2019-2020年高三数学 第78课时 函数的极限和连续性教案
教学目标： 了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质
（一） 主要知识及主要方法：
函数极限的定义:
当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时， ；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是.
记作或者当当时，
如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， .
常数函数: ()，有.
存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义.
趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；.
000lim()lim()lim()xxxxxxfxafxfxa.
其中表示当从左侧趋近于时的左极限，
表示当从右侧趋近于时的右极限.
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，,那么,
, .
当是常数，是正整数时:,
这些法则对于的情况仍然适用.
函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，
且，那么函数在点处连续.
函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数.
函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数.
最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值.
最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值.
最大值最小值定理
如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值.
极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；
高三数学最难的知识点
数学作为一门学科，对于许多学生来说往往是一座难以攀登的高山，而在高三阶段，数学知识的深入难度更是令人望而生畏。在高三数学中，存在着一些被广大学生认为是最难的知识点。下面我们将详细探讨这些知识点，了解其具体内容及解题方法。
一、极限与连续性
极限与连续性作为高中数学的重要内容，在高三学习中也是最具挑战性的知识点之一。首先，极限的概念较为抽象，涉及到数列极限和函数极限等多个方面。对于学生来说，理解极限的定义以及极限的性质都需要相当的时间和精力。其次，连续性的学习和应用也是颇具难度的。通过理论和实例深入研究连续函数的性质与图像，需要一定的数学功底和逻辑思维能力。因此，高三学生往往会认为极限与连续性是数学中最难以掌握的知识点之一。
二、向量与矩阵
向量与矩阵是高三数学中的另一个难点，也是在高考中出现频率较高的考点之一。向量的定义、向量的运算及其性质等内容都需要深入理解和掌握。此外，向量的几何表示也需要对平面和空间的空间几何有较好的把握。另外，矩阵的运算、行列式及其性质等也是需要花费大量时间去理解和记忆的内容。因此，向量与矩阵是高三数学中被普遍认为比较困难的知识点之一。
三、微分与导数
微分与导数是高三数学中的重点和难点内容。微分的定义、导数的计算和性质等需要学生熟练掌握。此外，导数的应用也是学生较难理解和运用的部分。导数的应用题通常需要将实际问题转化为数学模型，并进行适当的求导和解析。这需要学生有较强的数学建模能力和逻辑思维能力。因此，微分与导数是高三数学中普遍认为较难的知识点之一。
四、概率与统计
概率与统计作为高三数学的重要内容，对于很多学生来说也是难以理解和应用的知识点。在概率中，事件的概念、概率的计算、条件概率等内容都需要学生进行大量的练习和思考，才能够熟练掌握。在统计中，频率分布表的构建、样本调查与统计量的计算等也需要学生具备一定的数据分析和运算能力。因此，概率与统计是高三数学中的难点之一。
第四节 函数的连续性及极限的应用
1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0limxxf(x)存在，且0limxxf(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；
(2)0limxxf(x)存在；
(3)0limxxf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.
如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．
3.函数连续性的运算:
①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(xgxf(g(x)≠0)也在点x0处连续。
②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。
4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：
如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.
f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)
在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).
5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有axlimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有bxlimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.
6. 最大值最小值定理
高考必考的数学知识点大全
2023高考必考的数学知识点大全
临近高考，同学们都在紧张地备考，你们知道在高考中，数学这一科可能会考大家哪些知识点吗?下面是小编为大家整理的关于高考必考的数学知识点大全，欢迎大家来阅读。
高考数学的知识点
一、间断点求极限
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限;
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限 存在;
3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线);
4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
二、下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
(一)重要题型及点拨
1、求数列极限
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
2、抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现， 因此可以通过举反例来排除。 此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
(二)求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。
首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性;其次，通过递推关系中取极限，解方程， 从而得到数列的极限值。
b、利用函数极限求数列极限
如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
(三)求项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
a、利用特殊级数求和法
如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
b、利用幂级数求和法
若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
c、利用定积分定义求极限
