北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

1 / 17 线段、射线、直线（提高）知识讲解

【学习目标】

1．在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方式表示；

2. 通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验；

3. 能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；

4. 通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力.

【要点梳理】

要点一、线段、射线、直线的概念及表示方法

1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：

（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．

要点诠释：

（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．

（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.

（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.

（4）线段、射线、直线都没有粗细．

2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.

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要点诠释：

（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；

端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．

（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

3.线段、射线、直线的区别与联系

线段 射线 直线

图示

表示方法 线段AB或线段a 射线OA或射线a 直线AB或直线a

端点 两个 一个 无

长度 可度量 不可度量 不可度量

延伸性 不向两方延伸 向一方无限延伸 向两方无限延伸

图4

图5 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

3 / 17 要点二、基本性质

1. 直线的性质：经过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．

要点诠释：

（1）点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；

②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.

（2）两条不同的直线相交只有一个交点.

2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

要点诠释：

（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.

要点三、比较线段的长短

1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 图7 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

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法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．

要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.

2.线段的比较：

（1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

（2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：

3.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，点C是线段AB的中点，则12ACCBAB，或AB＝2AC＝2BC．

要点诠释：若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．

【典型例题】

类型一、有关概念

1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．

【答案与解析】

解：直线有一条：直线AD； 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

5 / 17 射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；

线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．

【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．

举一反三：

【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点. 这是为什么?画图说明.

【答案】

解：

∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）

∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.

类型二、有关作图

2．（2019春•高青县期中）已知平面上四点A、B、C、D，如图：

（1）画直线AD；

（2）画射线BC，与AD相交于O；

（3）连结AC、BD相交于点F． 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

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【思路点拨】（1）画直线AD，连接AD并向两方无限延长；（2）画射线BC，以B为端点向BC方向延长交AD于点O；（3）连接各点，其交点即为点F．

【答案与解析】

解：如图所示：

【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键．

举一反三：

【变式1】下列说法正确的有 ( )

①射线与其反向延长线成一条直线；

②直线a、b相交于点m；

③两直线相交于两个交点；

④直线A与直线B相交于点M

A．3个 B．2个 C．1个 D．4个

【答案】C

【变式2】下列说法中，正确的个数有( )

①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的； 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

7 / 17 ②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；

③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；

④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

类型三、个（条）数或长度的计算

3. 根据题意，完成下列填空．

如图所示，1l与2l是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线3l，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线4l，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．

【答案】3， 6， 15， (1)2nn.

【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．

【总结升华】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有：(1)123...(1)2nnn个.

举一反三：

【变式1】平面上有n个点，最多可以确定 条直线.

【答案】(1)2nn

【变式2】一条直线有n个点，最多可以确定 条线段， 条射线. 北师大版初中数学七年级上册知识讲解 巩固练习题 线段、射线、直线(提高)

8 / 17 【答案】(1)2nn，2n

【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?

【答案】0个，1个，2个，或3个.

4. 已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．

【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．

【答案与解析】

解：①当点C在线段AB上时，如图所示．

因为M是线段AC的中点，

所以12AMAC．

又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，

所以1()2AMABBC1(144)5(cm)2．

②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．

因为M是线段AC的中点，

所以12AMAC．

又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，

所以1()2AMABBC9(cm)．

所以线段AM的长为5cm或9cm．