微积分-上海大学

《高等数学教程》第九章 向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ）4．;342,324m n CD m n BC-=-=5．;}116,117,116{}116,117,116{---或6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。

9．模：2; 方向余弦：21,22,21--;10．434ππγ或=;11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα;12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或-3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或7．12 , 219;8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a(1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 , 619;9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-;6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥7．;共线必须与b a8．3π;9．)68(51)68(51k j k j ---或;10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-.9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31;11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ;12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ;9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(;6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ;2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y tx 31121 ;4．13422zy x =-=--;5．0592298=---z y x ;7．341111;8．4273;9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-;5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ;6．012=++y x ;7．2849161-==+z y x ;8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ;10．012720=-++z y x ;11．564922-=-=-z y x ;12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332;15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ;16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为半径的球面。

《微积分》教学要求说明：从2013学年起《微积分》课程教学内容分为三个学期完成，课时数分别为60，60，40.（课时总数没有变化，但时间跨度从四学期变为三学期）第一学期（60学时）第一章 函数与极限（14学时）1 了解极限的概念，了解分段函数的极限的计算。

2 掌握极限四则运算法则，会用变量代换求某些简单复合函数的极限。

3 了解极限的性质（惟一性、有界性和保号性）和两个极限存在准则（夹逼准则与单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

5 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

6 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。

说明1：本章原来教学时数是16，现改为14，建议第一节（常用符号介绍）、第二节（函数的概念）作为自学内容。

说明2：用,N X εεδε---，定义证明极限不作要求。

第二章 导数与微分（12学时）1 理解导数（包括左、右导数）的概念，了解导数的几何意义，了解函数的可导性与连续性之间关系。

2 掌握导数的四则运算法则、反函数与复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。

会求分段函数的导数。

3 了解高阶导数的概念。

掌握初等函数的二阶导数的计算。

会求简单函数的n 阶导数。

4 掌握求隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。

会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

5 了解微分的概念与四则运算。

说明：建议导数的经济意义作为自学内容。

高阶导数以二阶为主。

第三章 微分中值定理及导数的应用（12学时）1 理解并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。

2 掌握洛必达法则求不定式极限的方法。

3 理解函数的极值概念，掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。

会用单调性证明不等式。

4 会求最大值、最小值问题，会解决简单的实际应用问题。

5 会用导数判别函数图形的凹凸性，会求拐点。

说明1：建议第六节（函数图形的描绘）、第七节（曲率）、第八节（方程的近似解）作为自学内容。

《微积分下》作业3答案学院 专业 年级班级 姓名 学号 一． 单选题（共4×10分）1．函数（ A ）为微分方程y xy 2'=的解A ．2x y = B.x y = C.x y 2= D.2x y =2． .函数3x y =为微分方程 ( C )的解A. 322'y y = B.433'xy y -= C.03'=-y xy D.22'x x y y =+ 3. 微分方程022=+y dx yd 的通解是( D ). A.x A y sin = B.x B y cos = C.x B x y cos sin += D.x B x A y cos sin += 012=+r i r ±=12 )sin cos (21x c x ce y x ββα+=x B x A cos sin +=4. 微分方程''3'25y y y -+=的通解是( C ).A.2125x x y k e k e =++B. 2125x x y k e k e =+-C. 21252x x y k e k e =++D. 21252x x y k e k e =+- 0232=+-r r 2,121==r r x x e c e c y 221+=0=λ 不是特征方程的根 设A y =* 把*,**,'''y y y 代入原方程2552=⇒=A A 原方程的通解为25221++=x x e c e c y 5．微分方程dy y ytg dx x x=+的通解是（ C ） A.1sin cx y x = B.sin y x c x =+C.sinycx x= D.sin x cx y =令v xy= 6.通过坐标系的原点且与微分方程1dyx dx=+的一切积分曲线均正交的曲线的方程是（ A ） A. 1yex -=+ B.10y e x ++=C. 1ye x =+ D.222y x x =+根据题意11+-=x dx dy 11ln c x y ++-= yce x -=+1 曲线通过原点 01ce = 1=⇒c 1yex -=+7. 微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是( D )A.()x y x e c =+B.()y x y e c =+C.()x y x c e =-D.()y x y c e =-y ye y x dy dx -=- yy p 1)(-= y ye y Q -=)( )()(11y dy y y dy y e c y cdy e e y e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=-⎰ 8．函数()y x 满足微分方程2'ln 0xy y y x +-=且在1x =时，1y =，则在 x e =时，=y ( B )A.1eB.12C.2D.ex x xy dx dy y ln 1112=⋅+⋅ xx y x dx yd ln 11)1(-=⋅-9. 微分方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式是（ D ） A.()x ax b e + B.()x ax b xe +C.()x ax b ce ++D.()x ax b cxe ++x y y y 323=-'-'' b ax y +=*x e y y y 223-=-'-'' x Axe y =*"3'232x y y y x e -+=- x cxe b ax y ++=*10．设)(x f 连续，且满足2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f （ B ） A.2ln xe B.2ln 2xeC.2ln +x eD.2ln 2+x e2)()(⋅='x f x fy dxdy2= dx dy y 21= c x y +=2lnx e c y 21= 2ln )0(=f 2ln 1=⇒c x e y 22ln ⋅=二.计算题(共6×10分)1.求方程2220d y dyy dx dx++=满足初始条件04,'2x x yy ====-的特解解：0122=++r r 0)1(2=+r 112-=r xe x c c y -+=)(214.0==y x 代入41=⇒c)1()(212-++='--x x e x c c e c y2.0-='=y x 代入22=⇒c xex y -+=∴)24(为原发方程的特解。

大学数学AP微积分知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高校数学课程是大学教育中不可或缺的一部分，而高等数学 b-微积分作为数学专业的基础课程之一，对于培养学生的数学思维和分析能力具有重要意义。

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教师会根据学生的学习特点和需求，采用不同的教学方法和手段，例如小组讨论、课外辅导等，使学生在思维方式和学习方法上得到全面提高。

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教师们既具有扎实的数学理论基础，又具备丰富的教学经验和实践能力，能够根据学生的学习特点和需求，灵活运用教学手段和方法，使得教学过程生动有趣，引导学生主动参与学习，达到教学的最佳效果。

在总体上看，上海立信会计金融高等数学 b-微积分课程具有教学内容全面、教学方法灵活多样、学习效果显著和教学团队实力雄厚等优点。

高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()xxe e '= ⑽()ln xxa aa '= ⑾()1ln x x'=⑿()1log ln xax a'= ⒀()2arcsin 1x x'=- ⒁()2arccos 1x x'=-⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arc cot 1x x '=-+ ⒄()1x '= ⒅2x x'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则 （1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n nxn = （2）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a =(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7) ()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx =⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x xd a a adx = ⑾()1ln d x dx x=⑿()1logln xad dx x a= ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x=-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾2arcsin 1x c x=+-八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x adx c x a a x a-=+-+⎰arcsin xc a =+22ln x x a c =±+九、下列常用凑微分公式十、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx =形如sin n x xdx ⎰令nu x =，sin dv xdx =形如cos n x xdx ⎰令nu x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。

高等数学（专科）教学大纲上海大学夜大学课程教学大纲学院：课程编号课程名称（中文）高等数学E （一～三）课程基本情况1．学分：15 学时：150 （课内学时：150 实验学时：0 ）2．课程性质：（注1）基础课3．适用专业：工类各专业适用对象：（注2）专科生4．先修课程：中学初等数学5．首选教材：李心灿编《高等数学》（专科使用）高教出版社二选教材：同济大学高等数学教研室编《高等数学》第四版参考书目：6．考核形式：（注3）闭卷笔试、半开卷笔试、开卷笔试课程教学目的及要求（注5）目的：高等数学是成人高等教育专科重要的基础理论课之一。

通过本课程的学习，使学生获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础知识和常用的运算方法。

通过各教学环节逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。

为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。

要求：1 要正确了解和理解以下概念：函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。

不定积分、定积分、二重积分、三重积分、无穷级数的敛散性、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。

2 要了解和掌握下列基本理论、基本定理和公式：基本初等函数的性质及图形，基本初等函数的导数公式，微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理），不定积分基本公式，变上限积分及其求导定理、牛顿－莱伯尼兹公式，偏导数的几何意义，极值存在的必要条件，几何级数和P 级数的收敛性，级数敛散性的判定条件，直线与平面的方程，典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。

3掌握下列运算法则和方法：求函数和数列极限的方法与运算法则，导数和微分的运算法则，复合函数求导法，初等函数一阶、二阶导数的求法，用导数判断函数的单调性及求极值方法，多元函数复合函数的偏导数求法，不定积分、定积分的换元与分部积分法，正项级数的比值审敛法，求幂级数的收敛半径和收敛区间，函数展开成幂级数的间接展开法，一阶变量可分离变量微分方程的求解，二阶常系数线性微分方程的解法。

实用文案上海大学 2021～2021学年冬季学期课程论文课程名称：微积分课程编号：01014106论文题目: 用数学软件mathematica做微积分作者姓名: 学号: 成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:标准文档实用文案用数学软件Mathematica做微积分姓名：学号：摘要：Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。

本报告用Mathematica来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。

在本报告中，我运用软件mathematica解决了在微积分学习过程中学到的很多知识和所遇到的问题。

本款软件可以解决我们从开始学习微积分到目前为止所有的问题。

从求极限、导数、积分、空间解析几何到多元微分学、多元微分学的应用、重积分、曲线积分、曲面积分等等，无不包含其中。

关键词：Mathematica数学软件微积分正文：首先我想从最简单的求函数极限到多远微分学慢慢来展现这款软件对微积分学习的帮助。

一、求函数极限1、自变量趋于有限值的极限sinx例假设求极限limx 0x我们只需输入：f[x_]:=Sin[x]/x;Limit[f[x],x0]那么会输出：12、求单侧极限标准文档实用文案例求右极限limarctan1x0x 只需输入：f[x_]:=ArcTan[1/x];L imit[f[x],x0,Direction-1]/2、自变量趋于无穷大的极限例求极限limx2sin 12x3x例输入：f[x_]:=x^2Sin[3/x^2];Limit[f[x],x Infinity]输出：3、单向极限求极限limarctanxx输入：f[x_]:=ArcTan[x];Limit[f[x],x Infinity]输出：π/2例求极限limarctanxx输入：f[x_]:=ArcTan[x];Limit[f[x],x-Infinity]输出：-(π/2)、无穷大的极限1例求极限lime x1x 0输入：f[x_]:=Exp[1/x];Limit[f[x],x0,Direction-1]输出：正无穷、列表观察数列的极限输入：f[1]=N[Sqrt[2],10];f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],10];Do[Print[n," ",f[n]],{n,10}]结果：标准文档实用文案描点作图二、导数1、用定义求导数导数的定义：f(x0)lim f(xx)f(x)或f(x0)lim f(x)f(x0)x0x xx0x x0例设f(x)x,x 0，求左导数f(0)sinx,x0f[x_]:=Which[x<0,x,x>=0,Sin[x]]〔定义分段函数〕a=0;Direvative=Limit[(f[x+a]-f[a])/(x-a),x a]结果：12、高阶导数例设f(x) sin(2x23)，求二阶导数f(x)和三阶导数f(x)二阶导数f[x_]:=Sin[2x^2+3];f''[x]D[f[x],{x,2}]结果：4Cos[3+2x2]-16x2Sin[3+2x2]4Cos[3+2x2]-16x2Sin[3+2x2]三阶导数f[x_]:=Sin[2x^2+3];f'''[x]D[f[x],{x,3}]结果：标准文档实用文案-64x3Cos[3+2x2]-48xSin[3+2x2]-64x3Cos[3+2x2]-48xSin[3+2x2]三、导数的应用1、微分中值定理例在区间[0,1]上对函数f(x)4x35x2x2验证拉格朗日中值定理的正确性。