八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考练习新版北师大版03312100

八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2 等腰三角形课后作业（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.2 等腰三角形课后作业（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1。

2 等腰三角形课后作业1．下列说法:①等边三角形的每一个内角都等于60°;②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的中线互相重合．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC,垂足为D,点E是AC上一点,且AD＝AE，则∠CDE等于（）A．30° B．20° C．15° D．10°3．如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C，D，E在同一直线上，且CG ＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．4．如图，在等边三角形ABC中,D是BC上的一点，延长AD至E,使AE＝AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O。

求∠E的度数．参考答案1．D2．C3．154．解:∵△ABC是等边三角形,BF是高，∴∠ABO＝错误!∠ABC＝30 °，AB＝AC.∵AE＝AC，∴AB＝AE。

∵AO平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD.在△ABO和△AEO中，｛AB＝AE，∠BAO＝∠EAO，，AO＝AO ∴△ABO≌△AEO(SAS)．∴∠E＝∠ABO＝30 °。

第一章三角形的证明回顾与思考（2）微习题一、选择题：1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10B.8C.10D.6或125.如图，已知∠E=∠F,∠B=∠C，AE=AF,结论:(1)EM=FN;(2)CD=DN;(3)∠FAN=∠EAM;(4) △CAN≌△ABM.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题:6.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .7.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.8.如图，已知∠BAC=120°,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB= °.9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM平分∠C AB，CM=20cm，则点M到AB的距离是_____.第6题图第5题图第3题图第2题图第8题图第9题图10.在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是. 三、解答题:11.如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合），MD ⊥BC ，且交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MA=MD .12.如图所示，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边△ABD ，连接DC ，以DC 为边作等边△DCE ，B ，E 在C ，D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°, AC =2AB ,点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A ，D 重合，连接BE ，EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．第11题图第12题图第13题图14.如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.第14题图15.已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．第15题图答案1.B 解析：只有②④正确.2.A 解析：∵∠BAC =90°，AB =3，AC =4， ∴2222 34 5BC AB AC =+=+=，∴ BC 边上的高=123455⨯÷=. ∵ AD 平分∠BAC ，∴点D 到AB ，AC 的距离相等，设为h ， 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =， 1121123 2725ABDS BD ∆=⨯⨯=⨯，解得157BD =．故选A ． 3.B 解析：因为，所以. 因为，所以.又因为， 所以，所以所以4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.5.C 解析：因为， 所以△≌△（），所以，所以， 即故③正确. 又因为，所以△≌△（ASA ）， 所以，故①正确. 由△≌△，知， 又因为， 所以△≌△，故④正确.由于条件不足，无法证得②故正确的结论有：①③④.6.100° 解析:如图所示，由AB =AC ，AO 平分∠BAC ，得AO 所在直线是线段BC 的垂直平分线，连接OB ，则OB=OA=OC ，所以∠OAB =∠OBA =×50°=25°，得∠BOA=∠COA=1802525130,︒-︒-︒=︒∠BOC=360°-∠BOA -∠COA =100°.所以∠OBC=∠OCB=1801002︒-︒ =40°. 由于EO=EC ，故∠OEC =180°-2×40°=100°.7.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点；锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部；钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.8. 60︒ 解析:∵ ∠BAC=120︒，AB=AC ，∴ ∠B=∠C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒ ∵ AC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴ AD=CD .∴ 30,C DAC ∠=∠=︒∴ 303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒9.20 cm10.4∶3 解析：如图所示，过点D 作DM ⊥AB ，DN ⊥AC ， 垂足分别为点M 和点N .∵ AD 平分∠BAC ，∴ DM ＝DN .∵ AB ×DM ，AC ×DN ，∴ .11.证明：∵MD ⊥BC ,∠B =90°，∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D.又∵ AD 为∠BAC 的平分线，∴ ∠BAD =∠MAD .∴ ∠D =∠BAD .∴ MA =MD .12.解：因为△ABD 和△CDE 都是等边三角形，所以，∠∠60°.所以∠∠∠∠， 即∠∠.在△和△中，因为所以△≌△，所以.又，所以.在等腰直角△中，2，故.13.解：，BE⊥EC.证明：∵，点D是AC的中点，∴.∵∠∠45°，∴∠∠135°.∵，∴△EAB≌△EDC.∴∠∠.∴∠∠90°.∴⊥.14.证明：∵AE∥BD，∴∠EAC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠EAC＝∠B.又∵∠BAD＝∠ACE＝90°，∴△ABD≌△CAE（ASA）.∴AD＝CE.15.证明：∵，∴∠∠．∵于点，∴∠∠．∴∠∠∠∠．∴∠∠．∵∠∠，∴∠∠．∴△是等腰三角形.。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．84．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN ＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.58．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝，DE＝．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明同步测试答案一．选择题1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是（）A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF解：条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），故选：A．2．如图，点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∠BOD是直角．若∠1＝25°，那么∠BOE的度数是（）A．90°B．145°C．155°D．165°解：∵点O在直线AE上，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝∠COE＝90°，∵∠DOB是直角，∠1＝25°，∴∠BOC＝∠DOB﹣∠1＝90°﹣25°＝65°，∴∠BOE＝∠COE+∠BOC＝90°+65°＝155°．故选：C．3．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．8解：如上图：满足条件的点N共有（﹣2，0）（2，0）（2，0）（4，0）．故选：B．4．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法错误的是（）A. ．两点关于所在直线对称B. ．两点关于所在直线对称C. 是等腰三角形D. 射线是的平分线解：连接．，根据作图得到．．在与中，（），，即射线是的平分线，正确，不符合题意；根据作图得到，是等腰三角形，正确，不符合题意；根据作图得到，又射线平分，是的垂直平分线，．两点关于所在直线对称，正确，不符合题意；根据作图不能得出平分，不是的平分线，．两点关于所在直线不对称，错误，符合题意．故答案为：．两点关于所在直线对称5．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解：①．∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②．∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④．∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．6．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），故选：A．7．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5解：过点P作PD⊥CB于点D，∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，∴DC＝6，∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，∴MD＝ND＝1.5，∴CM＝6﹣1.5＝4.5．故选：D．8．在如图中，，于，于，．交于点，则下列结论中不正确的是（）A. B. 点在的平分线上C. D. 点是的中点解：，于，于，，，故本选项正确；，，，，，，点在的平分线上，故本选项正确；，，，，，，正确；是的中点，无法判定，故本选项错误．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE ＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．10．如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建（）A．A处B．B处C．C处D．D处解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，所以EF上的点到M．N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．11．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（）A. B. C. D.解：在中，，为的中点，．12．下列命题是假命题的是（）A．矩形的对角线相等且互相平分B．两点之间，线段最短C．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直D．角平分线上的点到角两边的距离相等解：A．矩形的对角线相等且互相平分，是真命题；B．两点之间，线段最短，是真命题；C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题；故选：C．二．填空题13．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件：AC＝AD（写出一个条件即可），可使Rt△ABC与Rt△ABD全等．解：条件是AC＝AD，∵∠C＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故答案为：AC＝AD．14．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．解：在Rt△AEC和Rt△DAB中∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．15．如图，已知，垂直平分交．于．两点，若，，则的周长为．解：垂直平分，，的周长．故答案为：．16．如图，在中，，平分，交于点，若，则．解：，，平分，，．17．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．18．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC ＝6cm，则AC＝5cm，DE＝8cm．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．三．解答题19．已知：如图1，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝90°求证：Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等．（1）请你用“如果…，那么…”的形式叙述上述命题；（2）如图2，将△ABC和A′B′C′拼在一起（即：点A与点B′重合，点B与点A′重合），BC和B′C′相交于点O，请用此图证明上述命题．解：（1）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等；（2）在△ACO和直角△A'C'O′中，，∴△ACO≌△A′C′O，∴OC＝C′O，AO＝A′O，∴BC＝B′C′，在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E．F，求证：DE＝DF．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵点D为BC中点，∴DB＝DC，∴在△DBE和△DCF中，∴△DBE≌DCF（AAS），∴DE＝DF．21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，FE是AC的垂直平分线，交AD于点F，连接BF．求证：AF＝BF．证明：连接CF，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴BF＝CF，∵FE垂直平分AC，∴AF＝CF，∴AF＝BF．22．已知：如图，在△BAC中，AB＝AC，D，E分别为AB，AC边上的点，且DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．23．如图，已知∠CPB＝65°，AB∥CP，点D，E分别是PC，PB上一点，连接DE，使DE＝PE，∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．（1）∠BED＝130°；（2）求∠BFD的度数．解：（1）∵DE＝PE，∴∠EDP＝∠CPB＝65°，∴∠BED＝∠EDP+∠CPB＝130°，故答案为：130；（2）∵AB∥CP，∴∠ABP+∠CPB＝180°，∴∠ABP＝115°，∵∠EDP＝65°，∴∠CDE＝115°，∵∠CDE的平分线与∠ABE的平分线交于点F．∴∠FBE＝∠ABE＝57.5°，∠FDE＝∠CDE＝57.5°，∴∠BFD＝360°﹣57.5°﹣57.5°﹣130°＝115°．24．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边，且∠ABC＝45°．（1）图1中：∠DEF＝45°，图2中：∠DEF＝135°；（2）请观察图1．图2中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系，请你归纳出一个命题．解：（1）图1，∵AB∥DE，∴∠B＝∠DGC＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF＝∠DGC＝45°；图2，∵AB∥DE，∴∠B＝∠BGE＝45°，∵BC∥EF，∴∠DEF+∠BGE＝180°，∴∠DEF＝180°﹣45°＝135°；故答案为45°，135°；（2）∠DEF与∠ABC相等，∠DEF与∠ABC互补，结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．。

《回顾与思考》学习目标1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。

2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。

学习重点通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 学习难点本章知识的综合性应用。

学习过程第一环节：知识回顾1.第二环节：题组训练 （一）.等腰三角形1.等腰三角形的一边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）． A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或152．等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______． 3．等腰三角形的一个角是80°，则它的另两个角是 ． 4.等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为 . 5.如图，在 中，D 是AC 上的一点，且 ，，则_______，______，________.6.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD,求∠EDC 的度数通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线 角的平分线（二）等边三角形1.如图，等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若△ABC的周长为12，则△DCE的周长为___________．2.如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD相交于点P.求：的度数.（三）线段的垂直平分线1.如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．2如图，中，DE垂直平分的周长为13，那么的周长为__________．3.如图,△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,EF垂直平分AB, EF=2．求AB与BC的长．（四）角平分线1.如图，在△ABC中，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________.2.如图，已知：在中，，AD=BD=BC,求∠A的度数3.．如图，中，，试说明：．（五）命题1.下列命题中正确的是 ( )A．有两条边相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等 D．一边对应相等的两个等边三角形全等2.下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形两腰上的高相等C．全等三角形的周长相等 D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似（六）作图如图，求作一点P，使，并且使点P到的两边的距离相等，并说明你的理由．三：综合练习1.如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？2. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FGFCBE GAABCDEF1 22019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．式子2x+有意义的实数x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0C．x≥﹣2D．x＞﹣22．如图所示，已知A（12，y1），B(2,y2)为反比例函数1yx=图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．(12，0) B．(1,0) C．(32,0) D．(52,0)3．下列根式中，不．是．最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形5．正八边形的每一个内角的度数为：( )A．45°B．60°C．120°D．135°6．如图，点P（-3，3）向右平移m个单位长度后落在直线y=2x-1上，则m的值为（）A．7 B．6 C．5 D．47．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80,90,75,80,75,80.下列关于对这组数据的描述错误的是（ ） A ．中位数是75B ．平均数是80C ．众数是80D ．极差是159．P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是正比例函数1y x 2=-图象上的两点，下列判断中，正确的是 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．当x 1＜x 2时，y 1＜y 2D ．当x 1＜x 2时，y 1＞y 210．计算()1524555⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．7B ．-5C ．5D ．-7二、填空题11．如图所示，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点C ，分别取CA 、CB 的中点E ，F ，测的18EF m =，则A ，B 两点间的距离是______m .12．若一次函数y=kx+b ，当－3≤x≤1时，对应的y 值满足1≤y≤9，则一次函数的解析式为____________. 13．请写出8的一个同类二次根式：________.14．计算：26342m m m --+＝_____.15．计算：（﹣23）2＝_____．16．已知α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____． 17．在某次数学测验中，班长将全班50名同学的成绩（得分为整数）绘制成频数分布直方图（如图），从左到右的小长方形高的比为0.6:2:4:2.2:1.2，则得分在70.5到80.5之间的人数为________.三、解答题18．计算：（1212×32． 19．（6分）某校初中部三个年级共挑选100名学生进行跳绳测试，其中七年级40人，八年级30人，九年级30人，体育老师在测试后对测试成绩进行整理，得到下面统计图表.年级 平均成绩 中位数 众数 七年级 78.5 m 85 八年级 80 78 82 九年级828584（1）表格中的m 落在 组（填序号）；①4050x ≤<； ②5060x ≤<；③6070x ≤<；④7080x ≤<；⑤8090x ≤<；⑥90100x ≤<；⑦100110x ≤<（2）求这名100学生的平均成绩；（3）在本次测试中，八年级与九年级都只有1位学生跳80下，判断这两位学生成绩在自己所在年级参加测试学生中的排名，谁更考前？请简要说明理由. 20．（6分）已知函数的图象经过第四象限的点B （3，a ），且与x 轴相交于原点和点A（7，0）（1）求k 、b 的值；（2）当x 为何值时，y ＞﹣2；（3）点C 是坐标轴上的点，如果△ABC 恰好是以AB 为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点C 的坐标21．（6分）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A 型号与B 型号两种足球，其中A 型号足球的批发价是每个200元，B 型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A ，B 两种型号足球共100个.(1)若该校购买A ，B 两种型号足球共用了22000元，则分别购买两种型号足球多少个?(2)若该校计划购进A 型号足球的数量不多于B 型号足球数量的9倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由22．（8分）如图，AD =CB ,AB =CD ，求证：△ACB ≌△CAD23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1:=-+l y x b 与x 轴的正半轴交于点()6,0A ，与直线2:l y kx =交于点B ，若B 点的横坐标为3，求直线1l 与直线2l 的解析式．24．（10分）用适当的方法解下列方程： （1）5x 2＝4x（2）（x+1）（3x ﹣1）＝025．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，ABCO 的顶点A 、C 的坐标分别为(3,0)A -、(1,2)C ，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B .(1)求点B 的坐标； (2)求k 的值.(3)将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在点C '处.判断点C '是否落在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，请通过计算说明理由.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．C 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】, ∴x+1≥0, ∴x≥﹣1． 故选：C ． 【点睛】考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2．D 【解析】 【分析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12， ∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ， 把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝， 解得：k=-1，b=52， ∴直线AB 的解析式是y=-x+52， 当y=0时，x=52， 即P （52，0）， 故选D ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 3．D 【解析】 【分析】按照最简二次根式的定义判断即可. 【详解】 解：因为=，所以不是最简二次根式，而、、都是最简二次根式，故选D.【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，看是否同时满足最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式），同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．4．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵62+82=102，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是根据勾股定理的逆定理解答．5．D【解析】【分析】【详解】180°-360°÷8=135°，故选D.【点睛】错因分析较易题.失分原因：没有掌握正多边形的内角公式.6．C【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出点P平移后的坐标，结合点P的坐标即可求出m的值．【详解】解：当y=3时，2x-1=3，解得：x=2，∴m=2-（-3）=1．故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点P平移后的坐标是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念即可解答．【详解】选项A ，旋转180°，与原图形不能够完全重合，不是中心对称图形；选项B ，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项C ，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项D ，旋转180°，能与原图形能够完全重合，是中心对称图形；故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟练运用中心对称图形的概念（在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）是解决问题的关键．8．A【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数及极差的概念进行判断．【详解】解：将6名同学的成绩从小到大排列，第3、4个数都是80，故中位数是80，∴答案A 是错误的，其余选项均正确．故选：A ．【点睛】本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及其求法．9．D【解析】试题分析：∵1y x 2=-，k=12-＜0，∴y 随x 的增大而减小． ∴当x 1＜x 1时，y 1＞y 1．故选D ．10．C【解析】【分析】利用最简二次根式的运算即可得.【详解】((((5⎛÷=÷=-÷= ⎝本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.二、填空题11．36【解析】【分析】根据E、F是CA、CB的中点，即EF是△CAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解.【详解】解：据E、F是CA、CB的中点，即EF是△CAB的中位线，∴EF=12 AB，∴AB=2EF=2×18=36.故答案为36.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理应用，灵活应用三角形中位线定理是解题的关键. 12．y=2x+7或y=-2x+1【解析】解：分两种情况讨论：（1）当k＞0时，319k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：27kb=⎧⎨=⎩，此时y=2x+7；（2）当k＜0时，391k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：23kb=-⎧⎨=⎩，此时y=-2x+1．综上所述：所求的函数解析式为：y=2x+7或y=-2x+1．点睛：本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．13【解析】=．（答案不唯一）．考点：1．同类二次根式；2．开放型．14．32 -m先通分，再把分子相加减即可．【详解】解：原式= 63(2)(2)(2)(2)(2)--+-+-m m m m m m 636(2)(2)3(2)(2)(2)32-+=+-+=+-=-m m m m m m m m 故答案为：32-m 【点睛】本题考查的是分式的加减，熟知异分母的分式相加减的法则是解答此题的关键．15．49. 【解析】【分析】根据乘方的定义计算即可.【详解】 （﹣23）2＝49． 故答案为：49． 【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·a ·…·a 计作a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数.16．1【解析】【分析】根据根与系数的关系可得：α+β＝2019，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+22019 中即可求出结论．【详解】∵α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α+β＝2019，αβ＝1，∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+22019＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键. 17．20【解析】【分析】所有小长方形高的比为0.6：2：4：2.2：1.2，可以求出得分在70.5到80.5之间的人数的小长方形的高占总高的比，进而求出得分在70.5到80.5之间的人数．【详解】 解：450=200.624 2.2 1.2⨯++++人 故答案为：20【点睛】考查频数分布直方图的制作特点以及反映数据之间的关系，理解各个小长方形的高表示的实际意义，用所占比去乘以总人数就得出相应的人数．三、解答题18．10－40 【解析】【分析】先化简二次根式，然后利用乘法的分配率进行计算，最后化成最简二次根式即可．【详解】原式＝（）÷＝（3）÷ 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式运算的法则和运算律．19．（1）④；（2）80；（3）八年级得80分的那位同学名次较靠前，理由详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，七年级由40人，则中位数应该在第20和21个人取平均值，即可得到答案；（2）利用加权平均数，即可求出100名学生的平均成绩；（3）由题意，八九年级人数一样，则比较中位数，即可得到答案.【详解】解：根据直方图可知，七年级第20和第21个人都落在7080x ≤<；故答案为：④.(2)这100名学生的平均成绩为： 78.5408030823080100x ⨯+⨯+⨯==； (3)八年级得80分的那位同学名次较靠前，理由如下：依题意得：八年级和九年级被挑选的学生人数相同，分别把两个年级的成绩按从高到低排列，由两个年级的中位数可知，八年级跳80下的学生在该年级排名中上，而八年级跳80下的学生在该年级排名中下，八年级得80分的那位同学名次较靠前.【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键．20．（1）；（2）x ＜2或x ＞时，有y ＞﹣2；（3）点C 的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得k 和b 的值；（2）将y=-2代入函数中，分别计算x 的值，根据图象可得结论；（3）分两种情况画图，以∠BAC 和∠ABC 为顶角，根据AB=5和对称的性质可得点C 的坐标．【详解】（1）当x=3时，a=-3，∴B （3，-3），把B （3，-3）和点A （7，0）代入y=kx+b 中，得：，解得：；（2）当y=-2时，-x=-2，x=2，，解得，，如图1，由图象得：当x＜2或x＞时，y＞-2；（3）∵B（3，-3）和点A（7，0），∴AB==5，①以∠BAC为顶角，AB为腰时，如图2，AC=AB=5，∴C（2，0）或（12，0）；②以∠ABC为顶角，AB为腰时，如图3，以B为圆心，以AB为腰画圆，当△ABC是等腰三角形时，此时存在三个点C，得C3（-1，0），由C3与C4关于直线y=-x对称得：C4（0，1）由C5与点A关于直线y=-x对称得：C5（0，-7）综上，点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．【点睛】本题是分段函数与三角形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的判定，同时还要注意运用数形结合与分类讨论的思想解决问题．21． (1)该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2)最省钱的购买方案为:A 型足球90个，B 型足球10个.【解析】【分析】（1）设购买A 型号足球x 个，B 型号足球y 个，根据总价=单价×数量，结合22000元购买A ，B 两种型号足球共100个，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A 型号足球m 个，总费用为w 元，则购买B 型号足球（100-m ）个，根据总价=单价×数量可得出w 关于m 的函数关系式，由购进A 型号足球的数量不多于B 型号足球数量的9倍可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：(1) 设购买A 型号足球x 个，B 型号足球y 个，依题意，得10020025022000x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解之得6040x y =⎧⎨=⎩答:该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2) 设购买A 型号足球m 个，总费用为w 元，则购买B 型号足球（100-m ）个，根据题意得w=200m+250(100-m)=-50m+25000又∵m≤9(100-m)；∴0<m≤90或(m≤90)∵K=-50<0∴w 随m 的増大而減小∴当m=90肘w 最小∴最省钱的购买方案为：A 型足球90个，B 型足球10个．故答案为：(1)该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2)最省钱的购买方案为:A 型足球90个，B 型足球10个．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，找出w 关于m 的函数关系式．22．见解析【解析】【分析】利用SSS 即可证明.【详解】证明：在△ACB 与△CAD 中AD CB AB CD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CAD （SSS ）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，能够根据SSS 证明三角形全等是解题的关键.23．直线l 1的解析式为y=﹣x+6，直线l 2的解析式为y=x ．【解析】【分析】把A （6，0）代入y=﹣x+b 求得直线l 1的解析式，把B 点的横坐标代入y=﹣x+6得到B 点的坐标，再把B 点的坐标代入y=kx ，即可得到结论．【详解】∵直线l 1：y=﹣x+b 与x 轴的正半轴交于点A （6，0），∴0=﹣6+b ，∴b=6，∴直线l 1的解析式为y=﹣x+6； ∵B 点的横坐标为3，∴当x=3时，y=3，∴B （3，3），把B （3，3）代入y=kx 得：k=1，∴直线l 2的解析式为y=x ．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 24．（1）x 1＝0，x 2＝45；（2）x 1＝﹣1，x 2＝13． 【解析】【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）由原方程，得x （5x ﹣4）＝0，则x ＝0或5x ﹣4＝0，解得x 1＝0，x 2＝45； （2）（x+1）（3x ﹣1）＝0，x+1＝0或3x ﹣1＝0，x 1＝﹣1，x 2＝13． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学转化思想）． 25． (1)B (2,2)-；(2)4k =-；(3)点C '不落在反比例函数图像上.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得B 的坐标；（2）已知B 的坐标，可得k 的值；（3）根据图形全等和对称，可得C '坐标，代入反比例函数，可判断是否在图像上.【详解】解：(1)∵平行四边形ABCO ，∴OA BC =，∵A 的坐标为(3,0)-，∴3BC OA ==，∵C 的坐标为(1,2)，∴点B 的坐标为(2,2)-；(2)把B 的坐标代入函数解析式得：22k =-， ∴4k =-.(3)点C '不落在反比例函数图像上；理由：根据题意得：C '的坐标为(1,2)-，当1x =时，4421y =-=-≠-， ∴点C '不落在反比例函数图像上.【点睛】本题综合考查平行四边形性质、反比例函数、图形翻折、全等等知识.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知数据：1，2，0，2，﹣5，则下列结论错误的是（ ）A ．平均数为0B ．中位数为1C ．众数为2D ．方差为342．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 3．关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．6m <-且2m ≠ B ．6m >且2m ≠ C ．6m <且2m ≠- D ．6m <且2m ≠4．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm,BC=4cm 动点P 从B 点出发，沿B-C-D-A 方向运动至A 处停止.设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，x,y 关系（）,A ．B ．C ．D ．5．如图，在正方形ABCD 中，以点A 为圆心，以AD 长为半径画圆弧，交对角线AC 于点E ，再分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 长为半径画圆弧，两弧交于点F ，连结AF 并延长，交BC 的延长线于点P ，则P ∠的大小为（ ）A ．22︒B ．22.5︒C ．25︒D ．27.5︒6．如图，E 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BR 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A ．22B ．2C ．23D ．837．经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则得到的新多边形的外角和（ ）A ．比原多边形多180︒B ．比原多边形少180︒C ．与原多边形外角和相等D ．不确定8．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( ) A ．众数是80 B ．中位数是75 C ．平均数是80 D ．极差是159．下列事件中，属于随机事件的是（ ）A ．抛出的篮球往下落B ．在只有白球的袋子里摸出一个红球C ．购买10张彩票，中一等奖D ．地球绕太阳公转10．如图，在一张△ABC 纸片中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，90MON ∠=︒ ,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则运动过程中，点C 到点O 的最大距离为___________.12．如图，圆柱体的高为8cm ，底面周长为4cm ，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A 点到B 点，路线如图所示，则最短路程为_____．13．若2220x y -=，且2x y +=-，则x y -的值是__________．14．如图，在第1个1A BC ∆中，130,B A B CB ∠==：在边1A B 取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ∆；在边2A D 上取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E ∆，…按此做法继续下去，则第3个三角形中以3A 为顶点的底角度数是__________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为_____．16．已知反比例函数3y x =的图像过点()211,A m y +、()222,B m y +，则1y __________2y ． 17．将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是1,2cm cm ，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是__________．三、解答题18．（127118312；（2） 32125219．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，1），B （﹣2，4），直线AB 与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求证：△OAB 是直角三角形．20．（6分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某商场计划购进一批A 、B 两种空气净化装置，每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．（1）求A 种、B 种设备每台各多少万元？（2）根据销售情况，需购进A 、B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？（3）若每台A 种设备售价0.6万元，每台B 种设备售价1.4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？21．（6分）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．（1）当x ≥30，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？22．（8分）如图，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）求ABC ∆的面积；（3）P 为第二象限抛物线上的一个动点，求ACP ∆面积的最大值．23．（8分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动.为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了“二十四节气之旅”项目，并开展了相关知识竞赛.该学校七、八年级各有400名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩进行抽样调查.收集数据如下:七年级:八年级:整理数据如下:分析数据如下：根据以上信息，回答下列问题:(1)a=______，b=______；(2)你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)；(3)学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有_____人.24．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DG 433GHE的度数．25．（10分）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．已知每件商品的销售提成方案二比方案一少8元．从图中信息解答如下问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：（1）求y1的函数解析式；（2）请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？（3）小丽应选择哪种销售方案，才能使月工资更多？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】根据平均数、方差的计算公式和中位数、众数的定义分别进行解答，即可得出答案．【详解】A.这组数据：1，2，0，2，﹣5的平均数是：(1+2+0+2-5)÷5=0，故本选项正确；B.把这组数按从小到大的顺序排列如下：-5，0，1，2，2，可观察1处在中间位置，所以中位数为1，故本选项正确；C.观察可知这组数中出现最多的数为2，所以众数为2，故本选项正确；D. ，故本选项错误，所以选D【点睛】本题考查众数，算术平均数，中位数，方差；熟练掌握平均数、方差的计算公式和中位数、众数的定义是解决本题的关键.由于它们的计算由易到难为众数、中位数、算术平方根、方差，所以考试时可按照这样的顺序对选项进行判断，例如本题前三个选项正确，直接可以选D ，就可以不用计算方差了.2．D【解析】【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的2、3、3、4的平均数为=3，中位数为=3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×2+（4–3）2]=0.5；新数据2、3、3、3、4的平均数为=3，中位数为3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×3+（4–3）2]=0.4；∴添加一个数据3，方差发生变化.故选:D ．【点睛】考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键. 3．D【解析】【分析】先根据分式方程的解法，求出用m 表示x 的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.【详解】2322x m m x x ++=-- 去分母，得x+m+2m=3（x-2）解得x=62m -+。

初二数学北师大新版专题复习《三角形》一．选择题（共10小题）1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；（5）过点D'作射线O'B'．则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．70°3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cmC．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）A．3B．4C．6D．156．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF 7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）A．三角形的高都在三角形内B．三角形的三条中线相交于三角形内一点C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）A．2个B．4个C．6个D．8个9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL 10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）A．20°B．30°C．50°D．70°二．填空题（共10小题）11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为 ．12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝ ．13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是 （只需填写一个）．14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是 ．15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为 ．16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为 ．17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：①AE＝DB；②当α＝60°时，AD＝BE；③∠APB＝2∠ADC；④连接PC，则PC平分∠APB．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝ °，∠ACD＝ °．19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 度．三．解答题（共10小题）21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（ ）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD（ ）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即 ．（完成以下说理过程）22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．解：因为△ABC是等边三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．因为△BDE是等边三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），得∠ABD＝ ．在△ABD与△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（ ）．所以∠A＝ （ ）．又因为∠A＝∠ABC，所以∠ABC＝ （等量代换）．所以CE∥AB（ ）．23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为 ；也可以以AB （提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为 ．（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD 垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝ ．（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．26．（2020秋•海淀区期末）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM 上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是 ；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．27．（2020秋•石景山区期末）如图1，射线AP∥BQ，分别作∠PAB，∠ABQ的角平分线，这两条射线交于点O，过点O作一条直线分别与射线AP，直线BQ交于点C，D（不与点A，B重合）．（1）当CD⊥AP时，①补全图1；②若AC＝a，BD＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．（2）当CD与AP不垂直时，在备用图中补全图形，探索线段AB，AC，BD之间的数量关系，并证明．28．（2020秋•莆田期末）如图1，在△A1B1C1和△A2B2C2中，A1B1＝A2B2，∠A1＝∠A2，∠B1＝2∠B2，我们把△A1B1C1和△A2B2C2称为“等边倍角”三角形，其中A1B1和A2B2为对应等边．△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点（不与端点重合），AD与BE相交于点F．（1）如图2，若AB＝AC≠BC．①当AD⊥BC时，图中能与△ABC构成“等边倍角”三角形的是 ；（直接写出，不必证明）②当AD与BC不垂直时，若△ABE与△ADC是“等边倍角”三角形，其中AB和AC为对应等边，求∠AFE的度数．（2）如图3，连接DE，若DE平分∠BEC，BE＝2AE，点F是AD的中点，求证：△ABF 和△ADE是“等边倍角”三角形．29．（2020秋•南山区期末）（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．30．（2020秋•南海区期末）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．初二数学北师大新版专题复习《三角形》参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2020秋•长葛市期末）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．已知：∠AOB，求作：一个角，使它等于∠AOB．作法：如图（1）作射线O'A'；（2）以O为圆心，任意长为半径作孤，交OA于C，交OB于D；（3）以O′为圆心，OC为半径作弧C'E'，交OA'于C'；（4）以C′为圆心，CD为半径作弧，交弧C'E'于D'；（5）过点D'作射线O'B'．则∠A'O'B'就是所求作的角．请回答：该作图的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用基本作图得到得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，然后根据全等三角形的判定方法证明两三角形全等，从而利用对应角相等得到∠A'O'B'就是所求作的角．【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，C′D′＝CD，所以根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD，所以∠O′＝∠O．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．2．（2020秋•平阴县期末）如图，直线l1∥l2，∠1＝50°，∠2＝75°，则∠3＝（ ）A．55°B．60°C．65°D．70°【考点】三角形内角和定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力；应用意识．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和，即可求得∠3的度数【解答】解：∵直线l1∥l2，∴∠1＝∠4，∵∠1＝50°，∠2＝75°，∠2＝∠5，∴∠4＝50°，∠5＝75°，∵∠4+∠5+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣50°﹣75°＝55°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．（2021春•郑州期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，它们首尾顺次相接能摆成三角形的是（ ）A．1cm，2cm，4cm B．12cm，13cm，20cmC．5cm，5cm，11cm D．14cm，16cm，30cm【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；数据分析观念．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析即可求解．【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，不符合题意；B、13+12＞20，能够组成三角形，符合题意；C、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；D、14+16＝30，不能组成三角形，不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．4．（2021春•毕节市期末）一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则此三角形的第三边的长不可能是（ ）A．3cm B．5cm C．7cm D．9cm【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的三边关系可得第三边的范围，再根据第三边的范围确定答案．【解答】解：设第三边长为xcm，有三角形的三边关系可得：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．（2020秋•莒南县期末）已知三角形的两边长分别是4和9，则此三角形第三条边的长可能是（ ）A．3B．4C．6D．15【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；几何直观．【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜13，因此只有选项C符合．【解答】解：设第三边长为x，则9﹣4＜x＜9+4，解得5＜x＜13．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边长，则第三边的范围为大于两边差且小于两边和．6．（2020秋•宝应县期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，下列条件中，能判断△ABC≌△DEF的是（ ）A．BE＝CE B．∠A＝∠D C．EC＝CF D．BE＝CF【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】利用判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS进行分析．【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠DEF，∠F＝∠ACB，A、添加BE＝CE，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、添加∠A＝∠D，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；C、添加EC＝CF，不能判定△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、添加BE＝CF，可利用ASA定理判定△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7．（2021春•杨浦区期末）下列说法中，正确的是（ ）A．三角形的高都在三角形内B．三角形的三条中线相交于三角形内一点C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．三角形最大的一个内角的度数可以小于60度【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，故本选项错误；B、三角形的三条中线相交于三角形内一点，故本选项正确；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误；D、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形高线，中线的概念，三角形外角的性质和三角形内角和定理，掌握这些知识点是解题的关键．8．（2020秋•播州区期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．【解答】解：与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．9．（2020秋•椒江区期末）如图，有一块三角形玻璃，小明不小心将它打破．带上这块玻璃，能配成同样大小的一块，其理由是（ ）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL【考点】全等三角形的应用．【专题】图形的全等；推理能力；应用意识．【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：破玻璃保留了原来三角形的两个角和一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃，故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，做题时要根据已知条件进行选择运用．10．（2021•章丘区模拟）如图，直线AB∥CD，∠B＝50°，∠D＝20°，则∠E的度数是（ ）A．20°B．30°C．50°D．70°【考点】三角形的外角性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．【分析】根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△CDE的外角，即可得出∠E．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BMD＝∠B＝50°，又∵∠BMD是△CDE的外角，∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣20°＝30°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．二．填空题（共10小题）11．（2020秋•拱墅区期末）一张小凳子的结构如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝120°，则∠1的度数为　60°　．【考点】三角形的外角性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【解答】解：∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠1，∵∠3＝120°，∴∠1＝60°，故答案为：60°．【点评】此题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．12．（2020秋•天心区期末）如图，已知∠ACP＝115°，∠B＝65°，则∠A＝　50°　．【考点】三角形的外角性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解．【解答】解：∵∠ACP＝115°，∠B＝65°，∴∠A＝∠ACP﹣∠B＝115°﹣65°＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，掌握这个性质是本题的关键．13．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是　AB＝DE或∠ACB＝∠DCE　（只需填写一个）．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；运算能力．【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC；添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC；故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE．【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．14．（2020秋•下城区期末）在△ABC中，∠A是钝角，∠B＝30°，设∠C的度数是α，则α的取值范围是　0°＜α＜60°　．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；推理能力．【分析】根据三角形内角和定理表示出∠A，列出不等式，求解即可．【解答】解：设∠C的度数是α，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝30°，∴∠A＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α，∵∠A是钝角，∴90°＜150°﹣α＜180°，∴﹣30°＜α＜60°，∵α＞0°，∴0°＜α＜60°．【点评】本题考查三角形的内角和定理，正确表示出∠A并利用它的大小列出不等式是解题的关键．15．（2020秋•天心区期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2：3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF 全等，则AG的长为　40或75　．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；应用意识．【分析】设BE＝2t，则BF＝3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝2t，则BF＝3t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝100，∴3t＝100﹣2t，解得：t＝20，∴AG＝BE＝2t＝2×20＝40；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝100，∴2t＝100﹣2t，解得：t＝25，∴AG＝BF＝3t＝3×25＝75，综上所述，AG＝40或AG＝75．故答案为：40或75．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．16．（2020秋•坪山区期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BAC和∠ACB的平分线交于点D，则∠ADC的度数为　110°　．【考点】三角形内角和定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】先根据三角形的内角和求出∠BAC+∠ACB＝140°，根据角平分线的定义得∠CAD+∠ACD＝70°，最后利用三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：∵∠B＝40°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠BAC＝2∠CAD，∠ACB＝2∠ACD，∴∠BAC+∠ACB＝2（∠CAD+∠ACD）＝140°，∴∠CAD+∠ACD＝70°，∴∠ADC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD）＝180°﹣70°＝110°．故答案为110．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的意义，整体的思想，解本题的关键是求出∠CAD+∠ACD的度数．17．（2020秋•嘉鱼县期末）如图，点C在线段AB上（不与点A，B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE＝α，连接AE，BD交于点P．下列结论：①AE＝DB；②当α＝60°时，AD＝BE；③∠APB＝2∠ADC；④连接PC，则PC平分∠APB．其中正确的是　①③④　．（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由“SAS”可证△ACE≌△DCB，可得AE＝DB，可判断①，由等边三角形的可得AD＝AC，BE＝BC，则当AC＝BC时，AD＝BE，可判断②，由外角的性质可得∠APB ＝∠ADC+∠CAD，可判断③；由全等三角形的性质可得S△ACE＝S△DCB，由三角形的面积公式可求CG＝CH，由角平分线的性质可得PC平分∠APB，可判断④，即可求解．【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE＝α，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝DB，∠EAC＝∠BDC，故①正确，当α＝60°时，△ACD是等边三角形，△CEB是等边三角形，∴AD＝AC，BE＝BC，当AC＝BC时，AD＝BE，故②错误；∵AC＝CD，∠ACD＝α，∴∠CAD＝∠CDA＝，∵∠APB＝∠PAD+∠ADP＝∠ADC+∠BDC+∠DAP＝∠ADC+∠EAC+∠DAP＝∠ADC+∠CAD，∴∠APB＝2∠ADC，故③正确；如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，∵△ACE≌△DCB，∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，∴×AE×CG＝×DB×CH，∴CG＝CH，又∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴PC平分∠APB，故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定定理是本题的关键．18．（2020秋•北京期末）将一副三角尺按图所示摆放，则∠ABE＝　60　°，∠ACD＝　135　°．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】三角形；几何直观；推理能力．【分析】根据三角板的角度和三角形外角性质解答即可．【解答】解：由图可知，∠A＝∠C＝45°，∠EBD＝30°，∠D＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝90°﹣30°＝60°，∠ACD＝∠A+∠ABC＝45°+90°＝135°，故答案为：60；135．【点评】此题考查三角形外角性质，关键是根据三角板的角度和三角形外角性质解答．19．（2020秋•仓山区期末）如图，∠MAB为锐角，AB＝a，点B到射线AM的距离为d，点C在射线AM上，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是　x ＝d或x≥a　．【考点】点到直线的距离；全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的．【解答】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为：x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2021春•江都区校级期末）如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是　55　度．【考点】三角形内角和定理．【专题】三角形；运算能力．【分析】延长B'E，C'F，交于点D，依据∠A＝∠D，∠AED+∠AFD＝250°，即可得到∠A的度数．【解答】解：如图，延长B'E，C'F，交于点D，由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∴∠A＝∠D，又∵∠1+∠2＝110°，∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，∴四边形AEDF中，∠A＝（360°﹣250°）＝55°，故答案为：55．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是构造四边形，利用四边形内角和进行计算．三．解答题（共10小题）21．（2021春•黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（　两直线平行，内错角相等　）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD（　等角的补角相等　）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即　AB＝CD　．（完成以下说理过程）【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】证△ABE和△DCF全等，可得出∠A＝∠D，从而AE∥DF．【解答】解：∵BE∥CF（已知），∴∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）．∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），∴∠EBA＝∠FCD（等角的补角相等）．∵AC＝BD（已知），∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），即AB＝CD．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∴AE∥DF．故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握凭想象的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（2021春•杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．解：因为△ABC是等边三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．因为△BDE是等边三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），得∠ABD＝　∠CBE　．在△ABD与△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（　SAS　）．所以∠A＝　∠BCE　（　全等三角形的对应角相等　）．又因为∠A＝∠ABC，所以∠ABC＝　∠BCE　（等量代换）．所以CE∥AB（　内错角相等，两直线平行　）．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】先证明∠ABD＝∠CBE．则可判断所以△ABD≌△CBE，所以∠A＝∠BCE，接着利用等量代换得到∠ABC＝∠BCE，然后根据平行线的判定方法得到CE∥AB．【解答】解：因为△ABC是等边三角形（已知），所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．因为△BDE是等边三角形（已知），所以∠BE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），得∠ABD＝∠CBE．在△ABD与△CBE中，，所以△ABD≌△CBE（SAS）．所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．又因为∠A＝∠ABC，所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的对应角相等；∠BCE，内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质．23．（2020秋•昆明期末）同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图（1）（2）是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：（1）如图（1），以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为　6　；也可以以AB （提示：AB长为5）为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为　6　．（2）根据（1）的启示，请列方程求出图（2）中GH的长（提示：EF长为25）．【考点】三角形的面积．【专题】计算题；几何直观．【分析】（1）根据三角形面积的计算方法进行计算即可得出答案；（2）根据（1）条件可知两次计算面积相等，则可列方程，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，S＝＝6，S＝＝6，故答案为：6，6；（2）设GH＝x，根据题意可列方程，，，解得：x＝，所以GH＝．【点评】本题主要考查了三角形面积的计算，根据等面积法列出方程是解决本题的关键．24．（2020秋•齐河县期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD 垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．【考点】全等三角形的应用．【专题】图形的全等；应用意识．【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP ≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABP＝∠CDP，∵PD⊥CD，∴∠CDP＝90°，∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，∵相邻两平行线间的距离相等，∴PD＝PB，在△ABP与△CDP中，，∴△ABP≌△CDP（ASA），∴CD＝AB＝16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．25．（2020秋•普宁市期末）已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，作∠AOC的平分线OD和∠BOC的平分线OE．（1）如图①，当∠BOC＝70°时，则∠DOE＝　45°　．（2）如图②，若射线OC在∠AOB内部绕O点旋转，当∠BOC＝α时，求∠DOE的度数．（3）当射线OC在∠AOB外绕O点旋转且∠AOC为钝角时，请在备用图中画出∠AOC 的平分线OD和∠BOC的平分线OE，判断∠DOE的大小是否发生变化？求∠DOE的度数．【考点】角平分线的定义；作图—基本作图．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；（3）正确作出图形，求出∠DOE的大小作出判断即可．【解答】解：（1）∵∠BOC＝70°，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝20°，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°，故答案为：45°；（2）∵∠BOC＝α，∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣α，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠COB+∠AOC＝（∠COB+∠AOC）（α+90°﹣α）＝×90°＝45°；（3）∠DOE的大小不变，等于45°，理由：如图③，∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOE＝∠DOC﹣∠COE＝∠AOC﹣∠COB＝（∠AOC﹣∠COB）＝∠AOB＝×90°。

八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1 直角三角形课后作业（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1 直角三角形课后作业（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

2。

1直角三角形1。

以下命题的逆命题属于假命题的是( ）A.两个角相等的三角形是等腰三角形B.全等三角形的对应角相等C。

两直线平行，内对角相等 D.直角三角形两锐角互等2。

命题:等腰三角形两腰上的高相等的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3。

若一个直角三角形两直角边之比为3:4，斜边长20cm，则两直角边为 .4。

已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为_______，斜边上的高为_______。

5. 小明将长2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上,这时梯子底端B到墙根C的距离是0.7m，如果梯子的顶端垂直下滑0。

4m，那么梯子的底端B将向外移动多少米？C参考答案1.B2. 在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形3. 12，16 4。

10,4。

85. 即梯子底端将滑动了0.8米．。

2019-2020学年八年级数学下册第一章三角形的证明回顾与思考测试含解析新版北师大版一、选择题（每小题3分，共30分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长为（）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm【答案】C【解析】根据勾股定理可以得出：斜边长==10cm.故选：C．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，关键是灵活应用勾股定理的公式计算.2. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选D．考点：作图—复杂作图3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70°【答案】A【解析】根据平行线的性质可得∠CBD的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA的度数，根据等腰三角形的性质可得∠C的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数．解：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．“点睛”考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是得到∠C=∠CBA=70°．4. 如图，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7 cm，则BC的长为（）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm【答案】C【解析】试题分析：根据中垂线的性质可得：BN=AN，则△BCN的周长=BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC=7cm，根据AC=4cm可得：BC=7－4=3cm.考点：中垂线的性质5. 如图，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 m【答案】D【解析】如图所示，作BC⊥AE于点C，则BC＝DE＝8，设AE＝x，则AB＝x，AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋82＝x2，解得x＝17．所以旗杆的高度为17m．6. 下列命题中，其逆命题为真命题的是（）A. 若a＝b，则a2＝b2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等【答案】C【解析】根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：若a=b，则a2＝b2的逆命题为：若a2＝b2，则a=b，是假命题；同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.故选：C.7. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】试题解析：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B．8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积为（）A. 10B. 7C. 5D. 4【答案】C【解析】作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=BC⋅EF=×5×2=5，故选C.9. 如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（）A. 18B. 3C. 12D. 2【答案】D【解析】过点D作DF⊥EC于点F，利用正三角形的性质得出CF=1，BF=3，再利用勾股定理求出DF==，则可得BD=．故选：D.点睛：此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出DF的长是解题关键．10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5【答案】A【解析】试题分析：作AF⊥BC于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=CF=4，然后根据勾股定理求得AF=3，连接AP，根据△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积解出答案即可.考点：轴对称问题二、填空题（每小题4分，共32分）11. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_________.【答案】面积相等的三角形全等【解析】试题分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形．考点：互逆命题12. 若一个三角形的三边长分别为3 m，4 m，5 m，那么这个三角形的面积为___.【答案】6 m2【解析】根据勾股定理的逆定理，可由三边的长判断出此三角形是直角三角形，3cm、4cm是三角形的两直角边，所以根据三角形的面积公式可得面积为3×4÷2=6m2.故答案为：6m2.13. 如图，点D，C，A在同一条直线上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，若△EDC≌△ABC，则∠BCE的度数为＿.【答案】20°【解析】利用三角形的三角的比∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，设∠A=3x°，则∠ABC=5x°，∠ACB=10x°，根据三角形的内角和为180°得3x+5x+10x=180，解得x=10，求出三角的度数∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°，可得∠BCN=180°-100°=80°，再由△MNC≌△ABC得到∠ACB=∠MCN=100°，因此可求得∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20°.故答案为：20°.点睛：本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝＿.【答案】2【解析】试题分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD．∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质视频15. 如图，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.16. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】2.9【解析】试题分析：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，AM=4米，可得MD=4米；在Rt△BMC中，BM=AM+AB=12米，∠MBC=30°，可求得MC=4米，所以警示牌的高CD=4-4=2.9米.考点：解直角三角形.17. 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是＿.【答案】4∶3【解析】试题分析：估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．解：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，故答案为4：3．考点：角平分线的性质．18. 如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……依次画下去，直到得到第n条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n＝__.【答案】9【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，∵∠BOC=9°，∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n=9．故选B．考点：等腰三角形的性质．视频三、解答题（共58分）19. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E，那么△ACE是等腰三角形吗？请证明你的结论.【答案】△ACE是等腰三角形，证明见解析.【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠BAD =∠E，∠CAD=∠ACE；然后结合角平分线的性质和等量代换推知∠E=∠ACE，故△ACE是等腰三角形．试题解析：△ACE是等腰三角形．证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.所以AE=AC，即△ACE是等腰三角形．点睛：本题考查了等腰三角形的判定．判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．20. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.【答案】CD的长为3.4.试题解析：因为DE是AC的垂直平分线，所以CD＝AD.所以AB＝BD+AD＝BD+CD.设CD＝x，则BD＝5－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+(5－x)2，解得x＝3.4.故CD的长为3.4.21. 如图，在△ABC中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD是AB边上的高，求CD的长．【答案】CD的长是5 cm．【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出∠CAD的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质可求解.试题解析：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD是AB边上的高，所以∠D=90°.所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．22. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .如图所示四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．试题解析：证明：∵在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=BD，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠ABC．又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE=OF．23. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）OE＝2.【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；（2）连接OC，根利用勾股定理求出AB的长，据三角形的面积公式即可得出结论．试题解析：（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M.因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.因为S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.点睛：本题主要考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．24. 按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC. 思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿，且CE＝CD，可知＿；（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＝＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿.请写出完整的证明过程.【答案】（1）等边，60°，△DCE是等边三角形；（2）AC，BE；（3）△BED≌△ACD，证明见解析.【解析】试题分析：（1）连接BD，根据等边三角形判定推出即可；求出∠DCE=60°，得到等边三角形DCE 即可；（3）根据等边三角形性质推出AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，推出∠ADC=∠BDE，证△ADC≌△BDE即可；（4）由（3）即可得出答案．试题解析：（1）（1）解：连接BD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵∠BCD=120°，∴∠DCE=180°-∠BCD=180°-120°=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，故答案为：等边，60°，△DCE是等边三角形．（2）证明：∵等边三角形ABD和DCE，∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，即∠ADC=∠BDE，在△ADC和△BDE中，∴△ADC≌△BDE，∴AC=BE=BC+CE，故答案为：BE，AC．（3）△BED≌△ACD证明过程如下：连接AC，BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.附加题（15分，不计入总分）25. 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；（2）利用（1）的图形，分别求得每一个等腰三角形的周长．试题解析：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.。

第一章 三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1. A 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使CE =CD ．求证：BD =DE .2. B 如图，等边三角形ABC 内有一点P ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PD ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，D ，且AH ⊥BC 于H ，试用三角形面积公式证明：PE +PF +PD =AH .3. B 如图所示，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD =AE ，AD 与CE 交于点F ，求证：△ABD ≌△CAEBB4. A △ABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC5. B 如图，AD 和BC 交于点O ，AB ∥DC ，OA =OB ，试说明△OCD 是等腰三角形.B6. B 如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD =3cm ，则CD 等于( )A ．3cmB ．4cmC ．1.5cmD ．2cm7. B 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是( )A ．BD 平分∠ABCB ．△BCD 的周长等于AB +BCC ．AD =BD =BCD ．点D 是线段AC 的中点8. A 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③D ．①②③④9. B 如图，等边△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上两点，下列结论：①若AD =AE ，则△ADE 是等边三角形；②若DE ∥BC ，则△ADE 是等边三角形，其中正确的有( )A ．①B ．②C ．①②D ．都不对OBB10. B 如图，D ，E ，F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD =BE =CF ，求证：△DEF 是等边三角形.11. B 如图，D 为等边三角形ABC 内一点，将△BDC 绕着点C 旋转成△AEC ，则△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.B1. A 如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：∠B=∠C．2. A 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD．求证：DB=DE．3. B 如图所示，△ABC是等腰直角三角板，过A点作AE⊥EF，过B点作BF⊥EF．请证明：∠EAC=∠BCF，EF=AE+BF．4. A 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．1. B 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由.2. C 如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个.A. 3B. 5C. 8D. 103. B 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为.4. C 如图，△ABC中，∠ABC=46º，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=21º，试确定∠CAD的度数.5. C 一个三角形可被剖分成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36º，求原三角形最大内角的所有可能值.专题2 重要的30°1. A 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =12∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =12DB ．2. B 如图，在一场足球比赛中，球员A 欲传球给同伴B ，对方球员C 意图抢断传球，已知球速为16m/s ，球员速度为8m/s.当球由A 传出的同时，球员C 选择与AC 垂直的方向出击，恰好在点D 处将球成功抢断，则角α=．(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)1. A 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ． 求证：BD =2CD ．CB2. A 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°，AC=2，求AB的长．1. B 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为，ME的长为.专题3 反证法1. A 求证：一个三角形中至多有一个钝角．2. B 用反证法证明：若a ，b 是正整数，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除．1. C 已知：在同一平面内，直线m ⊥l ，直线n 与l 相交但不垂直，求证：直线m 、n 相交．1. C 设x ，y等腰三角形习题课1. B 已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．C B2. C 如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．3. C 如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．4. B 如图，△ABC 为等边三角形，∠BAD = ∠CBE =∠ACF ．(1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．BOB5. B 已知，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，请证明：AB =2BC .6. B 已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点.(1)若AD =BE =CF ．试证明△DEF 是等边三角形．(2)若△DEF 是等边三角形，那么AD =BE =CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.7. B 如图，等边△ABC 与等边△DEC 共顶点于C 点．求证：AE =BD ．BB8. C 如图，△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线与BC 交于点D ，交AB 于E ，DB =8，求AC 的长．9. C 如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =105°，∠BOC =α．以OC 为边作等边△OCD ，连接AD ．(1)请证明：OB =AD ．(2)△AOD 能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．DBB10. C 等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.2 直角三角形专题1 直角三角形1. A 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？2. B 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？变式1：若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB的高吗？为什么？变式2：若∠ACD=∠B，CD⊥AB，则△ACB为________三角形．变式3：如图，若∠C=90°，∠AED=∠B，则△ADE是___________三角形．3. A 判断正误：这样描述勾股定理的逆定理正确吗？如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．4. A 分别以下列四组数为一个三角形的边长(1)1，2，3；(2)3，4，5；(3)5，12，13；(4)6，8，10．其中能组成直角三角形的有()A．4组B．3组C．2组D．1组5. B 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CF、EF D．GH、AB、CD6. A 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列说法中错误的是( )．A ．如果∠C -∠B =∠A ，那么△ABC 是直角三角形，∠C =90°B ．如果a ：b ：c =3：4：5，则∠B =60°，∠A =30°C ．如果∠A ：∠B ：∠C =5：2：3，那么△ABC 是直角三角形D ．如果c 2-a 2=b 2，那么△ABC 是直角三角形7. B 如图所示，四边形ABCD 中，AB =3cm ，AD =4cm ，BC =13cm ，CD =12cm ，∠A =90°，求四边形ABCD 的面积．1. B 若两个三角形的两边和其中一边上的高对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是_______．2. C 【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”、“SSS ”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL ”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E ，然后，对∠B 进行分类，可分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】(1)第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．如图1，在△ABC 和△DEF 中，AC =DF ，BC =EF ，∠B =∠E =90°，根据__________，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．B(2)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．(3)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．①在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)②∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若_________，则△ABC≌△DEF．3. C 下列4个判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.(1)有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；(2)有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；(3)三角形6个边、角元素中，有5个元素分别相等的两个三角形全等；(4)有一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等.专题2 逆命题和逆定理1. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题. 等边三角形的每个角都等于60°．2. A 指出下列命题的题设和结论，并说出它的逆命题.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.3. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明.线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.4. A 在你学过的定理中，有哪些定理有逆定理？试举出几个例子说明. 1.同旁内角互补，两直线平行；2.有两个角相等的三角形是等腰三角形；3.到一个角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.专题3 斜边、直角边判定定理1. A 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，过点A 作BC 边上的高AD ，求证：△ABD ≌△ACD ．2. A 已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AF ⊥BD ，CE ⊥BD ，AD =CB ，DE =BF ，求证：AF =CE .3. A 已知：如图，AB ⊥BD ，AC ⊥CD ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL”判定，还需要加条件___________________，若加条件∠BAD =∠CAD ，则可用________________判定.CA4. A 如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，由点D 分别向AB 、AC 两边引垂线，并与AB 、AC 交于E 、F 两点，且BE =CF ，请判断AD 是否为∠BAC 的角平分线，并证明.3 线段的垂直平分线1. A 如图，点D 是△ABC 内一点，且AB =AC ，DB =CD ，求证：线段AD 在线段BC 的垂直平分线上.B2. B 求证：三角形的三条垂直平分线交于一点.3. A 如图，已知线段AB ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P 、M ，连接P A 、PB 、MA 、MB ，则下列结论一定正确的是( )A. P A =MAB. MA=PEC. PE =BED. P A =PB4. A 如图所示，A 、B 为2个村庄，现在政府想在河道l 上建一个供水站点C ，请你设计一个方案，使供水站到两村庄的距离相等，不写画法，但要保留作图痕迹 .B1. A 如图，AC=AD，BC=BD，则有()A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB2. A 如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．3. C 小傲做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．(1)小德同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？(2)设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．4. B △ABC 中，边AB 、AC 的垂直平分线交于点P ，求证：点P 也在BC 的垂直平分线上.5. C △ABC 中，D 为BC 中点，DE ⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E ，EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AC 于G ．求证：BF =CG ．6. C 如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )A ．在AC ，BC 两边高线的交点处B ．在AC ，BC 两边中线的交点处C ．在AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．在∠A ，∠B 两内角平分线的交点处BB1. C 在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图1；(2)若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；(3)如图2，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB、CE、ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.2. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC =90°，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE//AC交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．3. B 已知，如图△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．求证：∠EAF=∠ABD．4. C 已知△ABC内一点M满足∠BMC=100︒，线段BM的中垂线交边AB于点P，线段CM的中垂线交边AC于点Q，∠A=20︒，求证：P、M、Q三点共线．4 角平分线专题1 角平分线的性质和判定1. A 如图，在△ABC 中，D 为△ABC 边BC 上一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE =DF ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是( )A ．AD 平分∠BACB ．ME ＝MFC ．AE ＝AFD ．BD ＝DC2. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且BD =CD ．求证：AD 平分∠BAC ．3. A 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 中点，且AE 平分∠DAB ．求证：BE 平分∠ABC ．BA4. A 已知：△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 和∠ACB ．求证：AP 平分∠BAC ．5. A 如图所示，BD 平分∠ABC ，AB =BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，M 、N 为垂足.求证：PM =PN .6. A 已知，在四边形ABCD 中对角线AC 平分∠DAB ，且∠DAB =120°，∠B 和∠D 互补.求证：AB +AD =AC ．B1. B (1)如图，△ABC 中，PB 、PC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，求证：点P 在∠A 的角平分线上．(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．2. B 如图，已知△ABC 的周长是21，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =4，△ABC 的面积是多少？BB3. A 如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是()A．P A=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP4. A 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC于E点，求PE的长．5. A 如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O．(1)求证：∠3=∠B；(2)连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°．6. B 如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．1. C 在△ABC中，如图，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等腰三角形ABD和ACE，AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE，CD与BE相交于点O.(1)求证：BE=CD；(2)若设∠BAD=α，∠AOE=β，则用α表示β为，并证明你的结论.专题2 角平分线的模型1. A 如图，在△ABC中，(1)PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2；(2)PB、P A为平分线，证明PC也是平分线；(3)PC、P A为平分线，证明PB也是平分线.2. B △ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数．3. B 如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PB、P A交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC=180°；③若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN=AC；④∠BAC=2∠BPC .其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③4. B 已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.5. B 已知：如图，四边形ABCD中，∠B+ ∠D =180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.6. B 在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于E ，求证：BE =1()2AC AB .7. B 已知，如图1，△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF 与BE 、CF 间有怎样的关系？②若AB ≠AC ，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF 与BE 、CF 的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？8. B 如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .1. B 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB =60°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，则∠AEB=_______．2. C 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，求证：BD+BC=AD．3. C 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于点E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．三角形综合习题课1. A 如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是()A．BD=DC，AB=ACB．∠ADB=∠ADC，BD=DCC．∠B=∠C，∠BAD=∠CADD．∠B=∠C，BD=DC2. A 如图，已知点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AB =DE ，BC =EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一个条件是( )A ．∠BCA =∠FB ．∠B =∠EC ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF3. A 如图，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 交于点D ，且AD 平分∠BAC ，则下列结论中不正确的是( )A ．△ADF ≌△ADEB ．△BDF ≌△CDEC ．△ABD ≌△ACDD ．BD =AD4. A 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△BEC ≌△CDA ．AA1. B 如图，在四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，且AE ⊥BC ，AF ⊥CD .(1)求证：AB =AD ；(2)请你探究∠EAF ，∠BAE ，∠DAF 之间有什么数量关系？并证明你的结论.2. B 两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A 1A 0B 1=α(α<∠A 1A 0A 2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n 边形A 0A 1A 2…A n －1与正n 边形A 0B 1B 2…B n －1重合(其中A 1与B 1重合)，现将正多边形A 0B 1B 2…B n －1绕顶点A 0逆时针旋转α(0°<α<180n︒)； (3)设n θ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出n θ的度数； (4)试猜想在正n 边形的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.3. B 如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.4. B C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC=∠E，求证：AD = BE.A已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC 于F，求证：AF=EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE 于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.5. B 在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.1. C 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，点D 为AB 左侧的一个动点，点E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC ．(1)求证：∠ABD =∠ACD ；(2)求证：AD 平分∠CDE ；(3)若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2. C 如图，已知AB =CD =AE =BC +DE =2，∠ABC =∠AED =90°，求五边形ABCDE 的面积．3. B 如图，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．4. C 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．5. C 如图，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AM CD ⊥．6. B 如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，AD BC ⊥．求证AC BD DC =-．7. C 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB 的长为( )A ．aB ．kC ．2k h D ．h8. C 如图，已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ． 求证：AE =BC +CE ．9. C 如图，求出图中∠DCA 的角度.期中期末串讲—三角形的证明1. B 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD，AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有( )A．3个B．4个C．5个D．6个2. A 下列条件中，不能得到等边三角形的是( )A．有两个内角是60°的三角形B．有两边相等且是轴对称图形的三角形C．三边都相等的三角形D．有一个角是60°且是轴对称图形的三角形3. B 如图，在纸片△ABC中，AC=6，∠A=30º，∠C=90º，将∠A沿DE折叠，使点A与点B重合，求折痕DE的长．4. B 已知：△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P．求证：点P也落在∠A的平分线上．5. A 平面直角坐标系中，A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)求出△ABC的面积．(2)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B2C3．(3)写出点A1，B2，C3的坐标．6. B 已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．7. A 根据下列已知条件, 不能唯一确定△ABC的大小和形状的是( )A．AB=3，BC= 4，AC=5B．AB= 4，BC=3，∠A=30ºC．∠A=60º，∠B= 45º，AB= 4D．∠C=90º，AB=6，AC=58. A 如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC．参考答案第一章三角形的证明1 等腰三角形专题1 等腰三角形和等边三角形1.证明：∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠CBD=12∠ABC=30°，又∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，∴∠E=30°=∠CBD，∴BD=DE(等角对等边).2.证明：如图，连接P A，PB，PC，则S△ABC= S△P AB+S△PBC+S△P AC，∴S△ABC=S△P AB+S△PBC+S△P AC=12PE×AB+12PD×BC+12PF×AC，又∵AB=BC=AC，∴S△ABC=12(PE+PF+PD)×BC，又∵S△ABC=12AH×BC，∴PE+PF+PD=AH.3.证明：在△ABD和△CAE中，∵,,,DBA EA BD AEBA ACC ⎧⎪==∠=⎨∠⎪⎩∴△ABD ≌△CAE (SAS).4.证明：方法一：如图，作△ABC 中BC 边上的高线，垂足为D ， 在Rt △ADB 和Rt △ADC 中，∵,,,B C ADB AD AD AD C =⎧⎪⎨⎪=∠∠∠=⎩∠∴Rt △ADB ≌Rt △ADC (AAS)∴AB =AC ．方法二：如图，作△ABC 中∠BAC 的角平分线AD ，在△ADB 和△ADC 中，∵,,,AD A BAD CAD B D C ∠∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC (AAS)，∴AB =AC ．方法三：将△ABC 视为△ABC 和△ACB 两个三角形，在△ABC 和△ACB 中，∵,,,BC B C C B CB ∠∠∠=⎧∠==⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△ACB (ASA)，∴AB =AC ．5.证明：∵OA =OB ，∴∠A =∠B ，又∵AB ∥DC ，∴∠C =∠B ，∠D =∠A ，∴∠C =∠D ，∴OC =OD ，∴△OCD 是等腰三角形.6. A ．7. D ．8. D ．9. C ．10.证明：∵△ABC 是等边三角形，且AD =BE =CF ，∴AF =BD =CE ，在△ADF 、△BED 和△CFE 中，∵,,AD BE CF C AF BD B E A C ==∠∠∠=⎧==⎪=⎪⎨⎩，∴△ADF ≌△BED ≌△CFE (SAS)，∴DF =ED =FE ，∴△DEF 是等边三角形.11.△CDE 是等边三角形证明：∵△AEC 由△BDC 绕着点C 旋转而成， ∴△AEC ≌△BDC ，∴CD =CE ，∴△CDE 是等腰三角形，又∵∠BCD =∠ACE ，∴∠BCD +∠ACD =∠ACE +∠ACD ，即∠ACB =∠ECD ，∴∠ECD =60°，∴△CDE 是等边三角形.1.证明:∵AD =AE∴∠ADE =∠AED∴∠ADB =∠AEC∴△ABD 和△ACE 中，BD =CE ，∠ADB =∠AEC ，AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠B =∠C2.证明：∵AB=AC, ∠A=60°，∵△ABC为等边三角形，∵BD是中线，∵∵CBD=∵ABD=30°，∵CE=CD，∵∵E=∵CDE=12∵BCD，∵∵BCD=60°，∵∵E=30°，∵∵E=∵CBD，∵DB=DE．3.证明：∵∵EAC+∵ECA=90°，∵BCF+∵ECA=90°，∵∵ECA=∵BCF，∵△AEC和△CFB中，∵EAC=∵FCB，∵AEC=∵CFB=90°，AC=CB，∵△AEC∵△CFB（AAS），∵AE=CF，∵BF=CE，∵EF=AE+BF.4.证明：∵∵ABC为等边三角形，∵∵BAC=∵BCA =∵B =60°，AB=AC，∵CE平分∠ACD，∵∵ACE=∵ECD =60°，∵∵ABD和∵ACE中，AB=AC，∵B =∵ACE =60°，BD=CE，∵∵ABD∵∵ACE（SAS），∵AD=AE，∵BAD=∵CAE，∵∵BAC=∵DAE=60°，∵∵ADE为等边三角形.1.等腰直角三角形.证明：连接MA，∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=CA.∴△DAB是等腰直角三角形，∴∠MDA=∠MBA=45°又∵M为BD的中点，∴∠DAM=∠MAB=45°，AM⊥BD.∴△DAM与△MAB是等腰直角三角形.∴AM=MD=MB=12 BD.∴∠MDE=∠MAC=105°.∵DE=AC，∠MDE=∠MAC，MD=AM，∴△MDE≌△MAC.∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.∴△EMC是等腰直角三角形.2. C.3.1.5.4.67°.5.原三角形最大内角可能是72°，90°，108°，126°，132°.专题2 重要的30°1.证明：∵∠BAD=12∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等)，∴在△ADE和△BDE中，。

北师大版八下章节综合练习及答案第一章三角形的证明（一）班级姓名一．选择题（共20小题）证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还1．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”需要添加一个条件是（）A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC2．下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等．其中能判断两个直角三角形全等的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个3．下列三角形不一定全等的是（）A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C．斜边和一个角对应相等的两个直角三角形全等D．三边对应相等的两个三角形全等4．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．2B．3C．4D．55．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，若AC=10，CD=6，则点D到BC的距离是（）A．10B．8C．6D．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=12，CD=3，则△DAB的面积为（）A．12B．18C．20D．247．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（）A．AD=CD B．BE＞CD C．∠BEC=∠BDC D．BE平分∠CBD8．如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D、E两点，若AB 边的长为10cm，则△CDE的周长为（）A．10cm B．20cm C．5cm D．不能确定9．如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°10．如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，若AD=BD=BC，则∠A的度数为（）A．70°B．45°C．36°D．30°11．等腰三角形一边长等于5，一边长等于10，它的周长是（）A．20B．25C．20或25D．1512．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC 同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（）A．31°B．32°C．59°D．62°13．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条14．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（）A．4个B．5个C．6个D．715．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8B．9C．10D．1116．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45°B．55°C．65°D．75°17．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°18．直角三角形的一个锐角∠A是另一个锐角∠B的3倍，那么∠B的度数是（）A．22.5°B．45°C．67.5°D．135°19．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD=1，则AC的长是（）A．3B．4C．2D．820．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3B．4.5C．1.5D．7.5二．填空题（共15小题）21．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动分钟后△CAP与△PQB全等．判定，还22．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”需要加条件．23．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC 等于．24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．25．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=．26．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5，△ABC的周长是30，则△ABD的周长是．27．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=BD，∠BAD=70°，∠DAC=°．28．若等腰三角形的两边的长分别是5cm、7cm，则它的周长为cm．29．如图，数轴上A点表示数7，B点表示数5，C为OB上一点，当以OC、CB、BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，C点表示数．30．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画条．31．在直角三角形中，一个锐角比另外一个锐角的3倍还多10°，则这两个角分别为32．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB=4，∠DBE=30°，则△EDM的面积为．33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD=14，则BC的长为．34．在△ABC中，AB=8，AC=5，∠ABC=30°，则BC=．35．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，若∠C=55°，则∠ABD=°．三．解答题（共15小题）36．如图所示，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，且AE=CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．37．已知：AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，问：△ABC≌△ADC吗？说明理由．38．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，CD=3．（1）求DE的长；（2）若AC=6，BC=8，求△ADB的面积．39．已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．40．△ABC中，∠ABC=110°，AB边的垂直平分线交AB于D、AC于E，BC边的垂直平分线交BC于F、AC于G、AB的垂直平分线于H，求∠EBG和∠DHF的度数．41．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上．42．在△ABC中，∠BAC=100°，∠ABC=∠ACB，点D在直线BC上运动（不与点B、C重合），点E在射线AC上运动，且∠ADE=∠AED，设∠DAC=n．（1）如图①，当点D在边BC上时，且n=36°，则∠BAD=，∠CDE=；（2）如图②，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，请猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动到点C的右侧时，其他条件不变，∠BAD和∠CDE还满足（2）中的数量关系吗？请画出图形，并说明理由．43．如图．AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．44．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD=∠CBE．求证：BD=CD．45．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△OAB是等腰三角形．46．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．47．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ =90°，∴∠A=（）．同理可证，∴∠1=．（2）点A到直线BC的距离=cm．C到直线AB的距离为线段的长度．S△ABC=×=×（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．48．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．。