初一数学绝对值综合专题--优选讲义.docx

第三讲 绝对值【思想方法.知识要点回顾与拓展】1.绝对值的定义正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．,(0)0,(0),(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩或,(0),(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩或,(0),(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 2.绝对值的几何意义a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．3.去绝对值符号的方法：零点分段法（1）化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号．先根据所给的条件，确定绝对值符号内的数a 的正负（即0a >，0a <还是0a =）．如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论． （2）分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数（或式子）等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点（零点）将数轴分成了若干段；最后依次在每一段上化简原式．这种方法被称为零点分段法．【例题之 能力提升】例1. a ，b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=-（4）若||a b =则a b = （5）若||||a b <，则a b < （6）若a b >，则||||a b >变式练习：x 是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-例2. 若m 是方程|2000|2000||x x -=+的解，则|2001|m -等于（ ）A. m −2001B. −m −2001C. m +2001D. –m +200例3. 已知关于x 的方程||(1)a x a x =+-的解是1，则有理数a 的取值范围是______________.例 4. 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则321ax bx cx +++的值是多少？例5.如果在数轴上表示a ，b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）A.2aB.2a -C.0D.2b变式练习：已知有理数a ，b 的和a+b 及差a −b 在数轴上如图所示：化简：227a b a b +---。

绝对值专题绝对值性质，绝对值化简、绝对值方程一站到底1、绝对值等于本身的数是正数答案：绝对值等于本身的数是非负数2、绝对值等于本身的数是负数答案：绝对值等于本身的数是非负数（或绝对值等于其相反数的数是非正数）3、若a＞0，则|a|＝a4、若a＜0，则|a|＝－a5、若|a|＝a，则a＞0答案：若|a|＝a，则a≥06、若|a|＝－a，则a≤0答案：若|a|＝－a，则a≤07、绝对值好难啊，难到怀疑人生模块一绝对值的非负性绝对值的非负性定义：|a|表示数轴上表示a的点到原点的距离．|a|≥0（非负性）|a|＋|b|＝0（24（1）3′）解：∵|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＋|b|≥0．又∵|a|＋|b|＝0，∴|a|＝0，|b|＝0．∴a＝0，b＝0．例1（1）若|x|＋|y－3|＝0，则x＋y＝________；答案：3（2）若2|x＋5|＋3y2＝0，则xy＝________；答案：0（3）若12(x－1)2与35|y－2|互为相反数，则x－y＝________；答案：－1（4）若4|x＋3|＝－5|y－1.5|，则xy＝________；答案：－2（5）若12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，则b－2a＋3c的相反数是________．答案：0解：∵12|a－1|＋3|b＋4|＝－2(c－2)2，∴12|a－1|＋3|b＋4|＋2(c－2)2＝0．又∵12|a－1|≥0，3|b＋4|≥0，2(c－2)2≥0，∴12|a－1|＝0，3|b＋4|＝0，2(c－2)2＝0．∴a＝1，b＝－4，c＝2．∴b－2a＋3c＝0．∴b－2a＋3c的相反数是0．例2（1）若|x|＋|y－2|＝x，则y＝________．答案：2（2）若|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，求x－z的值．答案：解：∵|x－1|≥0，|y＋2|≥0，|z－3|≥0，∴|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|≥0．∵|x－1|＋|y＋2|＋|z－3|＝y＋2，∴y＋2≥0．∴|y＋2|＝y＋2．∴|x－1|＋|z－3|＝0．∴x＝1，z＝3．∴x－z＝－2．练2若2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，求aca c-的值．答案：解：∵2|a＋1|≥0，|b|≥0，3(c－2)2≥0，∴2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2≥0．∵2|a＋1|＋|b|＋3(c－2)2＝b，∴b≥0．∴|b|＝b．∴2|a＋1|＋3(c－2)2＝0．∴a＝－1，c＝2．∴aca c-＝1212-⨯--＝23．模块二已知范围的化简已知范围的绝对值的化简（不重不漏）①|a|＝00a aaa a⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜②|a|＝a aa a⎧⎨-⎩≥＜③|a|＝a aa a⎧⎨-⎩＞≤⎧⎨⎩①给范围②给数轴答题器：请问|a|＝________A．a B．－a C．以上都错答案：C例3（1）若a≥1，则|a－1|＝________；若x＞－1，则|x＋1|＝________；若a≤2，则|a－4|＝________；若x＜3，则|3－x|＝________；若x≥－12，则|2x＋1|＝________．答案：a－1，x＋1，－a＋4，3－x，2x＋1k（2）|12018－12017|＋|12017－12016|＋|12016－12015|－|12015－12018|＝________．答案：0练3（1）若a≤－5，则|a＋1|＝________；若x＞－1.5，则|x＋4|＝________；若a≥12，则|13－2a|＝________；若x＜－2，则|1－2x|＝________．答案：－a－1，x＋4，2a－13，1－2x（2）已知1＜a＜3，化简|a－1|－|3－a|．答案：解：∵1＜a＜3，∴a－1＞0，3－a＞0．∴|a－1|＝a－1，|3－a|＝3－a．∴原式＝a－1－(3－a)＝2a－4．拓展3（1）若a＋b＜0，则|2a＋2b－1|－2|3－a－b|＝________．答案：－5（2）若|a|＝－a，b与a互为相反数，那么|b－a＋1|－|a－b－5|＝________．答案：－4课间小游戏猜谜语谜题：再见吧，妈妈（数学名词）分母谜题：1000×10＝10000（成语）成千上万谜题：考试不作弊（数学名词）真分数谜题：朱元璋登基（数学名词）消元谜题：员（数学名词）圆心谜题：风筝跑了（数学名词）线段例4（1）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：|b ＋c |＝________；|a ＋c |＝________；|b －c |＝________；|a －b |＝________． 答案：b ＋c ，－a －c ，－b ＋c ，－a ＋b（2）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a |＋|b |＋4|a ＋b |－3|b －c |．答案：解：由题意，得a ＜0，b ＞0，a ＋b ＞0，b －c ＜0，∴|a |＝－a ，|b |＝b ，|a ＋b |＝a ＋b ，|b －c |＝－b ＋c ．∴原式＝－2a ＋b ＋4(a ＋b )－3(－b ＋c )＝－2a ＋b ＋4a ＋4b ＋3b －3c ＝2a ＋8b －3c ． 练4 （1）（2017－2018外校七上期中）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则|a －c |－|a －b |－|b －c |＝________．答案：2a －2b（2）a 、b 、c 在数轴上的位置如图，若x ＝|a ＋b |－|b －1|－|a －c |－|1－c |，则1008x ＝________．答案：－2 例5 （1）（2017－2018武昌区七上期中）如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＋b ＞0B ．ab ＞0C ．1a ＋1b＞0 D ．1a －1b＜0 答案：C （2）（2017－2018二中七上期中）如图，a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．(c －a )b ＜0C ．c (a －b )＜0D ．(b ＋c )a ＞0答案：BC 练5（2017－2018江汉区七上期中）数m 、n 在数轴上的大致位置如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．m －n ＞0B ．m ＋n ＞0C ．mn ＞0D ．|m |－|n |＞0 答案：A 拓展5已知x ＜0＜z ，xy ＞0，|y |＞|z |＞|x |，那么|x ＋z |＋|y ＋z |－|x －y |的值是（ ）ba01-1BAA．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号答案：C模块三绝对值方程绝对值方程（整体）|x|＝1 |x|＝0 |x|＝－1解：x＝1或x＝－1 解：x＝0 解：方程无解|x＋1|＝1 |x＋1|＝0 |x＋1|＝－1解：x＋1＝1或x＋1＝－1 解：x＋1＝0 解：方程无解x＝0或x＝－2 x＝－1|3x－2|＝1 |3x－2|＝0 |3x－2|＝－1例6解下列绝对值方程：若|x|＝2，则x＝________；若|x|＝－2，则________；若|x＋1|＝0，则x＝________；若|2x－1|＝0，则x＝________；若|x＋1|＝2，则x＝________；若|2x－1|＝2，则x＝________．答案：±2，方程无解，－1，12，1或－3，32或－12练6解下列绝对值方程：|2x－3|＝5 |13x＋2|＝1 |5x－3|＝8答案：x＝4或－1，x＝－3或－9，x＝115或－1拓展6解下列关于x的绝对值方程：1 2|x＋1|＋2＝7－13|x＋1|答案：解：12|x＋1|＋13|x＋1|＝5 56|x＋1|＝5|x＋1|＝6x＋1＝6或－6x＝5或－711x--＝1 11x--＝0 11x--＝－1 解：|x－1|－1＝1或|x－1|－1＝－1 解：|x－1|－1＝0 解：方程无解|x－1|＝2或|x－1|＝0 |x－1|＝1x－1＝2或x－1＝－2或x－1＝0 x－1＝1或x－1＝－1x＝3或x＝－1或x＝1 x＝2或x＝0例7解下列绝对值方程：①12x+-＝0；②12x+-＝1；解：|x＋1|－2＝0 解：|x＋1|－2＝1或|x＋1|－2＝－1 |x＋1|＝2 |x＋1|＝3或|x＋1|＝1x＋1＝2或x＋1＝－2 x＋1＝3或x＋1＝－3或x＋1＝1或x＋1＝－1 x＝1或－3 x＝2或－4或0或－2③12x+-＝2；④12x+-＝3．解：|x＋1|－2＝2或|x＋1|－2＝－2 解：|x＋1|－2＝3或|x＋1|－2＝－3 |x＋1|＝4或|x＋1|＝0 |x＋1|＝5或|x＋1|＝－1x＋1＝4或x＋1＝－4或x＋1＝0 x＋1＝5或x＋1＝－5或方程无解x＝3或－5或－1 x＝4或－6练7解方程：321x--＝2答案：解：3－|2x－1|＝2或3－|2x－1|＝－2|2x－1|＝1或|2x－1|＝52x－1＝1或2x－1＝－1或2x－1＝5或2x－1＝－5x＝1或0或3或－2拓展7已知关于x的方程12x+-＝a有三个解，则a＝________．解：①a＝0时，|x＋1|＝2（舍）②a＞0时，|x＋1|－2＝a或|x＋1|－2＝－a|x＋1|＝a＋2或|x＋1|＝2－a∵a＞0，∴a＋2＞0．∴|x＋1|＝2－a有一个解．∴2－a＝0．∴a＝2．例8已知整数x、y满足|x|＋|y|＝1，求x、y的值．答案：解：∵|x|，|y|为非负整数，∴1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩或1xy⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴1xy=⎧⎨=⎩或1xy=-⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=⎩或1xy=⎧⎨=-⎩．练8已知整数a、b满足|a＋1|＋|b－2|＝2，求a、b的值．答案：解：∵|a＋1|，|b－2|为非负整数，∴1022ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1121ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或1220ab⎧+=⎪⎨-=⎪⎩．∴14ab=-⎧⎨=⎩或1ab=-⎧⎨=⎩或3ab=⎧⎨=⎩或1ab=⎧⎨=⎩或23ab=-⎧⎨=⎩或21ab=-⎧⎨=⎩或2ab=⎧⎨=⎩或42ab=-⎧⎨=⎩．。

绝对值综合专题讲义绝对值的定义：绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示（2） |a|=（3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4） 若|a|=|b|，则（5） |a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|||a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|【例1】（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？（5） 若3|x-2|+|y+3|=0，则x y 的值是多少？（6） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值？其值是多少？小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+|x-b|=0，则 ；【例2】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y的值是多少？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【巩固】1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例3】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|（4） 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）C B 0 A2、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|3、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0>b a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a --（7）若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义： ；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？2、设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1< a2< a3< a4< a5,求|x- a1|+|x- a2|+|x- a3|+|x-a 4|+|x- a5|的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿【例3】对于|m-1|，下列结论正确的是（）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1D. |m-1|≤|m|-1A B C D E【例4】设a ，b ，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++c c b b a a ，求abc abc ||的值【例7】若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|1、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？2、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a c ab 的值.3、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值4、若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值5、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=86、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0，化简|a-|-a||7、已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值8、化简|x-1|-|x-3|9、6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求yx y x -+2的值11、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学的广袤世界里，绝对值是一个非常基础且重要的概念。

简单来说，绝对值就是一个数在数轴上距离原点的距离。

无论这个数是正数还是负数，它的绝对值总是非负的。

例如，5 的绝对值是 5，－5 的绝对值也是 5。

这是因为 5 和－5 在数轴上到原点的距离都是 5 个单位长度。

用数学符号来表示，一个数 a 的绝对值记作｜a| 。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的首要性质就是非负性，即对于任意实数 a ，都有｜a| ≥ 0 。

这是因为距离不能是负数。

2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。

比如 3 和－3 ，它们的绝对值都是 3 。

3、若｜a| ＝ b （b ≥ 0 ），则 a ＝ ±b这意味着当我们知道一个数的绝对值，就可以推断出这个数可能的值。

例如，若｜x| ＝ 4 ，那么 x 可能是 4 或者－4 。

三、绝对值的计算1、正数的绝对值是其本身对于正数 a ，｜a| ＝ a 。

比如｜7| ＝ 7 。

2、 0 的绝对值是 0这是一个特殊情况，｜0| ＝ 0 。

3、负数的绝对值是它的相反数对于负数 a ，｜a| ＝ a 。

例如，｜－9| ＝（－9) ＝ 9 。

四、绝对值的几何意义从几何角度看，绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。

例如，｜a b| 表示数轴上 a 点和 b 点之间的距离。

如果我们要计算｜x 3| ，就可以理解为 x 这个点到 3 这个点的距离。

五、绝对值不等式1、当｜a| ＜ b （b ＞ 0 ）时， b ＜ a ＜ b比如，｜x| ＜ 5 ，那么－5 ＜ x ＜ 5 。

2、当｜a| ＞ b （b ＞ 0 ）时， a ＜ b 或 a ＞ b例如，｜x| ＞ 2 ，则 x ＜－2 或 x ＞ 2 。

六、绝对值在方程中的应用在方程中，绝对值的出现常常会使问题变得复杂，但只要掌握了正确的方法，也能迎刃而解。

例如，方程｜x 1| ＝ 2 ，根据绝对值的性质， x 1 ＝ 2 或 x 1 ＝－2 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。

绝对值综合专题讲义绝对值的定义及性质绝对值的定义: ________________________________________________绝对值的性质：(1)绝对值的非负性，可以用下式表示f(2)|a|=《___________________________L ~(3)若|a|=a，则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，(4)若|a|=|b|,则(5)|a+b| |a|+|b| |a-b|||a|-|b|||a|+|b|a+b| |a|+|b||a-b|【例1】(1)绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？(2)若ab<|ab|,则下列结论正确的是( )A.a v 0, bv 0B.a> 0, b v 0C.a v 0, b> 0D.ab v 0(3)下列各组判断中，正确的是( )A.若|a|=b,则一定有a=bB.若|a|>|b|,则一定有a>bC.若|a|>b,则一定有|a|>|b|D.若|a|=b,则一定有a2 =(-b) 2(4)设a, b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？(5)若3|x-2|+|y+3|=0，则翌的值是多少？x(6)若|x+3|+(y-1) 2=0,求(― )n的值y x【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？2、有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( )A.a> bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x，贝U x的取值范围是4、若a> b,且|a|<|b|,则下面判断正确的是( )A.av 0B.a> 0C.bv 0D.b >05、设a,b是有理数，则8 |a b |是有最大值还是最小值？其值是多少?小知识点汇总：若(x-a)2 +(x-b) 2 =0,贝U; 若|x-a|+(x-b) 2=0,贝(]若|x-a|+|x-b|=0，贝U;【例2】(1)已知x是有理数，且|x|=|-4|,那么x=(2)已知x是有理数，且-|x|=-|2|,那么x=(3)已知x是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=(4)如果x, y表示有理数，且x, y满足条件|x|=5, |y|=2, |x-y|=y-x，那么x+y的值是多少？、一3 一—一—- (5)解方程-|x 5| 5 02(6)解方程|4x+8|=12(7) 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4,求 【巩固】1、巩固|x|=4 , |y|=6,求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-1.化简绝对式 ]【例3】(1) 已知 a=-1 , b=-1 ,求 | 2a 4b 2| —4一 -------------------- 2----------- 的值 2 3 (a 2b) |a 2b | 14b 3 12a 3||(2)若 |a|=b ，求 |a+b| 的值 (3) 化简：|a-b|(4) 有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简 |b+a|+|a+c|+|c-b|_j ___________ LJ ______ l *C B 0 A【巩固】1、化简：(1) |3.14-兀 | (2) |8-x| (x>8)a ab b 皿,士----- 的值ab 13、已知|x-1|=2 , |y|=3,且x 与y 互为相反数，求 xy 4y 的值2、已知a, b, c在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a 0 cb >3、数a, b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||a 0 ba【例4】(1)右a<-b 且一0 ,化间|a|-|b|+|a+b|+|ab|b(2)若-2w a< 0,化简|a+2|+|a-2|(3)已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y| 的值(4)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||(5)化简|x+5|+|2x-3|2a |3a| (6)若a<0,试化简||3a| a|.. a b c ,(7)右abc 乒0,贝U —— —— ——的所有可能值|a| |b| |c| 【巩固】1、如果 0<m<10 并且 mV x< 10,化简 |x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、 有理数a, b, c, d,满足些！ 1,求回凹凹回的值abcd a b c d3、 化简:|2x-1|4、 求 |m|+|m-1+|m-2| 的值【例 5】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7| 的最小值|a 的几何意义: __________________________ ; |a-b|的几何意义： ____________________【巩固】1、如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？I II IIA B C D E2、设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1< a 2 < a 3 < a4 < a 5,求|x- a1 |+|x- a 2 |+|x- a 3 |+|x- a4 |+|x- a51的最小值3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值题后小结论：求|x-a1 |+|x-a2]+••• + |x-a n |的最小值:附加例题【例1】若|a|=1, |b|=2, |c|=3,且a>b>c，那么a+b-c=【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=【例3】对于|m-1|,下列结论正确的是( )A.|m-1| > |m|B.|m-1|< |m|C. |m-1| > |m|-1D. |m-1| < |m|-1【例 4】 设 a, b, c 为实数，且 |a|+a=O, |ab|=ab, |c|-c=0,化简 |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例 5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】 已知有理数a, b, c 满足 也J 凹 1£1 1,求但竺|的值a b c abc【例7】 若a, b, c, d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d| 家庭作业b 、c 是有理数，并且有|2+ b|+(3 a+2c) 2=0.-的值.43、|m+3 |+|n-2 |+|2p-1|=0,求 p+2m+3n 的值4、若 a, b, c 为整数，且 | a-b | 19+ I c-a | 99=1，试计算 | c-a | + | a-b | + | b-c | 的值5、 ( 1)已知|x|=2, |y|=3且x-y>0,则x+y 的值为多少?(2)解方程：|4x-5|=81、当b 为何值时，5-2b1有最大值，最大值是多少?2、已知a 是最小的正整数,(1)有理数a, b, c 在数轴上对应点如图所示，化简 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|(2)若 av b,求 |b-a+1|-|a-b-51的值(3)右 av 0 , 化简 |a-|-a||8、化简 |x-1|-|x-3|9、6、设av bv c,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值10、若x y 3与x y 1999互为相反数，求-— 的值11、若2x+ | 4-5x | + | 1-3x | +4的值恒为常数，求 x 该满足的条件及此常数的值。

初一数学绝对值综合专题讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN绝对值综合专题讲义绝对值的定义：绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示（2） |a|=（3） 若|a|=a ，则 ；若|a|=-a ，则 ；任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，（4） 若|a|=|b|，则（5） |a+b| |a|+|b| |a-b| ||a|-|b|||a|+|b| |a+b| |a|+|b| |a-b|【例1】（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）A.a ＜0，b ＜0B.a ＞0，b ＜0C.a ＜0，b ＞0D.ab ＜0（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞bC. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值其值是多少（5）（6） 若3|x-2|+|y+3|=0，则xy 的值是多少？（7）（8） 若|x+3|+(y-1)2=0，求n xy )4(--的值【巩固】1、绝对值小于3.1的整数有哪些它们的和为多少2、有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）A.a ＞bB.a=bC.a<bD.无法确定3、若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________4、若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）A.a ＜0B.a ＞0C.b ＜0D.b ＞05、设b a ,是有理数，则||8b a ---是有最大值还是最小值其值是多少小知识点汇总：若(x-a)2+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+(x-b)2=0,则 ；若|x-a|+|x-b|=0，则 ；【例2】（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？（5） 解方程05|5|23=-+x（6） 解方程|4x+8|=12（7） 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求12+++-ab a b ab a 的值【巩固】1、巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值2、解方程 |3x+2|=-13、已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求y xy x 4312--的值【例3】（1） 已知a=-21，b=-31，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值（2） 若|a|=b ，求|a+b|的值（3） 化简：|a-b|（4）|b+a|+|a+c|+|c-b|【巩固】1、化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）2、已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|3、数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||【例4】（1）若a<-b 且0 ba ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|（2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（4）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||（5）化简|x+5|+|2x-3|（6）若a<0，试化简||3|||3|2a a a a -- （7）若abc ≠0，则||||||c c b b a a ++的所有可能值【巩固】 1、如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|2、有理数a ，b ，c ，d ，满足1||-=abcd abcd ，求dd c c b b a a ||||||||+++的值3、化简：|2x-1|4、求|m|+|m-1+|m-2|的值|a|的几何意义：；|a-b|的几何意义：【例5】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值【巩固】1、如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？2、设a1、a2、a3、a4、a5为五个有理数，满足a1< a2< a3< a4< a5,求|x-a 1|+|x- a2|+|x- a3|+|x- a4|+|x- a5|的最小值A B C D E3、设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x的取值题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：【例1】若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿【例2】已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿【例3】对于|m-1|，下列结论正确的是（）A.|m-1|≥|m|B.|m-1|≤|m|C. |m-1|≥|m|-1D. |m-1|≤|m|-1【例4】设a，b，c为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|【例5】化简：||x-1|-2|+|x+1|【例6】 已知有理数a ，b ，c 满足1||||||=++cc b b a a ，求abc abc ||的值【例7】 若a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|1、当b 为何值时，5-12-b 有最大值，最大值是多少？2、3、已知a 是最小的正整数，b 、c 是有理数，并且有|2+b |+(3a +2c )2=0.求式子4422++-+c a c ab 的值.4、|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值5、若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值6、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？（2）解方程：|4x-5|=87、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值（3）若a ＜0，化简|a-|-a||8、已知a 是非零有理数，求||||||3322a a a a a a ++的值9、化简|x-1|-|x-3|10、6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值11、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，求y x y x -+2的值12、若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值。

第1讲 绝对值一、知识要点绝对值是是初中代数中的一个基本概念，是学习有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解决代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手：1．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质①非负性：|a |≥0；②|a |＝|－a |；③|ab |＝|a |·|b |；④|ba |＝b a （b ≠0）；⑤|a |2＝|a 2|＝a 2． 3．绝对值的几何意义 （从数轴上看）|a |指的是数轴上表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；|a －b |指的是表示数a 、数b 的两点间的距离．二、基础能力测试1．小明家去年收入为20 000元记作＋20 000元，那么支出15 000元记作__________；如果向西100米记作－100米，那么400米表示__________，0米表示_________．2．_____和____统称有理数；正整数、零、_________统称整数，_________和________统称分数．3．把－722，π，∙3.0，－21，＋5，－6.3，0，－254，6.9，－7，210，0.031，－10%，填在相应的括号内． 正有理数集合：{ …}；整数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；4．规定了_______、________和________的直线叫做数轴．5．把－2，321，0，－421，1，－31，用“＜”号连接起来：__________________． 6．有理数中，最大的负整数是________，最小的正整数是__________．7．－5.4的相反数是_________，________和3.5互为相反数；－(－2)＝_______，－[＋(－31)]＝_______． 8．（1）若2x ＋1是－9的相反数，在x ＝_______．（2）已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a ，b （a ＜b ），并且A 、B 两点间的距离是4.8，则a ＝_______，b ＝________．9．一般地，在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的________，记作|a |．若a 是正数，则|a |＝______，若a 是负数，则|a |＝_______，|0|＝________，若|x |＝6，则x ＝______．10．若|a |＝a ，则a ______0；若|a |＝－a ，则a _______0．11．绝对值不大于3的整数有______________________．三、例题解析【例1】填空：（1）已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为负倒数，x 的绝对值是2，则x 2－(a ＋b ＋cd )x ＋(a ＋b )99＋(－cd )100＝____________．（2）若a ＞0，b ＜0，且a ＜|b |，用“＜”号连接比较a ，b ，－a ，－b _____________．（3）已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，则a ＋b ＝__________．【例2】（1）计算：|20161－20151|＋|20171－20161|－|20171－20151|＝_________． （2）已知a －|a |＝0，b ＋|b |＝0，且|a |＜|b |，则|a ＋b |＋|－a ＋b |－|a －b |－|b －|b |＝_________．（3）若a 、b 、c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求a a ＋b b ＋cb a ＝___________．〖练〗如图，有理数a ＜b ＜0＜c ，化简|c －b |＋|a －c |＋|b ＋c |＝_________．【例3】将1，2，3，…，100这100个自然数任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，50组都代进后可求得50个值，求这50个值的和的最大值．【例4】（1）化简：|x ＋5|＋|2x －3|．（2）化简：|3＋|x －1||．（3）a ，b 为有理数，且|a |＞0，方程||x －a |－b |＝3有三个不相等的解，求b ．〖练〗（1）①已知a＝1，|b|＝2，若a＞b，求b的值；②已知a＝2，|b|＝1，若a＞b，求b的值；（2）①已知|a|＝1，|b|＝2，若a＞b，求a、b的值；②已知|a|＝2，|b|＝1，若a＞b，求a、b的值；（3）①已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，若a＞b＞c，求a、b、c的值；②已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，若a＞b＞c，求a、b、c的值．【例5】（1）已知|ab＋2|与|a＋1|互为相反数，则a＋b的值为___________．（2）已知(a＋1)2＋|b－2|＝1－c，且c为正整数，求a＋b－c．（3）已知有理数x、y满足(y－2)2＋|x|＝x，且|x－2y＋5|＝2，求xy．【例6】（1）当x＝_____时，|x－2|有最小值；当x＝_____时，3－|x－2|有最大值，最大值为_______．（2）|x＋2|＋|x－3|的最小值为___________，此时x需满足的条件为_____________．（3）已知|x＋2|＋|1－x|＝10－|y－5|－|2＋y|，求x＋y的最大值和最小值．〖练〗（1）当x取什么值时，|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋|x－4|有最小值，并求出这个最小值．（2）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－2017|的最小值．（3）公共汽车运营线路AD段上有A、B、C、D四个汽车站，如图，现在要在AD段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好．四、反馈练习一、填空题1．（1）如果温度上升10℃记作＋10℃，那么下降5℃记作____________．（2）高出正常水位0.5米记作＋0.5米，则低于正常水位0.3米记作________，正常水位记作________．（3）负债2000元，可以说成拥有_____________元．（4）一潜艇所在高度是－80米，一条鲨鱼在潜艇上方30米处，则鲨鱼所在的高度是____米．2．2002，－3.1416，310，0，190%，0.2，1，＋3.2，－5%，34中 属正数集合的是_______________________，属负数集合的是______________________，属整数集合的是_______________________，属分数集合的是______________________，属正整数集合的是_____________________，属负分数集合是______________________，属有理数集合的是______________________．3．点A 表示－3，从点A 出发，沿数轴移动4个单位长度到达B 点，则点B 表示的数是_______．4．与原点距离5个单位长度的点共有__________个，它们分别可以表示有理数______________________．5．一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是6，则这个数是_____．6．化简－{＋[－(－1)]}＝___________，|－(5)|＝__________，－|－6.7|＝_______．7．绝对值不大于5.5的整数有______________________．8．已知|x |＞|y |，x ＜0，y ＞0，把x ，y ，－x ，－y 从小到大排列，可得__________．（用“＜”连接）9．已知|a |＝5，|b |＝3，且|a －b |＝b －a ，那么a ＋b ＝__________．10．已知|2a －1|＋|3b －2|＝0，则a ＝_______，b ＝_________．11．已知b 为正整数，且a ，b 满足|2a －4|＋b ＝1，则a b ＝___________．12．若a ＜0，ab ＜0，|a |＞|b |，则a ，b ，－a ，－b 的大小关系为______________；化简|a ＋b |＋|a －b |－|a |－|b |＝___________．二、解答题1．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 的绝对值是最小的数，求p 2000－cd ＋abcdb a ＋m 2的值．2．有理数a ，b ，c 均不为0，且a ＋b ＋c ＝0，设x ＝|c b a+＋a c b+＋b a c+|，试求：x 19＋2x ＋13的值．3．化简|x －1|－|3x －6|．4．将1，2，3，…，200这100个自然数任意分成100组，每组两个数，现将每组的两个数中任一个数记为a ，另一个数记为b ，代入代数式21(|a －b |＋a ＋b )中进行计算，求出其结果，100组都代进后可求得100个值，求这100个值的和的最大值．。

绝对值(第一、二课时)一、知识点由绝对值的定义可知：一个正数的绝对是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；一个数的绝对值一定是非负数；一个数的绝对值表示离开原点距离．用式子表示就是：1．当a 是正数(即a >0)时，|a |= ； 2．当a 是负数(即a <0)时，|a |= ；3．当a =0时，|a |= .4．若|a |=a ，则a 0；若|a |=-a 则a 0．数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总要大于左边的数．也就是：(1)正数大于0，负数小于0，正数大于负数；(2)两个负数，绝对值大的反而小．二、讲例1．在数轴上表示-5的点到原点的距离是 ，-5的绝对值是 ．2．⑴若|x |=3，则x = ．⑵若a ≥b ，则|a-b |= ．3．|-5|= ； -|312|= ；|-2.31|= ； |+π|= ．4．判断下列结论是否正确，并说明为什么：(1)若|a |=|b |， 则a =b ；(2)若|a |＞|b |，则a ＞b ．5．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，(1)化简|a |+|b |+|c |；(2)化简|a b c +-|．6．若|2a -|+|1b -|=0，求a ,，b 的值．7．填空：(1) 若|a |=a ，则a 0；(2) 若|a |=-a ，则a 0；(3) 若|a |+a =0，则a 0；(4) 若1-=a a，则a 0.8． 满足|x |=-x 的数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个9．化简：-|-5|= ；|-(-5 )|= ；|-(+12)|= ． 10．比较下列各对数的大小：-(-1) -(+2 )； 218-73-；3.0(--31； --(-2 )． 11．将下列各数从小到大排列-0.5，2-，23-，32，41-，0，1.25，0.5．12、若|a |=4，|b |=7，则a = ；b = ．13．已知a =+12，b =-7，c =-(|-19|-|-8|)，求a +|-c |+|b |的值．三、练习：1．523-的绝对值是______；绝对值等于523的数是 ，它们互为________．2．在数轴上，绝对值为4，且在原点左边的点表示的有理数为________．3．如果3-=a ，则|-a |= ，|a |= ．4．当|a |=-a 时，a 是________数，当|a |=a 时，a 是________数．5．已知|a |=2，|b |=3，a ＞b ，则a =_____，b =_____．6．(1)|x |=7，则x = ；|-x |=7，则x = ．(2)．如果a ＞3，则|a -3|= ，|3-a |=______．7．下列说法中，错误的是( )A ．一个数的绝对值一定是正数B ．互为相反数的两个数的绝对值相等C ．绝对值最小的数是0D ．绝对值等于它本身的数是非负数8．下列说法中正确的是( )A ．-|a |一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若|a |=|b |，则a 与b 互为相反数D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数9．给出下列说法：①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等．其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．下列结论中，正确的有( )①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．绝对值不大于11.1的整数有( )A ．11个B ．12个C ．22个D ．23个12．在数轴上点A 在原点的左侧，点A 表示有理数a ，求点A 到原点的距离．13．已知：|x-4|+|y-2|=0，求2x-|y|的值．14．大家知道|5|＝|5-0|，它在数轴上的意义表示5的点与原点之间的距离；又如|5-3|，它在数轴上的意义表示5的点与表示3的点之间的距离．(1)|5+3|在数轴上的意义是：_______________；(2)当|x+6|＝5时，x＝；。

第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。

绝对值专题讲义(总8页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除【知识点整理】绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a aaa a≥⎧=⎨-<⎩③(0)(0)a aaa a>⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0a b c++=，则0a=，0b=，0c=绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a≥，且a a≥-；（2）若a b=，则a b=或a b=-；（3）ab a b=⋅；aab b=(0)b≠；（4）222||||a a a==；a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b-的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】模块一、绝对值的性质【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）A．±2 B．2 C．-2 D．4绝对值专题讲义【例2】下列说法正确的有（ ）①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．A ．②④⑤⑥B ．③⑤C ．③④⑤D ．③⑤⑥【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．12±【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例7】若1-=x x，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例9】已知a ．b 互为相反数，且|a -b |=6，则|b -1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例10】a ＜0，ab ＜0，计算|b -a +1|-|a -b -5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a +2b +6D ．2a-2b-6【例11】若|x +y |=y -x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x =0，y ≥0或y =0，x ≤0【例12】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y |＞|z |＞|x |，那么|x +z |+|y +z |-|x -y |的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【巩固】2a b c d +++=已知、、、都是整数，且a+b b+c c+d d+a ，则=a+d 。

初一数学绝对值知识精讲人教义务代数【学习目标】1．借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小．2．通过应用绝对值解决实际问题，帮助学生体会绝对值的意义和作用，感受数学在生活中的价值．【基础知识精讲】1．绝对值的有关知识(1)绝对值的定义及符号在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．绝对值用“| |”表示．读作“绝对值”．如：|－2|读作－2的绝对值．(2)一个数的绝对值与这个数的关系．正数的绝对值是它本身，如：|5|＝5负数的绝对值是它的相反数，如|－5|＝50的绝对值是0(0的绝对值也是它本身)(3)互为相反数的绝对值相等绝对值就是一个数到原点的距离，而互为相反数的两个数到原点的距离相等，即它们的绝对值相等．如：|－3|＝3，|3|＝3．图2—9(4)绝对值的取值范围正数的绝对值是它本身，即正数＞0．负数的绝对值是它的相反数，也是正数＞0．0的绝对值是0．所以，任一个有理数的绝对值都是大于等于0，即≥0，或是说一个有理数的绝对值都是正数或0．2．利用绝对值比较两负数的大小．图2—10通过观察数轴，m在n的右边，所以说m＞n．若看绝对值，m点到原点的距离比n到原点的距离小，即|m|＜|n|，而实际上m＞n，所以比较两个负数就是可以说比较它们的绝对值，即．记住：两个负数比较大小，绝对值大的反而小．【学习方法指导】［例1］绝对值是它本身的数是_____．点拨：正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0，也可以说是它本身．解答：正数和0［例2］比较下列数轴中的m与n的绝对值的大小．图2—11点拨：比较两个数的绝对值，就看这两个数在数轴上的点到原点的距离大小，距离原点越远，绝对值越大．解答：|m |＜1，|n |＞1，所以|m |＜|n |．［例3］绝对值是7的数是_____．点拨：一个数的绝对值是7，说明在数轴上这个点到原点的距离为7个单位长度．而从数轴上，很容易看出距离原点7个单位长度的数有两个，分别在原点的两侧，是互为相反数．分别是＋7和－7．小心：易错点：此类题型，学生在解答时常常只有一个结果．一般来说，只要题目中提到绝对值，都可能会出现正、负两方面的结果．解答：这个数是±7［例4］一个数的绝对值为－7，这个数是几？点拨：由于正数的绝对值是它本身——正数，负数的绝对值是它的相反数——正数，0的绝对值是0，所以任一有理数的绝对值都是大于等于0，不可能为负数．解答：任一有理数的绝对值都是正数，0，不可能为负数，所以绝对值为－7的数不存在．［例5］计算：|－7|×|＋9|点拨：注意运算顺序，先将带绝对值号的数计算出来，再进行乘法运算．解答：|－7|×|＋9|＝7×9＝63．［例6］比较下列各组数的大小(1)－87_____－78 (2)0_____|－5| 点拨：(1)两负数比较大小，绝对值大的反而小．(2)这组数比较之前，先将带绝对值符号的数计算出来，再比较大小．解答：(1)∵|－87|＝87，|－78|＝78(计算绝对值) ∵87＜78(比较绝对值) ∴－87＞－78(两负数比较大小，绝对值大的反而小) (2)∵|－5|＝5，0＜5(0小于正数)∴0＜|－5|［例7］正式的乒乓球比赛中的球的质量有严格的规定，下面是4个乒乓球的质量检测结果(用正数表示超过标准质量的克数)：－0.2，＋0.3，－0.3，＋0.15．请指出哪个兵乓球的质量好一些，并说明理由．点拨：质量好的球，就是接近于标准质量的球．这个球与标准质量越接近(多也可，少也可)，球就越好．即看这四个数的绝对值，绝对值越小，球越标准．解答：|－0.2|＝0.2，|＋0.3|＝0.3，|－0.3|＝0.3，|＋0.15|＝0.15．最后一个球的质量最好．【拓展训练】字母a 表示一个数．(1)若|a |＝a ，则a 是什么数？(2)若|a |＝－a ，则a 又是什么数？点拨：(1)|a|＝a这个式子表示是“绝对值是它本身”的数．(等式左右两边的a表示同一个数)而正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也可以是它本身，所以此时的a表示正数或零．(2)|a|＝－a这个等式表示的是“绝对值是它的相反数”的数．负数的绝对值是它的相反数，而对于0这个特殊的数，－0也是0，所以此题中的负数、0都是正确结果．解答：(1)正数或零(2)负数或零。

第一章 第5课 绝对值班级： 姓名：一．概念学习问题1：两辆汽车从同一处O 出发，分别向东、向西方向行驶10千米，到达A 、B 两处（如图），它们行驶的路线相同吗？它们行驶路程的远近（线段OA 、OB 的长度）相同吗？A 处与原点的距离是 个单位长度，B 处与原点的距离是 个单位长度。

概念：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a 例如：，10101010=-=即学即练中文：-22的绝对值是_____；22的绝对值是_____；-13的绝对值是_____。

数学符号：22- = ； 22＝ ； 13-＝ _____。

观察在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值又有什么特点？归纳：一个正数的绝对值是 ，一个负数的绝对值是 ，0的绝对值是 。

也可以归纳成0 -10 A B 10O 10 10 ① 若a 是正数时，则|a|= _____② 若a 是负数时，则|a|=______③ 若a=0，则|a|= _______二．用概念例题1：求下列各数的绝对值：（1）4.10)4(,55)3(,103)2(,915-+-， （5） 0, （6）312- 解： ,915915)1(=- (2) （3） (4) (5) (6)A 组题1、－2的绝对值是 ，100的绝对值是 ，0的绝对值是 ，－61的绝对值是 ，+8.95的绝对值是 ， 计算：==-=+=-5.75.7232=+=-=-=-95.12042化简：（1）-（-3.05）=_________ （2）-（+2.9）=___________（3）05.3--＝___________ （4）9.2+-＝3、下列各式中，不正确的是（ ）A 、5-=5 B 、－5=－5-C 、5-=5 D 、－5-=5 B 组1、－161的相反数是______, 绝对值是2、6与______是互为相反数，它们的绝对值都等于 .2、在数轴上表示3和－3的两个点与原点的距离都是 个单位3、绝对值是3的数有 个？是 。

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初一数学绝对值知识点
对于初中学生朋友，学习是一个循序渐进的过程，需要日积月累。

为大家提供了绝对值知识点，希望对大家学习有所帮助。

1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
思维点击
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练一练
1. (201X年嘉兴市)-3的绝对值是( )。

绝对值综合专题绝对值的性质绝对值化简绝对值方程模块一无范围的化简零点分段法a＝0 a aa a≥⎧⎨-<⎩2x+＝2222 x xx x+≥-⎧⎨--<-⎩－2为零点1x-＋2x-解：①找零点：令x－1＝0，x＝1令x－2＝0，x＝2②画数轴确定分类12③分类化简⑴当x≤1时，x－1＜0，1x-＝－x＋1x－2＜0，2x-＝－x＋2 1x-＋2x-＝－x＋1＋（－x＋2）＝－2x＋3 ⑵当1＜x≤2时，x－1＞0，1x-＝x－1x－2＜0，2x-＝－x＋2 1x-＋2x-＝x－1＋（－x＋2）＝1⑶当x＞2时，x－1＞0，1x-＝x－1x－2＞0，2x-＝x－2④下结论: 综上，1x -＋2x -＝231112232x x x x x -+≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩例1通过阅读上面的文字，请你解决下列问题（1）求出+2x 的零点值，并化简；解：令x ＋2＝0，x ＝－2-2当x ≥－2时，x ＋2≥0，+2x ＝x ＋2，当x ＜－2时，x ＋2－0，+2x ＝－x －2综上：2x +＝2222x x x x +≥-⎧⎨--<-⎩（2）化简：+2x ＋4x -解：①找零点：令x ＋2＝0，x ＝－2令x －4＝0，x ＝4②画数轴确定分类-24③分类化简 ⑴当x ≤－2时，x ＋2＜0， +2x ＝－x －1x －4＜0， 4x -＝－x ＋4+2x ＋4x -＝－x －2＋（－x ＋4）＝－2x ＋2⑵当－1＜x ≤4时，，x ＋2＞0， +2x ＝x ＋2x －4＜0， 4x -＝－x ＋4⑶当x＞4时，x＋2＞0，+2x＝x＋2x－4＞0，4x-＝x－4 +2x＋4x-＝x＋2＋x－4＝2x－2④下结论:综上，+2x＋4x-＝222 624 224x xxx x-+≤-⎧⎪-<≤⎨⎪->⎩练1化简下列各式（1）1x-解：①找零点：令x－1＝0，x＝1②画数轴确定分类③化简（1）当x＜1时，x－1＜0，1x-＝－x＋1 （2）当x≥1时，x－1＞0，1x-＝x－1综上，1x-＝1111 x xx x-<⎧⎨-+≥⎩（2）2x-＋1x+解：①找零点：令x＋1＝0，x＝－1令x－2＝0，x＝2②画数轴确定分类-12③分类化简⑴当x≤－1时，x＋1＜0，+1x＝－x－1x－2＜0，2x-＝－x＋2+1x＋2x-＝－x－1＋（－x＋2）＝－2x＋1 ⑵当－1＜x≤2时，，x＋1＞0，+1x＝x＋1x－2＜0，2x-＝－x＋2+1x＋2x-＝x＋1＋（－x＋2）＝4⑶当x＞2时，x＋1＞0，+1x＝x＋1x－2＞0，2x-＝x－2+1x＋2x-＝x＋1＋x－2＝2x－1④下结论:综上，+1x＋2x-＝211 312 212x xxx x-+≤-⎧⎪-<≤⎨⎪->⎩（3）23x-解：①找零点：令2－3x＝0，x＝3 2②画数轴确定分类2③化简（1）当x＜32时，2－3x＞0，23x-＝2－3x（2）当x≥32时，2－3x≤0，23x-＝3x－2综上，23x-＝3 2323 322x xx x⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩（4）42x-－3x+解：①找零点：令4－2x＝0，x＝2令x＋3＝0，x＝－3②画数轴确定分类2③分类化简⑴当x≤－3时，x＋3＜0，+3x＝－x－34－2x＞0，42x-＝4－2x42x-－3x+＝4－2x－（－x－3）＝－x＋7 ⑵当－3＜x≤2时，x＋3＞0，+1x＝x＋14－2x＞0，42x-＝4－2x42x-－3x+＝4－2x－（x＋3）＝－3x＋1⑶当x＞2时，x＋3＞0，+3x＝x＋34－2x＜0，42x-＝－（4－2x）42x-－3x+＝－（4－2x）－（x＋3）＝x－7 ④下结论:综上，42x-－3x+＝73 313272x xx xx x-+≤-⎧⎪-+-<≤⎨⎪->⎩例2化简下列各式（1）m＋1m-＋2m-解：①找零点：令m＝0，m＝0令m－1＝0，m＝1令m－2＝0，m＝2②画数轴确定分类③分类化简（1）当m≤0时，m≤0，m＝－mm－1＜0，1m-＝－m＋1m－2＜0，2m-＝－m＋2m＋1m-＋2m-＝－m＋（－m＋1）＋（－m＋2）＝－3m＋3 （2）当0＜m≤1时，m＞0，m＝mm－1＜0，1m-＝－m＋1m－2＜0，2m-＝－m＋2m＋1m-＋2m-＝m＋（－m＋1）＋（－m＋2）＝－m＋3 （3）当1＜m≤2时，m＞0，m＝mm－1＞0，1m-＝m－1m－2＜0，2m-＝－m＋2m＋1m-＋2m-＝m＋（m－1）＋（－m＋2）＝m＋1 （4）当m＞2时，m＞0，m＝mm－1＞0，1m-＝m－1m－2＞0，2m-＝m－2m＋1m-＋2m-＝m＋（m－1）＋（m－2）＝3m－3④下结论:综上，m＋1m-＋2m-＝330101112 332m mm mm mm m-+≤⎧⎪-+<≤⎪⎨+<≤⎪⎪->⎩练2化简22a+－3a－3a+解：①找零点：令2a＋2＝0，a＝－1令3a＝0，a＝0令a＋2＝0，a＝－3②画数轴确定分类③分类化简⑴当a≤－3时，a＋3≤0，3a+＝－a－32a＋a＜0，22a+＝－2a－23a＜0，3a＝－3aa+＝－2a－2－（－3a）－（－a－3）＝2a＋1 a+－3a－322⑵当－3＜a≤－1时，a＋3＞0，3a+＝a＋32a＋a＜0，22a+＝－2a－23a＜0，3a＝－3aa+＝－2a－2－（－3a）－（a＋3）＝－522a+－3a－3⑶当－1＜a≤0时，a＋3＞0，3a+＝a＋32a＋a＞0，22a+＝2a＋23a＜0，3a＝－3aa+－3a－3a+＝2a＋2－（－3a）－（a＋3）＝4a－122（4）当a＞0时，a＋3＞0，3a+＝a＋32a＋a＞0，22a+＝2a＋23a＞0，3a＝3aa+＝2a＋2－3a－（a＋3）＝－2a－1a+－3a－322④下结论:综上，22a +－3a －3a +＝2135314110210a a a a a a a +≤-⎧⎪--<≤-⎪⎨--<≤⎪⎪-->⎩ 拓2 化简：21x --解：①找零点：令x －2＝0，x ＝2令2x -－1＝0，x ＝1或x ＝3 ②画数轴确定分类21 ③分类化简⑴当x ≤1时，x －2＜0， 2x -＝－x ＋2原式＝21x -+-＝1x -+＝－x ＋1 ⑵当1＜x ≤2时， x －2＜0，2x -＝－x ＋2 原式＝1x -+＝x －1⑶当2＜x ≤3时， x －2＞0，2x -＝ x －2原式＝21x --＝3x -＝－x ＋3（4）当x ＞3时，x －2＞0，2x -＝ x －2原式＝21x --＝3x -＝x －3 ④下结论:综上，21x --＝1121232333x x x x x x x x -+≤⎧⎪+<≤⎪⎨-+<≤⎪⎪->⎩模块二已知范围的化简第一类：a＝ba＝b或a＝－b21x+＝31x-解：2x＋1＝3x－1或2x＋1＝－（3x－1）x＝2或x＝0例3解下列绝对值方程：（1）2x+＝4x-；解：x＋2＝4－x或x＋2＝－（4－x）x＝1（2）32x-－48x-＝0；解：原方程化为32x-＝48x-3x－2＝4－8x或3x－2＝8x－411x＝6或5x＝2x＝611或x＝25练3解下列绝对值方程：（1）21x-＝31x+；解：2x－1＝3x＋1或2x－1＝－（3x＋1）x＝－2或x＝0（2）7a+－25a-＝0；解：原方程化为7a+＝25a-a＋7＝2a－5或a＋7＝－（2a－5）a＝12或a＝－23课间小游戏猜谜语谜题：二三四五六七八九（打一成语）缺衣少食谜题：八分之七（打一成语）七上八下谜题：五四三二一（打一数学名词）倒数谜题：七天七夜（打一数学名词）周长谜题：考试作弊（打一数学名词）假分数谜题：1加1不是2（打一字）王第二类：a＝ba＝b或a＝－b检验b≥0例4解下列绝对值方程：（1）29x+＝7x－1；解：2x＋9＝7x－1或2x＋9＝1－7x5x＝10或9x＝－8x＝2或x＝8 9 -①当x＝2时，7x－1＝13＞0（符合题意）；②当x＝89-时，7x－1＜0（不符合题意，舍去）综上，方程的解为x＝2．（2）32a-－a＋1＝0；解：原方程化为32a-＝a－1 3a－2＝a－1或3a－2＝1－a 2a＝1或4a＝3a＝12或a＝34①当a＝12时，a－1＝＜0（不符合题意，舍去）；②当a＝34时，a－1＜0（不符合题意，舍去）综上，方程无解．练4解下列绝对值方程：（1）43x +＝2x ＋9；解：4x ＋3＝2x ＋9或4x ＋3＝－2x －92x ＝6或6x ＝－12x ＝3或x ＝－2①当x ＝3时，2x ＋9＝15＞0（符合题意）；②当x ＝－2时，2x ＋9＝5＞0（符合题意）综上，方程的解为x ＝2或x ＝－2．（2）25x -＋2x ＝－5； 解：原方程化为210x -＝－2x －52x －10＝－2x －5或2x －10＝2x ＋54x ＝5x ＝54当x ＝54时，－2x －5＝152-＜0（不符合题意，舍去）； 综上，方程无解．第三类a ＋b ＝c例5解下列绝对值方程：（1）1x +＋2x -＝4；解：令x ＋1＝0，x ＝－1令x －2＝0，x ＝2-12显①x ≤－1时，1x +＝－x －12x -＝2－x－x －1＋2－x ＝4x ＝32-(合题意)②－1＜x ≤2时，1x +＝x ＋12x -＝2－x x ＋1＋2－x ＝4方程无解．③x ＞2时，1x +＝x ＋12x -＝x －2x ＋1＋x －2＝4x ＝52(合题意)综上：方程的解为x ＝32-或x ＝52（2）1x +－22x -＝4；解：令x ＋1＝0，x ＝－1令x －2＝0，x ＝2 -12显①x ≤－1时，1x +＝－x －12x -＝2－x－x －1－2（2－x ）＝4x ＝9(不合题意，舍去)②－1＜x ≤2时，1x +＝x ＋12x -＝2－xx ＋1－2（2－x ）＝4x ＝73(不合题意，舍去) ③x ＞2时，1x +＝x ＋12x-＝x－2x＋1－2(x－2)＝4x＝1 (不合题意，舍去) 综上：方程的无解．（3）21x+－32x-＝4．解：令x＋1＝0，x＝－1令3x－2＝0，x＝2 3-13①x≤－1时，1x+＝－x－132x-＝2－3x2（－x－1）－（2－3x）＝4x＝8(不合题意，舍去)②－1＜x≤23时，1x+＝x＋132x-＝2－3x2（x＋1）－（2－3x）＝4x＝45(不合题意，舍去)③x＞23时，1x+＝x＋132x-＝3x－22（x＋1）－(3x－2)＝4x＝0 (不合题意，舍去) 综上：方程的无解．练5解下列绝对值方程：（1）3x-－1x-＝1解：令x－3＝0，x＝3令x－1＝0，x＝113①x≤1时，3x-＝3－x，1x-＝1－x原方程可化为3－x－（1－x）＝1无解．②1＜x≤3时，3x-＝3－x，1x-＝x－1原方程可化为3－x－（x－1）＝1x＝32（合题意）③x＞3时，3x-＝x－3，1x-＝x－1原方程可化为x－3－（x－1）＝1无解综上：方程的解为x＝32．（2）35x+－27x-＝16解：令3x＋5＝0，x＝5 3 -令2x－7＝0，x＝7 2-32①x≤53-时，5x-＝5－x，37x+＝－（3x＋7）原方程可化为5－x－2（3x＋7）＝12x＝－3（合题意）②73-＜x≤5时，5x-＝5－x，37x+＝3x＋7原方程可化为5－x＋2（3x－7）＝12x＝75-（合题意）③x＞5时，5x-＝x－5，37x+＝（3x＋7）原方程可化为x－5＋2（3x＋7）＝12x＝107（不合题意，舍去）综上：方程的解为x＝－3或x＝75 -．（3）5x-＋237x+＝12 解：令x－5＝0，x＝5令3x＋7＝0，x＝7 3 -5 -3①x≤73-时，5x-＝5－x，37x+＝－（3x＋7）原方程可化为5－x－2（3x＋7）＝12x＝－3（合题意）②73-＜x≤5时，5x-＝5－x，37x+＝3x＋7原方程可化为5－x＋2（3x－7）＝12x＝75-（合题意）③x＞5时，5x-＝x－5，37x+＝（3x＋7）原方程可化为x－5＋2（3x＋7）＝12x＝107（不合题意，舍去）综上：方程的解为x＝－3或x＝75 -．模块三最值初步求下列各式的最值．①1x-解：∵1x-≥0，∴1x-有最小值1x-＝0，即当x－1＝0，x＝1时，1x-有最小值1x-＝0．②2x+解：∵+2x≥0，∴+2x有最小值+2x＝0，即当x＋2＝0，x＝－2时，+2x有最小值+2x＝0．③1x-解：∵1x-≥0，∴1x-有最小值0，即当1－x＝0，x＝1时，1x-有最小值0．④1x--解：∵1x-≥0，∴－1x-有最大值＝0，即当x－1＝0，x＝1时，－1x-有最大值＝0．⑤23x--解：∵3x-≥0，∴2－3x-有最大值2，即当x－3＝0，x＝3时，2－3x-有最大值2．⑥3－2(52)x-解：∵2(52)x-≥0，∴3－2(52)x-有最大值3，即当5－2x＝0，x＝52时，3－2(52)x-有最大值3．练6（1）2xπ-的最小值是，当x＝时它取最小值；答案：0，2π（2）当x＝时，2(13)x-＋2取得最小值为；答案：13，2（3）2(3)x--的最大值是，当x＝时它取最大值；答案：0，3（4）当x＝时，3－1x 取得最大值为；答案：－1，3。

绝对值（提高） 【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩1．计算：（1）145--（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.举一反三：【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】 【变式2】比大小：（1） 1.38-&&______－1.384；（2） －π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n |，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数．又∵ 正数大于一切负数，且|m |＞|n |，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m |＞|n |，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．类型三、含有字母的绝对值的化简4.把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．【答案与解析】(1)∵a≥4，∴a-4≥0，∴|a-4|＝a-4．(2)∵b＞5，∴5-b＜0，∴|5-b|＝-(5-b)＝b-5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：【答案】由图所示，可得．∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式．【变式2】求的最小值．【答案】法一：当2x <-时，则23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则x x x x x x++-=++--=+-+=23(2)[(3)]235当时，则++-=++-=++-=->23(2)(3)23215x x x x x x x综上：当时，取得最小值为：5.法二：借助数轴分类讨论：①；②；③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值．所以，时，取最小值5类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a、b为有理数，且满足：1，则a=_______，b=________．2【答案与解析】由，，，可得∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x的取值范围是________．【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，．【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．【答案】由题意得∴所以，2ba类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。