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《高等数学》第八章复习要点

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习要点

多元函数的微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，深刻理解，融会贯通。

1. 会求多元函数的偏导数

对二元函数),(yxfz，

xyxfyxxfxzfx),(),(lim01，yyxfyyxfyzfy),(),(lim02

因此求xz时，暂时将y看作常数，对x求导; 求yz时，暂时将x看作常数，对y求导.

同理，会求三元函数的偏导数。

2. 会求多元函数的高阶偏导数

对二元函数),(yxfz，有

)(2211xzxxzf， )(212xzyyxzf，

)(221yzxxyzf， )(2222yzyyzf.

定理：xyzyxzxyzyxz2222, 连续

3. 会求多元函数的全微分

对二元函数),(yxfz，dyyzdxxzdz

对三元函数),,(zyxfu，dzzudyyudxxudu

4. 掌握多元复合函数的求导法则

设)],(),,([),(),,(),,(yxvyxufzyxvvyxuuvufz

则 xvfxufxvvzxuuzxz21 学习必备 欢迎下载

yvfyufyvvzyuuzyz21

重点：会求复合函数的二阶偏导数。

5. 会求由方程0),,(zyxF确定隐函数),(yxzz的偏导数，其中

zyzxFFyzFFxz,

6. 会求多元函数的方向导数与梯度

二元函数),(yxfz在点),(00yxP处沿射线l方向的方向导数：

sin),(cos),(0000yxfyxflfyx（其中为x轴正向到射线l的转角）

梯度 jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000

梯度向量的方向为点),(00yxP处方向导数取得最大值的方向，且

),(),(),(00200200maxyxfyxfyxgradflfyx

类似，可得三元函数的方向导数与梯度。

7. 掌握多元函数微分法在几何上的应用

(1) 空间曲线)(),(),(tztytx在点),,(000zyxM处的切线方程（其中M点对应参数0t）： )()()(000000tzztyytxx

法平面方程：0))(())(())((000000zztyytxxt

(2) 曲面0),,(zyxF在点),,(000zyxM处的切平面方程：

0)))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx

法线方程 ),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx

8. 会求二元函数的极值，其一般步骤为：

（1）令0),(0),(yxfyxfyx，解得函数),(yxf的驻点

（2）求出yyxyxxfff,,

（3）利用判别式2BAC的符号判断驻点是否为极值点。 学习必备 欢迎下载

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高等数学第九章试题2

高等数学第九章试题2

1.函数xyzsin的全微分是__________________

2.设13323xyxyyxz，则yxz2_____________________________.

3.微分方程044yyy的通解为_________________________________.

4.设两平面方程分别为0122zyx和05yx，则两平面的夹角为（ ）.

A.6 B.4 C.3 D.2

5..函数22arcsinyxz的定义域为（ ）.

A.10,22yxyx B.10,22yxyx

C.20,22yxyx D.20,22yxyx

6.函数)2ln(12222yxyxz的定义域为 ．

7.设vezusin，而yxvxyu,，求.,yzxz

8.已知隐函数yxzz,由方程05242222zxzyx确定，求.,yzxz

9.设22uvvuz，而yxvyxusin,cos，求.,yzxz

10、用行列式解方程组 -3x+2y-8z=17

2x-5y+3z=3

x+7y-5z=2

11.求两平面：22zyx与42zyx交线的标准式方程。

高等数学11单元第八章常微分方程

高等数学11单元第八章常微分方程

授课11单元教案

授课单元名称 第八章 常微分方程

第一节常微分方程的基本概念 授课学时 8

单元教学

目标 知识目标 1、 了解微分方程和常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等概念；

2、掌握常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法

3会用微分方程解一些简单的应用题；

能力目标 1．掌握微分方程、通解、特解等概念2。掌握常用的几种微分方程解法。

3．能建立常见的实际应用和专业中的微分方程模型，并求解。

主要教学

知识点 1、微分方程、常微分方程、常微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件的概念；

2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法 教学难点 1常微分方程的基本概念

2常见微分方程解法

教材处理 基本概念以教材一致，例题有调整 参考资料 高等数学》，侯风波主编， 高等教育出版社。

《分层数学》，李德才主编， 北京交通大学出版社。

教学资源 1）教材 2）课件3）参考书

教学方法与手段 启发式、讲练结合

考核

评价点 1、常微分方程的基本概念

2、常见微分方程的类型（可分离变量方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程）及解法

教学内容

第一节 微分方程的基本概念

教学过程

一、引入新课

初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1

二、新授课

1、微分方程的定义： 含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程

如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)

高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)

高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）

双曲线的定义：

2.双曲线的标准方程

双曲线与椭圆的比较

以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①

且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得

将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质

(1)双曲线与椭圆的六个不同点:

(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线 私信我领取全套免费学习资料

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高数大一第八章知识点

高数大一第八章知识点

高数大一第八章知识点

近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。本文将介绍高数大一第八章的知识点。

第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。

首先，我们来看无穷级数的概念。无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。其中，部分和是指对级数中的前n项（n是一个整数）进行求和。当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。

接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。

在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。

除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。

总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。

在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。因此，学好和掌握高数大一第八章的知识点对于我们未来的学习和发展都至关重要。