二元一次不等式组和线性规划、基本不等式

1.3二元一次不等式（组）与简单线性规划问题知能点全解：Ⅰ平面区域的划分 平面内一条直线0Ax By C ++=把正个平面分成三个部分，即直线两侧和直线上三部分。

Ⅱ二元一次不等式表示的平面区域及判断方法）一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>，在平面直角坐标系中，表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；当我们在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线。

（2）判断方法：对于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点(),x y ，实数Ax By C ++的符号相同，所以只需在直线的某一侧任取一点()00,x y 代入Ax By C ++，由00Ax By C ++值的符号即可判断出0Ax By C ++>表示的是直线哪一侧的平面区域。

特殊地，当0C ≠时，此点常选()0,0。

例1：画出下列不等式表示的平面区域（1）10x y -+< （2）2360x y +-≤解：（1）画出10x y -+=（用虚线表示） 解：（2）2360x y +-=（用实线表示） 取原点()0,0，代入1x y -+ 取原点()0,0，代入236x y +- ∵0010-+> ∵0060+-<∴原点不在10x y -+<表示的平面内 ∴原点在2360x y +-≤表示的平面内 ∴不等式10x y -+<表示的平面区域如下图 ∴不等式2360x y +-≤表示的平面区域如下Ⅲ画二元一次不等式组表示平面区域的方法）画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线（2）定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号，异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧。

常用的特殊点()()()0,0,1,0,0,1±±。

（3）求交——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式所表示的平面区域。

例2：画出不等式组3232639x y xx y y x <⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪<+⎩表示的平面区域及时演练： 1、 画出不等式组223x y x y +>⎧⎨-≥⎩表示的平面区域-11O yx 23O y xOyx x-2y=3x+y =2Oy x2332、由直线20,210x y x y ++=++=和210x y ++=围成的三角形区域（包括边界）用不等式（组）可表示为 20210210x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩。

3、在ABC ∆中，()()()3,1,1,1,1,3A B C --,则ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组 21020250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ 。

4、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积为 36 。

Ⅰ线性规划的有关概念名 称 意 义线性约束条件由,x y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组，是对x,y 的约束条件 目标函数 关于,x y 的解析式 线性目标函数 关于,x y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（,x y ）叫做可行解 可行域 所有可行解组成的集合叫做可行域 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题Ⅱ线性规划的求解步骤：）作图——画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中任意一条直线l ；（2）平移——将直线l 在可行域内进行平移，以确定取得最优解的点；（3）求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值。

例3：已知(),x y 满足不等式组03702240360y x y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎪⎨+-≤⎪⎪--≥⎩，试求z x y =+的最大值和最小值，并求出相应的,x y 的值。

解：画出不等式组表示的平面区域，其图形为右图的阴影部分。

作直线0x y +=，把直线向右上方平移，当直线经过可行域上的B 点时，直线0x y z +-=的纵截距最小，此时z x y =+取最小值；当 直线经过可行域上的A 点时，直线0x y z +-=的纵截距最大，此时 z x y =+取最大值。

由方程组370360x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得53,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，故当53,22x y ==时，min 4z =由方程组3602240x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得()6,12A ，故当6,12x y ==时，max 18z =D CBAOy xy=-2x+24y=3x-6y=7-x 3y=0及时演练： 1、已知(),x y 满足不等式组010221x y y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩，则224z y x =-+的最大值 8 ；最小值 4 。

2、设变量x 、y 满足0033236x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则x y -的最大值为 1 ；最小值为 2- 。

知能点演练：一、选择题：1、不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的（ B ） A 、右上方 B 、左下方 C 、左上方 D 、左下方2、在直角坐标系中，满足不等式220y ≥() B ）（A ） （B ） （C ） （D ）3、设点()()2,P a aa R ∈，则下列判断中正确的是（ B ）A 、P 在不等式210x y ++>表示的平面区域内B 、P 在不等式210x y ++≥表示的平面区域内C 、P 在不等式210x y ++<表示的平面区域内D 、P 在不等式210x y ++≤表示的平面区域内 4、不等式()()x y x -+ B ）（A ） （B ） （C ） （D ）5、若点()5,b 在两平行直线6810x y -+=和3450x y -+=之间，则b 应取的正数值为（ C ） A 、5 B 、5- C 、4 D 、4-6、可行域A ：10400,0x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩与可行域B ：04502x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩的关系是（ C ）A 、AB ⊆ B 、B A ⊆C 、A B ≠⊂D 、B A ≠⊂7、设0a >，点集S 的点(),x y 满足下列条件：①22a x a ≤≤；②22ay a ≤≤；③x y a +≥；④x a y +≥；⑤y a x +≥，则S 的边界是一个几条边的多边形（ C ）A 、4B 、5C 、6D 、78、已知向量()()2,,2,3m a b a n a b b =-=+ ，且,m n的夹角为钝角，则在aOb 平面上，点(),a b 所在的区域是（ A ） （D ）OyxOyxOyxOyxOyxOyxO yxO yxa-b=0a+4b=0O b a a-b=0a+4b=0O b a a-b=04a+b=0O b a a-b=04a+b =0O b a9、在坐标平面上，不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ B ）A、32 C、2D 、2 10、设集合(){},,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（ A ）（A ） （B ） （C ） （D ） 11、如果函数2y ax bx a =++的图像与x 轴有两个不同的交点，则点(),a b 在在aOb 平面上的区域为（ C ）（A ） （B ） （C ） （D）12、已知x 、y 满足约束条件22040330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的最小值为（ B ）A 、13B 、45C 、1D 、65二、填空题：13、点(),3P a 到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是 ()3,3- 。

14、如右图所示中阴影部分的点满足不等式组5260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，在这些点中，使目标函数68k x y =+取得最大值的点的坐标是 ()0,5 。

15、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元，另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费500 元。

16、设()2f x a x b x =+，且()()112,214f f -≤-≤≤≤，则()2f -的取值范围是 []1,10- 。

1.4基本不等式：2≤（教师用）知能点全解：知能点一：重要不等式和基本不等式如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时，不等式取“=”号）如果,a b R +∈，那么2a b+≥a b =时，不等式取“=”号） 我们称2a b+为a 、b a 、b 的几何平均数，所以上述不等式可以表述（1）如果,,a b c R +∈，那么3a b c ++≥a b c ==时，不等式取“=”号） （2）如果12,,n a a a R +⋅⋅⋅∈，那么12n a a a n++⋅⋅⋅+≥12n a a a ==⋅⋅⋅=时，不等式取“=”号）（1）2ba ab +≥（a 、b 同号） （2）)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+例1：已知,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明：∵,,a b c R +∈且1a b c ++= ∴111a b c b c a a aa a -+-===+≥同理可得：11b -≥，11c -≥由于上述三个不等式两边均为正数，分别相乘∴1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥=⎪⎪⎪ 当且仅当13a b c ===时取等号。

知能点二：极值定理 设,x y 都为正数，（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ；（2）若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p 。

特别说明：利用极值定理求最大值或最小值时应注意： （1）,x y 一定要都是正数；（2）求积xy 最大值时，应看和x y +是否为定值；求和x y +最小值时，看积xy 是否为定值。

（3）等号是否能够成立。

以上三点可简记为：“一正，二定，三相等”。

例2：求下列函数的最值（1）已知0x >，求42y x x =--的最大值； （2）已知2x >，求12y x x =+-的最小值 （3）已知102x <<，求()1122y x x =-的最大值。