集合的基本运算

集合的四种基本运算稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊集合的四种基本运算，超有趣的哟！先说并集吧。

这就像是把两个篮子里的水果都放到一个大篮子里。

比如集合 A 里有苹果、香蕉，集合 B 里有橙子、草莓，那 A 和B 的并集就是苹果、香蕉、橙子、草莓，都在一块儿啦，是不是很简单？再讲讲交集。

这个呀，就好比找两个篮子里都有的水果。

还是刚才那两个集合，要是只有香蕉同时在 A 和 B 里，那香蕉就是它们的交集。

然后是差集。

比如说集合 A 减去集合 B，就是把集合 A 里属于集合 B 的那些东西拿掉，剩下的就是差集。

就好像从 A 篮子里把和B 篮子一样的水果拿走。

说说补集。

假如我们有个大的集合 U，还有个小集合 A，那 A 在U 里的补集，就是在 U 里但不在 A 里的那些东西。

怎么样，集合的这四种基本运算是不是还挺好玩的？多练习练习，咱们就能熟练掌握啦！稿子二嗨呀，朋友们！今天咱们来好好唠唠集合的四种基本运算。

并集呢，你就想象成两个帮派合并，把两边的人都算上。

比如说一个帮派有、，另一个帮派有、赵六，那并集就是、、、赵六都在一起。

交集呢，这就像是两个帮派里都有的共同成员。

假设一个帮派喜欢武术，另一个帮派喜欢书法，而同时喜欢武术和书法的就只有小明，那小明就是这两个帮派的交集。

差集呢，好比一个帮派开除一些人。

比如原来的帮派有小陈、小周，开除了小陈，剩下的小周就是差集。

补集呢，就像是整个江湖是个大集合，其中一个门派是个小集合。

门派之外的那些江湖人士就是这个门派在整个江湖里的补集。

集合的这四种运算呀，其实不难，只要咱们多琢磨琢磨，很快就能搞明白的！加油哦！。

第10讲 集合的基本运算一、 集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。

这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？ （3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ； 答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ， 则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2， 则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集 （1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ． 【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。

集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。

集合间的基本运算一、知识概述1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A, B的交集记作 A ' B （读作‘ A 交B'），即卩 A 1 B= {x|x 已A,且B} 2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A, B的并集.记作：A」B （读作’A并B'），即卩A」B ={x|x三A,或B}.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即…=1 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作。

貝, 即［/ ={小胡且入¥ 2}性质：％/）二月“J©乓0二用全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S, U表示+4、运算性质：（1） I I 「I 'I ；（2）I — -「'；（3）I . ；（4）T __「T 1 -；（5）、二一匚 _「丄一「* 二：.（6）「厂_「；：「：冷」'J'：,二、例题讲解例1、设集合A={ —4, 2m- 1, m2} , B={9, m-5, 1 —m},又A B={9}，求实数m的值.解：I A B={9}，二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.若m=5 贝U A={—4, 9, 25} , B={9, 0,—4}与A B={9}矛盾；若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾；若m=-3,则A={ —4,—7, 9} , B={9,—8, 4}满足 A B={9}.二m=- 3.例2、设A={x|x 2+ ax+ b=0}, B={x|x 2+ ex + 15=0},又A B={3, 5} , A A B={3}, 求实数a , b , e的值.解：v A A B={3}，二3 € B，二32+ 3e+ 15=0,••• e= —8,由方程x2—8x+ 15=0 解得x=3 或x=5.••• B={3 , 5}.由A二（A」B）={3 , 5}知,3€ A, A （否则5€ A A B,与A G B={3}矛盾)故必有A={3},.••方程x2+ ax+ b=0有两相同的根3.由韦达定理得3+ 3=—a, 3 3=b,即a=—6, b=9, c=—8.例3、已知A={x|x 3+ 3x2+ 2x >0} , B={x|x 2+ ax+ b< 0},且A G B={x|0 v x< 2}, A U B={ x | x > —2},求a、b 的值.解：A={x| —2v x v—1 或x>0},设B= [x i, X2]，由A G B= (0, 2]知X2= 2,且—1<xW 0,①由A U B= (—2 ,+x)知一2w X1w —1. ②由①②知X i =—1, X2 = 2,a=—( X1+ X2)=—1, b= X1X2= —2.例4、已知A={x|x 2—ax+ a2—19=0}, B={x|x 2—5x + 8=2}, C={x|x 2+ 2x —8=0}. 若E =A G B,且A G C=] , 求a 的值.解：—3)(x —2)=0}={3 , 2},•- B={x|(xC={x|(x + 4)(x —2)=0}={ —4 , 2},又••• E =AG B,又••• A G C==,•可知-4^A, 2^A, 3€ A.• •由9—3a+ a —19=0 ,解得a=5或a=—2.①当a=5 时，A={2, 3}，此时A H C={2} ，矛盾，二a^ 5;②当a=—2时，A={—5, 3}，此时A H C山，A H B={3}工它，符合条件.综上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的质数} ,M N是U的两个子集，且满足MA （•门）={3，5},（「r）H N={7，19},（」'）H（ •「）={2，17}，求M N.解：用图示法表示集合U, M N （如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3, 5, 11, 13}, N={7, 11, 13, 19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域:对应的集合分别是:①一q : ::②一-r 二：③―_ 5 ■':④一I一、选择题1下列命题中，正确的是（）A. 若U=R 祐u,匸B. 若U为全集，①表示空集，则-①=①；C. 若A=｛1，①,｛2｝｝，则｛2｝二A;D. 若A=｛1，2，3｝，B=｛x|x 二A｝，则A€ B.3 IM= ｛工 |畝迄忑€ 血¥_｝= （x l 也｝『2、设数集 ' - …且MN都是集合｛x|0 < x< 1｝的子集，如果把b—a叫做集合｛x|a <x< b｝的“长度”，那么集合Mn N 的“长度”的最小值是（）1 2A. - B .」丄5C. 1- D .一3、设M N是两个非空集合，定义M与N的差集为M—N=｛x|x € M且x己N｝，则M—（M—N）等于（）A. N B . MA NC. MU N D . M 4、已知全集：=R，集合朴11"弔刀和严砂亠■“ L的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，贝U阴影部分所示的集合的元素共有（）B . 2个 D .无穷个1、 - ••匚 I -①=U, {2} € A, {2}单独看是一个集合，但它又是A 中的一个元素.3 £2、集合M 的“长度”为-，集合N 的“长度”为」，而集合—+ — — 1{x|0 <x < 1}的“长度”为1,故MAN 的“长度”最小值为4」3、M-N={x|x €“且x^N}是指图（1）中的阴影部分.同样M-（ M- N ）是指图（2）中的阴影部分.4、t 图形中的阴影部分表示的是集合 =；，由；解得集合‘"一—二一，而N 是正奇数的集合；-「，故选B.二、填空题 5、已知集合A={x|x 2— 3x + 2=0}，集合B={x|ax — 2=0}（其中a 为实数），且A U B=A 则集合 C={a|a 使得 A U B=A}= ______________ . 5、｛0, 1, 2｝解析：A=｛1, 2｝，由 A U B=A 得 匪 A.••• 1€ A,即得 a=2;或 2€ A,即得 a=1 ;或 B=©，此时 a=0.••• C=｛0, 1, 2｝.A. 3个C. 1个⑴6、非空集合S^｛1 ,2,3,4,5｝，且若a€ S,则6-a€ S,这样的S共有________ 个.6、6解析：S=｛1, 5｝或｛2 , 4｝或⑶，或｛1 , 3, 5｝，或｛2 , 4 , 3｝，或｛1 , 5 , 2 , 4｝.三、解答题7、设集合卫=｛込加7-①，吕―^ —另1—^,9｝(1)若■■-丄)，求实数a的值.(2)若.''■,求实数a的值.7、解：(1)：9 三’1 '',二9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，'' ■' ■ ' - '-（舍）当a =—3时，卫={9,一兀一4},£=〔一出4,9〕(符合)当a = 5时，乂={25,9, —= {0,—4,9〕(符合).综上知一 ?或“一-.(2)由(1)知•，一二8已知全集U= R,叮•二•….丄v 0・，_ = “ V呗亠」或x >5 —「一：,，若- J，求实数⑴的取值范围8解：依题设可知全集】=三且打丨■■-0 =0月=缶1一2三工W5)，「月=仗冲+1=工w2喘_1}，由题设分类如下：①若'，贝U m^ 1>2mn 1= mV 2.②若加工0，则m^ i<2mn 1,且I®用一1« 5，解得2< 3.由①②可得：me 3.•••实数m的取值范围为{m|mc 3}.9、已知全集U={|a -1|，(a - 2)(a -1)，4，6}.(1)若-八「•求实数a的值;(2)若：4 '求实数a的值.9、解：(1)t L •厂一；' 且多U,•••|a - 1|=0,且(a - 2)(a - 1)=1 ,或|a -1|=1 ,且(a - 2)(a -1)=0 ;第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a -1|=1得a=0或a=2, --a=2.(2)依题意知|a - 1|=3 ,或(a - 2)(a - 1)=3,若|a -1|=3 ,则a=4, 或a=-2；若(a —2)(a —1)=3，贝U -经检验知a=4时，(4 —2)(4 —1)=6，与元素的互异性矛盾.二a=- 2或亠 .10、设集合A =｛：：广「二1｝, B 屮 | ...... - ,*｝，若A B=B求实数二的值.10、解：先化简集合A=J '.由A】B=B则F A,可知集合B可为二:，或为｛0｝，或｛- 4｝，或".(i) 若B』：，则贝:，解得立＜-：；(ii) 若- - B,代入得-- =0=应=1 或：'=一-,当丸=1时，B=A符合题意；当：』=-1时，B=｛0｝二A,也符合题意.（iii）若一4^B,代入得工上L = 口=7或“ =1,当：』=1时，已经讨论，符合题意；当屯=7时，B={- 12,—4}，不符合题意.综上可得，^ =1或立€-1.11、已知集合A={x|x —4m灶2计6=0}，B={x|x V 0}，若A A B M，求实数m的取值范围.= ^ | A = (-4jK)3-4(2^ 4-5)^ 0} = (/w | 或朋11、解：设全集 ' 」m皂U,< 珂4- x- = 4^ 鼻0,若方程X2—4mx+ 2m^ 6=0的两根x’，x?均非负，贝卩山忑八载以―D胆沖一••• {m|- }关于U的补集是{m|m<—1}，二实数m的取值范围是{m|m<—1}.1、（全国I，1）设集合A={4，5, 7,9}，B={3,4,乙8, 9}，全集U=A U B，则集合・⑺厂启）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>0}，则干」等于（）A. {x|0 < x< 2}B. {x|0<x<2}C. {x|x<0 或x>2} D . {x|x < 0 或x > 2}答案：A解析：■/ x2—2x>0，二x（x —2）>0，得x<0 或x>2,••• A={x|x<0 或x>2}，[ 4 ；. ■ i•.3、（山东，1）集合A={0 , 2, a}, B={1 , a2}.若A U B={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D解析：T A U B={0, 1, 2, a, a2}，又A U B={0, 1, 2, 4, 16}, • {a , a2}={4 , 16} , • a=4 ,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。

集合的基本运算总结集合是数学中一个非常重要的概念，它是由一些确定的元素所构成的整体。

在数学中，我们经常会进行各种集合的运算，以便更好地理解和研究数学问题。

本文将对集合的基本运算进行总结，包括并集、交集、差集和补集。

一、并集并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并成一个集合。

表示为A∪B，其中A和B为集合。

并集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于集合A或者x属于集合B，那么x属于集合A∪B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A∪B={1, 2, 3, 4}。

二、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的新集合。

表示为A∩B，其中A和B为集合。

交集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x既属于集合A又属于集合B，那么x属于集合A∩B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A∩B={2, 3}。

三、差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的所有元素后所得到的集合。

表示为A-B，其中A和B为集合。

差集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于集合A且x不属于集合B，那么x属于集合A-B。

例如，假设有集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}，则集合A-B={1}。

四、补集补集是指在一个给定的全集中，与某个集合不相交的元素组成的新集合。

表示为A'，其中A为集合。

补集的定义可以表示为：对于任意的元素x，如果x属于全集且x不属于集合A，那么x属于补集A'。

需要注意的是，补集是相对于一个全集来定义的。

同一个集合可以在不同的全集下有不同的补集。

例如，假设全集为自然数集合N，集合A={1, 2, 3}，则补集A'=N-A={0, 4, 5, ...}。

在集合的运算中，我们可以利用Venn图进行直观的表示和分析。

Venn图是一种用圆形或椭圆形来表示集合及其运算关系的图形。

通过集合的基本运算，我们可以更好地理解和分析数学问题。

集合运算的基本法则
集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．
设A，B，C为任意三个集合，Ω与Ø分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：1､交换律（Commutative Laws）：A ∪B = B∪A，A ∩B = B ∩A
2､结合律（Associative Laws）：(A ∪B) ∪C = A ∪(B∪C) = A ∪B∪C ，
(A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) = A ∩B ∩C
3､分配律（Distributive Laws）：(A ∩B) ∪C = (A∪C) ∩(B∪C) ，
(A∪B) ∩C = (A ∩C) ∪(B ∩C)
4､德摩根律（De Morgan’s Law）:
5､等幂律（Impotent laws）: A∪A = A，A∩A = A；
6､吸收律（Absorption laws）：(A∩B)∪A = A，(A∪B)∩A = A
7､同一律（Domination laws）：A∪Ø = A，A∩Ω= A ，A∪Ω=Ω，A∩Ø = Ø；
8､互补律（Complement Laws）：
9、重叠律，
对偶原理：九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理.
例题一：证明等式。

集合的基本运算：
交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。

（1）交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集（intersection），记作A∩B。

（2）并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

（3）相对补集：若A和B 是集合，则A 在B 中的相对补集是这样一个集合：其元素属于B但不属于A，B - A = { x| x∈B且
x∉A}。

（4）绝对补集：若给定全集U，有A⊆U，则A在U中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁UA。

（5）子集：子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x A，且x B｝．2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A，或x B}．3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即=．性质：.全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，U表示4、运算性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；．二、例题讲解例1、设集合A={－4，2m－1，m2}，B={9，m－5，1－m}，又A B={9}，求实数m的值．解：∵A B={9}，∴2m－1=9或m2=9，解得m=5或m=3或m=－3．若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，0，－4}与A B={9}矛盾；若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B中元素互异矛盾；若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足A B={9}．∴m=－3．例2、设A={x|x2＋ax＋b=0}，B={x|x2＋cx＋15=0}，又A B={3，5}，A∩B={3}，求实数a，b，c的值．解：∵A∩B={3}，∴3∈B，∴32＋3c＋15=0，∴c=－8，由方程x2－8x＋15=0解得x=3或x=5．∴B={3，5}．由A（A B）={3，5}知，3∈A，5A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）.故必有A={3}，∴方程x2＋ax＋b=0有两相同的根3．由韦达定理得3＋3=－a，33=b，即a=－6，b=9，c=－8．例3、已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值．解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，①由A∪B=（－2，＋∞）知－2≤x1≤－1. ②由①②知x1＝－1，x2＝2，∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2．例4、已知A={x|x2－ax＋a2－19=0}，B={x|x2－5x＋8=2}，C={x|x2＋2x－8=0}.若A∩B，且A∩C=，求a的值．解：∵B={x|(x－3)(x－2)=0}={3，2}，C={x|(x＋4)(x－2)=0}={－4，2}，又∵A∩B，∴A∩B≠．又∵A∩C=，∴可知－4A，2A，3∈A．∴由9－3a＋a2－19=0，解得a=5或a=－2．①当a=5时，A={2，3}，此时A∩C={2}≠，矛盾，∴a≠5；②当a=－2时，A={－5，3}，此时A∩C=，A∩B={3}≠，符合条件．综上①②知a=－2．例5、已知全集U={不大于20的质数}，M，N是U的两个子集，且满足M∩（）={3，5}，（）∩N={7，19}，（）∩（）={2，17}，求M、N．解：用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3，5，11，13}，N={7，11，13，19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素．特别提示：下列四个区域：对应的集合分别是：①—；②—；③—；④—．一、选择题1、下列命题中，正确的是（）A．若U=R，A U，；B．若U为全集，Φ表示空集，则Φ=Φ；C．若A={1，Φ，{2}}，则{2}A；D．若A={1，2，3}，B={x|x A}，则A∈B．2、设数集且M、N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是（）A． B．C． D．3、设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且x N}，则M－（M－N）等于（）A．N B．M∩NC．M∪N D．M4、已知全集，集合M和的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个 B．2个C．1个 D．无穷个1、Φ=U，{2}∈A，{2}单独看是一个集合，但它又是A中的一个元素．2、集合M的“长度”为，集合N的“长度”为，而集合{x|0≤x≤1}的“长度”为1，故M∩N的“长度”最小值为3、M－N={x|x∈M且x N}是指图（1）中的阴影部分．同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分．4、∵图形中的阴影部分表示的是集合，由解得集合，而N是正奇数的集合，∴，故选B．二、填空题5、已知集合A={x|x2－3x＋2=0}，集合B={x|ax－2=0}（其中a为实数），且A ∪B=A，则集合C={a|a使得A∪B=A}=_____________．5、{0，1，2}解析：A={1，2}，由A∪B=A，得B A．∵1∈A，即得a=2；或2∈A，即得a=1；或B=Φ，此时a=0.∴C={0，1，2}．6、非空集合S{1，2，3，4，5}，且若a∈S，则6－a∈S，这样的S共有___________个．6、6解析：S={1，5}或{2，4}或{3}，或{1，3，5}，或{2，4，3}，或{1，5，2，4}．三、解答题7、设集合.（1）若，求实数a的值．（2）若，求实数a的值．7、解：（1）∵9，∴9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，（舍）；当时，（符合）；当时，（符合）.综上知或.（2）由（1）知.8、已知全集U＝R，＜0，＜或x＞，若，求实数的取值范围8、解：依题设可知全集且≥0≤≤5，≤≤，由题设可知.分类如下：①若，则m＋1＞2m－1m＜2.②若，则m＋1≤2m－1，且，解得2≤m≤3.由①②可得：m≤3.∴实数m的取值范围为{m|m≤3}.9、已知全集U={|a－1|，(a－2)(a－1)，4，6}．（1）若求实数a的值；（2）若求实数a的值．9、解：（1）∵且B U，∴|a－1|=0，且(a－2)(a－1)=1，或|a－1|=1，且(a－2)(a－1)=0；第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a－1|=1得a=0或a=2，∴a=2.（2）依题意知|a－1|=3，或(a－2)(a－1)=3，若|a－1|=3，则a=4，或a=－2；若(a－2)(a－1)=3，则经检验知a=4时，(4－2)(4－1)=6，与元素的互异性矛盾．∴a=－2或．10、设集合A ={|}，B ={|，}，若A B=B，求实数的值．10、解：先化简集合A=. 由A B=B，则B A，可知集合B可为，或为{0}，或{－4}，或．(i)若B=，则，解得＜；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；当=时，B={0}A，也符合题意．(iii)若－4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得，=1或≤．11、已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0}，B={x|x＜0}，若A∩B≠，求实数m 的取值范围．11、解：设全集．若方程x2－4mx＋2m＋6=0的两根x1，x2均非负，则解得．∵{m|}关于U的补集是{m|m≤－1}，∴实数m的取值范围是{m|m≤－1}．1、（全国I，1）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R，集合A={x|x2－2x>0}，则等于（）A．{x|0≤x≤2} B．{x|0<x<2}C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}答案：A解析：∵x2－2x>0，∴x(x－2)>0，得x<0或x>2，∴A={x|x<0或x>2}，.3、（山东，1）集合A={0，2，a}，B={1，a2}．若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．4答案：D解析：∵A∪B={0，1，2，a，a2}，又A∪B={0，1，2，4，16}，∴{a，a2}={4，16}，∴a=4，故选D．集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。