2013年佛山市普通高中高二教学质量检测(文科)及答案

2013年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学 (文科) 2013.1本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡的相应位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式：球的表面积公式24S R π=,其中R 为球的半径．一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1． 已知点(1,2),(3,6)A B -,则过,A B 两点的直线斜率为A.1-B.12C. 1D. 22. 若直线1l :410ax y -+=,2l :10ax y ++=,且12l l ⊥,则实数a 的值为A.2B.2±C.4D. 4±3. 若命题p :0x ∃>,2320x x -+>,则命题p ⌝为A. 0x ∃>,2320x x -+≤B. 0x ∃≤,2320x x -+≤ C. 0x ∀>,2320x x -+≤D. 0x ∀≤,2320x x -+≤4.圆1O :2220x y x +-=和圆2O :2240x y y +-=的位置关系是A ．外离B ．相切C ．相交D ．内切 5．若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥,c b //,则直线a 与cA. 一定平行B. 一定垂直C. 一定是异面直线D. 一定相交 6．若集合{}0,A m =,{}1,2B =,则“1m =”是“{}0,1,2A B = ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7．某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是 A. 8B. 83C. 4D. 43正视图俯视图第7题图8．过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是A. 34150x y +-=B. 34150x y --=C. 43200x y -+=D. 43200x y --=9．已知命题p :sin y x =,R x ∈是奇函数；命题q :已知,a b 为实数,若22a b =,则a b =.则下列判断正确的是A. p q ∧为真命题B. ()p q ⌝∨为真命题C. ()p q ∧⌝为真命题D. ()()p q ⌝∨⌝为假命题10．已知1F 、2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点,在直线x a =-上有一点P ,使112PF F F =，且o 21120=∠F PF ,则椭圆的离心率为A.21 B. 31 C. 32D. 2 二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分.11的球的表面积为 .12．若抛物线2y ax =的焦点坐标为()2,0 ,则实数a 的值为 .13．若直线210x y -+=平分圆01222=+-++my x y x 的面积，则m = .14．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 .第16题图P BAMDC三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,O 、A 、B 、C按逆时针排列,A 的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,PA ⊥底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点.(Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ；（Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC .17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；（Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.第15题图18.(本小题满分14分)已知曲线C 上的任意一点到定点(1,0)F 的距离与到定直线1x =-的距离相等. (Ⅰ) 求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,且||2FA =，||5FB =,求原点O 到直线AB 的距离.19.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面11BDD B ；（Ⅱ）若1D D BD =,求四棱锥11D A BCD -的体积.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,在椭圆上求一点Q 使OPQ ∆的面积最大.2013年佛山市普通高中高二教学质量检测第19题图BD CAA 1B 1C 1D 1第16题图PBA MDCEPBA MDCH数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.二、填空题:本大题共4小题 ,每小题5分，满分20分. 11．3π 12．2-13．914．458三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分)如图,已知四边形OABC 是矩形,O 是坐标原点,O 、A 、B 、C 按逆时针排列,A的坐标是),4AB =.(Ⅰ) 求点C 的坐标； （Ⅱ）求BC 所在直线的方程. 解: (Ⅰ)因为四边形OABC 是矩形,OA 所在直线的斜率3OA k =…2分所以OC 的斜率为3-,OC 所在的直线方程为y =,…4分 因为4O C A B ==,设(),C x 24OC x ===,……………………6分所以或2x =(舍去),所以点C的坐标为(2,-.…………………………………………8分（Ⅱ）因为OA 与BC, 所以BC所在直线的斜率B C k k==…………………………………10分 所以BC所在直线的方程为()23332+=-x y ,即80x -+=.…………………………12分给分说明:第 （Ⅱ）问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.16.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P A B C D -中,四边形ABC D 为直角梯形,//AD BC ,90BAD ∠=︒,PA ⊥ 底面ABCD ,且2PA AD ==,1AB BC ==,M 为PD 的中点. (Ⅰ) 求证://CM 平面PAB ； （Ⅱ）求证:CD ⊥平面PAC . 解:(Ⅰ) 取PA 的中点E ,连结,ME BE ,…………1分因为M 为PD 的中点,所以1//2EM AD ,又1//2BC AD …………3分 所以//EM BC ,所以四边形BCME 为平行四边形,所以//CM BE ,………………………………………5分 又BE ⊂平面PAB ,CM ⊄平面PAB ,所以//CM 平面PAB .………………………………6分 （Ⅱ）在直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90BAD ∠=︒,1AB BC ==,2AD =,过C 作CH AD ⊥于H ,由平几知识易得AC=CD =所以222AC CD AD +=,所以AC CD ⊥……………………9分 又PA ⊥ 底面ABCD ,CD ⊂底面ABCD , 所以PA CD ⊥…………………11分又PA AC A = ,所以CD ⊥平面PAC .…………………13分17.(本小题满分13分)已知圆C 经过点(0,3)A 和(3,2)B ,且圆心C 在直线y x =上. (Ⅰ) 求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4,求实数m 的值.解:(Ⅰ)解法一:设圆心(,)C a a ,因为A CBC =,所以22(2)-解得1a =……………………………………………………………………………………………4分所以圆心(C ,半径r C ==……………………………………………………………………6分所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………………………………7分解法二:设圆C的方程为()()()2220x a y a r r -+-=>, ……………………………………………2分依题意得()()()222222332a a r a a r⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,……………………………………………………………………5分 解得21,5a r ==,所以圆C的方程为22(1)(1)5x y -+-= ………………………………………7分解法三:依题意易得线段AB的中垂线方程为32y x =-,……………………………………………2分联立方程组32y xy x =⎧⎨=-⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩,所以圆心(1,1)C ,……………5分 下同解法一.（Ⅱ）因为直线2y x m =+被圆C 所截得的弦长为4, 所以圆心(1C 到直线2y x m=+的距离1d == ……………………………10分1=，解得1m =-± ………………………………………13分18.(本小题满分14分)已知动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切.(Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹T 的方程；（Ⅱ） 若轨迹T 上有两个定点A 、B 分别在其对称轴的上、下两侧,并且||2FA =,||5FB =,在轨迹T 位于A 、B 两点间的曲线段上求一点P ,使P 到直线AB 的距离最大,并求距离的最大值.解:(Ⅰ) 因为动圆C 过定点()1,0F ,且与定直线1x =-相切,所以圆心C 到定点()1,0F 的距离与到定直线1x =-的距离相等, …………………………………2分由抛物线定义可知,C 的轨迹T 是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线,…………………4分 所以动圆圆心C的轨迹T的方程为24y x =.……………………………………………………………5分（Ⅱ）由已知得)0,1(F ,设A ),(11y x (其中10y >), 由2=FA 得1,2111==+x x ,所以()1,2A …………………………………………………………7分 同理可得()4,4B -,所以直线AB 的方程为042=-+y x . …………………………………………9分解法一:设抛物线曲线段AOB 上任一点),(00y x P ,其中2004y x =,24,4100≤≤-≤≤y x ,则点P到直线AB的距离d === ………………12分所以当10-=y 时,距离d 取得最大值1059,此时点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………14分 解法二:设与AB 平行的直线l的方程为()204x y m m ++=≠-,…………………………………10分当l 与抛物线相切时,切点到AB 的距离最大. 由方程组2204x y m y x++=⎧⎨=⎩消元得()224440x m x m +-+=(*)由()2244160m m ∆=--=得12m =………………………12分此时(*)式的解为14x =,切点1,14P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,距离最大值为1059.…14分第19题图D CAA 1B 1C 1D 1 第19题解法一图BD C AA 1B 1C 1D 1M119.(本小题满分14分)如图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥底面ABCD ,1AD =,2CD =,60DCB ∠=︒.(Ⅰ) 求证:平面11A BCD ⊥平面1BDD ；（Ⅱ）若二面角1D BCD --的大小为45︒,求直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值.解:(Ⅰ) 在ABD ∆中,由余弦定理得 BD ==所以222AD BD AB +=,所以90ADB ∠=︒,即AD BD ⊥ 又四边形ABCD 为平行四边形,所以BC BD ⊥……………2分 又1D D ⊥底面ABCD ,BC ⊂底面ABCD ,所以1D D BC ⊥…4分 又1D D BD D = ,所以BC ⊥平面1BDD ,…………5分 又BC ⊂平面11A BCD ,所以平面11A BCD ⊥平面1BDD .……6分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知BC ⊥平面1BDD ,所以1,D B BCDB BC ⊥⊥ 所以1D BD ∠为二面角1D BC D --的平面角,所以145D BD ∠=︒,所以1DD BD ==.…………8分 解法一:取1BD 的中点M ,连结,DM CM ,则1DM BD ⊥又平面11A BCD ⊥平面1BDD ,平面11A BCD 平面1BDD 1BD =,所以DM ⊥平面11A BCD所以DCM ∠为直线CD 与平面11A BCD 所成的角, …………………………10分在Rt CDM ∆中,1122DM BD ==,2CD =,所以sin 4DM DCM CD ∠==, 所以直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值为4.………14解法二: 以D 为原点,建立空间直角坐标系Dxyz -如图所示,则(1D ,()C -,()B,所以()DC =- ,()1,0,0BC =- ,(11,CD =…10 设平面11A BCD 的法向量为(),,nx y z =,则10n BC n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即00x x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,令1z =,得()0,1,1n =, (12)分 设直线CD 与平面11A BCD 所成的角为θ,则sin 4n DC n DCθ⋅===⋅ , 所以直线CD 与平面11A BCD 所成的角的正弦值为4.………………………14分说明:第（Ⅱ）问可不写出C 点的坐标,而直接通过DC AB = ,BC AD = ,11CD BA =得到所需向量.20.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,短轴的一个端点为()0,4B ,离心率35e =.(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若()0,0O 、()2,2P ,试探究在椭圆C 内部是否存在整点Q (平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ ∆的面积4OPQ S ∆=?若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)．解:(Ⅰ) 设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,依题意得34,5c b a ==,又222a b c =+,…………………………………………3分 所以5,4,3a b c ===, 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………………5分 （Ⅱ）依题意OP =直线OP 的方程为y x =,…………………………7分 因为4OPQ S ∆=,所以Q 到直线OP 的距离为 所以点Q 在与直线OP 平行且距离为l 上, 设:ly x m =+, =解得4m =±………………9分当4m =时,由22412516y x x y =+⎧⎪⎨+<⎪⎩,消元得2412000x x +<,即200041x -<<又x Z ∈,所以4,3,2,1x =----,相应的y 也是整数,此时满足条件的点Q 有4个.…………12分当4m =-时,由对称性,同理也得满足条件的点Q 有4个. 综上,存在满足条件的点Q,这样的点有8个. ……………………………………………………14分。