数值分析：非线性方程的数值解法63页PPT

证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn

OhSo basically we are yeah? Who tells done! the method you that I can’t believe it’s so simple! is convergent? What’s the problem?
§3. Fixed-Point Iteration y p1 p0 y=x y=g(x) y p0 y=x
几个根？
• 哪儿有根？确定有根区间
• 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否
将它精确到足够精度？
本章假设 f C[a, b]，且 f (a) · (b) < 0，则 f 在 (a, b) f 上至少有一根，(a,b)即为有根区间。问题1、2得到解 决。
1. 逐步搜索法
§2 根的搜索
x0=a xk-1 x* xk b
第六章 非线性方程求根
/* Solutions of Nonlinear Equations */ §1 Introduction
科学技术中常遇到高次代数方程或超越方程 的求根问题。大于4次的代数方程无求根公式。 因此需要研究函数方程求根问题的数值方法。
求 f (x) = 0 的根或零点x*
求根问题包括下面三个问题： • 根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有

③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？
| x * x k | | g ( x *) g ( x k 1 ) | | g ( ξ k 1 ) | | x * x k 1 |
L | x * x k 1 | ...... L | x * x 0 | 0
说明：①迭代函数不唯一，②迭代点列可能收敛，也可 能发散，迭代收敛与否不仅与迭代函数有关，还与初 始点有关。

非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。

数值分析
数值分析
定义1 若有x* 满足 (x*)=0 ， 则称x*为方程
的根或函数f(x)的零点，特别地，如果函数f(x)可分
解为
f(x) =(x x*)mg(x) 且 g(x* )0,
则称x*是f(x)的m重零点或f(x) =0的m重根。
当m=1时，称x*是f(x)的单根 或单零点。
数值分析
数值分析
0.3732
x3
0.3753
x4
0.3757
数值分析
数值分析
若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称它 为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须选取初值充 分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。
通常局部收敛方法比大范围收敛方法收敛得快。 因此，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求 得接近于根的近似值（如二分法），再以其作为新的 初值使用局部收敛法（如迭代法）。
h=0.8 -1.377160000000e+002 -81.95600000000002 -43.34800000000001 -18.81999999999999 -5.30000000000000 0.28400000000000 1.06000000000000 0.50000000000000 -0.31600000000000 1.68400000000000 9.57200000000000 26.42000000000000
这里讨论迭代法的收敛性时，均指的是局部收敛 性。
数值分析
数值分析
定理2（收敛定理） 考虑方程 x = φ (x), φ(x)C[a, b], 若
( I ) 当 x[a, b] 时， φ(x)[a, b]；
( II )对 x[a, b],有 | φ’(x) | L < 1 成立。

Step 4 If |x| < TOL , STOP; Output the solution x.
Step 5 If x*f(a)<0 , Set b=x; Else Set a=x;
Step 6 Set k=k+1; Compute x=f((a+b)/2);Go To Step 3 ;
Step 7 Output the solution of equation: x; STOP.
思
xk+1 = g(xk), … 若
xk
k0
收敛，即存在 x* 使得
路 lk im xk x*，且 g 连续，则由 lk i m x k 1lk 可 i 知m gxx *k=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
几何意义
y
p1 p0
y=x y=g(x)
x3 1.365230014 x 11 1 .3 6 5 1 3 7 8 2 1 x 4 1.365230013
x 29 1 .3 6 5 2 3 0 0 1 3
法4
x 1 1 .3 4 8 4 0 x 2 1 .3 6 7 3 8 x 3 1 .3 6 4 9 6 x 4 1 .3 6 5 2 6 x 4 1 .3 7 5 1 7 x 5 1 .3 6 5 2 2 5
⑥ lki m xxxxkk1 g(x) ?
L 越 小 收敛越快
lix m * x k 1 lig m (ξ k)x (* x k) g (x *) k x * x k k x * x k
注：条件 ( II ) 可改为 在[a, b] 满足Lipschitz条件, 定理结论仍然成立(定理2.3’)。

重数：设������为自然数，若成立 ������ ������ = ������ − ������∗
������ ������
������ ,
������ ������
且������ ������∗ ≠ ������
则称������∗ 是非线性方程������ ������ = ������的������重根，������ = ������时也称单根。
������������ 0.0000
0.5000 0.5000 0.6250 0.6875 0.6875
������������ 1.0000
1.0000 0.7500 0.7500 0.7500 0.7188
������(������������ ) -1.0000
-0.3445 -0.3445 -0.1239 -0.0041 -0.0041
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
几何解释
三、二分法
考虑非线性方程������ ������ = ������，利用中值定理，可得到如下算法： 假设函数������ ������ 在 ������������ , ������������ 连续，且������(������������ )与������(������������ )异号， 则 ������������ , ������������ 为该方程的有根区间； 取区间 ������������ , ������������ 的中点������������ =
一、非线性方程的数值解法
问题：求解非线性方程 ������ ������ = ������ （*）
若������ ������∗ = ������,称������∗ 是������ ������ = ������的根或������的零点。

第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
例 研究求 a的Newton公式,证明：对一切 k 1,2,, xk a ， Newton公式产生的序列 {xk}是单调递减的，从而迭代过程收敛 .

其Newton公式为 证 因a>0，x0>0，故xk >0 (k=1,2,)
xk 1 1 a ( xk ) 2 xk 1 a 2 ( xk ) a a 2 xk
迭代法的局部收敛性

如果存在α的某个邻域: x-α，迭代过程 xk+1=(xk)对任意初值x0均收敛，则称迭代 过程xk+1=(xk)是局部收敛的.


定理3 设(x)在方程x=(x)的根α邻近有一阶连 续的导数. 若'(α) <1, 则迭代过程xk+1=(xk)具有局部收敛 性 若'(α) >1,则迭代过程xk+1=(xk)发散. 证 由于' (α) <1 ，存在充分小邻域: x-α,使 成立' (x)L<1．当x 时，由微分中值定理有 (x)–α=(x)–(α)=' ()x-α＜x-α 故(x)，由定理１知对任意初值x0 均收敛
级数
x0+(x1-x0) +(x2 –x1) ++(xk+1-xk)+收敛.即有
lim xk ，α[a, b] k 下面证α是原方程的根．由(x) 可导， 故(x)在[a, b]上连续，对等式xk+1=(xk)两边同时 取极限得α =(α)，即α是原方程的根．

k
解: 改写为以下两种等价方程 0
方法1 1.5
方法2 1.5
(1)x x3 1, (2)x 3 x 1 1 2.375 1.35721
建立迭代公式:(1)xk 1

x
3 k
1;
2
(2)xk 1 3 xk 1
3
4
各步迭代结果如下：
5
12.39
1.33086 1.32588 1.32494 1.32476
定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
解方程 f(x)=0 的简单迭代法（不动点迭代法）， 其中g(x)称为迭代函数。
注：上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是 将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说， 迭代过程是一个逐步显示化过程。
例:
求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
从一个初值 x0 出发，计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …
若
{
xk
}
收敛,即存在实数
s
使得
lim
k
xk

s且
g(x)
连续，
则由
lim
k
xk
1
lim g k
xk
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
二分法求根思想
找有根区间序列(ak , bk); 用(ak , bk)的中点近似根.
二分法：
设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个 零点s , 用二分法求f (x)=0实根的过程如下:

思路：先把区间[a,b]均分为N等分，从初始值x0=a开始，步长
h＝（b－a）/N来增值。每跨一步进行一次根的搜索。 计算速度慢，一般用于确定根的位置
2.1.2 二分法 思路：二分法的基本思想 就是逐步对分区间,经过对根的搜
索，将有根区间的长度缩小到充分小，从而求出满足精度的 根 的近似值。
二分法的步骤：
的长度为 a,b之半。
a
xa01 x*
x1
b1
二分法
对压缩了的有根区间 a1,b又1可施以同样的手续，
即用中点 待求的根 根区间
x1 将12区a1间 b1 分为两半a1,，b1然 后判定
在 的哪一侧x，* 从而x1又确定一个新的有
，其长度为 a2 的, b2一 半。如此反复a1，,b1
即可得出一系列有根区间
2)if f (a) f ( x) 0 then [a, b][a, x];
else [a, b][ x, b].
e ndwhile; (4)输 出x 1 (a b).
2
2.2 简单迭代法
2.2.1 迭代原理 2.2.2 迭代的收敛性 2.2.3 迭代的收敛速度 2.2.4 迭代的加速
2.2 简单迭代法
但 f (m) (x* ) 0 ，则称 x*是方程 的 m重根。
② 根的存在性定理：
定理：若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根；若 f 在[a, b]上连续且单调则 f 在 (a, b) 上有且仅有一根。
2.1.1逐步搜索法
例：求连续函数 f(x) 在有根区间[a,b]上的根。
a,b a1,b1 ak ,bk
其中 ak , b的k 长度