2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3直线与圆、圆与圆的位置关系学案2北师大版2

．
；此时直线 l：x+y
21．已知圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝
．
22．已知圆 C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0 和圆 C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0 相交于 A，B 两点，则直线
AB 的方程是
，线段 AB 的长度是
．
23．已知△ABC 的三个顶点 A（1，﹣2），B（0，5），C（﹣3，﹣4）． （1）求过 B 点且与点 A，C 距离相等的直线方程； （2）求三角形的外接圆方程．
A．外切
B．内切
C．相交
D．外离
16．已知直线 l：y＝x+m 与曲线
A．
B．
有两个公共点，则实数 m 的取值范围是（ ）
C．
D．
17．若圆 x2+y2﹣2kx﹣4＝0 关于直线 2x﹣y+3＝0 对称，则 k 等于（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
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第二章 解析几何初步（二）—圆
18．若直线 l：y＝kx+3﹣k 与曲线 C：y＝
相交：d＜r ；相切：d＝r；相离：d＞r ②代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
消元，得到一元二次方程的判别式△
相交：△＞0； 相切：△＝0； 相离：△＜0．
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第二章 解析几何初步（二）—圆 5．圆与圆的位置关系及其判定 （1）圆与圆的位置关系
（2）圆与圆的位置关系的判定 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，|O1O2|＝d 利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断 ①外离（4 条公切线）：d＞r1+r2 ②外切（3 条公切线）：d＝r1+r2 ③相交（2 条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2 ④内切（1 条公切线）：d＝|r1﹣r2| ⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|

2.3 圆及其方程2.3.1圆的标准方程 课后篇巩固提升基础达标练1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为()A.(-1,2),2B.(1,-2),2C.(-1,2),4D.(1,-2),42.方程y=√9-x 2表示的曲线是() A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆3.如图,圆C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C 经过点A (2,15),则圆C 的半径为()A.7√2B.8C.8√2D.10圆C 经过点(2,1)和点(2,15),故圆心在直线y=8上.又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线x-y-1=0上.由{x =8,x -x -1=0可得圆心为(9,8),故圆的半径为√(9-2)2+(8-1)2=7√2.4.已知一圆的圆心为点A (2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则圆的标准方程为() A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52,结合圆的性质可知,原点在圆上,圆的半径为r=√(2-0)2+(-3-0)2=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13.5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0x2+(y-3)2=4的圆心坐标为(0,3).因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的方程是y-3=x-0, 化简得x-y+3=0.6.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.P点在圆x2+y2=m2上,∴(-1)2+(√3)2=4=m2,∴m=±2.27.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,√5为半径的圆的标准方程是.(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=5.x+1)2+(y-2)2=58.若圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别为、.圆的方程为(x+x2)2+(y+1)2=1-34k2,∴r2=1-34k2>0,r max=1,此时k=0.∴圆心为(0,-1).-1)19.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.(x-a)2+(y-b)2=r2,则有{(2-x )2+(2-x )2=x 2,(5-x )2+(3-x )2=x 2,(3-x )2+(-1-x )2=x 2,解得{x =4,x =1,x 2=5,即△ABC 的外接圆的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=5. 10.已知点A (-1,2)和B (3,4).求: (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程; (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程.AB 的中点C 的坐标为(1,3).(1)∵A (-1,2),B (3,4),∴直线AB 的斜率k AB =4-23-(-1)=12. ∵直线l 垂直于直线AB , ∴直线l 的斜率k l =-1xxx=-2,∴直线l 的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.(2)∵A (-1,2),B (3,4),∴|AB|=√(3+1)2+(4-2)2=√20=2√5,∴以线段AB 为直径的圆的半径R=12|AB|=√5.又圆心为C (1,3), ∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=5.能力提升练1.方程(x-1)√x 2+x 2-3=0所表示的曲线是() A.一个圆B.两个点C.一个点和一个圆D.一条直线和一个圆x-1)√x 2+x 2-3=0可化为x-1=0或x 2+y 2=3,∴方程(x-1)√x 2+x 2-3=0表示一条直线和一个圆.2.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P ,则与圆C :(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P 的圆的标准方程为()A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,则{2x +3x -1=0,3x -2x +5=0,解得{x =-1,x =1,即P (-1,1).∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),∴|PC|=√(-1-2)2+(1+3)2=5,∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25,故选B.3.已知圆心(a,b)(a>0,b<0)在直线y=-2x+1上的圆,其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径,在y 轴上截得的弦长为2√5,则圆的方程为()A.(x-3)2+(y+5)2=25B.(x-2)2+(y+3)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=1D.(x+23)2+(x-73)2=499,过圆心M作MA⊥x轴,MB⊥y轴,连接MC,由垂径定理得到B为CD中点,又|CD|=2√5,∴|CB|=√5,由题意可知圆的半径|MA|=|MC|=|b|,|MB|=|a|,在直角三角形MBC中,根据勾股定理得b2=a2+(√5)2,①把圆心(a,b)代入y=-2x+1中,得b=-2a+1,②联立①②,解得a=2,b=-3,∴圆心坐标为(2,-3),半径r=|-3|=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9.故选B.4.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)2+(y-2)2=2上,且满足∠ACB=90°,则a的最小值是.C(2+√2cosα,2+√2sinα),∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα+a,2+√2sinα),xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα-a,2+√2sinα),∵∠ACB=90°,∴xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cosα)2-a2+(2+√2sinα)2=0,∴a2=10+4√2(sinα+cosα)=10+8sinα+π4∈[2,18].∵a>0,∴a∈[√2,3√2],∴a的最小值是√2.√25.已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为.(x-1)2+y2=1,设其圆心为C1,则圆C1的圆心坐标为(1,0),半径长r1=1.设圆心C1(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),则{xx-1·(-1)=-1,-x+12=x2,解得{x=0,x=-1.所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1.2+(y+1)2=16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|的中间值.因为|PA|=√10,|PB|=√13,|PC|=5,所以|PA|<|PB|<|PC|,所以圆的半径r=|PB|=√13.故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13.7.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为2√14,求圆C的方程.C(2y0,y0),半径r=|2y0|,圆心到直线x-y=0的距离为√2=√2,由半径、弦心距、半弦长的关系得4x02=14+x022,∴y0=±2.当y0=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)2+(y-2)2=16,当y0=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)2+(y+2)2=16.素养培优练1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此相关的一个问题.已知圆:x2+y2=1和点A(-12,0),点B(1,1),M为圆O上动点,则2|MA|+|MB|的最小值为.,取点K(-2,0),连接OM,MK.∵|OM|=1,|OA|=12,|OK|=2,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2.又∵∠MOK=∠AOM,∴△MOK∽△AOM,∴|xx||xx|=|xx||xx|=2,∴|MK|=2|MA|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,∴|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,∵B(1,1),K(-2,0),∴|BK|=√(-2-1)2+(0-1)2=√10.√102.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,求m的值.设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,∵圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,∴圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.故圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)∵CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,∴△ABC为等腰直角三角形,∵|CA|=|CB|=r=3,∴圆心C到直线l的距离d=3√22.则d=√2=32√2,解得m=1或-5.。

2.2 圆的一般方程1.掌握圆的一般方程.(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)[基础·初探]教材整理 圆的一般方程阅读教材P 81“练习”以下至P 82“例3”以上部分，完成下列问题.1.圆的一般方程的定义：当D 2＋E 2－4F ＞0时，称二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0－4y －4＝0化为标准方程为______. 【答案】 (x ＋1)2＋(y －2)2＝32[小组合作型]和半径；若不能，请说明理由.【精彩点拨】 解答本题可直接利用D 2＋E 2－4F >0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.【自主解答】 法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x 2与y2的系数是否相等；(2)不含xy 项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D 2＋E 2－4F >0是否.求圆心在直线y ＝x 上，且经过点A (－1,1)，B (3，－1)的圆的一般方程.【精彩点拨】 设圆的一般式方程→代入点的坐标→得到圆的方程【自主解答】 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＝－E 2，2－D ＋E ＋F ＝0，10＋3D －E ＋F ＝0，解得D ＝E ＝－4，F ＝－2，即所求圆的一般方程是x 2＋y 2－4x －4y －2＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x －4y －2＝用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出参数D ，E ，F.[再练一题]2.已知A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)，求△ABC 外接圆的方程. 【解】 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵A (0,0)，B (1,1)，C (4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组：即⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解此方程组，可得D ＝－8，E ＝6，F ＝0， ∴△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0.[探究共研型]探究1 AB 的中点P 的轨迹方程.【提示】 ∵|OP |＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×82＝3，∴点P 的轨迹为以O 为圆心，3为半径的圆， ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9.探究2 已知Rt△ABC 的两个顶点A (－1,0)和B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.【提示】 法一：设顶点C (x ，y )， 因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3， 且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).法二：取线段AB 中点D ，则|CD |＝12|AB |＝2，又D (1,0)，所以点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4.(x ≠3，且x ≠－1).已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【导学号：39292103】【精彩点拨】 点M 随点A 运动而运动，将A 点坐标用B ，M 两点坐标表示，再将A 点坐标代入圆的方程，即得M 【自主解答】 设点M (x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(4,3)且点M 是线段AB 的中点，所以x①y 2＝4， ②－3)2＝4， －3y ＋72＝0.用代入法求轨迹方程的一般步骤：[再练一题]3.过原点O 作圆x 2＋y 2－8x ＝0的弦OA ，求弦OA 中点M 的轨迹方程.【解】 设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，依题意得x ＝x 02，y ＝y 02，所以x 0＝2x ，y 0＝2y .又A 在圆x 2＋y 2－8x ＝0上，所以4x 2＋4y 2－16x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. 故弦OA 中点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0.1.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心坐标为( ) A.(1,2) B.(1，－2) C.(－1,2)D.(－1，－2)【解析】 将圆的方程化为标准方程(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2). 【答案】 B2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A.m ≤2 B.m <12C.m <2D.m ≤12【解析】 由r ＝12D 2＋E 2－4F >0，得(－1)2＋12－4m >0，即m <12.【答案】 B3.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 【解析】 圆心(1,2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3. 【答案】 34.圆x2＋y2－2x－4y－11＝0关于点P(－2,1)对称的圆的方程是________.【导学号：39292104】【解析】由x2＋y2－2x－4y－11＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝16.圆心(1,2)关于P(－2,1)的对称点为(－5,0)，所求圆的方程为(x＋5)2＋y2＝16，化为一般式为x2＋y2＋10x＋9＝0.【答案】x2＋y2＋10x＋9＝05.已知圆x2＋y2＝4上一点为A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程.【解】(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.。

第二章 解析几何初步§2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程课时跟踪检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)答案：D2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3 解析：－D 2＝－2，则D ＝4；－E 2＝3，则E ＝－6；此时方程为x 2＋y 2＋4x －6y ＋F ＝0.12 42＋(－6)2－4F ＝4，则F ＝－3.答案：D3．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆的方程为x 2＋y 2＝1，则实数a 的值为( )A ．0B ．6C ．±2D ．2解析：两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－1，C 2(0,0)． ∵两圆关于直线x －y －1＝0对称．∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－12在直线x －y －1＝0上．∴a 4＋12－1＝0，a ＝2.答案：D4．如果圆的方程为x 2＋ y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)解析：R 2＝k 2＋4－4k 24＝4－3k 24. 当k 2＝0时，R 2最大，面积也最大．此时圆的方程为x 2＋y 2＋2y ＝0，圆心为(0，－1)．答案：D5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 解析：方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜0，2a ＞0，|－a |＞2，|2a |＞2，解得a ＞2.答案：D 6．圆x 2＋y 2＋8x －4y ＝0与圆x 2＋y 2＝20关于直线y ＝kx ＋b 对称，则k 与b 的值分别为( )A ．k ＝－2，b ＝5B ．k ＝2，b ＝5C ．k ＝2，b ＝－5D ．k ＝－2，b ＝－5解析：两圆的圆心分别为(－4,2)和(0,0)，∵两圆关于直线y ＝kx ＋b 对称，∴2－0－4－0×k ＝－1，∴k ＝2. 又∵两圆心连线的中点在直线上，∴－2k ＋b ＝1，∴b ＝5.答案：B二、填空题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.解析：由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 答案：－28．圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，则直线AB 的方程为______________________________________________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝09．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为__________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆心在x 轴上，∴－E 2＝0，则E ＝0.此时圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧52＋12＋5D ＋F ＝0，12＋32＋D ＋F ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，F ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.答案：x 2＋y 2－4x －6＝0三、解答题10．求过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－2＝0.即⎩⎨⎧ D －E ＋F ＝－2，－D ＋E ＋F ＝－2，D ＋E ＝－4.∴⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝－2，F ＝－2.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.11．已知x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0表示一个圆．(1)求t 的取值范围；(2)若圆的直径为6，求t 的值．解：(1)因为方程表示一个圆，则有D 2＋E 2－4F >0，所以(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)>0.所以23t >－9，即t >－332.(2)圆x 2＋y 2＋(3t ＋1)x ＋ty ＋t 2－2＝0的标准式方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋t 22＝(3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2)4， 由条件知，圆的半径是3，所以3＝12 (3t ＋1)2＋t 2－4(t 2－2).所以23t ＋9＝36.所以t ＝932>－323，所以t ＝932.12．已知一圆过点P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆与y 轴的交点为A (0，m )，B (0，n )，令x ＝0，则y 2＋Ey ＋F ＝0，所以m 、n 是这个方程的根，且m ＋n ＝－E ，mn ＝F .所以|AB |2＝(m －n )2＝(m ＋n )2－4mn ＝E 2－4F ＝(43)2，故E 2－4F ＝48. ①又因为点P (4，－2)、Q (－1,3)在这个圆上，所以16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，且1＋9－D ＋3E ＋F ＝0.即4D －2E ＋F ＋20＝0， ②－D ＋3E ＋F ＋10＝0. ③解①②③得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4. 因此圆的方程是x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.13．已知Rt △AOB 中|OB |＝3|AB |＝5，点P 是△AOB 内切圆上一点，求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A ，B ，O 三点的坐标分别为A (4,0)，B (0,3)，O (0,0)，设P (x ，y )，内切圆半径为r ，则有|OA |·r ＋|OB |·r ＋|AB |·r ＝|OA |·|OB |所以r ＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|P A |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0,2]，故|P A |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PO |22＝π4(|P A |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π，所以所求面积之和的最大值为11π2，最小值为9π2.。

2．两圆 x2＋y2＋6x＋4y＝0 及 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的公共弦所在的直线方 程为______________．
【解析】 联立xx22＋ ＋yy22＋ ＋64xx＋ ＋42yy＝ －04， ＝0，① ② ①－②得：x＋y＋2＝0. 【答案】 x＋y＋2＝0
3．圆 x2＋y2＝1 与圆 x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 的交点坐标为________． 【解析】 由xx22＋＋yy22＋＝21x，＋2y＋1＝0， 解得yx＝＝－0，1 或yx＝＝0－. 1， 【答案】 (－1,0)和(0，－1)
两圆相交的问题
已知两圆 C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0 与 C2：x2＋y2＋2x＋2y－8 ＝0.
(1)求公共弦所在直线的方程； (2)求公共弦的长． 【精彩点拨】 两圆方程相减 → 直线方程 → 半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形 → 列式求解
【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)．将点 A 的坐
1．利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时，必须注意只有当 两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先 调整方程中各项的系数．
2．求两圆的公共弦长有两种方法：一是先求出两圆公共弦所在直线的方程； 再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；二是联立两圆 的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求弦长．
d＝|r1－r2| d<|r1－r2|
2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 圆 圆CC12方 方程 程―消―元→一 方元 程二次ΔΔΔ>＝<000⇒⇒⇒_____内相外______切交离______或或____，_外内____切含_____. _，

(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断 D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表 示圆时，务必注意x2及y2的系数都为1.
【跟踪训练】 若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小， 则a=_________.
【对点训练】
1.方程x2+y2-6y+1=0所表示的圆的圆心坐标和半径分
别为 ( )
A.(3，0)，8
B.(0，-3)，8
C.(0，3)，2 2
D.(3，0)，2 2
【解析】选C.因为x2+y2-6y+1=0，可化为x2+(y-3)2 =8，所以圆心为(0，3)，半径为2 2 .
2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆，则m的取值范围是
【跟踪训练】
若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为
半径的圆，则D，E，F的值分别为 ( )
A.4，8，-4
B.-4，8，4
C.8，-4，16
D.4，-8，16
【解析】选B.由已知，圆的标准方程为(x-2)2 +(y+4)2=16， 展开得一般方程x2+y2-4x+8y+4=0， 比较系数知，D，E，F分别为-4，8，4，故选B.
(-2，-4)，半径为5；当a=2时，方程为
4x2+4y2+4x+8y+10=0(x ，即1)2y12不5表示圆.
2
4
答案：(-2，-4) 5
【方法总结】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判 断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程 可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示 圆.

所以这个圆的方程是 ｘ 2 ＋ ｙ 1.＋ 5 0 2＝ 1.5 4 2
12
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱 支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01my ）
P2 P
A
A1 A2 O A3Y A4 Bx
例3：已知圆的方程是x2+y2=r2，求
M
经过圆上一点M（xo，yo）的切线
的方程.
O
X
6
1）写出过圆x2+y2=13上一点M（2，3）的 切线的方程。
13
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An e Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
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2)已知圆x2+y2=3,求过点（-3，0）的圆的切 线方程。
小结
1）圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是
xa2yb2r2；当圆心在原点时，a=0，b=0，那么圆的
方程就是x2+y2=r2。
2）由于圆的方程含有a、b、r三个参数，因此必须具备 三个独立的条件才能确定一个圆，可用待定系数法求得。
课题：圆的标准方程
Y
O
X
求曲线方程的主要步骤：
1）建立适当的坐标系,设M（x，y）是曲线上任意一点； 2）用坐标表示点M所适合的条件，列出方程f（x，y）=0； 3）化方程f（x，y）=0为最简形式 4）查缺补漏。

2
2
所以圆的标准方程为(x+2)2+(y-3 圆的位置关系 【典例2】已知两点P1(3，8)和P2(5，4)，求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5，3)， N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
【解题指南】求出圆的标准方程，将点M，N，P的 坐标代入方程左侧与r2相比较判断.
【拓展】圆心在坐标轴上或过原点或与坐标轴相切的 圆的方程的形式 (1)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程： x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上，半径为r的圆的标准方程： (x-a)2+y2=r2.
(3)圆心在y轴上，半径为r的圆的标准方程： x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上，且过原点的圆的标准方程： (x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上，且过原点的圆的标准方程： x2+(y-b)2=b2(b≠0).
【对点训练】 1.圆心为(-2，1)，半径为 2 的圆的标准方程为
() A.(x+2)2+(y+1)2= 2 B.(x+2)2+(y-1)2= 2 C.(x+2)2+(y+1)2=2 D.(x+2)2+(y-1)2=2
【解析】选D.圆心为(-2，1)，排除A，C，半径 为 2 ，故选D.
2.若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的
(2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的 标准方程是_(_x_-_a_)_2_+_(_y_-_b_)_2=_r_2_. 当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以_(_0_，__0_)_为圆心， r为半径的圆.

几何法
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤： 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
① ：通过直线 方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
代数法
② ：由圆心 到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
C.x-y-3=0
例.己知圆C: x2+y2－2x－4y－20=0, 直线l: (2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)
(1)证明: 无论m取何值 直线l与圆C恒相交.
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长,及此时 直线l的方程.
分析: 若直线经过圆内 的一定点，那么该直线 必与圆交于两点，因此 可以从直线过定点的角 度去考虑问题.
小结： 圆与圆的 五 种 位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2 O1 O
R r
2
外离 |O1O2|>R+r 内含 |O1O2|<R-r
两圆一有公共点
R
R O1
r O2
O1 O r 2
内切 |O1O2|=R-r 外切 |O1O2|=R+r

分析:(1)参数m的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比较 两圆的圆心距d与r1+r2,|r1-r2|的大小关系.(2)两圆有三条公切线即 两圆相外切,由此建立关于m的等式求解.(3)假设存在m使得圆C1与 圆C2内含,则圆心距d<|r1-r2|.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为 C1:(x-
解:设所求圆的圆心为 P(a,b),
易错辨析
所以 (������-4)2 + (������ + 1)2=1.
①
若两圆外切,
则有 (������-2)2 + (������ + 1)2=1+2=3.
②
由①②,解得 a=5,b=-1.
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1. 若两圆内切,
则有 (������-2)2 + (������ + 1)2=2-1=1.
(1)求线段AB的垂直平分线的方程; (2)求AB所在直线的方程; (3)求公共弦AB的长度. 分析:(1)线段AB的垂直平分线即两圆圆心的连线;(2)两圆方程相 减即得AB所在直线的方程;(3)利用几何法根据勾股定理求AB的长.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
解:(1)由于两圆相交于 A,B 两点,所以线段 AB 的垂直平分线就 是两圆的圆心的连线.
(1)求公共弦AB所在直线的方程;
(2)求圆心在直线y=-x上,且经过A,B两点的圆的方程.
解:(1)由已知得
������2 ������2
+ +
������2 + 2������ + 2������-8 = 0, ������2-2������ + 10������-24 = 0,

D＝－2， 4 3 解得E＝－ ， 3 F＝1.
外接圆的圆心到
2 3 ，故△ABC ∴△ABC 外接圆的圆心为1， 3 2 3 21 2 2 原点的距离为 1 ＋ ＝ 3 . 3
答案：B
5．圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的一般方程为 ________________．
方法归纳 形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程， 判定其是否表示 圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令 D2＋E2－4F>0，成立则表示圆， 否则不表示圆； ②将方程配方后， 根据圆的标准方程的特征求解． 应 用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
条件 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝ 0 D2＋E2－4F>0 图形 不表示任何图形 D E 表示一个点－ 2 ，－ 2 D E 1 2 2 － ， － 表示以 2 D ＋ E －4F为半径的圆 为圆心，以 2 2
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内任一圆的方程都是关于 x，y 的二元二次方程．( √ ) (2)圆的一般方程和圆的标准方程可以互化．( √ ) (3)形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程都表示圆．( × ) (4)若方程 x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0 表示圆，则 E≠0.( √ )
类型二 待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)， B(－2,3)， C(4， －5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
【解析】 方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A，B，C 在圆上，

所以 r＝|CA|＝ 5－42＋2－02＝ 5. 所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝5.
类型二 点与圆的位置关系
[例 2] 如图，已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3)． (1)求以 P1P2 为直径的圆的方程； (2)试判断点 M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还是 在圆外．
方法三：由已知可得线段 AB 的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－ －11 ＝－1，所以弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝1，所以 AB 的垂直平 分线的方程为 y－0＝1·(x－0)，即 y＝x.则圆心是直线 y＝x 与 x＋y －2＝0 的交点，
由yx＝＋xy，－2＝0， 得xy＝＝11，， 即圆心为(1,1)，圆的半径为
1－12＋[1－－1]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆 的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得 到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解．
A．(－4,3) B．(－5,4) C．(－5,5) D．(－6,4)
解析：由 a2＋(a＋1)2<25，可得 2a2＋2a－24<0，解得－4<a<3. 答案：A
3．已知圆 C 经过 A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为________．
解析：因为圆心在 x 轴上，设圆心为(a,0)， 所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2. 又因为 A(5,2)，B(－1,4)在圆上． 所以5－－1a－2a＋24＋＝1r62＝r2， 解得 a＝1，r2＝20. 所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20. 答案：(x－1)2＋y2＝20

(3)当 Δ<0 时，即－43<m<0 时，直线与圆相离，即直线与圆没 有公共点．
方法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为 C(2,1)，半径 r＝2.
圆心 C(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
(1)当 d<2 时，即 m>0 或 m<－43时，直线与圆相交，即直线与 圆有两个公共点；
(4k2－10k＋2)2－4(k2＋1)(4k2－20k＋25)＝0，所以 k＝152. 此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)， 即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在， 则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
5．直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于 A，B 两点，则|AB| ＝________.
解析：d＝
5＝ 5
5，
所以|AB|＝2 r2－d2＝2 8－5＝2 3.
答案：2 3
类型一 直线与圆的位置关系的判断 [例 1] 已知直线方程 mx－y－m－1＝0，圆的方程 x2＋y2－4x －2y＋1＝0.当 m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．
2．直线 x－3y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝19的位置关系是(
)
A．相离
B．相切
C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
解析：圆心(0,0)到直线 x－3y＋1＝0 的距离 d＝ 110<13，故直线 与圆相交，但不过圆心．
答案：D
3．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0

圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (1)圆心为(a，b)，半径为 r，圆的标准方程是____________________
x2＋y2＝r2 (2)圆心为坐标原点，半径为 r，圆的标准方程是____________.
[强化拓展] (1)圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中有三个参数，要确定圆的标准方程需 要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径 r 是圆的定量条件．反 之，若已知圆的标准方程便可以直接得到圆心和半径． (2)几种特殊位置的圆的标准方程： 条件 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0) (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
◎已知某圆圆心在 x 轴上，半径为 5，且截 y 轴所得线段长为 8，求该圆的标 准方程．
【错解】 如右图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.
在 Rt△AOC 中， |OC|＝ |AC|2－|OA|2＝ 52－42＝3， ∴C 点坐标(3,0)， ∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.
【错因】
正解二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25. ∵圆截 y 轴线段长为 8， ∴圆过点 A(0,4)， 代入方程得 a2＋16＝25， 3， ∴a＝± ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25 或(x－3)2＋y2＝25.
解析：
(1)将 P(1,2)代入方程左边得(1－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点(1,2)在
圆内，故选 C. (2)∵|MA|＝ －1－32＋1－42＝5， |MB|＝ 1－32＋0－42＝2 5， |MC|＝ －2－32＋3－42＝ 26， ∴|MB|＜|MA|＜|MC|. ∴点 B 在圆内，点 A 在圆上，点 C 在圆外． ∴圆的半径 r＝|MA|＝5， ∴圆 M 的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. 答案： (1)C (2)(x－3)2＋(y－4)2＝25