冀教版数学八年级下册《一次函数与二元一次方程的关系》1

21.5 一次函数与二元一次方程的关系 教学目标1．掌握一次函数与方程的关系；2．综合应用一次函数与方程关系解决问题．教学重难点【教学重点】掌握一次函数与方程的关系．【教学难点】综合应用一次函数与方程关系解决问题．课前准备课件教学过程一、情境导入下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？(1)2x ＋1＝3；(2)2x ＋1＝0；(3)2x ＋1＝－1.能从函数的角度解这三个方程吗？二、合作探究探究点一：一次函数与一元一次方程一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )A ．x ＝－1B ．x ＝2C ．x ＝0D ．x ＝3解析：∵y ＝kx ＋b 经过点(2，3)、(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.令x ＋1＝0，解得x ＝－1.故选A.方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．探究点二：一次函数与二元一次方程(组)直角坐标系中有两条直线：y ＝35x ＋95，y ＝－32x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .(1)求A 、B 两点的坐标；(2)用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12； (3)求△PAB 的面积．解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y ＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)．令－32x ＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3； (3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，S △PAB ＝12×7×3＝212. 方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．探究点三：运用一次函数与方程解决实际问题某销售公司推销一种产品，设x (单位：件)是推销产品的数量，y (单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，∴方案一y 关于x 的解析式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，∴方案二y 关于x 的解析式为y ＝20x ＋600； (2)根据两直线相交可得40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．三、板书设计1．一次函数与一元一次方程的关系2．用图象法求二元一次方程组的解3．应用一次函数与方程解决实际问题四、教学反思在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课是在一次函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现了新课标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生．。

《一次函数与二元一次方程的关系》教案教学目标知识与技能1.理解一次函数与二元一次方程的关系.2.会用一次函数的图像解决二元一次方程的求解问题.会利用函数图像解决简单的实际问题.过程与方法1.通过对一次函数变量变化规律的探究，体会一次函数与二元一次方程的关系.2.经历从“数”与“形”两个角度解决问题的过程，体会数形结合的思想.3.经历探究解决简单问题的过程,培养观察与推理的能力，发现实际问题的求解与解方程的区别与联系.情感、态度与价值观1.通过合作探究解决问题的过程，培养实事求是的科学态度和团队协作的精神.2.通过对数形巧妙关系的探究与认识，提高思维水平，激发学习兴趣.重点难点重点二元一次方程与一次函数的关系难点理解一次函数与二元一次方程的关系教学设计1．教法学法启发引导与自主探索相结合．2．课前准备教具：多媒体课件、三角板．学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．本节课设计了六个教学环节：第一环节设置问题情境，启发引导；第二环节自主探索，建立“方程与函数图像”的模型；第三环节典型例题，探究方程与函数的相互转化；第四环节反馈练习；第五环节课堂小结；第六环节作业布置．第一环节:设置问题情境，启发引导内容：1．方程x +y =5的解有多少个？05x y =⎧⎨=⎩，；50x y =⎧⎨=⎩，；23.x y =⎧⎨=⎩，是这个方程的解吗？ 2．点(0，5)，(5，0)，(2，3)在一次函数y ＝5+-x 的图像上吗？3．在一次函数y =5+-x 的图像上任取一点，它的坐标适合方程x +y =5吗？4．以方程x +y =5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y =5+-x 的图像相同吗？ 由此得到本节课的第一个知识点：二元一次方程和一次函数的图像有如下关系：(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；(2)一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．意图：通过设置问题情景，让学生感受方程x +y =5和一次函数y =5+-x 相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．效果：以“问题串”的形式，启发引导学生探索知识的形成过程，培养了学生数学转化的思想意识．前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．第二环节自主探索方程组的解与图像之间的关系内容：1.解方程组5,2 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩2．上述方程移项变形转化为两个一次函数y =5+-x 和y =2x 1-，在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图像．3．方程组的解和这两个函数的图像的交点坐标有什么关系？由此得到本节课的第2个知识点：二元一次方程和相应的两条直线的关系以及二元一次方程组的图像解法；(1)求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标；(2)求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解．(3)解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种．注意：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组．意图：通过自主探索，使学生初步体会“数”(二元一次方程)与“形”(两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础．效果：由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．第三环节典型例题探究方程与函数的相互转化内容： 1：用作图像的方法解方程组22,2 2.x y x y -=-⎧⎨-=⎩2如图，直线1l 与2l 的交点坐标是．意图：设计1进一步揭示“数”的问题可以转化成“形”来处理，但所求解为近似解．通过2，让学生深刻感受到由“形”来处理的困难性，由此自然想到求这两条直线对应的函数表达式，把“形”的问题转化成“数”来处理．这两例充分展示了数形结合的思想方法，为下一课时解决实际问题作了很好的铺垫．效果：进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化． 第四环节反馈练习内容：1．已知一次函数5-=kx y 与b x y +=3的图像的交点为)3,2(-p ，则k b _________==，．2．已知一次函数a x y +=2与b x y +-=的图像都经过点A (—2，0)，且与y 轴分别交于B ，C 两点，则ABC s ∆的面积为()．(A )4(B )5(C )6(D )73．求两条直线23-=x y 与42+-=x y 和x 轴所围成的三角形面积．4．如图，两条直线1l 与2l 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？意图：4个练习，意在及时检测学生对本节知识的掌握情况．效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．第五环节课堂小结内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：1、二元一次方程和一次函数的图像的关系；(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；(2)一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．2、方程组和对应的两条直线的关系：(1)方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；(2)两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；意图：旨在使本节课的知识点系统化、结构化，只有结构化的知识才能形成能力；使学生进一步明确学什么，学了有什么用．效果：充分展示知识的发生、发展及应用过程．对同学的回答，教师给予点评，对回答得好的学生教师给予表扬、鼓励．第六环节作业布置。

冀教版数学八年级下册21.5《一次函数与二元一次方程的关系》说课稿一. 教材分析冀教版数学八年级下册21.5《一次函数与二元一次方程的关系》这一节主要让学生了解一次函数与二元一次方程之间的关系。

通过学习，学生能够理解一次函数的图像与二元一次方程的解之间的关系，从而更好地解决实际问题。

教材通过丰富的实例，引导学生探究一次函数与二元一次方程的内在联系，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了函数、方程的基础知识，对一次函数和二元一次方程有一定的了解。

但部分学生对一次函数与二元一次方程之间的关系理解不够深入，对如何运用一次函数解决实际问题还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过实例讲解和练习，帮助他们更好地理解和运用知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握一次函数与二元一次方程之间的关系，能够运用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究一次函数与二元一次方程的内在联系，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与二元一次方程之间的关系。

2.教学难点：如何运用一次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、实例教学、合作探究等教学方法，引导学生主动参与、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入一次函数与二元一次方程的关系。

2.知识讲解：讲解一次函数与二元一次方程的定义，引导学生理解它们之间的关系。

3.实例分析：分析一次函数在实际问题中的应用，让学生学会如何运用一次函数解决问题。

4.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的学习心得和解决问题的方法。

5.总结提升：教师引导学生总结一次函数与二元一次方程之间的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题。

在直线AB上.∴y0=－x0+1，∴x0＋y0=1，
= 0 ,
∴ቊ = 是方程x+y=1的一组解.
0
y
3
2
A
1
-3 -2 -1 O
-1
-2
-3
1
x
2 3
B
一起探究
1. 一次函数y=kx+b图像上的点的坐标是不是二
元一次方程kx-y=-b的一组解?请说明理由.
是，设(x0 ，y0)是一次函数y=kx+b图像上一点，
后，本来的二元一次方程就化成了一次函数的情势。
当x，y表示未知数时，ax+by=c 就是二元一次方程
当x，y表示变量时， =

−



+ 就是一次函数.
+


归纳
你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区分?
以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的
一次函数的图像上;
反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它相应
直线上吗?如果在一条直线上，它们在哪条直线上？请说明理由.
这些点在同一条直线y=－x+1上.
理由：
当x=－2时，y=－(－2)+1=3,
∴点(－2,3)在直线y=－x+1上.
同理可验证其他点也在直线
y=－x+1上.
3
y
2
1
-3 -2 -1 O
-1
-2
-3
1
2 3
x
如图，在直角坐标系中，设点A的坐标为(－1，2)，点B的坐标
(1)函数值y1=y2时x的值
一元一次方程k1x+b1=k2x+b2的解；