(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
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第六节__旋转曲面和二次曲面
2 2
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
机动
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
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2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面: ( p, q 同号)
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
z
L
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a2 ( x2 y2 )
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例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 z 2 1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
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思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
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例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
o x
y
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
第三章 4旋转曲面
z
绕 z 轴旋转一周
.
C
o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
得旋转曲面 S
绕 z轴旋转一周
z
M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 )
.
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP
2
S
x2 y2
z
o
z1
C
.
S：f ( x y , z ) 0
一、旋转曲面
通过轴线的平面与旋转曲面相截
所得的平面曲线叫旋转曲面的子
Ｌ
午线。
任意一条子午线都可以当做这个 旋转曲面的生成曲线。
Ｃ
求旋转面的方程
1、坐标面上曲线绕坐标轴旋转所成的旋转曲面方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
绕z轴 C o
y
x
求旋转面的方程
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
பைடு நூலகம்
x y
f (t ) g (t ) cos 2 2 f (t ) g (t ) sin ,(a t b,0 2 )
2 2
z h(t )
例4
x y z 1 ： 求直线 绕 Z轴旋转所得的旋转曲面的方程 2 1 0
z
例 2：求 oyz 平面上的直线 y=ztanθ 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面方程．
O
y x z tan
2 2
y
x
即： x 2 y 2 z 2 tan2 0
高等代数与解析几何7.6
但它没有对称中心. (2)范 围: x, y, z ∈ R.
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
(完整版)7-6旋转曲面和二次曲面解析
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
旋转曲面、柱面和二次曲面
旋转曲面、柱面和二次曲面一、旋转曲面定义 一条曲线C 绕一条直线l 旋转所得的曲面称为旋转曲面。
l 称为轴，C 称为母线。
设旋转轴为z 轴，母线C 在yOz 平面上，其方程为⎩⎨⎧==00),(x z y f ，则旋转曲面的方程为0),(22=+±zy x f 。
坐标平面上的一条曲线绕该坐标面上的一条坐标轴旋转所得旋转曲面方程的求法：在该曲线在坐标平面上的方程中，保留与旋转轴同名的变量不动，而把另一个变量换成与旋转轴不同名的另两个变量的平方和的平方根。
例1 母线⎩⎨⎧==02:2x pzy C 绕z 轴旋转所得的旋转曲面方程为pz y x 222=+，这个曲面称为旋转抛物面。
例 2 母线⎪⎩⎪⎨⎧==-01:2222y c z a x C 绕z 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=-+c z a y x ，这个曲面称为旋转单叶双曲面；绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为122222=+-cz y a x 这个曲面称为旋转双叶双曲面。
二、柱面定义 一条直线l 沿着一条空间曲线C 平行移动所形成的曲面称为柱面。
l 称为母线，C 称为准线。
定理 在空间直角坐标系中，只含两个元的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元的同名坐标轴。
椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-by a x 抛物柱面：px y 22=三、二次曲面(1) 椭圆锥面：22222z b y a x =+ (2) 椭球面：1222222=++cz b y a x(3) 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x (4) 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x(5) 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 (6) 双曲抛物面：z by a x =-2222。
高数3 7-6旋转曲面与二次曲面(修)
虚轴与 z 轴平行.
虚轴与 x 轴平行.
( 3 )
y1 b, 截痕为一对相交于点 (0, b,0) 的直线.
截痕图
o x
y
（3）用坐标面 yoz ( x 0) 或 x x1 去截曲面
均可得双曲线.
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
2. 双叶双曲面
该方程就是 yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
同理， yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f
y,
x z
2
2
0.
例1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
方程可写为
（二）双曲面 1. 单叶双曲面
x y z 2 2 1 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
2 y2 x2 2 1 a b z 0
2
2
2
z
o x
y
与平面 z z1 的交线为椭圆.
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
2
x2 y2 z2 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c
2
x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c
如方程
x 2 y 2 2 z 2 1 表示旋转椭球面
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z
z1 ( | z1 | c )的交线为圆.
x2 y2 2 2 1 a z1 b z1 z z 1
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
观察柱面的 形成过程:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
30
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
31
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
19
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
13
观察柱面的 形成过程:
37
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
y
x x
.
48
平面
椭圆. 上的截痕情况:
旋转曲面知识点总结
旋转曲面知识点总结一、旋转曲面的概念旋转曲面是通过将一个曲线或者一个封闭曲线绕着某个轴进行旋转而形成的曲面。
简单来说，就是用一个曲线或者曲线围成的区域来绕着一条直线或者曲线旋转，就可以得到一个旋转曲面。
通常来说，绕直线旋转得到的曲面称为旋转抛物面，绕曲线旋转得到的曲面称为旋转曲线面。
二、旋转曲面的性质1. 旋转曲面是旋转对称的。
这意味着旋转曲面上的每一点都具有旋转对称性，即曲面上的任意一点和以曲面为轴的旋转曲面上的另一点关于曲面旋转中心对称。
2. 旋转曲面具有定向性。
这表示曲线或者曲线围成的区域旋转后得到的曲面具有确定的方向。
3. 旋转曲面是连续的。
这就是说曲线或者曲线围成的区域绕着轴旋转后，曲面上的点是连续的，并且形成了一个完整的曲面。
三、旋转曲面的参数方程求解旋转曲面的参数方程通常可以分为两种情况：一种是绕直线旋转得到的旋转抛物面，一种是绕曲线旋转得到的旋转曲线面。
1. 绕直线旋转得到的旋转抛物面设直线为z轴，旋转曲面为曲线y=f(x)绕z轴旋转得到的曲面。
则可得到参数方程如下：x = r*cosθy = r*sinθz = f(r)其中，r为y轴到曲线f(x)的距离（注意r与polar coordinates中的r不同，不要混淆），θ为极角。
2. 绕曲线旋转得到的旋转曲线面如果是曲线y=f(x)绕曲线y=g(x)旋转得到的曲面，则参数方程如下：x = g(x)*cosθy = g(x)*sinθz = f(x)其中，g(x)是旋转曲线的参数方程，f(x)是曲面的参数方程，θ为极角。
四、旋转曲面的表面积和体积1. 旋转曲面的表面积计算旋转曲面的表面积通常可以使用定积分进行求解。
对于绕x轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫a^b f(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx对于绕y轴旋转得到的曲面，表面积的计算公式如下：S = 2π∫c^d x*g(x)*sqrt(1+(g'(x))^2)dx2. 旋转曲面的体积计算旋转曲面的体积同样可以使用定积分进行求解。
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
第四章柱面·锥面·旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质.5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点:1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,寻找柱面、锥面、旋转曲面的准线是难点.2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点.3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点.4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点.§4.1柱面一. 柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程在空间直角坐标系下,柱面准线方程(1) 母线的方向数X,Y,Z.即(2) 任取柱面准线上一点则过此点的母线方程为且有,.从而消去参数最后得到一个三元方程，这就是以为准线, 母线的方向数X,Y,Z的柱面方程.三.例题讲解例1.柱面的准线方程为母线的方向数为－1,0,1.求这柱面的方程.解设是准线上的点,那么过的母线为, 且(1)设,那么,, 代入(1)得可得,即求得柱面方程为.例 2. 已知圆柱面的轴为,点(－1,－2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数－1,－2,－2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看成是以轴上的点(0,－1,－1)为中心, 点(0,－1,－1)到已知点(－1,－2,1)的距离为半径的球面与过知点(－1,－2,1)且垂直于轴的平面的交线,即准线圆的方程为设为准线圆上的点,那么,且过的母线为.消去参数即得所求的圆柱面方程.解法二将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径.轴的方向矢量为,轴上的定点为,而圆柱面上的点为,所以,因此到轴的距离为再设为圆柱上任意点,那么有即化简整理得.定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。
7-6旋转曲面和二次曲面解析
旋转过程中的特征：
z
如图
设 M ( x , y, z ),
o
M (0, y , z ) f ( y, z ) 0 M
d
1 1 1
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
x
y
d
x y | y1 |
2 2
将 z1 z , y1 x y 代入 f ( y1 , z1 ) 0
解
根据题意有 z 1
用平面z c 去截图形得圆：
z
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上两例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面的形状,求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
2 2
得方程
f x 2 y 2 , z 0,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0绕 z 轴旋
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y,
x 2 z 2 0.
例 3 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面 的顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的 2 半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴， 半顶角为 的圆锥面方程． z
x
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
（3）
从（2）（3）中消去参数x1,y1,z1得三元方程
F(x,y,z)=0
这就是以（1）为准线，以A为顶点的锥面方程。
例1、求顶点在原点，准线为
x2 y2
a
2
b2
1
z c
的锥面的方程。
x
2
y2
z2
答： a2 b2 c2 0
（二次锥面）
齐次方程：
设λ 为实数，对于函数f(x,y,z)，如果有 f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)
y, y,
z) z)
0 0
(1)
顶点为A(x0,y0,z0)，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点， 则锥面过点M1的母线为：
x x0 y y0 z z0 (2) x1 x0 y1 y0 z1 z0
且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0
又由于M1在母线上，所以又有：
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面共68页PPT
解析几何_柱面、旋转曲面与二次曲面
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然— —莎士 比
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然— —莎士 比
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
设柱面的准线为
FF12((xx,,
y, y,
z) z)
0 0
(1)
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线
上一点，则过点M1的母线方程为
且有
x x1 y y1 z z1 (2)
X
Y
Z
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0
(3)
从（2）（3）中消去x1,y1,z1得
这条定曲线叫柱面的准线 ，那族平行直线中的每一 直线，都叫做叫柱面的母 线.
母线
观察柱面的形成过程:
准
线
注
显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定．但是对于一个柱面，它的 准线并不是唯一的．
例如，任何—个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准 线．
准线不一定是平面曲线．
二. 求柱面方程
3、求过三条平行直线
x y z, x 1 y z 1, 与x 1 y 1 z 2
的圆柱面方程。
4、已知柱面的准线为 母线的方向平行于矢量
(u) x(u), y(u), z(u)
S X,Y, Z
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数 方程分别为：
与 式中的
x Y(u) vS
x x(u) Xv
Co
M1
y
x
z 对任意 , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程
x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所面
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平 行直线所产生的曲面叫做柱面.
How beautiful the sea is!
旋转曲面方程总结
旋转曲面方程总结旋转曲面是指由平面曲线绕着某一直线旋转而形成的曲面。
在三维空间中，旋转曲面具有很多重要的应用，例如在机械制造、建筑设计和工程计算等领域中都有广泛的应用。
因此，掌握旋转曲面的方程及其性质对于理解和解决实际问题具有重要意义。
一、旋转曲面的方程1. 绕x轴旋转当平面曲线y=f(z)绕x轴旋转时，所得到的旋转曲面方程为：x^2+y^2=f(z)^2其中，z表示平面曲线上任意一点到x轴的距离。
2. 绕y轴旋转当平面曲线x=f(z)绕y轴旋转时，所得到的旋转曲面方程为：x^2+y^2=f(z)^2其中，z表示平面曲线上任意一点到y轴的距离。
3. 绕斜轴旋转当平面曲线y=f(x)绕斜轴y=kx（k≠0）旋转时，所得到的旋转曲面方程为：(x-kz)^2+y^2=f(z)^2其中，z表示平面曲线上任意一点到斜轴的距离。
二、旋转曲面的性质1. 对称性旋转曲面具有轴对称性，即绕旋转轴对称后仍然保持不变。
2. 曲率旋转曲面的曲率与平面曲线在相应点的曲率有关，具体而言，当平面曲线在某一点处的切线与旋转轴垂直时，该点处的曲率最大；当平面曲线在某一点处的切线与旋转轴平行时，该点处的曲率为0。
3. 面积和体积设平面曲线y=f(z)绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面为S，则其表面积为：S=2π∫f(z)√(1+f'(z)^2)dz设平面曲线y=f(x)绕斜轴y=kx（k≠0）旋转一周所得到的旋转曲面为S，则其体积为：V=π∫f(x)^2dx4. 其他性质除了上述性质之外，还有许多其他重要的性质。
例如，如果将一个圆形绕着其直径旋转，则所得到的是一个球体；如果将一个矩形绕着其中一条边旋转，则所得到的是一个圆柱体等等。
总之，旋转曲面是一类非常重要的曲面，在工程计算、建筑设计和机械制造等领域中具有广泛的应用。
通过掌握旋转曲面的方程及其性质，可以更好地理解和解决实际问题。
同济第三版-高数-(7.6) 第六节 旋转曲面与二次曲面
应的母线及旋转轴。
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。
由上讨论求得旋转曲面 的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规 则
O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为
O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。
由上讨论求得旋转曲面 的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规 则
O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为
O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而
旋转曲面方程与柱面方程ppt课件
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 一条平面曲线绕其平面上的一条定直 线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面． 其中定直线称为旋转曲面的旋转轴． 平面曲线称为旋转曲面的母线．
1
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
旋转曲 面形成过程 的动画演示
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
单叶双曲面 的图形如图
22
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程 类似地，由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
所表示的曲面也叫做单叶双曲
面．
23
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
由方程
x2 a2
y2 b2
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
给定 yOz 面上一条平面曲线 f ( y，z) 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为
f ( x2 y2，z) 0 绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为
f ( y， x2 z2 ) 0
3
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
10
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 例 试分析方程 x2 y2 R2 在平面和空
间中各表示什么?并画图说明．
11
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
1. 椭圆柱面
x2 y2 C : 1,
a2 b2
母线L与z轴平行.
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程 一条平面曲线绕其平面上的一条定直 线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面． 其中定直线称为旋转曲面的旋转轴． 平面曲线称为旋转曲面的母线．
1
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
旋转曲 面形成过程 的动画演示
2
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程
单叶双曲面 的图形如图
22
第四节 二次曲面
二、二次曲面
4.单叶双曲面方程 类似地，由方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
所表示的曲面也叫做单叶双曲
面．
23
第四节 二次曲面
二、二次曲面
5.双叶双曲面方程
由方程
x2 a2
y2 b2
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
给定 yOz 面上一条平面曲线 f ( y，z) 0 绕 z 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为
f ( x2 y2，z) 0 绕 y 轴旋转一周得到的旋转曲面方程为
f ( y， x2 z2 ) 0
3
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
1.旋转曲面方程
10
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程 例 试分析方程 x2 y2 R2 在平面和空
间中各表示什么?并画图说明．
11
第四节 二次曲面
一、旋转曲面方程与柱面方程
2.柱面方程
1. 椭圆柱面
x2 y2 C : 1,
a2 b2
母线L与z轴平行.
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f (x, y,0) 0
将将yx轴方x1向, y的长ba度y伸1a代缩回ba原倍方,程得,得y1,即y1
b a
y,
f (x1, b y1, 0) 0
即得伸缩变形后的曲线方程.
即:y轴方向的长度伸缩
b a
倍,则用 a b
y 代替原方程中的y
如将y轴方向的长度伸缩 b 倍,则
a
直线y=x,变形为
a yx ybx
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
例2 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1的图形是怎样的？
解 根据题意有 z 1
z
用平面z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面z c 上下移动时，
c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c)，半径为 1 c x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
以上两例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面的形状,求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
以下给出两个关于曲面的简单例子.
例 1 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
b
a
圆x2 y2 a2变形为x2(a by)2
a2
x2 a2
y2 b2
1
(1)椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
z
以平面z=t截曲面,
当t=0时,得一点(0,0,0);
当t 0时,得z=t平面上的椭圆 0
y
x2 (at)2
y2 (bt)2
1
x
当t变化时,表示一族长短轴比例不变的椭圆.
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
例 3 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
练习 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
第六节 旋转曲面和二次曲面
1
旋转曲面
2
二次曲面
3 小结、思考题
曲面方程的概念
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
（1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面 S 的方程， 而曲面 S 就叫做方程的图形．
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕
y 轴和 z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz绕z轴； x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
一、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
旋转过程中的特征： 如图 设 M ( x, y, z),
二、二次曲面
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的方法------截痕法、伸缩变形法：
截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与 曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状， 然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
伸缩变形法：设xoy平面上的曲线方程为
(1) z z1
（2）点 M 到 z轴的距离 x
d x2 y2 | y1 |
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
将 z1 z, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕z轴旋