2014年港澳台华侨生联考真题-数学

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

A． 3
B． 1
C ． 1
D． 3
14．函数 f ( x ) （ x R ）为奇函数， f (1) A．0 B． 1
1 ， f ( x 2) f ( x ) f ( 2) ，则 f (5) 2 5 C． D． 5 2
15．若函数 f ( x) ax 2 bx 1 是定义在 [1 a, 2a ] 上的偶函数，则该函数的最大值为 A．5 B． 4 C．3 ） D． y x ( x 2) ） D． 2
B． ( ,2) (0,2) D． ( 2,0) ( 2, ) ）
22．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A． y x 3 , x R B． y sin x, x R C． y x , x R
x 1 D． y , x R 2
2


C． 2,6
D．
, 2 6,
） D. f (1) f ( 1) c
9．已知函数 f ( x ) x bx c ,且 f ( 3) f (1) .则（ A. f (1) c f ( 1) B. f (1) c f ( 1)
16． 下列函数在 (0, ) 上为减函数的是（ A． y x 1 B． y e
x
C． y ln( x 1)
17．若 f ( x ) 是奇函数，且在 (0, ) 上是减函数，又有 f ( 2) 0 ，则不等式 x f ( x ) 0 的解集为（ A. ( , 2) (2, ) B. ( 2, 0) (0, 2) C. ( 2, 0) (2, ) ） D． y | x | D. ( , 2) (0, 2)

2014年高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。

于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。

情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。

情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。

情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。

情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。

综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。

二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。

多项式除法一、拖式（竖式）运算，和数一样直接除。

（2012年）（17）用2x x +除多项式53343x x x ++-得到的余式为_______.（2008年）（18）83x -（2005年）(19)（2000年）设多项式542()p x x x ax x b =++++除以21x x ++所得的余式为2x +，则6．a =（B ）（A ）2（B ）0（C ）-1（D ）-37．b =（A ）（A ）3（B ）1（C ）-1（D ）-2二、余式定理、因式定理（2013年）（1）若多项式32x x c -+有因式1x -，则c =（C）（A ）3-（B ）1-（C ）1（D ）3（2003年）17．（2007年）(19)若以256x x -+除多项式()f x 得余式25x -，则(3)f =.1（2006年）（18）三、待定系数法（2014年）（17）（2011年）（17）（2002年）20．若多项式()p x 被2x -除后的余式为6，而被2x +除后的余式是2，则()p x 被24x -除后的余式是.4x +（2004年）20．（2015年）（18）若多项式()432p x x x ax bx c =++++，()12p =，用21x +除()p x 的余式为2，则()1p -=____________.2-三、分解因式、最大公因式（2010年）（18）设多项式()323p x x x ax b =+++与()4322q x x x ax x b =++++有公因式3x +，则()p x 与()q x 的最大公因式为____________.(3)(2)x x +-（2009年）（19）多项式4322423x x x x +--+与3246x x x ++-的最大公因式____________________。

223x x +-（2001年）20．设,t s 是实数，且方程3250x x tx s -++=有一个根为复数2i -，那么22t s +的值为.106。