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极大似然估计

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极大似然估计

极大似然估计

6
第1章 极大似然估计
1.2.4
方差矩阵的估计方法
( = ∂ 2 LnL −E ′ ∂θ0 ∂θ0 [ [ ])−1
由渐进公式 [I (θ0 )]
−1
ˆ带入上式作为θ ˆ的方差估计量，即信息矩阵的逆， 可以将θ ( ˆ) = Var(θ 在线性回归模型中， [I (θ0 )]−1 = [ ∂ 2 LnL −E ∂θ∂θ′ ( −E ] = [ ])−1
n n i=1 i=1
梯度向量也称为得分向量（score vector） 。梯度向量g 为k × 1向量。将所有观测值对 应的gi 构成的矩阵G = [g1 , g2 , . . . , gN ]′ (N × k )称为梯度向量的贡献矩阵。梯度向量g 的每 个元素为矩阵G的各列的和。 似然函数的二阶导数称为海赛矩阵（Hessian Matrix） ： ∂ 2 ln f (y |θ) ∑ ∂ 2 ln f (yi |θ) ∑ H= = = Hi ∂θ∂θ′ ∂θ∂θ′
i=1 i=1
(1.2)
λxi e−λ xi !
第2节
1.2.1 极大似然估计的原理
极大似然估计
极 大 似 然 估 计 是 指 使 得 似 然 函 数 极 大 化 的 参 数 估 计 方 法，即 估 计 那 些 使 得 样 本(x1 , x2 , . . . , xN )出现的概率最大的参数。 例1.3. 正态分布的ML估计 对于n个相互独立的随机变量x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi ∼ N (µ, σ 2 )(i = 1, 2, . . . , n)。 根 据前面推导的(x1 , x2 , . . . , xn )的联合似然函数： ∑n (xi − µ)2 n n LnL(µ, σ |x) = − ln(σ 2 ) − ln(2π ) − i=1 2 2 2σ 2

极大似然估计原理

极大似然估计原理

极大似然估计原理一、引言极大似然估计是统计学中一种常用的参数估计方法，它是基于样本数据来推断总体参数的一种方法。

在实际应用中，极大似然估计被广泛应用于各个领域，如生物学、医学、社会科学等。

本文将详细介绍极大似然估计的原理及其应用。

二、概念解释1.概率密度函数概率密度函数是描述随机变量分布情况的函数，通常用f(x)表示。

对于连续型随机变量，其概率密度函数可以表示为：f(x) = lim△x→0 P(x< X ≤ x+△x)/△x其中P(x< X ≤ x+△x)表示X落在区间[x, x+△x]内的概率。

2.样本样本是从总体中抽取出来的一部分个体，通常用X1, X2, ……, Xn表示。

样本可以反映总体的某些特征。

3.参数参数是描述总体分布情况的量，通常用θ表示。

例如正态分布有两个参数：均值μ和方差σ^2。

4.最大似然估计最大似然估计是指在给定样本下，通过求解使得样本出现的概率最大的参数值，来估计总体分布的参数。

通常用L(θ|X)表示，其中θ为待估计参数，X为样本。

三、极大似然估计原理1.基本思想极大似然估计的基本思想是：在给定样本下，求解使得样本出现的概率最大的参数值。

具体来说，就是找到一个参数θ，使得在该参数值下观测到当前样本的概率最大。

2.数学推导假设总体分布的概率密度函数为f(x|θ)，其中θ为待估计参数。

对于给定样本X1, X2, ……, Xn，它们是独立同分布的随机变量。

因此，这n个随机变量同时取到某个值x1, x2, ……, xn 的概率可以表示为：f(x1|θ) f(x2|θ) …… f(xn|θ)将其写成一个连乘形式：L(θ|X) = ∏i=1nf(xi|θ)这个连乘形式就是极大似然函数。

我们需要找到一个使得L(θ|X)最大的参数值。

对于离散型随机变量而言，在求解极大似然估计时可以直接求解出每个取值对应的概率，然后选取概率最大的那个值作为估计值。

对于连续型随机变量而言，由于概率密度函数在每个点上的概率都是0，因此无法直接求解出每个取值对应的概率。

极大似然估计方法

极大似然估计方法

极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。

极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。

极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。

具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。

极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。

数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。

似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。

具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。

理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。

似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。

对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。

它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。

极大似然估计的原理和思想

极大似然估计的原理和思想

极大似然估计的原理和思想
极大似然估计是统计学上常用的参数估计方法之一，其原理和思想可以概括为以下两点：
1. 最大化似然函数：似然函数表示了观察到某一样本所取得的结果出现的概率。

极大似然估计的思想是通过调整参数的取值，使得观察到的样本的似然函数达到最大化。

换句话说，极大似然估计希望通过选择最合适的参数取值，使得观察到的结果出现的概率最大化。

2. 假设样本独立同分布：极大似然估计的原理基于多个独立同分布的样本。

换句话说，极大似然估计假设每个样本的出现都是独立的，且每个样本的生成过程都是相互独立的。

通过将多个样本的似然函数进行乘积，可以得到所有样本的似然函数。

然后，通过最大化整体样本集的似然函数，来估计参数的取值。

总的来说，极大似然估计的原理和思想是通过选择合适的参数取值，使得观察到的样本出现的概率最大化。

通过对样本的独立同分布假设，并最大化样本集的似然函数，可以得到最优的参数估计值。

极大似然估计量的标准误差

极大似然估计量的标准误差

极大似然估计量的标准误差一、引言极大似然估计量（Maximum Likelihood Estimator，MLE）是一种在统计学中常用的参数估计方法。

它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。

然而，MLE的估计结果往往受到样本数据的影响，存在一定的误差。

本文将探讨极大似然估计量的标准误差及其计算方法。

二、极大似然估计量的定义极大似然估计量是一种参数估计方法，它通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。

似然函数描述了样本数据在给定参数下的概率分布。

通过最大化似然函数，MLE可以找到最有可能的参数值，使得样本数据出现的概率最大。

三、极大似然估计量的标准误差极大似然估计量的标准误差是衡量MLE估计结果稳定性的一个重要指标。

标准误差越小，MLE的估计结果越稳定。

计算MLE的标准误差通常需要使用样本数据的方差和协方差矩阵。

1.方差计算方差是衡量数据波动程度的一个指标，它描述了数据点与其均值的偏离程度。

对于极大似然估计量，其方差可以通过以下公式计算：方差= 2 * Σ (likelihood function) / (n * number of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。

2.协方差矩阵计算协方差矩阵描述了各个参数之间的相关性。

对于极大似然估计量，其协方差矩阵可以通过以下公式计算：协方差矩阵= -1 * Σ (likelihood function) / (n * numb er of parameters)其中，Σ表示求和符号，likelihood function表示样本数据的似然函数，n表示样本数量，number of parameters表示未知参数的数量。

3.标准误差计算标准误差是方差的平方根，它描述了MLE估计结果的波动程度。

对于极大似然估计量，其标准误差可以通过以下公式计算：标准误差= √ 方差四、结论本文探讨了极大似然估计量的标准误差及其计算方法。

极大似然估计计算公式

极大似然估计计算公式

极大似然估计计算公式极大似然估计呀，这可是统计学里一个挺重要的概念。

咱先来说说啥是极大似然估计。

简单来讲，就是在一堆可能的情况里，挑那个最有可能产生咱们观察到的数据的情况。

比如说，咱抛硬币，抛了 10 次，有 7 次正面，3 次反面。

那按照极大似然估计的思路，就会认为这枚硬币正面朝上的概率大概是 0.7 。

那极大似然估计的计算公式是啥呢？一般来说，如果咱们有一个随机变量 X ，它的概率密度函数或者概率质量函数是f(x;θ) ，这里的θ就是咱们要估计的参数。

然后咱们有一组观察值 x₁, x₂,..., xₙ 。

那极大似然函数L(θ) 就是这几个观察值的概率的乘积，也就是L(θ) = ∏[i=1 to n] f(xᵢ;θ) 。

为了找到让这个极大似然函数最大的那个θ 值，咱们通常会对L(θ) 取对数，变成对数似然函数 l(θ) = ∑[i=1 to n] log(f(xᵢ;θ)) 。

这样做能让计算简单点儿，因为乘积变求和嘛。

然后呢，通过对这个对数似然函数求导，令导数等于 0 ，就能解出那个最有可能的θ 值啦。

我给您举个例子哈。

比如说，咱有一个正态分布的随机变量 X ，它的均值是μ ，方差是σ² 。

现在咱们观察到了一组数据 10, 12, 15, 18,20 。

那它的概率密度函数就是f(x;μ, σ²) = 1/√(2πσ²) * exp(-(x -μ)²/(2σ²)) 。

咱把这几个观察值带进去，得到极大似然函数L(μ, σ²) ，然后取对数变成l(μ, σ²) 。

对l(μ, σ²) 分别关于μ 和σ² 求导，令导数等于 0 ，就能算出μ 和σ² 的估计值啦。

您可能会问，这在实际生活中有啥用呢？其实用处可大啦！比如说，在质量检测里，工厂生产了一批零件，咱们想知道这批零件的尺寸是不是符合标准。

通过测量一些零件的尺寸，用极大似然估计就能估计出这批零件尺寸的分布参数，看看是不是在合格范围内。

第08章--对数极大似然估计

第08章--对数极大似然估计

( yt
1
2 xt 2 2
3wt
)2
T t 1
log
( yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2
)
这里， 是原则正态分布旳密度函数。
16
lt
( ,
)
log
yt
1
2 xt
3wt
1 2
log(
2)
将这一例子旳对数极大似然函数过程写成下面旳赋值语
句：
Series res=y-c(1)-c(2)*x-c(3)*w
15
下面考虑2个变量旳例子：
yt 1 2 xt 3wt ut ut ~ N (0, 2 )
这里，y, x, w 是观察序列，而 ={1, 2, 3, 2}是模型旳参数。
有T个观察值旳样本旳对数似然函数能够写成：
log
L(
,
2)
T 2
log(2
)
1 2
T t 1( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.2）
i
由上式可解得 n1 向量 旳极大似然估计值 ψˆ，而式(8.1.2)
也被称为似然函数。
6
因为 L(y ; ) 与 ln[L(y ; ))] 在同一点处取极值，所
以也能够由
ln L( y ; ψ) 0 , i =1, 2, …, n （8.1.3）
而对数极大似然措施使得寻找这些极大似然估计变 得轻易了。只需创建一种对数似然对象，把上面旳赋值 语句输入到logL旳阐明窗口，然后让EViews来估计这个 模型。
20
在输入赋值语句时，只需对上面旳文本做两处微小旳 改动就能够了。首先，把每行开头旳关键字series删掉（因 为似然阐明暗含了假定序列是目前旳）。第二，必须在阐 明中加入额外旳一行（关键字@logL为包括似然贡献旳序 列命名）。

极大似然估计

极大似然估计

极大似然估计极大似然估计极大似然估计方法在金融领域中的应用十分广泛。

该方法利用已知的概率密度函数形式，构造对数似然函数，然后最大化该似然函数从而求得概率密度函数中所含的参数估计量。

比如：对GARCH(1,1)模型中的参数估计中，如果均值方程中的扰动项服从正态分布，则我们可以利用正态分布的概率密度函数对所含参数进行估计。

1．极大似然估计基本原理 (1)参数估计下面以线性回归中系数的极大似然估计为例来说明极大似然估计基本原理。

考虑线性回归：Y X βε=+，2~(0,)Y X N εβσ=−则对于X 和Y 的每一对观测值(,)i i X Y ，这里，i X 为行向量，其概率密度函数形式如下： 21(,)())2i i i i Y X f X Y βσ−=− 给定N 对相互独立的观测值(,)i i X Y ，1,2,...,i N =，样本中所有观测值的总体概率密度函数(,)L βσ为单个观测值概率密度函数的乘积，即：211(,)())2Ni i i Y X L ββσσ=−=− （1） 极大似然估计要给出参数(,)βσ的估计量使得（1）式最大。

由于（1）式为乘积的形式，直接对最大化（1）式求解最优解，比较麻烦。

因此，采用似然函数的对数形式：2211(,)[()]2Ni i i LnL Ln Y X βσβσ==−−∑然后求解以下最优化问题：22(,)11max (,)[()]2Ni i i LnL Ln Y X βσβσβσ==−−∑ （2）最后得到的参数(,)βσ的估计量与普通最小二乘法得到的结果一样。

因此，当普通最小二乘法回归方程中的残差服从正态分布时，普通最小二乘估计与极大似然估计的结果是一样的。

更一般地，我们用θ表示需要估计的参数向量，相应地对数似然函数为：()LnL θ。

(2)参数估计的标准误差求解优化问题（2），虽然给出了参数θ的估计量ˆθ，但并没有给出估计的标准误差。

如果对数似然函数()LnL θ在其估计量ˆθ处的二阶倒数的期望是已知的，则极大似然估计量的渐进协方差矩阵1[()]I θ−满足：2111()()()[()]{[]}{[()()]}LnL LnL LnL I E E θθθθθθθθ−−−∂∂∂=−=′′∂∂∂∂ （3）通常情况下()LnL θ是一个非常复杂的非线性函数，我们很难得到（3）式中期望值的解析解形式。

极大似然估计

极大似然估计

所 以 x ( n )是 的 最 大 似 然 估 计 .
的
一个观察值，则样本的联合概率分布
L(1 , 2 , m ) P { X 1 x 1 , X 2 x 2 X n x n }
p( xi ;1 , 2 , m )
i 1 n
-------似然函数
应 选 取 使 L ( 1 , 2 , , m ) 达 到 最 大 值 的 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆm 作 为 1 , 2 , , m的 估 计 值 是 最 合 理 的 。
1
( xi ) 0 2 i1 n n 1 2 ( xi ) 0 4 2 2 2 i 1
n
n
ˆ X n 2 1 ( X X )2 . ˆ i
n i 1
例 5 . 设 总 体 X 服 从 [ 0 , ]上 的 均 匀 分 布 , 求 未 知 参 数 的 极 大 似 然 估 计 。
2
解
X ~ ( x; , )
2
1 2 π
( xi ) 2
2 2

(x ) 2
2
2
e
,
L( , )
2 i 1
n
1 2π

e
( 2 )
2

n 2

1 2
2
n

i1
( xi )
2
e
( 2 )
2

n 2

1 2
2
n

i1
2 . 若 X 是 连 续 型 随 机 变 量 ， X ~ f ( x ; 1 , 2 , , m )，

极大似然估计公式

极大似然估计公式

极大似然估计公式极大似然估计公式是数理统计学中最基础的公式之一，用于确定一个概率模型中未知参数的最优值。

其思想是在给定一组观测数据的情况下，选择那个使得这组数据出现的可能性最大的参数值作为模型的估计值。

具体地说，假设我们有一个概率模型 $f(x|theta)$，其中$x$ 表示观测数据，$theta$ 表示模型中的未知参数。

我们的目标是在给定观测数据 $x_1,x_2,ldots,x_n$ 的条件下，求解参数$theta$ 的最优值。

为了实现这个目标，我们考虑定义一个似然函数$L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$，表示在给定参数 $theta$ 的情况下，观测数据 $x_1,x_2,ldots,x_n$ 出现的概率密度。

具体地，我们有：$$L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n) = f(x_1|theta) f(x_2|theta) cdots f(x_n|theta)$$接下来，我们选择那个使得似然函数最大的参数值$hat{theta}$ 作为模型的最优估计值，即：$$hat{theta} = mathop{argmax}_{theta}L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$$这个过程称为极大似然估计。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常对似然函数的对数取负数，得到一个负对数似然函数 $-ln L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$，并将其最小化，这样做的好处是能够避免数值上溢问题，同时优化起来也更加方便。

因此，极大似然估计的实际形式为：$$hat{theta} = mathop{argmin}_{theta} left[ -lnL(theta|x_1,x_2,ldots,x_n) right]$$需要特别注意的是，极大似然估计并不保证估计值一定是唯一的，也不保证估计值是无偏的。

因此，在实际应用中，我们需要对估计值进行一定的分析和检验，以保证其准确性和可靠性。

极大似然估计与最小二乘估计

极大似然估计与最小二乘估计

极大似然估计与最小二乘估计极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, 简称MLE）和最小二乘估计（Least Squares Estimation, 简称LSE）是统计学中常用的参数估计方法。

虽然二者在理论基础和应用场景上存在差异，但都是在给定一定的数据样本后，通过优化算法来寻找到最合适的参数估计值。

一、极大似然估计极大似然估计是一种基于概率统计原理的方法，用于估计参数的最优值。

假设我们有一组具有概率分布的样本数据，我们的目标是找到一组参数值，使得该参数值下的样本数据出现的概率最大。

首先，我们需要确定一个合适的概率分布模型，例如正态分布、二项分布等，并假设该模型的参数为θ。

然后，我们通过最大化似然函数来求解参数θ的最优值。

似然函数是指给定样本数据后，参数θ使得观测到该样本数据的概率。

举例来说，如果我们有一组服从正态分布的样本数据，我们可以假设其均值为μ，方差为σ^2。

然后，我们计算出这组样本数据出现的概率密度函数。

最大似然估计的目标是找到使得该概率密度函数最大化的μ和σ^2的值。

二、最小二乘估计最小二乘估计是一种以减小观测值与估计值之间的平方差为目标的优化方法。

在最小二乘估计中，我们通过最小化残差平方和来求解参数的最优值。

假设我们有一组观测值yi，对应的理论值为f(xi)，其中xi是自变量，yi是因变量。

我们的目标是找到一组参数θ，使得理论值f(xi)与观测值yi之间的差距最小。

最小二乘估计的思想是通过优化算法求解参数θ，使得观测值与理论值的平方差的和最小。

通常情况下，我们使用最小二乘估计来拟合回归模型，例如线性回归模型。

三、极大似然估计与最小二乘估计的比较极大似然估计和最小二乘估计在理论基础和应用场景上存在一些差异。

首先，极大似然估计是基于概率统计的思想，依赖于概率模型的选择，而最小二乘估计则是基于几何代数的思想，不依赖于具体的概率模型。

其次，极大似然估计是一种参数估计方法，适用于估计整体样本的参数，而最小二乘估计则是一种拟合方法，适用于估计个别样本的估计值。

第四章极大似然估计

第四章极大似然估计

则似然方程 从正态分布
¶ log L ˆ ，且（1） q ˆ ® q , a.s., n ® ¥ ； ˆ 渐近服 = 0 以概率 1 有解 q （2） q n n n ¶q
{ }
æ N ç ç q , ç nEq è
1
2
{( ¶ log f ( x, q ) ¶q ) }
ö ÷ . ÷ ÷ ø
i =1
一次抽样中出现，当然可以认为子样 ( x1 , x 2 , L , x n ) 落入点 ( x L, x 1 , x 2 , n ) 的邻域内的概率 达到最大。所以我们只要找出使
ˆ Dx 达到最大的 q 的值 q ( x , x , L , x ) 。由于 Õ f ( x ; q )
x i = 1 , 2 , L, n 时的概率为 i ,
P = x L, x n = x (x1 1 , n ) =
ÕP (x
i = x i
; q ) f ( x q ) L f ( x q ) ) = f ( x 1 2 ; n ;
是 q 的函数，我们用 L ( q ) = L ( q ; x L , x 1 , x 2 , n ) 表示，称为这个子样的似然函数，于是
82
ì ¶ ln L 1 n ï ¶m = s 2 å ( x - m ) = 0 ï i =1 í n ï ¶ ln L = - n + 1 ( x - m )2 = 0 2 2 2 å ï 2s 2s i =1 î ¶s
解这个方程组得
n n 2 ˆ = n -1 å xi = x ， s ˆ 2 = n -1 å m ( xi - x ) . i =1 i =1
80
的极大似然估计量。 如 果 x 是 连 续 型 ， f ( x;q ), q Î Q 表 示 密 度 函 数 。 于 是子 样 ( x1 , x 2 , L , x n ) 落 入 点

4.1 极大似然估计法

4.1 极大似然估计法

• 被解释变量样本的对数似然函数为：
ln L
n
2
ln 2
n
2
ln 2
ln J(yi , ) i
2

1 2
2
[h(yi , ) g(xi , )] i
ln 2 ln 2 + ln J(yi , ) 2 2 2 i n n
x2i xki
其中 h () 和 g () 是非线性函数， 和 是参数。

以上是一般非线性模型的完整描述。

模型参数的一种估计方法是最小二乘法，即最小化
S ( , ) [h( yi , ) g ( xi , )]
i
2
• 模型参数的另一种估计方法是极大似然法。得到广 泛应用。
2
代替 ，可得：
2 2
n 1 2 2 ˆ ˆ , ˆ | y, x) [ln(2 ) ln( ˆ )] ln(| |) ln L( , 2 2 n ui n 1 2 ˆ ln(| U U / |) 2 yi i 1
n 1 2 2 ˆ ˆ , ˆ | y, x) [ln(2 ) ln( ˆ )] ln(| |) ln L( , 2 2 n ui n 1 2 ˆ ln(| U U / |) 2 yi i 1
i =1,2,…,n
ˆ ), 2 ) Yi ~ N ( f (Xi , β
2 ˆ L(β, ) P(Y1 , Y2 ,, Yn )
i ~ N (0, 2 )

1 (2 ) n
n 2

1 2
e
ˆ )) 2 ( Y f ( X , i i 2

通俗理解“极大似然估计”

通俗理解“极大似然估计”

通俗理解“极大似然估计”之前总是没能理解啥叫极大似然估计，一直似是而非，似懂非懂。

结果越是搞不懂，偏偏越是哪都见着它，着实让人郁闷。

索性花些工夫，搞懂它，写个博客做记录，分享出来，以教为学，尽可能通俗易懂。

本文同时发布于以下站点：1. 似然估计1.1 下定义理解极大似然估计之前，必须知道何为似然、何为估计。

先来热热身，看看维基百科关于“似然函数”的定义：在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。

似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。

“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“概率”（或然性）又有明确的区分：概率，用于在已知一些参数的情況下，预测接下来在观测上所得到的结果；似然性，则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物之性质的参数进行估值。

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

在已知某个参数B时，事件A会发生的概率写作：P(A|B)=\cfrac{P(A, B)}{P(B)}利用贝叶斯定理，P(B|A)=\cfrac{P(A|B)P(B)}{P(A)}因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件A发生，运用似然函数L(B|A)，我们估计参数B的可能性。

形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：b\mapsto P(A|B=b)注意到这里并不要求似然函数满足归一性：\displaystyle\sum_{b \in B} P(A|B=b)=1。

一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。

对所有\alpha>0，都可以有似然函数：L(b|A)=\alphaP(A|B=b)是不是看到后面就有些晕晕乎乎的，没关系，举个例子，就好理解了。

1.2 举例子假设我们手上有一枚硬币，已知它是一枚普通的硬币（正面朝上和反面朝上的概率都为0.5），抛出10次，请问正面朝上和反面朝上的次数各是多少？你说这也太小儿科了，当然是各5次，哪怕实际不是，再将抛出10次这个动作重复很多次，平均结果也一定是正反面各5次。

极大似然估计

极大似然估计
2
E ( )
U (0, )
ˆ 2

ˆ ( n )
2 易见, 不是 2的无偏估计量 ˆL
注 极大似然估计量不一定 是无偏估计量
极大似然估计有一个简单但很有用的性质
性质 （极大似然估计的不变 性） ˆ是f ( x; )中参数的极大似然估计，并且 函数 设
ˆ )是u( )的 ˆ u( u u( )具有单值反函数 ( u)，则u 极大似然估计， 这里 ，Ц 为u( )的值域
例1 设ξ1,ξ2,…, ξn是取自母体 ξ~b(1, p) 的一个子样， 0 1分布 求参数p的极大似然估计.
解：的概率函数为 : P ( x ) p x (1 p)1 x ( x 0,1)
(1)似然函数 : L( p; x1 ,, xn ) p (1 p)
x
e ,

x 0,1,2,, 0

n n
i 1
xi
n
x1 ! x2 ! xn !
e n ,
( 2) ln L ( xi ) ln ln( xi ! ) n
i 1 i 1
d ln L i 1 令 n0 d ˆ ( 3)
0 1分布 b( n, p) P ( )
N ( , 2 )
常用概率分布的参数估 计表 矩估计 极大似然估计
ˆ p ˆ p n ˆ p
ˆ p

n
ˆ
ˆ
ˆ
1 n ˆ ( i )2 n i 1 1 ˆ
2
ˆ
1 n ˆ ( i )2 n i 1 1 ˆ
xi i 1 np )
xi

极大似然估计

极大似然估计

是一个样本值
似然函数为 13
似然函数为
因为 对于满足
即
在
等价于
的任意
有
时,取最大值 14
似然函数为
即
在
故
时,取最大值 的极大似然估计值为:
故
的极大似然估计量为:
15
例5 指数分布的点估计
某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布
X:
p(
x;
)
1
e
x
,
x0
( 0)
0 , other
令
解得
解得
p的极大似然估计值
p的极大似然估计量
它与矩估计量是相同的。
9
例2
设总体X的分布列为：
似然估计值。 解：
似然函数为
10
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
11
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, ，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
12
例4 设
求
解设
未知， 的极大似然估计量. 的概率密度为：
d ln L( ) 0. d
若母体的分布中包含多个参数，
即可令 L 0,i 1, , k.
i
或 ln L 0,i 1, , k.
i
解k个方程组求得1,
,
的极大似然估计值。
k总体X的一
个样本， 试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设
是一个样本值。
X的分布列为：
故似然函数为
而 令 8
p(x, )
0,
其他.
2. 取对数：
当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时

理解极大似然估计（MLE）

理解极大似然估计（MLE）

理解极⼤似然估计（MLE）极⼤似然估计学习时总会觉得有点不可思议，为什么可以这么做，什么情况才可以⽤极⼤似然估计。

本⽂旨在通俗理解MLE(Maximum Likelihood Estimate)。

⼀、极⼤似然估计的思想与举例举个简单的栗⼦：在⼀个盒⼦⾥有⽩⾊⿊⾊⼩球若⼲个，每次有放回地从⾥⾯哪⼀个球，已知抽到⽩球的概率可能为0.7或者0.3，但不清楚，现在抽取三次，三次都没有抽到⽩球，请问盒⼦中⼀次抽到⽩球的概率是多少？这类栗⼦有⼀个共性，我们假设⽩球的概率为p，然后⽤它去计算已知发⽣的事情“三次都是⿊球”使其发⽣的概率最⼤。

已知p可能取值为0.7或者0.3，那我们两个值分别计算三次抽取为⿊球的概率，谁的概率⼤我们就认为p的概率是多少。

p=0.3时，三次为⿊球的概率 P = 0.7*0.7*0.7 = 0.342p=0.7时，三次为⿊球的概率 P = 0.3*0.3*0.3 = 0.027可见p为0.3时事件三次抽取都为⿊球发⽣的概率最⼤，所以我们认为盒⼦中取到⽩球的概率的极⼤似然估计为0.3。

再举个栗⼦：有两个男孩和⼀个⼥孩，已知两男孩中其中⼀个与⼥孩是兄妹，经过观察发现男孩A与⼥孩有点像，男孩B与⼥孩不像，那我们就会猜测男孩A和⼥孩是兄妹。

这就是⽤到了极⼤似然估计的思想，即忽略低概率，认为⾼概率的为真实事件，或者去估计真实事件。

对于连续的问题，还是上⾯的⼩球例⼦，如果取到⽩球的概率为⼀个区间值[0.3, 0.7]。

求解：假设取到取到⽩球概率为p，则三次都为⿊球的事件概率P = （1-p)^3P对p求导得：P' = -3(1-p)^2令P' = 0，得p = 1, 因为 p 在[0.3, 0.7]之间，p<1时，P' < 0，故在 p < 1区间内，函数P单调递减，所以p = 0.3时，P取到最⼤值。

即事件发⽣的可能性最⼤，所以⽩球概率的极⼤似然估计为0.3。

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0,
dp p 1p
解得
pˆ n1in1xi
xm. n
（频率值）
31
例8 设总体X的概率密度为
p(x) θ1e(x)/ ,
x;
0,
x.
其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，
是X 的一组样本，求μ与 θ的矩估计量.
L(a,b)(b 1a)n(x(n) 1x(1))n
1
即 L(a,b)在ax(1),bx(n)时,取最大值
( x(n)
x )n (1 )14
似然函数为
1 L(a,b)(ba)n
,axi
b;
0 ,其它
即 L(a,b)在ax(1),bx(n)时,取最大值 1
( x ( n ) x (1) ) n 故 a , b 的极大似然估计值为:
p
1 p
pˆ x m
所以参数 p的极大似然估计量为 pˆ X
m
11
例3 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
X ~()，求参数λ的极大似然估计值。
解 设 x1, ,xn 为一样本值，
P{Xxi}xxiei! ,xi 0,1,L
n
似然函数为:
L()
n i1
exi
ln X i
24
i 1
2) 矩估计法
E X 0 1 x ( 1 )x d x x 2 2 ( 1 )1 0 1 2 ,
令 1 2 X ,可 得 的 矩 法 估 计 量 为
ˆ12X 1 2.
X1 1X
25
小结
1. 矩法估计量与极大似然估计量不一定相同； 2. 用矩法估计参数比较简单,但有信息量损失； 3. 极大似然估计法精度较高,但运算较复杂； 4. 不是所有极大似然估计法都需要建立似然方程
(
C)p xi
i1
m
(1p)
, i1
i1
10
n
n
n
xi
m n xi
L(p) (
C)p xi
i1
m
(1p)
, i1
i1
n
n
lnL(p) ln( i 1 令 d lnL(p)
C
xi m
)
0,
(
即
i1
xi ) ln p n (mn xi)ln1(p)
i1
dp
n
n
xi mnxi
i1
i1 0
15723 31(小 8 时 ). 18
19
例6 设 X~N(,2) ;,2为未知参数，x1, , xn
是来自X的一个样本值，求 , 2的极大似然估计值。
解： X的概率密度为：
p(x;,2)
1
e(x22)2
似然函数为：
2
n
L( , 2)
i1
1
2
e ( (
xi )2 22
1 2
) e n
212
应选取使L(p) 达到最大的值作为参数 p 的估计. 30
注意到
L (p ˆ) m L ( a p ) xlL n (p ˆ) m la n L (p x ),
0 p 1
0 p 1
n
n
ln L(p) xiln p(n xi)lnp (),1
i1
i1
n
n
令
dlnL(p)i1 xi
n xi i1
第二节
第七章
极大似然估计
极大似然估计
1
极大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一 起外出打猎 . 一只野兔从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
2
基本思想:
若一试验有n个可能结果 A1,, An, 现做一试验,
若事件Ai 发生了, 则认为事件Ai在这n个可能结果 中出现的概率最大。
因此 的极大似然估计θ也可从下式解得：
d lnL() 0
d
6
又 因 L()与 lnL()在 同 一 处 取 到 极 值 ， 因 此 的 极 大 似 然 估 计 也 可 从 下 述 方 程 解 得 ：
ddlnL()0.
若母体的分布中包含多 个参数，
即可令 Li 0,i1,,k.
或lnL0,i1,,k.
分析 可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
16
X: p(x;)1ex, x0 (0)
0 , other
1）矩法估计 Q EX x1exdx
0
令 X 则 可 得 的 矩 法 估 计 量 为 ： ˆ X . 代 入 具 体 数 值 可 得 的 估 计 值 为 ：
1 n
ni1xi
15723 18
n
(xi )20
i1
解得：
ˆ
1 n
n i1
xi
x
ˆ2
1 n
n i1
(xi
x)2
n 1s2 n
21
注：lnx 是 x 的严格单增函数，lnL 与L有相同的 极大值，一般只需求lnL 的极大值.
求极大似然估计的一般步骤：
1. 写出似然函数
n
L (x 1 ,x 2 ,.x .n ; . ,) p (x i; 1 , 2 ,. .m .),
1(小 8 时 ).
17
X: p(x;)1ex, x0 (0)
2）极大似然估计
0 , other
1. 构造似然函数
当xi>0,（i=1,2, …,n) 时，似然函数为
n
L( )
1exi
e n
1in1xi
i1
1n
2. 取对数
lnLnlni 1xi
dlnL n 1 n
3. 建立似然方程 d 2i 1xi 0. 18
X1,,Xn 的联合分布列为： p(xi;),D,
n
i1
p (x i;)p (x 1,)p (x 2 ,)Lp (x n ,), D ,
i 1
{事X 件1x 1, ,X n 发x 生n } 的概率为
L ()L (x1,,xn;) 为 的函数，
n
p(xi;), 为样本的似然函数。
4
i1
xi !
n i1
x1i !
en
xi
i1
n
n
lnL()ln( xi!)n xi(ln)
n i1
i1
dL()
n
xi
i1
0
d
n
ˆ xi n x i 1
12
例4 设 X~U[a,b];a,b未知，x1, , xn 是一个样本值
求 a , b 的极大似然估计量.
解设
X的概率密度为：
p(x;a,b) b1a,axb; 0 ,其它
P { X x i} C m x ip x i(1 p )m x i i 0 ,1 ,L,m (0p 1 )
X1,, Xn
似然估计值。
解：设 x1,,xn是对 X1,应 ,Xn的样本值
似然函数为
n
n
L(p)
P{Xi xi}
C p xi xi m
(1p)mxi
i1
n
i1
n
n
xi
mn xi
{X1=x1，X2=x2，…,Xn=xn}
出现的可能性应最大, 其概率为
29
px(1 p)1x, P(x;p)
0,
x0,1; 其.它
L(x1,x2,..xn .;,p)
P{X 1x1,X2x2,..X .n,xn}
nP {X ixi} npxi(-1p)1-xi
i 1
i1
pi n1xi(-1p)ni n 1xi, (xi0,1 p ;0 1)
求解.
26
作业 P294 1；2；3；4
27
例6. 不合格品率的矩法估计
设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品率，
抽取了n件产品进行检查.
分析 设总体X 即抽一件产品的不合格产品数，相当于
抽取了一组样本X1，X2，… ，Xn , 且
1, 第i次取到不合格品；
Xi
0,
第i次取到合格.品
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
0,
0x1; 其他 .
求参数θ的极大似然估计, 并用矩法估计θ.
解 1) 极大似然估计法
1. 构造L似(x1然,..函.,x数n;)(1)nin1xi, 0xi 1;
0,
其它
2. 取对数： 当 0<xi<1, (i=1,2, …,n) 时
lnLnln(1) nlnxi
23
i1
p(x,)(1)x,
pˆX1 n
ni1
Xi
fn(A)
(即出现不合格产品的频率).
28
例7 不合格品率p 的估计
设 总体X是抽一件产品的不合格品数，记 p= P{X=1}=P{产品不合格}
则 X的分布列可表示为
px(1 p)1x, P(x;p)
0,
x0,1; 其.它
现得到X的一组样本X1，X2，…,Xn的实际观 察值为 x1, x2, …,xn , 则事件
i
解k个方程组1求 ,,得 k的极大似然估计
7
例1 设 X~B(1,p)X ;1,,Xn是来自总体X的一
个样本，试求参数 p 的极大似然估计值.
解：设 x1, , xn是一个样本值。X的分布列为：
P { X x i} p x i( 1 p ) 1 x i, x i 0 ,1 ;
故似然函数为
0,
0x1; 其他 .
2. 取对数： 当 0 < xi < 1, (i=1,2, …,n) 时