人教A版数学必修一浙江省诸暨市牌头中学高中必修1巩固练习：1.2.1函数及其表示(一)

第一章 1.2 1.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是导学号 69174212( B ) A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 2．f (x )＝1＋x ＋x1－x的定义域导学号 69174213( D ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D ． 3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是导学号 69174214( A )[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A ． 4．(2016·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是导学号 69174215( C )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C ．5．下列各组函数表示相等函数的是导学号 69174216( C ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z[解析] A 项中y ＝x 2－9x －3可化为y ＝x ＋3(x ≠3)，∴定义域不同；B 项中y ＝x 2－1＝|x |－1.∴定义域相同，但对应关系不同；D 项中定义域相同，但对应关系不同；C 项正确，故选C ．6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝m 的交点个数为导学号 69174217( C ) A ．可能有无数个 B ．只有一个 C ．至多一个D ．至少一个[解析] 根据函数定义，一个自变量x 只能对应一个函数值y ，而y ＝f (x )的定义域中不一定含有m .二、填空题7．已知函数f (x )＝11＋x ，又知f (t )＝6，则t ＝__－56__.导学号 69174218[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－56.8．用区间表示下列数集：导学号 69174219 (1){x |x ≥1}＝__[1，＋∞)__； (2){x |2＜x ≤4}＝__(2,4]__；(3){x |x ＞－1且x ≠2}＝__(－1,2)∪(2，＋∞)__． 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：导学号 69174220 (1)y ＝ x ＋1 2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3. [解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [点评] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2).导学号 69174221 (1)画出f (x )的图象； (2)根据图象写出f (x )的值域． [解析] (1)f (x )的图象如图所示．(2)观察f (x )的图象可知，f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，故f (x )的值域是[－1,3]．B 级 素养提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2 ③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个.导学号 69174222( B ) A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B ． 2．下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是导学号 69174223( C ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件．3．A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是导学号 69174224( B )[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B ． 4．(2016～2017·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝导学号 69174225( B )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是__(1,2)__.导学号 69174226[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是__[－3,0]∪[2,3]__；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是__[1,2)∪(4,5]__.导学号 69174227[解析] 观察函数图象可知 f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域：导学号 69174228 (1)y ＝31－1－x ；(2)y ＝ x ＋1 0|x |－x ；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x. [解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．C 级 能力拔高1．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，导学号 69174229(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值． (3)求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．[解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1， 所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x 21－x 2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33.(3)由已知得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1， －f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )．2．已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32，是否存在实数m ，使得该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取值范围也是[1，m ](m >1)？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.导学号 69174230[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x －1)2＋1的图象是一条抛物线，它的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1,1)，开口向上，若存在实数m ，使该函数在x ∈[1，m ]时，f (x )的取值范围也是[1，m ]，则需m >1，且f (m )＝m ，即12m 2－m ＋32＝m ，即m 2－4m ＋3＝0， 解得m ＝3或m ＝1(舍去m ＝1)． 故存在实数m ＝3满足条件．。

高中数学学习材料唐玲出品1.1.1集合的含义与表示 一、选择题1、在“①最小的自然数；②方程x 2+1的实数根；③本书中的所有好题；④所有的直角三角形。

”中能够组成集合的个数为 （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、下列关系表述正确的是 （ ）（A ）Z ∉1 （B ）{0}{}02=∈x （C ）0(){}1,0∈（D ）N ∈0 3、下列方程的实数解的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,21的个数为（ ） ①051249422=++-+y x y x ；②0262=-+x x ； ③()()023122=+-x x ；④0262=--x x 。

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44、在下列各组集合中，M 和P 表示的是同一集合的是 （）（A ）M={1，2}，P={（1，2）} （B ）M={（2，1）}，P={（1，2）}（C ）M={1，2}，P={2，1} （D ）M={1，2}，P={（2，1）} 5、已知集合M {}Q b a b a m m ∈+==,,2，则下列四个元素中属于M 的元素的个数是 ①π21+；②2611+；③221+；④ 3232++- （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36、设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P+Q={m+n| m ∈P ，n ∈Q}，若P={0，2，5}， Q={1，2，6}，则P+Q 中元素的个数为 （ ）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6二、填空题7、用列举法表示不等式组⎩⎨⎧-≥+>+121042x x x 的整数解集合为_____________。

8、集合A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1，k ∈Z} ，C={x|x=4k-1，k ∈Z}，若m ∈A ， n ∈B ，则m+n ∈ ___________（选填A 、B 、C ）。

9、已知2∈{3，x ，x 2-x}，则x=_________。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩， 即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==； （6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,AB A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}AB ==， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,AB A B ． 3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}A B x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B 痧?．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B =ð，()(){6}U U A B =痧． 1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （4R（5Z 3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集． 4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅． （1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð，{|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R AB x x x =≤≥或ð， (){|3,7}R AB x x x =<≥或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤<或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}AB =，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？ 2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上， 得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,AB A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅． 4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆ð，即()U U A B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B =ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x ． 1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与A 的B 中的元素是什么？与B相对应的A 中元素是什么？4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是2； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素2相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．求下列函数的定义域：（1）3()4x f x x =-； （2）()f x =（A ）（B ）（C ）（D ）（3）26()32f x x x =-+； （4）()1f x x =-1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x =-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x =-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．3y x =； （2）8y x =； （3）45y x =-+；（4） （1）267y x x =-+．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象： （1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x =>，10(0)x y y=>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即125xt -=，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()55t h -==+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-. 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减. 2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-， 由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =， 则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值. 4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证： （1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B =ð，(){2,4}U A B =ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ）2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a 814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx=x 4y -9;(4)4a 32b31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-yx =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5. 练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z=-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=； （2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e == 3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x=(5) 100.3x = (6) xe 3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a+===+=+; (4)3lg lg 3lg 22b a =-=-5. (1)x ab =; (2) m x n =; (3) 3n x m =; (4)x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x +=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番. 7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2)m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位. B 组。

第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示知识一、函数的概念 1．函数的概念设A 、B 是______，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_____x ，在集合B 中都有______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个（任意性）元素x ，在非空数集B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 与之对应．（4）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．2．函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．辨析()f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值． 3．相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．名师提醒（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形．二、区间及其表示 1．区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a <b ．我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为___________； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为___________；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________． 其中实数a ，b 都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开． 2．无穷大的概念实数集R 可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足,,,x a x ax b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞．三、函数的三种表示方法 1．解析法用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．2．图象法用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．3．列表法通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．对三种表示法的说明解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．四、分段函数1．分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．知识提升（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．名师提醒作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 五、映射一般地，设A ，B 是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的___________元素x ，在集合B 中都有___________的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射．对映射的理解（1）映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A ，B 为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射． （2）集合A ，B 是有先后次序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．（3）集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B 中元素没有A 中元素与之对应．（4）A 中元素与B 中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．知识提升对于映射:f A B →，我们通常把集合A 中的元素叫原象，而把集合B 中与A 中元素相对应的元素叫象，集合A 叫原象集，象集为C ，则C B ⊆．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A ，B 是两个集合，:f A B →是从集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射．知识参考答案：一、1．非空的数集 任意一个数 唯一确定2．定义域、对应关系和值域 3．定义域和对应关系二、1．（1）[,]a b （2）(,)a b （3）[,)a b ，(,]a b 实心点 空心点 2．(,)-∞+∞ 三、1．数学表达式 2．图象 3．表格 四、1．取值区间 2．虚实 五、非空的集合 任意一个 唯一确定重点1．函数概念判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A ，B 是否非空；其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性和集合B 中数y 的唯一性（即不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应数x ）． 【例1】给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A=-=-,中的数的平方； ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A==-,中的数的开方； ③,:A B f A ==Z Q ,中的数的倒数；④{},:A B f A==R 正实数,中的数取绝对值； ⑤{}{}1234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中． 其中是A 到B 的函数有__________个． 【答案】2【解析】①②正确，满足函数的定义； ③0∈Z ，但是0没有倒数，所以不正确；④00=，但0不是正实数，所以不正确； ⑤当1=n 时，B m ∉=21，当2=n 时，B m ∉=1，当3=n 时，B m ∉=23，故不正确． 所以其中是A 到B 的函数有2个．【名师点睛】本题所给集合,A B 都是数集，关键是看根据给出的对应关系，自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应． 2．函数相等讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同．注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数．【例2】下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是A ．()1f x x =-与()g x =B ．()f x x =与2()x g x x=C ．()f x x =与()g x =D ．24()2x f x x -=-与()2g x x =+【答案】C【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一函数．对于A ，()1f x x =-与()1g x x ==-，两个函数的解析式不同，不是同一函数；对于B ，()()f x x x =∈R 与2()(0)x g x x x x==≠，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C ，()()f x x x =∈R 与()()g x x x ∈R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，24()2(2)2x f x x x x -==+≠-与()2()g x x x =+∈R ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数． 故选C ．【名师点睛】因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的． 3．函数的定义域（1）当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负；③0y x =要求0x ≠；④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域，其实质是由()g x 的取值范围，求出x 的取值范围； ⑥已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()g x 的取值范围； ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【例3】函数1()3f x x =-的定义域是 A ．[2,3)B ．(3,)+∞C ．[2,3)(3,)+∞D ．(2,3)(3,)+∞【答案】C【名师点睛】对于(),y f x x A =∈，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x 的取值范围．求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0y x =要求x ≠0等．（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域，其实质是由()g x 的取值范围，求出x 的取值范围． （4）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()g x 的取值范围． 注意：①求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．②定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；③由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解． 4．求函数值或函数的值域（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求． 求函数值应遵循的原则：①已知()f x 的表达式求()f a 时，只需用a 替换表达式中的x ． ②求()f f a ⎡⎤⎣⎦的值应遵循由里往外的原则．③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数223y x x =-+的值域与函数223,{|0y x x x x =-+∈≤3}x <的值域是不同的；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【例4】函数yA ．{|1}x x ≥-B ．{|0}x x ≥C ．{|0}x x ≤D ．{|1}x x ≤-【答案】B【解析】由x +1≥0，∴函数y {|0}x x ≥．故选B ．【例5】函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为A ．[1,0]-B ．[0,8]C ．[1,8]-D ．[3,8]【答案】B【名师点睛】（1）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值．求函数值时，注意将对应x 的值或代数式整体代入解析式求解，否则会导致错误．（2）抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． （4）求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数223y x x =-+的值域与函数223,{|0y x x x x =-+∈≤3}x <的值域是不同的；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；④换元法：对于一些无理函数（如()f x ax b =±±利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域． 5．函数解析式的求法（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数． （2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式； ②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与1()f x．（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．【例6】已知1)f x =+，求()f x ．【答案】2()1(1)f x x x =-≥．【解析】方法一：21)111)1f x x =+=+-=-11≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．方法二：令1t =，则2(1),1x t t =-≥，所以22()(1)2(1)1(1)f t t t t t =-+-=-≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错． 6．函数图象（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于x 轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是．（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象．若函数是分段函数，需注意分段函数的图象由几部分构成．（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理． 【例7】函数()xf x x x=+的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】对x 进行讨论，将函数()xf x x x=+转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分； 当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义．综上，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩的图象为直线1y x =+上0x >的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射线．故选C ．【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象．作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标． 7．分段函数（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．【例8】已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f -+=_________．【答案】4 【解析】34323134=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ，3834234=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛f ，所以438343434=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ． 【名师点睛】解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．本题中403-<，且0x ≤对应的解析式是()(1)f x f x =+，所以要通过这个式子把自变量的值转化到0x >，从而利用0x >对应的解析式求解． 8．映射判断一个对应是不是映射，关键有两点：（1）对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应； （2）B 中的对应元素是不是唯一的． 对于一一映射f ：A →B ，应满足：（1）A 中每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应； （2）A 中的不同元素对应B 中的元素也不同； （3）B 中每一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应． 【例9】给出下列两个集合间的对应：（1）A ＝{你班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； （2）{}{}1,2,3,42,4,6,8M N ==，，f ：n ＝2m ； （3）X ＝R ，Y ＝{非负实数}，f ：y ＝x 4．其中是映射的有________个，是函数的有________个． 【答案】3，2【解析】由映射及函数的概念知：（1）是映射，但不是函数； （2）是映射，也是函数；（3）是映射，也是函数．【名师点睛】映射与函数的区别与联系：（1）映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射．（2）函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一定是函数，因为A，B不一定是数集．9．求函数的解析式时忽略函数的定义域【例10】已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求y关于x的函数解析式．【错解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．【错因分析】错解中的函数解析式不完整，缺少自变量x的取值范围．【正解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．∵20－2x>0，∴x<10．由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知2x>20－2x，得x>5，所以函数的定义域为{x|5<x<10}．所以y关于x的函数解析式为y＝20－2x（5<x<10）．【名师点睛】函数的解析式包括定义域和对应关系，在确定函数的解析式时必须注意确定函数的定义域，否则所求函数的解析式可能是错误的．基础训练1．函数f（x）1x的定义域是A．{x|x>0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R2．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是A．B．C．D．3．下面哪个点不在函数y=–2x+3的图象上A．（–5，13）B．（0.5，2）C．（3，0）D．（1，1）4．函数()1xf x x =-的定义域是 A ．（–1，+∞） B ．（–1，1）∪（1，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）∪（1，+∞）5．已知函数f （x ）x ∈{1，2，3}．则函数f （x ）的值域是A．{1B ．（–∞，0]C ．[1，+∞）D ．R6．函数y =x 2+1的值域是A ．[1，+∞）B ．（0，1]C ．（–∞，1]D ．（0，+∞）7．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax +b 是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是 A ．3B ．4C ．5D ．68．已知映射f ：A →B ，其中A ={a ，b }，B ={1，2}，已知a 的象为1，则b 的象为A ．1，2中的一个B ．1，2C ．2D ．无法确定9．已知函数y =()()21020x x x x ⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，若f （a ）=10，则a 的值是A ．3或–3B ．–3或5C ．–3D ．3或–3或5能力提升10．已知函数f （x ）R ，则实数m 取值范围为A ．{m |–1≤m ≤0}B ．{m |–1<m <0}C ．{m |m ≤0}D ．{m |m <–1或m >0}11．若集合A ={x |x （x –1）<0}，B ={y |y =x 2}，则A ．A =BB ．A ⊆BC ．A ∪B =RD ．B ⊆A12．若集合(){|10}{|A x x x B y y =+≥==，，则A ．A =BB ．A ⊆BC ．A ∪B =RD ．B ⊆A13．设x ∈R ，定义符号函数sgnx =100010x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩，，，，则函数f （x ）=|x |sgnx 的图象大致是A ．B ．C ．D ．14．已知f （x ）=1010x x ≥⎧⎨-<⎩，，则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是A ．[–2，1]B ．（–∞，–2]C ．322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，15．函数2211x y x -=+的值域是A ．{y |–1≤y ≤1}B ．{y |–1≤y <1}C ．{y |–1<y ≤1}D ．{y |0<y ≤1}16．设函数f （x ）=()()22222x x x x ⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，若f （x 0）=8，则x 0=__________． 17．已知函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩（1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若f （a ）=12，求a 的取值集合．真题练习18．（2018•新课标Ⅲ）函数y =–x 4+x 2+2的图象大致为A ．B ．C ．D ．19．（2018•湖北模拟）设，定义符号函数则 A ． B ． C ．D ．20．（2019•江苏模拟）函数y__________． 21．（2019•浙江模拟）设函数()3231f x x x =++．已知a ≠0，且()()()()2–––f x f a x b x a x =∈R ，，则实数a =__________，b =__________．参考答案1．【答案】A【解析】由题意得：0x x ≥⎧⎨≠⎩，故x >0，故函数的定义域是（0，+∞），故选A ．x ∈R 1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩|||sgn |x x x =||sgn ||x x x =||||sgn x x x =||sgn x x x =2．【答案】B【解析】B 中，当x >0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选B ．4．【答案】D【解析】要使函数f （x ）有意义，需满足1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥–1且x ≠1．∴函数()1xf x x =-的定义域是[–1，1）∪（1，+∞）．故选D ． 5．【答案】A【解析】f （x ）x ∈{1，2，3}．当x =1时，f （1）=1；当x =2时，f （2）；当x =3时，f （3）f （x ）的值域是{1．故选A ． 6．【答案】A【解析】∵y =x 2+1≥1，∴函数y =x 2+1的值域是[1，+∞），故选A ． 7．【答案】A【解析】A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax +b 是从A 到B 的映射，又1和8的原象分别是3和10， ∴31108a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，即f ：x →y =x –2，5在f 下的象可得f （5）=1×5–2=3，故选A ．8．【答案】A【解析】映射f ：A →B ，其中A ={a ，b }，B ={1，2}，已知a 的象为1，可得b =1或2，故选A ． 9．【答案】B【解析】若a ≤0，则f （a ）=a 2+1=10，解得a =–3（a =3舍去）；若a >0，则f （a ）=2a =10，解得a =5．综上可得，a =5或a =–3，故选B ．11．【答案】B【解析】集合A={x|x（x–1）<0}={x|0<x<1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}．可知：A⊆B．故选B．12．【答案】D【解析】集合(){|10}{|A x x xB y y=+≥=，，可得A={x|x≥0或x≤–1}，B={y|y≥0}．可知B⊆A．故选D．13．【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=00x xxx x>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故选C．14．【答案】D【解析】①当x+2≥0时，即x≥–2，f（x+2）=1，由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32即–2≤x≤32，当x+2<0即x<–2时，f（x+2）=–1，由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x–（x+2）≤5，即–2≤5，∴x<–2，综上，不等式的解集为{x|x≤32}，故选D．15．【答案】C【解析】由2211xyx-=+整理得y+yx2=1–x2，∴（y+1）x2+y–1=0．当y+1≠0时，Δ=–4（y+1）（y–1）≥0，解得–1<y≤1．当y+1=0时，–1=1不成立，∴y≠–1．故选C．17．【答案】（1）图象详见解析；（2）{32-，2-，2}．【解析】（1）函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩的图象如下图所示：（2）当a ≤–1时，f （a ）=a +2=12，可得：a =32-； 当–1<a <2时，f （a ）=a 2=12，可得：a=2±；当a ≥2时，f （a ）=2a =12，可得：a =14（舍去）； 综上所述，a 的取值构成集合为{32-，2-，2}．18．【答案】D【解析】函数过定点（0，2），排除A ，B ．函数的导数f ′（x ）=–4x 3+2x =–2x （2x 2–1），由f ′（x ）>0得2x （2x 2–1）<0，得x <–2或0<x<2，此时函数单调递增，由f ′（x ）<0得2x （2x 2–1）>0，得x>x <0，此时函数单调递减，排除C ，故选D ． 19．【答案】D【解析】对于选项A ，右边，而左边，显然不正确；对于选项B ，右边，而左边，显然不正确；,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩对于选项C ，右边，而左边，显然不正确；对于选项D ，右边，而左边，显然正确.故应选D ．20．【答案】[–3，1]【解析】由3–2x –x 2≥0得：x 2+2x –3≤0，解得：x ∈[–3，1]，故答案为：[–3，1]． 21．【答案】－2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩。