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高数极限和连续

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【极限】

一、数列极限

1）数列的单调性

对于数列﹛xn﹜,如果有xn≤x1n（即x1≤x2≤····≤xn≤···）, n≥1，则称﹛xn﹜是单调增加的；若xn≥x1n，n≥1，则称﹛xn﹜是单调减少的。

2）数列的有界性

如果对于数列﹛xn﹜，存在正整数M，使得对每一个xn都满足

nx≤M，则称数列﹛xn﹜是有界的；如果这样的数不存在，则称数列﹛xn﹜是无界的。

例: ﹛n1﹜, ﹛﹙﹣1﹚1n﹜，﹛21nn﹜是有界的，﹛n2﹜是无界的

3）数列的极限

对于数列﹛xn﹜，如果当n∞时，xn无限的趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列﹛xn﹜以常数A为极限，或称数列﹛xn﹜收敛于A，记作：

nxnlim＝A或xnA（当n∞时）

否则称数列﹛xn﹜没有极限，如果数列﹛xn﹜没有极限，就称数列 ﹛xn﹜是发散的。

4）数列极限的性质

定理1：若数列﹛xn﹜收敛，则其极限值必定唯一

定理2：若数列﹛xn﹜收敛，则它必定有界（反之不对！！）

5）数列极限的存在准则

定理3：（两边夹定理）

若数列﹛xn﹜，﹛yn﹜, ﹛zn﹜满足下列条件：

①yn≤xn≤zn，n＝1,2，····

②limnxn＝A，nznlim＝A

那么，数列﹛xn﹜的极限存在，且nxnlim＝A

定理4：若数列﹛xn﹜为单调有界数列，则nxnlim存在

6）数列极限四则运算

定理5：若nxnlim＝A nynlim＝B 则

①limn(nx±yn)＝limnnx±limnyn＝A±B

②limn(nx·yn)＝limnnx·limnyn＝AB

③若B≠0，则limnnnyx＝nnnnyxlimlim＝BA

④对于任意常数a，limn﹙a·nx﹚＝aA 二、函数的极限

1）函数在一点处的极限

①当x→x0时函数)(xf的极限

如果当x无限的趋于x0时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x0时，函数f(x)的极限是A，记作：

lim0xx)(xf＝A或)(xf→A(当x→x0时)

②当x→x0时函数)(xf的左（或右）极限

如果当x从x0的左边（或右边）无限的趋于x0时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→x0时，函数)(xf的左极限（或右极限）是A，记作：

lim0xx)(xf＝f（x0－0）＝A 或 lim0xx)(xf＝f（x0＋0）＝A

定理6：lim0xx)(xf＝A的充要条件是：

lim0xx)(xf＝lim0xx)(xf＝A

2）x→∞时，函数的极限

①当x→∞时，函数的极限

如果当x→∞时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→∞时，函数)(xf的极限是A，记作：

limx)(xf＝A 或 )(xf→A(当x→∞时) ②当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数的极限

如果当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数)(xf无限的趋于一个确定的常数A，则称当x→﹢∞（或﹣∞）时，函数)(xf的极限是A，记作：

limx)(xf＝A 或limx)(xf＝A

定理7：limx)(xf＝A的充要条件是：

limx)(xf＝limx)(xf＝A

3）函数极限的性质

定理8：若lim0xx)(xf存在，则其极限值必定唯一

定理9：设函数)(xf，g(x)，h(x)在点x0的某个领域内（x0可除外）满足条件：

①)(xg≤)(xf≤)(xh

②lim0xx)(xg＝lim0xx)(xh＝A,则lim0xx)(xf＝A

（注：定理8和定理9，当x→∞时也成立）

4）函数极限的运算法则

定理10：若)(limxf ＝A , )(limxg ＝B ,则

①lim[)(xf ±)(xg] ＝)(limxf±)(limxg ＝A±B

②lim[)(xf·)(xg] ＝)(limxf·)(limxg ＝AB

③当B≠0时，lim)()(xgxf＝)(lim)(limxgxf＝BA

④)(limxCf＝C)(limxf 三、无穷小量与无穷大量

1）无穷小量（0，仅此一个数）

如果x在某个变化过程中，)(xf的极限值为0，则称在该变化过程中，)(xf为无穷小量，记作：)(limxf＝0

定理11：x在某个变化过程中，)(xf的极限值为A的充要条件：在x的同一变化过程中，Axf)(为无穷小量。

2）无穷大量

若果x在某个变化过程中，)(xf无限增大，则称在该变化过程中，)(xf为无穷大量，记作：)(limxf。

如果)(limxf＝﹢∞，则称在该变化过程中，)(xf 为正无穷大量。反之称为负无穷大量

3）无穷小量与无穷大量的关系

定理12：在x的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大量，则)(1xf为无穷小量。反之，如果)(xf为无穷小量，则)(1xf为无穷大量。

4）无穷小量的基本性质

①若为无穷小量，则﹣也是无穷小量

②若，为无穷小量，则也为无穷小量

③若为无穷小量，且M,则为无穷小量

④若，为无穷小量，则为无穷小量

注：无穷大量具有性质①②，不具有性质③④ 5）无穷小量比较

设和是同一变化过程中的无穷小量

①如果lim＝0，则称是比高阶的无穷小量，记作0

②如果lim＝C≠0，则称是与同阶的无穷小量；特别的，若C=1，则称与等价的无穷小量，记作~

③如果lim＝∞，则称是比低阶的无穷小量

两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘除法运算中应用

常用等价无穷小量代换有：（当x→0时）

xx~sin xx~tan xx~arctan xx~arcsin xx~)1ln(

xex~1 2~cos12xx

四、两个重要极限

1）lim0xxxsin＝1 推广式：lim0)(xf)()(sinxfxf＝1

2）limxxx1)1(＝e 特别的：nnn)11(lim＝e

limxxx1)1(＝e等价于xxx10)1(lim＝e ，这个形式有如下特征：

①指数的绝对值趋于无穷大 ②括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外指数的倒数

定理14：)(10)()(1limxfxfxf＝e

↓推论

若0)(limxf ，0)()(limCxgxf

则： cxgxfxgeexf)()(lim)(1)(1lim

五、求极限的方法

①运用极限的四则运算法通过通分、约分等形式求极限

②利用无穷小量的性质求极限

③利用等价无穷小量（或无穷大量）求极限

④利用两个重要极限求极限

【函数的连续性】

一、 函数连续性的概念

1） 函数在点x0处连续

设函数)(xfy在点x0的某个邻域内有定义，当x趋于x0时)(xf趋于)(0xf，则函数)(xf在点x0处连续，记作：lim0xx)()(0xfxf

定理15：设)(xfy在点x0的某个邻域内有定义，则)(xf在点x0处连续的充要条件是，当0xx，)(xf的左右极限存在且等于函数值)(0xf，

即：lim0xx)(xf＝lim0xx)(xf＝)(0xf

由定理15知：构成)(xf在点x0处连续的三要素是：

①函数)(xf在点x0处有定义

②当0xx，)(xf的极限存在

③极限值＝该点函数值)(0xf

若上述三点不满足，则)(xf在点x0处不连续，即间断

2） 左（右）连续

对于函数)(xfy，

若lim0xx)(xf＝)(0xf，则称)(xf在x0处左连续

若lim0xx)(xf＝)(0xf，则称)(xf在x0处右连续

定理16：若函数)(xfy在点x0处连续，则)(xf在点x0处即左连续也右连续

3） 函数在区间上的连续

如果函数)(xfy在开区间ba,内每点都连续，则称)(xf在开区间ba,内连续。

如果函数)(xfy在开区间ba,内连续，且在ax处右连续，即)()(limafxfax ，在bx处左连续，即limbx)()(bfxf，则称函数)(xf在闭区间[a，b]上连续。 4） 函数的间断点

若函数)(xfy在点x0处不连续，则称x0为)(xfy的一个间断点

若)(xf在点x0处有一下三种情况，则点x0就是)(xf的一个间断点

①)(xf在点x0处无定义

②当x→x0时，)(xf的极值不存在

③)(xf在点x0处有定义，lim0xx)(xf也存在，但是lim0xx)(xf≠)(0xf

二、 函数在一定处连续的性质

1） 连续函数四则运算（定理17）

设函数)(xf，)(xg在点x0处均连续，则：

①)(xf±)(xg在点x0处连续

②)(xf·)(xg在点x0处连续

③若)(xg≠0，则)()(xgxf在点x0处连续

2） 复合函数连续性

定理18：如果函数)(xgu在0xx处连续，)(ufy在)(00xgu连续，则，)(xgf在0xx处连续，

)(xgf在x0处的极值＝)(xgf在x0处的函数值 即：)()()(0limlim00xgfxgfxgfxxxx

推论：若x0是)(xg的间断点，0)(lim0uxgxx存在，且)(uf在点0u处连续，则仍有)()(limlim00xgfxgfxxxx

3） 反函数的连续性

定理19：如果函数)(xfy在某区间上连续，且为严格单调函数，则它的反函数)(1xfy也在对应区间上连续，且严格单调

三、 闭区间上连续的函数性质

定理20（有界定理）：若函数)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上必有界，即存在M＞0，对任意bax,，总有)(xf≤M

定理21（最值定理）若函数)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上必能取得最大值M和最小值m，即在ba,上存在1x与2x使得

①mxf)(1，Mxf)(2

②m≤)(xf≤M，bax,

定理22（介值定理）若)(xf在ba,上连续，且其最大值、最小值分别为M、m，则对于在M和m之间的任意实数C（n＜C＜M﹚，必定存在ξ↔ba,，使得f(ξ)=C

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考研数学高数冲刺重点内容：函数极限连续

考研数学高数冲刺重点内容：函数极限连续

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考研数学高数冲刺重点内容：函数极限连续

考研冲刺复习阶段对高数的复习也应该有重点，能够在大纲的基础上找到个人应该侧重的地方才能真正意义上的利用好冲刺复习时间，突破自己15考研的分数极限。

函数极限连续

①正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。

②理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。掌握利用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。

③理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和介值定理)，并会应用这些性质。重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：limsinx/x=1，lim(1+1/x)=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。

小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。加油！

数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续

数学强化班(武忠祥)-高数第一章 函数、极限、连续

1 第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）

2． 函数的性态

1）单调性

定义：单调增： ).()(2121xfxfxx

单调不减： ).()(2121xfxfxx

判定：（1）定义：

(2）导数：设)(xf在区间I上可导，则

a) )(0)(xfxf单调不减；

b) )(0)(xfxf单调增；

2)奇偶性

定义：偶函数 );()(xfxf 奇函数 ).()(xfxf

判定：(1）定义：

(2）设)(xf可导，则：

a))(xf是奇函数 )(xf是偶函数；

b))(xf是偶函数 )(xf是奇函数；

(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：)()(xfTxf

判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；

(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；

4)有界性 2 定义：若;)(,,0MxfIxM则称)(xf在I上有界。

判定：（1）定义：

（2）)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上有界；

（3）)(xf在),(ba上连续，且)0()0(bfaf和存在)(xf在）（ba,上有界；

（4）)(xf在区间I（有限）上有界)(xf在I上有界；

3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)

4．基本初等函数与初等函数

基本初等函数:

常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.

初等函数:

函数极限研究及点和域连续的“相对论”

函数极限研究及点和域连续的“相对论”

技　息　高校理科研究　函数极限研究及点和域连续酗“相对论’’　北京航空航天大学　陈天宇　张铮　苏飞　［摘要］本文构造了一种“逐点跳跃”的特殊函数，并根据点极限的基本定义，证明了该函数极限的存在。进而，从函数点连续的基　本定义，讨论了点连续和域连续的关系。本文这两方面的研究，有助于拓宽和深化对函数点极限和连续以及域连续的理解和认识。　［关键词］点极限　点连续　域连续　引言　在高等数学中，对于函数在一点的极限和连续的定义是十分清晰　的，即极限存在是连续的基础条件；点连续和域连续的关系也是十分明　确的，即以域内逐点连续定义域连续。　实质上，函数极限的存在并不以函数连续为基础，函数连续也并不　仅仅等同于解析函数的连续。通过我们的研究表明，函数极限的定义有　着比一般理解更深广的含义；函数的点连续和域连续也有着比函数连　续的一般含义更本质的一致性。　一、基础定义　设Ｄ是ｎ维欧氏空间Ｒｎ的一个子集，即ＤＣ　，那么映射ｆ：Ｄ—Ｒ　称为ｎ元函数，其中Ｄ称为函数ｆ的定义域，ｆ（Ｄ）ＣＲ称为函数ｆ的值域。　（１）ｉｉｉ数的极限　如上所述，对于点ａ∈Ｄ（８∈Ｒｎ），有数ｚ，对于任意给定的小数ｓ＞０，　总是存在正数８，当０＜ｌｌ　ｘ—ａ　Ｉｌ＜８（ｘ∈Ｄ）（以下用“Ｂ　（ａ）”表示）时，有　Ｉ　ｘ）一ｆ　１＜８，则称函数ｆ在点ａ处有极限２，也就是说，当ｘ趋向于ａ时，　ｆｆｘ）趋向于Ｚ，记作　ｌｉｍ　ｆ（ｘ）＝Ｚ　ｘ　ｘＥＤ　或者简记为：ｘ—ａ：ｆｆｘ）一ｚ　（２１函数的连续　在函数极限存在的前提下，对于Ｄｃ　ＲｒＩ，ｆ＝Ｄ—Ｒ，ａＥＤ，如果任意给　定小数ｅ＞０，总有正数８，使得在ＢＢ（ａ）内，Ｉｆ（ｘ）一ｆ（ａ）Ｉ＜８成立，则称函数ｆ　在点ａ连续。　当函数　ｘ）在区域Ｄ内每一个点都连续，则称ｆ（ｘ）在域Ｄ内连续，　ｆｆ　电称为域Ｄ上的连续函数。　二、关于函数点极限的讨论　首先，构造如图ｌ所示“逐点跳跃”函数（以下简称“点函数”）：设　ＤＣＲ＂，ｆ：Ｄ—Ｒ，ａ∈Ｄ，对于域内任意相邻两点ｘ。和Ｘ２；Ｘｌ＜ｘ２＜ａ，满足不　等式　Ｉ　ｆ（ｘ　）一ｆｌ（ａ）Ｉ＞Ｉ　ｆ（ｘ２）－ｆ（ａ）Ｉ，且ｆｆｌ（ｘ・）—目ｆａ）】×［ｆ（ｘ２）一ｆ（ａ）】＜０　

2016考研高数函数极限连续重要知识点

2016考研高数函数极限连续重要知识点

第 1 页 共 1 页 2016考研高数函数极限连续重要知识点

我们都知道在各个科目的学习中，对重要知识点进行归纳总结可以有效地帮助我们的学习，在考研高数中当然也不例外。针对考研高数的学习，我们为大家带来了2016考研高数函数极限连续重要知识点，希望可以更好地帮助同学们对于复习考研高数。

第一点函数。

函数的概念和性质这些都是高中已经学过的内容，这里主要是以复习的形式来回顾一下，但要提醒考生注意函数的有界性和复合函数运算，要认真理解，因为函数的有界性是新知识，并且对后面知识点的学习起到铺垫的作用，复合函数运算对后面函数的求导、积分等都一定的关系，所以请同学们认真理解。

第二点极限。

说起极限，大家都会想起什么呢?是不是想起现阶段极限计算有几种，我们来复习一下：

1)四则运算。在这里要强调一点：什么时候运用四则运算，四则运算要求每个极限都存在，才能有两个函数的极限等于分别求极限之和，否则不能应用四则运算。

2)等价无穷小替换。等价无穷小替换公式可以将极限的计算化简，使得我们更快的求解结果，但这要注意几个问题，第一，什么情况下可以应用等价无穷小替换公式，并不是任何情况下都可以等价替换的，只有在乘法和除法时可以应用的，这一点请同学们注意，有很多同学不记得这一点，上来就替换，最后算错了。第二，牢记等价无穷小替换公式，掌握它的广义化形式，不要记错公式和没有任何前提的应用广义化形式。

3)洛必达法则。说起这个法则，大家应该都很熟悉，没事“导”两下，但是这个可不是什么情况都能使用洛必达法则的，它是有条件的，三条，你还记得么?另外，洛必达法则并不是上来一个极限就用的，一般情况下是先利用等价无穷替换公式和四则运算等将极限表达式化简，最后再用洛必达法则，前提要验证是不是满足洛必达法则的三个条件，只要是想利用，就必须验证条件，而且这三个条件在历年考研真题中也考察过，请同学们注意。