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高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
排列组合问题的求解技巧在数学中，排列组合是一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
无论是在数学竞赛中还是实际生活中，我们都会遇到各种各样的排列组合问题。
本文将介绍一些求解排列组合问题的技巧，帮助读者更好地应对这类问题。
一、排列问题的求解技巧排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
在解决排列问题时，我们需要考虑以下几个方面的技巧：1. 确定元素的个数：首先要明确待排列的元素个数，这有助于我们确定问题的规模和难度。
2. 确定元素的范围：排列问题通常涉及到一组元素，我们需要明确这组元素的范围，以便进行后续的计算。
3. 考虑重复元素：有时候，待排列的元素中可能存在重复的元素。
在计算排列的个数时，我们需要考虑这些重复元素，避免重复计算。
4. 使用排列公式：排列问题可以通过排列公式来求解。
当元素个数确定，且不存在重复元素时，排列的个数可以通过公式P(n, m) = n! / (n-m)!来计算，其中n表示元素的总个数，m表示待排列的元素个数。
5. 考虑特殊情况：有时候，我们需要考虑一些特殊情况，比如某些元素必须排在一起或者不能排在一起等。
在解决这类问题时，我们需要根据具体情况进行分析，采取相应的策略。
二、组合问题的求解技巧组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。
在解决组合问题时，我们需要考虑以下几个方面的技巧：1. 确定元素的个数：同样，我们需要明确待组合的元素个数，这有助于我们确定问题的规模和难度。
2. 确定元素的范围：组合问题通常涉及到一组元素，我们需要明确这组元素的范围，以便进行后续的计算。
3. 考虑重复元素：与排列问题类似，组合问题中也可能存在重复的元素。
在计算组合的个数时，我们需要考虑这些重复元素，避免重复计算。
4. 使用组合公式：组合问题可以通过组合公式来求解。
当元素个数确定，且不存在重复元素时，组合的个数可以通过公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)来计算，其中n表示元素的总个数，m表示待组合的元素个数。
排列组合解题的高效技巧与策略排列组合是数学中的一个重要概念，它在解决问题时可以帮助我们快速、高效地找出正确的答案。
本文将介绍一些排列组合解题的高效技巧与策略，帮助读者更好地应对相关问题。
1. 理解排列和组合的概念在开始讨论解题技巧之前，我们首先需要理解排列和组合的概念。
排列是指从一组元素中选取一部分元素按照一定的顺序进行排列，而组合是指从一组元素中选取一部分元素，不考虑顺序的情况下进行组合。
2. 利用公式计算排列组合数排列和组合问题的解答往往涉及到计算排列数和组合数。
针对不同的问题，我们可以利用相应的公式来计算。
例如，计算从n个元素中选取r个元素的排列数可以使用下面的公式：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
3. 利用乘法原理和加法原理乘法原理和加法原理是解决排列组合问题的基本原理。
乘法原理指出，如果一个任务可以分为k个相互独立的子任务，每个子任务有n1、n2、...、nk种选择，则总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nk。
而加法原理指出，如果一个任务可以通过两个步骤完成，第一步有n种选择，第二步有m种选择，则总的选择方式数为n + m。
4. 利用递推关系简化计算在解决排列组合问题时，有时可以利用递推关系简化计算过程，减少计算量。
例如，C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)就是一个常见的递推关系。
通过利用递推关系，我们可以将原始问题转化为更小规模的子问题，从而简化计算过程。
5. 利用二项式定理求解复杂问题二项式定理是数学中的一个重要定理，它展示了如何将一个二次多项式展开成一个多项式的和。
利用二项式定理，我们可以求解复杂的排列组合问题。
例如，在计算(x + y)^n的展开式中，我们可以得到展开式中各个项的系数，进而能够解决一些特殊问题。
6. 善于应用化简的方法在解决排列组合问题时，有时候问题的描述较为复杂，难以直接进行计算。
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
题目：排列组合常见种类与解题策略1. 排列组合的基本概念和含义排列组合是组合数学中的一个重要分支，用于计算对象的不同排列和组合方式。
在解题过程中，我们常常会遇到以下几种排列组合的形式：- 排列：从n个不同元素中取出m个元素按照一定顺序进行排列，记作A(n, m)或P(n, m)。
排列的计算公式为：A(n, m) = n! / (n-m)!。
- 组合：从n个不同元素中取出m个元素组成一个集合，不考虑元素的顺序，记作C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
- 重复排列：从n个元素中重复取出m个元素进行排列，元素可重复使用，记作A(n, m)。
重复排列的计算公式为：A(n, m) =n^m。
- 重复组合：从n个元素中重复取出m个元素组成一个集合，元素可重复使用，记作C(n, m)。
重复组合的计算公式为：C(n, m) = C(n+m-1, m)。
2. 排列组合的解题策略在解题过程中，我们可以采取一些常见的解题策略来简化计算和提高效率。
以下是几种常见的解题策略：- 利用排列数和组合数的性质来简化计算，例如利用排列数的对称性质和组合数的等式关系进行变形。
- 将复杂的排列组合问题转化为简单的子问题，采用递推或递归的方法进行求解。
- 利用排列组合与计数原理的结合，通过计数问题的转化和分析来解决排列组合问题。
- 运用数学公式和计算器等工具来辅助计算，提高计算精确度和效率。
3. 示例和练题为了更好地理解排列组合的种类和解题策略，以下是一些示例和练题：- 示例题1：从A、B、C、D四个元素中取出3个元素进行排列，求有多少种排列方式？- 示例题2：从10个不同的数字中取出5个数字组成一个集合，求有多少种不同的组合方式？- 练题1：从1、2、3、4、5、6六个数字中取出3个数字进行排列，求有多少种排列方式？- 练题2：小明有3本不同的数学书和4本不同的英语书，他要从中选择2本书带去图书馆，求有多少种选择方式？通过解题练，可以加深对排列组合种类和解题策略的理解和掌握。
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
排列组合问题的类型及解答策略
排列组合问题是组合数学的基本问题，主要涉及对象的排列和组合，一般分为以下几种类型：
1. 排列问题：求n个不同元素按照一定规律排列的方案数，其中每个元素只能出现一次。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，求按照一定顺序排列的方案数。
解策略：使用排列公式an = n！/ (n-r)！，其中n表示元素个数，r表示选取个数。
2. 组合问题：求n个不同元素中选取r个元素的方案数，其中
元素的顺序不重要。
例如，从8个人中选取3个人组成一支队伍，不考虑人的排列顺序，求方案数。
解策略：使用组合公式Cn,r = n!/ (r!(n-r)! )，其中n表示元素
个数，r表示选取个数。
3. 含有限制条件的问题：在组合问题的基础上，加入限制条件，例如某些元素必须或者不能一起选取。
例如，从6个男人和4
个女人中选择3人组成一个委员会，其中必须有至少一名女性。
解策略：分别考虑满足和不满足限制条件的情况，分别计算方案数并相加。
4. 区分问题与不区分问题：确定是否考虑对象间的区分性。
例如，从8个相同的球中选取3个球，不考虑球的区分性，求方
案数。
解策略：对于不区分问题，使用组合公式；对于区分问题，使用排列公式。
5. 带替换问题：从n个元素中选取r个元素，其中每个元素可以重复选取s次。
例如，从5个牌子中选取3个牌子，其中每个牌子可以选取多次。
解策略：使用带替换的组合公式，即C(n+r-1,r)。
通过以上不同类型排列组合问题的解答策略，能够有效解决各种实际问题。
组合问题的解题方法与策略组合问题是数学中的一种重要问题类型，它涉及到如何从已知元素中选择若干个元素进行排列或组合的问题。
解决组合问题需要掌握一些基本的解题方法和策略，下面我们来探讨一下这些问题的解法。
1. 计数法组合问题通常需要用计数法解决。
计数法包括：乘法原理、加法原理、排列组合原理等。
在解决组合问题时，我们需要根据具体的情况选用适当的计数方法。
2. 套路思维解决组合问题需要具备一定的套路思维。
例如，要求从元素集合中选择若干个元素进行排列，我们可以采用先选择一个元素，再选择一个元素，依次类推的方法解决问题。
这种方法可以简化组合问题的复杂度，帮助我们更快地得到答案。
3. 逆向思维逆向思维也是解决组合问题的常用策略。
在一些组合问题中，我们需要求出不符合条件的情况，然后用总情况数减去不符合条件的情况，就得到符合条件的情况数。
这种逆向思维可以大大简化组合问题的解决过程。
4. 变量替换有些组合问题中，我们需要求的是具有相同属性的元素组合数。
这种情况下，我们可以采用变量替换的方法，将具有相同属性的元素看做同一种元素，进而求出元素的排列或组合数。
例如，要求从20个球中选出10个蓝球，我们可以将20个球看做同一类元素，10个蓝球看做一个元素，然后求出从11个元素中选取10个元素的组合数。
5. 推理与归纳在解决组合问题时，我们需要善于推理和归纳。
例如，在一些组合问题中，我们需要求出满足一定条件的元素排列或组合数，我们可以通过归纳和推理，得出这些元素的特性，然后进一步求解。
综上所述，解决组合问题需要掌握计数法、套路思维、逆向思维、变量替换、推理与归纳等方法和策略。
熟练掌握这些技巧，可以大大提高解决组合问题的效率和准确性，帮助我们更好地应对数学竞赛和考试中的组合问题。
组合问题的解题方法与策略
组合问题是数学中的一类重要问题，常见于组合数学、概率论等领域。
解决组合问题需要一些特定的方法和策略，下面将介绍一些解决组合问题的常用方法和策略。
1. 排列组合法
排列组合法是一种通过计算排列和组合的方法来解决组合问题的方法。
在计算排列和组合时，需要注意考虑重复和顺序的因素。
具体地说，排列是指从n个元素中取出m个元素进行排列，排列数为A(n,m)；组合是指从n个元素中取出m个元素进行组合，组合数为C(n,m)。
在计算排列和组合时，应注意使用相应的公式，并考虑是否有重复和顺序的要求。
2. 分类讨论法
分类讨论法是一种常见的解决组合问题的方法。
该方法通常通过将问题分成若干个小问题，然后依次对每个小问题进行分析和解决。
在使用分类讨论法时，应注意分类的准确性和全面性，以确保所有情况都被考虑到。
3. 逆向思维法
逆向思维法是一种从结果反推出具体步骤的解决问题的方法。
在使用逆向思维法时，应先确定问题的结果，然后从结果出发，逐步反推出具体的步骤和方法。
逆向思维法在解决组合问题时常常能够帮助我们找到问题的解决方式。
4. 枚举法
枚举法是一种通过枚举所有可能的情况来解决问题的方法。
在解决组合问题时，枚举法可以通过列出所有可能的组合情况，然后逐一计算得出正确答案。
在使用枚举法时，应注意枚举的全面性和准确性，以确保所有情况都被列出来。
总之，解决组合问题需要综合运用多种方法和策略，以找到正确的解决方式。
在实践中，我们应灵活运用各种方法，并在解决问题的过程中不断总结和改进，以不断提高解决问题的能力和水平。
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是数学中一个重要的分支，主要研究给定一组对象（元素）的排列和组合形式。
在各个领域中，排列组合问题都有很多实际应用，如密码学、统计学、概率论等。
下面将介绍排列组合问题的类型及解答策略，并给出相关参考内容。
1. 排列问题排列问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行排列，其中m<=n。
排列问题中的元素顺序是重要的，即同样的元素组成的不同排列被认为是不同的结果。
解答策略：排列问题可以使用递归、回溯法或动态规划等方法进行解答。
参考内容：- 《Introduction to the Theory of Computation》(第3版) by Michael Sipser- 《Discrete Mathematics and Its Applications》(第7版) by Kenneth H. Rosen- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik2. 组合问题组合问题是指从给定的n个元素中，选取m个元素进行组合，其中m<=n。
组合问题中的元素顺序不重要，即同样的元素组成的不同组合被认为是相同的结果。
解答策略：组合问题可以使用递归、回溯法或组合数学的相关公式进行解答。
其中，组合数学中的二项式系数的性质是解决组合问题的关键。
参考内容：- 《Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science》(第2版) by Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik- 《Combinatorial Mathematics for Recreation》 by Ronald L. Graham, Edouard Lucas, and Donald E. Knuth- 《Applied Combinatorics》(第6版) by Alan Tucker3. 排列组合问题排列组合问题是指在从给定的n个元素中选取m个元素的基础上，对选取出的元素进行排列的问题。
组合问题的解题方法与策略
组合问题是离散数学中的一个重要分支，涉及到从给定的元素中选出特定数量的元素进行排列或组合的问题。
在实际生活中，组合问题的应用非常广泛，例如从一堆物品中选出特定数量的物品进行组合，或者从一个人群中选出特定数量的人进行配对等等。
解决组合问题的方法和策略主要包括以下几个方面：
1. 排列组合公式
排列组合公式是解决组合问题的基本公式，包括排列公式和组合公式。
排列公式指的是从n个元素中选取r个元素进行排列的方案数为
A(n,r)=n!/(n-r)!，组合公式指的是从n个元素中选取r个元素进行组合的方案数为C(n,r)=n!/r!(n-r)!。
2. 构造组合问题的模型
在解决组合问题时，需要首先将问题抽象化成组合问题的模型，确定元素的个数、选取的元素数量、元素的性质等等。
例如，在从一堆物品中选取特定数量的物品进行组合的问题中，需要确定物品的数量、选取的物品数量、每个物品的性质等等。
3. 使用递归或回溯算法
递归和回溯算法是解决组合问题的常见方法。
递归算法通过将大问题递归拆分成小问题进行求解，直到问题规模减小到可以直接求解为止。
回溯算法则是在求解问题的过程中，遇到无法继续向下求解的情况时，返回上一层重新选择其他分支进行求解。
4. 利用数学归纳法
数学归纳法是解决组合问题的另一种常见方法。
它通过证明基本情况成立，然后假设某个情况成立，证明下一个情况也成立，以此类推，最终证明所有情况都成立。
总之，解决组合问题需要掌握基本的排列组合公式，构建问题模型，使用递归或回溯算法，以及利用数学归纳法等方法。
通过不断练习和实践，可以提高解决组合问题的能力和效率。
高中排列组合问题的解答技巧和记忆方法The following text is amended on 12 November 2020.排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合问题的类型及解答策略排列组合问题是概率论的一个重要内容，常见于数学和统计学的相关考试中。
它涉及将一组元素按照一定的规则进行排列或组合，从而求解出不同可能性的个数。
在数学领域中，排列与组合属于不同的问题类型，需要采用不同的解答策略。
首先，我们来讨论排列问题。
排列指的是从给定的一组元素中按照一定顺序选取若干个元素，形成一个有序的排列。
对于排列问题，常见的求解策略有全排列和有限排列两种。
全排列问题是指将给定的所有元素进行排列，即对于每一个元素都有可能处于不同的位置。
解答全排列问题时，可以使用递归算法。
首先确定第一个位置的元素，然后将剩余的元素进行全排列，依次确定后面的位置，直到所有元素都被排列。
全排列问题的解答策略比较直接，但对于元素较多的情况下，可能会导致运行时间较长。
有限排列问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行排列，但排列的长度有限制，即不一定需要将所有元素都排列出来。
解答有限排列问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路与全排列问题类似，需要确定每个位置的元素，但要考虑到排列的长度限制。
迭代算法则可以通过循环来实现，每次选取一个元素并确定位置，直到达到排列长度限制或所有元素都被选取。
接下来，我们讨论组合问题。
组合指的是从给定的一组元素中选取若干个元素，形成一个无序的组合。
对于组合问题，常见的求解策略有全组合和有限组合两种。
全组合问题是指将给定的所有元素进行组合，即对于每一个元素都有可能被选取或不被选取。
解答全组合问题时，可以使用位运算的思想。
假设元素个数为n，可以使用n位二进制数表示每个元素的选取状态，0表示不选取，1表示选取。
通过遍历所有可能的二进制数，即可得到全组合的解。
有限组合问题是指从给定的一组元素中选取若干个元素进行组合，但组合的个数有限制。
解答有限组合问题时，可以使用递归算法或迭代算法。
递归算法的思路是从第一个元素开始选取，然后对剩余元素进行组合，依次确定后面的元素，直到达到组合个数限制或所有元素都被选取。
求解排列、组合问题的一些方法与策略排列、组合问题历来是学生学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列、组合问题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
我们只有对基本的解题策略熟练掌握，根据它们的条件，选取不同的技巧来解决。
对于一些比较复杂的问题，我们可以将几种策略结合起来应用，或将复杂的问题转化为熟悉的问题来灵活处理，并举一反三，触类旁通。
本文所谈的策略只供参考，切忌将所有的题目都对号入座。
一、特殊元素和特殊位置优先考虑的策略对于含有限定条件的排列组合应用题，一般优先考虑安排特殊元素或者特殊位置，然后再考虑其它元素或者其它位置。
1、用0，2，3，4，5，这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？分析：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排。
按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：（1）当0排在末尾时有24A 个；（2）当0不排在末尾时三位偶数有111233A A A 个。
根据分类加法计数原理，共有偶数24A +111233A A A =30个。
2、（05年福建卷）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种C. 144种D. 96种 解析：因为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有C 41种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有A 53种方法，所以共有方案C A 4153240=（种），故选（B ）。
3、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，求有多少种不同的排法？ 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A 种。
4、（2006年全国卷I ）安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有___2400______种。
（用数字作答） 解析：先让甲选值班日期，有5种选法；接下来让乙选值班日期，有4种选法，再接下来5名工作人员任意排，有5!种排法。
所以不同的安排办法共有545!2400⨯⨯=种。
说明：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素。
若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处二、排列组合混合问题先选后排策略对于排列组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
5、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，求恰好有一个空盒的放法有多少种？ 分析：这是一个排列与组合的混合问题。
因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分为两步进行：第一步先选，从4个球中任意选两个球，有24C 种选法，从4个盒子中选出3个有34C 种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有33A 种排法。
所以满足条件的放法共有24C 34C 33A =144种。
6、（2009广东卷）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，求有多少种不同的选派方案？【解析】分两类：若小张或小赵中有一人入选，则有选法24331212=A C C ；若小张、小赵都入选，则有选法122322=A A ，共有选法36种，选A.三、分类相加与分步相乘策略加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”，可以与物理中电路的串联和并联类比， 解题中根据题目需要灵活而巧妙地分类或分步．7、(2012高考浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种【答案】D【解析】从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即545=C 种方法；第一类是取两个奇数，两个偶数，即602425=C C 种方法；第三类是取四个奇数，即144=C 故有5+60+1=66种方法。
故选D 。
8、（05年浙江卷）从集合{O ，P ，Q ，R ，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法有多少种?解析：（1）每排中只有数字0的排法有C C A 913244；（2）每排中只有字母P 或Q 的排法都有C C A 319244；（3）每排中无数字0，字母P 、Q 的排法有C C A 329244。
所以不同的排法种数共有：()C C C C C C A 9132319232924428424++=（个）9、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?解：和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数，而每个数的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32点评：解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解 例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢? 答案：C 45·24=80个10、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少种？解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，从图形看必有2部分同颜色的花，从同颜色的花入手分类求 （1）②与⑤同色，则③⑥也同色或者④⑥也同色，所以共有N 1=4×3×2×2×1=48种；（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N 2=4×3×2×2×1=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共有N 3=4×3×2×1=24种所以，共有N =N 1+N 2+N 3=48+48+24=120种解法二：记颜色为A 、B 、C 、D 四色，先安排1、2、3有A 34种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A 、B 、C ，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见 根据分步计数原理，不同栽种方法有N =A 34×5=12011、（2009全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，求选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有多少种？解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ⋅⋅=种选法； (2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ⋅⋅=种选法.故共有345种选法.12、在一次演唱会上共10名演员，其中8人能唱歌，5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌，2人伴舞的节目，有多少选派方法？654321D D C C D C BD654CB D不同的选法共有_______说明：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，或按事件发生的连续过程分 步，“类”与“类”之间独立且并列，“步”与“步”之间相依且连续，要做到标准明确，层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定，要贯穿于解题过程的始终。
四、正难则反总体淘汰策略对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．14、有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个） 15、（05年全国卷）由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有多少个？解析：用排除法解决：（1）总的四位数有C A 5153；（2）个位数字为0的四位数有A 53；（3）个位数字为5的四位数有C A 4142。
所以符合条件的四位数共有：C A A C A 51535341423006048192--=--=（个）另解：直接求有4442⨯⨯A （想一想，为什么？）16、从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，问不同的取法有多少种？五、实际操作问题穷举策略 一些较实际、较复杂、不易用公式而数目较小的排列组合问题，可以尝试穷举的策略，常通过画表格、树形图 、框图等手段使问题直观化，往往得到可信度较高的答案。
17、(2012高考四川)方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）【答案】B 【解析】本题可用排除法，,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，6选3全排列为120，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则0a ≠且0b ≠,，要减去40225=A ，又22或-=b 和33或-=b 时，方程出现重复，用分步计数原理可计算重复次数为18233=⨯⨯，所以不同的抛物线共有120-40-18=62条.故选B.18、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?解：设较小的两边长为x 、y 且x ≤y ，则 x ≤y ≤11，x +y >11，x 、y ∈N *当x =1时，y =11；当x =2时，y =10，11；当x =3时，y =9，10，11；当x =4时，y =8，9，10，11；当x =5时，y =7，8，9，10，11；当x =6时，y =6，7，8，9，10，11；当x =7时，y =7，8，9，10，11；……当x =11时，y =11所以不同三角形的个数为 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36点评：本题关键是列出约束条件，然后寻找x =1，2，…，11时，y 的取值个数的规律，再用分类计数原理求解19、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？解：依题意，符合要求的排法可分为第一个排b,c,d 中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树形图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种20、（05年贵州）设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D 点，则停止跳动，若在5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法有多少种？解析：青蛙从A 点开始，往相邻两个顶点B 和F 跳到D 点的次数是相同的，又青蛙第一次往B 方向跳的跳法可用“树形图”表示如下：由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）。
