2011级高数(下)试题及答案

成都七中2008-2009学年下期 高2011级期中考试数学试卷参考答案及评分标准命题人:邱旭 审题人:魏华一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.{x|2k π+2π<x<2k π+23π,其中k ∈Z}; 14.2; 15.[-23,3]; 16.①③④.三、解答题(本大题共6小题,共74分)17.解:(1)由已知,得311=+-tan αtan α,…………………………………………(2分)解得tan α=-2; …………………………………………………(4分)(2)原式=)(22cos αsin αsin ααcos αsin --…………………………………………(6分)=sin αcos αsin α+ ………………………………………………(8分)=1+tan α1……………………………………………………(10分)=21.…………………………………………………………(12分) 18.解:(1)由已知,得cosA(cosAcosB+sinAsinB)=cosB, …………………(1分)即(1-cos 2A)cosB=sinAcosAsinB, ………………………………(2分) 亦即sin 2AcosB=sinAcosAsinB.…………………………………(3分) 因为sinA>0,所以sinAcosB=cosAsinB, ………………………(4分) 于是sin(A-B)=0.…………………………………………………(5分) 又-π<A-B<π,从而A=B.故ΔABC 是等腰三角形.………………(6分) (2)在ΔABC 中,有C=π-(A+B)=π-2A,………………………………(7分) 所以tanC=tan(π-2A)=-tan2A.…………………………………(9分)由tanA=2得tan2A=Atan tanA 212-=-34.……………………………(11分)所以tanC 的值为34. ……………………………………………(12分)19.解:(1)由tan α=21,且0<α<π得:0<α<2π, …………………………(1分) 且sin α=55,cos α=552. ……………………………………(2分) 又0<β<π,所以0<α+β<23π. …………………………………(3分) 又由sin(α+β)=102-<0得: π<α+β<23π,且cos(α+β)=1027-.…………………………(4分) 故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=1027-•552102-•55=10103-.…………………………(6分) (2)由cos β=10103-<0且0<β<π得,2π<β<π,且sin β=1010. (8分)所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=552•(10103-)+55•1010=22-.…………(10分)又由0<α<2π,2π<β<π,得-π<α-β<0.…………………………(11分) 所以α-β=43π-.……………………………………………………(12分)20.解:连结BD,由已知得AD=2cos θ,BD=2sin θ(其中4π<θ<2π).………(2分)在ΔBCD 中,由弦切角定理得∠BDC=θ,又DC=AB=2,∴ΔBCD 面积为2sin 2θ; ……………………………………………(4分) 又Rt ΔABD 的面积为2sin θ•cos θ. ………………………………(5分) ∴四边形ABCD 的面积为S=2sin θ•cos θ+2sin 2θ. ………………(6分) 因为S=sin2θ+(1-cos2θ) …………………………………………(8分)=2sin(2θ-4π)+1 …………………………………………(10分)所以当θ=83π时,四边形ABCD 面积取得最大值2+1. …………(12分)21.解:(1)由已知得g(α)=cos α•sin αsin α+-11+sin α•cos αcos α+-11…………(1分)=cos α•αcos sin α22)1(-+sin α•αsin cos α22)1(- …(2分) =cos α•cos αsin α-1+sin α•sin αcos α-1 ……………(3分) 由α为第二象限角,得sin α>0,cos α<0.…………………………(4分)所以g(α)=-(1-sin α)+(1-cos α) ………………………………(5分)=sin α-cos α……………………………………………(6分)(2)由已知,得g(α)=sin α-cos α=57. ……………………………(7分)平方,得sin α•cos α=-2512.① …………………………………(8分) 又由α∈(43π,π),得sin α+cos α<0.…………………………(9分)所以sin α+cos α=-cos αsin α⋅+21=-51.② ………………(10分)又sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 3α)=(sin α+cos α)(1-sin αcos α) …………(11分)结合①②,得sin 3α+cos 3α=-12537.……………………………(12分) 22.解:(1)由f(x)=cos(ωx+φ)是R 上的奇函数，得f(0)=cos φ=0.又-π≤φ≤0,所以φ=-2π.………………………………………(1分)所以f(x)=cos(ωx-2π)=sin ωx. ………………………………(2分)由y=f(x)的图象关于直线x=4π对称,且ω>0，得ω•4π=k π+2π(k ∈N),解得ω=4k+2(k ∈N). ① ………………(3分)又f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π上是单调函数,所以0≤ω•x ≤ω•6π≤2π,解得ω≤3.② ……………………………………………………(4分)由①②,得ω=2.所以f(x)=sin2x. ………………………………(5分)(2)g(x)=f(x-4π)=sin(2x-2π)=-cos2x.……………………………(6分) ①原式=2044040140401sin cos sin cos sin +++-+ =204)2020(202)2020202sin cos sin cos sin (cos sin +++ =2042020sin cos sin + …………………………………………(7分) =20202042020cos cos sin cos sin ⋅+=2040sin 220cos sin + …………………………………………(8分) =20)2060(220cos sin sin -+ …………………………………(9分)=202020320cos sin cos sin -+ =3. ………………………………………………………(10分) ②m=f(x)-g(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+4π).…………………(11分) 易知函数y=2sin(2x+4π)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π上单调递增,在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,8ππ上单调递减.…………………………………………………………………(12分)又当x=0时,f(x)-g(x)=1; 当x=8π时,f(x)-g(x)=2;当x=6π时,f(x)-g(x)=213+. ………………………………(13分) 故所求实数m 的取值范围是m=2或1≤m<213+.……………(14分)。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．(1) 复数212ii +-的共轭复数是 (A) 35i - (B) 35i (C) i - (D) i(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2(B)y=|x|+1(C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120(B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 (B) 12 (C) 23 （D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-(B) 35- (C) 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ） （B ） （C ） （D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 （A （C ） （B ） 2 （D ）3（8）51()(2a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 （A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40 （9）由曲线y ，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（A ）310 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减 （B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减（C ）()f x 在(0,)2π单调递增 （D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010--2011学年第2学期 考试科目： 高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业一、单项选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．与三坐标轴夹角均相等的单位向量为 （ ）Ａ．(1,1,1) Ｂ．111(,,)333 Ｃ． Ｄ．111(,,)333--- ２．设lnxz y=，则11x y dz ===（ ）Ａ．dy dx - Ｂ．dx dy - Ｃ．dx dy + Ｄ．0３．下列级数中收敛的是 （ ）Ａ．1n ∞= Ｂ．1n ∞= Ｃ．113n n ∞=∑ Ｄ．113n n∞=∑４．当||1x <时，级数11(1)n n n x ∞-=-∑是 （ ）Ａ．绝对收敛 Ｂ．条件收敛 Ｃ．发散 Ｄ．敛散性不确定 ５．设函数()p x ，()q x ，()f x 都连续，()f x 不恒为零，1y ，2y ，3y 都是()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则它必定有解是（ ）（今年不作要求）Ａ．123y y y ++ Ｂ．123y y y +- Ｃ．123y y y -- Ｄ．123y y y ---二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分）１．微分方程''6'90y y y -+=的通解为＿＿＿＿＿．（今年不作要求） ２．设有向量(4,3,1)a →=，(1,2,2)b →=-，则2a b →→-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ３．过点(1,1,0)-且与平面32130x y z +--=垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿． ４．设2cos()z xy =，则zy∂∂＝＿＿＿＿＿＿＿． ５．设L 为曲线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一线段，则32(2)Lx y dx +⎰＿＿＿．三、计算题（本大题共７小题，每小题6分，共４2分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解．２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2z x y∂∂∂．３．判断级数23112123!10101010nn ⋅⋅⋅+++++的敛散性．４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域． ６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz. ７．计算二重积分cos Dydxdy y⎰⎰，其中D 是由y y x =围成的区域．四、解答题（本大题共4小题，每小题７分，共２8分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定．３．设()u f xyz =，(0)0f =，(1)1f '=，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．（今年不作要求）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z =（今年不作要求）参考答案一、选择题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．Ｃ ２．Ｂ ３．Ｃ ４．Ａ ５．Ｂ 二、填空题（本大题共５小题，每小题３分，共１５分） １．312()x y C C x e =+ ２．(7,8,0) ３．11321x y z+-==- ４．22sin()xy xy - ５．710三、计算题（本大题共７小题，每小题６分，共４２分） １．求微分方程2(12)(1)0x y dx x dy +++=的通解． 解：21112x dx dy x y =-++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分） 221111(1)(12)21212d x d y x y+=-+++⎰⎰．．．．．．．．．（５分） 2ln(1)ln |12|ln x y C +=-++，即2(1)(12)x y C ++=．．．．．．（６分） ２．设22()xyz x y =+，求z x ∂∂及2zx y∂∂∂．解：设v z u =，22u x y =+，v xy =．．．．．．．．．．（１分）22222222()(ln())xy z z u z v x y x y y x y x u x v x x y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂+．．．．．．．．．．（３分）243342222222222(2)()[(21ln())ln()]()xy z x x y y x y xy xy x y x y x y x y ∂++=++++++∂∂+．（６分） ３．判断级数23112123!10101010n n ⋅⋅⋅+++++的敛散性．解：11(1)!10lim lim !10n n n n n nu n u n ρ++→∞→∞+==．．．．．．．．．．（３分） 1lim10n n →∞+==∞．．．．．．．．．．．（５分）所以级数发散．．．．．．．．（６分）４．设一矩形的周长为2，现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体的体积．解：设矩形两边长分别为,x y ．则1x y +=，假设绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为2V x y π=．．．．．．．．．．．．（２分）作拉氏函数2(,,)(1)F x y x y x y λπλ=++-．．．．．．．．（３分） 解方程组22001xy x x y πλπλ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩．．．．．．．．．．．．．．．．（４分） 得可能的极值点21(,)33．．．．．．．．．．．．．．（５分）由题意知道其一定是所求的最值点，所以最大体积为427π，对应面积为29．．．．．．．．．．（６分） ５．将函数2()x f x xe -=展开成x 的幂级数，并确定其收敛域．解：因为212!!n xx x e x n =+++++ ．．．．．．．（１分）所以2221(1)222!2!xnnn x x x en -=-+++-+⋅⋅ ．．．．．．．．．．（３分）23112211()(1)(1)222!2!2(1)!x n nnn n n n x x x x f x xex n n +∞---===-+++-+=-⋅⋅⋅-∑（５分）收敛域为(,)-∞+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．（６分）６．设(,)z z x y =是由方程2z x y z e +-=确定的隐函数，求全微分dz . 解：2(,,)z F x y z x y z e =+--．．．．．．．．（１分） 1,2,1z x y z F F y F e ===--．．．．．．．．．．．（３分） 所以12,11y x z z z z F F z z y x F e y F e ∂∂=-==-=∂+∂+．．．．．．．．．（５分） 故1(2)1zz z dz dx dy dx ydy x y e ∂∂=+=+∂∂+．．．．．．．．．．（６分） ７．计算二重积分cos Dydxdy y ⎰⎰，其中D 是由y =及y x =围成的区域． 解：积分区域为：2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤．．．．．．．．（１分）210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰．．．．．．．．．．（３分） 1(1)cos y ydy =-⎰．．．．．．．．．．．．（５分） 1cos1=-．．．．．．．．．（６分）四、解答题（本大题共４小题，每小题７分，共２８分） １．计算曲线积分22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰，其中L 是由曲线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线． 解：22(2)()(12)LDxy x dx x y dy x d σ-++=-⎰⎰⎰．．．．．．（２分） 212)xdx x dy =-⎰．．．．．．．．（４分） 1312322(22)x x x x dx =--+⎰．．．．．．．．（６分）130=．．．．．．（７分） ２．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中区域D 由221x y +≤，0x ≥及0y ≥所确定． 解：'DD σθ=．．．．．．．．．．（２分）120d πθ=⎰⎰．．．．．．．．．．．．（４分） 224d ππθ-=⎰．．．．．．（６分）＝(2)8ππ-=．．．．．．．．．（７分）３．设()u f xyz =，(0)0f =，'(1)1f =，且3222()ux y z f xyz x y z ∂'''=∂∂∂，试求u 的表达式．解：22(),()()u u yzf xyz zf xyz xyz f xyz x x y∂∂''''==+∂∂∂3222()3()()uf xyz xyzf xyz x y z f xyz x y z∂''''''=++∂∂∂．．．．．．．．（２分） 因为3222()u x y z f xyz x y z∂'''=∂∂∂，所以()3()0f xyz xyzf xyz '''+=令xyz t =，得3()()0tf t f t '''+=．．．．．．（４分）解之得113311(),(1)1,1,()由得所以f t C t f C f t t --'''====．．．．．（５分）解得22332233(),(0)0,0,()22由得所以f t t C f C f t t =+===．．．．．（６分）即233()()2u f xyz xyz ==．．．．．．．（７分）４．计算曲面积分)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++，其中∑为上半球面z = 解：因为在曲面∑a ，所以()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑=++⎰⎰．．．．．．．．．．（１分）补曲面2221{(,,)|0,}x y z z x y a ∑==+≤，1∑取下侧．．．．．．．．．．（２分） 由高斯公式得1()I a xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑=++⎰⎰＝342(111)323a dv a a a ππΩ++=⨯=⎰⎰⎰．．（４分） 而111()00a xdydz ydzdx zdxdy azdxdy dxdy ∑∑∑++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰．．．．．（６分）故)I xdydz ydzdx zdxdy ∑=++＝114()()2a xdydz ydzdx zdxdy a π∑+∑∑-++=⎰⎰⎰⎰．．．．．．．（７分）。

绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011-2012学年第二学期《高等数学》答案一．填空题（每小题4分，共20分）1.函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；2.函数44222z x y x xy y =+---的极值点是()()1,1,,1,1--；3.假设L 为圆222x y a +=的右半部分，则22Lx y ds +=⎰____2a π；4.设22e sin (2)x A y xy z xzy =+++i j k ，则(1,0,1)div |A = 0 ，5.设13y =，223y x =+，233e x y x =++都是方程22(2)(2)(22)66x x y x y x y x '''---+-=-的解，则方程的通解为 2123e x y c x c =++．二.(本题8分）计算三重积分222()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++=所围成的闭球体．解：⎰⎰⎰⋅=122020sin dr r r d d ϕϕθππ4’π54= 4’三. （本题8分）证明：(),f x y xy =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证 ()0l i m 00,0x y x y f →→== ，故(),f x y 在点()0,0处连续； 2’又由定义()()(),00,00,0lim00x x f x f f x →-==-， ()0000,0lim00y y y f y →⋅-==-； 2’但22000limxy x yx yρ→--⋅-⋅+不存在，故在()0,0 处不可微。

4’四．（本题8分）设函数),(y x u 有连续偏导数，试用极坐标与直角坐标的转化公式θθsin ,cos r y r x == ，将xuyy u x∂∂-∂∂变换为θ,r 下的表达式. 解,u u r u u u r ux r x x y r y yθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 2’ 再由cos ,sin x r y y θθ==，分别对,x y 求导数，得1cos sin 0sin cos r r x x r r x x θθθθθθ∂∂⎧=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩和0cos sin 0sin cos r r y y r r y y θθθθθθ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=+⎪∂∂⎩解得sin cos ,r x x r θθθ∂∂==-∂∂，cos sin ,r y x rθθθ∂∂==∂∂从而sin cos u u u x r r θθθ∂∂∂=-∂∂∂，cos sin u u u y r r θθθ∂∂∂=+∂∂∂， 4’ 所以x u yy u x ∂∂-∂∂=θ∂∂u2’五．（8分）计算22d d L x y y xx y -+⎰ ,其中L 为（1）圆周()()22111x y -+-=（按反时针方向）；解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= 4’ （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++， 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y x x y y x dxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 4’六．（8分）计算d y S ∑⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分． 解： 4,1,1x y z x y z z =--=-=-，1113dS dxdy dxdy =++=，:01,02D r θπ≤≤≤≤ 原式3D ydxdy =⎰⎰4’1232203sin 3cos 03ar d r dr ππθθθ==-⋅=⎰⎰ 4’七.（8分）计算曲面积分2I yzdzdx dxdy ∑=+⎰⎰，其中∑为上半球面224z x y =--的上侧解 取1∑为xOy 平面上圆224x y +≤的下侧，记Ω为1∑与∑所围的空间闭区域。

2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_________．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= _________．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为_________．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．解答：解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R 的错解．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是1．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．解答：解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：1点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为3．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= 3.2．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：3.2点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．7．（5分）已知，则的值为．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：计算题；方程思想．分析：先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是4．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，故答案为：4点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）点故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．解答：解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．解答：解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．解答：证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．解答：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x ＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，变形后，利用S n+1﹣S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n﹣k=2（S n+S k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n﹣a n﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n﹣a n﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n﹣a n﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n﹣a n﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n=2（S n+S1），﹣1即（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=2S1，又a1=1，则a n+1﹣a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考点：椭圆的参数方程．专题：数形结合；转化思想．分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．B、设向量=，由 A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程．D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值．B、A2==，设向量=，由 A2=可得=，∴，解得 x=﹣1，y=2，∴向量=．C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．D、原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}．点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．（2）利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A （1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．考点：数列递推式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A n中元素个数有关，直接写出A n的表达式即可．（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论f n（k）≥1的情形，推出f n（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，然后求出B n．解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n=n﹣3；（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，知f n（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n===mn﹣=将m=代入上式，化简得B n=所以B n=点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．。

2011-2012学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题3分，共30分）1. 与点()2,1,11-M ，()1,3,32M ，()3,1,33M 决定的平面垂直的单位向量=0a。

2. 过点()1,2,1与向量k j i S 321--=，k j S --=2平行的平面方程为 。

3. 设y e x y x z --=223，则=dz 。

4. 曲线3231,2,t z t y t x ===在点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,2,1处的切线方程是 。

5. 如果幂级数()∑∞=-01n n nx a 的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛。

6. 设L 为圆周122=+y x ，则=⎰Lds x 2。

7. 交换积分次序()=⎰⎰dx y x f dy ee y ,10 。

8. 设区域D 是122≤+y x 与x y x 222≤+的公共部分，试写出()⎰⎰Ddxdy y x f ,在极坐标系下先对r积分的累次积分 。

9. 已知一个二阶常系数线性齐次微分方程的特征方程有两个实根a 与b ，且b a ≠，此微分方程是，通解是 。

10. 设()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=21,110,1x x x x f ，又设()x S 是()x f 的以4为周期的正弦级数展开式的和函数，则 ()=7S 。

二、计算题（每小题6分，共36分）1. 设()y x e xy xF z 2,2=，F 有连续偏导数，求x z ，y z 。

2. 在椭圆抛物面222y x z +=上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0302z y y x ，并写出曲面在该点处的法线方程。

3. 计算dy y dx dz x ⎰⎰⎰121010sin 。

4. 计算曲线积分()⎰-+L y ydx dy e x sin ，其中L 是从点()0,1A 沿213x y -=到点()0,1-B 的上半椭圆。

5. 判别级数1)1(2--∑∞=n n n n 的敛散性，对收敛情况说明是绝对收敛还是条件收敛。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh=，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl=，其中c是圆柱的地面周长，l是圆柱的母线长。

球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。

球的表面积公式：，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：=1221ˆˆ,.ni ii n ii X Y nx yay bx Xnx ==-=--∑∑ 如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B =。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合{}{}2|60,|13,M x xx N x x =+-<=≤≤则MN =(A)[1,2)(B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数2()2iz i i-=+为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为 (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限3、若点a （,9）在函数3xy =的图象上，则tan 6a π的值为(A) 0(B)(C) 1(D) 4、不等式5310x x -++≥的解集是(A) []5,7- (B) []4,6- (C) (][),57,-∞-+∞ (D) (][),46,-∞-+∞ 5、对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件6、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=(A) 3 (B) 2 (C) 32(D) 237、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(A) 63.6万元(B) 65.5万元 (C) 67.7万元 (D) 72.0万元8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C :22650x y x +--=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 (A)22154x y -= (B)22145x y -= (C)22136x y -= (D)22163x y -= 9、函数2sin 2xy x =-的图象大致是(A) (B)(C) (D)10、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x xx =-，则函数()y f x = 的图象在区间[的交点的个数为(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 911 ①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式(理科)：样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性相关系数()()()()niii nni ii i x x y y r x x y y 2=12=1=1--=--∑∑∑其中,n nx x x y y y x y n n1212++++==L L锥体体积公式 V Sh 1=3，其中S 为底面积，h 为高参考公式(文科)：样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程ˆya bx =+ 其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==锥体体积公式 13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若1+2iiz =，则复数z = ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i2．若集合{},{}x A x x B x x-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}3．若()log ()f x x 121=2+1，则f (x )的定义域为 …( )A ．(,)1-02 B ．(,]1-02C ．(,)1-+∞2D ．(0，＋∞)4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为 …( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－1，0)5．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．556．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则() A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1D．r2＝r17．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为() A．3125 B．5625 C．0625 D．81258．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是()A．(33-，33) B．(33-，0)∪(0，33)C．[33-，33] D．(－∞，33-)∪(33，＋∞)10．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．14．若椭圆22221x ya b+=的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．本题共5分．15．(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______________．(2)(不等式选做题)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列；(2)求此员工月工资的期望．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin cos sinC C C +=1-2. (1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．18．已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．19．设()f x x x ax 3211=-++232. (1)若f (x )在(,2+∞3）上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当0＜a ＜2时，f (x )在[1，4]上的最小值为16-3，求f (x )在该区间上的最大值． 20．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是()2222:10,0x y E a b a b-=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．21．(1)如图，对于任一给定的四面体A 1A 2A 3A 4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，使得A i ∈αi (i ＝1，2，3，4)，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；(2)给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A 1A 2A 3A 4的四个顶点满足：A i ∈αi (i ＝1，2，3，4)，求该正四面体A 1A 2A 3A 4的体积．参考答案1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A11．答案：π312．答案：131613．答案：1014．答案：22=154x y + 15．(1)答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0(2)答案：516．解：(1)X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4，14-4445C C ()(0,1,2,3,4)C i P X i i ===， 即X 01234P170 1670 3670 1670 170(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800，3 500，1(3500)(4)708(2800)(3)3553(2100)(2)70116533500280021002280.707070P Y P X P Y P X P Y P X EY ==========≤==⨯+⨯+⨯=则所以新录用员工月工资的期望为2 280元． 17．解：(1)由已知得sin sin 1cos ,2CC C +=- 即2sin(2cos 1)2sin 222C C C +=， 由1sin 02cos 12sin ,sin cos 222222C C C C C ≠+=-=得即，两边平方得3sin 4C =.(2)由1ππsin cos 0222422C C C -=><<得，即π37π,sin cos 244C C C <<==-则由,得. 由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得2222cos 827,7 1.c a b ab C c =+-=+=+所以.18．解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2. 由b 1，b 2，b 3成等比数列，得(2＋q )2＝2(3＋q 2)， 即212420,22,22q q q q -+==+=-解得.所以{a n }的通项公式为11(22)(22).n n n n a a --=+=-或.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)． 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得1.3a =19．解：(1)由2211()2()224f x x x a x a '=-++=--++，当222[,),()()2;339x f x f a ''∈+∞=+时的最大值为；令2120,99a a +>>-得， 所以，当12,()(,)93a f x >-+∞时在上存在单调递增区间．(2)令12118118()0,,.22a af x x x -+++'===得两根.所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增． 当0＜a ＜2时，有x 1＜1＜x 2＜4，所以f (x )在[1，4]上的最大值为f (x 2)．又27(4)(1)60,(4)(1)2f f a f f -=-+<<即， 所以f (x )在[1，4]上的最小值为4016(4)833f a =-=-， 得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1，4]上的最大值为10(2).3f =. 20．解：(1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线22221x y a b -=上，有2200221x y a b-=，由题意又有00001,5y y x a x a ⋅=-+可得222222305,6,5c a b c a b b e a ==+===则. (2)联立2222255,410350,x y b x cx b y x c ⎧-=-+=⎨=-⎩得设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则122125,2354c x x b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩① 设31211312(,),,x x x OC x y OC OA OB y y y λλλ=+⎧==+⎨=+⎩ 即又C 为双曲线上一点，即2223355,x y b -=，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得22222211221212(5)(5)2(5)5x y x y x x y y b λλ-+-+-=.②又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以222222112255,55x y b x y b -=-=. 由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2， 得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4. 21．解：(1)如图所示，取A 1A 4的三等分点P 2，P 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4的中点N ，过三点A 2，P 2，M 作平面α2，过三点A 3，P 3，N 作平面α3，因为A 2P 2∥NP 3，A 3P 3∥MP 2，所以平面α2∥平面α3，再过点A 1，A 4分别作平面α1，α4与平面α2平行，那么四个平面α1，α2，α3，α4依次相互平行，由线段A 1A 4被平行平面α1，α2，α3，α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1，α2，α3，α4为所求平面．(2)解法一：当(1)中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A 1A 2A 3A 4就是满足题意的正四面体．设正四面体的棱长为a ，以△A 2A 3A 4的中心O 为坐标原点，以直线A 4O 为y 轴，直线OA 1为z 轴建立如(1)中图的右手直角坐标系，则12346333(0,0,),(,,0),(,,0),(0,,0)326263a a A a A a A a A a --则． 令P 2，P 3为A 1A 4的三等分点，N 为A 2A 4的中点，有33342363(0,,),(,,0)9941253633,(,,),(,,0)43694413(,,0)44a P a a N a a P N a a NA a a A N a a ---=--==- 所以．设平面A 3P 3N 的法向量n ＝(x ，y ，z )，有330953460,0330P N x y z NA x y ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩即n n 所以(1,3,6).=--n 因为α1，α2，α3，α4相邻平面之间的距离为1，所以点A 4到平面A 3P 3N 的距离为223|()1(3)0(6)|4411(3)(6)a a -⨯+⨯-+⨯-=+-+-，解得10a =.由此可得，边长为10的正四面体A 1A 2A 3A 4满足条件． 所以所求正四面体的体积23113625 5.3343123V Sh a a a ==⨯⨯==. 解法二：如图，现将此正四面体A 1A 2A 3A 4置于一个正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中(或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体)，E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的中点，EE 1D 1D 和BB 1F 1F 是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A 1A 2A 3A 4即为满足条件的正四面体．如图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a ，若A 1M ＝MN ＝1，则有1122111111,252a A E D E A D A E a ==+=.据A 1D 1×A 1E 1＝A 1M ×D 1E 1，得5a =， 于是正四面体的棱长210,d a ==，其体积33311554.633V a a a =-⨯==.(即等于一个棱长为a 的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积)。