用反比例解决问题(5.3)

北师大版数学九年级上册5.3《反比例函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级上册5.3《反比例函数的应用》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握反比例函数的图象和性质，以及如何利用反比例函数解决实际问题。

本节内容是在学生已经掌握了反比例函数的定义和基本性质的基础上进行学习的，通过本节课的学习，使学生能够进一步理解和掌握反比例函数，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对反比例函数也有了一定的了解。

但在实际应用反比例函数解决生活中的问题时，往往会因为对函数思想的理解不够深入而感到困惑。

因此，在教学过程中，需要教师引导学生将反比例函数与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解反比例函数的图象和性质。

2.学会如何利用反比例函数解决实际问题。

3.提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的图象和性质。

2.如何将反比例函数应用于实际问题中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过设置问题，引导学生探索反比例函数的图象和性质；通过案例教学，使学生了解如何将反比例函数应用于实际问题中；通过小组合作，培养学生团队合作精神，提高学生的解决问题能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例材料和实际问题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾反比例函数的定义和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示反比例函数的图象，让学生观察和分析反比例函数的性质。

同时，教师给出一些实际问题，让学生尝试用反比例函数解决。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何将实际问题转化为反比例函数问题。

学生在讨论过程中，教师给予指导和点拨。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。

在学生解题过程中，教师巡回指导，帮助学生巩固反比例函数的应用。

反比例函数应用学案（3）研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有。

在解相关反比例函数的问题时，若能灵活使用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

现举例说明。

例1、如图所示，P是反比例函数的图象上的一点，由P分别向x轴、y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的解析式是_____________。

应用二：比较面积大小例2、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。

过这三点分别向x轴、y 轴作垂线。

过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（）。

A、 B、C、 D、应用三：确定解析式例3、解答题已知反比例函数的图象经过，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．(1)求k和m的值；(2)若一次函数y=ax+1经过A点，并且与x轴相交于点C，求∠ACO的度数和|AO|：|AC|的值．评析：本题考查学生函数、方程的数学思想及待定系数法的使用．解： (1)由，∴ .∵，∴.∴y= .把代人双曲线，得m=2.(2) ∵点在一次函数y=ax+1上，∴ . ∴ .∴一次函数y= . ∴当y=0，则x= ，即C（，）又∵B（- ，0）则 BC= ，AB= .∴RtΔABC中，AC= . ∴AC=AB. ∴∠AC0= .在RtΔABO中，可求|AO|= ，∴|AO|:|AC|= .练习、1、（2003年全国初中数学联赛试题）若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）A、1B、2C、kD、2、如图，在直角坐标系中，直线y=6-x与函数y=(x>0)的图像相交于点 A、B，设点A的坐标为(x1，，y1)，那么长为x1,宽为y1的矩形面积和周长分别为( )A．4，12 B．8，12 C．4，6 D．8，63、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB ⊥x轴于点B。

浅谈反比例函数中“k ”的性质与运用诸暨市浣江初中有关反比例函数问题时常在中考中出现，并呈现出愈加灵活，有更深和更难的趋势，成为中考考查的重点之一，在解反比例函数问题时，灵活运用比例系数k 的几何意义，就会为解决问题提供极大的方便。

本文就做一次简单的探究，目的在于掌握反比例函数几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学相关问题，并熟悉与反比例函数k 几何意义的常见考查方式和解题思路。

一、反比例函数的概念：如果某个函数如果可以写成)0(≠=k xky 或)0(1≠=-k kx y 或)0(≠=k k xy 的形式，则这个函数为反比例函数。

二、反比例函数中k 与图像的形状关系：|k |越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直; |k |越小，图像的弯曲度越大。

三、反比例函数中k 值与图像位置和性质的关系：反比例函数与坐标轴没有交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线。

当k ＞0时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

四、反比例函数与一次函数中k 值关系： 一次函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=的关系： （1）当21k k ⋅ ＜0时，两图像没有交点；（2）当时21k k ⋅ ＞0，两图像必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称。

五、反比例函数中k 和几何意义：如图1所示，反比例函数)0(≠=k xky 中，比例系数k 的几何意义，就是过该函数图像上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S 矩形PMON = PM ・PN = |x|・|y| = |xy| = |k |，这就说明，过曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k |，这是系数k 几何意义。

同时通过k 性质可以延伸理解出多种图形面积的不变性特征，如下表所示：明确了k 的几何意义，会给以下几种类型的解题运用带来许多方便，我们可以通过以下几举例说明。

反比例函数的应用细心的同学会发现，在日常生活中存在着许多两个量之间具有反比例关系的例子。

学习数学的目的是“学以致用”，现从反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合应用，反比例函数与相关物理知识的综合应用这些方面举例分析，供同学们参考。

一. 学科内知识间的综合应用例1. 如图1所示，A为反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B。

若△AOB的面积为3，则反比例函数的解析式是什么？分析：因为点A在反比例函数第二象限的图象上，所以，由三角形面积公式可求得k，从而求出反比例函数解析式。

解：∵函数图象分布在第二、四象限∴k<0设A点坐标为（x，y），则∴反比例函数的解析式为例2. 如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。

分析：求一次函数解析式必须有两个点的坐标。

由于M、N都在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出M点的坐标。

再由待定系数法求出一次函数解析式。

根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围。

解：（1）∵M、N在反比例函数上设一次函数解析式为则，解得故一次函数的解析式为（2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值。

二. 反比例函数与物质知识的综合应用例3. 一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：（1）用含S的代数式表示p。

p是S的反比例函数吗？为什么？（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？练一练：1. 如图5所示，A、C是函数图象上关于原点O对称的任意两点。

直线MN过A、C两点，过C 向x轴作垂线，垂足为B，则三角形ABC的面积为_____________。

六年级下册数学教案：4比例－用反比例解决问题教学目标：1. 让学生理解反比例的概念，掌握反比例函数的表达方式。

2. 培养学生运用反比例解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

教学重点：1. 反比例的概念。

2. 反比例函数的表达方式。

3. 反比例在实际问题中的应用。

教学难点：1. 反比例函数的表达方式。

2. 反比例在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）通过生活中的实例，引出反比例的概念。

例如，当一辆汽车以固定的速度行驶时，行驶的时间和行驶的距离是成反比例的关系。

行驶的速度越快，所需的时间越短，行驶的距离越远；行驶的速度越慢，所需的时间越长，行驶的距离越短。

二、新课导入（10分钟）1. 讲解反比例的概念。

反比例是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量减小，且它们的乘积保持不变。

2. 讲解反比例函数的表达方式。

反比例函数可以表示为y=k/x，其中k是常数。

3. 通过实例讲解反比例在实际问题中的应用。

例如，当一辆汽车以固定的速度行驶时，行驶的时间和行驶的距离是成反比例的关系。

我们可以用反比例函数来表示这个关系。

三、课堂练习（10分钟）让学生做一些练习题，巩固反比例的概念和反比例函数的表达方式。

四、实例讲解（10分钟）通过实例讲解反比例在实际问题中的应用。

例如，当一辆汽车以固定的速度行驶时，行驶的时间和行驶的距离是成反比例的关系。

我们可以用反比例函数来表示这个关系。

五、课堂小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，包括反比例的概念、反比例函数的表达方式以及反比例在实际问题中的应用。

课后作业：1. 课后练习题。

2. 思考题：在生活中，还有哪些现象可以用反比例来描述？如何用反比例函数来表示这些现象？教学反思：本节课通过生活中的实例，让学生理解反比例的概念，掌握反比例函数的表达方式，培养学生运用反比例解决实际问题的能力。

在教学过程中，要注意引导学生理解反比例的概念，掌握反比例函数的表达方式，以及反比例在实际问题中的应用。

数学反比例的例子《嘿，反比例那点事儿》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠数学里的反比例。

你可别一听数学就头疼，反比例其实挺有意思的呢！要说反比例，那可是生活中藏都藏不住的小调皮。

就拿咱每天的时间和效率来说吧。

比如说，你正着急忙慌地赶作业，这时候，给你的时间越少，你那效率是不是就得蹭蹭往上涨啊，这两者就是反比例关系。

时间少了，效率就得高起来，不然作业可完不成咯。

记得有一次，我和朋友比赛吃巧克力。

哈哈，别笑，这也能和反比例沾上关系呢！我啊，想着一下子把巧克力都吃完，那速度快得像火箭。

结果呢，吃得越快，剩下的巧克力就越少，这速度和巧克力的剩余数量不就是反比例嘛！而且吃得太快，那肚子里可就难受咯，真是得不偿失啊。

反比例还像个爱捉迷藏的小孩子，藏在各种我们意想不到的地方。

比如我们开车的时候，速度越快，到达目的地的时间就越短，速度和时间又成反比例啦。

再想想，你去超市买东西，同样的钱，东西单价越高，能买到的数量就越少，这也是反比例在捣鬼呢！有一次，我帮妈妈做蛋糕。

妈妈说糖不能放太多，不然太甜了。

我就琢磨着，这糖放得越多，蛋糕的甜度就越高呗，但是蛋糕的健康程度可能就越低。

嘿，这不也是反比例嘛！这就像我们生活中，有些事情不能过度，得找到一个平衡点，不然就可能出问题啦。

反比例虽然有点调皮，但它也是我们理解世界的一个小窗口呀。

它让我们知道，很多事情都不是孤立存在的，而是相互影响、相互制约的。

就像我们不能只追求速度，还得考虑质量；不能只想着享受，还得考虑后果。

总之呢，反比例就像我们生活中的一个小秘密，只要你留心观察，就能在各个角落发现它的身影。

它有时候会让我们头疼，但更多的时候，会给我们带来意想不到的乐趣和启示。

所以啊，别小看了这反比例，它可是隐藏在生活中的大智慧呢！哈哈，大家一起感受反比例的奇妙吧！。

50个反比例的例子1、煤的总量一定，每天的烧煤量和能够烧的天数成反比例。

2、种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数成反比例。

3、李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需时间成反比例。

4、百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例。

5、排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例。

6、买东西，总钱数一定，它的单价和数量成反比例。

7、长方形的面积一定，长和宽成反比例。

8、等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。

9、总价一定，单价与数量成反比例。

10、长方体体积一定，底面积与高成反比例。

11、葡萄总量一定，分的人数和人均分到的数量成反比例。

12、快递数量一定，快递员人数与人均派送数量成反比例。

13、做纸盒子,总个数一定,每人做的个数和人数反比例。

14、买东西(实际就用文具用品),总钱数一定,它的单价和数量是反比例。

15、书的总册数一定，每包的册数和包数成反比例关系总价一定，单价和数量成反比例。

16、同样质量的物品，密度和体积是反比例。

17、等分一块蛋糕,每人分到的蛋糕与人数成反比例。

18、总价一定,单价与数量成反比例。

19、长方体体积一定,底面积与高成反比例。

20、总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例。

21、奖金总额一定，获奖人数与人均获奖金额成反比例。

22、路程一定,时间和速度成反比例。

23、购买商品的总价一定,单价和数量成反比例。

24、总页数一定,平均每天看的页数和看完书的天数成反比例。

25、总字数一定,打字速度和所用时间成反比例。

26、果汁总量一定,分的杯数和每杯果汁量成反比例。

27、总人数一定,排队的行数和每行的人数是反比例。

28、煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比例。

29、树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比例。

30、一堆货物一定,运出的和剩下的成反比例。

31、煤的总量一定,每天的烧煤量和烧的天数成反比例。

32、树的总棵数一定,每行种的棵数与行数成反比例。

33、工作总量一定,工效和时间成反比例。

反比例函数的说课稿5篇生活的紧密联系，增加应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.(二)能力训练要求通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力.(三)情感与价值观要求经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学的学问和技能解决问题，发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点用反比例函数的学问解决实际问题.教学难点如何从实际问题中抽象出数学问题、建立数学模型，用数学学问去解决实际问题.教学方法老师引导学生探究法.教具预备投影片四张第一张：(记作5.3A)第二张：(记作5.3B)第三张：(记作5.3C)第四张：(记作5.3D)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]有关反比例函数的表达式，图象的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的是什么呢?[生]是为了应用.[师]很好.学习的目的是为了用学到的学问解决实际问题.毕竟反比例函数能解决一些什么问题呢?本节课我们就来学一学.一、新授：1、实例1：(1)用含S的代数式表示P，P是 S的反比例函数吗?为什么?答：P=600s (s0)，P 是S的反比例函数。

(2)、当木板面积为0.2 m2时，压强是多少?答：P=3000Pa(3)、假如要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多少?答：至少0.lm2。

(4)、在直角坐标系中，作出相应的函数图象。

(5)、请利用图象(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。

二、做一做1、(1)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R之间的函数关系如图5-8 所示。

(2)蓄电池的电压是多少?你以写出这一函数的表达式吗?电压U=36V ， I=60k2、完成下表，并回答问题，假如以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应掌握在什么范围内? R() 3 4 5 6 7 8 9 10I(A )3、如图5-9，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=60k 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为(3 ，23 )(1)分别写出这两个函数的表达式;(2)你能求出点B的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流;1.反比例的应用教学设计2.函数图像教学设计3.反比的函数教学设计4.六班级数学反比例教学设计5.二次函数线段最值教学设计6.任意角的三角函数教学设计7.高中数学函数教学设计8.二次函数概念教学设计9.关于《长城》教学设计10.关于将心比心教学设计反比例函数的说课稿（精选篇4）目标:1、使学生理解反比例函数的概念;2、使学生能依据问题中的条件确定反比例函数的解析式;3、能结合图象理解反比例函数的性质。

课题：5.3反比例函数的应用创编：王军 审核 姓名 班级学习目标：能应用反比例函数模型解决简单的实际问题，进一步加深对函数概念的理解，提高应用函数方法分析解决问题的能力．学习重难点：运用反比例函数的意义和性质解决实际问题，从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，教学时注意分析过程，渗透转化的数学思想。

学习过程【自主探究】1．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。

你能解释他们这样做的道理吗？（见书P143）(1)用含S 的代数式表示P___________________(2)当木板面积为0.2 2m 时，压强________(3)如果要求压强不超过6000Pa ，木板面积至少要多大?(4)在直角坐标系中，作出相应的函数大致图象。

(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。

2．蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R( )之间 的函数关系如图所示。

(1)蓄电池的电压是_____写出这一函数的表达式______________。

(2)完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？【典型例题】1、如图，正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数y =x k 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3，23).(1)分别写出这两个函数的表达式：(2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流.练习1、正比例函数y ＝ax 的图象与反比例函数y =xk 的图象相交于A ，B 两点，其中点A(7，23),则点B 的坐标为______________【典型例题】2.如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；(3)求方程0=-+xm b kx 的解（请直接写出答案）； (4)求不等式0<-+x m b kx 的解集（请直接写出答案）.当堂检测1．如图，反比例函数y ＝ k x的图象经过点A (4,b )， 过点作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数y ＝ax －3的图象经过点A2、（近年来，我省煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4 mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降.如图11，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后．．空气中CO 浓度y 与时间x 的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围； （2）当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO 浓度降到4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?。

成反比例的例子反比例关系是一种数学关系，其中两个变量的乘积等于一个常数。

在现实生活中，我们可以找到许多符合反比例关系的例子。

以下是一些常见的反比例关系例子：1. 速度和时间：当我们在恒定速度下行驶时，行驶的距离与所花费的时间成反比。

即速度越快，所花费的时间越短，行驶的距离越远。

2. 工人数量和完成任务的时间：在完成一个任务时，工人数量与所花费的时间成反比。

当工人数量增加时，完成任务所需的时间减少。

3. 电阻和电流：在电路中，电阻值与电流成反比。

当电阻增加时，通过电路的电流减小。

4. 人口密度和土地面积：在一个地区，人口密度与土地面积成反比。

当人口密度增加时，每个人的可用土地面积减少。

5. 价格和需求量：在市场经济中，价格与需求量成反比。

当价格上涨时，需求量减少；当价格下降时，需求量增加。

6. 投资金额和收益率：在投资中，投资金额与收益率成反比。

投资金额越小，收益率越高。

7. 学习时间和成绩：在学习中，学习时间与成绩成反比。

学习时间越长，成绩越好。

8. 声音强度和距离：在声学中，声音强度与距离成反比。

声音越远离声源，声音强度越小。

9. 燃料消耗和行驶里程：在汽车中，燃料消耗与行驶里程成反比。

燃料消耗越高，行驶里程越短。

10. 时间和生产效率：在生产过程中，时间和生产效率成反比。

时间越短，生产效率越高。

这些反比例关系的例子可以帮助我们更好地理解反比例关系的概念，并在实际生活中应用它们。

通过研究这些例子，我们可以更好地理解数学和科学中的反比例关系，并在解决实际问题时应用这一概念。

反比例关系的例子30个反比例关系啊，那可太有趣了。

就像你兜里的钱和你花钱的速度，钱就那么多，你花钱速度越快，钱能在兜里待的时间就越短，这可不就是反比例关系嘛。

比如说，一个蛋糕的大小是固定的。

人越多，每个人能分到的蛋糕就越小。

这就像一群小鸟抢一条虫子，鸟越多，每只鸟能吃到的就越少，多形象的反比例关系呀。

再看路上开车的情况。

一条路的宽度是有限的，车越多，那每辆车能占的路面空间就越小，车与车之间的距离也得越近。

这就好比一群小蚂蚁都要过一个小窄道，蚂蚁越多，每个蚂蚁能自在活动的空间就越小了。

咱们再讲讲工作效率和工作时间的事儿。

工作量固定的时候，工作效率越高，需要花费的工作时间就越短。

这就像盖房子，房子的工程总量是定好的，工人盖房子的速度快，那完工的时间就早。

要是工人干活慢悠悠的，那这房子建成的时间可就遥遥无期了。

这难道不就是反比例关系吗？还有啊，一块电池的电量是有限的。

手机屏幕亮度越高，电量消耗得就越快，手机能持续使用的时间就越短。

这跟蜡烛燃烧是一个道理呀，蜡烛就那么长，火苗越大，蜡烛烧完得就越快。

读书的时候也有反比例关系呢。

一本书的总页数是固定的，你看书的速度越快，看完这本书所需要的天数就越少。

这就像跑步比赛，路程是定好的，你跑得越快，到达终点的时间就越短。

学习知识的时候也有这种情况。

一个知识体系就那么多内容，你理解能力越强，掌握这个知识体系花费的时间就越短。

这就如同开锁，锁就那么一种构造，你要是对开锁技巧掌握得熟练，那打开锁花费的时间肯定短。

在农田里也是一样的。

一块农田的面积是固定的，种的农作物种类越多，每种农作物能分到的面积就越小。

这像一群小动物分一个小窝，小动物种类越多，每种小动物的地盘就越小。

那声音传播也有反比例关系哦。

声音的总能量是一定的，传播的范围越广，在每个点上能感受到的声音强度就越小。

这就好比你有一堆糖，分给的小朋友越多，每个小朋友能拿到的糖就越少。

咱们再看水和容器的事儿。

容器的容积是固定的，水的流速越快，注满这个容器的时间就越短。

反比例函数及其图像【课内四基达标】1.填空题(1)双曲线y=x k (k ≠0)过抛物线y=2x 2-6x+417的顶点，则k= . (2)已知A(3，y 1)，B(7，y 2)是双曲线y=xm 2上的两点，则y 1 y 2.(3)已知y 与z 1成正比例，z 与x1成反比例，则y 与x 的关系是 . (4)已知直线y=x 与双曲线y=x2交于A 、B 两点，那么线段AB 的长是 .(5)当k= 时，y=(2k+2)x 22 k 为反比例函数，此时它的图像在第 象限内，y 随x 的减小而 .(6)如下图，P 是反比例函数y=xk的图像上的一点，由P 分别向x 轴、y 轴引垂线 ，得阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的解析式是 .2.选择题(1)下列说法中，不正确的是( )A.某人的体重与年龄成函数关系，但不一定是正比例函数.B.长方形面积一定，则长与宽成反比例.C.若y 与x 成反比例，z 与x 成反比例，则y 与x 成反比例.D.反比例函数y=xk的图像随着x 的无限变化而变化，但一定不能与坐标轴相交. (2)如下图所示，点A 、B 是反比例函数y=x1的图像上关于原点对称的两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴.△ABC 的面积为S ，则( )A.S=1B.1＜S ＜2C.S=2D.S ＞2 (3)在同一坐标系内，函数y=-21x 与y=-x 21图像的交点在( ) A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第三象限D.第四象限 (4)函数y=xk的图像经过(1，-2)，那么函数y=kx+1的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (5)函数y=xb ,y=ax+b,y=ax 2+bx+c 的图像在同一坐标系中的位置只可能是( )(6)如果A(a 1，b 1)与B(a 2，b 2)在双曲线y=x3的同一支上，且a 1＜a 2，则b 1、b 2的大小关系是( )A.b 1＞b 2B.b 1=b 2C.b 1＜b 2D.不能确定3.已知函数y=y 1+y 2，且y 1=2x+m 和y 2=11m x+3的图像交点纵坐标为4. (1)求y 关于x 的函数关系式.(2)求函数y 的图像与x 轴所夹锐角的余弦值. 4.双曲线y=x k 与直线y=-2x 相交于两点A 、B ，双曲线y=xk 和直线y =mx-10相交于B 、C 两点，已知A 点的纵坐标是4，求点A 、B 、C 的坐标.5.如图，一次函数y=k 1x+b 的图像经过一、三、四象限，且与双曲线y=xk 2交于A 、B两点，与y 轴交于C 点，A(x 1,y 1)的坐标满足x 1=5y 1,又OA=26，(1)求A 点的坐标；(2)若S △AOC =b 2-6，求一次函数解析式.6.已知：如下图，反比例函数y=-x8与一次函数y=-x+2的图像交于A 、B 两点，( 1)求A 、B 两点的坐标；(2)求△AOB 的面积.7.如下图矩形ABCD ，AB=3，AD=4，以AD 为直径作半圆，M 为BC 上一动点(可与B 、C 重合)，AM 交半圆N ，设AM=x,DN=y,求出y 关于自变量x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围.【能力素质提高】1.已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，且OA =OB=1，这条曲线是函数y=x21的图像在第一象限内的一个分支，点P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是(a,b)，由点P 向x 轴、y 轴所作的垂线PM 、PN(点M 、N 为垂 足)，分别与直线AB 相交于点E 和点F.(1)设交点E 、F 都在线段AB 上，分别求出E 、F 的坐标； (2)求△OEF 的面积(用a 、b 的代数式表示)；(3)△AOF 与△BOE 是否一定相似，如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或者一定不相似，请简要说明理由.(4)当点P 在曲线上移动时，△OEF 随之变动，指出在△OEF 的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论.2.已知函数y=xk 的图像上有一点P(m,n)，且m 、n 是关于x 方程x 2-4ax+4a 2- 6a-8=0的两个实数根，其中a 是使方程有实根的最小整数，求函数y=xk的解析式.3.已知一次函数y=-x+8和反比例函数y=xk(k ≠0) (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图像有两个交点? (2)设(1)中两个交点为A 、B ，试比较∠AOB 与90°角的大小.4.如下图，一次函数y=k 1x+b 的图象经过第一、三、四象限，且与曲线y=xk 2的图像并交A 、B 两点，与y 轴交于C 点.(1)若tg ∠xOA=51，原点O 到A 的距离为26，求A 点坐标及双曲线的解析式. (2)若S △AOC =b 2-6，求一次函数的解析式.【渗透拓展创新】甲乙两个仓库要向A 、B 两地运送水泥.已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A 地需70吨水泥，B 地需110吨水呢.两库到A 、B 两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需人民币)：路程（千米） 运费（元/吨·千米） 甲库 乙库 甲库 乙库 Ａ地 20 15 12 12 Ｂ地2520108(1)设甲库运往A 地水泥x 吨，求总运费y(元)关于x(吨)的函数关系式；(2)当甲、乙两库各运往A 、B 两地多少吨水泥时，总运费最省?最省的总运费是多少?【中考真题演练】1.(99贵阳市中考题)函数y=kx 2与y=xk(k ＜0)在同一坐标系中的图像如图大致是( )2.如图，直线AB 过点A(m,0)、B(0，n)(m ＞0，n ＞0).反正例函数y=xm上任意一 点，过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，PR ⊥y 轴于R.请分别按(1)、(2)、(3)各自的要求解答问题.(1)若m+n=10，n 为何值时，△AOB 面积最大?最大值是多少?(2)若DOB COD AOC S S S ∆∆∆==，求n 的值.(3)在(2)的条件下，过O 、D 、C 三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ 的面积是多少?【知识探究学习】已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示，问由此图象中所显示的抛物线的特征，可以得到关于二次函数的系数a 、b 、c 的哪些关系和结论?参考答案【课内四基达标】1.(1)k=-83 (2)＞ (3)y 与x 成反比例 (4)4 (5)1；一、三，增大 ( 6)y=-x3. 2.(1)C (2)C (3)B (4)C (5)C (6)A3.(1)由已知：243142=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+m m x m x ∴⎩⎨⎧+=+=32221x y x y ∴y=(2x+2)+(x+3)=3x+5.(2)设：y=3x+5与x 轴、y 轴交于A 、B 两点⇒A(-35，0)，B(0，5) ⇒AB=3510⇒coa α=1010||||=AB OA . 4.A(-2，4) B(2，-4) C(34，-6) 5.(1)A(5，1) (2)y=x-46.(1)A(-2，4) B(4，-2) (2)S △AOB =67.y=x12(3≤x ≤5) 【能力素质提高】1.(1)E(a,1-a) F(1-b,b) (2) 21-+b a (3)△AOF 和△BOE 一定相似. ∵OA=OB=1,∠OAF=∠EBO ， BE=2)11()0(22=+-+-a a a ， AE=2)0()11(22=-++-b b b ，而P 是y=x 21上一点，∴b=a21; ∴2ab=1.∴2a ·2b=1×1，∴BEOAOB AF =,∴△AOF ∽△BEO. (4)∠EOF=45°.∵△AOF ∽△BEO ，∴∠AFO=∠BOE ，AFO=∠B+∠BOF ， ∠BOE=∠BOF+∠EOF ，∴∠EOF=∠B=45°.2.Δ=(-4a)2-4(4a 2-6a-8≥0⇒a ≥-34最小整数a=-1. ∴二次方程为x 2+4x+2=0 ∴m-n=2，又(m,n)在y=xk 的图像上∴ n=m k ∴k=2 反比例函数y=x2.3.(1)k ＜16 (2)当0＜k ＜16时，双曲线与直线的两个交点均在第一象限，∴∠AOB ＜90°， 当k ＜0时，交点在二、四象限，∠AOB ＞90°.4.(1)设A(m,n)，tg ＜xOA=51=mn ，又OA=26⇒m 2+n 2=26⇒m=5，n=1⇒A(5，1) ⇒反比例函数为y=x5 (2)一次函数y= k 1x+b ⇒C(0，6) 又S △AOC =b 2-6⇒ 21-(-b)· 5=b 2-6⇒b 1=-4 ，b 2=23，又b ＜0 ∴b=-4，再把A(5，1)代入y=k 1x-4中⇒k 1=1 ∴一 次函数解析式为y=x-4. 【渗透拓展创新】①y=-30x+3920(0≤x ≤70)②各运70吨时总费用最省为37100元 【中考真题演练】1.D2.①n=5 S △=225 ②n=29 ③S=718。