高中数学中的极限与连续解题技巧

增量：变量 从初值

变到终值

，则

称为变量 的增量或

改变量，记为 ，即

对于函数

，当自变量从

变到 时，

称为自变量

的增量；

对应的函数值从

变到

，

称为函数 的增量。

注：增量可正可负。

图 3-1

定义 设函数

在点

的某一邻域内有定义，

如果

当自变量的增量 趋于零时，对应函数的增量

也趋于零

即 ，

那么就称函数

在点

连续， 称为函数

的连续点。

极限

可写成

，

即

所以此定义也可改写为

定义设函数

在点

的某一邻域内有定义，如果

，

那么就称函数

在点

连续。

由定义可知，函数

在点

连续，必满足三个条件

（1）

在点

有定义

（2）

存在（左、右极限存在且相等）

（3）

如果三条中有一条不满足，则

在

点就不连续。

例1 设

讨论

在 的连续性。

解

是一分段函数，

∵

所以

不存在，故在 处

不连续。

图 3-2

例2 讨论函数

在 ， 及 处的连续性。

解 在 处：

不存在，所以不连续。

在 处：

，所以连续。

在 处：

且

所以连续。

左连续、右连续：

若

存在且等于

，即

，则称

在

点左连续；

若

存在且等于

，即

，则称

在

点右连续。

图 3-3

如：上两例中的函数均在 点左连续。

显然

在

点连续，则

在

点左连续且右连续。

函数

在区间连续：

如果函数

在区间

内每一点都连续，则称函数

在区间

内连续；

如果

在区间

内连续，在 点右连续，在 点左连续，

则称函数

在闭区间

上连续。

图 3-4

例3 当 时，

且

在 连续，则

解

∵ 在 连续，

例4 设函数

在 处连续，求 。

解 因为

在 处连续，所以

，

而

，

如果函数

在

的去心邻域内有定义，但在

不连续，称

为

的间

断点。

与连续的条件相对应，有下列三种情形之一时，则

在

点就不连续， 点

就为间断点。

(1) 在点

没有定义

(2) 在点

有定义，但

不存在

(3) 在点

高中数学中的极限概念是如何应用的

在高中数学的学习中，极限概念是一个极为重要的知识点。它不仅是数学分析的基础，还在众多领域有着广泛而深刻的应用。

首先，让我们来理解一下什么是极限。简单来说，极限描述的是当自变量无限趋近于某个值时，函数所趋近的一个确定的值。比如说，当 x 无限趋近于 0 时，函数 f(x) ＝ sin(x) ／ x 的极限是 1 。这就是极限的一个简单例子。

那么，极限在高中数学中有哪些具体的应用呢？

在函数的研究中，极限发挥着关键作用。通过求函数在某一点的极限，我们可以判断函数在该点的连续性。如果函数在某点的极限值等于该点的函数值，那么函数在这一点就是连续的。连续性是函数的一个重要性质，它对于我们理解函数的变化规律非常有帮助。

例如，对于函数 f(x) ＝ x ＋ 1 ，当 x 趋近于 1 时，f(x) 的极限就是

2 ，而且 f(1) 也等于 2 ，所以这个函数在 x ＝ 1 处是连续的。

极限还用于求函数的导数。导数反映了函数在某一点的变化率。通过极限的方法，我们可以求出函数在某一点的导数。

比如，对于函数 f(x) ＝ x² ，它在点 x 处的导数 f'（x) 可以通过极限来计算，即 f'（x) ＝ lim （h→0) （ （x ＋ h)² x² ） ／ h ，经过计算可以得到 f'（x) ＝ 2x 。导数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决诸如求函数的单调性、极值和最值等问题。

在数列中，极限也有着重要的地位。对于一个数列，如果它存在极限，我们就说这个数列是收敛的；如果不存在极限，就说它是发散的。

比如，数列 1/2， 1/4， 1/8， 1/16，…… 它的通项公式是 aₙ ＝

（1/2)ⁿ 。当 n 趋向于无穷大时，这个数列的极限是 0 ，所以这个数列是收敛的。

而数列 1， 2， 3， 4，…… 通项公式是 aₙ ＝ n ，当 n 趋向于无穷大时，这个数列的值也趋向于无穷大，不存在极限，所以这个数列是发散的。

极限与导数

一、极限

1、常用的几个数列极限：CCnlim(C为常数)；01limnn，0limnnq(a<1,q为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式qaSSnn1lim1(0<1q);

2、函数的极限：

(1)当x趋向于无穷大时，函数的极限为aaxfxfnn)(lim)(lim

(2)当0xx时函数的极限为aaxfxfxxxx)(lim)(lim00:

3、函数的连续性：

(1)如果对函数f(x)在点x=x0处及其附近有定义，而且还有)()(lim00xfxfxx，就说函数f(x)在点x0处连续；

(2)若f(x)与g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(xgxf(g(x)≠0)也在点x0处连续；

(3)若u(x)在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x0处也连续；

4、连续函数的极限运算:如果函数在点x0处有极限，那么)()(lim00xfxfxx；

二、导数

1、导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；

2、根据导数的定义，求函数的导数步骤为：(1)求函数的增量 );()(xfxxfy (2)求平均变化率xxfxxfxy)()(; (3)取极限,得导数xyxfx0lim)(;

3、可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；

4、导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是).(0xf相应地，切线方程是);)((000xxxfyy

5、导数的四则运算法则：

vuvu)( ///[()()]()()fxgxfxgx　　　　

千里之行，始于足下。

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六种解题技巧

一、三角函数题

留意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很简单由于马虎，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题

1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最终下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2、最终一问证明不等式成立时，假如一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;假如两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，肯定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时肯定写上综上：由①②得证;

千里之行，始于足下。

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3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简洁(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题

1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简洁;

2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;

3、留意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。