[必修三]·[随机抽样] · [基础] · [知识点+典型例题]·[学生版]

2.1 随机抽样一、本节知识结构二、教学重点与难点重点：1．能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题．2．理解随机抽样的必要性和重要性．3．学会简单随机抽样方法，了解分层和系统抽样方法．4．对随机性样本的随机性的正确理解．难点：对样本随机性的理解．三、编写意图与教学建议在本节的引言中，首先提出一些问题，其解答需要收集相关的数据．教科书的用意是想让学生体会在现实生活中，存在着大量的问题需要通过获取数据来解答．为解答这样的问题，我们必须清楚问题所涉及的总体和变量是什么，从而可以从统计学的观点看待问题，把实际问题转化为统计问题．在教学中，应该使学生知道在统计问题中，应该包括以下两个方面的信息：1．问题所涉及的总体；2．问题所涉及的变量．例如，“2004年全区中考学生数学平均成绩和语文平均成绩各是多少?”就是一个统计问题．在这个问题中，总体是2004年全区参加中考的学生全体，所涉及的变量是数学成绩和语文成绩．在教学过程中，教师可以引导学生把节引言中的问题转化为统计问题，还可以根据实际情况列举一些学生熟悉的类似问题，再引导学生把它们转化为统计问题．那么，为什么要进行抽样呢?教科书通过实例，引导学生思考通过样本研究总体的必要性和重要性，以及样本的代表性与得到正确结论之间的关系．这里用了一个形象的比喻：“通过一勺汤的味道来判断一锅汤的味道”，表明样本代表性的重要．教师稍加引导，就可使学生体会到这里“搅拌均匀”的本质是使总体中的每个个体入选样本的可能性相等，这样就自然地引出随机抽样的出发点：使每个个体都有相同的机会被抽中．在本节引言的教学过程中，重点是让学生体会样本的代表性与统计推断结论的可靠性之间的关系：可靠的统计推断结论需要有代表性好的样本数据作为基础．因此，在抽取样本的过程中，考虑的最主要原则为：保证样本能够很好地代表总体．在引言的边空中提出问题“为什么说一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查”，其用意是想要学生体会抽样的必要性．以一批袋装牛奶质量检查为例，如果采用普查的方法，就需要打开每一袋牛奶进行检验，结果会出现以下问题：1．我们关心牛奶的质量，想要判断这批牛奶是否可以销售．而普查使得这批袋装牛奶都被开封，不能再销售了．2．普查要检验每一袋牛奶，耗费时间、人力和财力．3．由于普查的工作量大，操作过程中发生失误的可能性就大大增加，因此也不一定能保证结论的准确性．如果能够通过样本中的袋装牛奶质量判断整批牛奶的质量，这样就能省时、省力，圆满完成质量检测任务．在各种随机抽样中，简单随机抽样是最基本的抽样方法．在其他的各种随机抽样方法中，一般会以某种形式引用它．对于简单随机抽样，我们详细介绍了抽签法和随机数表法，这两种方法都不需要太多的设备就可以实现．也可以利用计算机或计算器来实现抽取简单样本的随机数法，其特点是效率高，可以节省时间、人力和物力．在实际中，常借助于计算机产生随机数．需要注意，抽签法可以产生真正的简单随机样本；而查表法和计算机产生随机数法(详见第三章《概率》3．2．2和3．3．2)，产生的只是近似程度很高的简单随机样本．在教学过程中，可以鼓励学生从自己的生活中提出类似的统计问题，如每天完成家庭作业所需要的时间，每天的体育锻炼时间，一批绳索的抗拉强度是否达到要求，一批电灯泡的寿命是否符合要求，等等．在学生提出这些问题后，要引导学生考虑问题中的总体是什么，要观察的变量是什么，如何获取样本．通过这样一个教学过程，培养学生从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题的能力．在这个过程中提升学生对统计抽样概念的理解，初步培养学生运用统计思想表述、思考和解决现实世界中的问题的能力．。

【知识梳理】1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．抽签法把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．3．随机数法随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．【常考题型】题型一、简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．[解](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【类题通法】简单随机抽样的判断策略判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．【对点训练】下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有：山地800公顷，丘陵1 200公顷，平地2 400公顷，洼地400公顷，现抽取农田48公顷估计全乡农田平均每公顷产量解析：选B A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；B的总体容量较少，用简单随机抽样法比较方便；C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜采用简单随机抽样法；D总体容量大，且各类田地的差别很大，也不宜采用简单随机抽样法.题型二、抽签法及其应用【例2】(1)下列抽样实验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]A，D两项总体容量较大，不适合用抽签法；对C项甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显．[答案] B(2)某大学为了选拔世博会志愿者，现从报告的18名同学中选取6人组成志愿小组，请用抽签法写出抽样过程．[解]第一步，将18名同学编号，号码是01,02， (18)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，所得号码对应的同学就是志愿小组的成员．【类题通法】1．抽签法的适用条件一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时适宜用抽签法．2．应用抽签法的关注点(1)对个体编号时，也可以利用已有的编号．例如，从某班学生中抽取样本时，可以利用学生的学号、座位号等．(2)在制作号签时，所使用的工具(纸条、卡片或小球等)应形状、大小都相同，以保证每个号签被抽到的概率相等．(3)用抽签法抽样的关键是将号签搅拌均匀．只有将号签搅拌均匀，才能保证每个个体有相等的机会被抽中，从而才能保证样本具有代表性．(4)要逐一不放回抽取．【对点训练】现有30本《三维设计》，要从中随机抽取5本进行印刷质量检验，请用抽签法进行抽样，并写出抽样过程．解：总体和样本数目较小，可采用抽签法进行：①先将30本书进行编号，从1编到30；②把号码写在形状、大小均相同的号签上；③将号签放在某个箱子中进行充分搅拌，然后依次从箱子中取出5个号签，按这5个号签上的号码取出样品，即得样本.题型三、随机数表法的应用【例3】(1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第3行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号____________________．(下面抽取了随机数表第1行至第5行．)03 47 43 73 8636 96 47 36 6146 98 63 71 6233 26 16 80 4560 11 14 10 9597 74 24 67 6242 81 14 57 2042 53 32 37 3227 07 36 07 5124 51 79 89 7316 76 62 27 6656 50 26 71 0732 90 79 78 5313 55 38 58 5988 97 54 14 1012 56 85 99 2696 96 68 27 3105 03 72 93 1557 12 10 14 2188 26 49 81 7655 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30[解析]从随机数表第3行第6列的数2开始向右读第一个小于850的数字是227，第二个数字665，第三个数字650，第四个数字267，符合题意．[答案]227,665,650,267(2)现有一批零件，其编号为600,601,602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案？[解]第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如：选第7行第6个数“7”，向右读．第二步，从“7”开始向右每次读取三位，凡在600～999中的数保留，否则跳过去不读，依次得753,724,688,770,721,763,676,630,785,916.第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．(答案不唯一)【类题通法】利用随机数表法抽样时应注意的问题(1)编号要求位数相同，若不相同？需先调整到一致两再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开始编号，那么所有个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．如果选择从1开始编号那么所有个体的号码都必须用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．(2)第一个数字的抽取是随机的．(3)当随机数选定，开始读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．【对点训练】现有一批编号为10,11，…，98,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验，如何用随机数表法设计抽样方案？解：第一步，将元件的编号调整为010,011,012，...，099,100， (600)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第6行第7个数9.第三步，从数9开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步，以上这6个号码所对应的6个元件就是所要抽取的对象．【练习反馈】1．为了了解一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C200个零件的长度是从总体中抽出的个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．故选C.2．抽签法中确保样本具有代表性的关键是()A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回解析：选B在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将总体“搅拌均匀”，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标号后，一定要搅拌均匀．3．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的可能性是________．解析：因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的可能性都为20100＝0.2.答案：0.24．一个总体的60个个体编号为00,01，…，59，现需从中抽取一容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始，向右读取，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 0018 74 72 00 1838 79 58 69 3281 76 80 26 9282 80 84 25 3990 84 60 79 8024 36 59 87 3882 07 53 89 3596 35 23 79 1805 98 90 07 3546 40 62 98 8054 97 20 56 9515 74 80 08 3216 46 70 50 8067 72 16 42 7920 31 89 03 4338 46 82 68 7232 14 82 99 7080 60 47 18 9763 49 30 21 3071 59 73 05 5008 22 23 71 7791 01 93 20 4982 96 59 26 9466 39 67 98 60解析：所取的号码要在00～59之间且重复出现的号码仅取一次．答案：18,00,38,58,32,26,25,395．某校高一年级有43名足球运动员，要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．解：第一步：编号，把43名运动员编号为1～43；第二步：制签，做好大小、形状相同的号签，分别写上这43个数；第三步：搅拌，将这些号签放在暗箱中，进行均匀搅拌；第四步：抽签入样，每次从中抽取一个，连续抽取5次，从而得到容量为5的入选样本．。

随机抽样：：【学习目标】1、了解简单随机抽样的概念，掌握实施简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表法；2、了解系统抽样的意义，并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本；3、了解分层抽样的概念与特征，清楚简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.【要点梳理】要点一、简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.1、简单随机抽样的概念：一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.2、简单随机抽样的特点：(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.3、实施抽样的方法：(1)抽签法：抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.抽签法的一般步骤：①将总体中的N个个体编号；②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.(2)随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.随机数表法的步骤：①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；②在随机数表中任选一个数字作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.注意：①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.要点诠释：1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为Nn ，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误.要点二、系统抽样1、系统抽样的概念：当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样.2、系统抽样的特征：(1)当总体容量N 较大时，采用系统抽样；(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样；(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.3、系统抽样的一般步骤：(1)采用随机的方法将总体中的N 个个体编号；(2)将编号按间隔k 分段，当N n 是整数时，取N k n =，当N n不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数'N 能被n 整除，这时取'N k n =，并将剩下的总体重新编号； (3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号()l l N l k ∈≤，；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将编号为2(1)l l k l k l n k +++-，，，，的个体取出. 要点诠释：1、从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.2、系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.要点三、分层抽样1、分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.2、分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.3、分层抽样的优点：(1)样本具有较强的代表性；(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.4、分层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)要点诠释：1、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.【典型例题】类型一：简单随机抽样例1.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；（2）仓库中有l万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴四川参加抗震救灾工作；（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．【解析】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【总结升华】要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样．关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的．举一反三：【变式1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．（2）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．（3）一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩．玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．【解析】（1）不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．（2）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．（3）不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．例2．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．【解析】方案如下：第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02， (18)第二步：将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，揉成团，制成号签；第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号：第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．举一反三：【变式1】一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科问题的序号（物理题的编号为01～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在形状、大小相同的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅匀．第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要回答的三门学科问题的序号．例3．现有120台机器，请用随机数表法抽取10台机器，写出抽样过程．【思路点拨】已知N=120，n=10，用随机数表法抽样时编号000，001，…，119，抽取10个编号（都是三位数），对应的机器组成样本．【解析】使用随机数表法步骤如下：第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002， (119)第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数3，向右读；第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读．依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092；第四步，以上这10个号码074，100，094，052，080，003，105，107，083，092所对应的10台机器就是要抽取的对象．【总结升华】用随机数表法抽取样本，编号时要注意使号码的位数相同．如本题将个体编号的位数统一为3位，即在位数较少的数前添加“0”，方便读表．举一反三：【变式1】某校有学生1200人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何进行？【解析】首先将该校学生都编上号码：0001，0002，0003，…，1200，如用随机数表法，则先在随机数表中选定一个数，如第5行第9列的数字6，从6开始向右连续读取数字，以4个数为一组，遇到右边线时向下错一行向左继续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的数字如果小于或等于1 200，则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所抽取的数字大于1200，而小于或等于2400，则减去1200，剩余数字即是被抽取的学生号码；如果所抽取的数字大于2400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．如果遇到相同的号码，则只留取第一次读取的数字，其余的舍去，这样被抽取的学生所对应的号码依次是：0438，0682，1022，0762，0709，0606，0644，0853，1183，0130，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，一直取足50人为止．【变式2】要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案．【解析】解法一：（随机数表法）第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1， (9)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3行第6列的数“2”，向右读．第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取1位，重复数字只记录一次，依次可得到2，7，6，5．第四步，以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．解法二：（抽签法）第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1， (9)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．第五步，所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．【总结升华】（1）将钢琴编号从0开始，10架钢琴用0—9就可表示，这样总体中的所有个体可用一位数表示，便于使用随机数表．（2）用抽签法抽样关键是将号签搅匀．类型二：系统抽样例4．下列抽样中不是系统抽样的是（）．A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0+5，i0+10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验C．弄某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈【答案】C【解析】本题的判定依据是系统抽样方法的特征：系统抽样适用于个体数目较多但均衡的总体．判断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分，是否在每个部分中进行简单随机抽样．本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．举一反三：【变式1】下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶8∶8∶2，从中抽取200名学生做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【答案】 C【解析】A中各区学生有区别，不好分成均衡的几部分，不适宜，B中抽取样本容量太小，不适宜．D 中总体个数较少，不适宜．故选C【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的情况．例5．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？【思路点拨】由题设条件可知总体的个数为503，样本容量为50，不能整除，可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，然后再采用系统抽样方法进行抽样．【解析】第一步，将503名学生用随机方式编号为1，2，3， (503)第二步，用抽签法或随机数表法剔除3个个体，这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3， (500)第三步，确定分段间隔k，将总体分为50个部分，每一部分包括10个个体，这时，第l部分的个体编号为1，2，...，10；第2部分的个体编号为11，12，...，20；依此类推，第50部分的个体编号为491，492， (500)第四步：在第1部分用简单随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如5．第五步：依次在第2部分，第3部分，…，第50部分取出号码为15，25，…，495的个体，这样就得到一个容量为50的样本．【总结升华】总体中的每个个体都必须等可能的入样，为了实现“等距”入样且又等概率，应先剔除，再“分段”，后定起始位．采用系统抽样是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为误差．举一反三：【变式1】为了了解某年级学习情况，计划从该年级504名学生中抽取50名学生作为样本，问如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？【解析】第一步：将504名学生随机编号为1，2，3，…，503，504；第二步：用抽签法或者随机数表法，剔除4个个体.这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3， (500)第三步：由于样本容量与总体容量的比为50：500=1：10，我们可将总体平均分成50部分，其中每一部分包含10 个个体，这样第一部分的个体编号为1，2，3，…，10；第二部分的个体编号为11，12，13，…，20；依次类推，第50 部分的个体编号为491，492，493， (500)第四步：从1到10号进行简单随机抽样，抽取一个号码，比如是5；第五步，依次在第2部分，第3部分，…，第50部分，取出号码分别为15，25，35，…，495.这样就得到了一个样本容量为50的样本.【变式2】某校高中三年级有学生322名，为了了解学生的某种情况，按1∶8的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．【解析】因为322÷8=40余2，故先剔除2名学生，把剩下的320名学生编号为1，2，3，…，320．把总体分为40个部分，每一个部分都有8个个体，例如第一部分的个体编号为：1，2，3，…，8．然后在第一部分随机抽取一个号码，比如6号，那么从6号开始，每隔8个号码抽取1个，得到号码6，14，22，30，…，310，318，这样就得到一个容量为40的样本．类型三：分层抽样例6．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本?（1）从20台彩电中抽取4台进行质量检验；（2）科学会堂有32排座位，每排有40个座位（座号为1～40），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下了座号为18的所有32名听众进行座谈；（3）光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本．【答案】（1）简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样．【解析】（1）所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法；（2）所述问题具有总体中的个体数较多，且每个个体无明显差异的特点，所以适宜用系统抽样法；（3）所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个层次，因此适宜用分层抽样法．【总结升华】总体容量较小宜用抽签法；总体容量较大，而样本容量较小宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大的宜用系统抽样法；总体是由差异明显的几个层次组成，宜用分层抽样法．举一反三：【变式1】一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何去抽取？方法一：将160人从1到160编上号，然后将用白纸做成的有1～160号的160个号签放入箱内搅匀，最后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．方法二：将160人从1至160编号，按编号顺序分成20组，每组8人，令1～8号为第一组，9～16号为第二组，……，153～160号为第20组．从第一组中用抽签方式抽到一个为k号（1≤k≤8），其余组是（k+8n）号（n=1，2，3，…，19），以此抽取20人．方法三：按20∶160=1∶8的比例，从业务员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数，他们合在一起恰好抽到20人．以上的抽样方法，依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是（）．A．方法一、方法二、方法三B．方法二、方法一、方法三C．方法一、方法三、方法二D．方法三、方法一、方法二【答案】C例7．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？【思路点拨】总体由不到35岁、35岁至49岁与50岁及50岁以上的个体构成，个体的差异较大，适合用分层抽样法．【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：（1）分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为10015005，则在不到35岁的职工中抽125×15=25（人）；在35岁至49岁的职工中抽280×15=56（人）；在50岁及50岁以上的职工中抽95×15=19（人）．（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．（4）综合每层抽样，组成样本．【总结升华】本小题主要考查分层抽样的概念和运算以及抽样过程. 求解总体由差异明显的个体构成的问题时，适合用分层抽样法.分层后，各层的个体数较多时，可采用系统抽样或随机数表法抽取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．举一反三：【随机抽样400439 例1】【变式1】某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生．【答案】40【变式2】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．【答案】37 20【变式3】某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为．【解析】采用分层抽样，抽样比为2:3:4，由题可知x=2,y=3.则调查小组的总人数为2+3+4=9人，即为9人.。

人教版高中数学必修三 第二章 统计2.1《随机抽样》知识梳理知识点一：简单随机抽样1．简单随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．简单随机抽样的分类简单随机抽样⎩⎨⎧随机数法抽签法 3．简单随机抽样的优点及适用类型简单随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个体数不多的情况下是行之有效的．知识点二：系统抽样1．系统抽样的概念先将总体中的个体逐一编号，然后按号码顺序以一定的间隔k 进行抽取，先从第一个间隔中随机地抽取一个号码，然后按此间隔依次抽取即得到所求样本．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，步骤为：(1)先将总体的N 个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n(n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n； (3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l ≤k)；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号(l ＋k)，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．知识点三：简单随机抽样1．分层抽样的概念 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．人教版高中数学必修三第二章统计2.1《随机抽样》跟踪检测一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是1 5B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．126．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，87．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. 22,100x s +B. 22100,100x s ++C. 2,x sD. 2100,x s +9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是()A．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.16712．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为()A．2个B．3个C．5个D．13个13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,614．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,5315．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,916．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. 18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.人．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：60人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？2.1《随机抽样》跟踪检测解答一、选择题1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行()A．测定一批炮弹的射程B．测定海洋水域的某种微生物的含量C．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况[答案] D2．为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，200个零件的长度是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量[答案] C3．某工厂质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品进行检测，这种抽样方法是()A．分层抽样B．简单随机抽样C．系统抽样D．以上都不对[答案] C[解析]按照一定的规律进行抽取为系统抽样．4.在100个零件中,有一级品20个,二级品30个,三级品50个,从中抽取20个作为样本:①采用随机抽样法,将零件编号为00,01,02,,99,抽出20个;②采用系统抽样法,将所有零件分成20组,每组5个,然后每组中随机抽取1个;③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取4个,二级品中抽取6个,三级品中抽取10个.则()A.不论采取哪种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15B.①②两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,③并非如此 C.①③两种抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率都是15,②并非如此 D.采用不同的抽样方法,这100个零件中每个被抽到的概率各不相同[答案] A[解析] 无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等.5．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( )A ．16B ．14C ．28D ．12[答案] A[解析] 运动员共计98人，抽取比例为2898＝27，因此男运动员56人中抽取16人．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则,x y 的值分别为( )A. 2，5B. 5，5C. 5，8D. 8，8[答案] C[解析] 由题意得x ＝15，16.8＝51(9＋15＋10＋y ＋18＋24) y ＝8，选C. 7．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样法B ．抽签法C ．随机数法D ．分层抽样法[答案] D[解析] 由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．8．某公司10位员工的月工资(单位:元)为1210,,,x x x ,其均值和方差分别为x 和2s ,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A. 22,100x s + B. 22100,100x s ++ C. 2,x s D. 2100,x s +[答案] D[解析] 设增加工资后10位员工下月工资均值为'x ,方差为2's , 则平均数()()()12101'10010010010x x x x =++++⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦ ()1210110010010x x x x =++++=+; ()()()222212101'100'100'100'10s x x x x x x ⎡⎤=+-++-+⋅⋅⋅++-⎣⎦ ()()()22221210110x x x x x x s ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦.故选D . 9．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概念进行分析；②它是从总体中逐个进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④[答案] D10．下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是( )A ．某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B ．某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样C ．从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样[答案] C[解析] A 中总体有明显层次，不适用系统抽样法；B 中样本容量很小，适宜用简单随机抽样法中的随机数法；D 中总体数很小，故适宜用抽签法，只有C 比较适用系统抽样法．11．某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167[答案] C[解析] 由图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯-=+= 故选C12．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．13个[答案] A[考点]分层抽样方法[分析]由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ，即可得出结论．解：由题意，设抽取的进口的标志灯的数量为x 个，则30030＝20x ， ∴x=2，故选A ．[点评]本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以做到知二求一．13．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是()A．12,24,15,9 B．9,12,12,7C．8,15,12,5 D．8,16,10,6[答案] D[解析]由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×4 20＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.14．对某商店一个月(30天)内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,53[答案] A[解析]样本中共有30个数据,中位数为4547462+=;显然样本中数据出现次数最多的为45,故众数为45;极差为68－12＝56,故选A.15．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的25人，剩下的为50岁以上的人，现在用分层抽样法抽取20人，则各年龄段人数分别是()A．7,4,6 B．9,5,6 C．6,4,9 D．4,5,9[答案] B[解析]各年龄段所选分别为20100×45＝9，20100×25＝5，20100×30＝6.16．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为()A．9 B．18 C．27 D．36[答案] B[解析]设该单位老年职工有x人，从中抽取y人．则160＋3x＝430⇒x＝90，即老年职工有90人，则90160＝y32⇒y＝18.故选B.二、填空题17．在学生人数比例为2∶3∶5的A，B，C三所学校中，用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出了6名志愿者，那么n＝________. [答案]30[解析]由题意，知22＋3＋5×n＝6，∴n＝30.18．博才实验中学共有学生1 600名，为了调查学生的身体健康状况，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知样本容量中女生比男生少10人，则该校的女生人数是________人．[答案]760[解析]设该校女生人数为x，则男生人数为(1 600－x)．由已知，2001 600×(1 600－x)－2001 600·x＝10，解得x＝760.故该校的女生人数是760人．19．某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户，高收入家庭1 000户，从普通家庭中以简单随机抽样方法抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方法抽取100户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收入家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是________．[答案] 5.7%[解析]∵990∶99 000＝1∶100，∴普通家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为50×100＝5 000(户)．又∵100∶1 000＝1∶10，∴高收入家庭中拥有3套或3套以上住房的大约为70×10＝700(户)．∴3套或3套以上住房的家庭约有5 000＋700＝5 700(户)．故5 700100 000＝5.7%.20．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是__________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．[答案]3720[解析]由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．21．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示.生活能否自理人数性别男女能178 278不能23 21人．[答案]60[解析]由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以该地区15 000位老人生活不能自理的男性比女性多2×15 000500＝60(人)．三、解答题22．某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱2 435 4 5673 926 1 07260人进行更为详细的调查，应当怎样进行抽样？解：可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占2 43512 000，应取60×2 43512 000≈12(人)；“喜爱”占4 56712 000，应取60×4 56712 000≈23(人)；“一般”占3 92612 000，应取60×3 92612 000≈20(人)；“不喜爱”占1 07212 000，应取60×1 07212 000≈5(人)．因此采用分层抽样在“很喜爱”、“喜爱”、“一般”和“不喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人．23．某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解：(1)将624名职工用随机方式编号由000至623.(2)利用随机数法从总体中剔除4人．(3)将剩下的620名职工重新编号由000至619.(4)分段，取间隔k＝62062＝10，将总体分成62组，每组含10人．(5)从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l.(6)按编号将l,10＋l,20＋l，…，610＋l，共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本．24．为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是3名学生设计的调查方案：学生A：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快估计出小区平均每户居民的月用水量．学生B：我给我们居民小区的每一个住户发一个用水量调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量．学生C：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估计出小区平均每户居民的月用水量．请问：对上述3种学生设计的调查方案能够获得平均每户居民的月用水量吗？为什么？你有什么建议？解：学生A的方法得到的样本不能够反映不上网的居民情况，是一种方便样本，所得的结果代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量；学生B 的方法实际上是普查，花费的人力物力要多一些，但是如果统计过程不出错，可以准确地得到平均每户居民的月用水量；在小区的每户居民都装有电话的情况下，学生C的方法是一种随机抽样方法，所得的样本具有代表性，可以比较准确地获得平均每户居民的月用水量．在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样的方法获取数据，即用学生C的方法，以节省人力物力，并且可以得到比较精确的结果.5、已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数3x =, 3.5y =,则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆy x =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆy x =-+ [答案] A[解析] 变量x 与y 正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.∵变量x 与y 正相关,∴可以排除C,D;样本平均数3x =, 3.5y =,代入A 符合,B 不符合,故选A.。

简单随机抽样与系统抽样____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力.2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣.3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．4. 理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣.1．初中我们学习了样本的有关知识，知道了总体、个体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、众数、中位数等概念，下面我们对这些概念进行回顾：(1)总体：我们所要考察对象的_______叫做总体，其中每一个考察对象叫做_______．(2)样本：从总体中抽出的若干个个体组成的_______叫做总体的一个样本，样本中个体的_______叫做样本容量．(3)个体：总体中的每个_______叫做个体．(4)样本容量：样本中个体的_______叫做样本容量．(5)平均数：一组数据的和与这组数据的个数的_______．(6)方差：各个数据与平均数差的平方和，与这组数据的个数的商．(7)标准差：方差的算术平方根．(8)众数：一组数据出现次数_______的数据．(9)中位数：一组数据按从小到大排成一列处于_______位置的数．2．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中_______________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_______，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)说明：我们所讨论的简单随机抽样都是_______的抽样，即抽取到某个个体后，该个体不再_______总体中．常用到的简单随机抽样方法有两种：_________(抓阄法)和_________．3. 简单随机抽样具有下列特点：①简单随机抽样要求总体中的个体数N 是有限的．②简单随机抽样抽取样本的容量n 小于或等于总体中的个体数N .③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为n N.④当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本．⑤逐个抽取即每次仅抽取一个个体．⑥简单随机抽样是不放回的抽样，即抽取的个体不再放回总体．4．抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N 个个体_______，把号码写在_______上，将号签放在一个容器中，搅拌_______后，每次从中抽取_______号签，连续抽取n 次，就得到一个容量为_______的样本．5.抽签法抽取样本的步骤：①将总体中的个体编号为1～N .②将所有编号1～N 写在形状、大小相同的号签上．③将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．④从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n 次．⑤从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．操作要点是：编号、写签、搅匀、抽取样本．6．随机数法随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．用随机数表法抽取样本的步骤：①将总体中的个体_______．②在随机数表中__________数作为开始．③规定一个方向作为从选定的数读取数字的_______．④开始读取数字，若不在编号中，则_______，若在编号中则_______，依次取下去，直到取满为止．(相同的号只计一次)⑤根据选中的号码抽取样本．操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本．说明：虽然产生随机数的方法很多，但在高中数学中，仅学习用随机数表产生随机数来抽样，即随机数表法．7．抽签法与随机数法的异同点剖析：相同点：(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体所含的个体是有限的；(2)都是从总体中逐个地、不放回地抽取．不同点：(1)抽签法比随机数法简单；(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本．8．系统抽样(1)定义：一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成_______的若干部分，然后按照预先制定的_______，从每一部分抽取_______个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)步骤：9. 系统抽样的特征：(1)当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样．(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n 表示不超过N n 的最大整数. (3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．(4)在每段上仅抽一个个体，所分的组数(即段数)等于样本容量．(5)第一步编号中，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等，不再重新编号．10．系统抽样与简单随机抽样的区别与联系面对实际问题，能准确地选择一种合理的抽样方法，对初学者来说至关重要．可采用以下原则：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法(也可用随机数表法)；(2)当总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法；(3)当总体容量较大，样本容量也较大时也可用系统抽样．类型一简单随机抽样的概念例1：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．练习1：(2015·北京师大附中)在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性()A．与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定练习2：(2015·孝感高一检测)现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验，下列说法正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80 D．样本容量是20练习3：下列问题中，最适合用简单随机抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量类型二抽签法的应用例2：某班有30名学生，要从中抽取6人参加一项活动，请用合适的抽样方法写出抽样的过程．练习1：某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法确定志愿小组成员，并写出抽样步骤．练习2：抽签法中确保样本代表性的关键是()A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回类型三随机数表法的应用例3：某车间工人加工了一批零件共40件，为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本？写出抽样步骤．练习1：用随机数表法进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定随机数表开始的数字，这些步骤的先后顺序应该是________．(填序号)练习2：假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60颗进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号________．练习3：为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数表法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是________位．类型四合理运用抽样方法例4：一个学生在一次理科综合学科竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道，请选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．练习1：现在有一种游戏，其用具为四副扑克，包括大小王在内共216张牌，参与人数为6人，并围成一圈．游戏开始时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，根据这张牌上的数字来确定抓牌的先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌的方法是不是简单随机抽样？练习2：为了了解2015年参加市运会的240名运动员的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量．下列说法正确的是()A．总体是240名运动员B．个体是每一个运动员C．40名运动员的身高是一个个体D．样本容量是40类型五系统抽样概念的理解例5：下列抽样中不是系统抽样的是()A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min抽取一件产品进行检验C．搞某项市场调查，规定在商店门中随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈练习1：某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是()A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．其他的抽样方法练习2：下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是()A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动B．从全校3 000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动C．从某市30 000名学生中，其中小学生有14 000人，初中生有10 000人，高中生有6 000人，抽取300名学生了解该市学生的近视情况D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板练习3：某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12 C．13 D．14类型六系统抽样方案的设计例6：为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15 000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．练习1：(2015·河北省衡水一中月考)将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号000,001，…，019，如果在第一组随机抽取的号码为015，则第30个号码为________．练习2：为了了解高二2 013名学生中使用数学教辅的情况，请你用系统抽样抽取一个容量为50的样本．练习3：中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样法抽样，其组容量为()A．10 B．100 C．1 000 D．10 000练习4：(2015·北京大学附中高考一轮单元复习精品练习)有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14 C．2,4,6,8 D．5,8,11,14类型七不同抽样方法的正确选取与比较例7：解答下列各题：(1)从某厂生产的703件产品中随机抽取70件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程；(2)从某厂生产的703件产品中随机抽取7件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，写出抽样过程；(3)从某厂生产的30件产品中随机抽取4件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，写出抽样过程．练习1：某工厂有一线职工650人，管理人员25人，现从一线职工中抽取25人，从管理人员中抽取2人到外单位进行参观学习，在这个抽样过程中，最适合的抽样方法为() A．随机数表法抽签法B．随机数表法C．系统抽样法抽签法D．抽签法1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本C．某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛D．一彩民从装有30个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取7个号签2．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号②获取样本号码③选定开始的数字④选定读数的方向⑤抽取样本这些步骤的先后顺序应为( )A．①②③④⑤B．①③④②⑤C．③②⑤①④D．⑤④③①②3．某报告厅有50排座位，每排有60个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18,78,138，…的50位听众进行座谈，这是运用了( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样D．有放回抽样4．为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本．那么总体中应随机剔除的个体数目是( )A．2 B．4 C．5 D．65．某中学从已编号(1～60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是( )A．6,16,26,36,46,56 B．3,10,17,24,31,38C．4,11,18,25,32,39 D．5,14,23,32,41,506．某市为了了解本市4 600名高三理科毕业生的数学成绩，要从中抽取200名进行数据分析，那么这次考察的总体为________，样本容量为________．7．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的编号是________．8．若总体中含有1 645个个体，按0001至1645进行编号，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．若第5段抽取的号码为190，则第1段应抽取的号码为________．9．某校高一年级有36名足球运动员，要从中抽出7人调查学习负担情况．试用两种简单随机抽样方法分别取样．10．某单位共有在岗职工624人，为了调查工人上班时，从离开家到来到单位的路上平均所用时间，决定抽取24名工人调查这一情况，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）一、选择题1．从某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生成绩的全体是()A．总体B．个体C．从总体中所取的一个样本D．总体的容量2．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为270 9的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验3．下列抽样实验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件产品中取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验4．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A.08C．02 D．015．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是()A．要求总体中的个体数有限B．从总体中逐个抽取C．这是一种不放回抽样D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关6．用随机数法从100名学生(男生30人)中抽取10人，则某女生被抽到的可能性为()A.1100 B.130C.170 D.110二、填空题7．从10个“08奥运福娃”玩具中任取一个检验其质量，则应采用的抽样方法为________．8．现有30个零件，从中抽取10个进行检查，用随机数表法进行抽样，方法步骤如下：第一步，将30个零件编号00,01,02， (29)第二步，在下面的随机数表中，从第3行第3列数开始向右读，得到抽取的样本号码依次是________．第三步，所得号码对应的10件产品就是所需抽取的对象．16 12 77 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7884 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6763 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7533 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3857 60 86 32 4409 47 27 96 5449 17 46 09 62三、解答题9．上海某中学从40名学生中选1名作为上海男篮拉拉队的成员，采用下面两种方法：方法一将这40名学生从1～40进行编号，相应的制作写有1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签对应的学生幸运入选．方法二将39个白球与一个红球混合放在一个暗箱中搅拌均匀，让40名学生逐一从中摸取一个球，摸到红球的学生成为拉拉队的成员．试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？这两种方法有何异同？10．(2015·上海高一检测)2011年5月，西部志愿者计划开始报名，上海市闸北区共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程．基础巩固（2）一、选择题1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较小的总体B．总体容量较大C．个体数较多但均衡无差异的总体D．任何总体2．某校高三年级有12个班，每个班随机的按1～50号排学号，为了了解某项情况，要求每班学号为20的同学去开座谈会，这里运用的是()A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．以上都不是3．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性() A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为502007D．都相等，且为1 404．用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是()A．7 B．5C ．4D ．35．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人进行问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽的编号可能为( )A ．5,10,15,20B ．2,6,10,14C ．2,4,6,8D ．5,8,9,146．从N 个号码中抽n 个号码作为样本，考虑用系统抽样法，抽样间距为( )A ．[N n] B.N n C ．nD ．[N n]＋1 二、填空题7．某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是________．8．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 号码的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．三、解答题9．某集团有员工1 019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人．如何确定人选？10．一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取的号码的后两位数为x ＋33k 的后两位数．(1)当x ＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x 的取值范围．能力提升（1）一、选择题1．下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是( )A ．某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B ．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1 135个村庄中抽取50个进行收入调查C ．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D ．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5 000人中抽取200人进行统计2．某总体容量为M ，其中带有标记的有N 个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m 的样本，则抽取的m 个个体中带有标记的个数估计为( )A.mN MB.mM NC.MN m D ．N3．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为( )A ．36%B ．72%C ．90%D ．25%4．(2015·聊城高一检测)某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a ，第二次被抽到的可能性为b ，则( )A ．a ＝310，b ＝29B ．a ＝110，b ＝19C ．a ＝310，b ＝310D ．a ＝110，b ＝110二、填空题5．某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，以每人被抽取的机会为0.03，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，则样本容量n 为________．6．2010年3月，山西曝出问题疫苗事件，山西药监局对某批次疫苗进行检验，现将从800支疫苗中抽取60支，在利用随机数表抽取样本时，将800支疫苗按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检验的5支疫苗的编号是________(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)．84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 217633 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 8673 58 07 44 39 52 38 7933 2112 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 5100 13 42 99 66 02 79 54三、解答题7．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的节能灯，准备从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？8．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高进行调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？能力提升（2）一、选择题1．(2015·海南海口检测)某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是()A．25 B．133C．117 D．882．(2015·山东临沂期中)为了解1202名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40 B．30C．20 D．123．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7 B．9C．10 D．154．(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从495到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为() A．26,16,8 B．25,17,8C．25,16,9 D．24,17,9。

第三章 简单随机抽样第一节 简单随机抽样概述一、简单随机抽样的概念简单随机抽样也叫作纯随机抽样。

其概念可有两种等价的定义方法：定义之一：简单随机抽样就是从总体N 个抽样单元中，一次抽取n 个单元时，使全部可能的)(Nn A 种不同的样本被抽到的概率均相等，即都等于1/A 。

按简单随机抽样，抽到的样本称为简单随机样本。

按上述定义，在抽取简单随机样本之前，应将所有可能的互不相同的样本一一列举出来。

但当N 与n 都比较大时，要列出全部可能的样本是不现实的。

因此，按上述定义进行抽样是不太方便的。

定义之二：简单随机抽样是从总体的N 个抽样单元中，每次抽取一个单元时，使每一个单元都有相等的概率被抽中，连续抽n 次，以抽中的n 个单元组成简单随机样本。

由于定义二无需列举全部可能的样本，故比较便于组织实施。

但按这个定义进行抽样时，仍然需要掌握一个可以赖以实施抽样的抽样框。

二、简单随机抽样的具体实施方法常用的有抽签法和随机数法两种。

(一)抽签法抽签法是先对总体N 个抽样单元分别编上1到N 的号码，再制作与之相对应的N 个号签并充分摇匀后，从中随机地抽取n 个号签(可以是一次抽取n 个号签，也可以一次抽一个号签，连续抽n 次)，与抽中号签号码相同的n 个单元即为抽中的单元，由其组成简单随机样本。

抽签法在技术上十分简单，但在实际应用中，对总体各单元编号并制作号签的工作量可能会很繁重，尤其是当总体容量比较大时，抽签法并不是很方便，而且也往往难以保证做到等概率。

因此，实际工作中常常使用随机数法。

(二)随机数法随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。

由于计算机产生的随机数实际上是伪随机数，不是真正的随机数，特别是直接采用一般现成程序时，产生的随机数往往不能保证其随机性。

因此，一般使用随机数表，或用随机数骰子产生的随机数，特别在n 比较大时。

1、随机数表及其使用方法随机数表是由0到9的10个阿拉伯数字进行随机排列组成的表。

随机抽样【学习目标】1. 正确理解随机抽样的概念，掌握简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的概念；2. 掌握简单随机抽样、系统抽样及分层抽样的步骤.【知识预备】一、简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.（2）简单随机抽样必须具备下列特点：（1）抽签法的定义:（2）抽签法的一般步骤：思考：你认为抽签法有什么优点和缺点：当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？3．随机数法（1）随机数法的定义：利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法.【典型例题】例1、（1）某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？(2)现有30个零件、需从中抽取10个进行检查，如何利用抽鉴法得到一个容量为10的样本？【课堂练习】1．从50个产品中随机抽取10个进行检查，则总体个数为，样本容量为 . 2．对于简单随机抽样，有以下几种说法，其中不正确的是（）A．要求总体的个数有限B．从总体中逐个抽取C．这是一种不放回抽样D．每个个体被抽到的机会与抽取先后有关3．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号，②获取样本号码，③选定开始的数字.这些步骤的先后顺序应为（）A．①②③B．①③② C．③②① D．③①②4.从3名男生、2名女生中随机抽取2人，检查数学成绩，则抽到的均为女生的可能性是 .5.为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是240 B. 个体是每一个学生 C. 样本是40名学生 D. 样本容量是40 6.为了正确所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量7.一个总体中共有200个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则某一特定个体被抽到的可能性是 .二、系统抽样1、系统抽样的定义：2、系统抽样的特征：3、系统抽样的一般步骤：【典型例题】例1．某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程.例2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是( ) A．5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D. 2，4，6，16，32【课堂练习】1.下列抽样试验中，最适宜用系统抽样的是( )A．从某厂生产的15件产品中随机抽取5件入样B．从某厂生产的1 000件产品中随机抽取10件入样C．从某厂生产的1 000件产品中随机抽取100件入样D．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定调查人数为止2.为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A.40B.30C.20D.123.为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目（）A.2B.4C.5D.64.用系统抽样的方法从个体数为1003的总体中抽取一个容量为50的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为（）A.11000B.11003C.501003D.5010005.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001,0002,0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第40个号码为____________6.从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B. 5，16，27，38，49C．2, 4, 6, 8, 10 D. 4，13，22，31，407.采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为（）A．18B.1083C．1085D.198.某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是抽样方法.三、分层抽样1．分层抽样的定义：2．分层抽样的步骤：3 .简单随机抽样、系统抽样、分层抽样表【典型例题】例1.分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（）A.每层等可能抽样B.每层不等可能抽样C.所有层按同一抽样比等可能抽样例2. 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（） A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20例3.某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人【课堂练习】1.一电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如下表所示：打算从中抽取60人进行详细调查，如何抽取？2.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)．则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法3.某单位有老年人45人，中年人55人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是（）A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老人中剔除1人，然后再分层抽样4.某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为人，A型血应抽取的人数为人，B型血应抽取的人数为人，AB型血应抽取的人数为人.5.某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n=6．上海大众汽车厂生产了A、B、C三种不同型号的小轿车，产量分别1 200辆、6 000辆、2 000辆，为检验这三种型号的轿车质量，现在从中抽取46辆进行检验，那么应采用___________抽样方法，其中B型号车应抽查__________辆．7．某商场有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油与果蔬类食品种数之和是A．4 B．5 C．6 D．78.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为A．7 B． 15 C． 25 D．359.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是A．12，24，15，9 B． 9，12，12，7C．8，15，12，5 D．8，16，10，610.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为2:3:5，现用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本，样本中A型产品有16种，那么此样本容量n=_____．。

第二章统计2.1 随机抽样1．抽样的必要性在实际中要全面了解总体的情况，往往难以做到，一般也不可能或没有必要对每个个体逐一进行研究．因为：①一些总体中包含的个体数通常是大量的甚至是无限的．如不可能对所有的灯泡进行试验，记录每一个灯泡的使用寿命；②一些总体具有破坏性．如不可能对所有的炮弹进行试射；③一些调查具有破坏性．如不可能对地里所有的种子是否发芽都挖出来检验；④全面调查（普查）往往要浪费大量的人力、物力和财力．所以常通过从总体中抽取一部分个体，根据对这一部分个体的观察研究结果，再去推断和估计总体情况，即用样本估计总体一一这是统计学的一个基本思想．2．相关概念回顾（1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体．（2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体．（3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．3．简单随机抽样（1）概念)，如果每次一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个___________地抽取n个个体作为样本(n N抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都___________，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．（2）两种常用的简单随机抽样方法①抽签法(抓阄法)：一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．抽签法简单易行，当总体中的个体数___________时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．②随机数法：随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的．随机数表法简单易行，不论总体容量是多少都可以使用，它很好地解决了用抽签法当总体容量较多时制签难的问题．但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．（3）简单随机抽样的特征：①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作．③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算．④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平性．4．系统抽样（1）概念在抽样中当总体个体数___________时，可将总体分成___________的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取___________个体，得到所需的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．（2）步骤一般地，假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：①先将总体的N 个个体编号，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等． ②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取N k n=． ③在第1段用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号()l l k ≤．④按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号()l k +，再加k 得到第3个个体编号(2)l k +，依次进行下去，直到获取整个样本．注意：若N n不是整数，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．另外，系统抽样适用于总体容量较大，且个体之间无明显差异的情况．5．分层抽样一般地，在抽样时，将总体分成___________，然后按照___________，从各层独立地抽取一定数量的个体，将___________取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的．6．三种抽样方法的区别和联系三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：抽样方法共同点特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等从总体中逐个抽取样本容量较小系统抽样将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体容量较大分层抽样将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成K知识参考答案：3．（1）不放回相等（2）①不多4．（1）较多均衡一个5．互不交叉的层一定的比例各层K—重点简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的特点和一般步骤K—难点正确理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系，灵活应用三种抽样方法抽样K—易错容易混淆三种抽样方法的适用条件，从而不能选择合适的方法进行抽样一、简单随机抽样要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：有限性、逐一性、不放回性、等可能性.（1）总体是数值指标的全体，例如，要考察某班男生的身高，则总体为该班全部男生的身高数据，而不是该班的男生．（2）个体是总体的一个元素，因此构成总体的每一个数值指标都为个体．（3）样本是总体的一部分，因此样本中所含个体的数量不能超过总体的数量，样本中个体的来源为总体中的个体．1．抽签法（1）对于抽签法，注意：①号签的大小、形状要完全相同.②抽签前需将号签搅拌均匀．（2）抽签法的优点：抽签法简单易行，当总体中的个体数不多时，使总体处于“搅拌均匀”的状态比较容易，这时，每个个体有均等的机会被抽到，从而能够保证样本的代表性（3）抽签法的缺点：①当总体中的个体数较多时，制作号签的成本就会增加，使得抽签的成本增加；②）号签很多时，把它们搅拌均匀就比较困难，很难保证每个个体人选样本的等可能性，从而产生坏样本（即代表性差的样本）的可能性增加．2．随机数表法（1）对于随机数表法，注意：①抽样过程中选定的初始数和读数的方向是任意的.②若用题中所给的编号，但编号位数不统一时，可在位数少的数前添加“0”来调整.③读数时应结合编号特点进行读取，如：编号为两位，则两位、两位地读取；编号为三位，则三位、三位地读取．（2）随机数表的形成随机数表由数字0，1，2，…，9组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的（随机数表不是唯一的，只要符合各个位置出现各个数字的可能性相同的要求，就可以构成随机数表．常用的方法是通过随机数生成器，例如使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能，可以生成一张随机数表，通常根据实际需要和方便使用的原则，将几个数组合在一起，如5个数一组，然后通过随机数表抽取样本）（3）随机数表法的步骤①编号．将N个个体编号，这里所谓的编号，实际上是编数字号码．例如：将100个个体编号成00，01，02，...，99，而不是编号成0，1，2， (99)此外，将起始号码选为00，而不是01，这样可使100个个体都可用两位数字号码表表示，便于运用随机数表取数．②选定初始值（数）．为了保证所选数字的随机性，在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置．③选号．从选定的数字开始按照一定的方向读下去，得到的号码若不在编号中或已被选用，则跳过，直到选满n个为止．④确定样本．按步骤③选出的号码从总体中找出与其对应的个体，组成样本．（4）随机数表法的优缺点优点：简单易行，不论总体容量是多少都可以使用，它很好地解决了用抽签法当总体容量较大时制签难的问题．缺点：当总体容量很大，需要的样本容量也很大时，利用随机数表法抽取样本仍不方便．【例1】某单位举办一场活动，共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程.【答案】答案详见解析.【名师点睛】一个抽样试验能否用抽签法，关键看制作号签是否方便以及号签是否容易被搅拌均匀.（1）用随机数表法抽取样本时，任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上或向下，因此根据同一个随机数表所抽取的样本并不是唯一的．（2）由于随机数表中各数出现的机会是相等的，因此利用随机数表法抽取的样本保证了个体被抽到的可能性是相等的．（3）若个体的编号是三位数，则从随机数表中选定的数字开始，每次连续读取三个数为一个号码．（4）由于需要编号，如果总体中的个体数目大多，采用随机数表法进行抽样就显得不太方便．【例2】为了适应新高考改革，尽快推行不分文理科教学，对比目前文理科学生考试情况进行分析，决定从80名文科同学中抽取10人，从300名理科同学中抽取50人进行分析.由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取，你能选择合适的方法设计抽样方案吗?试一试.【答案】答案详见解析.【解析】文科生抽样用抽签法，理科生抽样用随机数表法，抽样过程如下：（1）先抽取10名文科同学：第一步，将80名文科同学依次编号为1，2，3， (80)第二步，将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上，制成号签；第三步，把80个号签放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取10次；第四步，与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本.（2）再抽取50名理科同学：第一步，将300名理科同学依次编号为001，002， (300)第二步，拿出随机数表前先确定起始位置，并确定读数方向(可以向上、向下、向左或向右)，然后每次读取三位，凡不在001~300范围内的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次下去，可以得到50个号码；第三步，这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本.【名师点睛】利用随机数表法抽取个体时，关键是确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点，以哪个方向作为读数的方向.二、系统抽样解决系统抽样问题的关键步骤为：（1）分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本.（2）起始编号的确定应用随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．【例3】某电视机厂每天生产1000台电视机，要求质检员每天抽取30台，检查其质量状况，请你设计一个调查方案．【答案】答案详见解析.【解析】我们可采用系统抽样，方案如下：第一步，把一天生产的电视机分成30组，由于100030的商是33，余数是10，所以每组有33台电视机，还剩10台，抽样间隔为33；第二步，用简单随机抽样的方法从总体中抽取10台电视机，不进行检验；第三步，将剩下的电视机进行编号，编号分别为0，1，2， (989)第四步，从第一组(编号为0，1，2，3，…，32)的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取1台电视机，比如说其编号为k；第五步，顺序地抽取编号分别为下面数字的电视机：k+33，k+66，k+99，…，k+29×33，这样总共抽取了30个样本，对这30个样本进行检验.【名师点睛】系统抽样不一定就是等距离的抽样，即系统抽样只要按照一定的规则在每段内抽出一个样本即可，样本与样本之间的间隔距离可以不相等．三、分层抽样若总体中已经分成差异明显的几层，则适合用分层抽样法抽取样本. 对于分层抽样中的比值问题，求解时，常用的技巧为：=n N 样本容量该层抽取的个体数总体的个数该层的个体数，总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.【例4】某校高一年级500名学生中，血型为O 型的有200人，血型为B 型的有125人，血型为AB 型的有50人，血型为A 型的有125人．为了研究血型与色弱之间的关系，要从中抽取一个容量为20的样本，应如何抽样？请写出抽样过程．【答案】答案详见解析．【解析】应采用分层抽样法，具体步骤如下：第一步，分层.按血型分为4层．第二步，确定各层抽取的人数． 因为抽样比为20150025=，所以从血型为O 型的人中抽取1200825⨯=（人）， 从血型为B 型的人中抽取1125525⨯=（人）， 从血型为AB 型的人中抽取150225⨯=（人）， 从血型为A 型的人中抽取1125525⨯=（人）． 第三步，按分层抽样抽取分别在4种血型的人中用简单随机抽样的方法抽取样本．【名师点睛】在分层抽样中，确定抽样比是抽样的关键．1．对于简单随机抽样，下列说法中正确的为①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中按排列顺序逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④2．某校期中考试后，为分析该校高二年级2000名学生的学习成绩，从中随机抽取了200名学生的成绩单，下面说法正确的是A．2000名学生是总体B．每个学生是个体C．200名学生的成绩是一个个体D．样本容量是2003．总体由编号为00，01，02，…48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第4个个体的编号为附：第6行至第9列的随机数表：26 35 79 00 33 70 91 60 16 20 38 82 77 57 49 5032 11 49 19 73 06 49 16 76 77 87 33 99 74 67 3227 48 61 98 71 64 41 48 70 86 28 88 85 19 16 2074 77 01 11 16 30 24 04 29 79 79 91 96 83 51 25A．3 B．16 C．38 D．494．某年级文科班共有4个班级，每班各有40位学生（其中男生8人，女生32人）．若从该年级文科生中以简单随机抽样抽出20人，则下列选项中正确的是A．每班至少会有一人被抽中B．抽出来的女生人数一定比男生人数多C．已知小文是男生，小美是女生，则小文被抽中的概率小于小美被抽中的概率D．若学生甲和学生乙在同一班，学生丙在另外一班，则甲、乙、丙三人各自被抽中的概率相等5．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是A．110，110B．310，15C．15，310D．310，3106．将高一（10）班的所有学生按体重大小排成一路纵队，用掷骰子的方法在前六名学生中任选一名，用里l表示该名学生在队列中的序号．将队列中序号为（l+6k）（k=1，2，3，…）的学生抽出作为样本，这里运用的抽样方法是A．系统抽样法B．抽签法C．随机数表法D．简单随机抽样法7．一个年级共有20个班，每个班学生的学号都是1～50，为了交流学习的经验，要求每个班学号为22的学生留下，这里运用的是A．分层抽样法B．抽签法C．随机抽样法D．系统抽样法8．在一个个体数目为1201的总体中，利用系统抽样抽取一个容量为30的样本，则需要把总体分成几组A．400 B．30 C．401 D．319．某校有男生450人，女生500人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为95的样本，则抽出的男生人数是A．45 B．50 C．55 D．6010．要从1000个球中抽取100个进行抽样分析，其中红球共有50个，如果用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球A．33个B．20个C．5个D．10个11．将一个总数为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取的个体数为A．20 B．30 C．40 D．5012．某中学高中学生有900名．为了考察他们的体重状况，打算抽取容量为45的一个样本．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生．若采取分层抽样的办法抽取，则高二学生需要抽取的学生个数为A．20人B．15人C．10人D．5人13．我校现有教职工320人，其中专任教师有248人，教辅人员48人，后勤人员24人，现用分层抽样从中抽取一容量为40的样本，则应抽取教辅人员的人数为A．4 B．6 C．8 D．3114．某单位有若干名员工，现抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为2∶1∶2，已知抽到10位中年人，则样本容量为A．40 B．100 C．80 D．5015．从50个产品中抽取10个进行检查，则总体个数为__________，样本容量为__________．16．总体有编号为001，002，…，599，600的600个个体组成．利用下面的随机数表选取60个个体，选取方法是从随机数表第8行第8列的数8开始向右读，则选出来的第5个个体的编号为__________．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 6378 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 7864 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．17．在某年有奖明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式，确定号码的后四位数为2709的为三等奖，这样确定获奖号码的抽样方法是____________．18．某工厂生产的产品用传送带将其送入包装车间之前，质检员每隔5分钟从传送带某一位置取一件产品检测，则这种抽样方法是____________．19．某初级中学采用系统抽样的方法，从该校全天800名学生中抽50名学生作牙齿检查，现将800名学生从1到800进行编号，在1–16中随机抽取了一个数，如果抽到的是7，则从49–64中应取的号码是____________．20．某学校高一年级为了表彰第一次月考成绩优异者，需要5件不同的奖品，这些奖品要从由1–200编号的200件不同奖品中随机抽取确定，用系统抽样的方法确定其中一件奖品编号为6，则其他四件奖品编号为____________．21．某班共有56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为____________．22．将某班的120名学生编号为001，002，…，120，采用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，且随机抽样的一个号码为04，则剩下的五个号码依次是____________．23．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有128人，超过45岁的有72人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工__________人．24．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为2∶3∶5，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为150的样本，则应从高二年级抽取__________名学生．25．某校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生．采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高二年级被抽取10人，若高三年级共有300人，则此学校共有__________人．26．从N个编号中要抽取n个号码入样，若采用系统抽样方法抽取，则分段间隔应为（[Nn]表示Nn的整数部分）A．NnB．n C．[Nn] D．[Nn]+127．某校高中部共n名学生，其中高一年级450人，高三年级250人，现采用分层抽样的方法从全校学生中随机抽取60人，其中从高一年级中抽取27人，则高二年级的人数为A．250 B．300 C．500 D．100028．某鱼贩一次贩运糟鱼，青鱼，鲢鱼，鲤鱼及鲫鱼各有80条、20条、40条、40条、20条，现从中抽取一个容量为20的样本进行重量检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的青鱼和鲤鱼共有A．6条B．8条C．10条D．12条29．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你写出第二个被检测的种子的编号__________．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．30．一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是____________．31．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为____________．32．某中学高一年级有x个学生，高二年级共有900个学生，高三年级有y个学生，采用分层抽样抽一个容量为370人样本，高一年级抽取120人，高三年级抽取100人，则全校高中部共有多少学生？33．某企业共有3200名职工，其中，中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？34．某农场在三类土地上种植某种试验作物工，其中平地种了150亩，河沟地种了30亩，坡地种了90亩，为了研究这种试验作物和，准备抽取18亩作为研究对象，应该采用哪种抽样方法更合理？分别抽取多少亩？35．某校有学生2000人，其中高一年纪的学生与高三年级的学生之比为3∶4，从中抽取一个容量为40的样本，高二年级恰好抽取了12人．求各年级的人数及高一年级、高三年级各抽取的人数．36．（2018•新课标Ⅲ）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是___________．37．（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___________件．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10C D C D A A D B A C11 12 13 14 26 27 28A B B D C B A1．【答案】C【解析】①简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限，正确；②简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，不正确；③简单随机抽样是一种不放回抽样，正确；④简单随机抽样是一种等可能抽样，即每个个体被抽取的可能性相等，正确．故选C．4．【答案】D【解析】在抽样过程中，不管使用什么抽样，每个个体被抽到的概率都相等，从该年段文科生中以简单随机抽样抽出20人，所有班的学生被抽到的概率都一样，男生女生被抽到的概率都一样，简单随机抽样，每个个体被抽中的概率相等，故选D．5．【答案】A【解析】在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，∵总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A．6．【答案】A【解析】∵将队列中序号为（l+6k）（k=1，2，3，…）的学生抽出作为样本，∴抽出样本的间距为6，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选A．7．【答案】D【解析】一个年级有20个班，每个班学生的学号都是1～50，要求各班学号为22的学生参加交流活动，这里运用的抽样方法是系统抽样，故选D．8．【答案】B【解析】∵利用系统抽样抽取一个容量为30的样本，则需要把总体分成30组，故选B．9．【答案】A【解析】男生有450人，女生有500人，用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为95的样本，则抽出的男生人数是95×450450500+=45．故选A．10．【答案】C【解析】要从1000个球中抽取100个进行抽样分析，其中红球共有50个，∴抽样比f=1001 100010=，用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽取红球：50×110=5个．故选C．11．【答案】A【解析】∵A、B、C三层，个体数之比为5∶3∶2．又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取100×210=20．故选A．14．【答案】D【解析】根据分层抽样原理，抽取中年人的频率是112125=++，所以样本容量为n=10÷15=50．故选D．15．【答案】50，10【解析】由题意知，总体个数为50，样本容量为10，故答案是：50，10．16．【答案】443【解析】从随机数表第8行第8列的数开始向右读，选的第一个个体的编号为555，∵671、998>600，∴选的第二个个体的编号为105；选的第三个个体的编号为071；∵751>600，∴选的第四个个体的编号为286；∵735、807>600，∴选的第五个个体的编号为443．故答案为：443．17．【答案】系统抽样【解析】本抽样方式按照随机抽取的方式确定后四位数为2709的号码作为中奖号码，所抽取号码间隔相同，为系统抽样．故答案为：系统抽样．。

简单的随机抽样学科：数学教学内容：简单的随机抽样【学习目标】1．体会随机抽样是了解总体情况的—种重要的数学方法，抽样是它的一个关键．2．体会简单的随机抽样的调查方法的科学性．3．会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查．【基础知识精讲】1．简单的随机抽样先将总体中每个个体编号，然后用抽签的办法(产生随机数)决定哪些个体进入样本，这样对每个个体都公平，每个个体都有被抽中的可能，但我们不能预测到哪些个体会被抽中，用这样简单的随机抽样方法选取出的样本很公平．2．样本要具有代表性，要避免遗漏某一群体例如要了解喜欢足球的学生人数占全年级总人数的百分比，在足球场上向30位同学做调查，这样选取的样本“太特殊”，不具代表性．注意：(1)选取的样本不能太小．(2)防止太大的“盲目性”．(3)样本要具有代表性．【经典例题精讲】例1老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最后面的小胖为了争速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．分析：因为小胖他们四个坐在教室最后面，所以他们的身高平均数就会大于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．注意：从总体中选取的样本必须具有代表性，不然，就会犯小胖和错误．例2甲同学说：“6，6，6…啊!真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．”乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数，就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．”分析：这两位同学的说法都不正确，因为几次经验说明不了什么问题．注意：简单的随机抽样选取的样本要足够大．例3小强的自行车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件．为此，他和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件．分析：这样抽样调查是不合适的，虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区没有中学生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭．注意：样本容量选取的虽然大，但要克服片面性．【中考考点】简单的随机抽样在中考题中，主要渗透在填空题、选择题中．例4小芳为了知道饭煮熟了没有，从饭煲中舀出一勺饭尝试，这样抽样调查的方法是_______的(填“合适”或“不合适”)．分析：本题应看简单的随机抽样是否具有代表性．答案：合适．例5有四位同学从编号1～50的总体中抽取8个个体组成一个样本，他们选取的样本中个体编号分别为：①5，10，15，20，25，30，35，40．②43，44，45，46，47，48，49，50．③1，3，5，7，9，11，13，15．④43，25，2，17，35，9，24，19．你认为样本( )较具有随机性．A．④B．③C．②D．①答案：A．注意：用简单的随机抽样方法选取的样本要公平，具有代表性．【常见错误分析】例6为了了解某厂家生产的某种罐装肉食的质量，某商场采购人员用计算器产生了3个随机数：8，2，5．于是他打开第8箱，取出第2层第5个罐头检验其质量，这种抽样调查的方法是________的(填“合适”或“不合适”)．错解：不合适．误区分析：对使用计算器产生随机数的抽样调查方案了解的少应用的也少．正解：合适．【学习方法指导】1．结合简单的随机抽样的方法来判断是抽样调查还是普查．2．能根据简单的随机抽样的特点对选取样本的方法作出判断，并会说明理由．【规律总结】1．简单的随机抽样具有代表性．2．使用计算器产生随机数也是简单的随机抽样的一种方法．【同步达纲练习】1．以下调查适合作抽样调查的是________，适合作普查的________(只需填序号)．(1)了解全国食用盐加碘的情况．(2)对初三(2)班学生睡眠时间的调查．(3)对构成人造卫星部件的检查．(4)对一批灯泡的使用寿命的检查．(5)“非典”流行期间，学校为了了解学生们的健康状况，调查每位学生每日的体温．2．某教育网站正在就问题“中小学生对上课拖堂现象的反应”进行在线调查，你认为调查结果________普遍代表性(填“具有”或“不具有”)．3．为了了解本校同学喜欢球类运动的情况，请你设计一个简单的随机抽样调查的方案．参考答案【同步达纲练习】1．①④，②③⑤．2．不具有．3．分别从各个年级和班级中随机抽取样本．。

⼈教版⾼中数学必修三第⼆章统计随机抽样练习题及答案随机抽样练习题⼀、选择题1. 台州市某电器开关⼚⽣产车间⽤传送带将产品送⾄下⼀⼯序，质检⼈员每隔半⼩时在传送带上取⼀件产品进⾏检验，则这种抽样⽅法是( )A ．抽签法B ．系统抽样C ．分层抽样D ．随机数表法2. 从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进⾏合格检查，发现合格品有36个，则该批产品的合格率为（）A.36%B.72%C.90%D.25%3. 从2008名学⽣中选取50名学⽣参加数学竞赛，若采⽤下⾯的⽅法选取：先⽤简单随机抽样从2008⼈中剔除8⼈，剩下地2000⼈再按系统抽样的⽅法抽取50⼈，则在20008⼈中，每⼈⼊选的机会（）A ．不全相等 B. 均不相等C. 都相等，且为 100425.D. 都相等，且为401. 4. 10、在下列说法中，正确的是（）A.在循环结构中，直到型先判断条件，再执⾏循环体，当型先执⾏循环体，后判断条件B.做n 次随机试验，事件A 发⽣m 次，则事件A 发⽣的频率m/n 就是事件A 发⽣的概率C.从含有2008个个体的总体中抽取⼀个容量为100的样本，现采⽤系统抽样⽅法应先剔除8⼈，则每个个体被抽到的概率均为201 D.如果将⼀组数据中的每⼀个数都加上同⼀个⾮零常数，那么这组数据的平均数改变，⽅差不变化5. ⽤随机数法从100名学⽣（⼥⽣25⼈）中抽选20⼈进⾏评教，某⼥⽣⼩张被抽到的概率是（）A ．1001 B. 251 C.51 D.416. 某班的78名同学已编号1,2,3,…,78,为了解该班同学的作业情况,⽼师收取了学号能被5整除的15名同学的作业本,这⾥运⽤的抽样⽅法是( )A ．简单随机抽样法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．抽签法7. ⼀个年级有16个班级，每个班有50名学⽣，把每个班级的学⽣都从1到50号编排．为了交流学习经验，要求每班编号为14的学⽣留下进⾏交流．这⾥运⽤的是（）．A.分层抽样 B.抽签法 C.随机数表法 D.系统抽样8. 某影院有60排座位，每排70个座号，⼀次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60⼈进⾏座谈，这是运⽤了（）A 、抽签法B 、随机数法C 、系统抽样法D 、分层抽样法9. 为了解A 、B 两种轮胎的性能，某汽车制造⼚分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进⾏测试，下⾯列出了每⼀种轮胎⾏驶的最远⾥程数（单位：1000km ）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（）A、轮胎AB、轮胎BC、都⼀样稳定D、⽆法⽐较10. 从⼀副标准的52张的扑克牌中随机地抽取⼀张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（）A、1/26B、13/54C、1/13D、1/411. 从⼀箱产品中随机地抽取⼀件，设事件A=“抽到⼀等品”，事件B=“抽到⼆等品”，事件C=“抽到三等品”，且已知P（A）=0.65,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。

第一节 随机抽样一、基础知识 1．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本．(2)常用方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 3．系统抽样(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样． (2)系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本． ①先将总体的N 个个体编号；②确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝Nn ；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可先用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按系统抽样进行.这时在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性仍然相等.③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；④按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．二、常用结论(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的． (2)系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔k 的整数倍． (3)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比． (4)三种抽样方法的特点、联系及适用范围考点一 简单随机抽样[典例] 下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数有( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；③用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验；④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③明显为简单随机抽样；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样． [答案] B[解题技法] 应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． [题组训练]1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08 B ．07 C ．02D ．01解析：选D 由随机数法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.2．利用简单随机抽样，从n 个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为13，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A.14B.13C.514D.1027解析：选C 根据题意，9n －1＝13，解得n ＝28.故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为1028＝514.考点二 系统抽样[典例] (1)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( )A ．16B ．17C ．18D ．19 (2)中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除________个个体，抽样间隔为________． [解析] (1)因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为1 00040＝25，设第一组随机抽取的号码为x ，则抽取的第18组编号为x ＋17×25＝443，所以x ＝18.(2)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10，余数是2，所以每组有10名观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3，…，500，并均匀分成50段，每段含50050＝10个个体．所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.[答案] (1)C (2)2 10 [变透练清]1.(变结论)若本例(1)的条件不变，则编号落入区间[501,750]的人数为________．解析：从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，系统抽样分40组，每组1 00040＝25个号码，每组抽取一个，从501到750恰好是第21组到第30组，共抽取10人． 答案：102．(2018·南昌摸底调研)某校高三(2)班现有64名学生，随机编号为0,1,2，…，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________．解析：由题知分组间隔为648＝8，又第1组中抽取的号码为5，所以第6组中抽取的号码为5×8＋5＝45.答案：45[解题技法] 系统抽样中所抽取编号的特点系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．[提醒] 系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．考点三 分层抽样[典例] 某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )A ．25,25,25,25B ．48,72,64,16C ．20,40,30,10D ．24,36,32,8[解析] 法一：因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为 4 800×1200＝24,7 200×1200＝36，6 400×1200＝32,1 600×1200＝8.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.[答案] D[解题技法] 分层抽样问题的类型及解题思路 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．[题组训练]1．(2019·山西五校联考)某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查，若高二被抽取的人数为30，则n ＝( )A ．860B ．720C ．1 020D ．1 040解析：选D 由已知条件知抽样比为301 200＝140，从而811 000＋1 200＋n ＝140，解得n ＝ 1 040，故选D.2.(2018·广州高中综合测试)已知某地区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x ，依题意可得 1 2002 700＋2 400＋1 200＝20x ＋20，解得x ＝85. 答案：85[课时跟踪检测]1．从2 019名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 019名学生中剔除19名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为502 019D ．都相等，且为140解析：选C 从N 个个体中抽取M 个个体，则每个个体被抽到的概率都等于MN ，故每名学生入选的概率都相等，且为502 019. 2．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01,02,03，…，32,33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球的号码为( )81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A.12 B ．33 C ．06D ．16解析：选C 被选中的红色球的号码依次为17,12,33,06,32,22，所以第四个被选中的红色球的号码为06. 3．某班共有学生52人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知5号、18号、44号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是( )A ．23B ．27C ．31D ．33解析：选C 分段间隔为524＝13，故样本中还有一个同学的座号为18＋13＝31.4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：选C 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．5．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,20B ．200,20C ．200,10D ．100,10解析：选B 由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.6．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同．若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是( )A ．63B ．64C ．65D ．66解析：选A 若m ＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中的编号依次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间(450,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15解析：选C 960÷32＝30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项，以30为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21.由450＜30n －21≤750，解得15.7＜n ≤25.7.又n 为正整数，所以16≤n ≤25，故做问卷B 的人数为25－16＋1＝10.故选C.8．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A ，C A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是________件．解析：设样本容量为x ，则x3 000×1 300＝130，∴x ＝300.∴A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，∴y ＝80. ∴C 产品的数量为3 000300×80＝800(件)．答案：8009．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 01510．将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．解析：由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是4＋12(k －1)．令302≤4＋12(k －1)≤496，得2556≤k ≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为42－25＝17(人)． 答案：1711．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 解：(1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)初三年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为482 000×500＝12(名)．。

随机抽样知识点总结高三【随机抽样知识点总结高三】一、引言随机抽样是统计学中常用的一种抽样方法，通过对总体中的个体进行随机选择，以代表性的样本来推断总体的特征。

在高三阶段，学生需要掌握随机抽样的基本概念、方法和应用。

本文将总结高三阶段学习中的随机抽样相关知识点。

二、简述随机抽样的基本概念随机抽样是指每个个体都有相等机会被选入样本的一种抽样方法。

它的核心原则是“随机性”，即所有个体被选择的概率均相等，确保样本具有代表性。

在随机抽样中常用的方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样。

三、简单随机抽样1. 定义：从总体中随机抽取相同数量的样本，使得每个个体被选入样本的概率相等。

2. 过程：首先对总体进行编号，然后利用随机数表或随机数发生器进行随机抽取。

3. 优点：简单易行、成本低、样本独立性强。

4. 注意事项：应确保随机数的生成是真正随机的，避免人为干预或造成偏差。

四、系统抽样1. 定义：按照固定间隔从总体中选取样本。

2. 过程：首先确定总体量和期望的样本量，计算间隔k（总体量除以样本量），然后从随机起点开始，依次选取第k个个体。

3. 注意事项：若总体具有周期性，则可能造成偏差，需采取预防措施。

五、分层抽样1. 定义：将总体按某些特征分成几个层次，然后从各层次中进行独立的随机抽样。

2. 过程：确定分层策略，按照每层的比例确定各层样本量，然后对每层进行简单随机抽样或系统抽样。

3. 优点：有效保证了样本的代表性，适用于总体差异较大的情况。

六、整群抽样1. 定义：将总体按某些特征分成若干个互不相交的群体，然后随机选择若干个群体作为样本。

2. 过程：确定群体的划分标准，随机选择群体作为样本，并对所选群体中的个体进行抽样。

3. 优点：适用于总体较大、分布不均匀的情况，减小了抽样成本。

七、应用举例在实际应用中，随机抽样广泛应用于调查研究、市场调查、医学实验等领域。

例如，针对学生满意度的调查可以利用随机抽样的方法选取代表性样本，从而推断整体学生群体的满意程度。

高二数学必修三第二单元知识点：随机抽样
高二数学必修三第二单元知识点：随机抽样
宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生活之迷、日月之繁，无处不用数学。

下面小编准备了人教版高二数学必修三第二单元知识点，具体请看以下内容。

随机抽样
(1)总体和样本
①在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体.②把每个研究对象叫做个体.③把总体中个体的总数叫做总体容量.
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： x1，x2 ， ....，xx 研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
(2)简单随机抽样，也叫纯随机抽样。

就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。

特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。

简单随机抽样是其它各种抽样形式的'基础。

通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

(3)简单随机抽样常用的方法：
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。

在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。

(4)抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
(5)随机数表法。

随机抽样【学习目标】1、了解简单随机抽样的概念，掌握实施简单随机抽样的常用方法：抽签法和随机数表法；2、了解系统抽样的意义，并会用系统抽样的方法从总体中抽取样本；3、了解分层抽样的概念与特征，清楚简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的区别和联系.【要点梳理】要点一、简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回.我们在抽样调查中用的是不放回抽取.1、简单随机抽样的概念：一般地，从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体被抽到的可能性是相同的，那么这种抽样方法叫简单随机抽样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本.2、简单随机抽样的特点：(1)被抽取样本的总体个数N是有限的；(2)简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N；(3)从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作；(4)它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性；(5)每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性.3、实施抽样的方法：(1)抽签法：抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力又不方便，若标号的纸片或小球搅拌得不均匀还可能导致抽样的不公平.抽签法的一般步骤：①将总体中的N个个体编号；②把这N个号码写在形状、大小相同的号签上；③将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；④从箱中每次抽取一个号签，连续抽取n次；⑤将总体中与抽到的号签的编号一致的n个个体取出.(2)随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，…，9这十个数字的数表.随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性.随机数表法的步骤：①将总体的个体编号(每个号码的位数一致)；②在随机数表中任选一个数字作为开始；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的数码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止.注意：①选定开始数字，要保证所选数字的随机性；②确定读数方向获取样本号码时，读数方向可向左、向右、向上、向下，样本号码不能重复，否则舍去.要点诠释：1、简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.2、抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时、费力，又不方便，如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平，随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型.3、简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，均为Nn ，但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来，避免在解题中出现错误.要点二、系统抽样1、系统抽样的概念：当总体中的个体比较多时，将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样，也称作等距抽样.2、系统抽样的特征：(1)当总体容量N较大时，采用系统抽样；(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样；(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号.3、系统抽样的一般步骤：(1)采用随机的方法将总体中的N个个体编号；(2)将编号按间隔k分段，当Nn是整数时，取Nkn=，当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数'N能被n整除，这时取'Nkn=，并将剩下的总体重新编号；(3)在第一段用简单随机抽样确定起始个体的编号()l l N l k∈≤，；(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将编号为2(1)l l k l k l n k+++-L L，，，，的个体取出.要点诠释：1、从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想.2、系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样.要点三、分层抽样1、分层抽样的概念：当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.2、分层抽样的特点：(1)适用于总体是由有明显差别的几部分组成时的情况；(2)分层抽样对各个个体来说被抽取的可能性相同.3、分层抽样的优点：(1)样本具有较强的代表性；(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法.4、分层抽样的步骤：(1)将总体按一定的标准分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(各层可以按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取)要点诠释：1、应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样是当总体有差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.3、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.要点四、三种抽样方法的比较【典型例题】类型一：简单随机抽样例1.下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；（2）仓库中有l万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴四川参加抗震救灾工作；（4）一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．【解析】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．（4）是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．【总结升华】要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样．关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：（1）总体的个数有限；（2）逐个抽取；（3）是不放回的抽取；（4）每个个体被抽到的可能性必须是相同的．举一反三：【变式1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？（1）某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．（2）从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验．（3）一小孩从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩．玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．【解析】（1）不是简单随机抽样．因为这不是等可能抽样．（2）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．（3）不是简单随机抽样．因为这是有放回抽样．例2．某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组．请用抽签法设计抽样方案．【解析】方案如下：第一步：将18名志愿者编号，号码是01，02， (18)第二步：将号码分别写在形状、大小相同的纸条上，揉成团，制成号签；第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号：第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．【总结升华】一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅匀．一般地，当样本容量和总体容量较小时可用抽签法．举一反三：【变式1】一个学生在一次竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．使用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科问题的序号（物理题的编号为01～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47）．【解析】第一步：将试题的编号01～47分别写在形状、大小相同的纸条上，将纸条揉成团制成号签，并将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅匀．第二步：从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的编号．这便是所要回答的三门学科问题的序号．例3．现有120台机器，请用随机数表法抽取10台机器，写出抽样过程．【思路点拨】已知N=120，n=10，用随机数表法抽样时编号000，001，…，119，抽取10个编号（都是三位数），对应的机器组成样本．【解析】使用随机数表法步骤如下：第一步，先将120台机器编号，可以编为000，001，002， (119)第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第9行第7列的数3，向右读；第三步，从选定的数3开始向右读，每次读取三位，凡不在000～119中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读．依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092；第四步，以上这10个号码074，100，094，052，080，003，105，107，083，092所对应的10台机器就是要抽取的对象．【总结升华】用随机数表法抽取样本，编号时要注意使号码的位数相同．如本题将个体编号的位数统一为3位，即在位数较少的数前添加“0”，方便读表．举一反三：【变式1】某校有学生1200人，为了调查某种情况，打算抽取一个样本容量为50的样本，问此样本若采用简单随机抽样将如何进行？【解析】首先将该校学生都编上号码：0001，0002，0003，…，1200，如用随机数表法，则先在随机数表中选定一个数，如第5行第9列的数字6，从6开始向右连续读取数字，以4个数为一组，遇到右边线时向下错一行向左继续读取，所得数字如下：6438，5482，4622，3162，4309，9006，1844，3253，2383，0130，3046，1943，6248，3469，0253，7887，3239，737l，2845，3445，9493，4977，2261，8442，…，所抽取的数字如果小于或等于1 200，则对应此号的学生就是被抽取的个体；如果所抽取的数字大于1200，而小于或等于2400，则减去1200，剩余数字即是被抽取的学生号码；如果所抽取的数字大于2400，而小于或等于3600，则减去2400；依此类推．如果遇到相同的号码，则只留取第一次读取的数字，其余的舍去，这样被抽取的学生所对应的号码依次是：0438，0682，1022，0762，0709，0606，0644，0853，1183，0130，0646，0743．0248，1069，0253，0687，0839，0171，0445，1045，1093，0177，1061，0042，…，一直取足50人为止．【变式2】要从10架钢琴中抽取4架进行质量检验，请你设计抽样方案．【解析】解法一：（随机数表法）第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1， (9)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3行第6列的数“2”，向右读．第三步，从数“2”开始，向右读，每次读取1位，重复数字只记录一次，依次可得到2，7，6，5．第四步，以上号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．解法二：（抽签法）第一步，将10架钢琴编号，号码是0，1， (9)第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号．第五步，所得号码对应的4架钢琴就是要抽取的对象．【总结升华】（1）将钢琴编号从0开始，10架钢琴用0—9就可表示，这样总体中的所有个体可用一位数表示，便于使用随机数表．（2）用抽签法抽样关键是将号签搅匀．类型二：系统抽样例4．下列抽样中不是系统抽样的是（）．A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0+5，i0+10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5 min 抽取一件产品进行检验C．弄某项市场调查，规定在商店门口随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈【答案】C【解析】本题的判定依据是系统抽样方法的特征：系统抽样适用于个体数目较多但均衡的总体．判断一种抽样是不是系统抽样，首先看是否在抽样前知道总体是由什么构成的，抽样的方法能否保证每个个体按事先规定的条件等可能入样，再看抽样过程中是否将总体分成了几个均衡的部分，是否在每个部分中进行简单随机抽样．本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．【总结升华】系统抽样的特点：①适用于总体容量较大的情况；②剔除多余个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系；③是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n／N．【变式1】下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶8∶8∶2，从中抽取200名学生做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【答案】 C【解析】A中各区学生有区别，不好分成均衡的几部分，不适宜，B中抽取样本容量太小，不适宜．D中总体个数较少，不适宜．故选C【总结升华】系统抽样适合总体容量较大且个体间差异较小的情况．例5．为了了解某大学一年级新生英语学习的情况，拟从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？【思路点拨】由题设条件可知总体的个数为503，样本容量为50，不能整除，可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，然后再采用系统抽样方法进行抽样．【解析】第一步，将503名学生用随机方式编号为1，2，3， (503)第二步，用抽签法或随机数表法剔除3个个体，这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3， (500)第三步，确定分段间隔k，将总体分为50个部分，每一部分包括10个个体，这时，第l 部分的个体编号为1，2，...，10；第2部分的个体编号为11，12，...，20；依此类推，第50部分的个体编号为491，492， (500)第四步：在第1部分用简单随机抽样的方法确定起始的个体编号，例如5．第五步：依次在第2部分，第3部分，…，第50部分取出号码为15，25，…，495的个体，这样就得到一个容量为50的样本．【总结升华】总体中的每个个体都必须等可能的入样，为了实现“等距”入样且又等概率，应先剔除，再“分段”，后定起始位．采用系统抽样是为了减少工作量，提高其可操作性，减少人为误差．【变式1】为了了解某年级学习情况，计划从该年级504名学生中抽取50名学生作为样本，问如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？【解析】第一步：将504名学生随机编号为1，2，3，…，503，504；第二步：用抽签法或者随机数表法，剔除4个个体.这样剩下500名学生，对剩下的500名学生重新编号为1，2，3， (500)第三步：由于样本容量与总体容量的比为50：500=1：10，我们可将总体平均分成50部分，其中每一部分包含10 个个体，这样第一部分的个体编号为1，2，3，...，10；第二部分的个体编号为11，12，13，...，20；依次类推，第50 部分的个体编号为491，492，493， (500)第四步：从1到10号进行简单随机抽样，抽取一个号码，比如是5；第五步，依次在第2部分，第3部分，…，第50部分，取出号码分别为15，25，35，…，495.这样就得到了一个样本容量为50的样本.【变式2】某校高中三年级有学生322名，为了了解学生的某种情况，按1∶8的比例抽取一个样本，请用系统抽样的方法进行抽取，并写出抽样过程．【解析】因为322÷8=40余2，故先剔除2名学生，把剩下的320名学生编号为1，2，3，…，320．把总体分为40个部分，每一个部分都有8个个体，例如第一部分的个体编号为：1，2，3，…，8．然后在第一部分随机抽取一个号码，比如6号，那么从6号开始，每隔8个号码抽取1个，得到号码6，14，22，30，…，310，318，这样就得到一个容量为40的样本．类型三：分层抽样例6．在下列问题中，各采用什么抽样方法抽取样本?（1）从20台彩电中抽取4台进行质量检验；（2）科学会堂有32排座位，每排有40个座位（座号为1～40），一次报告会坐满了听众，会后为听取意见留下了座号为18的所有32名听众进行座谈；（3）光远中学有180名教职工，其中教师136名，管理人员20名，后勤服务人员24名，为征求某项意见，现从中抽取一个容量为15的样本．【答案】（1）简单随机抽样；（2）系统抽样；（3）分层抽样．【解析】（1）所述问题中总体中的个体数和样本容量均较少，故宜用简单随机抽样法；（2）所述问题具有总体中的个体数较多，且每个个体无明显差异的特点，所以适宜用系统抽样法；（3）所述问题的总体中的个体具有明显差异，即出现了3个层次，因此适宜用分层抽样法．【总结升华】总体容量较小宜用抽签法；总体容量较大，而样本容量较小宜用随机数表法；总体容量较大，样本容量也较大的宜用系统抽样法；总体是由差异明显的几个层次组成，宜用分层抽样法．举一反三：【变式1】一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工的收入情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如何去抽取？方法一：将160人从1到160编上号，然后将用白纸做成的有1～160号的160个号签放入箱内搅匀，最后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出．方法二：将160人从1至160编号，按编号顺序分成20组，每组8人，令1～8号为第一组，9～16号为第二组，……，153～160号为第20组．从第一组中用抽签方式抽到一个为k 号（1≤k≤8），其余组是（k+8n）号（n=1，2，3，…，19），以此抽取20人．方法三：按20∶160=1∶8的比例，从业务员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤服务人员中抽取3人，都用简单随机抽样法从各类人员中抽取所需人数，他们合在一起恰好抽到20人．以上的抽样方法，依次是简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是（）．A．方法一、方法二、方法三B．方法二、方法一、方法三C．方法一、方法三、方法二D．方法三、方法一、方法二【答案】C例7．一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？【思路点拨】总体由不到35岁、35岁至49岁与50岁及50岁以上的个体构成，个体的差异较大，适合用分层抽样法．【解析】用分层抽样来抽取样本，步骤是：（1）分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．（2）确定每层抽取个体的个数．抽样比为10015005，则在不到35岁的职工中抽125×15=25（人）；在35岁至49岁的职工中抽280×15=56（人）；在50岁及50岁以上的职工中抽95×15=19（人）．（3）在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本．（4）综合每层抽样，组成样本．【总结升华】本小题主要考查分层抽样的概念和运算以及抽样过程. 求解总体由差异明显的个体构成的问题时，适合用分层抽样法.分层后，各层的个体数较多时，可采用系统抽样或随机数表法抽取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取．举一反三：【高清课堂：随机抽样400439 例1】【变式1】某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生．【答案】40【变式2】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组（1～5号，6～10号，…，196～200号）．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．【答案】37 20【变式3】某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为．相关人员数抽取人数公务员32 x教师48 y自由职业者64 4【解析】采用分层抽样，抽样比为2:3:4，由题可知x=2,y=3.则调查小组的总人数为2+3+4=9人，即为9人.【巩固练习】1．某校期末考试后，为了解该校高一年级1 000名学生的学习成绩，从中抽取了100名学生的成绩单进行分析，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．100名学生的成绩是一个个体D．样本容量是1002．抽签法中确保样本代表性的关键是（）．A．抽签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回3．下列抽样方法是简单随机抽样的是（）．A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中逐个抽取10个做奇偶性分析D．运动员从8个跑道中随机选取一个跑道4．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25％，则N为（）．A．150 B．200 C．100 D．1205．为了了解1 200名学生对学校某项校改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（）．A．40 B．30 C．20 D．126．从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）．A．5，10，15，20，25 B．3，13，23，33，43C．1，2，3，4，5 D．2，4，6，16，327．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）．A．30 B．25 C．20 D．15。