带通采样定理和低通采样定理

带通抽样定理 【1 】现实中碰到的很多旌旗灯号是带通型旌旗灯号,这种旌旗灯号的带宽往往远小于旌旗灯号中间频率.若带通讯号的上截止频率为H f ,下截止频率为L f ,这时其实不须要抽样频率高于两倍上截止频率H f ,可按照带通抽样定理肯定抽样频率.[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时光持续旌旗灯号)(t x ,旌旗灯号带宽L H f f B -=,令N B f M H -=/,这里N 为不大于B f H /的最大正整数.假如抽样频率s f 知足前提mf f m f L s H 212≤≤+,10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(t x .对旌旗灯号)(t x 以频率s f 抽样后,得到的采样旌旗灯号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经由周期延拓而成,延拓周期为s f ,如图3-3所示.为了可以或许由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(t x ,必须选择适合的延拓周期（也就是选择采样频率）,使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量消失混叠,如许运用带通滤波器就可以由采样序列重建原始旌旗灯号.因为正负频率分量的对称性,我们仅斟酌),(H L f f 的频带分量不会消失混叠的前提. 在抽样旌旗灯号的频谱中,在),(H L f f 频带的双方,有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-.为了防止混叠,延拓后的频带分量应知足L s L f mf f ≤+-（3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1(（3.1-11）分解式（3.1-10）和式（3.1-11）并整顿得到mf f m f L s H 212≤≤+（3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数.假如m 取零,则上述前提化为H s f f 2≥（3.1-13）这时现实上是把带通讯号看作低通讯号进行采样.m 取得越大,则相符式（3.1-12）的采样频率会越低.但是m 有一个上限,因为mf f L s 2≤,而为了防止混叠,延拓周期要大于两倍的旌旗灯号带宽,即B f s 2≥.是以 Bf B f f f m L L s L =≤≤222（3.1-14） 因为N 为不大于B f H /的最大正整数,是以不大于B f L /的最大正整数为1-N ,故有10-≤≤N m综上所述,要无掉真的恢回复复兴始旌旗灯号)(t x ,采样频率s f 应知足mf f m f L s H 212≤≤+,10-≤≤N m （3.1-15） ff L f Hf H f -L f -L f H f H f -L f -图3-3 带通采样旌旗灯号的频谱带通抽样定理在频分多路旌旗灯号的编码.数字吸收机的中频采样数字化中有主要的运用. 作为一个特例,我们斟酌NB f H =（1>N ）的情形,即上截止频率为带宽的整数倍.若按低通抽样定理,则请求抽样频率NB f s 2≥,抽样后旌旗灯号各段频谱间不重叠,采取低通滤波器或带通滤波器均能无掉真的恢回复复兴始旌旗灯号.依据带通抽样,若将抽样频率取为B f s 2=（m 值取为1-N ）,抽样后旌旗灯号各段频谱之间仍不会产生混叠.采取带通滤波器仍可无掉真地恢回复复兴始旌旗灯号,但此时抽样频率远低于低通抽样定理NB f s 2=的请求.图3-4所示为B f H 3=,B f s 2=时抽样旌旗灯号的频谱.ffff图3-4 B f H 3=,B f s2=时的抽样频谱 在带通抽样定理中,因为10<≤M ,带通抽样旌旗灯号的抽样频率在B 2到B 4之间变更,如图3-5所示.f H f B2350图3-5 带通抽样定理 由以上评论辩论可知,低通讯号的抽样和恢复比起带通讯号来要简略.平日,当带通讯号的带广大B 于旌旗灯号的最低频率L f 时,在抽样时把旌旗灯号当作低通讯号处理,运用低通抽样定理,而在不知足上述前提时则运用带通抽样定理.模仿德律风旌旗灯号经限带后的频率规模为300Hz ～3400Hz,在抽样时按低通抽样定理,抽样频率至少为6800Hz.因为在现实实现时滤波器均有必定宽度的过渡带,抽样前的限带滤波器不克不及对3400Hz 以上频率分量完整予以克制,在恢复旌旗灯号时也不成能运用幻想的低通滤波器,所以对语音旌旗灯号的抽样频率取为8kHz.如许,在抽样旌旗灯号的频谱之间即可形成必定距离的呵护带,既防止频谱的混叠,又放松了对低通滤波器的请求.这种以恰当高于奈奎斯特频率进行抽样的办法在现实运用中是很罕有的.。

低通抽样定理
低通抽样定理是一种重要的数学定理，它描述了一种特殊的抽样方法，可以用
来从一个信号中提取出低频成分。

它是由美国数学家Claude Shannon在1949年提出的，他认为，如果一个信号的频率低于一定的阈值，那么它就可以被抽样，而不会丢失任何信息。

低通抽样定理的基本原理是，如果一个信号的频率低于一定的阈值，那么它可
以被抽样，而不会丢失任何信息。

这意味着，如果一个信号的频率低于一定的阈值，那么它可以被抽样，而不会丢失任何信息。

这就是低通抽样定理的基本原理。

低通抽样定理的应用非常广泛，它可以用来提取低频信号，也可以用来进行数
据压缩。

它还可以用来提取图像中的低频成分，从而提高图像的质量。

总之，低通抽样定理是一种重要的数学定理，它描述了一种特殊的抽样方法，
可以用来从一个信号中提取出低频成分。

它的应用非常广泛，可以用来提取低频信号，也可以用来进行数据压缩，还可以用来提高图像的质量。

关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

带通采样（Under-sampling）是指在采样过程中，采样频率低于信号的最大频率的奈奎斯特频率（Nyquist rate）。

带通采样主要用于对带通信号进行采样，其原理是通过对信号带宽的压缩，实现低采样率下的信号采集。

在ADC（模拟数字转换器）中，带通采样技术可以应用于下变频（down-converting）过程，以降低采样率和系统复杂度。

带通采样原理：1. 信号带宽：信号的带宽是指信号的最高频率与最低频率之差。

对于带通信号，其带宽通常远低于信号的最高频率。

2. 奈奎斯特定理：根据奈奎斯特定理，当采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，可以通过采样得到原始信号的完整信息。

3. 带通采样：对于带通信号，可以采用带通采样方法，即将信号带宽压缩到较窄的范围内，从而降低采样率。

带通采样定理指出，当采样频率大于信号带宽的2倍时，可以实现信号的完整重建。

4. 欠采样：带通采样是一种欠采样（under-sampling）方法，采样频率低于奈奎斯特频率。

欠采样可能导致信号失真和混叠，但通过后续的信号处理和滤波，可以降低失真和混叠的影响。

在ADC中，带通采样技术可以应用于下变频过程：1. 带通采样与下变频：在ADC中，带通采样技术可以用于降低采样率，从而降低系统复杂度和成本。

通过将信号带宽压缩到较窄的范围内，可以在较低的采样率下实现信号的采集。

2. 下变频：下变频过程是指将信号从较高的频率转换到较低的频率。

在ADC中，带通采样可以应用于下变频过程，以降低采样率和系统复杂度。

3. 数字滤波：在下变频过程中，可能需要对信号进行数字滤波，以去除混叠和失真。

数字滤波器的设计需要考虑信号的带宽和采样率等因素。

带通采样（欠采样）原理及其在ADC中下变频的应用可以帮助降低采样率和系统复杂度，从而提高ADC的性能和效率。

在实际应用中，需要根据信号特性和系统需求，选择合适的带通采样方法和下变频策略。

带通采样是一种采样率低于奈奎斯特频率的采样方法，主要用于对带通信号进行采样。

带通信号的采样与重建一、带通采样定理的理论基础基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。

作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。

射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。

这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。

这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。

带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。

带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式：s f =2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。

带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。

如图2.3所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1]，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。

这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。

图2.3 带通信号采样式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示：0214s n f f +=（2-2）式中，()02L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。

当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212n f B +=。

也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。

带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。

带通采样编辑带通采样又叫IF采样、调和采样、下奈奎斯特采样和下采样等[1]。

实际中遇到的许多信号是带通型信号?这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为fH,下截止频率为fL, 这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率fH,可按照带通抽样定理确定抽样频率。

带通采样定理：设带通信号m(t),其频率限制在fL与fH之间，带宽为B=fH-fL，如果最小抽样速率fs=2fH/m,m是一个不超过fH/B的最大整数，那么m(t),可以完全由其抽样值确定。

降采样：2048HZ对信号来说是过采样了，事实上只要信号不混叠就好（满足尼奎斯特采样定理），所以可以对过采样的信号作抽取，即是所谓的“降采样”。

在现场中采样往往受具体条件的限止，或者不存在300HZ的采样率，或调试非常困难等等。

若R>>1，则Rfs/2就远大于音频信号的最高频率fm，这使得量化噪声大部分分布在音频频带之外的高频区域，而分布在音频频带之内的量化噪声就会相应的减少，于是，通过低通滤波器滤掉fm以上的噪声分量，就可以提高系统的信噪比。

原采样频率为2048HZ，这时信号允许的最高频率是1024HZ（满足尼奎斯特采样定理），但当通过滤波器后使信号的最高频率为16HZ，这时采样频率就可以用到32HZ（满足尼奎斯特采样定理，最低为32HZ，比32HZ高都可以）。

从2048HZ降到32HZ，便是每隔64个样本取1个样本。

这种把采样频率降下来，就是降采样downsample）。

这样做的好处是减少数据样点，也就是减少运算时间，在实时处理时常采用的方法。

过采样：过采样定义：就是用高于nyquist频率进行采样，好处是可以提高信噪比，缺点是处理数据量大。

过采样是使用远大于奈奎斯特采样频率的频率对输入信号进行采样。

设数字音频系统原来的采样频率为fs，通常为44.1kHz或48kHz。

若将采样频率提高到R×fs，R称为过采样比率，并且R>1。

通信原理课后思考题1.1 如何评价数字通信系统的性能？有效性（单位时间内的信息传输量）信息传输速率，一般用波特率（BPS ）或比特率（bps ）为单位，频带利用率可靠性（系统抗噪声性能）对模拟（连续）系统，主要是考察接收端输出的信号、噪声功率比（信噪比）对数字（离散）系统，主要是考察符号的差错率（误码率）2.1 什么是误码率？什么是误信率？它们之间的关系如何？误码率: 是指错误接收的码元数在传送总码元数中所占的比例，或者更确切地说，误码率是码元在传输系统中被传错的概率。

误信率:又称误比特率，是指错误接收的信息量在传送信息总量中所占的比例，或者说，它是码元的信息量在传输系统中被丢失的概率。

在二进制系统中，误码率=误信率；但在多进制系统中，误码率> 误信率误码率Pe 与误信率Pb 的关系Pb=MPe/2(M-1) ，M 为进制2.2 什么是码元速率？什么是信息速率？它们之间的关系如何？码元传输速率，又称为码元速率或传码率。

其定义为每秒钟传送码元的数目，单位为"波特",常用符号"Bd"表示。

信息传输速率又称为信息速率和传信率。

通常定义每秒钟传递的信息量为传信率，单位是比特/秒(bit/s 或bps)。

在N 进制下，设信息速率为，码元速率为, 则有2.3 什么是随机过程的数学期望和方差？它们分别描述了随机过程的什么性质？数学期望:表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心。

即均值方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。

即均方值与均值平方之差。

数学期望和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征，但没有反映随机过程不同时刻之间的内在联系。

2.4 平稳随机过程通过线性系统时，输出随机过程和输入随机过程的数学期望及功率谱密度之间有什么关系？系统输出功率谱密度是输入功率谱密度与系统传递函数的平方的乘积。

)()()(2ωωωξξP H P =3.1 低通型采样定理和带通型采样定理有什么区别？低通型采样定理：奈奎斯特定理，fs > 2B = 2fH带通型采样定理：对于带通型信号，如果按fs ≥2fH 抽样，虽然能满足频谱不混叠的要求。

带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。

一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。

首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。

@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。

（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。

二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。

1）采样率的确定，以哪个频率为基础？采样定理：带通采样定理：当连续信号的频带限在ωL到ωH之间，而且ωL≥W=ωH-ωL 时，称为带通信号。

此时并不一定需要采样频率高于两倍最高频率，对于窄带高频信号(W/ωH <<1) ，其采样速率近似等于2W。

这就使我们可以大大降低采样速率，为高频带通信号的数字化传输提供了有利条件。

低通采样定理：对一个低通带限信号进行均匀理想采样，如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍，采样后的信号可以精确地重建原信号，可以表示为fs≥2fmax或Ts≤1/2fmax，式中fs=1/Ts，fmax是信号的最高频率。

当f=2fmax 时的采样频率为临界采样频率或称为“奈奎斯特率”。

低通采样定理是带通采样的特殊形式。

采样率的确定：带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

一般来说，根据奈奎斯特采样定理，仪器的采样率必须不低于信号带宽的两倍。

而实际上，要还原波形，采样频率仅仅满足采样定理是不够的，采样频率要“大于”信号带宽2倍，才可以得到信号的完整信息。

采样定理是避免信号在频域出现混叠失真的最基本条件，而不是时域信号不失真的条件。

所以，要恢复原信号，采样率是“大于”而非“等于”信号带宽的两倍。

理论上，采样率越高，越能反应原信号的真实情况，但是采样率越高，需要存储和处理的资源也就越大，所以，为了综合考虑，一般选取采样率为信号带宽的3到5倍。

2）采样率太低，会产生假频、混叠效应、波形失真。

进行理论分析数学推导和仿真。

有限带宽信号的数学分析：根据奈奎斯特采样定理，当对一个最高频率为fmax的带限信号进行采样时，采样频率fs必须大于fmax的两倍以上才能确保从采样值完全重构原来的信号。

带通采样定理3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。

如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。

对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。

为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+- （3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+ （3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数。

如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥ （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。

另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。

采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。

采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。

高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。

大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。

采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。

采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。

1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。

1948年信息论的创始人.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。

采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。

采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。

时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。

3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号,这种信号的带宽往往远小于信号中心频率;若带通信号的上截止频率为,下截止频率为,这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率,可按照带通抽样定理确定抽样频率;定理3-2 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号,信号带宽,令,这里为不大于的最大正整数;如果抽样频率满足条件, 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号;对信号以频率抽样后,得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成,延拓周期为,如图3-3所示;为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号,必须选择合适的延拓周期也就是选择采样频率,使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠,这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号;由于正负频率分量的对称性,我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件;在抽样信号的频谱中,在频带的两边,有着两个延拓频谱分量：和;为了避免混叠,延拓后的频带分量应满足综合式和式并整理得到这里是大于等于零的一个正数;如果取零,则上述条件化为这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样;取得越大,则符合式的采样频率会越低;但是有一个上限,因为,而为了避免混叠,延拓周期要大于两倍的信号带宽,即; 因此由于为不大于的最大正整数,因此不大于的最大正整数为,故有综上所述,要无失真的恢复原始信号,采样频率应满足, H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /sf mff m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(mff m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m mf f Ls 2≤B f s 2≥BfB f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f mff m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用; 作为一个特例,我们考虑的情况,即上截止频率为带宽的整数倍;若按低通抽样定理,则要求抽样频率,抽样后信号各段频谱间不重叠,采用低通滤波器或带通滤波器均能无失真的恢复原始信号;根据带通抽样,若将抽样频率取为值取为,抽样后信号各段频谱之间仍不会发生混叠;采用带通滤波器仍可无失真地恢复原始信号,但此时抽样频率远低于低通抽样定理的要求;图3-4所示为,时抽样信号的频谱;图3-4 ,时的抽样频谱在带通抽样定理中,由于,带通抽样信号的抽样频率在到之间变化,如图3-5所示;ffLf Hf H f -Lf -Lf Hf H f -Lf -NBf H =1>N NB f s 2≥B f s 2=m 1-N NB f s2=B f H 3=B f s 2=ffffB f H 3=B f s 2=10<≤M B 2B 4图3-5 带通抽样定理由以上讨论可知,低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单;通常,当带通信号的带宽大于信号的最低频率时,在抽样时把信号当作低通信号处理,使用低通抽样定理,而在不满足上述条件时则使用带通抽样定理;模拟电话信号经限带后的频率范围为300Hz ～3400Hz,在抽样时按低通抽样定理,抽样频率至少为6800Hz;由于在实际实现时滤波器均有一定宽度的过渡带,抽样前的限带滤波器不能对3400Hz 以上频率分量完全予以抑制,在恢复信号时也不可能使用理想的低通滤波器,所以对语音信号的抽样频率取为8kHz;这样,在抽样信号的频谱之间便可形成一定间隔的保护带,既防止频谱的混叠,又放松了对低通滤波器的要求;这种以适当高于奈奎斯特频率进行抽样的方法在实际应用中是很常见的;f Hf B2350B L f。

带通采样定理#(优选.）3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。

如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。

对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。

为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+- （3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+ （3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数。

如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥ （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

3.1.3带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率.[定理3-2］ 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数.如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3。

1—9) 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x .对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成,延拓周期为s f ，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠,这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-.为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+-（3。

1—10）H s H f f m f ≥++-)1(（3。

1—11)综合式（3。

1-10）和式（3.1—11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+（3。

1—12） 这里m 是大于等于零的一个正数。

如果m 取零,则上述条件化为H s f f 2≥（3.1—13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。

如果抽样频率满足条件， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。

对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。

为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足（3.1-10） （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到（3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。

如果取零，则上述条件化为（3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。

但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。

因此（3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有 综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足， （3.1-15） H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f mff m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(mff m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m mf f Ls 2≤B f s 2≥BfB f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f mff m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m图3-3 带通采样信号的频谱带通抽样定理在频分多路信号的编码、数字接收机的中频采样数字化中有重要的应用。

带通采样定理3.1.3 带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。

如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。

对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。

为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+- （3.1-10）H s H f f m f ≥++-)1( （3.1-11）综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+ （3.1-12） 这里m 是大于等于零的一个正数。

如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥ （3.1-13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

3.1。

3带通抽样定理实际中遇到的许多信号是带通型信号,这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。

若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2］ 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。

如果抽样频率s f 满足条件mf f m f L s H 212≤≤+，10-≤≤N m (3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x 。

对信号)(t x 以频率s f 抽样后,得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成,延拓周期为s f ，如图3—3所示。

为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号. 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边,有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-.为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足L s L f mf f ≤+-（3。

1-10)H s H f f m f ≥++-)1(（3.1-11)综合式(3.1—10)和式（3。

1—11）并整理得到mf f m f L s H 212≤≤+（3。

1—12) 这里m 是大于等于零的一个正数.如果m 取零，则上述条件化为H s f f 2≥（3.1—13）这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

低通抽样定理的理解带通信号抽样速率的一统性研究（篇一）:低通抽样定理的理解写在前：这是笔者第一篇CSDN博客，希望未来保持更新和分享，督促自己学习和思考，也希望能有助于小伙伴们的解惑，内容是关于通信和信号处理方面的。

我现在基本还是通信和信息的小白，会不断学习。

如果内容有出错或者不够严谨的地方希望指正，相互交流，共同进步。

本篇是《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇一，基础知识部分。

从频域和时域两个角度对低通抽样定理进行了探讨和理解。

在通信与信息系统中需要将一个时间连续信号（模拟信号，时间和幅度上均连续）通过抽样（或称为采样）来转换为时间离散信号（时间离散，幅度不离散），继而通过量化、编码得到数字信号（时间离散，幅度离散）。

数字信号相对于模拟信号具有便于存储、处理、传输等优点。

我们只探讨抽样过程和其对应的信号恢复过程。

经过抽样得到的离散序列需要能够还原出原来的模拟信号，这也就意味着抽样过程完整地保留了原信号的信息。

抽样过程追求高效，离散序列的长度被期待尽量短（对应抽样速率尽量低）。

抽样定理包含两个内容：低通抽样定理和带通抽样定理。

我们先从低通抽样定理入手。

低通抽样定理：给定最高非零频率为fH f_HfH的带限信号m(t) m(t)m(t)，如果取抽样间隔Ts<1/(2fH) T_s<1/(2f_H)Ts<1/(2fH )（即抽样速率fs>2fH f_s>2f_Hfs>2fH，有些资料的表达为fs≥2f H f_s\ge2f_Hfs≥2fH），则m(t) m(t)m(t)由其样值序列{mn=m(nTs)，n为整数} \big\{m_n=m(nT_s)，n为整数\big\}{mn=m(nTs)，n为整数}唯一确定，即m(t)⟷只要fs>2fH{mn，n=0,±1,±2,…} m(t)\stackrel{只要f_s>2f_H}{\longleftrightarrow}\big\{m_n，n=0,\pm1,\pm2,…\big\}m(t)⟷只要fs>2fH{mn，n=0,±1,±2,…}低通抽样定理中，抽样速率必须大于2fH 2f_H2fH，该频率2fH 2f_H2fH通常称为奈奎斯特频率。