4-3旋转曲面

第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一.柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线Γ方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F(1)母线的方向数X,Y,Z.即 {}Z Y X v ,,=(2)任取柱面准线Γ上一点),,(1111z y x M 则过此点的母线方程为Zz z Y y y X x x 111-=-=- 且有0),,(1111=z y x F ,0),,(1112=z y x F .从而消去参数111,,z y x 最后得到一个三元方程0),,(=z y x F ，这就是以⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F 为准线, 母线的方向数X,Y,Z 的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解 设),,(1111z y x M 是准线上的点,那么过),,(1111z y x M 的母线为101111z z y y x x -=-=--, 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x (1) 设t z z y y x x =-=-=--101111,那么 ,1t x x +=y y =1,t z z -=1, 代入(1)得⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++2)(2)(21)()(222222t z y t x t z y t x 可得 0)(2=-t z ,即 z t = 求得柱面方程为 1)(22=++y t x . 例 2. 已知圆柱面的轴为 21211-+=--=z y x ,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离14=d 为半径的球面14)1()1(222=++-+z y x 与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面0322=---z y x 的交线,即准线圆的方程为⎩⎨⎧=---=-+-+032214)1()1(222z y x z y x设),,(111z y x 为准线圆上的点,那么14)1()1(212121=++-+z y x ,0322111=---z y x 且过的),,(111z y x 母线为221111--=--=-z z y y x x .消去参数111,,z y x 即得所求的圆柱面方程 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为{}2,2,1--=v ,轴上的定点为)1,1,0(0-M ,而圆柱面上的点为)1,2,1(1-M ,所以{}2,3,110-=M M ,因此)1,2,1(1-M 到轴的距离为3117==d 再设),,(z y x M 为圆柱上任意点,那么有3117==d 即 3117)2()2(1211121221122222=-+-+--+-++--+-y x x x z y 化简整理得 0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。

第四章 常见曲面§4.1柱面1.定义：在空间，由平行于定方向v 且与一条定曲线c 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向v 叫柱面的方向，定曲线c 叫柱面的准线。

那族平行直线中的每条直线，都叫做柱面的母线。

(生成图见课件flash 动画)2.柱面方程： 设柱面曲线为c ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F ()1母线方向{}z y x v ,,= 点),,z y x M （在柱面上⇔ 点M 在过准线线某一点),,1111z y x M （的母线上⇔点M 的坐标满足过1M 的母线方程zz z y y y x x x 111-=-=- ()2 其中点),,1111z y x M （满足条件⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x F z y x F ()3 由 ()1，()2，()3消去参数111,,z y x 得柱面方程0),,(=z y x F例1． 柱面的准线方程为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 而母线方向数是1,0,1-，求这个柱面的方程。

解：设),,1111z y x M （是准线上任一点，那么过1M 的母线方程为101111z z y y x x -=-=-- ()* 且有⎩⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x ()()54将()* 化成参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y t x x 111 ()6 代入()4及()5得()()()()⎩⎨⎧=-+++=-+++2221222222t z y t x t z y t x ()()87 从()7，()8消去t ，()02=-t z ∴ t z =，代入()7得()122=++y z x即012222=-+++xz z y x 为所求柱面方程。

例2 已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x，点()121，，-在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。

解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。

解：由题意知：母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 的母线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ，圆的方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

自由造型单元可以创建不规则的曲面，构图方式自由，故称自由造型。

自由造型构图方式是透过移动控制点的方式来决定曲面或曲线的外形，与其他实体为主的单元的不同处，在于自由造型可以脱离实体的限制，由用户的主观意识来决定所要的外形。

自由曲面优化模块扩展了CATIA自由曲面造型设计的外形和曲面造型功能，主要针对复杂的多曲面外形的变形设计。

设计者可以象处理一个曲面片一样对曲面进行整体更改，而同时保持每个曲面先前规定的设计品质。

系统能够使一个设计和其他的几何元素匹配。

为检验曲面的设计质量，用户可以实施一个虚拟展室，通过计算出反射光线对曲面进行检查。

2.1 进入自由曲面造型单元打开CATIA软件后，在菜单栏中的开始菜单中选择形状模块，并单击FreeStyle单元，如图2.1所示，进入自由曲面造型单元。

图 2.1自由曲面造型功能总览：自由曲面造型单元共有八项主要的工具栏，可以在插入和工具菜单中找到，全部的工具栏请参考图2.2。

插入工具栏所提供的功能主要用于曲面与曲线的创建和修改，工具菜单中所提供的功能主要为辅助用户的设计工作。

图 2.2 八项主要工具简介如下：. CurveCreation(曲线创建):可以用各种条件创建并修改曲线。

. SurfaceCreation(曲面创建):可以用各种条件创建并修改曲面。

. ShapeModification(外形修正)：可以对曲面、曲线的外形进行修正。

.Operations(修改操作)：可以对曲线、曲面等对象进行修改。

. ShapeAnalysis(外形分析)：可以对曲面、曲线进行间隙、曲率、曲面品质、距离误差等的分析。

. GenericTools(一般工具)：可以显示曲面的几何状态，改变指南针方向。

. ViewManipulation(自定义观察方式)：可以修改屏幕的显示比例，使用指南针来移动视角，变换前后视角。

. FreeStyleDashboard(自由造型辅助面板)：建立与修改曲面、曲线时的辅助工具。

旋转曲面的方程特点旋转曲面是指由一个曲线绕着某一轴旋转而形成的曲面。

旋转曲面在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

本文将从方程特点的角度，对旋转曲面进行详细介绍。

一、旋转曲面的定义二、旋转曲面的方程1. 柱面的方程2. 圆锥的方程3. 球体的方程4. 扭曲表面的方程三、旋转曲面的特点1. 对称性2. 曲率半径3. 面积和体积4. 积分计算四、结语一、旋转曲面的定义旋转曲面是由一个平面图形，以某条轴线为轴进行旋转所得到的空间图形。

这个平面图形可以是任何形状，包括圆形、椭圆形和多边形等。

二、旋转曲面的方程通过不同类型图形绕不同轴线所得到的旋转曲面，其方程也各不相同。

下文将对常见几种情况进行介绍。

1. 柱面的方程柱体是指一个平行于轴线且截距相等的长方体。

若将一个矩形绕着其中一条边所在的直线旋转一周，就可以得到一个柱面。

柱面的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 = r^2$$其中，r是旋转轴线到矩形边缘的距离。

2. 圆锥的方程圆锥是指以一个圆为底面，以一个点为顶点，通过连接底面和顶点而得到的曲面。

圆锥的方程可以表示为：$$z^2 = \frac{r^2}{h^2}(x^2 + y^2)$$其中，r是底面半径，h是高度。

3. 球体的方程球体是由绕着一个直线旋转一条弧线所得到的曲面。

球体的方程可以表示为：$$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$其中，r是球体半径。

4. 扭曲表面的方程扭曲表面是指由任意平面图形绕任意轴线旋转而得到的曲面。

扭曲表面没有特定公式可用于计算其方程，需要根据具体情况进行推导。

三、旋转曲面的特点1. 对称性旋转曲面具有轴对称性，在旋转轴线上的任意点，其左右两侧的形状是相同的。

这种对称性使得旋转曲面在计算中具有方便性。

2. 曲率半径旋转曲面的曲率半径取决于其绕轴线旋转时所用到的图形和轴线。

例如，圆锥和球体具有不同的曲率半径。

3. 面积和体积旋转曲面的面积和体积可以通过积分计算得到。

项目4三维曲面造型4.1项目描述本项目主要介绍Mastercam X三维曲面造型功能命令的使用，例如拉伸、旋转、扫掠等功能。

通过本项目的学习，完成操作任务—一建立图4-1所示的笔筒曲面模型。

图4-1笔筒曲面模型4.2项目目标【知识目标】（1）熟悉Mastercam X三维造型的类型；（2）熟悉Mastercam X三维线架模型的构建思路；（3）掌握Mastercam X构图面、视角及构图深度的设置技术；（4）掌握Mastercam X曲面造型功能命令的使用技术。

【技能目标】（1）能综合运用构图面、视角及构图深度，绘制三维线架模型；（2）能综合运用Mastercam X三维曲面造型功能命令，对二维图像进行拉伸、旋转、扫掠等操作来创建各种各样的三维曲面，以及对曲面进行圆角、修剪、曲面融接等操作来构建较为复杂的三维曲面；（3）完成“项目描述”中的操作任务。

4.3项目相关知识4. 3.1 Mastercam X三维造型的类型Mastercam中的三维造型可以分为线架造型、曲面造型以及实体造型三种，这三种造型产生的模型可以从不同角度来描述一个物体。

线架模型用来描述三维对象的轮廓及端面特征，它主要由点、直线、曲面等组成，不具有面和体的特征，不能进行消影、渲染等操作。

曲面模型用来描述曲面的形状，一般是将线架模型经过进一步处理得到的。

曲面模型不仅可以显示出曲面的轮廓，而且可以显示出曲面的真实形状。

各种曲面是由许多的曲面片组成，二这些曲面片又通过多边形网格来定义。

实体造型是使设计者们能在三维空间中建立计算机模型。

实体模型中除包含二维图形数据外，还包括相当多的工程数据，如体积、边界面和边等。

实体模型具有体的特征，可以进行布尔运算等各种体的操作。

5.3.2构图面、视角及构图深度设置1.设置构图面在Mastercam中通过构图平面的设置可以将复杂的三维绘图简化为简单的二维绘图。

构图面是指用户进行绘图的平面。

设置方法：(1)点击如图4-2所示平面工具栏中的相应按钮来设置俯视图(Set plances to TOP)、前视图(Set plances to FRONT)、右视图(Set plances to RIGHT)、实体面(Set plances to a solide face)、图形定面(Set plances by geometry)等构图面。