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高等数学(考研要点复习_下)

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93 第五章 定积分的概念

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念

一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211niiixxxnixxx在[iixx,1]上任意取一点i，作和式：)1.......()(1iniixf

如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[iixx,1]怎样选取，只要0有iniixf1)(I （I为一个确定的常数），则称极限I是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做badxxf)(即I=badxxf)(其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

注

1． 定积分还可以用语言定义

2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=badxxf)(和S=21)(TTdttv

3有定义知道badxxf)(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x无关，即badxxf)(=baduuf)(=badttf)(

94 4定义中的0不能用n代替

5如果iniixfLim10)(存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(xxxf在[0，1]上不可积。

可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

当f(x)0时，badxxf)(表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，badxxf)(表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则badxxf)(表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算10dxex

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为ninixi,.....2,1,0,，nxi/1，n/1取iix作和式：

11]1)[(111)(1110101010eeeenLimenLimneLimxfLimnnnnnininininiii所以：10dxex=e-1

7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理

有定积分的定义知，badxxf)(是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定：

1． a=b时，badxxf)(=0

2． a>b时，badxxf)(=-abdxxf)(

性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

95 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

babadxxfkdxxkf)()(

性质3：无论a,b,c的位置如何，有

bccabadxxfdxxfdxxf)()()(

性质4：f(x)1则abdxxfba)(

性质5：若f(x)g(x)则,)()(babadxxgdxxfba

性质6：babadxxfdxxf)()(

性质7：设在b,a，Mxfm，则

abMdxxfabmba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存

一点，使下式成立，)()()(fabdxxfba

例1．利用定积分几何意义，求定积分值4dxx1102

上式表示介于0x, 1x, 0y, 2x1y之间面积

例2、（估计积分值） 证明

21xx2dx32102

证：

2221x49xx2在1,0 上最大值为49，最小值为2

∴

21xx21322

∴

21xx2132102

5．3定积分的计算方法

一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为xadxxf)(由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为)(xxadttf)(（ba）称

96 )(x是变上限积分的函数。

定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则)(xxadttf)(在[a,b]上可导，且导数为)())(()(xfdttfdxdxxa

证明省略

定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数)(xxadttf)(是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在

2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。 (1)

证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。

(2)

在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得

，

在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

97 解 。

例2 计算。

解 。

例3 计算。

解 。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解 。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此

。

98 例6、30x41cosx0x4xsinxcosxlncosxlimxtlntdtlim

20x0x0xxlncosxlimxsinxlimcosxlim41 cosx2xsinxlim410x81

5．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数)(tx在].[上严格单调，且有连续导数，（3）t时，bta)( 且ba)(,)(则有换元公式：

dtttfdxxfba)())(()(…….(1)

注

1． 用换元法时，当用)(tx将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。

2． )(tx必须严格单调

3． 可以大于

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例1、20222022dx)1(x-1xdxx2xx

法一 设 sin t1-x

π23t)dtsin(12dt t coscostsin t)(12π022π2π2

法二 设 t2sinx2 原式

π232π!4!!3!8dt t sin82π04

例2．设xf在,上连续，且

dttft2xxFx0,

证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。

证：

tdtfu2xutdttft2xxFx0x0

99 dttft2xx0 xF

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质

(1) xf在[-a,a]连续，0a

当xf为偶数，则a0a-af(x)dx2f(x)dx

当xf为奇函数，则0f(x)dxa-a

(2) T0Taaf(x)dxf(x)dx，xf以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

例4、e4)dxe-)(exx(11-1x-x2001

原式 10x-x)dxe-x(e2

10x-x)e-xd(e210xx)ex(e2 e4

例5、2π2π2π022dxxsin1 xcosdxx2sinxcos xcos

2πx2arctansindsin xxsin112π02π02

例6、设xf为连续函数，且π0dx f(x)sinxf(x) 求xf

解： 设π0Adx f(x) 则Axsinxf

两边积分

π0π0A)dx(sinxdx f(x)

π0π0AxcosxA

π12A ∴ π12sinxf(x)

5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bababavdxuuvdxvu|

证明：因为vuvuuv)(，则有vuuvvu)(，两边取定积分。有bababavdxuuvdxvu|

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最新考研高数重点知识泰勒公式汇总

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泰勒公式是高等数学中非常重要且常用的一个工具，在考研高数中也是必备的知识点之一、下面将针对泰勒公式进行详细汇总，以供大家复习。

首先，我们来了解一下泰勒公式的基本形式。泰勒公式是指将一个光滑函数在其中一点处展开成无穷阶的幂级数的形式。泰勒公式的一般形式如下：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+...

其中，f(x)代表原函数，f(a)代表在点a处的函数值，f'(a)代表函数在点a处的导数，f''(a)代表函数在点a处的二阶导数，f^n(a)代表函数在点a处的n阶导数，(x-a)^n代表x减去a的n次幂，n!代表n的阶乘。

了解了泰勒公式的基本形式后，我们来看一下泰勒公式的具体应用：

1.求函数的近似值：泰勒公式可以将一个函数在其中一点的附近展开成一项项的幂级数，通过截取其中几项可以得到函数在该点附近的近似值。通常情况下，我们会截取前几项，因为随着项数的增多，计算量会变得非常大。

2.求函数的极限：通过求出函数在其中一点的泰勒展开式，我们可以得到该函数在该点的极限。如果一个函数在其中一点的泰勒展开式的前n项的系数构成的极限存在且有限，那么该极限就是函数在该点的极限。 3.求函数的高阶导数：泰勒公式可以展开到无穷阶，因此可以通过泰勒公式求出一个函数的高阶导数。在实际应用中，经常会遇到需要求高阶导数的问题，泰勒公式能够很好地帮助解决这类问题。

4.求积分：泰勒公式对于求解积分也有很大的帮助。我们可以通过一个函数在其中一点附近的泰勒展开式来求积分，从而得到积分的近似值。这在实际应用中尤为重要，因为很多情况下，我们无法直接得到一个函数的积分表达式，只能通过近似的方式来计算积分值。

以上是泰勒公式的基本知识和应用，掌握了这些内容，相信对于考研高数的复习和应对考试会有很大的帮助。在复习时，可以通过大量的练习来巩固泰勒公式的应用和推导过程，加深对该知识点的理解。

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研究细节，祝你考研数学春风得意马，突破 130 分大关！

目 录

一、函数与极限 ··················································2

1、集合的概念 ··············································2 2、常量与变量 ··············································3 2、函数 ··················································4 3、函数的简单性态 ············································4 4、反函数 ···················································5 5、复合函数 ··················································6 6、初等函数 ··················································6 7、双曲函数及反双曲函数 ······································7 8、数列的极限 ··············································8 9、函数的极限 ··············································9 10、函数极限的运算规则 ·····································11

一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能

考研怎么复习

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考研怎么复习

每当提到考研数学复习，总是最先想起一堆公式和符号，而且数学复习本身就是一个长期的过程，最好的复习方法就是将繁冗的数学知识化整为零，各个击破。小编为大家精心准备了考研数学备考复习的指南，欢迎大家前来阅读。

考研数学备考复习的攻略

考研数学在公共课数学复习毫无疑问是一个长期且艰巨的工程，有一种数学思维，即化整为零，然后化零为整。学习高数的人都知道，定积分概念的四个关键：分割——近似——求和——取极限。平时的复习一直向脑中输送零碎的知识，这是把原本整体的学科一小块一小块给拆开了吸取，到每一个小螺钉都很熟悉的时候就能够造一艘航母远行了。

这样的思维方式在考研复习中会一再涉及到，不仅在考研数学复习，在考研英语、政治中都会用到。以前老师们常说的：先把薄书读厚，再把厚书读薄!而数学尤其需要如此才能学透得高分。按照这样的思路，考研复习到考前十几天的时候一定要把所有的科目都读成了薄薄的一本。就数学而言，再薄的书也应该有题目，几十天时间仍然不能丢做题时的手感!但数学复习到这个份上就千万不要再钻牛角尖了，不论以前是专攻难题还是注重概念，现在都应该回归基础了。读一些基本的例子，做一些基本的题目，看一些基本的概念，背一些基本的公式。

考研数学的基本题型考生同学们一定烂熟于心了，在研究生考试进行了二十年之后的今天，各科试题的命题工作都基本趋于科学且完善，选择题答案的分布不会太偏离平均位置，即基本不会出现答案全是A或B或C或D的情况，也不会出现某个答案出现四次而另一个答案不出现的情况，如果给以上事件出现的情况带个高帽的话，那就是这样情况下的试题是不“科学”的。当然科学的试题答案分布是基本均衡的，即ABCD中的任何一个最多出现三次，最少会出现一

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次。以上的分析对应考可能会有一点帮助。好的方法对数学成绩的影响也许是几分，十几分，甚至更多。文都考研小编认为正确运用考研数学临场解题策略及黄金战术原则，不仅可以预防各种由于解题习惯造成的不合理丢分和计算失误，而且还能合理安排解题次序和答题时间，挖掘思维和知识的潜能，考出最佳成绩。

考研数学高等数学复习方法和重点

考研数学高等数学复习方法和重点

2018考研数学高等数学复习方法和重点

考研数学之高等数学复习方法

第一、要将数学基础备考进行到底

数学150分，基础性的题目占到70%，也就是105分，这分数对于考生来讲是非常重要的，只要大家把基本概念、性质、公式和定理以及基本解题方法掌握了，这部分分数还是比较容易能拿到手的。但是复习到现在，很多考生已经把基本知识点抛之脑后了，一味地在做题，甚至只是在看题。但是我们必须清楚，不管做多少题，考场上都不会遇见你做过的题目，我们做题的目的是巩固知识点，检测对知识点的掌握程度、复习的效果，重要的是知识点本身，万变不离其宗，考场上题目无论如何变化都离不了知识点，所以如果你对基础知识还没用掌握，就一定要对照考试大纲对基本概念、基本理论和基本方法准确把握，或者对基础班的讲义进行复习。因为只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

第二、要处理好全面和重点的关系，不同层次的考生，要求不同

考研预报名后，绝大部分学生已经确定好了院校和专业，那么数学这一学科到底要考多少分基本上也是确定的。如果考生的分数要求比较高，130、140以上，那么在掌握常考的题型和解题方法的基础上，对照考试大纲对考研不常考的内容也要进行复习，比如说差分方程，只对数三同学做要求，这部分内容虽然已很久没考查，但是这确实是考试大纲上要求的内容，也要复习到。况且这部分内容只要是花半个小时就可以掌握的，可以与二阶常系数线性微分方程的解法对比记忆。 如果考生的分数要求并不高，只要100-120分就可以的话，还是要对照暑期强化班的讲义重点把常考题型和解题方法掌握好，一些不常考的内容可以适当地放弃，比如说数一的估计的一致性、假设检验。

第三、重视真题，总结题型，熟练掌握常见的解题方法和技巧

根据对历年真题的研究，我们发现每年的试卷高等数学内容都有较大的重复率，所以一定要重视对真题的研习，真题至少要做两遍，第一遍按年份做，第二份按章节做。通过做真题，去总结常考题型，掌握常见的解题方法和技巧，对于暑期上过强化班的同学来讲，这部分工作就不需要自己去做了，只需要把课上老师讲的解题方法进行练习。除此之外，对于那些具有很强的综合性、灵活性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。