高等数学 ( 向量代数— >无穷级数 ) 知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b)); 向量运算 (向量积 )；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程 (参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量 )、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量 )、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积 )切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等 )；复合函数求导(Jacobi 行列式 )；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值 )重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分 (参数方程 )；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开 )Fourier 级数：傅里叶系数 (高次三角函数积分 )；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础 )方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度 (grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量 )散度 (div) ：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场 ))环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义 (环通量 )旋度 (rot) ：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场 (磁场 ))第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达uuur 向量有大小、有方向. 记作a或AB模向量 a 的模记作 a和差在直角坐标系下的表示a a x i a y j a z k (a x, a y ,a z)r r r a x prj x a, a y prj y a,a z prj z a a a x 2 a y 2 a z 2c a b a x b x, a y b y , a z b zc a b c a－ b单位向量 a 0 ，则 e a aae a( a x , a y , a z )a x2a y2a z2方向余弦点乘（数量积）叉乘（向量积）c a b 设 a 与x, y, z轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为 cos ， cos ， cosa b a b cos，为向量a与b的夹角c a b sin为向量 a 与 b 的夹角向量 c 与 a ，b都垂直定理与公式cosa x，cosa y，cosa zr r ra a ae a ( cos ， cos ， cos )cos2 +cos 2 cos 2 1a b a x b x a y b y a z b zi j ka b a x a y a zb x b y b z垂直平行a b a b 0 a b a x b x a y b y a z b z 0 a // b a b 0 a // ba x a y a zb x b y b za bcosa xb x a y b y a z b z交角余弦两向量夹角余弦cosa x2 a y2 a z2b x2 b y2 b z2a b向量 a 在非零向量b上的投影ax b x a y b y a z b z 投影 a b prj b a bx b y b zprj b a a cos(a b) 2 2 2b平面直线法向量 n { A, B,C }点M0( x0, y0, z0) 方向向量 T { m , n, p} 点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0 一般式A1 x B1 y C 1 z D 1 0 A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0点法式A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 点向式x x0 y y0 z z0 m n px x1 y y1 z z1 x x0 mt 三点式x 2 x1 y2 y1 z2 z1 0 参数式y y0 nt x3 x1 y3 y1 z3 z1 z z0 pt截距式x y z1 两点式x x0 y y0 z z0 a b c x1 x0 y1 y0 z1 z0面面垂直A1 A2 B1B2 C1C2 0 线线垂直m1 m2 n1 n2 p1 p2 0面面平行A1 B1 C1线线平行m1 n1 p1 A2 B2 C 2 m2 n2 p2线面垂直A B C线面平行Am Bn Cp 0 m n p点面距离面面距离M 0 (x0 , y0 , z0 ) Ax By Cz D 0 Ax By Cz D1 0 Ax By Cz D 2 0n1 cosdAx0 By0 Cz0 DdD1 D2A2 B 2 C 2 A2 B2 C2 面面夹角线线夹角线面夹角{ A1, B1 ,C1} n2 { A2 , B2 ,C2 } s1 { m1 ,n1 , p1} s2 { m2 , n2 , p2 } s { m,n, p} n { A, B, C} | A1A2 B1 B2 C1C2 | m1 m2 n1 n2 p1 p2 sinAm Bn Cpcos A2 B2 C 2 m2 n2 p 22 2 2A222 2m12 n12 p12 m22 n22 p22A1 B1 C1 B2 C2空间曲线x(t)，y(t)，z(t )，(t)x x0 y y0 z z0切“线”方程：(t 0 ) (t 0 ) (t0 ) 切向量T ( (t0 ) , (t0 ) , (t0 )) 法平“面”方程：(t0 ) ( x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t 0 )( z z0 ) 0：空间曲面：y(x)z (x)F ( x, y, z) 0切向量T (1 , ( x) , (x))法向量rn( F x ( x0 , y0 , z0 ) ,F y ( x0 , y0 , z0 ) ,F z ( x0 , y0 , z0 ) )切“线”方程：x x0 y y 0 z z01 ( x0 ) ( x 0 )法平“面”方程：( x x0 ) ( x0 ) ( y y0 ) ( x0 )( z z0 ) 0切平“面”方程：F x ( x0 , y 0 , z0 )( x x0 ) F x ( x0 , y0 , z0 )( y y 0 )F x ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0法“线“方程：x x0 y y 0 z z0F x ( x 0 , y 0 , z0 ) F y ( x 0 , y 0 , z0 ) F z ( x0 , y 0 , z0 )r) ,n ( f x ( x0 , y 0 切平“面”方程：f y ( x0 , y 0 ) , 1 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) ( z z0 ) 0z f ( x, y) 或法“线“方程：rn ( f x ( x0 , y0 ) , x x0 y y0 z z0f y (x0 , y0 ) , 1) f x ( x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) 1第十章重积分积分类型二重积分I f x, y dD平面薄片的质量质量 = 面密度面积重积分计算方法（1）利用直角坐标系X—型 f ( x, y)dxdy b 2 ( x)dx f (x, y)dyD a 1( x)Y—型 f (x, y) dxdy d 2 ( y)dy f (x, y) dxD c 1 ( y)（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧 ,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含( x2y2 ) ,为实数)f ( cos , sin ) d dD2(), sin ) dd f ( cos1()020 2（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）0 f ( x, y)对于x是奇函数，即 f ( x, y ) f ( x, y )I2 f ( x, y) dxdy f ( x, y )对于x是偶函数，D1即 f ( x, y) f ( x , y )D1是 D的右半部分计算步骤及注意事项典型例题P141—例 1、例 3P147—例 5P141—例 2应用该性质更方便1 ．画出积分区域2 ．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3 ．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 ． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 ． 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性投影法 (1) 利用直角坐标截面法f ( x, y, z)dVb y 2 ( x ) z 2 ( x,y ) 投影dx dy f ( x, y, z)dzay 1 ( x )z 1 ( x ,y)x r cos （2） 利用柱面坐标y r sinz zP159—例 1P160—例 2三重积分 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标I适用范围 :f ( x, y, z)dvP161—例 3○积分区域 表面用柱面坐标表示时方程简单； 如 旋转体12变量易分离 .如 f ( x 22) f (x 22)○被积函数 用柱面坐标表示时yzf (x, y, z)dVb dr 2 ( ) cos , sin, z) ddzr 1 ( f (空间立体物的a)质量x cos r sin cos （3）利用球面坐标ysinr sin sin质 量 = 密 度z r cos面积dv r 2sindrd dP165— 10-(1)适用范围 :○1积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单 ;如，球体，锥体 .2变量易分离 . 如， f ( x2 y2 2)○被积函数 用球面坐标表示时z2 22(, ) sin cos ,sin sin , cos ) 2sin dIdd1(f ( 1 1, )（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性积分类型第一类曲线积分If (x, y)dsL曲形构件的质量质 量 = 线 密 度弧长第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分计算方法典型例题参数法（转化为定积分）（ 1） L : y (x) I f ( (t), (t)) '2 (t )'2 (t )dt（ 2） L : x(t )(t) Ib1 y'2 ( x) dxf (x, y( x))y(t )aP189-例 1x r ( )cosP190－ 3（ 3） rr ( ) () L :y r ( )sinIf ( r ( ) cos ,r ( ) sin ) r 2 ( ) r '2 ( ) d（ 1） 参数法 （转化为定积分）x ( t)(t 单调地从 到 )L :(t) yPdx Qdy{ P[ (t),( t)](t ) Q[ (t), ( t)] (t )} dtL（ 2）利用格林公式 （转化为二重积分）条件： ①L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D ）② P ， Q 具有一阶连续偏导数结论：Pdx QdyQ P()dxdyLx y平面第二类曲线 D满足条件直接应用积分应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线P196-例 1、例 2、例 3、例 4P205－例 4P214-5(1)(4)I Pdx QdyL变力沿曲线所做的功（3）利用路径无关定理 （特殊路径法）等价条件：①QP ②Pdx Qdyx yL③ PdxQdy 与路径无关，与起点、终点有关L④ Pdx Qdy 具有原函数 u( x, y)（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）（4）两类曲线积分的联系P211-例 5、例 6、例 7IPdx Qdy(Pcos Qcos )dsLL（ 1）参数法 （转化为定积分）空间第二类曲线Pdx Qdy Rdz{ P[ (t), (t), (t)] (t ) Q[ (t), (t), (t)] (t )积分R[ (t), (t), (t)] (t )}dt（ 2）利用斯托克斯公式 （转化第二类曲面积分）IPdx Qdy Rdz 条件： ①L 封闭，分段光滑，有向L② P ， Q ，R 具有一阶连续偏导数P240-例 1变力沿曲线所做的功第一类曲面积分If (x, y, z)dv曲面薄片的质量质 量 = 面 密 度面积Pdx QdyRdzL结论：R Q P R Q p()dydz (z)dzdx (x)dxdyyzxy满足条件直接应用应用：不是封闭曲线，添加辅 助线投影法： zz( x, y) 投影到 xoy 面I f (x, y, z)dvf (x, y, z(x, y)) 1 z x 2 z 2y dxdyDxy类似的还有投影到yoz 面和 zox 面的公式P217-例 1、例 2（1）投影法○1Pdydzp( x( y, z), y, z)dydzDy z： z z( x, y) ， 为 的法向量与 x 轴的夹角前侧取“ +”， cos 0 ；后侧取“”， cos 0○2Qdzdxp(x, y( x, z), z)dzdxDyz第二类曲面积分： yy( x, z) ， 为的法向量与 y 轴的夹角右侧取“ +”， cos 0 ；左侧取“ ”， cos 0○3QdxdyQ( x, y, z(x, y))dxdyDy z： xx( y, z) ，为 的法向量与 x 轴的夹角IPdydz Qdzdx Rdxdy”， cos上侧取“ +”， cos ；下侧取“（2 ）高斯公式 右手法则取定 的侧流体流向曲面一 条件： ① 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧侧的流量② P ， Q ，R 具有一阶连续偏导数结论：Pdydz Qdzdz Rdxdy(PQR )xyz满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面（3）两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdxdy (PcosQcos Rcos )dS转换投影法： dydz (z)dxdy dzdx (z)dxdyx y所有类型的积分：○1 定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
