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第七章 空间问题的基本理论§７－1 平衡微分方程图7-1在物体内的任意一点P ，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴,而棱边的长度为dz PC dy PBdx PA ===,,，图7-1。
一般而论，应力分量是位置坐标的函数。
因此,作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。
例如,作用在后面的正应力是x σ，由于坐标x 改变了dx 作用在前面的正应力应当是dx xx x ∂∂+σσ，余类推。
由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。
首先，以连接六面体前后两中心的直线ab 为矩轴,列出力矩的平衡方程0∑=abM ：略去微量以后，得zy yz ττ=。
同样可以得出yx xy xz zx ττττ==,只是又一次证明了切应力的互等性。
其次,以x 轴为投影轴,列出投影的平衡方程∑=0x F ，得.0d d d d d d d )(d d d d )d (d d d d )d (=+-∂∂++-∂∂++-∂∂+z y x f y x y x dz zx z x z y y z y z y x x x zx zxzx yx yx yz x xx ττττττσσσ由其余2个平衡方程，∑=0yF 和∑=0z F ，可以得出与此相似的2个方程。
将这3个方程约简以后,除以z y x d d d ，得⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂.0,0,0z yzxz z y xy zy y x zxyz x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。
§7-2 物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量,,,z y x σσσyx xy xy zx zy yz ττττττ===,,为已知,试求经过P 点的任一斜面上的应力。
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第七章 弯曲变形 授课学时：4学时 主要内容：
推导)(``xMEIy；积分法的求解过程；边界条件的建立；光滑连续条件的确定；叠加法。
$7.1挠曲线近似微分方程 1．概念 挠曲线：当梁在xy面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为xy面内的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。 挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（x轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符号v表示。 xf
转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号表示。从图中可以看到，截面C的转角C等于挠曲线以C点的切线与x轴的夹角。
xfdxdtg'
dx
dv
xftg'
综上所述，求梁的任一截面的挠度和转角，关键在于确定梁的挠曲线方程xf 2．挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径与弯矩M的关系为
EIxMx)()(1
将微分弧段ds放大，有如下关系： dds
，EIMxdsd1 。由于挠度很小，dxds，上式可以写成
EIMdxd
考虑到弯矩的符号与dxd一致，上式写成EIMdxd 将dxdv代入上式得出
EIxMdxdv)(2''
$7.2积分法求弯曲变形 1．转角和挠曲线方程 对EIxMv)(''两侧积分，可得梁的转角方程为
CdxEIxMvx)()('
再积分一次，即可得梁的挠曲线方程 DCxdxdxEIxMxv)()( 式中C和D为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。 2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性 固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。
例：所示简支梁AB受到集中力P作用，讨论它的弯曲变形。 解： ①求反力并列梁的弯矩方程
PlbRA PlaRA
②建立坐标系xAy，分两段列出AB梁的弯矩方程为： AC段 111)(PxlbxM )0(1ax
第七章收縮與翹曲
塑膠射出成形先天上就會發生收縮，因為從製程溫度降到室溫，會造成聚合物的密度變化，造成收縮。
整個塑件和剖面的收縮差異會造成內部殘留應力，其效應與外力完全相同。
在射出成形時假如殘留應力高於塑件結構的強度，塑件就會於脫模後翹曲，或是受外力而產生破裂。
7-1 殘留應力
殘留應力(residual stress)是塑件成形時，熔膠流動所引發(flow-induced)或者熱效應所引發(thermal-induced)，而且凍結在塑件內的應力。
假如殘留應力高過於塑件的結構強度，塑件可能在射出時翹曲，或者稍後承受負荷而破裂。
殘留應力是塑件收縮和翹曲的主因，可以減低充填模穴造成之剪應力的良好成形條件與設計，可以降低熔膠流動所引發的殘留應力。
同樣地，充足的保壓和均勻的冷卻可以降低熱效應引發的殘留應力。
對於添加纖維的材料而言，提昇均勻機械性質的成形條件可以降低熱效應所引發的殘留應力。
7-1-1 熔膠流動引發的殘留應力
在無應力下，長鏈高分子聚合物處在高於熔點溫度呈現任意捲曲的平衡狀態。
於成形程中，高分子被剪切與拉伸，分子鏈沿著流動方向配向。
假如分子鏈在完全鬆弛平衡之前就凝固，分子鏈配向性就凍結在塑件內，這種應力凍結狀態稱為流動引發的殘留應力，其於流動方向和垂直於流動方向會造成不均勻的機械性質和收縮。
一般而言，流動引發的殘留應力比熱效應引發的殘留應力小一個次方。
塑件在接近模壁部份因為承受高剪應力和高冷卻速率的交互作用，其表面的高配向性會立即凍結，如圖7-1所示。
假如將此塑件存放於高溫環境下，塑件將會釋放部份應力，導致.的收縮與翹曲。
凝固層的隔熱效應使聚合物中心層維持較高溫度，能夠釋放較多應力，所以中心層分子鏈具有較低的配向性。
可以降低熔膠剪應力的成形條件也會降低因流動引發的殘留應力，包括有：
•高熔膠溫度。
•高模壁溫度。
•長充填時間（低熔膠速度）。
•降低保壓壓力。
•短流動路徑。
圖7-1 充填與保壓階段所凍結的分子鏈配向性，導致流動引發之殘留應力。
(1)表示高冷卻率、高剪應力或高配向性；
(2)表示低冷卻率、低剪應力或低配向性。
7-1-2 熱效應引發之殘留應力
熱效應引發殘留應力的原因包括下列：
•塑料從設定的製程溫度下降到室溫，造成收縮。
•塑料凝固時，塑件從表層到中心層經歷了不同的熱力歷程和機械歷程，例如不同的冷卻時間和不同的保壓壓力等。
•由於密度和機械性質變化導致壓力、溫度、分子鏈配向性和纖維配向性的改變。
•模具的設計限制了塑件在某些方向的收縮。
塑料於射出成形的收縮可以用自由冷卻的例子說明。
假如溫度均勻的塑件突然被兩側的冷模壁夾住，在冷卻的初期，塑件表層冷卻而開始收縮時，塑件內部的聚合物仍然呈高溫熔融狀態而可以自由收縮。
然而，當塑件中心溫度下降時，
局部的熱收縮受限於已經凝固的表層，導致中心層為拉伸應力，表層為壓縮應力的典型應力分佈，如圖7-2所示。
塑件從表層到中心的冷卻速率差異會引發熱效應之殘留應力。
更有甚者，假如模具兩側模壁的冷卻速率不同，還會引發不對稱的熱效應殘留應力，在塑件剖面不對稱分佈的拉伸應力與壓縮應力造成彎曲力矩，使塑件產生翹曲，如圖7-3的說明。
肉厚不均勻的塑件和冷卻效果差的區域都會造成這種不平衡冷卻，而導致殘留應力。
複雜的塑件由於肉厚不均勻、模具冷卻不均勻、模具對於自由收縮的限制等因素，使得熱效應引發之殘留應力的分佈變得更複雜。
圖7-2 塑件冷卻不均勻和塑料溫度歷程的作用，導致熱效應引發之殘留應力。
圖7-3 塑件剖面方向不均勻的冷卻，造成不對稱熱效應引發
之殘留應力，使塑件翹曲。
圖7-4說明了保壓之壓力歷程所造成的凝固層比容變化。
其中，左圖是塑件一個剖面的溫度分佈曲線。
為了方便說明，將塑件沿著肉厚方向分為8層，曲線上顯示著各層的凝固時間為t1~t8。
注意，塑件從最外層開始凝固，越往中心層則需要越長的凝固時間。
中間的圖形顯示各層固化的典型壓力歷程分別為P1~P8。
充填階段的壓力通常逐漸上升，在保壓初期達到最高壓力，之後，因為冷卻與澆口固化，壓力逐漸下降。
結果，塑件表層與中心層在低壓時凝固，其他的中間各層在高保壓壓力時凝固。
右圖說明了第5層在PvT圖上的比容歷程，以及各層於最終凝固時的比容，並且以實心圓點標記。
圖7-4 影響凝固層比容的因子
已知各層的凝固比容，塑件各層收縮行為會根據PvT曲線發生不同的收縮。
假設各層是分隔開如圖7-5，結果就收縮到中間圖形的情形，2、5、6、7等中間層因為凝固比容低(或是凝固密度高)而收縮得較少。
而實際上，各層是連接在一起，造成折衷的收縮分佈，中間層受壓縮，而外層與中心層則受拉伸。
圖7-5 各凝固層的比容差異相互作用，導致不同的殘留應力和塑件變形。
7-1-3 製程引發殘留應力與模穴殘留應力
就射出成形之模擬而言，製程所引發(process-induces)殘留應力比模穴(in-cavity)殘留應力更重要，以下介紹這兩個名詞的定義，並提供一個範例以說明它們的差異。
塑件頂出以後，模穴施加在塑件的拘束被釋放開，塑件可以自由地收縮與變形，直到平衡狀態。
此時塑件內尚存的應力就是製程引發的殘留應力，或者簡稱為殘留應力，它包括了流動引發的殘留應力和熱效應引發的殘留應力，而以熱效應的影響為主。
當塑件仍然受到模穴拘束時，塑件凝固所貯積的內應力稱為模穴殘留應力，此殘留應力會驅使塑件於頂出後發生收縮和翹曲。
圖7-6左上圖是成形塑件於頂出前，仍受到模具拘束的模穴殘留應力（通常是圖中顯示的拉伸應力）。
一旦頂出，解除了模具對於塑件的拘束，塑件將釋放模穴殘留應力而收縮和翹曲。
頂出塑件之收縮分布所造成的熱效應殘留應力分布曲線如圖7-6左下圖。
在無外力作用下，塑件剖面的拉伸應力等於壓縮應力而達到平衡狀態。
圖7-6右下圖表示塑件肉厚承受不均勻的冷卻，造成不對稱的殘留應力而發生翹曲。
圖7-6 （上）模穴殘留應力分佈曲線及（下）製程引發殘留應力分佈
曲線和頂出後的塑件形狀。
能夠造成充分保壓和均勻模壁溫度的條件，就可以降低熱效應引發的殘留應力，這些條件包括：
•適當的保壓壓力和保壓時間。
•塑件的所有表面都有均勻的冷卻。
•塑件有均勻的剖面肉厚。
