2020年高考数学二模试卷-普通用卷

12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。

由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）（有答案解析）2020年⼴东省深圳市⾼考数学⼆模试卷（⼀）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A. （0，1）B. （0，3）C. （1，2）D. （2，3）2.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i3.已知双曲线C：的渐近线⽅程为，则该双曲线的焦距为（）A. B. 2 C. 2 D. 44.某学校随机抽取了部分学⽣，对他们每周使⽤⼿机的时间进⾏统计，得到如下的频率分布直⽅图．若从每周使⽤时间在[15，20)，[20，25)，[25，30)三组内的学⽣中⽤分层抽样的⽅法选取8⼈进⾏访谈，则应从使⽤时间在[20，25)内的学⽣中选取的⼈数为A. 1B. 2C. 3D. 45.已知⾓α为第三象限⾓，若=3，则sinα=（）A. -B. -C.6.如图所⽰，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某⼏何体的三视图，则该⼏何体的体积为（）A.B.C.D. 10π7.若函数图象的两个相邻最⾼点的距离为π，则函数f（x）的⼀个单调递增区间为（）A. []B. []C. [-]D. []8.函数的图象⼤致为（）A. B.C. D.9.⼗九世纪末，法国学者贝特朗在研究⼏何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在⼀个圆内任意选⼀条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三⾓形边长的概率是多少？”贝特朗⽤“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解⽅法，但结果都不相同．该悖论的⽭头直击概率概念本⾝，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的⽅法如下：设A为圆O上⼀个定点，在圆周上随机取⼀点B，连接AB，所得弦长AB⼤于圆O的内接等边三⾓形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A. B. C. D.10.已知正⽅体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A. m∥D1QB. m∥平⾯B1D1QC. m⊥B1QD. m⊥平⾯A BB1A111.⼰知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离⼼率为（）12.若函数f（x）=x-在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A. （0，）B. （，e）C. （0，+∞）D. （，+∞）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.设函数，则f（-3）=______．14.设△ABC的内⾓A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，c osc=-，sin A=2sin B，则b=______15.已知等边△ABC的边长为2，若点D满⾜，则=______16.如图（1），在等腰直⾓△ABC中，斜边AB=4，D为AB的⼱点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所⽰的三棱锥C-A'BD，若三棱锥C-A'BD的外接球的半径为，则∠A'DB=______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知数列{a n}满⾜a1=2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18.某⽹店经销某商品，为了解该商品的⽉销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进⾏了初步处理，得到如下数表：x56789y86 4.5 3.53（1）统计学中⽤相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性⼀般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归⽅程；（3）根据（2）中的线性回归⽅程，应将售价x定为多少，可获取最⼤的⽉销售⾦额？（⽉销售⾦额=⽉销售量×当⽉售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r=，线性回归过程=x，=，=．和折起，使点重合于点位置，连结，得到如图所⽰的四棱锥.（1）在线段上是否存在⼀点，使与平⾯平⾏，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点到平⾯的距离20.设点P是直线y=-2上⼀点，过点P分别作抛物线C：x2=4y的两条切线PA、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的⾯积为时，求|AB|．21.已知函数f(x) =.（其中常数e=2.71828...，是⾃然对数的底数）．（1）讨论函数f ( x) 的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x >0 时，f ( x) ≥．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，曲线C1的参数⽅程为为参数）．圆C2的⽅程为（x-2）2+y2=4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系，射线l 的极坐标⽅程为θ=θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标⽅程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|=2|OM|，求△MC2N的⾯积．23.已知函数（m＞1）．（1）当m＝2时，求不等式的解集；（2）证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．2.答案：A解析：解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于基础题．3.答案：D解析：解：双曲线C：的渐近线⽅程为，可得a=，b=1，则c==2．所以C的焦距为：4．故选：D．利⽤双曲线的渐近线⽅程求出a，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．4.答案：C解析：解：由频率分布直⽅图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣数之⽐为：4：3：1，则从每周使⽤时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣中⽤分层抽样的⽅法选取8⼈进⾏访谈，则应从使⽤时间在[20，25）内的学⽣中选取的⼈数为=3，故选：C．由频率分布直⽅图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）=1，解得：a=0.03，由分层抽样⽅法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学⽣数之⽐为：4：3：1，则应从使⽤时间在[20，25）内的学⽣中选取的⼈数为=3，得解本题考查了频率分布直⽅图及分层抽样，属简单题5.答案：B解析：解：∵⾓α为第三象限⾓，若=3=，∴tanα==，且sin2α+cos2α=1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα=-，故选：B．由题意利⽤两⾓和的正切公式，求得tanα的值，再利⽤同⾓三⾓函数的基本关系，以及三⾓函数在各个象限中的符号，求得si nα的值．本题主要考查两⾓和的正切公式，同⾓三⾓函数的基本关系，以及三⾓函数在各个象限中的符号，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据三视图，该⼏何体是由⼀个圆锥和⼀个圆柱构成，圆锥的求半径为2，⾼为2，圆柱的底⾯半径为1，⾼为2．所以：V=V1+V2=，=．故选：C．⾸先根据三视图，把⼏何体复原，进⼀步利⽤体积公式求出结果．解析：解：函数图象的两个相邻最⾼点的距离为π，则：T=π，解得：ω=2，故：．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k=0时，，即：x．故选：A．⾸先利⽤函数的周期求出函数的关系式，进⼀步利⽤正弦型函数的性质的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：正弦型性质的应⽤，主要考察学⽣的运算能⼒和转换能⼒，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由得-1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利⽤函数值符号以及极限思想进⾏排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利⽤排除法是解决本题的关键．9.答案：C解析：解：设“弦AB的长超过圆内接正三⾓形边长”为事件M，以点A为⼀顶点，在圆中作⼀圆内接正三⾓形ACD，如所⽰，则要满⾜题意点B只能落在劣弧CD上，⼜圆内接正三⾓形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满⾜条件的B的位置，再由测度⽐是弧长⽐得答案．本题考查⼏何概型的意义，关键是要找出满⾜条件弦AB的长度超过圆内接正三⾓形边长的图形测度，再代⼊⼏何概型计算公式求解，是基础题．10.答案：B解析：解：∵正⽅体ABCD-A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m?平⾯B1D1Q，B1D1?平⾯B1D1Q，由直线m为平⾯BDP与平⾯B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平⾯B1D1Q．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．11.答案：C解析：解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay=ab的对称点，且AF2⊥x轴，可得AF2的⽅程为x=c，AF1的⽅程y=，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代⼊直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利⽤已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代⼊直线⽅程，即可求解椭圆的离⼼率．本题考查椭圆的简单性质的应⽤，是基本知识的考查．12.答案：D解析：解：当a=10时，函数f（x）=x-，x=e时，f（e）＜0，x=100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a=时，f（x）=x-，f′（x）=1-，x＞1时，f′（x）＞0恒成⽴，函数是增函数，f（1）=0，所以a=时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．利⽤特殊值回代验证，利⽤函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．本题考查函数的导数的应⽤，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能⼒．13.答案：4解析：【分析】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．根据题意，由函数的解析式可得f（-3）=f（-1）=f（1），⼜由解析式求出f（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（-3）=f（-1）=f（1），当x＞0时，f（1）=1+3=4，故答案为4．14.答案：1解析：解：∵sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：a=2b，⼜∵c=，c osc=-，∴由余弦定理c2=a2+b2-2ab cos C，可得：6=a2+b2-2×=4b2+b2+×2b2，解得：b=1．故答案为：1．由已知利⽤正弦定理可求a=2b，进⽽根据余弦定理即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三⾓形中的应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于基础题．15.答案：解析：解：等边△ABC的边长为2，若点D满⾜，则=（+）=+=+=．故答案为：．利⽤已知条件，转化斜率的数量积求解即可．本题考查斜率的数量积的应⽤，平⾯向量的加减运算，是基本知识的考查．16.答案：解析：解：球是三棱锥C-A'BD的外接球，所以球⼼O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平⾯A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D=BD，CD⊥平⾯A'BD，所以A'和B关于平⾯CDG对称，在平⾯CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球⼼O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平⾏线，交平⾯A'BD于点F，则OF⊥平⾯A'BD，且OF=DE=1，因为A'F在平⾯A'BD内，所以OF⊥A'F，即三⾓形A'OF为直⾓三⾓形，且斜边OA'=R=，∴A'F===2，所以，BF=2，所以四边形A'DBF为菱形，⼜知OD=R，三⾓形ODE为直⾓三⾓形，∴三⾓形A'DF为等边三⾓形，∴∠A'DF=，故∠A'DB=，故填：．根据题意，先找到球⼼的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和⾓度关系，分析即可解决．本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球⼼的位置是解决本题的关键．属于难题．17.答案：解：（1）数列{a n}满⾜a1=2，，∴（a n+1-2n+1）-（a n-2n）=2．a1-2=0，∴数列{}为等差数列，⾸项为0，公差为2．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），∴S n=+2×=2n+1-2+n2-n．解析：（1）数列{a n}满⾜a1=2，，证明（a n+1-2n+1）-（a n-2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：=0+2（n-1），可得：a n=2n+2（n-1），利⽤求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等⽐数列的通项公式求和公式，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．18.答案：解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：=7，=5．（x i-）2=10，（y i-）2=16.5，（x i-）（y i-）=-l2.5，r≈≈-0.97，∵|r|≈|-0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知===-1.25，=-=5-（-1.25）×7=13.75，∴=-1.25x+13.75．（3）由题意可知，⽉销售额的预报值=1000x=-1250x2+13750x，（元），或者=x=-1.25x2+13.75x（千元），则当x=5.5时，取到最⼤值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使⽹店的⽉销售额最⼤．解析：（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的⼤⼩进⾏判断即可（2）根据线性回归⽅程计算出相应的系数即可．（3）结合回归⽅程，进⾏预报计算即可．本题主要考查线性回归⽅程的求解，结合参考数据进⾏计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学⽣的计算能⼒．19.答案：解：（1）假设PC上存在点G使得PA∥平⾯连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正⽅形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA=AC，∵PA∥平⾯EFG，PA?平⾯PAC，平⾯PAC∩平⾯EFG=OG，∴PA∥OG，∴==．∴线段PC上存在⼀点G，使PA与平⾯EFG平⾏，且=．（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF=P，∴PC⊥平⾯PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，∵E，F是正⽅形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，⼜PC∩AC=C，∴EF⊥平⾯PAC，∵OC=AC=3，PC=4，∴PO==，∴sin∠PCA==，∴S△PAC==．⼜OE=EF=，∴V E-PAC==，⼜S△PCE===4，设A到平⾯PCE的距离为h，则V A-PCE==，解得h=．∴点A到平⾯PEC的距离为．解析：（1）假设存在点G符合条件，利⽤线⾯平⾏的性质可得PA∥OG，故⽽可得的值；（2）根据V E-PAC=V A-PCE列⽅程求出点A到平⾯PEC的距离．本题考查了线⾯平⾏的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题. 20.答案：解：（1）∵y=x2，∴y′=x，∴k PA=，∴直线PA的⽅程为y-=（x-1），即2x-y-1=0，∴P（-，-2），点P的横坐标为-．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，-2），则直线PA的⽅程为x1x=4×，即x1x-2y-2y1=0，因为（x0，-2）在PA上，所以x1x0+4-2y1=0，即x0x1-2y1+4=0，同理可得x0x2-2y2+4=0，∴x1+x2=2x0，x1x2=-8，∴|AB|==，⼜点P到直线AB的距离d==，∴S△ABP=d|AB=××|=（x02+4）=，解得，x02=5，|AB|==3．解析：（1）求出切线PA的⽅程后，将P的纵坐标代⼊可求得横坐标；（2）利⽤抛物线x2=2py的切线⽅程xx0=2p×可得PA，PB的切线⽅程，可得切点弦AB⽅程：x0x-2y+4=0，再利⽤弦长公式和点到直线距离可得⾯积，从⽽可得P的横坐标和|AB|．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.答案：（1）解：由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（-），由f′（x）＜0，解得x＞ln（-），故f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（-∞，ln（-））上单调递增，在（ln（-），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x?．令g（x）=，则g′（x）=．当a≥1时，ae x-x-1≥e x-x-1．令h（x）=e x-x-1，则当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）=0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x=1时，g′（x）=0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）=0．即，故f（x）≥（x+ae）x．解析：（1）由f（x）=ae x+2x-1，得f′（x）=ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数⼤于0和⼩于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x?．令g（x）=，利⽤导数求其最⼩值得证．本题考查利⽤导数研究函数的单调性，考查利⽤导数求函数的最值，考查数学转化思想⽅法，属中档题．22.答案：解：（1）由，得C1的普通⽅程为+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得+（ρsinθ）2=1，即ρ2==，所以C1的极坐标⽅程为ρ2=，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标⽅程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代⼊ρ2=，得ρM2=，把θ=θ0代⼊ρcosθ，得=4cosθ0，则|ON|=2|OM|，得ρN=2ρM，则=4，即（4cosθ0）2=，解得sin2θ0=，cos2θ0=，⼜0＜θ0＜，所以ρM==，ρN=4cosθ0=，所以△MC2N的⾯积S=S-S=|OC2|（ρN-ρM）sinθ0=××=．解析：（1）由，得C1的普通⽅程为+y2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代⼊，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利⽤极径的⼏何意义和三⾓形的⾯积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）=|x-2|+|x+|；①当x≤-时，原不等式等价于（2-x）-（x+）＞3，解得x；②当-时，原不等式等价于＞3，不等式⽆解；③当x≥2时，原不等式等价于（x-2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，-）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成⽴，∴f（x）+≥m++=m+=（m-1）++1，∵m＞1，m-1＞0，∴（m-1）++1≥2+1=3，∴f（x）+≥3．当m=2，且x∈[-，2]时等号成⽴．解析：（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，再相并；（Ⅱ）由题f（x）=|x-m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|=m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[-，m]时等号成⽴，再利⽤基本不等式可证．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知复数z 满足2020(1)24z ii +=-(其中，i 为虚数单位)，则z =2.函数arcsin(1)y x =+的定义域是3.计算行列式的值，0123=4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴与虚轴长度相等，则2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程是5.已知无穷数*2,(3)n na n N =∈-，则数列{}n a 的各项和为 6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其地面半径为 7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r = （精确到1％） 8.已知1()2nx x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是10.已知方程210()x tx t R ++=∈的两个虚根是12,x x，若21x x -=t =11.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是12.已知平面向量,,a b e 满足1,1,1,4e a e b e a b =⋅=⋅=--=，则a b ⋅的最小值是二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.抛物线24y x =的准线方程是 （ ）A.2x =-B. 1x =-C.18y =-D. 116y =-14.若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为 （ ）A.1B. 1-C.3D. 3-15.用数学归纳法证明*135(1)(21)(1),nnn n n N -+-+⋅⋅⋅+--=-∈成立。

2020届高三数学下学期二模试题（含解析）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果.【详解】因为，所以其在复平面内对应的点为位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.2. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令且即可求解.【详解】由题意得：得且，所以函数的定义域为，故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误；对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线，代入，即成立，正确；B. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；C. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；D. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若，则，即，，即，所以，数列为递减数列，充分性成立；必要性：若为递减数列，则，即，，则，必要性成立.因此，“”是“为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属于中等题.7. 已知函数则下列四个结论中正确是（）A. 函数的图象关于中心对称B. 函数图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案.【详解】A. ，错误；B. ，错误；C. 当时，函数，当，，，时，，正确；D. 由，得单调递增区间为，令，所以在区间上不单调递增，错误.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【详解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.9. 在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】设，，然后选取为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为的函数，由函数知识得最大值．【详解】设，，则，，∴，∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质业．现有函数：①; ②; ③; ④．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，其定义域上具有性质的函数；②定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数；③定义域为，值域为，而且是单调递增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，，其定义域上具有性质的函数；④定义域为，函数的值域为，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在，使得（m为常数）恒成立，但不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数；所以①和③是定义域上具有性质的函数；故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质的含义，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，，若，则，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.12. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】由二项式展开式通项有，可知常数项的值；【详解】二项展开式通项为，∴当时，常数项，故答案为：15【点睛】本题考查了二项式定理，利用二项式展开式的通项求常数项，属于简单题；13. 某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该四棱锥的体积为________．【答案】12【解析】【分析】先根据三视图判断其直观图，再利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】根据三视图可知其对应的直观图如下：下底面是等腰梯形，，，高为3，侧棱平面ABCD，，故体积.故答案为：12.14. 已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】易得，，再结合，可知，然后由求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为，设点，分别求出和，根据列出方程，求出x 的值，然后可得点到y轴的距离，，最后计算的面积.【详解】易知，，所以，又，，所以；所以双曲线的方程为：，其中经过一、三象限的渐近线方程为，故可设点，所以，，因为，所以，即，解之得：，所以点到y轴的距离为，又，所以：.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.15. 颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i 种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值．该研究小组得到以下结论：①在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高;②在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高;③在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高;④在第3次和第4次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低．其中，所有正确结论的序号是__________．【答案】②④【解析】【分析】先根据题意分析得直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小，再看图逐一分析结论即可.【详解】依题意，，知直线的斜率越大，颗粒物过滤效率越小. 看图分析如下：在第1种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最大，故最小，第4次测试时的颗粒物过滤效率最低，则①错误；在第2种口罩的4次测试中，四条直线中，直线斜率最小，故最大，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，则②正确；在第1次和第2次测试中，直线斜率大于斜率，，即第1种口罩的颗粒物过滤效率高，在第3次和第4次测试中，斜率大于直线，斜率，即第2种口罩的颗粒物过滤效率高，故③错误，④正确.故答案为：②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知是公差为d的等差数列，其前n项和为，且，___________．若存在正整数n，使得有最小值．（Ⅰ）求的通项公式;（Ⅱ）求的最小值．从①，②，③这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析【解析】【分析】分别选择①②③，然后结合等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解即可．【详解】解：①时，根据题意得，1−（−1）＝2d，解得d＝1，（Ⅰ）;（Ⅱ）所以当n＝3或4时，＝−6.②时，根据题意得，（Ⅰ）（Ⅱ），所以当n＝4时，＝−16，③时，根据题意得，（Ⅰ）；（Ⅱ），此时没有最小值．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，关键是利用等差数列求和公式的函数性质来解题，属于基础题.17. 如图，在五面体ABCDEF中，面是正方形，，，，且．（1）求证：平面；（2）求直线BD与平面ADE所成角的正弦值；（3）设M是CF的中点，棱上是否存在点G，使得平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）答案见详解；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】(1) 由和，利用线面垂直的判定定理即证结论；(2)先根据等体积法计算点B到平面ADE的距离d，再利用正弦等于即得结果；(3) 先取DC，AB上点N，G使得CN=BG=1，证明平面MNG 平面ADE，即得平面ADE，.【详解】解：（1）证明：正方形中，，又，，平面，所以平面；（2）设直线BD与平面ADE所成角为，点B到平面ADE的距离d，则.依题意，，由（1）知平面，得平面平面，故点E到平面的距离，中，，又，故根据等体积法，得，即，故，故直线BD与平面ADE所成角的正弦值是；（3），平面，平面，平面，又平面平面，平面，.分别取DC，AB上点N，G，使得CN=BG=1，又，故四边形CNGB是平行四边形，，又NG在平面ADE 外，BC在平面ADE内，平面ADE，取DC中点H，则DH=EF=2，又，故四边形EFDH是平行四边形，，又，M是CF的中点，故MN是中位线，，又MN在平面ADE外，DE在平面ADE内，平面ADE，因为MN，NG相交于平面MNG内，所以平面MNG平面ADE，又平面MNG，故此时平面ADE，.【点睛】本题考查了线面垂直的判定、线面成角的求法和存在性问题的探究，属于中档题.求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线线段长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.18. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图：（I）求a的值；（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由．【答案】（I）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）不正确，理由见解析.【解析】【分析】（I）根据频率分布直方图概率之和等于1，即可求得a的值（Ⅱ）按照分层抽样比分别求出行驶里程在和的无人驾驶汽车数量，的所有可能取值为，求出相应的概率即可列出分布列，求出数学期望.（Ⅲ）由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响，这种说法不正确.【详解】（I）由题意可知:，所以；（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为，若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，则行驶里程在这一组的无人驾驶汽车有辆，有题意可知：的所有可能取值为，，，所以的分布列为所以的数学期望为.（Ⅲ）这种说法不正确，理由如下：由于样本具有随机性，故，是随机变量，受抽样结果的影响.因此有可能更接近，也有可能更接近，所以不恒成立，所以这种说法不正确.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）由离心率得，由椭圆过一点．得，两者结合可解得，得椭圆方程；（Ⅱ）设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程后可得，由，，把用表示，然后计算并代入即可得证．【详解】（Ⅰ）由题意，解得，∴椭圆方程为；（Ⅱ）易知直线斜率存在，设其方程为，设，由，消元整理得，∴，，把代入得，即，由，得，，由，得，，∴，∴为定值．【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设直线方程为，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理求得，把它代入题中需求的量化简可得结论．20. 已知函数.（1）若曲线在点处的切线的斜率为1.（ⅰ）求a的值；（ⅱ）证明：函数在区间内有唯一极值点；（2）当时，证明：对任意，.【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）（ⅰ）先对函数求导，然后把代入导函数中使其值等于零，可求出a的值；（ⅱ）令，则，可得在上的单调性，也是在上的单调性，而，，，所以存在唯一的是的变号零点，故函数在区间内有唯一极值点；（2）由（1）可知，在内单调递增，在内单调递减，当时，，，所以分两类讨论：（i）若，易证在内单调递增，，符合题意，（ii）若，可得在区间内有且只有一个零点，记为，而函数在内单调递增，在内单调递减，可得，符合题意.【详解】（1）（ⅰ）因为，所以.因为曲线在点处的切线的斜率为1，所以，即，故.经检验，符合题意.（ⅱ）由（ⅰ）可知，.设，则.令，又，得.当时，﹔当时，，所以在内单调递增，在内单调递减.又，，，因此，当时，，即，此时在区间上无极值点；当时，有唯一解，即有唯一解，且易知当时，，当时，，故此时在区间内有唯一极大值点.综上可知，函数在区间内有唯一极值点.（2）因为，设，则.令，又，得.且当时，﹔当时，，所以在内单调递增，在内单调递减.当时，，，.（i）当，即时，.此时函数在内单调递增，﹔（ii）当，即时，因为，，所以，在内恒成立，而在区间内有且只有一个零点，记为，则函数在内单调递增，在内单调递减.又因为，，所以此时.由（i）（ii）可知，当时，对任意，总有.【点睛】此题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性、极值和恒成立问题，构造函数、虚设零点、灵活运用零点存在性定理是解题的关键，考查转化与化归能力、运算能力，属于难题.21. 设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数．（I）若，，写出，的值;（Ⅱ）求的最大值;（Ⅲ）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A．【答案】（1），；（2）4；（3），或.【解析】【分析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值；（2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值；（3）假设，，根据定义可得或，进而得到A.【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故，SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故.（2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ；（3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因，故，所以，设，则是的因数，所以是的因数，且是的因数，因为，所以，因为是的因数，所以，因为是的因数，所以是的因数，因为，所以，所以或，故，或，所以当取到最大值4时，故，或.【点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，考查集合的性质2020届高三数学下学期二模试题（含解析）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算化简复数，得出其对应的点，进而可求出结果.【详解】因为，所以其在复平面内对应的点为位于第二象限.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数对应的点所在的象限，考查复数的乘法运算，属于基础题型.2. 函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令且即可求解.【详解】由题意得：得且，所以函数的定义域为，故选：B【点睛】本题主要考查了求函数的定义域，属于基础题.3. 如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；对于选项B，当时，a2＞b2＞c2错误；对于选项C，当a=1，b=0，时，a+c＞2b错误；对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.4. 圆心在直线上且与y轴相切于点的圆的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标，代入直线方程验证是否满足，再把点代入所给的选项验证是否满足，逐一排除可得答案.【详解】A. 圆心为，满足，即圆心在直线，代入，即成立，正确；B. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；C. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误；D. 圆心，满足，即圆心在直线，代入，错误【点睛】本题考查圆的标准方程，圆与直线的位置关系，属于基础题.5. 直线l过抛物线的焦点F，且l与该抛物线交于不同的两点，．若，则弦AB的长是（）A. 4B. 5C. 6D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意得，再结合抛物线的定义即可求解.【详解】由题意得，由抛物线的定义知：，故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题.6. 设等差数列的公差为，若，则“”是“为递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性、数列增减性的定义以及等差数列的定义判断即可.【详解】充分性：若，则，即，，即，所以，数列为递减数列，充分性成立；必要性：若为递减数列，则，即，，则，必要性成立.因此，“”是“为递减数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充要条件的判断，同时也考查了数列单调性定义的应用，考查推理能力，属7. 已知函数则下列四个结论中正确是（）A. 函数的图象关于中心对称B. 函数图象关于直线对称C. 函数在区间内有4个零点D. 函数在区间上单调递增【答案】C【解析】【分析】根据正弦三角函数的对称性、图象、单调性逐项排除，可得答案.【详解】A. ，错误；B. ，错误；C. 当时，函数，当，，，时，，正确；D. 由，得单调递增区间为，令，所以在区间上不单调递增，错误.故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，属于基础题.8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【详解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.9. 在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，则的最大值为（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】设，，然后选取为基底，把其他向量用基底表示后计算数量积，表示为的函数，由函数知识得最大值．【详解】设，，则，，∴，∵，∴时，取得最大值5．故选：C．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取基底，用基底表示平面上的其他向量，然后进行运算求解．10. 设函数的定义域为D，如果对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）成立，那么称函数在D上具有性质业．现有函数：①; ②; ③; ④．其中，在其定义域上具有性质中．的函数的序号是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A【解析】【分析】对各个选项分别加以判断：根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和④，而②和③通过解方程发现不符合这个定义，从而得到正确答案.【详解】①的定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，其定义域上具有性质的函数；②定义域为，函数的值域为，对任意，都存在唯一的，使得（m为常数）不恒成立，例如，，不存在唯一的，故②不是定义域上具有性质的函数；③定义域为，值域为，而且是单调递增函数，所以对任意，都存在唯一的，对于任意的，使得（m为常数）恒成立，，其定义域上具有性质的函数；④定义域为，函数的值域为，不是单调函数，是周期函数，对任意，都存在，使得（m为常数）恒成立，但不唯一，所以在其定义域上不具有性质的函数；所以①和③是定义域上具有性质的函数；故选：A【点睛】本题利用新定义考查函数的性质，解题的关键是正确理解定义域上具有性质的含义，属于中档题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知平面向量，，若，则________．【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】，，。

2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。

是“到蓬莱”的（
）A
不到蓬莱不成仙。 ”其中后一句中 “成仙”
A．充分条件
B．必要条件
C.充分必要条件
D．既非充分又非必要条件
16.设 P, Q 是 R 上的两个非空子集 , 如果存在一个从 P 到 Q 的函数 y f ( x) 满足：
（1） Q f ( x) | x P ；（ 2）对任意 x1, x2 P , 当 x1 x2 时 , 恒有 f ( x1) f (x2) ；
( z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3) ；相应的在向量运算中 ,
rr r r 下列式子：（ 1） a b a b ,
（2）
rr r r
r r r r rr
a b a b , （ 3） (a b) c a (b c) ；正确的个数是（
）B
A． 0
B． 1
C. 2
D． 3
15.唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为 “今来海上升高望 ,
x 2f ( )
2
(
2) 2
f
x ( 22
)
L
(
2) n
1
f
x (2n 1)
(
2) n
1
x 2n 1
3 2
( 1)n x 3 2n 2 … … … …
当 x (2 n 1, 2n ] ,
n 为奇数时 ,
当 x (2 n 1, 2n ] ,
n 为偶数时 ,
f ( x)
x 3 2n 2
2n [ ,0]
2x (1,2] 时 ,源自f (x) x2 2x 2 (x 1)2 1 ,
f ( x) (1,2] …………… 1 分
x (2,4] 时 ,
f ( x)

2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|2x −1<0}，则A ∩B =( )A. {x|x <12} B. {x|−1<x <1} C. {x|0<x <12}D. {x|−1<x <12}2. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )A. x 2+(y −1)2=1B. x 2+(y −)2=3C. x 2+(y −)2=D. x 2+(y −2)2=43. 已知z 为纯虚数，且(2+i)z =1+ai 3(i 为虚数单位)，则复数a +z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知m ，n 是直线，α，β是平面，以下命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB. 若α//β，m ⊄α，n//m ，则n//βC. 若m 上有两个点到α的距离相等，则m//αD. 若α∩β=m ，n//m ；且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β5. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 106. 1+C 271+C 272+C 2727除以3所得余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是( )A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 三棱台8. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a⃗ +34b ⃗B. 512a⃗−34b⃗C. 34a⃗−13b⃗D. −34a⃗+512b⃗9.已知数列{a n}，满足a n+1=a n+a4(n∈N∗)，且a5=4，则a1=()A. −2B. −4C. −6D. −910.以下函数中满足f(x+1)>f(x)+1的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=e xC. f(x)=e x−xD. f(x)=e x+x二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有______ 种不同的着色方案．(用数字作答)．12.设变量x，y满足条件{x+y≤1x−y≤1x≥0，则z=2x−y的最小值为______．13.设向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(1,−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.函数y=(12)x2−2x−3的单调增区间为(1)函数y=(14)x−22−x+3的单调增区间为(2)．15.已知多项式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a0=(1)；a2=(2)．16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)≥4P(X=1)，则a+b=，E(X)的取值范围为．X0123P 13a b1617.定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈[0,π2)时f(x)=sinx，则f(11π3)=(1)，方程f(x)=0的解集为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，cosB=−3．5(1)若b=4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19.已知：在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD//BC，∠BCD=90°(Ⅰ)求证：BC⊥PC；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的正弦值．20.设正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=λa n−λ，且a1+1,a2+5,a3是等差数列{b n}的前4三项。

2020届高三第二次模拟考试数学试题一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分, 7-12每题5分,共54分)1.设集合A={1,3,5,7}, B={x|4≤x ≤7},则A ∩B=___.2.已知复数z 满足i ·z=1+i ( i 为虚数单位),则Imz=___.3.若直线ax+by+1=0的方向向量为(1,1), 则此直线的倾斜角为____.4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若31212,2,S S S a =+=则5a =___.5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥的侧面积为___.6.在81)x 的二项展开式中,常数项的值为___.7.若x ､y 满足|x|≤y+1,且y ≤1,则x+3y 的最大值为___.8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,并从小到大排成一个数列,此数列为等比数列的概率为____. (结果用最简分数表示)9.已知直线1l :y=x,斜率为q (0<q<1)的直线2l 与x 轴交于点A,与y 轴交于点0(0,),B a 过0B 作x 轴的平行线,交1l 于点1,A 过1A 作y 轴的平行线,交2l 于点1,B 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2,,A L 这样依次得线段01111222B A A B B A A B 、、、….､1n n n n B A A B -、，记n x 为点n B 的横坐标,则lim n n x →∞=___. 10. 已知f(x+2)是定义在R 上的偶函数,当12,[2,),x x ∈+∞且12,x x ≠总有12120()()x x f x f x -<-,则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为___.11.已知A ､B ､C 是边长为1的正方形边上的任意三点,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围为___.12. 已知函数()4f x sinx cosx sinxcosx k =+-- ,若函数y= f(x)在区间(0,π)内恰好有奇数个零点,则实数k 的所有取值之和为___.二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.在空间中,“两条直线不平行” 是“这两条直线异面”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.某县共有300个村,现采用系统抽样方法,抽取15个村作为样本,调查农民的生活和生产状况,将300个村编上1到300的号码,求得间隔数3002015k ==,即每20个村抽取一个村,在1到20中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从41到60这20个数中应取的号码数是( )A.45B.46C.47D.48 15.已知抛物线的方程为24,y x =过其焦点F 的直线交此抛物线于M ､N 两点,交y 轴于点E,若12,EM MF EN NF λλ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12λλ+=()A.-2 1.2B -C.1D. -1 16. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根,若这四个根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是()A. {5}B. {-1}C. (0,1)D. (0,1)∪{-1}三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)17.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥BC,AB= BC=2,123,AA =M 是侧棱1C C 上一点,设MC= h.(1)若3,h =求多面体111ABM A B C -的体积;(2)若异面直线BM 与11A C 所成的角为60°,求h 的值.18. 已知函数()2()3cos 3sin cos 0f x x x x ωωωω=>.(1)当f(x)的最小正周期为2π时,求ω的值;(2)当ω=1时,设△ABC 的内角A ､B ､C 对应的边分别为a ､b ､c,已知()3,2A f =且27,6a b ==,求△ABC 的面积.19. 如图,A ､B 两地相距100公里,两地政府为提升城市的抗疫能力,决定在A ､B 之间选址P 点建造储备仓库,共享民生物资,当点P 在线段AB 的中点C 时,建造费用为2000万元,若点P 在线段AC 上(不含点A),则建造费用与P ､A 之间的距离成反比,若点P 在线段CB 上(不含点B ),则建造费用与P ､B 之间的距离成反比,现假设P ､A 之间的距离为x 千米(0<x<100),A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元,B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100-x)万元,f(x) 表示建造仓库费用,g(x) 表示两地物资每年的运输总费用(单位:万元) .(1)求函数f(x)的解析式;(2)若规划仓库使用的年限为()*N ,()()()nn H x f x ng x ∈=+,求H(x)的最小值,并解释其实际意义.20.在平面直角坐标系中,A ､B 分别为椭圆Γ:2212x y +=的上､下顶点,若动直线l 过点P(0,b) (b>1),且与椭圆Γ相交于C ､D 两个不同点(直线l 与y 轴不重合,且C 、D 两点在y 轴右侧,C 在D 的上方),直线AD 与BC 相交于点Q.(1)设Γ的两焦点为12,F F 、求12F AF ∠的值;(2)若3,b =且3,2PD PC =u u u r u u u r 求点Q 的横坐标; (3)是否存在这样的点P,使得点O 的纵坐标恒为13？若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.21.已知数列{},n x 若对任意*,n ∈N 都有212n n n x x x +++>成立, 则称数列{}n x 为“差增数列”.(1)试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”,并说明理由;(2)若数列{}n a 为“差增数列”,且*12,1n a a a ∈==N ,对于给定的正整数m,当,k a m =项数k 的最大值为20时,求m 的所有可能取值的集合;(3)若数列{lg }n x 为“差增数列”,*(,2020)n n ∈≤N ，且122020l lg lg 0gx x x +++=L ,证明:10101011 1.x x <。

2020届浙江省杭州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}，则A∩(∁R B)=()A. (0,2]B. (−1,2)C. [−1,2]D. [0,4]2.定义运算∣∣∣a,bc,d∣∣∣=ad−bc，则符合条件∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=0的复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. C第三象限D. 第四象限3.对于二项式(1x+x3)n(n∈N∗),4位同学做出了4种判断：①存在n∈N∗，展开式中有常数项；②对于任意n∈N∗，展开式中没有常数项；③对于任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N∗，使展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④4.已知p：0≤x≤1，q：1x<1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()A. √618πB. √69πC. √63πD. √62π6.函数的图象关于对称，则图象的对称一个中心为A. B. C. D.7.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：则可估计 这批产品的质量指标的方差为( )A. 140B. 142C. 143D. 134.88. 已知函数f(x)={e x −ax 2,x ≤12a +lnx,x >1在定义域(−∞,+∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. [e3,+∞)C. [e 3,e2]D. (e 3,e2)9. 在数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=an1+na n ，则其通项公式为a n =( )A. 1n 2−n+1B. 1n 2−n+2C. 2n 2−n+1D. 2n 2−n+210. 椭圆x 2a 2+y 2=1的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则该椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. 13D. √33二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种(用数字作答)． 12. 已知a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______． 13. 若正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A −BDA 1的体积为______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2分别是双曲线的左、右顶点，M(x 0,y 0)是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA 1与直线MA 2的斜率之积是169，则双曲线的离心率为 ；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为 ．15. 已知函数f(x)={(12)x −2,x ≤−1(2−x)(x +1),x >−1，则f(−2)= (1) ，若f (t)≥2，则t 的取取值范围是 (2)16. 在△ABC 中，已知A =π4，cosB =2√55，若BC =2√5，D 为AB 的中点，则cosC = (1) ，CD 的长为 (2) ．17. 变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，则目标函数z =(12)2x+y 的最大值是 (1) ，最小值是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2,x∈R)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π12,π3]时，求函数g(x)的值域．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1．(Ⅰ)求证：AH⊥平面PBC；(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值；(Ⅲ)设点N 在线段PB 上，且PNPB =λ，MN//平面ABC ，求实数λ的值．20. 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{1a n}的前n 项和T n ，求使得|T n −1|<12016成立的n 的最小值．21. 如图，已知M(m,m 2)，N(n,n 2)是抛物线C ：y =x 2上两个不同点，且m 2+n 2=1，m +n ≠0.直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为x 22+y 2a=1(a >0,a ≠2)．(1)当M ，N 在抛物线C 上移动时，求直线l 斜率k 的取值范围； (2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同点，与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点．设AB 中点为R ，PQ 中点为S ，若OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OS⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求椭圆E 离心率的范围．22.已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(3)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式1 2[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)成立，则函数y=f(x)为区间D上的“下凸函数”.试证当a≤0时，f(x)为“下凸函数”．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．先化简集合B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．解：R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}，∴∁R B={x|−1≤x≤2}，∴A∩(∁R B)={x|0<x≤2}=(0,2]．故选A．2.答案：B解析：本题是新定义题，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．利用新定义可得关于z的等式，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z得答案．解：由题意可得：∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=z(2i)−(−i)(1+i)=0，即z=−i (1+i)2i=1−i2i=(1−i)(−2i)2i(−2i)=−2−2i4=−12−i2，∴z=−12+i2，则复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选B．3.答案：D解析：解：二项式(1x +x3)n(n∈N∗)的展开式通项公式为T r+1=C n r⋅(1x)n−r⋅x3r=C n r⋅x4r−n，故当n=4r时，x的幂指数等于零，该项为常数项，故①正确，②不正确；当4r−n=1时，x的幂指数等于1，该项为x的一次项，故④正确，③不正确，故选：D．分析二项展开式的通项公式，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：D解析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．解：当x=0时，不等式1x<1不成立，即充分性不成立，当x=−1时，满足1x<1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D5.答案：A解析：本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．解：由三视图知该几何体是三棱锥A−BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A−BCD的体积为V A−BCD=13S△BCD⋅ℎ=13×12×2×4×2=83，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=√6；所以外接球的体积为V球=43πR3=4π3⋅(√6)3=8√6π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为838√6π=√618π．故选A．6.答案：C解析：解：，在对称轴处取得最大值或最小值，∴，即，解得；，令，解得，当k=−1时，，函数f(x)图象的一个对称中心为，故选C。

【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，
从而排除 B 和 D；
由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从
而乙是律师，甲是医生．
故选：C.
【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化
思想，是基础题.
4.以抛物线 E : x2 4 y 的焦点为圆心，且与 E 的准线相切的圆的方程为（ ）
对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为 0.48 吨/人，故 D 正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题．
10.若 a b 1 ， c 0 则下列不等式中一定成立的是（ ）
a1 b1
A. a
b
C. ln(b a) 0
【详解】根据题意可知，这 20 个老人年龄之和为 1520，设年纪最小者年龄为 n，年纪最大
者为 m，m∈[90,100]， 则有 n+（n+1）+（n+2）+ +（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，
则有 19n+m＝1349，则 m＝1349﹣19n，
所以 90≤1349﹣19n≤100，
【答案】BD 【解析】 【分析】
a1 b1
B. b
a
D.
a b
c
b a
c
对于
A：构造函数
y
x
1 x
，由函数在
(,
1)
上的单调性进行比较；
对于
B：构造函数
y
x
1 x
，由函数在

2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅱ卷文科数学一、选择题1.已知集合|{}|3x x x A <=∈Z ，，|{}|1x x x B >=∈Z ，，则A B =（ ） A.∅B.{3223}--，，， C.{202}-，，D.{22}-，2.4(1i)=-（ ） A.4-B.4C.4i -D.4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k<<.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A.5B.8C.10D.154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名B.18名C.24名D.32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A.2+a bB.2+a bC.2-a bD.2-a b 6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若5312a a -=,6424a a -=，则nnS a =（） A ．21n -B ．122n --C.122n --D ．121n --7.执行右面的程序框图，若输入的00k a ==，，则输出的k 为：（ ）A.2B.3C.4D.58.若过点(2)1，的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） 52535 459.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222)(010x y a bC a b -=>>：，的两条渐近线分别交于D E ，两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3210.设函数331()f x x x =-，则()f x （ ） A.是奇函数，且在(0)+∞，单调递增 B.是奇函数，且在(0)+∞，单调递减 C.是偶函数，且在(0)+∞，单调递增 D.是偶函数，且在(0)+∞，单调递减 11.已知ABC 93且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A 3B ．32C ．1D 3 12.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y ->D.ln ||0x y -<二、填空题13.若2sin 3x =-，则cos2x =____.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若12a =-，262a a +=，则10S =____. 15.若x ，y 满足约束条件1121x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-⎩，，，则2z x y =+的最大值是____.16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面. 3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________ ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 三、解答题17.ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2π5cos ()cos 24A A ++=. （1）求A ； （2）若b c -=，证明：ABC 是直角三角形. 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(1220)i i x y i =，，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得202011601200ii i i xy ====∑∑，，20202211()80()9000i i i i x x y y ==-=-=∑∑，，201()()800i i i x x y y =--=∑.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(1220)i i x y i =，，，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由。

2020年陕西省高考数学二模试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|y =lg(x −2)}，B =(−2,3)，则A ∩B =( )A. (−2,2)∪(2,3)B. (−2,2)C. (2,3)D. [2,3)2. 复数Z =(i−1)2+4i+1，则Z −的虚部为( )A. −1B. −3C. 1D. 3 3. 已知向量a ⃗ =(1,−2)，b ⃗ =(x,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|b ⃗ |=( )A. √5B. 2√5C. 5D. 20 4. 从甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加志愿活动，则甲被选中的概率为( )A. 15B. 12C. 14D. 345. 甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位同学．甲说：“是乙或丙获奖”.乙说：“甲，丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”已知只有两位同学所说的话是正确的，则获奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(−1)=12，f(x +2)=f(x)+2，则f(3)=( )A. B. C.D.7. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是( )A. 若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nB. 若m//α，n//α，则m//nC. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//αD. 若m//α，m ⊥n ，则n ⊥α8. 若函数f(x)=sinωx +√3cosωx ，x ∈R ，又因为f(α)=2，f(β)=0，|α−β|的最小值等于5π4，则正数ω的值为( )A. 85 B. 4π5 C. 25 D. 2π5 9. 已知抛物线x 2=2py 的焦点是F ，其上一点M(m,1)，其中|MF|=3，则p =( )A. 8B. 4C. 14 D. 18 10. 若曲线y =ax +ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为x −2y =0，则a =( )A. −1B. −12C. 12D. 111. 已知tanα=12，则(sinα+cosα)21−2sin 2α=( )A. −3B. 3C. −2D. 212. 已知双曲线的离心率为2，焦点是(−4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A. x 212−y24=1B. x 24−y 212=1C. x 210−y26=1 D. x 26−y 210=1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −y ≤02x +y −6≤0x ≥−1，则x +y 的最大值为______．14. 甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛中所得的平均环数x 及其方差s 2如下表：甲 乙 丙 丁 x 7 8 8 7 s 26.36.378.7现需从中选取1人参加决赛，则最佳人选是___________．15. 在△ABC 中，∠ABC =45°，AC =2，BC =1，则sin∠BAC 的值为______ ．16. 如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 9=a 16+a 17+a 18=−36.求T n =|a 1|+|a 2|+⋯|a n |.18. 如图，四棱锥S −ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等腰直角三角形．SA =SB =2，AB =2DC ，SD =1，BC =√3． (1)证明：SD ⊥平面SAB ． (2)求四棱锥S −ABCD 的表面积．19. 某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．20. 已知函数f(x)=e x −ax −1，(a 为实数)，g(x)=lnx −x(1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)求函数g(x)的极值．21.设A(x1,y1)，B(x2,y2)是椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的两点，m⃗⃗⃗ =(x1b,y1a)，n⃗=(x2b,y2a)，且m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，椭圆离心率e=√32，短轴长为2，O为坐标原点．(1)求椭圆方程；(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距)，求k的值；(3)试问△AOB的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=2+3cosθ,y=3sinθ(θ为参数)。

2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.集合，，则__________【答案】【解析】【分析】计算出，由交集概念即可得解.【详解】由题意，则.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.函数的定义域为_______.【答案】【解析】【分析】将函数化简为,即可求得答案.【详解】化简可得:,定义域为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.3.是虚数单位，则的值为__________【答案】【解析】【分析】由题意，根据复数模的计算即可得解.【详解】由题意，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算及模的求解，属于基础题.4.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数__________【答案】2【解析】【分析】由题意可得，是方程的解，即可得解.【详解】由题意可得，是方程的解，代入可得.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性方程组增广矩阵的应用，属于基础题.5.已知函数，则__________【答案】0【解析】【分析】由题意可得，由反函数的概念可得，代入即可得解.【详解】由题意，则，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了行列式的计算与反函数的求解，属于基础题.6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数__________【答案】【解析】【分析】由双曲线的性质结合题意可得，即可得解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知函数，若，则__________【答案】【解析】【分析】令，可得为奇函数，求得后，即可得，即可得解.【详解】令，则，，为奇函数，又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用，考查了构造新函数的能力和运算求解能力，属于中档题.8.已知数列的通项公式为，，其前n项和为，则________.【答案】【解析】【分析】先对数列求和得到，再求极限.【详解】当时，，当时，，当时，∴∴，故答案为：.【点睛】本题考查了数列的求和问题，考查了等比数列的求和公式，考查了极限的求法，属于基础题.9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是__________（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】由题意求出所有选法的个数及符合要求的选法个数，根据古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，从9人中随机抽取3人，共有种选法；要求从中抽取3人中的单位与职业都不相同，共有种选法；则所求概率.故答案为：.【点睛】本题考查了计算原理的应用及古典概型概率的求解，属于基础题.10.若点集，，则点集所表示的区域的面积是__________【答案】【解析】【分析】转化条件为，进而可得点表示以集合B表示的矩形内（包括边界）的点为圆心，1为半径的圆面，画出点集表示的区域后，即可得解.【详解】由，可得，又，所以点表示以集合B表示的矩形内（包括边界）的点为圆心，1为半径的圆面，如图所示，点集表示的是由4段圆弧及连接它们的四条切线围成的区域，其面积.故答案为：.【点睛】本题考查了由不等式表示的平面区域的相关问题，考查了转化化归思想，属于中档题.11.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，，，，，当且仅当时，等号成立，，由可得，，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.12.设为的展开式的各项系数之和，，（表示不超过实数的最大整数），则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】令可得，则，构造函数可得，进而可得，转化原条件可得所求即为点到点的距离的平方的最小值，再由点在曲线上，点直线上，联立方程后，求出交点后即可得解.【详解】令，则，，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为或，又，，即，，，，，表示点到点的距离的平方，点在曲线上，点直线上，由解得或（舍去），当时，点到直线的距离，当时，点到直线的距离，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义下二项式定理、数列及导数的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的条件，以及行列式运算，可判断必要不充分条件.【详解】由题意，两条直线平行，则且而，故“两直线、平行”能推出“”，而反向不可推出，那么“”是“两直线、平行”的必要不充分条件故选：B【点睛】判断充分必要条件：条件推结论，则充分条件；结论推条件，则是必要条件.14.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中为直角梯形，，，.故.故选：.【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.15.在正方体中，下列结论错误的是（）A.BC. 向量与的夹角是D. 正方体的体积为【答案】D【解析】【分析】由空间向量线性运算法则可得，即可判断A；由、即可判断B；由、为等边三角形即可判断C；由可得，即可判断D；即可得解.【详解】正方体如图，由正方体的性质得,，故A正确；，由，可得平面，则，所以即，故B正确；由正方体性质可得，易知为等边三角形，所以，所以向量与的夹角是，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何特征与空间向量的综合应用，属于基础题.16.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出函数图象的草图，利用数形结合的方法找出当函数的图象与直线有3个交点时m的取值范围，即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，，的对称轴为且周期为4，又时，，可作出函数图象的草图，如下：若函数有3个零点，则方程有3个实根，函数的图象与直线有3个交点，当时，，解得，即当直线与的图象相切时切点为，此时，由图象的对称性可知当时，函数的图象与直线有3个交点，再由周期性可知，当时，函数函数的图象与直线有3个交点.故选：C.【点睛】本题考查了函数奇偶性、周期性与对称性综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，体现了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，下列必须在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤.17.已知四棱锥，底面，，底面是正方形，是的中点，与底面所成角的大小为.（1）求四棱锥的体积（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，由即可得解；（2）取的中点，连接、、，由题意可得即为异面直线与所成角，分别计算出、、后，利用余弦定理即可得解.【详解】（1）底面，即为与底面所成的角，，，又，，；（2）取的中点，连接、、，如图，是的中点，，（或该角的补角）为异面直线与所成角，由（1）知，正方形的边长为，，，，，，，在中，由余弦定理得，异面直线与所成角为.【点睛】本题考查了三棱锥体积及异面直线夹角的求解，属于基础题.18.已知函数（1）求函数在区间上的单调增区间：（2）当，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，令可得，即可得解；（2）由题意可得，进而可得，根据二倍角的正弦公式即可得解.【详解】（1）由题意，令，解得，令可得，故函数在区间上的单调增区间为；（2）由可得解得，又，，，.【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计硏究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型.以表示第个时刻进入园区的人数，以表示第个时刻离开园区的人数，设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即点30分作为第2个计算单位，即：依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的人数和离开园区的游客人数.（2）请问，从12点（即）开始，园区内总人数何时达到最多？并说明理由【答案】（1）14738，12800；（2）13点30分，详见解析【解析】分析】（1）由分段函数的性质，直接代入计算即可得解；（2）由题意可得，然后构造函数，利用导数研究时，n的最大值即可得解.【详解】（1）由题意进入园区的人数，离开园区的人数；（2）由题意，当，园区内人数增多，，园区内人数减少，当时，，园区内人数减少；令，则，易知单调递增，且，所以当时，单调递减，又，，所以当即13点30分时，园区内总人数最多.【点睛】本题考查了函数的应用，考查了利用导数确定函数的单调性及转化化归思想，属于中档题.20.已知动直线与与椭圆交于、两不同点，且的面积，其中为坐标原点（1）若动直线垂直于轴.求直线的方程；（2）证明：和均为定值；（3）椭圆上是否存在点，，，使得三角形面积若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）由题意设直线，表示出点，后，利用即可求得m，即可得解；（2）分直线斜率是否存在分类讨论；当直线斜率存在时，设直线，联立方程组可得，，由弦长公式及点到直线的距离公式可得，化简后可得，即可得解；（3）假设存在点，，满足题目要求，由（2）可得，，进而可得点、、只能从四个点中选取三个不同的点，由这三点的连线中必有一条经过原点，与题设矛盾，即可得解.【详解】（1）当直线垂直于轴时，设直线，则点，，所以，解得，所以，故所求直线方程为；（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，，；当直线斜率存在时，设直线，则，消去得，所以，，，所以，点到直线的距离，所以，整理可得，满足，所以，；综上，为定值1，,为定值2；（3）假设存在点，，满足题目要求，由（2）得，，，，，，解得，，所以、、只能从中选取，、、只能从中选取，故点、、只能从四个点中选取三个不同的点，而这三点连线中必有一条经过原点，与矛盾，所以椭圆上不存在点、、，使得三角形面积.【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21.若无穷数列满足：存在，对任意的，都有（为常数），则称具有性质（1）若无穷数列具有性质，且，求的值（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由.（3）设无穷数列既具有性质，又具有性质，其中互质，求证：数列具有性质【答案】（1）6；（2）不具有；详见解析（3）证明见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得任意的，都有，可得，即可得解；（2）由题意可得，若具有性质，由新定义可得，即可判断；（3）由题意可得对任意，均有，，进而可得、、，再证明即可得解.【详解】（1）无穷数列具有性质，，，又，即，；（2）设无穷数列的公差为d，无穷数列公比为q，，则，，，，，，，假设具有性质，，则对于任意的，均有，即对任意均成立，式子左边是变量，右边是常数，所以不恒成立，故假设错误，不具有性质；（3）证明：无穷数列具有性质，，，①无穷数列具有性质，，，②互质，由①得，由②得，即，当时，，数列具有性质.【点睛】本题考查了数列新定义的运用以及等差数列和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力以及推理能力，属于难题．2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.集合，，则__________【答案】【解析】【分析】计算出，由交集概念即可得解.【详解】由题意，则.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题.2.函数的定义域为_______.【答案】【解析】【分析】将函数化简为,即可求得答案.【详解】化简可得:,定义域为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了求函数的定义域,解题关键是掌握常见函数定义域的求法,考查了计算能力,属于基础题.3.是虚数单位，则的值为__________【答案】【解析】【分析】由题意，根据复数模的计算即可得解.【详解】由题意，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算及模的求解，属于基础题.4.已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数__________【答案】2【解析】【分析】由题意可得，是方程的解，即可得解.【详解】由题意可得，是方程的解，代入可得.故答案为：2.【点睛】本题考查了线性方程组增广矩阵的应用，属于基础题.5.已知函数，则__________【答案】0【解析】【分析】由题意可得，由反函数的概念可得，代入即可得解.【详解】由题意，则，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查了行列式的计算与反函数的求解，属于基础题.6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数__________【答案】【解析】【分析】由双曲线的性质结合题意可得，即可得解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.已知函数，若，则__________【答案】【解析】【分析】令，可得为奇函数，求得后，即可得，即可得解.【详解】令，则，，为奇函数，又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用，考查了构造新函数的能力和运算求解能力，属于中档题.8.已知数列的通项公式为，，其前n项和为，则________.【答案】【解析】【分析】先对数列求和得到，再求极限.【详解】当时，，当时，，当时，∴∴，故答案为：.【点睛】本题考查了数列的求和问题，考查了等比数列的求和公式，考查了极限的求法，属于基础题.9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是__________（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】由题意求出所有选法的个数及符合要求的选法个数，根据古典概型概率公式即可得解.【详解】由题意，从9人中随机抽取3人，共有种选法；要求从中抽取3人中的单位与职业都不相同，共有种选法；则所求概率.故答案为：.【点睛】本题考查了计算原理的应用及古典概型概率的求解，属于基础题.10.若点集，，则点集所表示的区域的面积是__________【答案】【解析】【分析】转化条件为，进而可得点表示以集合B表示的矩形内（包括边界）的点为圆心，1为半径的圆面，画出点集表示的区域后，即可得解.【详解】由，可得，又，所以点表示以集合B表示的矩形内（包括边界）的点为圆心，1为半径的圆面，如图所示，点集表示的是由4段圆弧及连接它们的四条切线围成的区域，其面积.故答案为：.【点睛】本题考查了由不等式表示的平面区域的相关问题，考查了转化化归思想，属于中档题.11.我们把一系列向量按次序排成一列，称之为向量列，记作，已知向量列满足，设表示向量与的夹角，若对任意正整数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积可得，即可得，进而可得，求出的最小值后，利用对数函数的性质即可得解.【详解】由题意可得，当时，，，，，当且仅当时，等号成立，，由可得，，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题.12.设为的展开式的各项系数之和，，（表示不超过实数的最大整数），则的最小值为__________【答案】【解析】【分析】令可得，则，构造函数可得，进而可得，转化原条件可得所求即为点到点的距离的平方的最小值，再由点在曲线上，点直线上，联立方程后，求出交点后即可得解.【详解】令，则，，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为或，又，，即，，，，，表示点到点的距离的平方，点在曲线上，点直线上，由解得或（舍去），当时，点到直线的距离，当时，点到直线的距离，的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义下二项式定理、数列及导数的综合应用，考查了转化化归思想，属于中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.已知直角坐标平面上两条直线方程分别为，，那么“”是“两直线、平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的条件，以及行列式运算，可判断必要不充分条件.【详解】由题意，两条直线平行，则且而，故“两直线、平行”能推出“”，而反向不可推出，那么“”是“两直线、平行”的必要不充分条件故选：B【点睛】判断充分必要条件：条件推结论，则充分条件；结论推条件，则是必要条件.14.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中为直角梯形，，，.故.故选：.【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.15.在正方体中，下列结论错误的是（）A.BC. 向量与的夹角是D. 正方体的体积为【答案】D【解析】【分析】由空间向量线性运算法则可得，即可判断A；由、即可判断B；由、为等边三角形即可判断C；由可得，即可判断D；即可得解.【详解】正方体如图，由正方体的性质得,，故A正确；，由，可得平面，则，所以即，故B正确；由正方体性质可得，易知为等边三角形，所以，所以向量与的夹角是，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何特征与空间向量的综合应用，属于基础题.16.函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出函数图象的草图，利用数形结合的方法找出当函数的图象与直线有3个交点时m的取值范围，即可得解.【详解】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，，，的对称轴为且周期为4，又时，，可作出函数图象的草图，如下：若函数有3个零点，则方程有3个实根，函数的图象与直线有3个交点，当时，，解得，即当直线与的图象相切时切点为，此时，由图象的对称性可知当时，函数的图象与直线有3个交点，再由周期性可知，当时，函数函数的图象与直线有3个交点.故选：C.【点睛】本题考查了函数奇偶性、周期性与对称性综合应用，考查了函数零点与方程根的关系，体现了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，下列必须在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤.17.已知四棱锥，底面，，底面是正方形，是的中点，与底面所成角的大小为.（1）求四棱锥的体积（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，由即可得解；（2）取的中点，连接、、，由题意可得即为异面直线与所成角，分别计算出、、后，利用余弦定理即可得解.【详解】（1）底面，即为与底面所成的角，，，又，，；（2）取的中点，连接、、，如图，是的中点，，（或该角的补角）为异面直线与所成角，由（1）知，正方形的边长为，，，，，，，在中，由余弦定理得，异面直线与所成角为.【点睛】本题考查了三棱锥体积及异面直线夹角的求解，属于基础题.18.已知函数（1）求函数在区间上的单调增区间：（2）当，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，令可得，即可得解；（2）由题意可得，进而可得，根据二倍角的正弦公式即可得解.【详解】（1）由题意，令，解得，令可得，故函数在区间上的单调增区间为；（2）由可得解得，又，，，.【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角恒等变换的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计硏究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型.以表示第个时刻进入园区的人数，以表示第个时刻离开园区的人数，设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即点30分作为第2个计算单位，即：依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的人数和离开园区的游客人数.（2）请问，从12点（即）开始，园区内总人数何时达到最多？并说明理由【答案】（1）14738，12800；（2）13点30分，详见解析【解析】分析】（1）由分段函数的性质，直接代入计算即可得解；（2）由题意可得，然后构造函数，利用导数研究时，n的最大值即可得解.【详解】（1）由题意进入园区的人数，离开园区的人数；（2）由题意，当，园区内人数增多，，园区内人数减少，当时，，园区内人数减少；令，则，易知单调递增，且，所以当时，单调递减，又，，所以当即13点30分时，园区内总人数最多.【点睛】本题考查了函数的应用，考查了利用导数确定函数的单调性及转化化归思想，属于中档题.20.已知动直线与与椭圆交于、两不同点，且的面积，其中为坐标原点（1）若动直线垂直于轴.求直线的方程；（2）证明：和均为定值；（3）椭圆上是否存在点，，，使得三角形面积若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）由题意设直线，表示出点，后，利用即可求得m，即可得解；（2）分直线斜率是否存在分类讨论；当直线斜率存在时，设直线，联立方程组可得，，由弦长公式及点到直线的距离公式可得。