高等数学复习提要

高等数学复习提纲

第一章 函数与极限

复习重点：

1、求极限

1）四则运算法则 注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；

四则运算法则的条件是充分条件

有理分式函数求极限公式：

2）两个重要极限

))01(()11(lim)1(lim)00sin(1sinlim01100exxxxxxxxx

3）两个准则

准则一：

准则二：单调有界数列必有极限

单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界）

单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界）

4）无穷小量

a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量；

b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；

c.利用无穷小量求极限

无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量

等价无穷小量替代求极限 注意：下面给出关系式是在0x时才成立

等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行

2、连续性和间断点

1）连续定义

)()(lim,0lim000xfxfyxxx nnnnmmmmxbxbxbxbaxaxaxa11101110limnmnmmnbaxbxxbxxbxxbxaxxaxxaxxannnnnnnnnmnmnmnmx0lim0011101110azyNnzxynnnnnnnlimlim)(2 )1(若axxnnnlim,}{且有极限则nxxxxaxaxxxexxxxxxnxx~11~)1ln(ln~1~tan~1~arcsin21~cos1~sin2　　　　　　　　　　　　　　　　要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性

2）间断点

间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点

要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

3、闭区间上连续函数的性质

1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。

注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。

2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf。

要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。

第二章 一元函数微分学

复习重点：

1、导数的定义0000)()(limlim)(0xxxfxfxyxfxxx

要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限；

2、导数的几何意义 表示曲线f(x)在0xx处切线的斜率

要求会求切线方程法线方程；

3、微分的定义 xxfdy)(0（一点可微）；dxxfdy)(（点点可微）

4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系

可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导

5、导数的计算

a.复合函数求导

b.高阶导数 常见高阶导数公式如下：

即左右极限均存在，第Ⅰ类间断点：,)0()0(00xfxf跳跃间断点)0()0(1000xfxf可去间断点无定义　而)()(lim3)()0()0(20000000xfxfxfxfxfxx至少有一个不，第Ⅱ类间断点：)0()0(00xfxfnnnnnnnnxnxxnyxynxyxynxyxyynyxyeyey)1()!1()1()1ln()2cos(cos)2sin(sin0,!1)()()()1()()(c.隐函数求导

隐函数求导方法两边同时对x求导；

注意y是关于x的函数；

隐函数求导的结果还是隐函数；

隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。

d.对数求导法 适用于幂指函数、无理分式函数

e.参数方程求导 注意二阶导数

6、求微分 dxxfdy)(注意不要缺失dx

第三章 中值定理和导数的应用

1、中值定理

1）罗尔定理 若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点),(0bax，使得0)(0xf。

注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；

b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至

少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；

c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意反之不成立；

d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。

2）拉格郎日定理

若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点),(0bax，使得abafbfxf)()()(0。

应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。

3）柯西定理

若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且0)(),,(xFbax则至少存在一点),(0bax，使得)()()()()()(00aFbFafbfxFxf。

应用于等式的证明。

2、洛必达法则

洛必达法则应用于解决00,1,0,0,,,00等不定型极限

注意：1cos1limsinlimxxxxxx极限不存在，此时洛必达法则不适用。

3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，会作图 0lim0lim1xFxfaxax若定理0,2xFxFxfa都存在且在或xFxfaxlim3xFxfxFxfaxaxlimlim则1）单调性的判定

d、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点

要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间；

会利用单调性证明不等式；

会利用严格单调性证明根的唯一性。

2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，在(a,b)内若0)(xf，则f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)内若0)(xf，则f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐点：凹凸区间的分界点

拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点

判定定理1：若f(x)在0x处可导，在)(00xU内二阶可导，则

当00xxxx与时，)(xf变号，)(,(00xfx就是拐点；

当00xxxx与时，)(xf不变号，)(,(00xfx就不是拐点；

判定定理2：若f(x)在0x处三阶可导，且,0)(,0)(00xfxf则)(,(00xfx是拐点。

注意，对于判定定理2，若,0)(,0)(00xfxf结论是)(,(00xfx可能是拐点也可能不

是拐点。

4）极值

极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在),(0bax，对)(0xUx，若)()(0xfxf，则称)(0xf为f(x)的一个极大值，0x为f(x)的一个极大值点。

极小值：设f(x)在(a,b)有定义，存在),(0bax，对)(0xUx，若)()(0xfxf，则称)(0xf为f(x)的一个极小值，0x为f(x)的一个极小值点。 ）可导，连续，在（）在（设函数babaxfy,,上）在（，那么）（）内）如果在（baxfxfbaa,0,上）在（，那么）（）内）如果在（baxfxfbab,0,)0)((0)(),(),(),()(0)(,),()0)((0)(),(),(),()(xfxfbaxbafbaxfcxfbaxfxfbaxbafbaxfba，有对一切件为：内单增（减）的充要条在内可导，则在、若函数的点必是孤立点任何使内在，有对一切要条件为：内严格单增（减）的充在内可导，则在、若函数调的充分条件、该条件为函数严格单注：最大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在),(0bax，对任意),(bax，若)()(0xfxf，则称)(0xf为f(x)的一个最大值，0x为f(x)的一个最大值点。

注意：极值反映的函数局部的性质，它只是和极值点附近点的函数值相互比较而言它是大的

还是小的，有可能出现极小值大于极大值的情况；而最值反映的是函数全局的性质，

它是和整个区间上所有点的函数值相互比较。

一个区间上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值点不唯一；而一个区间上极值是

不唯一的，可以有几个极大值和极小值。

在区间内部，最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。

极值点的疑似点：

判定定理：驻点和一阶不可导点

必要条件：可导的极值点一定是驻点。（使一阶导函数为0的点称之为驻点）

第一充分条件：若f(x)在0x处连续，在)(00xU内可导，则

当00xxxx与时，)(xf变号，0x就是极值点；

当00xxxx与时，)(xf不变号，0x就不是极值点；

第二充分条件：若f(x)在0x处二阶可导，且,0)(,0)(00xfxf则0x就是极值点。

,0)(0xf0x是极大值点；,0)(0xf0x是极小值点。

注意：在第二充分条件中，若,0)(,0)(00xfxf则0x可能是极值点也可能不是。

第四章 不定积分（计算）

1、换元法（第一种，第二种（去根号））

2、分部积分法

3、倒代换

4、整个根式换元

5、有理函数积分

6、三角函数积分

第五章 定积分

1、定积分的定义

定积分的结果是常数，表示的是曲边梯形面积的代数和，与积分区间和被积表达式有关，和积分变量无关。

2、可积的两个充分条件和一个必要条件

f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]有界且有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]可积，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定积分的几何意义

4、定积分的重要性质 .lim)(10iniibaxfxdxf