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量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。
它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。
）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。
四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。
a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。
（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
1997年硕士研究生入学考试西方哲学史试题1．概述亚里士多德的“实体”（sustance）理论，并简要评述。
2．概述斯多亚派（亦译斯多葛派）的伦理学。
3．简述巴门尼德的存在论。
4．托马斯.阿奎那的经院哲学的基本观点述评。
5．你认为笛卡尔对后世哲学影响最大的观点是什么？6．评休谟的因果观。
7．从本体论、认识论、伦理学的统一谈斯宾诺莎哲学的基本特征。
8．概述康德的批判哲学中关于感性、知性和理性的基本观点。
9．简述萨特的自在自为理论和自由观。
10．胡塞尔从事哲学追求的根本目的或基本纲领是什么？他创立什么方法和理论来实现其目的？11．维也纳学派为何要拒斥形而上学？如何拒斥形而上学？1998年西方哲学史考研试题1芝诺关于运动的难题。
2.简述苏格拉底的“美德就是知识”3.中世纪唯名论与唯实论之争。
4.培根的归纳法。
5.笛卡尔的“我思故我在”。
6.洛克第一性质和第二性质的学说。
7.莱布尼茨的预定和谐说。
8.康德说休谟把他从独断论的迷梦中惊醒，是何意，你如何理解？9简述斯宾诺莎的实体观。
10以某一实用主义哲学家为例说明实用主义真理观。
11新康德主义复活和发挥了康德哲学中哪些因素？2002年西方哲学史考研试题一，名词解释（15分*5个）兼爱大乘三位一体此在人类历史的史前时期二，论述（25分*3个）1，试评述孔子关于仁与礼关系的思想。
2，简单介绍康德范畴的先验演绎，并评述在其思想中的地位和作用。
3，简单评述《费尔巴哈提纲》中“社会生活在本质上是实践的”。
2003年西方哲学史考研试题一，名词解释（6分*8个）逻各斯教父哲学四假相反思（黑格尔）奥卡姆剃刀绝对命令证实原则解释学循环二，简答（15分*4个）1，简述亚里士多德的实体论。
2，康德的先天综合判断。
3，唯名论与实在论的异同。
4，简述黑格尔的真理观。
三，论述（42分）1，从笛卡尔到斯宾诺莎、莱布尼兹实体论的演进发展。
2，从海德格尔、伽达默尔看他们对于“理解”的理解。
