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一、有限马尔科夫链1、马尔科夫过程是用来测量或者估计随着时间的推移而发生的移动。
马尔科夫矩阵中的每 个值都是从一种状态向另一状态移动的可能性。
通过反复用转移矩阵乘以不同状态下的初始分布的向量，我们可以估计不同时间上的状态变化。
2、假设：At 和Bt 分别代表在时间t 上的A 公司和B 公司的员工人数，定义转移概率是： P AA =目前在A 者还留在A 的概率， P AB =目前在A 者转移到B 的概率，P BB =目前在B 者还留在B 的概率， P BA =目前在B 者转移到A 的概率。
如果我们把在时间t 上员工转移的分布写成向量，得到：x ’t = t t B A矩阵形式的转移概率就是： M = BB BA ABAA P P P P ,一般，对于n 个时间段： t t B A BB BA AB AA P P P P n= n t n t B A ++ 。
3、稳定状态：由最初的转移矩阵的幂次数上升而形成的新转移矩阵最终收敛到各行数字相同的矩阵。
二、里昂惕夫投入--产出模型1、投入-产出分析：任何一个产业的产出，往往是其他许多产业的投入，或者是该产业自身的投入。
“正确”的产出水平将取决于所有n 个产业的投入需求。
同时所设想的“正确”的产出水平是为了满足技术上的投入--产出关系，不是为了满足市场均衡条件。
2、投入-产出模型结构的假设：（1）每个产业仅生产一中同质的产品。
（2）每个产业用固定的投入比例或要素组合生产其产品。
（3）每一产业的生产服从常数规模报酬。
3、为生产每一单位j 产品所需投入的第i 种商品为一固定数量a ij , a ij 称作投入系数。
对于n 部门经济投入系数可排成矩阵A=[a ij ]，每一列表示生产每单位特定产业的产品所需的投入。
A= nn n n nna a a a a a a a a2122221112114、开放模型。
若上述中的n 各部门构成了整个经济，则他们所有的产出都将仅被用于满足同样n 个部门的投入需求而非最终需求。
第六章地区投入产出模型、企业投入产出模型简介第一节地区投入产出模型简介1、地区投入产出模型的意义众所周知，我国现行的宏观经济管理和统计资料主要是以行政区划来进行的，所以所谓地区投入产出模型，指的是按行政区划（省、市、自治区）为标准而编制的各种投入产出模型。
其编制的意义主要有以下几点：1）了解地区生产的全貌2）了解本地区与其它地区之间的经济联系3）为制订地区战略，加强地区综合平衡提供一种分析的工具4）能丰富全国投入产出表的内容5）可以反映某种经济政策对地区经济变化的影响2、地区投入产出模型的特点1）地区投入产出模型中，调入、调出的数量所占比重较大，亦即调入、调出数量的变化将对地区经济的影响增大。
因此，一般来说，在处理调入、调出的方式，与其全国模型中处理进出口的方式有所不同，即应该采用较为详细的处理方法来对待。
2）地区投入产出模型中部门（或产品）的分类，应该比全国表更细。
正是由于地区投入产出模型的上述两个特点，使得地区投入产出表的编制应相对全国表来说将更加复杂些。
3、地区投入产出表的表式1）简单的地区投入产出表这个表与前面的典型投入产出表十分相似，只是在最终产品部分增列了调入与调出两栏，当然由于这种表式对调入、调出的处理过于简单，难以体现上述地区表的特点，因此，一般不太采用。
下面介绍这种表式：简单的地区价值投入产出表2）较详细的地区投入产出表这种表式是典型的地区投入产出表，主要又两部分组成：一是反映本地区生产产品供本地分配使用及用于调出与进口的情况；二是反映从外地调入产品在本地的具体使用情况，这里既包括在生产中的使用情况（4部分），又包括用于消费与计量的情况（5部分）。
同时，1、4、6部分说明了本地区生产产品的价值形成过程。
3）全面反映地区调入、调出情况的表这种表式是在上述地区投入产出表的基础上，再进一步将调入产品的产地、调出产品的目的地也反映出来的表式。
通过它，可以为建立地区间投入产出表或模型打下基础。
投⼊产出模型投⼊产出模型投⼊产出模型是指对于经济系统（这⼀经济系统可以是⼀个国家，⼀个地区，⼀个⾏业或⼀个企业的经济活动）的多部门的投⼊与产出进⾏研究，编制投⼊产出表，并建⽴其数学模型，称作投⼊产出模型。
这种将经济系统的投⼊产出关系编制成投⼊产出表，建⽴投⼊产出模型进⾏研究的⽅法叫做投⼊产出法。
投⼊产出法是由美国著名经济学家⽡西⾥·列昂节夫20世纪30年代⾸先提出的。
最初是由研究⼀国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被⼈们称作部门联系平衡法,⼜叫产业关联法。
利⽤投⼊产出模型对经济活动进⾏分析和进⾏经济预测，这是⼀种重要的经济数量分析，叫做投⼊产出分析。
投⼊产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的⼀般均衡理论，主要是对⼀个国家或⼀个地区宏观经济的研究。
但随着这⼀⽅法的⼴泛应⽤，它也可以研究⼀个部门（⾏业）的经济活动，⼀个公司或企业的⽣产经营活动。
本章将在介绍投⼊产出模型的基础上，着重介绍投⼊产出模型在国民经济预测和企业经济预测⽅⾯的应⽤。
第⼀节投⼊产出模型的基本形式⼀、投⼊产出表所谓投⼊，是指产品⽣产所需原材料、辅助材料、燃料、动⼒、固定资产折旧和劳动⼒的投⼊；所谓产出，是指产品⽣产的总量及其分配使⽤的⽅向和数量，包括⽣产消费（中间产品）、⽣活消费、积累和净出⼝等。
⽣产过程就是投⼊与产出关系的客观反映，⼀定时期内产品的产出受投⼊的影响。
投⼊与产出的数量关系可以编制成⼀种矩形的表格表⽰，即投⼊产出表。
投⼊产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投⼊产出表叫实物表，按价值形态编制的投⼊产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差⼀个价格因素。
投⼊产出表按编制的范围不同，可以分作世界投⼊产出表、国家投⼊产出表、地区投⼊产出表、部门投⼊产出表和企业投⼊产出表。
这⾥仅以价值形态的全国表为例介绍投⼊产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，⽤1，2，…，n 等号码表⽰。
投入产出模型第9章投入产出模型投入产出模型对于研究分析国民经济各部门之间的数量依存关系，制定国民经济的计划与规划等都具有十分重要的作用。
根据投入产出模型的原理与方法，现介绍其建模与应用分析的具体方法步骤。
第1节投入产出模型概述1.1 概念投入产出模型是指在马克思主义经济理论指导下，利用数学方法和电子计算机技术，来研究各种经济活动的投入与产出之间的数量依存关系，特别是研究与分析国民经济各个部门在产品的生产与消耗之间的数量依存关系所建立的一种数学模型，其主要含义如下：1）投入产出模型的指导思想是马克思主义经济理论；2）投入产出模型的理论基础是计量经济学理论，集中体现在投入产出方法的原理与方法；3）投入产出模型的关键任务是直接消耗系数与列昂节夫逆矩阵的求算；4）投入产出模型的主要方法是数学方法与计算机技术的应用，集中体现在投入产出模型数学模型的建立及运用计算机进行矩阵运算的求解应用；5）投入产出模型的最终目的是研究与分析各个经济部门之间的数量依存关系，为社会主义经济建设中的科学决策服务。
主要用途是用于研究与分析国民经济各个部门在产品的生产与消耗之间的数量依存关系，反映各个部门之间的直接与间接的经济联系及各个部门之间的综合平衡问题。
目前，已拓展到用于研究与分析各个地区，各个企业内部及之间的各种经济联系。
1.2 作用1）编制国民经济计划。
2）经济指标的预测。
3）经济政策研究，研究重要经济政策对经济建设的影响。
4）专题研究，研究专门的社会经济问题。
5）编制区际经济计划。
1.3 发展概况投入产出法产生于20世纪30年代，是由俄国出生的美国经济学家瓦。
列昂节夫（w. Leontif）首先提出于1931年开始研究“投入产出分析法”，来分析研究美国的经济结构，随后发表了不少的论文和论著，在1944年他编制了美国经济部门的1939年投入产出表，它可称是世界上第一个“投入产出表”，当时，引起了美国政府的重视，此后，美国先后又编制了1947年，1958年，1963年，和1966年的投入产出表。
§3.4 投入产出专门模型（一）投入产出方法在经济分析、预测、计划、综合平衡和政策分析等方面的应用，往往需要建立专门模型以用于专门领域，为了专门的目的。
可以将专门投入产出模型分为两大类。
一类是不改变投入产出表的基本结构，即仍维持四象限投入产出表式和基本平衡关系，以此为基础建立的模型；一类是改变了投入产出表的基本结构，以此为基础建立的模型。
当然还可以有许多其它分类方法，这里按这样的分类将专门投入产出模型分两节介绍。
本节中仅介绍前一类，以能源投入产出模型和信息—经济投入产出模型为例。
一、能源投入产出模型一般的经济投入产出表（包括价值型和实物型），主要揭示了国民经济各个部门、各种产品之间的技术经济联系。
包括能源部门、能源产品与其它部门、其它产品的联系。
它可以用于能源分析，但也存在一些问题。
例如，在进行能源预测时，若利用实物型投入产出表，或者因为所包括的实物产品种类不全而影响预测值，或者因为包括的实物产品种类太多而使计算工作量太大。
若利用价值型投入产出表，表中都是以货币为单位的，由于不同能源有不同价格，同一种能源用于不同的部门也有不同的价格，而现行价格并不是以能源所含热值为标准的，因此用价值表预测能源需求量，往往会因价格问题而造成混乱；而且价值型投入产出表部门分类比较粗，一、二次能源往往不能严格分开，所得到的往往是某个能源部门的以货币量表示的产值指标，而不是某种能源产品的以热量或能量单位表示的产量指标。
所以，一般的实物型、价值型投入产出表在用于能源需求预测时都存在一些问题。
又如，考察一下能源从资源开采到最终使用的全过程，就会发现非能源部门（如钢铁、机械、农业、居民等）的需求并不是笼统的一次能源，二次能源的直接投入，而是最终用能形式的直接投入，比如工艺热、动力电、照明、采暖等。
这样，在产生某种最终用能形式的一次、二次能源之间是可以互相代替的，也是可以进行优化的。
而在一般的投入产出表中，认为能源消费部门是直接消耗能源供应转换部门的产品，而且互相之间不可替代，以这样的投入产出表为基础构造的模型在整个能源系统模型体系中难以与其它模型相连接，尤其难以与能源系统优化模型连接。
投入产出模型课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握投入产出模型的基本概念与原理；2. 学生能运用投入产出模型分析特定经济系统的生产过程和相互依赖关系；3. 学生能运用相关数据，运用投入产出表进行数据解读和分析。
技能目标：1. 学生能够独立完成投入产出模型的构建，并运用其解决实际问题；2. 学生能够通过小组合作，进行投入产出数据分析，提出有效的问题解决方案；3. 学生能够运用信息技术工具，如Excel等，进行数据的整理和分析。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对经济学知识的兴趣，提高学生对经济现象的观察与思考能力；2. 培养学生的团队协作意识，使学生学会在合作中分享、交流、互助；3. 培养学生关注社会经济发展，了解国家经济政策，树立正确的价值观。
课程性质：本课程为经济学知识领域的一门实用课程，旨在通过投入产出模型的教学，使学生在掌握基本理论知识的基础上，提高解决实际问题的能力。
学生特点：考虑到学生所在年级的知识深度，本课程注重培养学生的实际操作能力，激发学生的学习兴趣，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
教学要求：教师在教学过程中应注重理论与实践相结合，充分调动学生的积极性，引导学生主动参与课堂讨论，培养学生的实践操作能力。
同时，关注学生的学习进度，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。
通过对课程目标的分解，教师可以更好地进行后续的教学设计和评估。
二、教学内容1. 投入产出模型基本概念：包括生产部门、使用部门、中间消耗、最终需求等；2. 投入产出表的构成与解读：分析投入产出表的结构，掌握各部门之间的相互依赖关系；3. 投入产出模型的构建方法：学习直接消耗系数、完全消耗系数等计算方法；4. 投入产出模型的应用：分析实际经济问题，如产业链、区域经济、环境影响等；5. 教学案例：结合课本案例，讲解投入产出模型在实际问题中的应用；6. 实践操作：指导学生运用教材提供的数据，进行投入产出模型的构建和数据分析。
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表。
这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，用1，2，…，n 等号码表示。
如“1”表示煤炭部门，“2”表示钢铁部门，“3”表示电力部门，等等（注意，这里的部门指的是“产品部门”，即是按同类产品的产品类划分的部门，而不是按行政隶属关系划分的“行政部门”）。
分别以 12,,,n X X X 表示各部门产品的总价值量（指在一个单位时间内，譬如说一年内的产品价值量）称作总产品。
),,2,1(n i Y i =代表第i 部门的最终产品。
所谓最终产品指第i 部门分配给居民个人消费和社会集团消费的产品，及生产和非生产性积累、储蓄、出口等方面的产品。
也就是说第i 部门的总产品中扣除给其它生产部门及本部门作生产用的产品之外不参加生产周转的那一部分产品。
(1,2,,;1,2,,)ij X i n j n == 表示第i 部门分配给第j 部门的产品，或者说第j 部门在生产过程中对第i 部门产品的消耗，叫做部门间流量或叫中间产品。
其中(1,2,,)ii X i n =表示第i 部门的产品中留在本部门内作生产使用的那部分产品，如11X 表示1X 中留作本部门内使用的那部分产品，12X 表示1X 中分配给第2部门的产品，13X 表示1X 中分配给第3部门的产品等等。
注意，这里的ij X 可能有些为零，如 023=X ，即意味着第2部门没有分配给第3部门产品，或者说第3部门在生产过程中没有消耗第2部门的产品，j V 表示第j 部门劳动者的报酬，即工资总额。
j M 表示第j 部门为社会的劳动创造的价值，即纯收入。
以上各投入与产出量可编制如下投入产出表（见表8.1.1）。
我们用纵横两条粗线把整个表分作四部分，左上、右上、左下、右下，分别叫做第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ部分，或叫第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限。
表8.1.1 部门间投入产出表 （价值型）*为了讨论方便起见，该表未列入固定资产折旧。
第Ⅰ部分是由n 个物资生产部门纵横交错组成。
横行和纵列是对应的各相同生产部门组成，如横行的“2”代表石油部门，则纵列的“2”也代表石油部门。
这一部分是棋盘式方块，它反映了国民经济各物质生产部门之间生产与分配的关系，亦即各物质生产部门之间的投入与产出的联系。
这种联系是我们对各部门的投入与产出进行分析和利用数学工具进行平衡计算的依据。
第Ⅱ部分是第Ⅰ部分在水平方向的延伸，主要是反映各物质生产部门的总产品中可供社会最终消费使用的最终产品及其使用情况。
第Ⅲ部分是第Ⅰ部分在垂直方向的延伸，反映各物质生产部门新创造的价值，也反映了国民收入的初次分配构成。
第Ⅳ部分目前尚未列出，有待进一步研究。
二、基本平衡方程式从投入产出表8.1.1的横行看，每一生产部门分配给纵列各部门的产品加上最终产品等于该部门的总产品，即可得下列方程式：1112111212222212 n n n n nn n nX X X Y X X X X Y X X X X Y X ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ 利用和号可写成∑==+nj i i ijX Y X1i =1,2,…,n (8.1.1)方程式（8.1.1）叫产品分配平衡方程式。
从投入产出表8.1.1的纵列看，对纵列的每一生产部门来说，各生产部门对他提供的生产性消耗，即生产性投入，加上该部门新创造的价值等于它的总产品，得以下方程式：1121111122222212 n n n n nn n nX X X Z X X X X Z X X X X Z X ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩利用和号可写成∑==+ni j j ijX Z X1j=1,2,…,n (8.1.2)方程式（8.1.2）叫消耗平衡方程式。
三、直接消耗系数和完全消耗系数要定量掌握部门之间的相互联系，必须研究各部门间的直接消耗和完全消耗。
直接消耗是指某部门的产品在生产过程中直接对另一部门产品的消耗。
例如，炼钢过程中消耗的电力，就是钢对电力的直接消耗。
直接消耗系数是用各部门的总产品价值量去除该部门所直接消耗的其他部门的产品价值量，用数学形式表示为jij ij X X a =i=1,2,…,n ；j=1,2,…,n (8.1.3)（8.1.3）式表示第j 部门生产单位产品消耗第i 部门产品的数量。
直接消耗系数ij a 值越大，说明j 部门与i 部门联系越密切；反之，说明j 部门与i 部门联系越松散；ij a 等于零，说明j 部门与i 部门没有直接的生产与技术联系。
直接消耗系数是一个综合性很强的技术经济指标，由于各种因素的综合作用，直接消耗系数不会是一成不变的，但具有相对的稳定性。
直接消耗系数构成一个n 阶方阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 叫做直接消耗系数矩阵。
各物质生产部门之间除存在直接消耗关系外，还存在着间接消耗。
如炼钢过程中消耗电力，是钢对电力的直接消耗；炼钢同时还要消耗铁、焦炭、冶金设备等，而炼铁、炼焦、制造冶金设备也要消耗电力，这是钢对电力的一次间接消耗。
继续分析下去，还可以找出钢对电力的二次、三次等多次间接消耗。
显然，要掌握部门间的相互联系，必须研究总的消耗，即完全消耗。
完全消耗系数记作( 1,2,; 1,2,,)ij b i n j n ==，表示第j 部门生产单位产品对第i部门产品的完全消耗量。
完全消耗系数构成一个n 阶方阵111212122212n n n n nn b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 叫做完全消耗系数矩阵。
完全消耗系数矩阵的计算有下列公式给出1--B =(I-A)I （8.1.4） 式中A 为直接消耗系数矩阵，I 为n 阶单位矩阵，（I-A ）叫做系数矩阵，常称做列昂节夫矩阵；1-(I-A)叫做系数逆矩阵，又称列昂节夫逆矩阵。
四、投入产出模型的基本形式 由（8.1.3）式得j ij ij X a X = （8.1.5） 将（8.1.5）式代入产品分配平衡关系式（8.1.1）得∑==+nj i i j ijX Y X a1i=1,2,…,n写作矩阵形式为AX+Y =X （8.1.6） 其中X =12n X X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， Y =12n Y Y Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ X 表示总产品列向量，Y 表示最终产品列向量。
由（8.1.6）式可得Y=(I-A)X (8.1.7) （8.1.7）式为国民经济各部门的总产品和最终产品之间数量关系模型。
将（8.1.5）式代入消耗平衡方程式（8.1.2）得∑==+ni j j j ijX Z X a1j=1,2,…,n写作矩阵形式DX+Z=X （8.1.8） 其中D =11211000000ni i ni i nin i a aa ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑， Z =12n Z Z Z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D 称作中间投入系数矩阵，其中对角线上的元素∑=ni ij a 1，j =1,2,…,n ，表示j 部门的总产值中物质消耗所占的比重，即j 部门生产单位产品消耗这n 个部门产品之和。
改写（8.1.8）式Z =(I-D)X (8.1.9) （8.1.9）式为国民经济各部门净产值与总产值之间的数量关系模型。
（8.1.7）式和（8.1.9）式为投入产出基本模型。
第二节 利用投入产出模型进行预测投入产出模型目前已经得到了广泛应用，主要用作经济分析（如经济结构分析、经济效益分析等），经济政策模拟和经济预测。
限于篇幅，这里仅对于利用上节得出的投入产出基本模型（8.1.7）和（8.1.9）进行国民经济预测，作一简要介绍。
一、国民经济生产计划预测 （一）各部门最终产品预测在已知各部门生产计划X 时，可以利用模型（8.1.7）对各部门最终产品进行预测。
例1．假设国民经济分为重工业、轻工业和农业三个部门。
2003年三部门的投入产出表如表8.2.1所示设2005年重工业、轻工业和农业的生产计划分别为110亿元，80亿元，50亿元时，这三部门的最终产品将为多少？在表8.2.1中,以1X ，2X ，3X 分别表示重工业、轻工业和农业的总产品，1Y ，2Y ，3Y 分别表示重工业、轻工业和农业的最终产品。
利用（8.1.3）式，可计算直接消耗系数，并得出该题的直接消耗系数矩阵为0.30.3330.280=0.20.0830.1710.150.1670.114⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 0.70.3330.2800.20.9170.1710.150.1670.886--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦I-A 利用模型（8.1.7），则得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5080110886.0167.015.0171.0917.02.0280.0333.07.0321Y Y Y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=44.1481.4236.36 即三个部门的最终产品为：重工业36.36亿元，轻工业42.81亿元，农业14.44亿元。
