B+tan A tan B=1，得++=1，得sin（A+B）=cos（A+B），得tan（A+B）=1，∵0＜A+B＜π，∴A+B=，∴B=-A，0＜A＜，∴cos2A+cos2B=cos2A+cos2（-A）=+=1+（cos2A+sin2A）=1+sin（2A+），∵0＜A＜，∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（，1]，cos2A+cos2B的范围为（，+1]．故答案为（，+1]．16.答案：解析：【分析】本题考查了圆外一点的切点问题和两点的距离公式，点和圆上的点的距离最值问题，属于较难题．由题意，由，可知R为MN的中点，进而求出R的轨迹方程，再根据点到圆上的距离求出最小值.【解答】解：如图，由，可知R为MN的中点，所以OR⊥MN，PR⊥MN，设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则切线PM的方程为,即PM：,同理得，因为PM，PN都过,所以,所以M(x1,y1),N(x2,y2)在直线上，从而直线MN的方程为，因为,所以,即直线MN的方程为，所以直线MN过定点Q（-1，1），QR⊥OR,所以R在以OQ为直径的圆T：上，圆心为T(),半径为r=,所以,故答案为：2．17.答案：解：（1）∵（a+2c）cos B+b cos A=0，∴由正弦定理可得：（sin A+2sin C）cos B+sin B cos A=0，∴sin（A+B）+2cos B sin C=sin C+2cos B sin C=0，∵sin C≠0，可得cos B=-，∴由B∈（0，π），可得B=．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2-2ac×（-），可得：a2+c2+ac=16≥3ac，∴解得：ac≤，当且仅当a=c=时取等号，∴S△ABC=ac sin B≤=，△ABC的面积的最大值．解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C+2cos B sin C=0，结合sin C≠0，可得cos B=-，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ac≤，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于基础题．18.答案：证明：（1）设AC的中点为O，连结BO，PO，由题意得PA=PB=PC=，PO=1，AO=BO=CO=1，∵在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB=，PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB，∵AC∩OB=O，AC，OB?平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．解：（2）由（1）知，BO⊥PO，BO⊥AC，PO∩AC=O，∴BO⊥平面PAC，∴∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO=，∴当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大，由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，∴以OC，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），C（1，0，0），B（0，1，0），A（-1，0，0），P（0，0，1），M（-），=（1，-1，0），=（1，0，-1），=（），=（），设平面MBC的法向量=（x，y，z），直线MA与平面MBC所成角为θ，则由，得，令x=1，得=（1，1，3），则sinθ===，∴当直线BM与平面PAC所成的角最大时，直线MA与平面MBC 所成角的正弦值为．解析：（1）设AC的中点为O，连结BO，PO，推导出PO⊥AC，PO⊥OB，从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．（2）由BO⊥PO，BO⊥AC，得BO⊥平面PAC，从而∠BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tan∠BMO=，当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大，以OC，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当直线BM与平面PAC所成的角最大时，直线MA与平面MBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：（1）解：由题意知，，周长2a+2c=，且a2=b2+c2，联立解得，b=c=1．∴椭圆C的标准方程为；（2）证明：①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x=，则A（，），B（），∴，则，即；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，并设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2+4kmx+（2m2-2）=0．△=8（2k2-m2+1）＞0．，．由直线l与圆E相切，得d=，则3m2-2k2-2=0．∴==．从而，即．综上所述，．解析：（1）由已知可得关于a，c的关系式，结合隐含条件求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x=，求得A，B的坐标，由，得；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及直线l与圆E 相切得到，得，由此可得∠AOB为定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，故X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）===，故X的分布列为X0123P所求．（2）解法一：，，故去掉2015年的数据之后，，，，所以，从而回归方程为：．解法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，而去掉2015年的数据之后，，从而回归方程为：．注：若有学生在计算时用计算得也算对．解析：（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，从而ξ的所有可能取值为0，1，2，3．分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（2）法一：，由此能求出回归方程．法二：因为，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以，由此能求出回归方程．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查回归直线方程的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（1）将a=1代入f（x）中，得到f（x）=x2+x-ln x，求导，得到，结合x＞0，当f'（x）＞0得到：f（x）在单调递增，当f'（x）＜0，得f（x）到在单调递减，且f（x）在时有极小值，（2）将f（x）解析式代入，得g（x）=x2-（2b-2）x+2ln x，求导得到，令g'（x）=0，得到x2-（b-1）x+1=0，所以∴x1+x2=b-1，x1x2=1，，====因为0＜x1＜x2，所以设，令，则所以h（t）在（0，1）单调递减，又因为所以，所以或t≥3又因为0＜t＜1，所以所以，所以g（x1）-g（x2）的最小值为.解析：本题考查函数的极值、最值的综合问题，属于较难题目．（1）先求出导数，判断出函数的单调性，求出极小值；（2）先根据极值概念得出x1+x2=b-1，x1x2=1，然后对g（x1）-g（x2）进行化简整理，采用换元法，构造新函数，再研究新函数的单调性求出最小值即可．22.答案：解：（1）由消去参数t可得直线l的普通方程为：,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4;（2）依题意可得直线l的参数方程为：（t为参数），将其代入曲线C的方程得：t2+（2+3）t+9=0，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=-（2+3），t1t2=9，则+=+==．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，属中档题．（1）由消去参数t可得直线l的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程．（2）根据参数t的几何意义可得．23.答案：解：（1）a=-1时，不等式f（x）≥2，即为|x-1|+|2x-1|≥2，当x≥1时，x-1+2x-1≥2，解得x≥；当＜x＜1时，1-x+2x-1≥2，解得x∈?；当x≤时，1-x+1-2x≥2，解得x≤0．可得不等式的解集为{x|x≤0或x≥}；（2）f（x）≤2x的解集是[，3]的子集，即有|x+a|≤2x-（2x-1）=1，即为-1-a≤x≤1-a，可得-1-a≥且1-a≤3，解得-2≤a≤-．解析：（1）由题意可得|x-1|+|2x-1|≥2，对x讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）由题意可得|x+a|≤2x-（2x-1）=1，即为-1-a≤x≤1-a，由结合的包含关系可得a的不等式组，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及集合的包含关系，考查分类讨论思想方法和化简运算能力，属于基础题．。

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足, 若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。

2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |x ＞0}，N ={x |x 2-4≥0}，则M ∪N =（ ）A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞) 2. 在复平面内，复数z =i(1+i)1−2i所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4. 已知等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2a 4=4（a 3-1），则a 5=（ ）A. 8B. 16C. 32D. 645. 已知函数f(x)=ax 2+(1−a)x +2x 是奇函数，则曲线y =f （x ）在x =1处的切线得倾斜角为（ ）A. π4B. 3π4C. π3D. 2π36. 在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则FB⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. −34a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +34b ⃗ C. 12a⃗ −34b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. (8+4√2)π B. (9+4√2)π C. (8+8√2)π D. (9+8√2)π 8. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）A. 15B. 14C. 13D. 129. 已知函数f(x)=ax +lnx −1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,0]∪{1}B. [0,1]C. (−∞,0]∪{2}D. [0,2]10. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F 1关于直线AB 的对称点为M ．若MF 2⊥F 1F 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A. √3−12 B. √3−13 C. √5−12D. √2211. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＞0)在区间[−π4，π3]上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ ）A. [83,7)B. [83,4)C. [4,203)D. (203,7)12. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A. √6B. √62C. 52D. 54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足{2≤x ≤3，1≤y ≤2，x +y ≤4，则yx−1的最大值为______．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，且圆E ：（x -2）2+y 2=1的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为______．15. 精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有______种．16. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=3，当n ≥2时，有S n +S n -1-2S n S n -1=2na n ，则使得S 1S 2…S m ≥2019成立的正整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，AB =√2BC ，AC =2√5，点D 在边AC 上，且AD =2CD ，∠ABD =2∠CBD ．（1）求∠ABC 的大小； （2）求△ABC 的面积．18. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFG 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AEF ．（1）求证：EF ⊥PC ；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．19. 某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量y i 和月销售价x i （i =1，2，3，-..10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y =c +d ln x 与y =bx +a 哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据（v 1，w 1），（v 2，w 2），…（v n ，w n ），其回归直线w =α+βv 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=∑(n i=1w i −w −)(v i −v −)∑(n i=1v i −v −)2，=w−v −．②参考数据：x −y −u −∑10i=1（x i −x −）2 ∑10i=1（u i −u −）2∑10i=1（x i −x −）（y i −y −）∑10i=1（u i −u −）（y i −y −） 6.506.601.75 82.502.70-143.25-27.54表中u i =ln x i ，u −=110∑10i=1u i ．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.0≈1.40．20. 己知抛物线C ：x 2=4y ，过点（2，3）的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（l ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ |取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21. 已知函数f （x ）=e x -ae -x -（a +1）x （a ∈R ）．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数）．（1）求函数f （x ）极值点；（2）若对于任意0＜a ＜1，关于x 的不等式[f （x ）]2＜λ（e a -1-a ）在区间（a -1，+∞）上存在实数解，求实数λ的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=2cosα(α为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当0＜θ0＜π2时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m |(m ＞1)．（Ⅰ）当m =2时，求不等式f （x ）＞3的解集； （Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|x＞0}，N={x|x2-4≥0}={x|x≥2或x≤-2}，∴M∪N={x|x≤-2或x＞0}=（-∞，-2]∪（0，+∞）．故选：A．先分别求出集合M，N，再利用并集定义求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在复平面内，复数==--i所对应的点（-，-）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由茎叶图可知：①==84，==84，即=，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B正确，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2=[（75-84）2+（82-84）2+（83-84）2+（87-84）2+（93-84）2]=，S乙2=[（77-84）2+（83-84）2+（84-84）2+（85-84）2+（91-84）2]=，即S甲2＞S乙2，即选项D 正确，故选：D．先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}满足，且a2a4=4（a3-1），则×q××q3=4（×q2-1），解得q2=4，∴a5=a1q4=×42=8，故选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：函数是奇函数，可得f（-x）=-f（x），可得a=0，f（x）=x+，f′（x）=1-，即有曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=1-2=-1，可得切线的倾斜角为，故选：B．由奇函数的定义可得a=0，求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线斜率，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题可知，═=．故选：D．由题可知，∵，可求出．本题考查了平面向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用7.【答案】A【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：S==．故选：A．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．8.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵函数，∴f′（x）=+=，x＞0，当a≤0时，f′（x）=＞0恒成立，f（x）是增函数，x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=a-1＜0，函数有且仅有一个零点；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（x）min=f（a）=lna=0，解得：a=1，综上：实数a的取值范围为（-∞，0]∪{1}．故选：A．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定满足条件的a的范围即可．本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx-ay=ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x=c，MF1的方程y=，可得M（c，-），MF1的中点为（0，-），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解MF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：函数，=2sin（ωx+）．令：，所以：f（x）=2sint，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数y=2sint恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[]，则：，解得：，即：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：补成长，寛，高分别为，，1的长方体（如下图）由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，可得KL+KN=，设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ=sin∠HFB=sin∠LKN，算得sinθ=，∴S四边形MNKL=NK•KL•sin∠NKL≤（）2=，当且仅当NK=KL时取等号．故选：B．补成长，寛，高分别为，，1的长方体，在长方体中可解决．本题考查了平面的基本性质及推论，属中档题．13.【答案】2【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，得A（2，2），由z=，而k DA ==2．∴目标函数的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点D（1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】x23−y2=1【解析】解：根据题意得：圆E：（x-2）2+y2=1的圆心F（2，0），半径为1，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx-ay=0，∵以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C的渐近线相切，且4=a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d==b=1，可得a=，所以双曲线方程为：=1．故答案为：=1．根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C 的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=1，整理得到a，b，即可求解双曲线方程．此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．15.【答案】72【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C32×A22×A22=36种派驻方法；②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C31×A22×A22=36种派驻方法；则一共有36+36=72种派驻方法；故答案为：72．根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】1009【解析】解：∵S n+S n-1-2S n S n-1=2na n，∴S n+S n-1-2S n S n-1=2n（S n-S n-1），∴2S n S n-1=（2n+1）S n-1-（2n-1）S n，∴．令，则b n-b n-1=2（n≥2）．∴数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列．∴b n=2n-1．即，得．∴S1S2…S m =．由2m+1≥2019，解得m≥1009．即正整数m的最小值为1009．故答案为：1009．把已知数列递推式变形，得到，令，则b n-b n-1=2（n≥2），可知数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n，再由累积法求得S1S2…S m，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵AD=2CD，设∠ABD=2∠CBD=2θ．∴S△BDCS△ABD=CDAD=12，∵S△BDC=12BC⋅BD⋅sinθ，S△BDA =12AB⋅BD⋅sin2θ，AB =√2BC，∴解得：cosθ=√22，可得：θ=π4，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=3π4…8分（2）在△ABC中，由余弦定理，可得：AC2=AB2+AC2-2AB•BC•cos3θ，因为AC=2√5，AB=√2BC，可得（2√5）2=（√2BC）2+BC2-2√2BC•BC•cos3π4，解得BC=2，…10分可得S△ABC=12AB•BC•sin3θ=12×√2BC2×√22=2…12分【解析】（1）由已知设∠ABD=2∠CBD=2θ．利用三角形的面积公式可求==，结合S△BDC=，，AB=BC，可求cosθ=，解得，可求∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=．（2）在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）连接AC ，BD ，EF ，设EF ∩AC =O ，连接OP ． ∵PC ⊥PE ，PC ⊥PF ，PE ∩PF =P ，∴PC ⊥平面PEF ，∴PC ⊥EF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ，又PC ∩AC =C ，∴EF ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥PC ．（2）由（1）可知EF ⊥平面PAC ，PC ⊥平面PEF ． ∵OC =34AC =3√2，PC =4，∴PO =√OC 2−PC 2=√2，∴sin ∠PCA =PO OC =13，cos ∠PCA =2√23，∴S △PAC =12×4×4√2×13=8√23．PA =√16+32−2×4×4√2×2√23=4√33， 又OE =12EF =√2，∴V E -PAC =13×8√23×√2=169，又S △PCE =12×2×4=4，设A 到平面PCE 的距离为h ， 则V A -PCE =13×4×h =169，解得h =43． ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为ℎPA =√33．【解析】（1）连接AC ，BD ，EF ，通过证明PC ⊥平面PEF 得出PC ⊥EF ，根据中位线定理得出EF ⊥AC ，故而可得EF ⊥平面PAC ，于是EF ⊥PC ；（2）根据V E-PAC =V A-PCE 计算A 到平面PCE 的距离，再计算线面角的正弦值； 本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）y =c +d ln x 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，令u =ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，=−27.542.70=-10.20，=6.6+10.20×1.75=24.45，∴y 关于u 的线性回归方程为， 因此y 关于x 的回归方程为．（2）由题意得z =xy =x （24.45-10.20ln x ），则z ′=[x （24.45-10.20ln x ）]′=14.25-10.20ln x ， 令z ′=0得14.25-10.20ln x =0，得ln x ≈1.40， 得x ≈4.06，当x ∈（0，4.06）时，z ′＞0，此时z 单调递增，当x ∈（4.06，+∞）时，z 单调递减， 故当x =4.06时，z 取得最大值，即月销售量y =10.17（千件）时，月销售额预报值最大． 【解析】（1）根据散点图得到y=c+dlnx 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可．（2）求出z 的表达式，求z 的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即可． 本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）∵点A 的横坐标为4，∴A （4，4），易知此时直线l 的方程为y =12x +2， 联立{x 2=4yy =12x +2，解得{y =1x=−2，或{y =4x=4，∴B （-2，1）．由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =2，直线PA 的方程为y =2x -4，同理可得直线PB 的方程为y =-x -1，联立；{y =−x −1y=2x−4，可得{y =−2x=1，故点P 的坐标为（1，-2）． （2）设A （x 1，x 14），B （x 2，x 24），由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =x 12，所以直线PA 的方程为y -x 124=x 12（x -x 1），即y =x12x -x 124，同理PB 的方程为y =x 22x -x 224，联立解得P （x 1+x 22，x 1x 24），依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y -3=k （x -2），由{y −2=k(x −2)x 2=4y得x 2-4kx +8k -12=0，易知△＞0，因此x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -12，∴P （2k ，2k -3），∴点P 在直线x -y -3=0上，当|PQ |取得最小值时，即抛物线C ：x 2=4y 上的点Q 到直线x -y -3=0的距离最小． 设Q （x 0，x 024），Q 到直线x -y -3=0的距离d =|x 0−x 024−3|√2=|(x 02−1)2+1|√2=√2+(x 02−1)2√2，所以当x 0=2时，d 取最小值√2，此时Q （2，1），易知过点Q 且垂直于x -y -3=0的直线方程为y =-x +3，由{x −y −3=0y=−x+3解得P （3，0），k =32，所以直线l 的方程为y =32x ， 综上，点Q 的坐标为（2，1），直线l 的方程为y =32x ． 【解析】（1）通过导数的几何意义求得PA，PB的斜率，再求得PA，PB的方程，再联立解得P的坐标：（2）设出A，B的坐标后利用导数的几何意义求得PA，PB的方程，联立解得P的坐标，得点P 在定直线x-y-3=0上，∴点P在直线x-y-3=0上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x2=4y上的点Q到直线x-y-3=0的距离最小．再利用点到直线距离公式求出Q到直线x-y-3=0 的距离及其最小值的条件，可得Q的坐标，从而可得直线l的方程．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=e x-ae-x-（a+1）x（a∈R）．∴f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=(e x−1)(e x−a)e x，①当a≤0时，x（-∞，0） 0（0，+∞）f′（x）- 0+f（x）↓极小值↑∴函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．②当0＜a＜1时，x（-∞，ln a） ln a（ln a，0） 0（0，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2e x≥0，∴函数f（x）单调递增，即f（x）无极值点．④当a＞1时，x（-∞，0） 0（0，ln a） ln a（ln a，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．综上：当a≤0时，函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．当0＜a＜1时，函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．当a=1时，函数f（x）无极值点．当a＞1时，函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．（2）e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，∵当0＜a＜1时，ln a＜a-1＜0，∴当0＜a＜1时，e a-1＞1+a-1=a，∴ln a＜a-1＜0，令g（a）=ln a-a+1，则g′(a)=1a−1，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，∴g（a）＜g（1）=0，即a-1＞ln a，∵a-1＜0，∴ln a＜a-1＜0，∴由（1）知0＜a＜1时，f（x）在区间（a-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，∴f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，∵关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a-1-a）在区间（a-1，+∞）上存在实数解，∴只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，∴当0＜a＜1时，e a-1-a＞0，∴只需当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F（x）=(1−x)2e x−1−x，0≤x＜1，则F′（x）=(1−x)2e x−1−x，∵0≤x＜1，∴F′（x）=(x−1)(3ex−1−x−1)(e x−1−x)2，令函数μ（x）=（3-x）e x-1在点T（1，2）处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1，如图所示，由题意得（3-x）e x-1≥x+1，当且仅当x=1时，取等号，∴当0＜x＜1时，G（x）＞0，∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，∴F（x）＜F（0）=e，即F（x）＜e，∴当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e．综上，实数λ的取值范围是[e，+∞）．【解析】（1）求出f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=，根据a≤0，0＜a＜1，a=1，a＞1，进行分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．（2）令g（a）=lna-a+1，则，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，a-1＞lna，f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，只需当0＜a＜1时，不等式恒成立即可，令函数F（x）=，0≤x＜1，则F′（x）=，求出F′（x）=，利用导数性质能求出实数λ的取值范围．本题考查利用导数研究函数极值点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用分类讨论思想、数形结合思想求解，是难题．22.【答案】解：（1）由{y=sinαx=2cosα，得C1的普通方程为x24+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得(ρcosθ)24+（ρsinθ）2=1，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=41+3sin2θ，所以C1的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2θ，得ρM 2=41+3sin 2θ0，把θ=θ0代入ρcosθ，得ρN 2=4cosθ0，则|ON |=2|OM |，得ρN =2ρM ，则ρN 2=4ρM 2，即（4cosθ0）2=161+3sin 2θ0，解得sin 2θ0=23，cos 2θ0=13，又0＜θ0＜π2，所以ρM =√41+3sin 2θ0=2√33，ρN =4cosθ0=4√33，所以△MC 2N 的面积S MC 2N =S △OC 2N -S△OC 2M =12|OC 2|（ρN -ρM ）sinθ0=12×2×2√33×√63=2√23．【解析】（1）由，得C 1的普通方程为+y 2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（Ⅰ）当m =2时，f （x ）=|x -2|+|x +12|；①当x ≤-12时，原不等式等价于（2-x ）-（x +12）＞3，解得x ＜−34； ②当-12＜x ＜2时，原不等式等价于52＞3，不等式无解； ③当x ≥2时，原不等式等价于（x -2）+（x +12）＞3，解得x ＞94， 综上，不等式f （x ）＞3的解集为（-∞，-34）∪（94，+∞）． （Ⅱ）证明：由题f （x ）=|x -m |+|x +1m |， ∵m ＞0，∴|m +1m |=m +1m ，所以f （x ）≥m +1m ，当且仅当x ∈[-1m ，m ]时等号成立， ∴f （x ）+1m(m−1)≥m +1m +1m(m−1)=m +1m−1=（m -1）+1m−1+1， ∵m ＞1，m -1＞0，∴（m -1）+1m−1+1≥2√(m −1)⋅1m−1+1=3，∴f （x ）+1m(m−1)≥3．当m =2，且x ∈[-12，2]时等号成立． 【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并； （Ⅱ）由题f （x ）=|x-m|+|x+|，∵m ＞0，∴|m+|=m+，所以f （x ）≥m+，当且仅当x ∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）广东省六校高三第二次联考试题理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选：B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。

【答案】A
【解析】画出“ , , ,所表示的平面区域,即可进行判断.
【详解】
如图，“ 且 ”表示的区域是如图所示的正方形，
记为集合P，“ ”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q，
显然 是 的真子集,所以答案是充分非必要条件，
故选: .
【点睛】
本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易.
所以 在 时有一个零点
因为当 时， ，
所以函数 在 时单调递减，
由选项知 ， ，
又因为 ，
所以要使 在 时有一个零点，
只需使 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.
二、填空题
9．若x，y均为正数，且 ，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】由基本不等式可得 ,则 ,即可解得 .
17．已知函数 ，
（1）若 ，求 的单调区间和极值；
（2）设 ，且 有两个极值点 ， ，若 ，求 的最小值.
则直线 过定点 ,由 则点 在以 为直径的圆 上，则 .即可求得.
【详解】
如图，由 可知R为MN的中点，所以 ， ，
设 ，则切线PM的方程为 ，
即 ，同理可得 ，
因为PM，PN都过 ，所以 ， ，
所以 在直线 上，
从而直线MN方程为 ，
因为 ，所以 ，
即直线MN方程为 ，
所以直线MN过定点 ,
所以R在以OQ为直径的圆 上，
【答案】（1） （2）见解析
【解析】(1)由 ，周长 ,解得 , 即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况 的斜率不存在时,求得 ,再证明 的斜率存在时 ,即可证得 为定值.通过设直线 的方程为 与椭圆方程联立,借助韦达定理求得 ,利用直线 与圆相切,即 ,求得 的关系代入,化简即可证得 即可证得结论.

深圳市2019届高三第二次调研考试（数学理）试题及答案一、选择题1．i 为虚数单位，则1i i +=A ．0B ．2iC ．1i +D ．1i -+2．已知集合{}0,1A =，满足条件{}2,0,1,3A B ⋃=的集合B 共有A ．2个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是A ．y =B ．x x y e e -=-C ．sin y x x =D ．1lg 1x y x-=+ 4．一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28 的样本，则样本中女运动员的人数为A ．9B ．10C ．11D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于A ．12 B ．2 C ．2D ．1 6．已知x R ∈，则1x ≥是|1||1|2||x x x ++-=的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件7．由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形（图1中的阴影部分）的面积是A ．1B ．4π C ．3D ．2 8．在23451(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x ++++++++++的展开式中，含2x 的系数是 A ．10 B ．15 C ．20 D ．25二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题。

9．某简单组合体的三视图如图2，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm ），则该组合体的体积是 3cm （结果保留π）10．若直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k = 。

11．执行图3中程序框图表示的算法，其输出的结果s 为 。

（注：框图中的“=”，即为“←”或为“：=”）12．已知向量(1,2)a =-，M 是平面区域0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩内的动点，O 是坐标原点，则a OM ⋅ 的最小值是 。

第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知集合 M = {x | x 0}， N = {x | x2 − 4 0}，则 M N =
（A）(−, −2] (0, +) （B）(−, −2] [2, +) （C）[2, +) （D）(0, +)
动．下面的茎叶图是参赛两组选手的答题得分情况，则下列说法正确的是
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题 第 1 页 共 7页
（A）甲组选手得分的平均数小于乙组选手得分的平均数
甲
乙
（B）甲组选手得分的中位数大于乙组选手得分的平均数
57 7
（C）甲组选手得分的中位数等于乙组选手得分的中位数
少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三种方法求解，所得结
果均不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，这极大地促进了概率论基础的严格
化．已知“随机端点”的方法如下：设 A 为圆 O 上一个定点，在圆周上随机取一点
B ，连结 AB ，求所得弦长 AB 大于圆 O 的内接等边三角形边长的概率．记该概率为
已知函数 f (x) =| x − m | + | x + 1 | (m 1) ． m
（1）当 m = 2 时，求不等式 f (x) 3 的解集； （2）证明： f (x) + 1 3 ．
m(m −1)
深圳市 2019 年高三年级第二次调研考试 数学（理科）试题 第 7 页 共 7页
2019 年深圳市高三第二次调研考试
已知抛物线 C : x2 = 4y ，过点 (2, 3) 的直线l 交 C 于 A 、B 两点，抛物线 C 在点 A 、B

广东省2019届高三六校第二次联考2019-11-2 本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则集合A．B．C．D．2．若，则下列结论不正确．．．的是A．B．C．D．3．函数，已知的两个极值点为，，则A．B．C．D．4．设，，则函数的最大值为A．B．C．D．5．函数对于任意实数满足条件，若，则A．B．C．D．6．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC＝2，CD＝1，∠ABD＝45°，则AD ＝A．2 B．5 C．4 D．17．在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积是4，则的最小值为A．B．C．D．8．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2019个数是A．3948 B．3953 C．3955 D．3958二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．已知数列为等差数列，且，则____________．10．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则的面积等于____________．11．方程在上有解，则的取值范围是____________．12．设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为____________．13．设函数，[]表示不超过的最大整数，则函数[]的值域是____________．14．若定义在区间上的函数对上的任意个值，，…，，总满足≤，则称为上的凸函数．已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和值域；（2）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．16．（本小题满分12分）数列的前项和为，数列满足，且，．（1）求，的表达式；（2）设，求数列的前项和．17．（本小题满分14分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．18．（本小题满分14分）已知，若在区间上的最大值为，最小值为，令．（1）求的函数表达式；（2）判断的单调性，并求出的最小值．19．（本小题满分14分）已知函数，其中，为参数，且．（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）已知，．（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若广东省2019届高三六校第二次联考数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．B 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．10．11．12．13．14．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）解：（1）………………3分∴函数的最小周期,值域为………………5分（2）………………6分是三角形内角∴，∴即： (8)分∴即：………………10分将可得：解之得：∴∴，………………12分16．（本小题满分12分）解：（1）………………2分当时，，所以………………3分………………4分成等比数列,且首项,公比………………5分,………………6分（2），………………7分令，记则相减，故………………10分故………………12分17．（本小题满分14分）解：（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：………………4分（2）………………5分令得或（不合题意，舍去）． (6)分，．在两侧的值由正变负．………………8分所以（a）当即时，．………………10分（b）当即时，，……12分所以………………13分答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． (14)分18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）解：（I）当时则在内是增函数，故无极值。

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三第二次联考试题文科综合地理第Ⅰ卷人口半城镇化率M=(城镇常住人口—城镇户籍人口)/城乡总人口×100%，能反映农村人口向城市人口转化过程中的不完整程度，主要表现为没有城镇户籍，在子女教育、社会保障、住房等诸多方面未享有城镇户籍人口同等待遇。

据此完成下列问题。

1. 下列说法正确的是A. M高的城市城市化水平最高B. M低的城市城市病最突出C. M高的城市就业机会较多D. M低的城市经济发展速度快2. 以下有助于解决半城镇化问题的措施A. 降低城市化速度B. 加速郊区城市化进程C. 在农村宅基地上建商品房D. 重视以人为本的城市化进程【答案】1. C 2. D【解析】【分析】本题组以人口半城镇化率为载体，考查人口半城镇化的特征以及解决人口半城镇化问题的措施，旨在考查考生获取和解读地理信息、调动和运用地理知识的能力。

【1题详解】据材料可知，人口半城镇化率是指在城市生活和工作，而没有城镇户籍的农村人口，M高说明城镇就业机会多，吸引了很多农村人口进城务工，C正确。

城市化水平是城市人口占总人口的比重，M高只能说明城市发展速度快，无法说明城镇整体的城市化水平高低，因为还缺少城市户籍人口的数据，A错误；M低说明城镇的吸引力弱，进城务工人员少，城市经济发展较慢，城市病少，B、D错误。

【2题详解】据材料，半城镇化是指城市里面的非户籍人口较多，解决半城镇化问题的关键是将这部分人口转变为户籍人口，避免同在城镇工作社会福利等有巨大的差异，所以应该重视以人为本的城市化进程，D正确。

降低城市化速度和加速城市化进程都无法解决部分城市务工人员没有城市户籍的问题，A错误；农村地区就业机会少，人口少，商品房需求小，C错误。

【点睛】此类新概念题目是高考的一个趋势，解决此类问题的关键是理解新概念的含义，并与已有的知识储备建立联系，只要解决了新概念与已有知识储备之间的联系，这种问题是比较简单的一类题目。

2019届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置. 1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则AB ＝ （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）1A B C D8.如图：正方体1111ABCD A BC D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条行的棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→2i +路线是1.AB BB →→它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2019段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时距离是 ( )A ．二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,x y a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2019届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 D CCCBADB二.填空题9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.1812.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分） 设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：x(,-∞ ()+∞'()f x +0 — 0 +()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增 ……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5- . ……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分 所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx .所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性. 解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分 （2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分（4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a 上递减，在(,)2a+∞上递增. ……14分19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x xf x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x xf x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x '∴=->， ……9分 ()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ，且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x = ； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明； （3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小. 解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++- 显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分 （2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增因为21111()12!!n nnn n n x x f x x n ++++=-++++·11· 所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分(3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n p x x +->而2()102!!nnnn n n x x f x x n =-++++= 21()102!!(1)!()!nn n pn p n p n p n pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分 两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k kkn p nn p n n pn n p k k n kn p n pn p n p k n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n +-<……14分。

广东省深圳实验、珠海一中等六校2019届高三数学第二次联考试题文（含解析）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，∴．选D．2.已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】设，则，，所以，得，所以或.本题选择C选项.3.已知，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.4.等差数列中，，则其前项和取最大值时的值为（）A. 503B. 504C. 503或504D. 505【答案】C【解析】【分析】题目所给数列为等差数列，故将所给的两个条件都转化为的形式，解方程组解出，然后利用通项大于或等于零，求得最大时的值.【详解】由于数列为等差数列，故，解得，故，当时，解得，故当或时，取得最大值.故选C.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式.在求解等差数列通项的过程中，首先明确题目给定的数列是等差数列还是等比数列，若是等差数列，则将已知条件转化为和的形式，若是等比数列，则将已知条件转化为和的形式，然后通过解方程组求得对应的首项和公差或者首项和公比，由此求得数列的通项公式.5.下列命题中，为真命题的是（）A. ，使得B.C. D. ，是的充分不必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A,C两个选项，利用指数函数和幂函数的性质进行排除，对于B选项，利用基本不等式的知识进行排除.对于D选项，利用不等式的性质和充要条件的知识来说明.【详解】对于A选项，由于对任意的实数都成立，故A选项错误.对于B选项，当时，不等式不成立.当时，，故C选项错误.根据不等式的性质，当时，，反过来不一定，故D选项正确.故选D.【点睛】本小题主要考查指数函数和幂函数的图像与性质，考查基本不等式使用的条件：一正二定三相等，考查全称命题与特称命题，考查充要条件的判断以及不等式的性质等知识，属于中档题.6.四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】画出图像，将两条异面直线平移到一起，然后利用三角形的知识求得两条异面直线所成的角. 【详解】画出图像如下图所示，将平移到的位置，连接，则角即是两条异面直线所成的角.由于三角形为等边三角形，故两条异面直线所成的角为.故选C.【点睛】本小题主要考查空间两条异面直线所成的角.要求空间两条异面直线所成的角，需要通过平移，将两条异面直线平移到有一个公共顶点的三角形内，然后通过解三角形求得异面直线所成的角.将异面直线平移的主要方法是通过平行四边形平移，或者通过中位线平移，或者通过面面平行来平移.7.已知满足，则的最大值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】画出可行域，通过平移到边界位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，通过平移到点的位置，此时截距取得最大值，也即目标函数取得最大值为.故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划知识，目标函数是线性型的.画出可行域后，平移目标函数到边界位置来取得最值.属于基础题.8.已知菱形的边长为2，，点满足，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将两个向量，用表示，再根据向量数量积的运算，列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意,.故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积运算，考查平面向量的加法和减法的运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为偶函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的最低点求得，再结合图像过和这两个点，可求得的解析式，然后对选项逐一进行判断和排除，从而得出正确选项.【详解】由于三角函数图像最小值为，故.，将点代入，解得，，再将代入，解得，故.函数的周期为，所以A选项错误. 为奇函数，故B选项错误.，故D选项错误.所以选C.【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像，求三角函数的解析式，并利用解析式求三角函数的最小正周期、单调区间等问题，综合性较强，属于中档题.10.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据离心率可得，根据双曲线的定义和三角形的周长，列方程组求得三角形的三条边长，然后利用勾股定理算出高，再用三角形面积公式计算出面积.【详解】根据离心率得，即，根据双曲线的定义，有，根据三角形的周长有，故，故三角形的高为，故面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率和焦点三角形的面积.离心率在本题中的作用是将转化为的形式.在解答过程中，主要是方程的数学思想方法，利用双曲线的定义，得到一个方程，再利用题目所给的周长这个条件，又列出另一个方程，根据这两个方程可以求解出三角形的边长.11.在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，符合抛物线的定义.由此得出选项.【详解】画出图像如下图所示，由于到直线的距离，也即是的长度.由此将问题转化为到直线的距离和到点的距离相等，这恰好是抛物线的定义，故选D.【点睛】本小题主要考查空间点到直线的距离，考查圆锥曲线的定义，主要是抛物线的定义，属于基础题.12.设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果.详解：设切点是，由是切线斜率，切线方程为，整理得，，记，当，递减；当，递增；故，即的最小值是故选C.点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。

广东省六校2019届高三第二次联考试题理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数R)，（为虚数单位），若为纯虚数，则( )A. 1B.C. 2D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用纯虚数得到答案．【详解】∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了纯虚数的定义，是基础题．2.设全集，集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求得A∪B，再根据补集的定义即可求解．【详解】∵集合A={x|﹣1＜x＜5}，集合B={x|﹣2＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣2＜x＜5}，={x|﹣5＜x≤2}，故选：B．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．3.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（）A. 36里B. 24里C. 18里D. 12里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程．【详解】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：D．【点睛】等比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解．4.函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的单调性，求出相应的区间，即可得到结论．【详解】由（n∈Z），可得≤x≤（n∈Z），令n=﹣k，则可得函数y=3sin的单调递增区间是故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的计算能力，正确运用正弦函数的单调区间是关键．5.下列有关命题的说法中错误的是( )A. 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B. 命题：“若是幂函数，则的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C. 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D. 若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件.【答案】C【解析】【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断即可；B．根据逆否命题的等价性判断命题的逆命题为假命题即可；C．根据全称命题的否定是特称命题进行判断；D．根据线面平行的判定定理及性质定理进行判断.【详解】对于A，若为真命题，则中至少有一个为真命题.正确；对于B，命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f（x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，正确；对于C，命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0”，错误；对于D，若直线和平面，满足.则“” 是“”的充分不必要条件，正确，故选：C【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题，含有量词的命题的否定，复合命题以及充分条件和必要条件的判断，知识点较多综合性较强，但难度不大．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，∴本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．7.如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设，,，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示，由C，D，F三点共线得出x，y的关系，消去y，得到关于x的函数f（x），利用导数求出f（x）的最小值．【详解】=2x y．∵C，F，D三点共线，∴2x+y=1．即y=1﹣2x．由图可知x＞0．∴==．令f（x）=，得f′（x）=，令f′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当x时，f′（x）＞0．∴当x=时，f（x）取得最小值f（）==3+2．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，函数的最值，属于中档题．8.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f（0）=0，f（x）为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有f（x+2）=f（﹣x），即f（x+2）=﹣f（x），进而得到f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f（x）为周期为4的函数，若f（1）=2，可得f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2018）=504×0+2+0=2．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由f（x）=2sinωx可得[﹣，]是函数的递增区间，结合已知可得[﹣，]⊇[]，可解得0＜ω≤，又函数在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可得0≤≤π，进而得解．【详解】f（x）=2sinωx，∴[﹣，]是函数的递增区间，且[﹣，]．又∵函数在[]上递增，∴[﹣，]⊇[]，∴得不等式组：﹣≤﹣，≤，又∵ω＞0，∴0＜ω≤，又在区间上存在唯一的使得，根据正弦函数的性质可知ωx=2kπ+，k∈Z，即函数在x=+处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综上，可得ω∈[，]．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断[﹣，]⊇[]是解题的关键，属于中档题．10.将正奇数数列依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：,称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的位于分组序列中( )A. 第组B. 第组C. 第组D. 第组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组选A.【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同的单位分数之和。

2019年广东省六校联盟高三上学期第二次联考理综（深圳实验，广州二中，珠海一中，惠州一中，东莞中学，中山纪中）物理试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I 卷（选择题）一、单选题1．如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O 点，O 点恰好是下半圆的顶点,它们处在同一竖直平面内．现有两条光滑直轨道AOB 、COD ，轨道与竖直直径的夹角关系为αβ>，现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（ ）A ．B D v v = B ．B D v v >C ．AB CD t t = D ．AB CD t t >2．如图所示为某电场中x 轴上电势随x 变化的图像，一个带电粒子仅受电场力作用在1x 处由静止释放沿x 轴正向运动，且以一定的速度通过2x 处，则下列说法正确的是（ ） A ．1x 和2x 处的电场强度均为零 B ．1x 和2x 之间的场强方向不变C ．粒子从1x 到2x 过程中，电势能先减小后增大D ．该粒子带正电3．有四条垂直于纸面的长直固定导线，电流方向如图所示，其中a b c 、、三条导线到d 导线的距离相等，三条导线与d 的连线互成120︒角.四条导线的电流大小都为I ，其中a 导线对d 导线的安培力大小为F .现突然把c 导线的电流方向改为垂直于纸面向外，电流大小不变. 此时d 导线所受安培力的合力大小为（ ）A ．0B ．FCD ．2F4．如图所示，A 和B 为竖直放置的平行金属板，在两极板间用绝缘线悬挂一带电小球．开始时开关S 闭合且滑动变阻器的滑片P 在a 处，此时绝缘线向右偏离竖直方向，电源的内阻不能忽略，下列判断正确的是（ ） A ．小球带负电B ．当滑片从a 向b 滑动时，绝缘线的偏角θ变大C ．当滑片从a 向b 滑动时，电流表中有电流，方向从上向下D ．当滑片从a 向b 滑动时，电源的输出功率一定变大5．如图，质量分别为M 、m 的两个木块A 、B 通过轻弹簧连接，木块A 放在水平桌面上，木块B 用轻绳通过定滑轮在力F 的作用下整体恰好处于静止状态，绳与水平方向成α角．不计滑轮与绳间的摩擦．则下列正确的是（ ）A ．木块A 对桌面的压力()M m g F +-B ．木块A 与桌面之间的动摩擦因数cos ()F M m g F αμ=+-C ．弹簧与水平方向的夹角的正切值sin tan cos F mgF αβα-=D ．弹簧的弹力大小为F =弹二、多选题6．真空中电量均为Q 的两同种点电荷连线和一绝缘正方体框架的两侧面ABB 1A 1和DCC 1D 1中心连线重合，连线中心和立方体中心重合，空间中除两同种电荷Q 产生的电场外，不计其它任何电场的影响，则下列说法中正确的是（ ）A ．正方体两顶点A 、C 1电场强度相同B ．正方体两顶点A 、C 1电势相同C ．两等量同种点电荷周围电场线和面ABB 1A 1总是垂直D ．把正检验电荷q 从顶点A 移到C 电场力不做功7．如图所示，O 处为地心，卫星1环绕地球做匀速圆周运动，卫星2环绕地球运行的轨道为椭圆，两轨道不在同一平面内．已知圆轨道的直径等于椭圆轨道的长轴，且地球位于椭圆轨道的一个焦点上，引力常量为G ，地球的质量为M ，卫星1的轨道半径为R ，卫星1的运转速度为0v ，关系为OQ =1.5R ．下列说法正确的是（ ） A ．卫星1的运行周期大于卫星2的运行周期 B ．卫星2在P 、Q 点的速度大小关系为0p Q v v v >>C ．卫星2在Q 点的速度Q v <D ．如果卫星1的加速度为a ，卫星2在P 点的加速度为p a ，则 p a a >8．如图所示，锁定的A 、B 两球之间压缩一根轻弹簧，静置于光滑水平桌面上，已知A 、B 两球质量分别为2m 和m ．过程一：只解除B 球锁定，B 球被弹出落于距桌边水平距离为s 的水平地面上；过程二：同时解除A 、B 两球锁定，则（两种情况下小球离开桌面前，弹簧均已恢复原长）（ ） A ．两种情况下B 小球机械能增量均相同B ．两过程中，在B 球落地前A 、B 两小球及弹簧组成的系统机械能均守恒C ．过程二中，B 球的落地点距桌边水平距离为3s D ．过程一和过程二中，弹簧对B 球做功之比为3:29．下列说法正确的是（）A．古希腊思想家亚里士多德在对待“力与运动的关系”问题上，认为“物体运动不需要力维持”B．在推导匀变速直线运动位移公式时，把整个运动过程等分成很多很小的段，每个小段视为匀速运动，算出各小段位移，然后将各小段位移相加得出公式，运用了微积分的方法C．质点、点电荷、元电荷都没有大小，都是一种理想化模型D．电场中某点的电场强度的方向即为正电荷在该点受到的电场力的方向E.牛顿进行了“月地检验”,得出天上和地下的物体间的引力作用都遵从同样的规律，从而得出万有引力定律第II卷（非选择题）三、实验题10．如图所示是某学习小组设计的“探究做功与速度的关系”的实验装置，将光电门固定在直轨道上的O点，将拉力传感器固定在小车上，用不可伸长的细线通过一个定滑轮将小车与钩码相连，用拉力传感器记录小车所受拉力F的大小，通过光电门记录遮光条通过光电门的时间t，结合遮光条的宽度d计算出小车通过光电门时的速度，该小组提出如下操作方案：用同一钩码通过细线拉同一小车，每次小车从不同位置由静止释放，各位置A、B、C、D、E、F、G（图中只标出了G）与O点间的距离s分别为s1、s2、s3、s4、s5、s6、s7．（1）用该实验方案_____________（填“需要”或“不需要”）平衡摩擦力，（2）利用图像法处理实验数据，若以s为纵轴，以__________（填1t或21t）为横轴作出的图像是一条过原点的直线，则可得出做功与速度的关系．（3）若该图像斜率为k，则小车（含传感器）的质量为________________。

第1页，总23页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2019届高三理数第二次联考试卷考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共12题)1. 已知复数 R )，（ 为虚数单位），若 为纯虚数，则 ( )A . 1B .C . 2D .2. 设全集，集合 ，集合 ，则（ ）A . [4,5)B . （-5,-2]C . （-5，-2）D . （4,5）3. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第5天走的路程为（ ）A . 36里B . 24里C . 18里D . 12里 4. 函数的单调递增区间是（ ）A .B .C .答案第2页，总23页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………D .5. 下列有关命题的说法中错误的是( ) A . 若为真命题，则中至少有一个为真命题.B . 命题：“若 是幂函数，则 的图象不经过第四象限”的否命题是假命题.C . 命题“，有且”的否定形式是“，有且”.D . 若直线和平面，满足 .则“ ” 是“ ”的充分不必要条件.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .B .C .D .7. 如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，点F 在线段CD 上， 设 ， , ，则的最小值为（ ）。

2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。