下载文档原格式
2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1或22．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e3510．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．1111．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．12二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．（5分）已知双曲线C ：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有正确命题的序）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D 是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2015年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．2．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i【解答】解：复数==i，故选：A．3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，故选C．4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：设向量与的夹角为θ．∵（+）⊥（2﹣），∴（+）•（2﹣）=+==0，化为cosθ=0，∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．故选：C．5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，∴判别式△=m2﹣16≥0，∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，∴所求的概率为P==．故选：B．6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．∴该三棱锥的体积V===．故选：B．7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]【解答】解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）•（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ﹣2，∵0≤cos2θ≤1，∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．即的最大值与最小值分别是1，﹣2．故选：C．8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD与ACB 都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，∴AD=BD=AC=BC=，DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD•（AO+OB）==故选：A．9．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35【解答】解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；解得；∴；∴综上得；∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．故选D．12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．【解答】解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，a4+a6+a2010+a2012=8，∴2（a1+a2015）=8，∴a1+a2015=4，∴S2015==4030．故答案为：4030．14．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为﹣6．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．【解答】解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只写出所有正确命题的序）①函数f（x）是奇函数；②函数f（x）是偶函数；③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．【解答】解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），即2f（1）=2f（1）f（0），∵f（1）=，∴f（0）=1．令x1=0，x2=x，则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），则f（﹣x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．∵f（1）=，∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，同理f（4）=，由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），即f（2x）+1=2f2（x）≥0，∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜•≤4，设和的夹角为θ．（1）求θ的取值范围；（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得•=cbcosθ，∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，变形可得cb=，∴•=cbcosθ==，由0＜•≤4，可得0＜≤4解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，∴向量夹角θ的范围为[，）；（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ=2×﹣co s2θ=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[，），∴sin（2θ﹣）∈[，1]，∴1+2sin（2θ﹣）∈[2，3]，∴f（θ）的取值范围为：[2，3]18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…（2分）∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（5分）（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF 是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，∴AO=CO=，∴多面体ABCDEF的体积：V=2V A﹣BDEF=2×=2×=．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，由题可知，∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），点P（1，2）在抛物线y2=4x上，联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，k AB===﹣1，不妨设l AB：y=﹣x+b，∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，当b=3时，直线AB过点P，舍去，当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，此时△=32，∴|AB|==8，∴P到直线AB的距离d=，△PAB的面积为=4．21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），①求证：﹣＜a＜0；②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．【解答】（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），f（x）在x=1处的切线斜率为k=1+2a，切线方程：y﹣a=（2a+1）（x﹣1），把（0，﹣2）代入得：a=1；（2）证明：①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1 则：g′（x）=+2a（x＞0）当a≥0时，有g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，不符合题意；当a＜0时：由g′（x）=0得：x=﹣＞0，列表如下：）依题意：g （﹣）=ln （﹣）＞0，解得：﹣＜a ＜0，综上可得，﹣＜a ＜0得证； ②由①知：f （x ），f′（x ） 变化如下：由表可知：f （x ） 在[x 1，x 2]上为增函数，所以：f （x 2）＞f （x 1） 又f′（1）=g （1）=1+2a ＞0，故x 1∈（0，1）， 由（1）知：ax 1=，f （x 1）=x 1lnx 1+ax 12=（x 1lnx 1﹣x 1）（0＜x1＜1）设h （x ）=（xlnx ﹣x ）（0＜x ＜1），则h′（x ）=lnx ＜0成立，所以h （x ）单调递减， 故：h （x ）＞h （1）=﹣，也就是f （x 1）＞﹣ 综上所证：f （x 2）＞f （x 1）＞﹣成立．二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边上的中点，连接OD 交圆O 与点M ． （1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）求证：DE•BC=DM•AC +DM•AB ．【解答】证明：（1）连接BE ，OE ， ∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB ，∠A=∠A ，∴△AEB ∽△ABC ， ∴∠ABE=∠C ，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m 的值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2﹣2m=0，由△＞0，解得﹣1＜m＜3．∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，解得，1．又满足△＞0．∴实数m=1，1．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a＜．。
哈尔滨师大附中 2015年高三第一次联合模拟考试文科数学试卷东北师大附中 辽宁省实验中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合2{0,},{30,},A b B x x x x Z ==-<∈若AB ≠∅，则b 等于A ．1B ．2C ．3D ．1或22．复数212i i+=-A ．iB ．-iC ．2(2)i +D ．1 + i3．ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a > b ”是“cos2A < cos2B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，()(2)+⊥-a b a b ，则向量a 与b 的夹角为A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°5．实数m 是区间[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为A ．14B ．13C ．12D ．236．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是A ．63B ．263C ．362D ．62（第6题图）2222 2正视图侧视图俯视图7．椭圆2214x y +=两个焦点分别是F 1、F 2圆上任意一点，则12PF PF ⋅的取值范围是A ．[]1,4B ．[]1,3C ．[]2,1-D ．[]1,1-8．半径为1的球面上有四个点A 、B 、C 、D ，O 为球心，AB 过点O ，CA = CB ，DA = DB ，DC = 1，则三棱锥A - BCD 的体积为9．已知数列{}n a 满足312ln ln ln ln 32258312n a a a a n n +⋅⋅⋅⋅=-（*n N ∈），则a 10 =A ．e 26B ．e 29C ．e 32D ．e 3510．执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的A ．8 A ．3633C ．3 6B ．9C ．10D ．1111．若函数32()236f x x mx x =-+在区间()2,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．5(,)2-∞D ．5(,]2-∞12．函数()lg(1)sin2f x x x =+-的零点个数为A ．9B ．10C ．11D ．12第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
大连八中2015届高三10月月考数学试题（文）一、选择题：（每题5分，共计60分） 1．已知集合{1,1},{|124}x A B x =-=≤<,则AB 等于（ ）A ．{-1,0,1}B ．{1}C ．{-1,1}D ．{0,1}2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 ( )A ．(,1)-∞-B ．（1，+∞）C ．（-1，1）∪（1，+∞）D ．（-∞，+∞）3.“6πα=”是“1cos 22α=”的（ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知03131log 4,(),log 105a b c ===，则下列关系中正确的是c b a A >>. c a b B >>. b c a C >>. b a c D >>.5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S =（ ）A ．12n -B ．112n -C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有 ( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个7 若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ）A8π B 4π C 38π D 54π8. 在ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，CD 与BE 交于点F ,设,,AB a AC b AF xa yb ===+，则(,)x y 为（ ）A.11(,)22B.22(,)33C. 11(,)33D. 21(,)329．在△ABC 中，内角C B A ,,的对边长分别为c b a ,,，且22tan 2,3,tan Aa cb C-==则b 等于（ ）A ．3B ．4C ．6D ．710某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()xf x x=D ．2()f x x = 11 ．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞12. 将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1二、填空题（每题5分共计20分）13．已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-20062x y x y x ，则目标函数y x z +=2的最小值为______.14. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为___________.15. 设常数0a >,若291a x a x+≥+，对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________.16．巳知函数'(),'()f x g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x的导函数，它们在同一坐标系内的图象如图所示.设函数()()()h x f x g x =-，则(1),(0),(1)h h h -的大小关系三、解答题：（17—21每题12分，三选一10分）17.（本题满分12） 已知函数()()f x x ()sin =+>≤≤ωϕωϕπ00，为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为π. （Ⅰ）求函数f x ()的表达式；（Ⅱ）若sin ()αα+=f 23，求22411sin tan απα-⎛⎝ ⎫⎭⎪++的值.18．（本题满分12）设()f x R 是上的奇函数，且对任意的实数,a b 当0a b +≠时，都有()()0f a f b a b+>+（1）若a b >，试比较(),()f a f b 的大小；（2）若存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式2()()0f x c f x c -+->成立，试求实数c的取值范围。
2015年辽师大附中高三年级模拟考试（精品卷）数学文科试卷命题人：高三数学文科备课组一．选择题（每题5分，共60分） 1.设集合}0{,},{,}ln ,2{=⋂==B A y x B x A 若，则y 的值为（ ）A ．eB ．1C ．e1 D ．0 2.若复数Z 满足（1+i ）Z=i ，则Z 的虚部为（ ） A ．i 21-B ．21-C ． 21D ． i 21 3．下列结论正确的是（ ）A ．若向量// ，则存在唯一实数λλ=使B ．已知向量,为非零向量，则“,的夹角为钝角”的充要条件是“0<⋅”C ．“若21cos ,3==θπθ则”的否命题为“若21cos ,3≠≠θπθ则” D ．若命题01,:,01,:22>+-∈∀⌝<+-∈∃x x R x p x x R x p 则 4．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13B ．1 C.53D ．25．已知向量c b a c b k a ⊥-===)32,)1,2(,)4,1(,)3,(且（ ，则实数k 的值为（ ） A ．29-B ．0C ．3D ．2156.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）A.9B.16C.25D.36 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）（A （B（C （D ）38.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O .若点M 是D 上的动）9．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ． 直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形10.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的自然数n ( )A ．有最大值63B ．有最小值63C ．有最大值31D ．有最小值3111.已知F 2，F 1是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a y 的上，下两个焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 2B ．3C ． 3D ．212．已知)(x f 的定义域为),0(+∞，)()(x f x f 为'的导函数，且满足)()(x f x x f '-<，则不等式)1()1()1(2-->+x f x x f 的解集是 （ ）A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．（1，2）D ．),2(+∞ 二．填空题（每题5分，共20分） 13一元二次不等式)(022b a b x ax >>++的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a x x 1|，则b a b a -+22的最小值为__________14. 已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若 13,4,,12,A B A C A B A C A A ==⊥=，则球O 的半径为 __________.15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．16数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点．其中正确命题的个数为 .三．解答题17.(本题12分) 设n S 为数列{n a }的前项和，已知01≠a ，2n n S S a a ∙=-11，∈n N *（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列｛n a ｝的通项公式； (Ⅱ) 求数列｛n na ｝的前n 项和。
2015年东北三省三校第一次高考模拟考试文科数学参考答案二、填空题13．4030 14．-6 15．-16 16．②③④三、解答题 17．解：（1）设ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，则由已知：1sin 22bc θ=，0cos 4bcθ<≤，……4分可得，tan 1θ≥，所以：[,)42ππθ∈ ……6分（2）2()2sin ()[1cos(2)]42f ππθθθθθ=+=-+(1sin 2)sin 212sin(2)13πθθθθθ=+=+=-+ ……8分∵[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈，∴π22sin(2)133θ≤-+≤即当512πθ=时，max ()3f θ=；当4πθ=时，min ()2f θ= 所以：函数()f θ的取值范围是[2,3] ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）150.00350100x x⨯=∴= 15401010035y y +++=∴= ……2分 400.00810050=⨯ 350.00710050=⨯ 100.00210050=⨯（3/g m μ）DCBAFE……5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分 其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7()10P A =. ……12分 19．（本小题满分12分）（1）证明： ABCD 是菱形，//BC AD ∴. 又⊄BC 平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE . ……2分 又BDEF 是正方形，//BF DE ∴.BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE . ……4分 BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF BC BF B =，∴平面BCF //平面AED .由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED . ……6分 （2）解：连接AC ，记AC BD O =.ABCD 是菱形，AC ⊥BD ，且AO = BO ．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF -的高.……9分由ABCD 是菱形，60BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由AE =1AD DE ==，2AO =，1BDEF S =，136BDEF BDEF V S AO =⋅=， 23BDEF V V ==. ……12分 20．（本小题满分12分）解：（1）设动圆圆心坐标为(,)x y ，半径为r ，由题可知2222222(2)42x y r y x x r⎧-+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩； ∴动圆圆心的轨迹方程为24y x = ……4分（2）设直线1l 斜率为k ,则12:2(1);:2(1).l y k x l y k x -=--=-- 点P （1,2）在抛物线24y x =上22448402(1)y xky y k y k x ⎧=∴⇒-+-=⎨-=-⎩设1122(,),(,)A x y B x y ,0>∆恒成立，即(),012>-k 有1≠k118442,2,,P P kky y y y kk--∴==∴=代入直线方程可得212(2)k x k-= ……6分 同理可得 2222(2)42,k kx y k k++==- ……7分 212221242421(2)(2)ABk ky y k k k k k x x k +----===-+--- ……9分 不妨设:AB l y x b =-+. 因为直线AB 与圆C2=解得3b =或1, 当3b =时, 直线AB 过点P ,舍 当1b =时, 由2216104y x x x y x=-+⎧⇒-+=⎨=⎩；32,||8AB ∆=P 到直线AB的距离为d =PAB的面积为 ……12分21．解：（1）由已知：()ln 12(0)f x x ax x '=++>，切点(1,)P a ……1分 切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，把(0,2)-代入得：a = 1 ……3分 （2）（I ）依题意：()0f x '=有两个不等实根设()ln 21g x x ax =++，则：1()2(0)g x a x x'=+> ①当0a ≥时：()0g x '>，所以()g x 是增函数，不符合题意； ……5分 ②当0a <时：由()0g x '=得：102x a=-> 列表如下：依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<<综上所求：102a -<<，得证； ……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当0>x 且0→x 时-∞→x ln ，112→+ax ，∴当0>x 且0→x 时-∞→)(x g)(x g ∴在1(0,)2a-上必有一个零点． 当a x 21->时，设x x x h -=ln )(，xx x x x h 22211)(/-=-=4>∴x 时，024ln )4()(<-=<h x h 即x x <ln 4>∴x 时，1221ln )(++<++=ax x ax x x g设x t =，12122++=++t at ax x 由0a <，+∞→x 时，0122<++t at0)(<∴x g )(x g ∴在1(,)2a-+∞上有一个零点 综上，函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．方法二2ln )(ax x x x f +=有两个极值点,即/()ln 12(0)f x x ax x =++>有两个零点,即xx a 1ln 2+=-有两不同实根. 设x x x h 1ln )(+=,2/ln )(x xx h -=,当0)(/>x h 时，10<<x ；当0)(/<x h 时，1>x当1=x 时)(x h 有极大值也是最大值为1)1(=f 12<-∴a ，2->a0)1(=eh ，故)(x h 在()1,0有一个零点当1>x 时，01ln 0ln >+∴>x x x 且011ln lim lim ==++∞→+∞→xx x x x 1>∴x 时1)1()(0=<<h x h0,02<∴>-∴a a综上函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．② 证明：由①知:/(),()f x f x 变化如下:由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,又/(1)(1)210f g a ==+> ,故211x x << (10)分所以：21)1()(,)1()(21->=><=<a f x f a f x f 即1()0f x <，21()2f x >-． ……12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连结OE ，∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点，∴ OD 平行且等于12AC ，∴∠A =∠BOD ， ∠AEO = ∠EOD ， ∵OA = OE ，∴∠A = ∠AEO ，∴∠BOD = ∠EOD ……3分 在ΔEOD 和ΔBOD 中，∵OE = OB ，∠BOD= ∠EOD ，OD = OD ， ∴ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴∠OED = ∠OBD = 90°，即OE ⊥BD∵是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线 ……5分 （II ）延长DO 交圆O 于点F ∵ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴DE = DB ，∵点D 是BC 的中点，∴BC = 2DB ，FC D MO BEA∵DE 、DB 是圆O 的切线，∴DE = DB ，∴DE ·BC = DE ·2DB = 2DE 2 ……7分 ∵AC = 2OD ，AB = 2OF ∴DM · AC + DM · AB = DM · (AC + AB ) = DM · (2OD + 2OF ) = 2DM · DF ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线， ∴DE 2 = DM · DF ，∴DE · BC = DM · AC + DM · AB ……10分 23．选修4-4： 坐标系与参数方程解：（1）由 2cos ρθ=，得：22cos ρρθ=，∴ 222x y x +=，即22(1)1x y -+=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= ……3分由12x m y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x m +，即0x m -=，∴直线l的普通方程为0x m -= ……5分 （2）将12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y -+=，得：221112m t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：221)20t m t m m +-+-=，由0∆>，即223(1)4(2)0m m m --->，解得：-1 < m < 3设t 1、t 2是上述方程的两实根，则121)t t m +=-，2122t t m m =- ……8分 又直线l 过点(,0)P m ，由上式及t 的几何意义得212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得：1m =或1m =，都符合-1 < m < 3， 因此实数m 的值为1或11 ……10分 24．选修4-5： 不等式选讲解：（1）当x < -2时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+， ()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-；当122x -≤≤时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--， ()0f x >，即310x -->，解得13x <-，又122x -≤≤，∴123x -≤<-；当12x >时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-， ()0f x >，即30x ->，解得3x >，又12x >，∴3x >. ……3分 综上，不等式()0f x >的解集为1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. ……5分（2）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ ∴min 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ……8分 ∵0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，∴2min 542()2m m f x ->=-， 整理得：24850m m --<，解得：1522m -<<，因此m 的取值范围是15(,)22-. ……10分。
辽宁省大连市第四十八中学2015届高三第一次模拟考试数学（文）试题2.设20.34log 4log 30.3a b c -===，，，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．b <a <c3.已知α∈(π2，π)，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45 4.与－525°的终边相同的角可表示为( )A. 525°－k ·360°(k ∈Z )B. 165°＋k ·360°(k ∈Z )C. 195°＋k ·360°(k ∈Z )D. －195°＋k ·360°(k ∈Z ) 5.在△ABC 中，若tanAtanB ＝tanA ＋tanB ＋1，则cosC 的值是 ( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－126.下列命题错误的是（ ）A.对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝为：R x ∈∀，均有012≥++x xB.命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ， 则0232≠+-x x ”C.若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D.“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件7.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，21()2()log 2f x f x =+，则(2)f -=( ) A.1 B.3 C.1- D.3-8.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12- Ｃ．129.将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A.sin(2)10y x π=-B.1sin()220y x π=-C.sin(2)5y x π=-D.1sin()210y x π=-10.已知直线0x =和2x π=是函数()sin())f x x x ωϕωϕ=++（0,||2πωϕ><）图象的两条相邻的对称轴，则( )A.()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数B.()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数C.6πϕ=，在()f x 在(0,)2π上为单调递减函数 D.6πϕ=，在()f x 在(0,)2π上为单调递增函数11.cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝( )A ．－32 B.22 C.12D ．1 12.定义行列式运算11a b212212a ab a b b =-，将函数(f xsin 2cos 2x x的图象向左平移()0>t t 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t 的最小值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512πD ．3π第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
大连市2015年高三第一次模拟考试政治试卷参考答案和评分细则第I卷 (选择题,共48分〕本卷共12小题，每题4分，共48分第II卷〔非选择题,共52分〕本卷共2小题，每题26分，共52分38．〔26分〕【参考答案】〔1〕经济信息：长江经济带交通便捷、资源丰富、产业发达，〔具有明显的区位优势〕；市场广阔，开发潜力大，在我国经济发展中具有不可替代的战略地位和战略优势。
〔4分〕作用：加大交通基础设施建设，促进资源合理配置，为地区经济发展创造良好条件；〔2分〕不断提高自主创新能力，促进产业转型升级，推进经济结构战略性调整；〔2分〕提高开放型经济水平，开创新的发展空间，推进区域合作；〔2分〕推进生态文明建设，节约资源和保护环境，增强可持续发展能力；〔2分〕打造新型城镇连绵带，推进中国特色城镇化建设。
〔2分〕〔2〕①坚持以人为本，树立正确的政绩观，整体规划，加强协调；〔3分〕②推进经济建设、生态文明建设，打破行政垄断，有效发挥作用；〔3分〕③坚持科学民主依法决策，审慎用权，防止重复建设；〔3分〕④推进信息公开，增强透明度，优化公共服务。
〔3分【评分细则】〔1〕〔所有对应的评分点不可重复得分〕经济信息：长江经济带交通便捷、资源丰富、产业发达，〔假设考生答出“具有明显的区位优势”亦可〕；〔2分〕市场广阔，开发潜力大，在我国经济发展中具有不可替代的战略地位和战略优势。
〔2分〕作用：加大交通基础设施建设，促进资源合理配置，为地区经济发展创造良好条件；〔2分〕〔假设考生答出“财政促进资源合理配置”这一作用亦可〕不断提高自主创新能力，促进产业转型升级，推进经济结构战略性调整；〔2分〕〔假设考生答出有利于“实施创新驱动发展战略”或“转变经济发展方式”亦可〕提高开放型经济水平，开创新的发展空间，推进区域合作；〔2分〕〔假设考生答出有利于“推进区域协调发展”或“坚持对外开放”之一，均可给2分〕推进生态文明建设，节约资源和保护环境，增强可持续发展能力；〔2分〕〔假设考生答出“有利于建设资源节约型和环境友好型社会”亦可〕打造新型城镇连绵带，推进中国特色城镇化建设。
2015年大连市第二十四中学高考模拟考试数学(文科)试卷注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、设集合{}062≤-+=x x x A ,集合B 为函数11-=x y 的定义域，则=B A （ ）A. B. C. D.2、若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．()4,2 B ．()4,2- C ．()2,4- D ．()2,43、一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着一点至六点.甲乙两人各掷骰子一次，则甲掷骰子向上的点数大于乙的概率为（ ） A ．29 B ．14 C ．512 D ．124、变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．29 D ．55、将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ）A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈D ．5sin()()224x y x R π=+∈6、某校通过随机询问100名性别不同的学生是否能做到“光盘”行动，得到如下联表：附：22112212211212()n n n n n K n n n n ++++-=，则下列结论正确的是（ ）A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过10%的前提下，认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该校学生能否做到…光盘‟与性别无关”7、已知向量(sin 2)θ=-，a ，(1cos )θ=，b ，且⊥a b ，则2sin 2cos θθ+的值为 A ．1 B ．2 C ．12D ．3 8、如图所示程序框图中，输出=S （ ） A.45 B. 55- C. 66- D. 669、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A ．2 B ．29 C ．23D ．310、下图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．221xy x =-- B ．2sin 41x x xy =+C ．2(2)xy x x e =- D ．ln x y x=11、已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为12F F 、，这两第8题图第10题图 第9题图条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形。
2015届高三数学一诊模拟考试试卷 文1．集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+-=Z x x x x A ，211的子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．已知R m ∈，复数i im ++1的实部和虚部相等，则m 的值为( )A ．21B ．0C ．1D ．1-3．下列命题的否定为假命题的是( )A ．0222≤+-∈∃x x R x ， B ．任意一个平面四边形的四个顶点共圆C ．样本的中位数一定在样本中D ．线性回归直线一定经过样本中心点()y x ，4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率( )A ．均不相等B ．都相等，且为40320C ．不全相等D ．都相等，且为2015．将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 2πx y 的图象向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴是( ) A ．3π-=x B ．6π-=x C ．6π=xD ．3π=x6．执行如图所示的程序框图，若输10=n ，则输出的=S( ) A．115B ．1110C．5536D ．55727．已知圆014222=++-+y x y x C ：，在区间[]64，-上任取整数m ，则直线0=++m y x l ：与圆C 相交所得ABC ∆为钝角三角形(其中B A 、为交点，C 为圆心)的概率为( )A ．52B ．112C ．113D ．1148．已知ABC ∆满足OAB ，4=是ABC ∆所在平面内一点，满足222OC OB OA ==，且R AC OB OA ∈=+λλ，，则BA BO ∙= ( )A ．28B ．8C ．24D ．49．已知实数y x ，满足可行域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+09301033y x y x y x D ：，曲线5=+-+Γa y x ：，恰好平分可行域D 的面积，则a 的值为( )A ．4-B ．24-C ．6-D ．8-10．已知实数d ，6，c ，d 满足12ln 22=--=c dd b a ，则()()22d b c a -+-的最小值为( )A ．12-B ．22-C ．223-D ．221-第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2015年东北三省三校第一次高考模拟考试文科数学参考答案13．4030 14．-6 15．-16 16．②③④三、解答题 17．解：（1）设ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，则由已知：1sin 22bc θ=，0cos 4bc θ<≤， ……4分可得，tan 1θ≥，所以：[,)42ππθ∈ ……6分（2）2()2sin ()[1cos(2)]42f ππθθθθθ=+=-+(1sin 2)sin 212sin(2)13πθθθθθ=+=+=-+ ……8分∵[,)42ππθ∈，∴22[,)363πππθ-∈，∴π22sin(2)133θ≤-+≤即当512πθ=时，max ()3f θ=；当4πθ=时，min ()2f θ= 所以：函数()f θ的取值范围是[2,3] ……12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）150.00350100x x⨯=∴= 15401010035y y +++=∴= ……2分 400.00810050=⨯ 350.00710050=⨯ 100.00210050=⨯DCBAFE……5分（2）设A 市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分 其中事件A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是7()10P A =. ……12分 19．（本小题满分12分）（1）证明： ABCD 是菱形，//BC AD ∴. 又⊄BC 平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，//BC ∴平面ADE . ……2分 又BDEF 是正方形，//BF DE ∴.BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，//BF ∴平面ADE . ……4分 BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF BC BF B =，∴平面BCF //平面AED .由于CF ⊂平面BCF ，知//CF 平面AED . ……6分 （2）解：连接AC ，记AC BD O =. ABCD 是菱形，AC ⊥BD ，且AO = BO ．由DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，DE AC ⊥.DE ⊂平面BDEF ，BD ⊂平面BDEF ，DE BD D =，∴AC ⊥平面BDEF 于O ，即AO 为四棱锥A BDEF-的高. ……9分由ABCD 是菱形，60BCD ∠=，则ABD ∆为等边三角形，由AE ，则（3/g m μ）1AD DE ==，2AO =，1BDEF S =，136BDEF BDEF V S AO =⋅=，23BDEF V V ==. ……12分 20．（本小题满分12分）解：（1）设动圆圆心坐标为(,)x y ，半径为r ，由题可知2222222(2)42x y r y x x r⎧-+=⎪⇒=⎨+=⎪⎩； ∴动圆圆心的轨迹方程为24y x = ……4分（2）设直线1l 斜率为k ,则12:2(1);:2(1).l y k x l y k x -=--=-- 点P （1,2）在抛物线24y x =上22448402(1)y xky y k y k x ⎧=∴⇒-+-=⎨-=-⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ,0>∆恒成立，即(),012>-k 有1≠k118442,2,,P P kky y y y kk--∴==∴=代入直线方程可得212(2)k x k -= ……6分同理可得 2222(2)42,k kx y k k++==- ……7分 212221242421(2)(2)ABk ky y k k k k k x x k +----===-+--- ……9分 不妨设:AB l y x b =-+. 因为直线AB 与圆C=解得3b =或1, 当3b =时, 直线AB 过点P ,舍当1b =时, 由2216104y x x x y x=-+⎧⇒-+=⎨=⎩；32,||8AB ∆===P 到直线AB 的距离为d =PAB 的面积为 ……12分21．解：（1）由已知：()ln 12(0)f x x ax x '=++>，切点(1,)P a ……1分 切线方程：(21)(1)y a a x -=+-，把(0,2)-代入得：a = 1 ……3分 （2）（I ）依题意：()0f x '=有两个不等实根设()ln 21g x x ax =++，则：1()2(0)g x a x x'=+> ①当0a ≥时：()0g x '>，所以()g x 是增函数，不符合题意； ……5分 ②当0a <时：由()0g x '=得：102x a=->依题意：11()ln()022g a a -=->，解得：102a -<< 综上所求：102a -<<，得证； ……8分（注：以下证明为补充证明此问的充要性，可使其证明更严谨，以此作为参考，学生证明步骤写出上述即可）方法一：当0>x 且0→x 时-∞→x ln ，112→+ax ，∴当0>x 且0→x 时-∞→)(x g)(x g ∴在1(0,)2a-上必有一个零点． 当a x 21->时，设x x x h -=ln )(，xx x x x h 22211)(/-=-=4>∴x 时，024ln )4()(<-=<h x h 即x x <ln 4>∴x 时，1221ln )(++<++=ax x ax x x g设x t =，12122++=++t at ax x 由0a <，+∞→x 时，0122<++t at0)(<∴x g )(x g ∴在1(,)2a-+∞上有一个零点 综上，函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．方法二2ln )(ax x x x f +=有两个极值点,即/()ln 12(0)f x x ax x =++>有两个零点,即xx a 1ln 2+=-有两不同实根. 设x x x h 1ln )(+=,2/ln )(x xx h -=,当0)(/>x h 时，10<<x ；当0)(/<x h 时，1>x当1=x 时)(x h 有极大值也是最大值为1)1(=f 12<-∴a ，2->a 0)1(=eh ，故)(x h 在()1,0有一个零点当1>x 时，01ln 0ln >+∴>x x x 且011ln lim lim ==++∞→+∞→xx x x x 1>∴x 时1)1()(0=<<h x h0,02<∴>-∴a a综上函数)(x f y =有两个极值点时021<<-a ，得证．② 证明：由①知:/(),()f x f x 变化如下:由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,又/(1)(1)210f g a ==+> ,故211x x << (10)分所以：21)1()(,)1()(21->=><=<a f x f a f x f 即1()0f x <，21()2f x >-． ……12分22．选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连结OE ，∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点，∴ OD 平行且等于12AC ，∴∠A =∠BOD ， ∠AEO = ∠EOD ， ∵OA = OE ，∴∠A = ∠AEO ，∴∠BOD = ∠EOD ……3分 在ΔEOD 和ΔBOD 中，∵OE = OB ，∠BOD= ∠EOD ，OD = OD ， ∴ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴∠OED = ∠OBD = 90°，即OE ⊥BD∵是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线 ……5分 （II ）延长DO 交圆O 于点F ∵ΔEOD ≌ ΔBOD ，∴DE = DB ，∵点D 是BC 的中点，∴BC = 2DB ， ∵DE 、DB 是圆O 的切线，∴DE = DB ，∴DE ·BC = DE ·2DB = 2DE 2 ……7分 ∵AC = 2OD ，AB = 2OF ∴DM · AC + DM · AB = DM · (AC + AB ) = DM · (2OD + 2OF ) = 2DM · DF ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线， ∴DE 2 = DM · DF ，∴DE · BC = DM · AC + DM · AB ……10分 23．选修4-4： 坐标系与参数方程FC D MO BEA解：（1）由 2cos ρθ=，得：22cos ρρθ=，∴ 222x y x +=，即22(1)1x y -+=， ∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= ……3分由12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x m +，即0x m -=， ∴直线l的普通方程为0x m -= ……5分（2）将12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y -+=，得：221112m t ⎫⎛⎫+-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：221)20t m t m m -+-=，由0∆>，即223(1)4(2)0m m m --->，解得：-1 < m < 3设t 1、t 2是上述方程的两实根，则121)t t m +=-，2122t t m m =- ……8分 又直线l 过点(,0)P m ，由上式及t 的几何意义得212|||||||2|1PA PB t t m m ⋅==-=，解得：1m =或1m =，都符合-1 < m < 3， 因此实数m 的值为1或11 ……10分24．选修4-5： 不等式选讲解：（1）当x < -2时，()|21||2|1223f x x x x x x =--+=-++=-+，()0f x >，即30x -+>，解得3x <，又2x <-，∴2x <-； 当122x -≤≤时，()|21||2|12231f x x x x x x =--+=---=--， ()0f x >，即310x -->，解得13x <-，又122x -≤≤，∴123x -≤<-； 当12x >时，()|21||2|2123f x x x x x x =--+=---=-， ()0f x >，即30x ->，解得3x >，又12x >，∴3x >. ……3分 综上，不等式()0f x >的解集为1,(3,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. ……5分（2）3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩ ∴min 15()22f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ……8分 ∵0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，∴2min 542()2m m f x ->=-， 整理得：24850m m --<，解得：1522m -<<，因此m 的取值范围是15(,)22-.……10分。
数学（文科)能力测试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,2}A =，则A 的子集共有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||5z =,则z 的虚部为（ )A ．2B ．4C ．2iD ．4i3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ) A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5.等比数列{}na 前n 项和为nS ，31243,8Sa a a =+=，则1a =( ）A ．1B ．2C ．4D ．8 6.已知函数2()2f x xx =--+,则函数()y f x =-的图象为( )7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ）A ．^0.4 2.3y x =+ B ．^2 2.4y x =- C ．^29.5y x =-+ D ．^0.4 4.4y x =-+8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( ） A ．64 B ．643C ．16D ．1639. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则1λμ+=是点D 在线段BC 上的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件 10。
命题:p “0[0,]4x π∃∈，00sin 2cos2x x a +>”是真命题，则实数a 的取值范围是( ） A ．1a < B ．2a < C ．1a ≥ D ．2a ≥11。
辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．球的表面积公式：24S R π=，其中S 表示球的表面积，R 表示球的半径．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B = ，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e2．设复数11iz i-=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos 47cos73︒︒-︒︒的结果等于（ ）A.21B. 33C.22D.234. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）A .4B .6C .7D .12 5. 已知a b 、均为单位向量，且a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π6. 若曲线22(1)(2)4x y -+-=上相异两点P Q 、关于直线20kx y --=对称，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 208. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为 （ ）A ．2,6πωπϕ==B ．,6πωπϕ==C ．,3πωπϕ==D ．2,3πωπϕ==9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ）A ．—1B ．1C ．—2D ．210．下列说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∀∈，均有sin cos x x >B ．命题“R x ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<” C ．“0a =”是“函数32()f x x ax x =++为奇函数”的充要条件D ．R x ∃∈，使得5sin cos 3x x +=成立 11．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或612．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ） A ．4[,3]5 B ．4(0,][3,)5+∞ C ．4[,5]5 D ．4(0,][5,)5+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13.已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．14. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．15．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===．则这个球的表面积为 ．16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且具有以下性质：①()()0f x f x --=；②(2)(2)f x f x +=-；③)(x f y =在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：（Ⅰ）)(x f y =的图象关于原点对称 ； （Ⅱ）)(x f y =为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）)(x f y =在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分). 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-= ． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？/cm/cm()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ，（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，求出上述甲工艺所抽取的100件产品的单件利润的平均数.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2D 为11AC 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）三棱锥1B AB D -的体积．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线30x +=相切，过点P 直线椭圆M 相交于相异两点A 、C ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求Q 点坐标．D21.（本小题满分12分）已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的 AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠；（Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上．(Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．2013年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. B ；5.B ；6. D ；7．C ；8. C ；9. A ；10．C ；11．B ；12． A ． 二.填空题 13.14-； 14.15．3π；16．（Ⅱ），（Ⅲ）． 三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-= ，∴1110n n n nn n a a a a a a ++++-= ，∴1111n na a +-=，··························· 3分 111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1nn n a =+-⨯=，1n a n =． ··················· 6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2nn nn a ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ······································································· ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ·································································· ② ······················································································································· 9分 由①-②得121=2+2++22nn n S n +--⨯ ．∴1=(1)22n n S n +-+． ················································································12分法二：令212n n n b n c c +==- ，令()2n n c An B =+ ， ∴11()2()22n n n n n n b c c An A B An B n ++=-=++-+= ．∴12A B ==-，． ······················································································ 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+ ． ············································12分 18······································ 3分841.302.290110100100)50604050(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ， ···················································· 6分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关． ···································· 8分 （Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件， ··································· 10分 所以这100件产品单件利润的平均数为24)152020303050(1001=⨯+⨯+⨯. ················· 12分 19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ， DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,∴1BC ∥平面1AB D ． ···························································································· 6分 （Ⅱ）过点D 作11DH A B ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1111AA A B C ⊥平面，1AA DH ⊥，1111AA A B A = ，∴DH ⊥平面11ABB A ．DH 为三棱锥1D ABB -的高 ·········································· 8分 1112ABB S AB BB ∆== 1112MH A B ==， ················································ 10分1tan3DH A D π==∵1113B AB D D ABB V V --=== ····························································· 12分 20.解：（Ⅰ）设以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ，∴1||NF a =，∵12e =，∴2a c =， ∴13NF P π∠=， 1||2F P a =． ······················································································ 3分 ∴2(,0)F c 是以1PF 为直径的圆的圆心，∵该圆和直线30x +=相切，∴2c =1,2,c a b ===，∴椭圆M 的方程为：22143x y +=．··············································································· 5分 （Ⅱ）法一：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22143(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得235k <． 则22121222243612,4343k k x x x x k k -+==++．·············································································· 8分 直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则22221221121221212272247223()44343==2463643k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++==++--+∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分法二：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -， 设直线方程为3x my =+．由2231.43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得253m >． 12212218,3415.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩···································································································· 8分直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则212211212122152(3)(3)24343=3+=18334m y my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+ ． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ·················································································· 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ············ 4分 （Ⅱ）①若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x=有两不等实根． ·································· 6分令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x -'=当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增）． ································· 12分解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根．∵()2()x h x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ························ 8分22．解：（Ⅰ）证明 ,AC BDABC BCD =∴∠=∠ ． ···················································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ····························· 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠， 由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ····················································································· 7分∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3． ················································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ，曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． ································································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为2222222=-． ························ 5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ······································································· 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得554=ρ， θ不妨取锐角55arcsin， 所以)55arcsin ,558(P ．························································································ 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2()14().2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩∴0)(≥x f 的解为{}42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分（Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分第 11 页 共 11 页 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。
2015年某某省某某市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•某某一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（∁U M）∩N等于（）A． {2，3} B． {2，3，5，6} C． {1，4} D． {1，4，5，6}【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：集合．【分析】：根据集合的基本运算即可得到结论．【解析】：解：由补集的定义可得∁U N={2，3，5}，则（∁U N）∩M={2，3}，故选：A【点评】：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2015•某某一模）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1+i D． 1﹣i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．【解析】：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，∴z==﹣1+i故选A．【点评】：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．3．（5分）（2014•某某）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】：充要条件．【专题】：计算题；简易逻辑．【分析】：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解析】：解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）（2015•某某一模）抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（）A．（0，a） B．（a，0） C．（0，） D．（，0）【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先将抛物线的方程化为标准式，再求出抛物线的焦点坐标．【解析】：解：由题意知，y=4ax2（a≠0），则x2=，所以抛物线y=4ax2（a≠0）的焦点坐标是（0，），故选：C．【点评】：本题考查抛物线的标准方程、焦点坐标，属于基础题．5．（5分）（2015•某某一模）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A． 5 B． 6 C． 7 D． 8【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由S n+2﹣S n=36，得a n+1+a n+2=36，代入等差数列的通项公式求解n．【解析】：解：由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题．6．（5分）（2015•某某一模）已知某几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． 2cm3 D． 4cm3【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题目给出的几何体的三视图，还原得到原几何体，然后直接利用三棱锥的体积公式求解．【解析】：解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2cm，高为2cm的四棱锥，如图，故，故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了空间几何体的三视图，能够由三视图还原得到原几何体是解答该题的关键，是基础题．7．（5分）（2015•某某一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（） A． 3 B．﹣3 C． 1 D．【考点】：简单线性规划．【专题】：计算题．【分析】：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解析】：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8．（5分）（2015•某某一模）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7【考点】：程序框图．【专题】：计算题；规律型；算法和程序框图．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出不满足条件S=0+1+2+8+…＜100时，k+1的值．第一次运行：满足条件，s=1，k=1；第二次运行：满足条件，s=3，k=2；第三次运行：满足条件，s=11＜100，k=3；满足判断框的条件，继续运行，第四次运行：s=1+2+8+211＞100，k=4，不满足判断框的条件，退出循环．故最后输出k的值为4．故选：A．【点评】：本题考查根据流程图（或伪代码）输出程序的运行结果．这是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）（2015•某某一模）已知函数，若，则f（﹣a）=（） A． B． C． D．【考点】：函数的值．【专题】：计算题．【分析】：利用f（x）=1+，f（x）+f（﹣x）=2即可求得答案．【解析】：解：∵f（x）==1+，∴f（﹣x）=1﹣，∴f（x）+f（﹣x）=2；∵f（a）=，∴f（﹣a）=2﹣f（a）=2﹣=．故选C．【点评】：本题考查函数的值，求得f（x）+f（﹣x）=2是关键，属于中档题．10．（5分）（2015•某某一模）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A． B． C． D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：计算题；平面向量及应用．【分析】：运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解析】：解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．【点评】：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查向量共线的定理，考查运算能力，属于中档题．11．（5分）（2015•某某一模）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8【考点】：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】：压轴题；数形结合．【分析】：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．【解析】：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在和上是减函数；在和上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8故选D【点评】：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．12．（5分）（2015•某某校级一模）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞）【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】：导数的综合应用．【分析】：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解析】：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．【点评】：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）（2015•某某一模）若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是y=x ．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．【解析】：解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）（2015•某某一模）已知{a n}是等比数列，，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．【考点】：数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】：计算题．【分析】：首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{a n a n+1}每项的特点发现仍是等比数列，根据等比数列求和公式可得出答案．【解析】：解：由，解得．数列{a n a n+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，所以，故答案为．【点评】：本题主要考查等比数列通项的性质和求和公式的应用．应善于从题设条件中发现规律，充分挖掘有效信息．15．（5分）（2015•某某一模）若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l 在x轴和y轴的截距之和的最小值是3+2．【考点】：直线的截距式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．【解析】：解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．【点评】：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．16．（5分）（2015•某某一模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【考点】：异面直线及其所成的角．【专题】：空间角．【分析】：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．【解析】：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．故答案为：．【点评】：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（12分）（2015•某某一模）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】：（I）先化简求得解析式f（x）=sin（2x﹣）+，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）先求2x﹣的X围，可得sin（2x﹣）的X围，从而可求函数f（x）的值域．【解析】：解：（I）f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x …（2分）=sin（2x﹣）+．…（4分）函数f（x）的最小正周期为T=π．…（6分）因为﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以函数f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，．…（8分）（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]sin（2x﹣）∈[﹣，1]，…（10分）所以函数f（x）的值域为f（x）∈[0，1+]．…（12分）【点评】：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015•某某一模）某班主任对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如表所示参加社团活动不参加社团活动合计学习积极性高 17 8 25学习积极性一般 5 20 25合计 22 28 50（Ⅰ）如果随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是多少？抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法【分析】：学生的学习积极性与参加社团活动情况是否有关系？并说明理由．x2=．P（x2≥k） 0.05 0.01 0.001K 3.841 6.635 10.828【考点】：独立性检验的应用．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：（Ⅰ）求出积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，得到概率，不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，得到概率．（Ⅱ）根据条件中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【解析】：解：（Ⅰ）积极参加社团活动的学生有22人，总人数为50人，所以随机从该班抽查一名学生，抽到参加社团活动的学生的概率是=；抽到不参加社团活动且学习积极性一般的学生为20人，所以其概率为=；（Ⅱ）x2=≈11.7∵x2＞10.828，∴有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系．【点评】：本题考查独立性检验的意义，是一个基础题，题目一般给出公式，只要我们代入数据进行运算就可以，注意数字的运算不要出错．19．（12分）（2015•某某一模）如图，设四棱锥E﹣ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．（II）V E﹣ABCD=，由此能求出四棱锥E﹣ABCD的体积．【解析】：（I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．由AE=BE=，知△AEB为等腰直角三角形．故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，从而CO=．又因为EC=2，所以EC2=EO2+CO2，所以EO⊥CO．又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．又EO⊂平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）（II）解：V E﹣ABCD===．…（12分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2015•某某一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e=，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为，且=λ（其中λ＞1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）某某数λ的值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：圆锥曲线中的最值与X围问题．【分析】：（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值．【解析】：解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．…（4分）（Ⅱ）由，可知A，B，F三点共线，设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．因为，…（6分）所以=，所以．…（8分）将代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，解得x=．…（10分）又因为=（1﹣x1，﹣y1），=（x2﹣1，y2），，，解得．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的实数的值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（12分）（2015•某某一模）已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．（Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，某某数a的值；（Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）；（Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，某某数a的取值X围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可某某数a的值；（Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可；（Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论．【解析】：【解析】：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=，∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2，∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分）令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1，∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．∴g（x）最小值为g（1）=0，故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1，令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减，∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分）当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0，∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分）综上，a≥e﹣1…（12分）【点评】：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2015•某某一模）如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE ⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．（Ⅰ）求证：C是劣弧BD的中点；（Ⅱ）求证：BF=FG．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题．【分析】：（I）要证明C是劣弧BD的中点，即证明弧BC与弧CD相等，即证明∠CAB=∠DAC，根据已知中CF=FG，AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，我们易根据同角的余角相等，得到结论．（II）由已知及（I）的结论，我们易证明△BFC及△GFC均为等腰三角形，即CF=BF，CF=GF，进而得到结论．【解析】：解：（I）∵CF=FG∴∠CGF=∠FCG∴AB圆O的直径∴∵CE⊥AB∴∵∴∠CBA=∠ACE∵∠CGF=∠DGA∴∴∠CAB=∠DAC∴C为劣弧BD的中点（5分）（II）∵∴∠GBC=∠FCB∴CF=FB同理可证：CF=GF∴BF=FG（10分）【点评】：本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB 是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•某某一模）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．【解析】：解：（I）消去θ，得圆的标准方程为2+y2=16．…（2分）直线l的参数方程为，即（t为参数）…（5分）（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…（8分）所以t1t2=﹣11，即|PA|•|PB|=11．…（10分）【点评】：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2015•某某一模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值X围．【考点】：绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【专题】：计算题；压轴题；分类讨论．【分析】：（1）分类讨论，当x≥4时，当时，当时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．【解析】：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得 x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故 m＜9．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．。
辽宁省大连市第十二中学2015届高三第一次模拟考试（文）第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{11}A x x =-≤≤，{02}B x x =≤≤，则AB = （ ）（A ） [1,0]- （B ） [1,0]- （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞⋃+∞（2）设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z=（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+（3）已知1,a b ==，且a b ⊥，则||a b +为（ ）（A （B （C ） 2 （D ）（4）已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,222a b c bc =+-，4bc =，则△ABC 的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2 (5)2x <是2320x x -+<成立的（ ）（A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )（A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）（A ）323 （B ）64 （C （D ） 643 （8）函数()2cos()(0)f x x ωϕω=+≠对任意x 都有()()44f x f x ππ+=-，则()4f π等于( ) （A ）2或0 （B ）2-或2 （C ）0 （D ）2-或0（9）在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值是（ ）（A ）2 （B ）8 （C ）14 （D ）16（10）已知抛物线:C x y 42=的焦点为F ，直线1)y x -与C 交于,(A B A 在x 轴上方）两点．若AF mFB =，则m 的值为（ ） （A（B ）32（C ）2 （D ）3 （11) 若关于x 方程log (0,1)a x b b a a +=>≠有且只有两个解，则 （ ） （A ） 1b = （B ）0b = （C ）1b > （D ） 0b >（12）定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数，① 对任意的x ，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立， 则下列函数不是M 函数的是（ ） （A ）2()f x x =（B ） ()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+（D ）2()1f x x =+第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上） （13）函数1sin 2y x x =([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________，（14）将高一9班参加社会实践编号为：1，2，3,…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知5号，29号，41号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ，(15) 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ， （16）如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，，则该半球的体积为 .三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分)等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足299,9971-=-=+S a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn S b 21=，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T .(18)(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(Ⅱ)在本次训练中，从两班中分别任选一个同学，比较两人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率.(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝45°，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点E 为AB 上一点，且k ABAE=，点F 为PD 中点. (Ⅰ)若21=k ，求证：直线AF //平面PEC ；(Ⅱ)是否存在一个常数k ，使得平面PED ⊥平面PAB ，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由，(20) （本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)xy a b a b +=>>的上顶点为(0,2)(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过圆222x y r +=上一点00(,)Q x y 的切线方程为200x x y y r +=；（Ⅲ）从椭圆C 上一点P 向圆221x y +=上向引两条切线，切点为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于,M N 两点时，求MN 的最小值.(21)（本小题满分12分）已知函数23)(ax x x f -=，常数a ∈R .（Ⅰ）若1a =，过点(1,0)作曲线()y f x =的切线l ，求l 的方程；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，求实数a 的取值范围.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． (22)（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为 圆O 的切线，B ，D 为切点.， （Ⅰ）求证： OC AD //；（Ⅱ）若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.(23)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）（Ⅰ）以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值，(24)（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；（Ⅱ）若R x ∈∀，27()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围．参考答案一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,]6π；（14）17；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，………………3分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，于是可求得212+-=n a n．………………6分 （Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，………8分 于是11111111[(1)()]2233452n T n n =-+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++………………10分1311()2212n n =---++又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T ，………………12分 (18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8），………3分乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7），…………5分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分(Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，Ω由25个基本事件组成，基本事件是等可能的；………………8分 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，………………10分A 由10个基本事件组成，所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102()255P A ==.…………12分 (19)解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，又FM ∥CD ∥AB ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面PAB ．…………8分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k，∴2AE =， 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB .又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面PAB . …………………12分(20) 解：(Ⅰ)2b =，=2c e a =， 4,2a b ∴== ∴椭圆C 方程为221164x y +=.………………3分 （Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=- 又因为0x k y =-．………………4分故切线方程为0000()x y y x x y -=--，200x x y y r ∴+=．………………6分 当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，对应切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=， 综上，切线方程为200x x y y r +=．………………………………7分（Ⅱ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=， 过点B 的圆的切线为221x x y y +=． 两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，．∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，………………9分1(,0)p M x ∴，1(0)pN y ，， 22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………10分22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ⋅+⋅≥+=，当且仅当2163P x =， 283P y =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34.………………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-．………………2分 该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=， 解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-.………………4分 （Ⅱ）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，设32()1g x x ax x =-++，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i i x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=，………………6分不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <，………………8分又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数， 又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，………………10分 所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->， 所以1a <.………………12分法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根.显然0x ≠，所以方程211a x x x=-+只有一个实根. ………………6分 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x+-=+-=. 设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数，又(1)0h =.……8分所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；所以()g x 在1x =时取极小值1.………………10分又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷. 所以()g x 图象大致如图所示： 所以方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞．…12分 (22) 解： (Ⅰ)连接,,BD OD CB 是圆O 的切线，090ABC ∴∠=，,BOC A DOC ODA ∴∠=∠∠=∠, ……………2分∵OA OD =,A ODA ∴∠=∠,BOC DOC ∴∠=∠, ∵,OB OD OC OC ==, ……………4分OBC ODC ∴∆≅∆,OC ∴平分BCD ∠. …………… 5分(Ⅱ)OD AO =∴, DOC DAO ∠=∠∴,AB 是直径， 090OBC ADB ∴∠=∠=.……………7分 BAD ∴∆∽COD ∆，282AD OC AB OD R ⋅=⋅==．……………9分2R ∴= ． …………… 10分 (23)解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . ……………2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ. ……………5分（Ⅱ）点),(y x M 到直线AB 02=+-y x 的距离为……………6分2|9sin 2cos 2|+-=θθd ……………7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S | ……………9分所以ABM ∆面积的最大值为229+ ……………10分(24) 解：（Ⅰ）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，……………2分当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 ．……………5分 （Ⅱ）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需2min 7()32f x t t =-≥-，……………7分 232760,22t t t -+≤≤≤.综上所述322t ≤≤． ……………10分。
大连市2015年高三一模理科综合化学试卷参考答案一、选择题二、选择题三、非选择题26. （15分）第四周期第 VIII 族（1分）(2)TiO2++2H2O =H2TiO3+2H+（2分）①防止Fe2+氧化为Fe3+②消耗溶液中H+,使TiO2+的水解向右进行（各1分）(3) 蒸发浓缩、冷却结晶、过滤（2分）(4) TiCl4 + （2+x）H2O = TiO2·xH2O+4HCl（2分）加入大量的水并加热，能促进水解趋于完全。
（1分）(5) 2Cl--2e- = Cl2↑（1分） 2TiCl4= 2TiCl3+ Cl2↑（1分）TiCl4= TiCl2+ Cl2↑（1分） TiCl2+TiCl4= 2TiCl3（2分）27.（14分） (1)0.15mol/(L·min)(2分)(2)①BCD(2分)②υ(C)> υ(B)> υ(A) (2分)③4L(2分)(3)2CH4(g)+O2(g)=2CH3OH(g) ΔH=(a+2b)kJ/mol (2分)(4)2CH3OH+3O2+4OH-=2CO32-+6H2O(2分)(5)C(K+)>C(CO32-)>C(HCO3-)>C(OH-)>C(H+)(2分)28. (14分)⑴ HCOOH 浓硫酸△ CO↑ + H2O（2分）⑵验纯、II（各1分）⑶隔绝空气（1分）⑷ 6种（2分）⑸ 12：1（2分）⑹长时间集中加热使局部温度达到还原生成铁所需要的温度（2分）（其它正确答案参照给分）3Fe2O3+ CO △2Fe3O4+ CO2Fe2O3+ CO △2FeO + CO2Fe2O3+ 3CO △2Fe + 3CO2（各1分）36. （15分）（1）合成塔（1分）A（2分）（2） C+H2O=CO+H2(2分)（3）防止催化剂中毒（2分）CO32-+CO2+H2O=HCO3-（2分）（4）在电磁场的作用下，氮氮三键更容易断裂，减少了合成氨反应所需的能量（1分）降低能耗，使反应更容易进行（其他合理答案也可）（1分）（5） 3（2分） 2NH3-6e-=N2+6H+（2分）37. （15分）（1）O N （各1分）（2）极性（1分）分子间可以形成氢键（2分）（3） SP2、SP3（各1分）（2分，只需标出中心原子、配体、配位键即可）（4）8 （2分）（2分）（2分）38. （15分）（1）消去反应；（2分）碳碳双键、羧基；（各1分）（2）（2分）（3）（2分）催化氧化 H2/Ni/△（4）CH2(OH)CH(OH)CH3———→CH3COCOOH———→ CH3CH(OH)COOHK2Cr2O7(H+)也给分（3分）（5）11种（2分）；（2分，其它合理答案也可）参考答案及评分标准物理部分二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
201５年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题（1）C ；（2）A ；（3）B ；（4）C ；（5）A ；（6）C ；（7）D ；（8）B ； （9）C ；（10）D ；（11) B ；（12）D ． 二.填空题 （13）[0,]6π；（14）17；(15) (,1][3,)-∞+∞；（16. 三.解答题（17）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，………………3分解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，于是可求得212+-=n a n ．………………6分 （Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，………8分 于是11111111[(1)()]2233452n T n n =-+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++………………10分1311()2212n n =---++又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T ，………………12分 (18)解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为7，………………1分甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8），………………3分 乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7），……………5分 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. ………………6分 (Ⅱ)甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e ，Ω由25个基本事件组成，基本事件是等可能的；………………8分 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，………………10分A 由10个基本事件组成，所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102()255P A ==.…………12分 (19)解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∵21=k ，∴FM AB AE ==21，又FM ∥CD ∥AB ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC . ……………6分(Ⅱ)存在常数22=k ，使得平面PED ⊥平面P AB ．…………8分 ∵k AB AE =，1AB =，22=k，∴AE =， 又∵∠DAB ＝45°，∴AB ⊥DE . 又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB .又∵PD DE D ⋂=，∴AB ⊥平面PDE ，∵PAB AB 平面⊂，∴平面PED ⊥平面P AB . …………………12分(20) 解：(Ⅰ)2b =，=2c e a =， 4,2a b ∴== ∴椭圆C 方程为221164x y +=.………………3分 （Ⅱ）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=- 又因为0x k y =-．………………4分 故切线方程为0000()x y y x x y -=--，200x x y y r ∴+=．………………6分 当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，对应切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=， 综上，切线方程为200x x y y r +=．………………………………7分（Ⅱ）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=， 过点B 的圆的切线为221x x y y +=． 两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，．∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，………………9分1(,0)pM x ∴，1(0)p N y ，，22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………10分22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ⋅+⋅≥+=，当且仅当2163P x =， 283P y =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34.………………12分(21) 解：（Ⅰ）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-．………………2分 该直线经过点(1,0)，所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=， 解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-.………………4分（Ⅱ）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，设32()1g x x ax x =-++，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+>所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i i x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=，………………6分不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <，………………8分又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数， 又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，………………10分 所以(1,2)i x i =大于或小于，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->， 所以1a <.………………12分法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根.显然0x ≠，所以方程211a x x x =-+只有一个实根. ………………6分 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x +-=+-=.设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数，又(1)0h =.……8分所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数；当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数；当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；所以()g x 在1x =时取极小值.………………10分又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷；又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷；又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷.所以()g x 图象大致如图所示： 所以方程211a x x x =-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞．…12分 (22) 解： (Ⅰ)连接,,BD OD CB 是圆O 的切线，090ABC ∴∠=，,BOC A DOC ODA ∴∠=∠∠=∠, ……………2分∵OA OD =,A ODA ∴∠=∠,BOC DOC ∴∠=∠,∵,OB OD OC OC ==, ……………4分OBC ODC ∴∆≅∆,OC ∴平分BCD ∠. …………… 5分(Ⅱ)OD AO =∴, DOC DAO ∠=∠∴, AB 是直径， 090OBC ADB ∴∠=∠=.……………7分BAD ∴∆∽COD ∆，282AD OC AB OD R ⋅=⋅==．……………9分2R ∴= ． …………… 10分(23)解：（Ⅰ）圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=θθsin 24cos 23y x （θ为参数）所以普通方程为4)4()3(22=++-y x . ……………2分∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ. ……………5分（Ⅱ）点),(y x M 到直线AB 02=+-y x 的距离为……………6分2|9sin 2cos 2|+-=θθd ……………7分ABM ∆的面积|9)4sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=⨯⨯=θπθθd AB S | ……………9分 所以ABM ∆面积的最大值为229+ ……………10分(24) 解：（Ⅰ）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，……………2分 当1,42,6,6x x x x <---><-∴<- 当2212,32,,233x x x x -≤<>>∴<< 当2,42,2,2x x x x ≥+>>-∴≥ 综上所述 2|63x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或 ．……………5分 （Ⅱ）易得min ()(1)3f x f =-=-，若R x ∈∀，t t x f 211)(2-≥恒成立， 则只需2min 7()32f x t t =-≥-，……………7分 232760,22t t t -+≤≤≤. 综上所述322t ≤≤． ……………10分。
