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1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

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人教B 版（2019）选择性必修第一册过关斩将第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量{,,}a b c 是空间向量的一组基底，向量{,,}a b a b c +-是空间向量的另外一组基底，若一向量p 在基底{,,}a b c 下的坐标为(1,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．13,,322⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭2．已知a =（2，﹣1，2），b =（x ，y ，6），a 与b 共线，则x ﹣y ＝（ ） A ．5B ．6C ．3D ．93．下列向量与向量()1,2,1=-a 共线的单位向量为（ ）A．11,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C．1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ D．1122⎛⎫⎪⎪⎝⎭4．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且13ACAB =，则点C 的坐标为( ) A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭5．向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A ．3-B ．1C ．3或1D ．3-或16．已知O 为坐标原点，(1,2,2),(2,1,4),(1,1,4)OA OB OC =-=-=，点P 是OC 上一点，则当PA PB ⋅取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,,222⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,,144⎛⎫⎪⎝⎭D ．()2,2,87．已知2(,2,0),(3,2,)a x b x x ==-，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A ．4x <-B ．40x -<<C ．04x <<D ．4x >8．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定9．三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，N 是BC 的中点，1A P λ=11A B ，113C C C M =，若PN BM ⊥，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．23D ．3410．在空间直角坐标系中，(3,3,0)A ，(0,0,1)B ，点(,1,)P a c 在直线AB 上，则 （ ） A ．11,3a c ==B ．21,3a c ==C ．12,3a c ==D ．22,3a c ==11．己知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ） A ．657B ．9C ．357D ．012．在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z ) ，(x ，y ，z ∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ） A ．2x +y +z =1B ．x +y +z =0C ．x -y +z =-4D ．x +y -z =013．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭14．已知向量()123a =，，，()246b =---，，，14c =，若()7a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ ）A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒15．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD .已知11,AB AA ==E 为线段AB 上一个动点，则1D E CE +的最小值为（ ）A ．BC 1D ．2+16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1,12BAC AB AC AA π∠====，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ）A ．5⎫⎪⎪⎣⎭B ．5⎣C ．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题17．已知{,,}i j k 为单位正交基底，且3,232a i j k b i j k =-++=--，则向量2a b -的坐标是_________.18．已知空间向量(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(,5,5,)c λ=，若,,a b c 共面，则实数λ=______．19．已知空间向量()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，（其中x 、y R ∈），如果存在实数λ，使得a b λ=成立，则x y +=_____________.20．已知()cos ,1,sin a θθ=，()sin ,1,cos b θθ=，则向量a b +与a b -的夹角是__________.21．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________．三、解答题22．已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值； （2）若ka b +与2ka b -互相垂直，求实数k 的值.23．如图,直三棱柱111ABC A B C -,底面ABC 中,1CA CB ==,90BCA ∠=︒,棱12AA =,M 、N 分别是11A B 、1A A 的中点.（1）求BM 的长; （2）求11cos ,BA CB 的值; （3）求证:11A B C N ⊥.四、多选题24．（多选）已知(1,2,3),(2,3,4),(1,2,3)M N P --，若3PQ MN =且//PQ MN ，则Q 点的坐标可以为（ ） A ．(2,5,0) B ．(4,1,6)---C ．(3,4,1)D ．(3,2,5)---参考答案1．B 【分析】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则由已知可得23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，从而可求出,,x y z 的值 【详解】设向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为(,,)x y z ，则23()()()()p a b c x a b y a b zc x y a x y b zc =++=++-+=++-+，所以1,2,3,x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得3,21,23,x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩故p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】此题考查空间向量基本定理的应用，属于基础题 2．D 【分析】利用两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得,x y 的值，进而求得x y -的值. 【详解】由于a 与b 共线，所以6212x y ==-，解得6,3x y ==-，所以9x y -=. 故选：D 【点睛】本小题主要考查两个空间向量共线的坐标表示，属于基础题. 3．C 【分析】根据一个向量共线的单位向量计算公式a a±，可得结果【详解】由||122a =++=， ∴与向量a 共线的单位向量为11,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭或1122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查向量的单位向量，属基础题题. 4．C 【分析】C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，可得13AC AB =，利用向量的坐标运算即可得出． 【详解】∵C 为线段AB 上一点，且3|AC |=||AB |，∴13AC AB =， ∴13OC OA AB =+=（4，1，3）+13（﹣2，﹣6，﹣2），=107133⎛⎫-⎪⎝⎭，，．故选C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题． 5．D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 6．A 【分析】根据三点共线，可得OP OC λ=，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得,PA PB ，最后计算PA PB ⋅，经过化简观察，可得结果. 【详解】设(,,4)OP OC λλλλ==，则(1,2,24)PA λλλ=---- (2,1,44)PB λλλ=----则2211812818103PA PB λλλ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭ ∴当13λ=时，PA PB ⋅取最小值为-10， 此时点P 的坐标为114,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题. 7．A 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，则0a b <，再根据坐标关系建立不等式即可求解. 【详解】∵()2(,2,0)3,2,x x x λ≠-，∴a 与b 不共线， ∵a 与b 的夹角为钝角，∴0a b <，即3 2(2)0x x +-<，解得4x <-， 故选A. 【点睛】本题考查向量的夹角.注意向量数量积的坐标关系与向量平行的坐标关系的区别. 8．B 【分析】根据题意，求得向量AD 和BC 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】由题意，点()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -， 可得()3,1,6AD =--，()2,0,1BC =， 又由()()2310610AD BC ⋅=⨯+-⨯+-⨯=， 所以AD BC ⊥，所以直线AD 与BC 垂直. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 9．C 【分析】建立空间直角坐标系，求出,,,P B M N 坐标，进而求出,PN BM 坐标，由=0PN BM ⋅，即可求解. 【详解】如图，以AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -，则(),0,1P λ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，20,1,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,122PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，21,13BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1120223PN BM λ=-+-=⋅，即23λ=. 故选:C.【点睛】本题考查空间向量坐标运算，求出各点坐标是解题的关键，属于基础题. 10．B 【解析】∵点P (a ,1,c )在直线AB 上， ∴存在实数λ使得AB BP λ=， ∴()()()0,0,13,3,0,1,1a c λ-=- ， 化为()3,3,1(,,)a c λλλλ--=- ，∴3{31ac λλλλ-=-==- ,解得3{123a c λ=-==.本题选择B 选项.11．A 【分析】由条件可得,,a b c 共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论. 【详解】,,a b c 三向量不能构成空间的一个基底，,,a b c 共面，()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，存在唯一的实数对(,)x y ，使得c xa yb =+，274532x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得337177657x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 故选:A. 【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题. 12．A 【解析】(0,1,1)AB =-，(2,2,2)AC =-，(1,1,2)AD x y z =--+，因为,,,A B C D 四点共面，所以,,AB AC AD 共面，即存在,λμ使得AD AB AC λμ=+，即12{1222x y z μλμλμ-=--=++=-+，消去,λμ得21x y z ++=，故选A ．13．C 【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 14．C 【解析】由题意可得14a =，56b =，且2b a =-，所以7a c -⋅=，cos ,a ca c a c ⋅==71142-=-，所以0,120a c =，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现2b a =-的平行关系，就可以简化运算，否则要设c 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 15．B 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，(,0,0)(01)E t t ，则1D E CE +=的最小值问题转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，由图可知当M ，P ，N 三点共线时，(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,0),(1,1,0)A D C . ∵E 为线段AB 上一个动点， ∴设(,0,0)(01)E t t ，则1D E ==，CE =故问题转化为求1D E CE +=+的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一个动点(,0)P t 到两定点(0,2),(1,1)M N -的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M ，P ，N 三点共线时，()1min min ||D E CE MN +====故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 16．A 【分析】由已知建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由GD EF ⊥可得21x y +=，从而可得1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，进而可求出结果 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则11,0,1,0,1,22G E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(0,,0),(,0,0)D y F x ，则11,,1,,1,22GD y EF x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵GD EF ⊥，∴0GD EF ⋅=，即11022x y --+=，即21x y +=， 又∵01x <<，∴0121y <-<， ∴102y <<.又1||02DF y ⎫===<<⎪⎭，∴当25y =时，min 5DF ==； 当0y =时，||1DF =；当12y =时，1||2DF =，故线段DF 的长度的取值范围为5⎫⎪⎪⎣⎭. 故选：A 【点睛】此题考查点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题 17．(5,7,7)- 【分析】由3,232a i j k b i j k =-++=--直接计算2a b -，化简后可得其坐标 【详解】解：由3,232a i j k b i j k =-++=--，得2(3)2(232)a b i j k i j k -=-++---(3)(464)(4)(6)(34)577i j k i j k i i j j k k i j k =-++---=--++++=-++，则2(5,7,7)a b -=-. 故答案为：(5,7,7)- 【点睛】此题考查空间向量的坐标运算，属于基础题 18．4 【分析】利用空间向量共面的条件，设出实数x ，y ，使c xa yb =+，列出方程组，求出λ的值即可． 【详解】 解：向量a 、b 、c 共面，∴存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即)(2,1,(,5,5)(1,4,23)y x λ=-+--，∴245325x y x y x y λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩；解得324x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩故答案为：4. 【点睛】本题考查了空间向量的共面问题，也考查了方程组的解法与应用问题，是基础题目． 19．2 【分析】利用向量的坐标运算得出关于x 、y 、λ的方程组，解出即可得出x y +的值. 【详解】()21,3,0a x x =+，()1,,3b y y =-，且a b λ=，所以()21303x x y y λλλ⎧+=⎪=⎨⎪=-⎩，解得131x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，因此，2x y +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 20．2π【分析】利用向量坐标运算表示出a b +与a b -，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=，即两向量垂直，得到夹角. 【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=()()a b a b ∴+⊥-，即a b +与a b -的夹角为2π故答案为2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题. 21．257【分析】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式列出方程组，求得,,x y z 的值，即可求解. 【详解】由题意，可得,,AB BC BP AB BP BC ⊥⊥⊥，利用向量的数量积的运算公式，可得()352015603130z x y x y z ⎧+-=⎪-++=⎨⎪-+-=⎩解得407x =，157y =-，4z =，∴401525777x y +=-=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中根据题设条件和线面位置关系，利用向量的数量积的运算公式，列出方程组求得,,x y z 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 22．（1）10-；（2）52k =-或2k =.【分析】（1）先写出a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案. 【详解】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==-， 设a 与b 的夹角为θ，∴cos 10|a ba b θ⋅===∣；（2）∵()1,,2ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+-且()()2ka b ka b +⊥-，∴2(1)(2)80k k k -++-=，即：52k =-或2k =. 【点睛】本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.23．（123）证明见解析 【分析】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -,依题意得()0,1,0B ,()1,0,1M ,根据空间两点间距离公式: d =即可求得BM 的长.（2）求出1BA 和1CB ,根据111111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅=⋅,即可求得11cos ,BA CB 的值.（3）求出1A B 和1C N ,11A B C N ⋅的值,根据向量垂直与数量积的关系a b ⊥时,=0a b ⋅,即可求证11A B C N ⊥. 【详解】（1）以C 为原点,建立空间直角坐标系C xyz -.如图:依题意得()0,1,0B ，()1,0,1M ，根据空间两点间距离公式: d =∴ (1BM ==（2）依题意得:()11,0,2A ,()0,1,0B ,()0,0,0C ,()10,1,2B . ∴()11,1,2BA =-,()10,1,2CB =,113BA CB ⋅=,16BA =15CB =，∴11111130cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅. （3）依题意得()10,0,2C ,11,,222N ⎛⎫⎪⎝⎭∴()11,1,2A B =--,111,,022C N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.∴11110022A B C N ⋅=-++=∴11A B C N ⊥【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量数量积的坐标运算,熟练掌握向量的基本知识是解本题关键,对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 24．AB 【分析】首先设(),,Q x y z ，根据题意得到3PQ MN =或3PQ MN =-，从而得到132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，再解方程组即可得到答案. 【详解】设(),,Q x y z ，∴(1,2,3)PQ x y z =+-+. 因为(1,2,3),(2,3,4)M N ，所以(1,1,1)MN =. 因为||3||PQ MN =且//PQ MN ， 所以3PQ MN =或3PQ MN =-，所以(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=或(1,2,3)3(1,1,1)x y z +-+=-，132333x y z +=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩或132333x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩ 解得250x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或416x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故Q 点的坐标为(2,5,0)或(4,1,6)---. 故选：AB 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于简单题.。

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1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一

1.1空间向量及运算新课讲义-2021-2022高一下学期数学人教B版(2019)选择性必修一

12(AB x =一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

11(x ,y ,z a =22(x ,y b =，则12112(x ,y )a b x z +=++，12112(x ,y )a b x z -=--，111(,,)a x y z R λλλλ=，12a b x x y ⋅=+12//x a b x ⇔=12a b x x ⊥⇔+211||x a y =+222|x b y =++夹角公式：21cos ||||x a ba b a b ⋅⋅==⋅+（3）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222121|()()()AB x y y z z =+-+-空间向量的共面定理（1）ABCD ,(OD xOA yOB zOC x y =+++（2）a b c ，，向量共面：a xb yc =+2典例解析考点一：概念的判断例1．若空间向量a 与b 不相等，则与a ，b 一定( )A ．有不同的方向B ．有不相等的模C ．不可能是平行向量D ．不可能都是零向量 变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ）①空间向量任意五边形ABCDE ，则0;AB BC CD DE EA ++++=②若//,a b a 则所在的直线与b 所在的直线平行；③空间任意两非零向量a ，b 共面；④空间向量a 平行于平面α，则a 所在的直线平行于平面α.A.1B.2C.3D.4变式2 给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量,a b 满足||||a b =，则a b =；④若空间向量 ,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1考点二：空间向量的线性运算例2．如图在长方体1111D C B A ABCD -中，O 为AC 中点。

2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版

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2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与 系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集

第五章 统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用 本书拓展阅读目录 对数发明起源的简介 素数个数与对数 指数运算与生活哲学 我国古代统计工作简介 用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率 向量的推广与应用
人教B版 （2019）必修三 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章 平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章 立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角 与斜率
11.1 空间几何体
新课标视角下新旧版高中数学教材对比分析——以空间向量与立体几何为例

新课标视角下新旧版高中数学教材对比分析——以空间向量与立体几何为例

新课标视角下新旧版高中数学教材对比分析——以空间向量与立体几何为例广州市南武中学510220摘要：人民教育出版社根据普通高中数学课程标准（2017年版）出版了2020年版普通高中教科书.对空间向量与立体几何进行了相应调整，本文通过对知识内容、课时安排、知识结构、以及例题与习题的变化四方面进行对比分析.关键词：空间向量与立体几何教材比较研究吴文俊先生曾指出“与以欧几里得为代表的希腊传统相异，我国的传统数学在研究空间几何形式时着重于可以通过数量来表达的那种属性，几何问题往往归结为代数问题来处理解决”，同时吴文俊先生也认为用代数方法研究几何问题，将是未来的发展方向.[1]而用代数方法研究立体几何的重要方法则是空间向量.同时，随着持续进行的基础教育改革，各出版社依据2017版普通高中数学课程标准，相继出版了不同版本的数学教材.不同版本的数学教材在空间向量与立体几何的编写上就会呈现出不同的特色和教学要求.本文选取2020年人教版（A版）选择性必修第一册（下称新教材）第一章和2007年人教版（A版）普通高中课程标准实验教科书选修2-1（下称旧教材）第三章作为研究对象.主要从知识内容、课时安排、知识结构以及例题与习题的变化四方面展开.通过回顾和梳理新旧人教版高中数学空间向量与立体几何的差异，归纳其变化的特点和经验，期望在新课标实施的过程中能够起到一定的推广作用.1 新旧教材具体内容对比分析课程标准是教材编写的重要依据，教材的编写在遵循课程标准要求的基础上，可以进行有逻辑性、创造性的内容选择与结构安排.《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出空间向量的内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定理及坐标表示、空间向量的应用.1.1新旧教材知识内容编排对比（1）新教材凸显知识的连续性.新教材将空间直角坐标系这一内容放置在空间向量及其运算的坐标表示中，旧教材将空间向量安排在必修二的圆与方程中.空间直角坐标系在高中的应用，主要是利用空间向量解决立体几何问题，将空间直角坐标系放置在空间向量与立体几何中更符合学生学习知识的连续性特点.（2）新教材凸显知识的完备性.①新教材根据课程标准的要求“能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用[2]”.新教材在旧教材内容安排的基础之上，增加了向量法求点到直线的距离公式.点是直线外一点，点是直线上的定点，直线的单位方向向量是，，则点到直线的距离.②在分配率的基础上增加.③新增零向量与任意向量平行.④模糊四点共面的充要条件.新教材对于四点共面以的形式呈现.旧教材则是以且呈现，并且是通过类比平面向量的三点共线在思考中得到.（3）新教材凸显知识的自然生成,使知识更易接受.如图，新教材从直线上找到非零向量，然后将与向量平行的非零向量都称为直线的方向向量.相比于旧教材的处理而言，更容易让学生理解和接受.同时，从直线的方向向量出发，获得空间直线的向量表示更加自然、顺畅.（）（4）新教材凸显知识的延续性.在通过类比平面向量的投影和投影向量，新教材给出任意向量到平面内的投影、到直线的投影以及到向量的投影.投影的学习，能够帮助学生体会投影是构建高维空间与低维空间之间联系的桥梁，从而帮助学生形成直观想象.并且空间向量的投影是平面向量投影的延续，也体现了从特殊到一般，从低维到高维的学习规律.（5）新教材凸显知识的来源和本质.李邦和院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也！”以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必需纠正[3].从中不难看出概念教学、概念的重要性,而原理又是由概念构成的.新教材在空间向量的应用章节中，明确的指出了空间中点、直线和平面的向量表示.在向量表示空间中点、线、面的位置关系后，详细介绍了如何用向量表示空间中的平行和垂直关系,并且在让学生理解的基础上得到了用空间向量研究距离、夹角问题的具体公式，而这在旧教材中是没有的.（6）新教材更加注重空间向量知识的整体性.新教材在介绍空间向量以后，突出了向量的作用.即以例题的形式运用向量的基底来解决空间中的垂直、平行和夹角问题.而旧教材更加突出空间向量的应用，更像是用坐标法解决立几问题.综上，新教材更加注重知识结构的体系化，注重知识之间的相互联系，尤其是强调数学的基础性，这也符合新课程的“高中数学课程具有基础性”的基本理念.2 新旧教材知识内容课时对比新教材在处理空间向量和立体几何上共安排了14个课时.其中，空间向量及其运算2课时，空间向量基本定理2课时，空间向量及其坐标运算的坐标表示2课时，空间向量的应用6课时，小结2课时.旧教材在空间向量和立体几何共安排了14个课时.其中，空间直角坐标系2课时，空间向量及其运算5课时，立体几何中的向量方法5课时，小结2课时.从课时对比发现，新旧教材在处理空间向量和立体几何的总课时均为14课时.而新教材课时的安排更加突出新教材编写的“先分散，后集中”的原则，即在平时的教学中分散学习空间向量基本知识，再利用空间向量集中处理立几问题.3 新旧教材知识结构对比3.1章节内容对比新教材在空间向量和立体几何的设置包含了四节内容：1.1空间向量及其运算；1.2空间向量基本定理；1.3空间向量及其运算的坐标表示；1.4空间向量的应用.旧教材则是安排了两节内容：3.1空间向量及其运算；3.2立体几何中的向量方法.从内容设置来看，新教材的章节设置更合理：（1）与平面向量的章节设置相对应，方便一线教师更好的展开类比教学；（2）章节安排的详细化，使得章节内容重点突出，从而方便学生自主学习.新课标“提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展”[4]在平常的教学中我们经常要求学生预习，提倡学生自主学习，事实上这个要求只是少部分学生能够完成.新教材在章节设置上的系统化和详细化处理，一定程度上降低了教材的整体难度，能够帮助学生实现自主学习.3.2知识结构对比新教材中的空间向量与立体几何这一内容安排，使得知识结构起到了承上启下的作用.（1）在学习完必修第二册后，立即学习空间向量与立体几何，起到了承上的作用.有立体几何知识的铺垫，学生能够快速的接受直线的方向向量以及平面的法向量等概念.同时，不同于综合法找线线、线面的位置关系，向量法只要合理建系，求出相应坐标就能比较完美的解决立几中的问题，从而会极大地提升学生学习空间向量的兴趣.（2）空间向量与立体几何起到了启下的作用.有空间向量与立体几何的知识储备，那么在学习解析几何的时候，无论是公式推导还是应用都可以借助空间向量完成，从而较大幅度的降低解析几何的难度，帮助学生更好的学习解析几何的相关问题.4 新旧教材例题、习题对比4.1新教材例题示范性更严谨.新旧教材均保留了证明四点共面的例题.新教材证明到后得到共面，再交代三个向量共点后，从而得到四点共面.而旧教材直接由得到四点共面.4.2新教材例题更注重知识的完备性.新教材在学习完空间向量的基底后，安排了利用基底证明空间位置关系以及求角的问题.而旧教材没有安排利用基底解决问题的例题，只是在课后习题中体现.故新教材的处理更能全面的体现空间向量的作用.4.3新教材注重在已学知识的基础上渗透高等数学内容.新教材在处理完立几的问题后，安排了空间直线的对称式方程和平面的点法式方程的证明.对于学有余力的学生而言，适当接触高等数学的知识，更有利于学习数学知识.5 结语通过对新旧教材空间向量与立体几何的知识内容、课时安排、知识结构以及例题与习题的变化的对比分析，新教材的知识体系更加完善、知识结构更加合理、例题习题更加有针对性；新教材更加关注在学生已有认知结构的基础上，培养学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算的核心素养.在旧版教材的基础上有了很大的进步，落实了“学生发展为本，立德树人、提升素养的”新课标理念[1].[1]吴文俊，关于研究数学在中国的历史与现状，东方数学典籍《九章算术》[j].自然辩证法通讯，1990.4[2]普通高中数学课程标准（2017年版）中华人民共和国教育部制定，北京：人民教育出版社，2018.1[3]章建跃，数学教育随想录，上卷，杭州：浙江教育出版社，2017.6（2019.3重印）371[4]中华人民共和国教育部，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，北京：人民教育出版社，2020.53[5]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中教科书数学，选择性必修第一册，北京：人民教育出版社，2020[6]人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1，北京：人民教育出版社，2007。

空间向量的坐标和运算

空间向量的坐标和运算

空间向量的坐标和运算一、空间向量的坐标和运算1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc$-$d$′$a$′$b$′$c$′中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od$′的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。

这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。

2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如果$a（x_1，y_1，z_1）$，$B（x_2，y_2，z_2）$，那么$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{ob}-\overrightarrow{OA}$=$（x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1）$。

3、空间向量的坐标运算设置$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后（1）$\boldsymbola+\boldsymbolb$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2） $\boldsymbola-\boldsymbolb$=$（x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2）$（3）$\boldsymbola·\boldsymbolb$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4） $|\boldsymbola |=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$（5）$λ\boldsymbola=（λx_1,λy_1,λz_1）$。

4.平行（共线）和垂直空间向量的充要条件设非零向量$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ（λ∈\mathbf{r}）$$\boldsymbola⊥\boldsymbolb\leftrightarrow\boldsymbola·\boldsymbolb=0\leftrig htarrow$$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。