概率论第十九讲极大似然估计法

《概率论与数理统计》极大似然思想一般地说，事件A 与参数Θ∈θ有关，θ取值不同，则)(A P 也不同．若A 发生了，则认为此时的θ值就是θ的估计值．这就是极大似然思想．看一例子：例１、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率P ．分析：易知P 的值无非是1/4或3/4．为估计P 的值，现从袋中有放回地任取3只球，用X 表示其中的黑球数，则),3(~P b X ．按极大似然估计思想，对P 的取值进行估计．解：对P 的不同取值，X 取3,2,1,0=k 的概率可列表如下:X ０ １ ２ ３41=P 6427 6427 649 64143=P641 64964276427故根据极大似然思想即知：⎪⎩⎪⎨⎧===3,2,431,0,41ˆk k P ．在上面的例子中，P 是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4．在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于P 的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则P 就最象那个．二、似然函数与极大似然估计1、离散分布场合：设总体X 是离散型随机变量，其概率函数为);(θx p ，其中θ是未知参数．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本．n X X X ,,,21 的联合概率函数为∏=ni i X p 1);(θ，这里，θ是常量，n X X X ,,,21 是变量．若我们已知样本取的值是n x x x ,,,21 ，则事件},,,{2211n n x X x X x X === 发生的概率为∏=ni i x p 1);(θ．这一概率随θ的值而变化．从直观上来看，既然样本值n x x x ,,,21 出现了，它们出现的概率相对来说应比较大，应使∏=ni i x p 1);(θ取比较大的值．换句话说，θ应使样本值n x x x ,,,21 的出现具有最大的概率．将上式看作θ的函数，并用)(θL 表示，就有：∏===ni i n x p x x x L L 121);();,,,()(θθθ （１）称)(θL 为似然函数．极大似然估计法就是在参数θ的可能取值围Θ，选取使)(θL 达到最大的参数值θˆ，作为参数θ的估计值．即取θ，使);,,,(max )ˆ;,,,()(2121θθθθnn x x x L x x x L L Θ∈== （２） 因此，求总体参数θ的极大似然估计值的问题就是求似然函数)(θL 的最大值问题．这可通过解下面的方程0)(=θθd dL （３） 来解决．因为L ln 是L 的增函数，所以L ln 与L 在θ的同一值处取得最大值．我们称)(ln )(θθL l =为对数似然函数．因此，常将方程（３）写成：0)(ln =θθd L d （４） 方程（４）称为似然方程．解方程（３）或（４）得到的θˆ就是参数θ的极大似然估计值．如果方程（４）有唯一解，又能验证它是一个极大值点，则它必是所求的极大似然估计值．有时，直接用（４）式行不通，这时必须回到原始定义（２）进行求解．２、连续分布场合：设总体X 是连续离散型随机变量，其概率密度函数为);(θx f ，若取得样本观察值为n x x x ,,,21 ，则因为随机点),,,(21n X X X 取值为),,,(21n x x x 时联合密度函数值为∏=ni i x f 1);(θ．所以，按极大似然法，应选择θ的值使此概率达到最大．我们取似然函数为∏==ni i x f L 1);()(θθ，再按前述方法求参数θ的极大似然估计值．三、求极大似然估计的方法1、可通过求导获得极大似然估计：当函数关于参数可导时，常可通过求导方法来获得似然函数极大值对应的参数值．例２、设某工序生产的产品的不合格率为p ，抽n 个产品作检验，发现有T 个不合格，试求p 的极大似然估计．分析：设X 是抽查一个产品时的不合格品个数，则X 服从参数为p 的二点分布),1(p b ．抽查n 个产品，则得样本n X X X ,,,21 ，其观察值为n x x x ,,,21 ，假如样本有T 个不合格，即表示n x x x ,,,21 中有T 个取值为１，T n -个取值为０．按离散分布场合方法，求p 的极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∏=--=ni x x i i P p p L 11)1()(（２）对)(p L 取对数，得对数似然函数)(p l ：∑∑==--+-=--+=ni i ni i i p p x p n p x p x p l 11)]1ln([ln )1ln()]1ln()1(ln [)(（３）由于)(p l 对p 的导数存在，故将)(p l 对p 求导，令其为０，得似然方程：0)1(11)111(1)(11=-+--=-++--=∑∑==ni i n i i x p p p n p p x p n dp p dl （４）解似然方程得：x x n pni i ==∑=11ˆ （５）经验证，在x p =ˆ时，0)(22<dpp l d ，这表明x p =ˆ可使似然函数达到最大（６）上述过程对任一样本观测值都成立，故用样本代替观察值便得p 的极大似然估计为：X p=ˆ 将观察值代入，可得p 的极大似然估计值为：nTx p==ˆ，其中∑==ni i x T 1．若总体X 的分布中含有多个未知参数k θθθ,,,21 时，似然函数L 是这些参数的多元函数),,(1k L θθ ．代替方程（３），我们有方程组),,2,1(0)(ln k i L i==∂∂θ，由这个方程组解得kθθθˆ,,ˆ,ˆ21 分别是参数k θθθ,,,21 的极大似然估计值．例３、设某机床加工的轴的直径与图纸规定的中心尺寸的偏差服从),(2σμN ，其中2,σμ未知．为估计2,σμ，从中随机抽取100=n 根轴，测得其偏差为10021,,,x x x ．试求2,σμ的极大似然估计．分析：显然，该问题是求解含有多个（两个）未知参数的极大似然估计问题．通过建立关于未知参数2,σμ的似然方程组，从而进行求解．解：（１）写出似然函数：212222)(2212)(2)2(21),(σμσμπσσπσμ∑===---=--∏ni i i x n ni x ee L（２）写出对数似然函数：21222)(21)2ln(2),(∑=---=n i i x n l μσπσσμ（３）将),(2σμl 分别对2σμ、求偏导，并令它们都为０，得似然方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=∂∂=-=∂∂∑∑==0)(212),(0)(1),(1242221222ni i ni i x n l x l μσσσσμμσμσμ （４）解似然方程组得：x =μˆ，∑=-=ni i x x n 122)(1ˆσ （５）经验证2ˆ,ˆσμ使),(2σμl 达到极大， （６）上述过程对一切样本观察值成立，故用样本代替观察值，便得2,σμ的极大似然估计分别为：X =μˆ，2122)(1ˆn n i i S X X n =-=∑=σ．２、不可通过求导方法获得极大似然估计：当似然函数的非零区域与未知参数有关时，通常无法通过解似然方程来获得参数的极大似然估计，这时可从定义（２）出发直接求)(θL 的极大值点．例4、设总体X 服从均匀分布),0(θU ，从中获得容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，其观测值为n x x x ,,,21 ，试求θ的极大似然估计．分析：当写出其似然函数)(θL 时，我们会发现)(θL 的非零区域与θ有关，因而无法用求导方法来获得θ的极大似然估计，从而转向定义（２）直接求)(θL 的极大值．解：写出似然函数：⎩⎨⎧≤≤≤=-其它场合,00,)()()1(θθθn n x x L 为使)(θL 达到极大，就必须使θ尽可能小，但是θ不能小于)(n x ，因而θ取)(n x 时使)(θL 达到极大，故θ的极大似然估计为：)(ˆn X =θ． 进一步，可讨论估计θˆ的无偏性： 由于总体),0(~θU X ，其密度函数与分布函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,00,1)(θθx x p ，⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=θθθx x x x x F ,10,0,0)(，从而)(ˆn X =θ的概率密度函数为：θθθ<<==--y ny y p y F n p nn n 0,)()]([11ˆ θθθθθθθ≠+====⎰⎰1)()()ˆ(0ˆ)(n ndy ny dy y yp X E E nnn 这说明θ的极大似然估计)(ˆn X =θ不是θ的无偏估计，但对θˆ作一修正可得θ的无偏估计为：)(11ˆn X nn +=θ． 通过修正获得未知参数的无偏估计，这是一种常用的方法．在二次世界大战中，从战场上缴获的纳粹德国的枪支上都有一个编号，对最大编号作一修正便获得了德国生产能力的无偏估计．综上，可得求极大似然估计值的一般步骤．四、求极大似然估计的一般步骤1、由总体分布导出样本的联合概率函数（或联合密度）；2、把样本联合概率函数（或联合密度）中自变量看成已知常数，而把参数θ看作自变量，得到似然函数)(θL ；3、求似然函数)(θL 的最大值点（常转化为求对数似然函数)(θl 的最大值点）；4、在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的极大似然估计值．五、极大似然估计的不变性求未知参数θ的某种函数)(θg 的极大似然估计可用极大似然估计的不变原则，证明从略．定理（不变原则）设θˆ是θ的极大似然估计，)(θg 是θ的连续函数，则)(θg 的极大似然估计为)ˆ(θg ． 例5、设某元件失效时间服从参数为λ的指数分布，其密度函数为0,);(≥=-x e x f x λλλ，λ未知．现从中抽取了n 个元件测得其失效时间为n x x x ,,,21 ，试求λ及平均寿命的极大似然估计．分析：可先求λ的极大似然估计，由于元件的平均寿命即为X 的期望值，在指数分布场合，有λ1)(=X E ，它是λ的函数，故可用极大似然估计的不变原则，求其极大似然估计．解：（１）写出似然函数：∑===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ（２）取对数得对数似然函数：∑=-=ni i x n l 1ln )(λλλ（３）将)(λl 对λ求导得似然方程为：0)(1=-=∑=ni i x n d dl λλλ（４）解似然方程得：xxnni i1ˆ1==∑=λ经验证，λˆ能使)(λl 达到最大，由于上述过程对一切样本观察值成立，故λ的极大似然估计为：X1ˆ=λ； 根据极大似然估计的不变原则，元件的平均寿命的极大似然估计为：X X E ==λˆ1)(． 五、小结1、极大似然估计的思想；2、求解未知参数极大似然估计的一般步骤；3、极大似然估计的不变原则．。

极大似然法原理在统计学中，极大似然法是一种常用的参数估计方法。

它的原理是基于已知数据集的情况下，通过寻找最大概率使模型参数最接近真实值。

接下来，我们将围绕极大似然法原理进行分步骤的阐述。

第一步，定义似然函数。

似然函数是指在已知数据集的情况下，模型参数的取值所产生的概率。

假设我们要估计一个二项分布模型的参数p，数据集中有n个实例，其中有m个成功实例（成功实例概率为p）。

那么这个模型的似然函数可以表示为：L(p;m,n) = C(n,m) * p^m * (1-p)^(n-m)其中，C(n,m)表示从n个实例中选择m个成功的组合数。

这个式子中，p取值不同，所对应的似然函数值也不同。

第二步，求解极大化似然函数的参数值。

在求解参数值时，我们要找到一个能使似然函数取到最大值的p值。

这个过程可以通过求解似然函数的导数为零来实现。

即：dL/dp = C(n,m) * [m/(p)] * [(n-m)/(1-p)] = 0这个式子中，p的值是可以求出来的，即为p = m / n。

这个p值被称为最大似然估计值，意味着在该值下，似然函数取值最大。

这个值也是对真实参数值的一个良好估计。

第三步，检验极大似然估计值的可靠性。

为了检验极大似然估计值的可靠性，我们需要进行假设检验。

通常我们会计算一个置信区间，如果实际参数值在置信区间内，那么我们就认为估计值是可靠的。

置信区间可以通过计算似然函数的二阶导数来得到。

即：d^2L/dp^2 = -C(n,m) * [m/(p^2)] * [(n-m)/((1-p)^2)]计算得到极大似然估计值的二阶导数在该参数值下是负数。

根据二阶导数的符号，可以确定p = m / n是最大值，同时也可以计算出该置信区间的范围。

在这个过程中，我们还需要参考似然比值，以便更好地确定参数估计值。

综上所述，极大似然法是统计学中重要的一种参数估计方法。

它的原理在求解模型参数时非常实用，能够帮助我们更好地估计真实值，从而使得我们的模型更加准确。

极大似然估计及其性质一、极大似然估计 设联合密度函数为12(;),'()k f Y θθθθθ=则似然函数为似然函数(;)(;)L Y f Y θθ==为使关于θ的似然函数最大化，求θ的一个估计ˆθ，使获得的已观测到的样本值的概率自大化，即最大似然估计量（MLE ）。

定义对数似然函数为ln l L =则l l LL θθ∂∂=∂∂ 最大化l 的ˆθ值也会最大化L ，l 对θ的导数(;)s Y θ称作得分，将得分定义为0，即可解出（MLE ）ˆθ，即(;)0ls Y θθ∂==∂ 二、MLE 的性质 1、一致性。

ˆlim()P θθ= 2、渐进正态性。

1ˆ~(,())N I θθθ- 式中()I θ为信息矩阵2()'l l l I E E θθθθθ⎡⎤'⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎢⎥==- ⎪⎪⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 当θ是一个k 维向量时，lθ∂∂表示k 个偏导数组成的列向量，即12k l l l l θθθθ∂⎛⎫∂ ⎪ ⎪∂∂ ⎪∂= ⎪∂ ⎪ ⎪∂ ⎪∂⎝⎭ 而lθ∂∂的二阶导数为 222211212222212*'k k k k k kl l l ll l l θθθθθθθθθθθθ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎪⎪∂= ⎪∂∂⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭ 3、渐进有效性。

2ˆ)(0,)d N θθσ-−−→4、不变性。

如果ˆθ是θ的MLE ，()g θ是θ的连续函数，则ˆ()g θ是()g θ的MLE 。

5、得分的均值为0，方差为()I θ。

三、线性模型的极大似然估计 设2~(0,)Y XB UU N σ=+U 的多元正态密度函数为21()(')2221()(2)U U n f U eσπσ-=Y 关于X 的多元条件密度为(,)()U f Y X f U Y∂=∂ UY∂∂是由U 中元素关于Y 中元素的偏导数组成的n n ⨯矩阵转换成的行列式的绝对值，并且为恒等矩阵。

极大似然估计方法极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）方法是一种用于估计参数的统计方法，它基于观测到的样本数据，通过选择最大化观测数据出现的概率的参数值来估计未知参数。

极大似然估计是概率论和统计学中最重要的方法之一，广泛应用于各个领域的数据分析与建模中。

极大似然估计方法的核心思想是基于某一参数下观测数据出现的概率，选择使得这个概率最大的参数值。

具体而言，给定一个观测数据集合X，其来自于一个具有参数θ的概率分布，我们要估计未知参数θ的值。

极大似然估计的目标是找到一个参数值θ^，使得给定θ^条件下观测数据集合X出现的概率最大。

数学上，极大似然估计可以通过最大化似然函数来求解。

似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

极大似然估计的目标是寻找一个参数θ^，使得似然函数最大化，即：θ^ = arg max L(θ|X)为了方便计算，通常将似然函数转化为其对数形式，即对数似然函数：l(θ|X) = log L(θ|X)本文将主要介绍如何利用极大似然估计来估计参数。

具体而言，将分为两个部分：首先是介绍极大似然估计的理论基础，包括似然函数和对数似然函数的定义，以及如何通过最大化似然函数来估计参数；其次是通过一个实际的例子，展示如何使用极大似然估计来求解参数。

理论基础似然函数是极大似然估计的核心概念之一。

似然函数是一个参数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的定义如下：L(θ|X) = P(X|θ)数的函数，表示给定某个参数θ下观测数据出现的概率。

似然函数的值越大，则表示给定参数θ的取值越可能产生观测数据X。

对数似然函数是似然函数的对数变换，通常在实际计算中会更加方便。

它的定义如下：l(θ|X) = log L(θ|X)对数似然函数和似然函数存在着一一对应关系，因此在求解参数时，两者等价。

极大似然估计的原理和思想
极大似然估计是统计学上常用的参数估计方法之一，其原理和思想可以概括为以下两点：
1. 最大化似然函数：似然函数表示了观察到某一样本所取得的结果出现的概率。

极大似然估计的思想是通过调整参数的取值，使得观察到的样本的似然函数达到最大化。

换句话说，极大似然估计希望通过选择最合适的参数取值，使得观察到的结果出现的概率最大化。

2. 假设样本独立同分布：极大似然估计的原理基于多个独立同分布的样本。

换句话说，极大似然估计假设每个样本的出现都是独立的，且每个样本的生成过程都是相互独立的。

通过将多个样本的似然函数进行乘积，可以得到所有样本的似然函数。

然后，通过最大化整体样本集的似然函数，来估计参数的取值。

总的来说，极大似然估计的原理和思想是通过选择合适的参数取值，使得观察到的样本出现的概率最大化。

通过对样本的独立同分布假设，并最大化样本集的似然函数，可以得到最优的参数估计值。

最大似然估计法是一种可以用来估计参数的数学方法，它是统计学中
最常用的估计方法之一。

本文将介绍最大似然估计法解题的步骤。

第一步：确定似然函数。

最大似然估计法是一种在给定数据条件下求
取参数和特征值的估计方法，它将一个参数模型的似然函数定义为样
本数据的概率密度。

要确定这个似然函数，我们必须首先确定模型的
数学表达式，这一步是重要的，它将决定似然函数的形式，因此决定
最大似然估计法的参数模型。

第二步：求取参数的似然估计值。

在确定了似然函数后，我们就可以
计算出参数的似然估计值了。

由于模型中参数之间可能存在相关性，
这时就可以使用最大似然估计法来求解参数估计值。

最大似然估计值
就是求出似然函数概率密度最大值点所代表的参数值。

第三步：解释解决结果。

在获得了参数的似然估计值后，可以对拟合
后的结果进行解释，说明为什么模型准确地估计了参数值。

最后，最大似然估计是一种有效的数学方法，本文介绍了最大似然估
计法解题的步骤，也就是确定似然函数，求取参数的似然估计值，以
及解释解决结果。

并且，本文还强调了最大似然估计法的重要性和有
用性，在实际应用中，最大似然估计法可以给出准确可靠的估计结果。

极大似然估计基本原理极大似然估计（Ma某imum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种参数估计方法。

它基于一种统计模型，假设样本数据来自于某个具有未知参数的分布，最大化该分布下样本数据出现的概率，从而求解出未知参数的估计值。

1.假设统计模型：极大似然估计的第一步是设定统计模型，即假设样本数据来自于某个概率分布。

例如，我们可以假设数据来自于正态分布、泊松分布等。

2.建立似然函数：似然函数是指给定参数值下，样本数据出现的概率。

它可以通过将每个样本的概率密度函数（或概率质量函数）连乘起来得到。

例如，如果假设数据服从正态分布，那么似然函数就是每个样本的正态分布概率密度函数的连乘。

3. 构建目标函数：目标函数是似然函数取对数后的相反数，即-log(似然函数)。

由于极大似然估计是通过最大化似然函数来求解参数的估计值，因此可以等价地最小化目标函数。

4.求解参数：通过最小化目标函数，求解出使目标函数取最小值的参数值，即为参数的极大似然估计值。

1.有效性：大样本情况下，极大似然估计具有一致性和渐进正态性，即估计值的均值趋向于真实参数，估计值的分布趋向于服从正态分布。

2.渐进有效性：在渐进意义下，极大似然估计通常具有较小的渐进方差，即相对于其他无偏估计方法，它的估计误差更小。

3.一致性：当样本量趋于无穷时，极大似然估计的估计值将收敛于真实参数，即估计的误差趋向于0。

4.渐近正态性：在大样本下，极大似然估计服从正态分布，这使得可以对参数的置信区间等进行统计推断。

需要注意的是，极大似然估计也存在一些缺点：1.对数据假设要求严格：极大似然估计需要明确的分布假设，如果对数据的分布假设不准确，可能导致估计结果不可靠。

2.处理复杂问题困难：当样本数据较复杂，模型包含大量参数时，计算似然函数和求解参数可能变得困难。

3.有可能出现估计偏差：当样本数据量较小时，极大似然估计可能会出现估计偏差，即估计值与真实参数间存在较大误差。

参数估计极大似然法参数估计是统计学中的一个重要问题，其目标是根据观测数据来估计未知参数的值。

极大似然法（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的参数估计方法，它是在给定观测数据情况下，通过寻找使得观测数据出现概率最大的参数值来进行参数估计的。

极大似然法的基本思想是，对于给定的观测数据，将参数看作是自变量，而观测数据的概率函数则是关于参数的函数。

最大化这个概率函数，即寻找参数空间中的一个点，使得在此点处的似然函数取得最大值，并称这个点上的参数值为极大似然估计值。

首先，我们需要定义似然函数。

给定一个随机变量X，其概率密度函数为f(x;θ)，其中θ为待估的参数。

对于n个独立同分布的观测值{x1, x2, ..., xn}，其似然函数L(θ; x1, x2, ..., xn)定义为：L(θ; x1, x2, ..., xn) = f(x1;θ) *f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)经过对数变换，我们可以将似然函数转化为对数似然函数，即：ln L(θ; x1, x2, ..., xn) = ln f(x1;θ) + ln f(x2;θ) + ...+ ln f(xn;θ)这样的转换是合理的，因为对数函数是一个连续且单调递增的函数，最大化对数似然函数值等价于最大化似然函数值。

接下来，我们需要找到使得对数似然函数取得最大值的参数值。

为了寻找这个极值点，我们可以使用一些优化算法，比如梯度下降法、牛顿法等。

这些算法可以通过不断迭代来逼近最大化对数似然函数值的参数值。

当然，寻找极大似然估计值的过程可能会面临一些困难，比如求解似然函数和对数似然函数的最大值可能涉及到复杂的计算问题，此外，对于一些复杂模型，可能无法直接找到解析解。

在这些情况下，我们可以利用数值优化算法来近似求解，或者通过一些近似方法来简化问题。

需要注意的是，极大似然估计的结果并不一定是无偏的，也不一定是最优的。

极大似然估计公式推导极大似然估计是一种常用的统计参数估计方法，其核心思想是基于已知的样本数据，通过最大化似然函数来估计未知的参数值。

它在统计学中有着广泛的应用，并且在大量实际问题中都得到了验证和应用。

我们需要明确似然函数的概念。

似然函数是指已知样本数据和未知参数之间的关系函数，其数学表达形式为在给定参数条件下，样本数据发生的概率密度函数或概率质量函数。

通过调整参数的取值，使得似然函数最大化，就可以得到对未知参数值的估计。

在推导极大似然估计公式之前，我们先来看一个简单的例子。

假设有一组观测样本数据{x1, x2, ... , xn}，其服从某个参数为θ的概率分布。

我们的目标是通过这些观测样本数据，估计出参数θ的值。

我们需要建立参数θ的似然函数L(θ)。

对于离散型分布，似然函数可以表示为样本数据出现的概率质量函数的乘积；对于连续型分布，则为概率密度函数的乘积。

假设我们的样本数据是独立同分布的，那么似然函数可以表示为：L(θ) = f(x1;θ) * f(x2;θ) * ... * f(xn;θ)其中，f(xi;θ)表示样本数据xi在参数θ条件下的概率密度函数或概率质量函数。

接下来，我们需要找到使得似然函数最大化的参数值。

在实际应用中，通常会对似然函数取对数，即lnL(θ)，这是因为对数函数具有单调性，可以保持极值点的位置不变，但是更容易求导。

因此，我们可以将似然函数转化为对数似然函数：lnL(θ) = ln[f(x1;θ)] + ln[f(x2;θ)] + ... + ln[f(xn;θ)]接下来，我们需要求解对数似然函数关于参数θ的导数，并令其等于0，求出使得对数似然函数取得极大值的参数值。

这个过程通常需要使用一些数学技巧，如求导、求和等。

最终，我们可以得到极大似然估计的公式。

对于连续型分布，极大似然估计的公式通常可以表示为：∂lnL(θ)/∂θ = 0对于离散型分布，极大似然估计的公式通常可以表示为：∂lnL(θ)/∂θ = ∑(x∈X) P(x;θ) * ∂lnP(x;θ)/∂θ = 0其中，X表示样本空间，P(x;θ)表示概率质量函数。

极大似然估计公式极大似然估计公式是数理统计学中最基础的公式之一，用于确定一个概率模型中未知参数的最优值。

其思想是在给定一组观测数据的情况下，选择那个使得这组数据出现的可能性最大的参数值作为模型的估计值。

具体地说，假设我们有一个概率模型 $f(x|theta)$，其中$x$ 表示观测数据，$theta$ 表示模型中的未知参数。

我们的目标是在给定观测数据 $x_1,x_2,ldots,x_n$ 的条件下，求解参数$theta$ 的最优值。

为了实现这个目标，我们考虑定义一个似然函数$L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$，表示在给定参数 $theta$ 的情况下，观测数据 $x_1,x_2,ldots,x_n$ 出现的概率密度。

具体地，我们有：$$L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n) = f(x_1|theta) f(x_2|theta) cdots f(x_n|theta)$$接下来，我们选择那个使得似然函数最大的参数值$hat{theta}$ 作为模型的最优估计值，即：$$hat{theta} = mathop{argmax}_{theta}L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$$这个过程称为极大似然估计。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常对似然函数的对数取负数，得到一个负对数似然函数 $-ln L(theta|x_1,x_2,ldots,x_n)$，并将其最小化，这样做的好处是能够避免数值上溢问题，同时优化起来也更加方便。

因此，极大似然估计的实际形式为：$$hat{theta} = mathop{argmin}_{theta} left[ -lnL(theta|x_1,x_2,ldots,x_n) right]$$需要特别注意的是，极大似然估计并不保证估计值一定是唯一的，也不保证估计值是无偏的。

因此，在实际应用中，我们需要对估计值进行一定的分析和检验，以保证其准确性和可靠性。