第17章平面图与图的着色

图的平面图与图的着色在图论中，图是由边和顶点组成的数学结构，用来描述事物之间的联系和关系。

图论是一门重要且广泛应用的数学分支，涉及到许多重要的概念和问题，其中包括图的平面图与图的着色。

一、图的平面图在图论中，平面图是指可以被画在平面上而不相交的图。

也就是说，图的边不能相交，且在同一个点上，至多只能有两条边相接。

平面图的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。

经过数学家的研究，他们发现了一些重要的结论。

如Euler公式，它是平面图论的基础定理之一。

该定理表明，对于连通的平面图，其顶点数、边数和面数之间存在如下关系：v-e+f=2。

其中v代表顶点数，e代表边数，f代表面数。

除了Euler公式，平面图还有其他一些重要的性质，如四色定理。

四色定理指出，任何一个平面图都可以用不超过四种颜色进行着色，使得任意相邻的两个顶点使用不同的颜色。

二、图的着色图的着色是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得相邻的顶点颜色不同。

图的着色问题是图论研究中的一个经典问题，在计算机科学和应用领域有广泛的应用。

在图的着色问题中，有两个重要的概念：色数和色法。

色数是指给图的顶点着色所需使用的最少颜色数目，可以用来衡量图的某种特性。

色法是指给图的所有顶点着色的具体方法。

图的着色问题是一个NP完全问题，也就是说，对于大规模的图，要找到一个最佳的着色方案是非常困难的。

因此，人们通常采用一些启发式算法或者近似算法来解决这个问题。

三、图的平面图与图的着色的应用图的平面图与图的着色在实际生活中有着广泛的应用。

在地图设计中，平面图的概念可以帮助我们设计出不相交的道路、铁路和河流等，使得地图更加直观和易于理解。

在电路设计中，平面图的概念可以帮助我们避免电路中的交叉线，从而简化电路的设计和布线。

在时间表安排中，图的着色可以帮助我们安排不同的任务和活动，使得它们之间没有冲突和重叠。

在频谱分配中，图的着色可以帮助我们将不同的无线电信号分配到不同的频段中，以避免信号之间的干扰。

图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。

在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。

一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。

平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。

在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。

欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。

根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。

二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。

这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。

在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。

四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。

三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。

通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。

同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。

在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。

平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。

在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。

例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。

四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。

一个典型的例子是地图着色问题。

在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。

通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。

另一个例子是课程表安排问题。

17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。

画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。

无平面嵌入的图称为非平面图。

K1(平凡图)，K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。

K5－e (K5删除任意一条边)也是平面图，它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。

图17.1中(1)，(2)，(3)分别为K4, K5－e, K2,3的标准画法。

请观看演示动画：(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图，有时是指平面嵌入，有时则不是，这要看是研究平面图什么性质而定，请读者根据上下文加以区分。

当然有时也特别指出平面嵌入。

现在就应该指出，在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。

还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。

定理17.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。

由定理17.1立刻可知，K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。

定理17.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。

推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。

n本推论由K5，K3,3不是平面图及定理17.2得证。

还有一个明显的事实也用定理给出。

定理17.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。

本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。

二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入)，由G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域都称为G的一个面。

图是离散数学中的重要概念，而平面图和平面图的着色是图论中的两个关键概念。

平面图是指在平面上绘制的图形，使得图中的边不会相交。

平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

平面图的概念最早由欧拉在1736年提出。

他发现，如果一个图是可以在平面上绘制而不会边相交的，那么这个图是一个平面图。

欧拉还引入了一个重要的公式，即欧拉定理，它描述了平面图中的顶点、边和面的关系：V - E + F = 2，其中V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。

对于平面图的着色问题，四色定理是一个非常重要的结果。

四色定理指出，任何一个平面图，在不考虑多重边和自环的情况下，最多只需要使用四种颜色就能够对图的顶点进行染色，使得相邻的顶点不会有相同的颜色。

这个定理在1976年被由英国数学家Tomás Oliveira e Silva使用计算机辅助证明，被认为是图论史上的一大突破。

对于平面图的着色，有一种特殊的染色方法叫做四色标号。

四色标号是指对于任意一个平面图，都可以给图中的每个顶点赋予一个自然数，使得相邻的顶点之间的差值不超过3。

这种染色方法保证了相邻的顶点不会被染成相同的颜色，同时最多只需要使用四种颜色。

平面图的着色不仅在图论中有着重要的应用，同时在现实生活中也有很多实际的应用。

比如，考虑地图上的城市，如果我们希望将城市标记成不同的颜色，以表示它们的关系，那么可以利用平面图的着色来实现。

另外，平面图的着色还有很多其他的实际应用，比如在工程规划中用于规划电路的布线、在计算机科学中用于处理图像等等。

总之，离散数学中的图的平面图与平面图的着色是图论中的两个重要概念。

平面图是指在平面上绘制的图形，使得边不会相交；平面图的着色是指对平面图中的顶点进行染色，且相邻的顶点不会被染成相同的颜色。

四色定理是平面图着色的重要结果，它指出任意一个平面图可以使用最多四种颜色进行着色。

平面图的着色在现实生活中有着广泛的应用，是离散数学中的一个重要研究领域。

图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。

图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。

本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。

一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。

平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。

一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。

为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。

图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。

在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。

二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。

通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。

在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。

最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。

然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。

为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。

其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。

这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。

染色问题在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。

另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。

三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。

为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。

在离散数学中，图是一种用于描述对象之间关系的数学模型。

它由一组顶点和连接这些顶点的边组成。

图的理论在许多领域中都得到了广泛的应用，如计算机科学、物理学、社会学等。

本文将重点讨论图的平面图和图的染色。

首先，我们来了解一下图的平面图。

一个平面图是指可以画在二维平面上，使得边不相交的图。

换句话说，平面图可以在纸上用线条表示，且不会发生交叉。

简单来说，平面图就是可以被画在一个平面上而不会出现边交叉的图。

平面图的研究起源于欧拉在1736年所提出的著名的“柯尼斯堡七桥问题”。

欧拉通过研究柯尼斯堡的七座桥的布局问题，引入了欧拉定理，该定理指出：一个无向图是平面图，当且仅当它没有割边（割边是指当移除一个边时，图会被分为两个独立的部分）。

欧拉定理揭示了平面图的基本特性，为后来的研究提供了理论基础。

与平面图相关的是图的染色问题。

图的染色问题是指给图的每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻顶点具有不同的颜色。

这个问题源于地图染色问题，即如何将地图上的区域用不同颜色进行染色，使得任意两个相邻区域颜色不同。

图的染色问题在实际应用中具有重要意义，如频道分配、时间表设计、DNA测序等。

对于一般的图，图的染色是一个NP-完全问题，很难找到有效的算法。

但是对于平面图，有一个非常重要的定理——四色定理。

四色定理指出：任何平面图都可以用四种颜色对顶点进行染色，使得任意两个相邻顶点具有不同的颜色。

四色定理是图论中的一个重要突破，它的证明历经了200多年的努力，在1976年由Kenneth Appel和Wolfgang Haken首次给出了一个检查过程，使用了计算机的辅助。

以“四色定理”为基础，图的染色问题在实际中也有许多应用。

例如，在地图着色中，四色定理告诉我们任何地图只需要用四种颜色就可以在每两个相邻区域之间使用不同的颜色进行染色。

这在地理信息系统中有着广泛的应用。

另一个例子是频道分配，可以使用图的染色算法来确保无线电频段之间没有干扰。