Chapter4 非线性电路分析v1.0
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非线性电路及其分析方法
第４章非线性电路及其分析方法-12
3.非线性器件频率变换作用的分析
这部分的内容，主要介绍当给定一个非线性器件的伏安 特性幂级数多项式和输入信号的频率成分，来判断输出量中 会产生哪些频率分量。
假设某非线性器件在工作点VQ 附近的伏安特性曲线为
i a0 a1 (v VQ ) a2 (v VQ )2 a3 (v VQ )3
线性电路：输出与输入波形相似，频率成分相同 非线性电路：输出与输入波形失真，基频相同， 频率成分不同
第４章非线性电路及其分析方法-9
下面，我们定量分析频率变换
设 i av2 vi V1m cos1t V2m cos2t
i aV12m cos2 1t aV22m cos2 2t 2aV1mV2m cos1t cos2t
其中，0 为直流项；1(V1m cos1t V2m cos2t) 为线性项，
包含频率分量1 和2 ；平方项包含的频率分量有直流 21 、 22 、1 2 和1 2 ；
第４章非线性电路及其分析方法-14
i 利用三角公式 将三次项展开整理后， 中的频率成分如下
3 (V1m cos1t V2m cos2t)3 3 (V13m cos3 1t 3V12mV2m cos2 1t cos2t 3V1mV22m cos1t cos2 2t V23m cos3 2t)
静态电感：
LQ IQ
动态电感： L(i) d di
第４章非线性电路及其分析方法-6
4.2.2 非线性电路特点
由线性元件组成的电路叫做线性电路，如无源滤波器，低频和高频小 信号放大器等；由非线性元件组成的电路叫做非线性电路，如本课程中 之后要讲的功率放大器，振荡器，及各种调制解调电路等。非线性电路 的实质是输出产生了新的频率。
3.非线性器件频率变换作用的分析
这部分的内容，主要介绍当给定一个非线性器件的伏安 特性幂级数多项式和输入信号的频率成分，来判断输出量中 会产生哪些频率分量。
假设某非线性器件在工作点VQ 附近的伏安特性曲线为
i a0 a1 (v VQ ) a2 (v VQ )2 a3 (v VQ )3
线性电路：输出与输入波形相似，频率成分相同 非线性电路：输出与输入波形失真，基频相同， 频率成分不同
第４章非线性电路及其分析方法-9
下面，我们定量分析频率变换
设 i av2 vi V1m cos1t V2m cos2t
i aV12m cos2 1t aV22m cos2 2t 2aV1mV2m cos1t cos2t
其中，0 为直流项；1(V1m cos1t V2m cos2t) 为线性项，
包含频率分量1 和2 ；平方项包含的频率分量有直流 21 、 22 、1 2 和1 2 ；
第４章非线性电路及其分析方法-14
i 利用三角公式 将三次项展开整理后， 中的频率成分如下
3 (V1m cos1t V2m cos2t)3 3 (V13m cos3 1t 3V12mV2m cos2 1t cos2t 3V1mV22m cos1t cos2 2t V23m cos3 2t)
静态电感：
LQ IQ
动态电感： L(i) d di
第４章非线性电路及其分析方法-6
4.2.2 非线性电路特点
由线性元件组成的电路叫做线性电路，如无源滤波器，低频和高频小 信号放大器等；由非线性元件组成的电路叫做非线性电路，如本课程中 之后要讲的功率放大器，振荡器，及各种调制解调电路等。非线性电路 的实质是输出产生了新的频率。
非线性电路分析解析ppt课件
则称函数关系f所描述的系统为线性系统。
5
非线性电路中至少包含
一个非线性元件，它的输出 输入关系用非线性函数方程 v + 或非线性微分方程表示，右 –
图所示是一个线性电阻与二
极管组成的非线性电路。
Di
i
ZL
0
V0 v
二极管电路及其伏安特性
二极管是非线性器件，ZL为负载，V是所加信号 源，幅度不大。设非线性元件的函数关系为i = f
所表征的电流。如果根据叠加原理，电流i应该是v1和 v2分别单独作用时所产生的电流之和，即
i
kv
2 1
kv
2 2
kV12m
sin2 1t
kV22m
sin2 2t
（6）
i kV12m sin2 1t kV22m sin2 2t 2kV1mV2m sin1t sin2t
（4）
18
i
kv
2 1
kv
28
(4) m次谐波(直流成分可视作零次、基波可 视作一次)以及系数之和等于m的各组合频 率成分，其振幅只与幂级数中等于及高于 m次的各项系数有关。例：直流成分与b0 、 b2都有关，而二次谐波及组合频率为1 + 2与1 - 2的各成分其振幅只与b2有关， 而与b0无关。
29
(5) 因为幂级数展开式中含有两个信号的相 乘项，起到乘法器的作用，因此，所有 组合频率分量都是成对出现的，如有1 + 2就一定有1 – 2，有21 – 2，就 一定有21 + 2，等等。
31
信号较大时，所有实际的非
线性元件，几乎都会进入饱和
ic
如右图所示半导体二 i
i
极管的伏安特性曲线。当 (a)
某一频率的正弦电压作
5
非线性电路中至少包含
一个非线性元件，它的输出 输入关系用非线性函数方程 v + 或非线性微分方程表示，右 –
图所示是一个线性电阻与二
极管组成的非线性电路。
Di
i
ZL
0
V0 v
二极管电路及其伏安特性
二极管是非线性器件，ZL为负载，V是所加信号 源，幅度不大。设非线性元件的函数关系为i = f
所表征的电流。如果根据叠加原理，电流i应该是v1和 v2分别单独作用时所产生的电流之和，即
i
kv
2 1
kv
2 2
kV12m
sin2 1t
kV22m
sin2 2t
（6）
i kV12m sin2 1t kV22m sin2 2t 2kV1mV2m sin1t sin2t
（4）
18
i
kv
2 1
kv
28
(4) m次谐波(直流成分可视作零次、基波可 视作一次)以及系数之和等于m的各组合频 率成分，其振幅只与幂级数中等于及高于 m次的各项系数有关。例：直流成分与b0 、 b2都有关，而二次谐波及组合频率为1 + 2与1 - 2的各成分其振幅只与b2有关， 而与b0无关。
29
(5) 因为幂级数展开式中含有两个信号的相 乘项，起到乘法器的作用，因此，所有 组合频率分量都是成对出现的，如有1 + 2就一定有1 – 2，有21 – 2，就 一定有21 + 2，等等。
31
信号较大时，所有实际的非
线性元件，几乎都会进入饱和
ic
如右图所示半导体二 i
i
极管的伏安特性曲线。当 (a)
某一频率的正弦电压作
非线性电路分析法
20
1）半流通角 电流流通时间所对应的相角叫流通角，用
叫做半流通角或截止角。有 c
2c 表示，
上式来自以下推导：
vB VBB Vbm cost
iC gc (vB VBZ )
gc (VBB Vbm cos t VBZ )
当wt＝θc时，iC＝0。代入上式即得。
21
2）集电极电流脉冲
iC gc (VBB Vbm cos t VBZ )
式 sin cos 1 sin( ) 1 sin( )
2Hale Waihona Puke 2cos sin 1 sin( ) 1 sin( )
2
2
9
3，幂级数分析法的具体应用举例 设非线性元件的静态特性用三次多项式表示
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
工作范围尿限于特性曲线得起始弯曲部分因此可以用幂级数的前三项来近似3结合输入电压的时间函数求电流写出静态特性的幂级数表示式后将输入电压的时间函数代入然后用三角恒等式展开并加以整理即可得到电流的傅立叶级数展开式从而求出电流的各频谱成分
非线性电路分析法
变系数线性微分方程、非线性微分方程的求解问题:
1 困难
3）电流中的直流成分、偶次谐波以及组合频率系数之和为偶数的各种组合频率成 分，振幅只与幂级数的偶次项（包括常数项）有关；奇次谐波等的组合频率成分， 振幅则只与幂级数的奇次项有关。
14
4）m次谐波以及系数之和等于m的各个组合频率成分，振幅只与幂级数中等于及 高于m次的各项系数有关。
5）所有组合频率都是成对出现的。 掌握这些规律很重要。 可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元 件，或者选择合适的工作范围，以得到所需的频率成分，而尽量减弱 甚至消除不需要的频率成分。
1）半流通角 电流流通时间所对应的相角叫流通角，用
叫做半流通角或截止角。有 c
2c 表示，
上式来自以下推导：
vB VBB Vbm cost
iC gc (vB VBZ )
gc (VBB Vbm cos t VBZ )
当wt＝θc时，iC＝0。代入上式即得。
21
2）集电极电流脉冲
iC gc (VBB Vbm cos t VBZ )
式 sin cos 1 sin( ) 1 sin( )
2Hale Waihona Puke 2cos sin 1 sin( ) 1 sin( )
2
2
9
3，幂级数分析法的具体应用举例 设非线性元件的静态特性用三次多项式表示
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
工作范围尿限于特性曲线得起始弯曲部分因此可以用幂级数的前三项来近似3结合输入电压的时间函数求电流写出静态特性的幂级数表示式后将输入电压的时间函数代入然后用三角恒等式展开并加以整理即可得到电流的傅立叶级数展开式从而求出电流的各频谱成分
非线性电路分析法
变系数线性微分方程、非线性微分方程的求解问题:
1 困难
3）电流中的直流成分、偶次谐波以及组合频率系数之和为偶数的各种组合频率成 分，振幅只与幂级数的偶次项（包括常数项）有关；奇次谐波等的组合频率成分， 振幅则只与幂级数的奇次项有关。
14
4）m次谐波以及系数之和等于m的各个组合频率成分，振幅只与幂级数中等于及 高于m次的各项系数有关。
5）所有组合频率都是成对出现的。 掌握这些规律很重要。 可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元 件，或者选择合适的工作范围，以得到所需的频率成分，而尽量减弱 甚至消除不需要的频率成分。
1.4 非线性电路的分析方法
1.4 非线性电路的分析方法如前所述，在小信号放大器的分析和设计中, 通常是采用等效电路法，以便采用经典电路理论来进行分析、计算。
线性电路中，通常信号幅度小，整个信号的动态范围在元器件特性的线性范围内，所以器件的参数均视为常量，可以借助于公式计算电路的性能指标。
“模拟电子技术基础”课程中“低频小信号放大器”以及本课程中 “高频小信号谐振放大器”的分析中都涉及线性电路的分析。
在通信电子线路中，除了小信号放大电路外，有源器件还常工作在大信号或非线性状态。
与线性电路相比，非线性电路的分析和计算要复杂得多。
在非线性电路中，信号的幅度较大时，信号的动态范围涉及元器件特性的整个范围，半导体器件工作在非线性状态。
它们的参数不再是常数而是变量了。
因此，难以用等效电路和简单的公式计算电路了。
此外，在线性、非线性频谱搬移电路中，都涉及非线性电路的分析方法。
非线性电路的分析是本课程中的重要内容。
分析非线性电路时，常用幂级数分析法、指数函数分析法、折线分析法、开关函数分析法和时变参数分析法等。
1.4.1 幂级数分析法常用的非线性元器件的特性曲线大都可以用幂级数来表示。
在小信号运用的条件下，可以将一些非线性元器件的特性曲线用幂级数近似表示，使问题简化。
用这种方法分析非线性电路，虽然存在一定的准确性问题，但可以较好地说明非线性器件的频率变换作用。
因此在小信号检波、小信号调幅等电路分析时常常采用。
下面以图1.4.1所示电路为例，介绍幂级数分析法。
图中二极管是非线性器件，所加信号电压u 的幅度较小，称为小信号；L R 为负载， 0U 是静态工作点电压。
设流过二极管的电流i 函数关系为：)(u f i =若该函数)(u f 的各阶导数存在，则这个函数可以在静态工作点0U 处展开成幂级数(或称为泰勒级数)。
+-+-+-+=300///200//00/0)(!3)()(!2)())(()(U u U fU u U fU u U f U f i+-+-+-+=303202010)()()(U u b U u b U u b b （1-4-1）式中 0)(00U u iU f b ===为工作点处的电流u LR 图 1.4.1 二极管及其伏安特性(a)o(b)Id d )(0/1U u ui U f b === 为过静态工作点切线的斜率，即跨导；0220//2d d !21)(U u ui U f b ===kk0k k d d !1)(U u ui K U f b ===如果取00=U ，即静态工作点选在原点，则式（1-4-1）可写为 ++++=332210u b u b u b b i （1-4-2）从数学分析来看，上述幂级数展开式是一收敛函数，幂次越高的项其系数越小。
《非线性电路》课件
状态空间法
通过建立和求解状态方程，分析系统的动态 行为和稳定性。
05
非线性电路的仿真 技术
电路仿真软件介绍
Multisim
一款功能强大的电路仿真软件， 适用于模拟和数字电路的仿真， 特别适合非线性电路的仿真。
PSPICE
由MicroSim公司开发的一款电路 仿真软件，适用于模拟和混合信 号电路的仿真。
LTSpice
一款专门用于模拟电路仿真的软 件，具有强大的分析功能和直观 的用户界面。
仿真步骤与技巧
建立电路模型
根据非线性电路的原理图，在仿真软件中建立相应的电路模型。
设置仿真参数
根据需要，设置适当的仿真参数，如时间步长、仿真类型（稳态或瞬态）等。
运行仿真
设置好参数后，运行仿真，观察仿真结果。
分析仿真数据
04
非线性电路的稳定 性分析
稳定性定义
稳定性定义
一个电路在受到扰动后能够回到原来的平衡状态，则称该电路是 稳定的。
平衡状态
电路中各元件的电压、电流和功率达到一种相对静止的状态。
扰动
任何能使电路状态发生变化的外部作用，如电源电压波动、元件参 数变化等。
稳定性判据
1 2
劳斯稳定判据
通过计算系统的传递函数，确定系统稳定性的判 据。
非线性电路在各领域的应用前景
在通信领域，非线性电路可用于信号 处理、调制解调和光通信等方面，提 高通信系统的性能和稳定性。
在生物医学领域，非线性电路可用于 生理信号处理、医学影像和生物信息 等方面，为生物医学研究和临床应用 提供新的工具和方法。
在能源领域，非线性电路可用于电力 电子、电机控制和可再生能源转换等 方面，提高能源利用效率和系统稳定 性。
《非线性电路》PPT课件
24
4.5 晶体管混频器
1、电路分析
本振信号 v是0 (t一) 个大信号，使得晶 体管工作在非线性状态；但真正的信 号是小信号 ，v所s (以t) 图上 、 ab a、b a都b可 以看成线性。对于 而vs言(t)， 晶体管工作在线性状态。
可见随着 v发0 (t生) 变化，各线段的斜 率(跨导)将随着 的频v0率(t)( )发生周0 期性的变化。因此晶体管对于输入信 号而言是一个时变线性器件。
1 2 1 2
vs ) S (t) vs ) S (t)
vi RLi1 R
rd
vs
S(t)
RL RL rd
vsm
cos
s
t
(
1 2
2
cos 0t
2
3
cos 30t
)
29
4.6 二极管混频器
1、平衡混频器
二极管混频器的输出信号：
vi
RL RL
rd
则可展开成泰勒级数：
i b0 b1 v V0 b2 v V0 2 b3 v V0 3
b0 f v vV0 I0
——工作点处的电流
b1
f v vV0
di dv
g ——工作点处的动态电导
vV0
8
2、非线性电路分析法
⑴ 幂级数分析法
分析步骤：
★ 确定特性曲线的近似表达式。——越精密，特性曲线的 工作范围越大，但级数的项数取得越多；
中iC只有频率为 的电i 流分量才是所需要的，称为中频电
流分量 ： ii
ii
1 2
g1Vsm
cos(0
s )t
Iim
cos it
Iim
1 2
g1Vsm
4.5 晶体管混频器
1、电路分析
本振信号 v是0 (t一) 个大信号，使得晶 体管工作在非线性状态；但真正的信 号是小信号 ，v所s (以t) 图上 、 ab a、b a都b可 以看成线性。对于 而vs言(t)， 晶体管工作在线性状态。
可见随着 v发0 (t生) 变化，各线段的斜 率(跨导)将随着 的频v0率(t)( )发生周0 期性的变化。因此晶体管对于输入信 号而言是一个时变线性器件。
1 2 1 2
vs ) S (t) vs ) S (t)
vi RLi1 R
rd
vs
S(t)
RL RL rd
vsm
cos
s
t
(
1 2
2
cos 0t
2
3
cos 30t
)
29
4.6 二极管混频器
1、平衡混频器
二极管混频器的输出信号：
vi
RL RL
rd
则可展开成泰勒级数：
i b0 b1 v V0 b2 v V0 2 b3 v V0 3
b0 f v vV0 I0
——工作点处的电流
b1
f v vV0
di dv
g ——工作点处的动态电导
vV0
8
2、非线性电路分析法
⑴ 幂级数分析法
分析步骤：
★ 确定特性曲线的近似表达式。——越精密，特性曲线的 工作范围越大，但级数的项数取得越多；
中iC只有频率为 的电i 流分量才是所需要的，称为中频电
流分量 ： ii
ii
1 2
g1Vsm
cos(0
s )t
Iim
cos it
Iim
1 2
g1Vsm
非线性电路讲解
谢谢
伏安特性可以看成G1、 G2 、G3三个电导并联后 的等效电导的伏安特性 。
G2 =Gb- Ga G3=Gc- Gb
1.3 工作在非线性范围的运算放大器
1.理想运算放大器的饱和特性
uu+ iud i+ _ + ∞ + Usat uo o ud uo
有关系式： i 0 i 0
-Usat
解
u 100i i 3 100 0.01 0.013 1 10 6 V 忽略高次项， u 100 0.01 1
性化引起的误差很小。
当输入信号很小时，把非线性问题线 表明
3.非线性电阻的串联和并联
①非线性电阻的串联
i1
i2
i i1 i2 u u1 u2
把伏安特性分解为三个特性： 当u < U1有： G1u =Gau
G1=Ga
Ga
U1 U2
当U1 <u < U2，有：
i
G1u+G2u =Gbu G1+G2 =Gb
当U2 <u ，有： o Ga U1
Gb
U2
Gc u
G1u+G2u +G3u=Gcu G1+G2 +G3=Gc
解得： G =G 1 a
结论 隧道二极管的
u
u
非线性电阻在某一工作状态 下(如P点)的电压对电流的导数。
注意
①静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点 位置不同时，R 与 Rd 均变化。 ②对压控型和流控型非线性电阻，伏安特性曲 线的下倾段 Rd 为负，因此，动态电阻具有 “负电阻”性质。
例 一非线性电阻的伏安特性 u 100i i
非线性电路分析
一般来说，非线性元件的输出信号比输入 信号具有更为丰富的频率成分。在通信、广播 电路中，正是利用非线性元件的这种频率变换 作用来实现调制、解调、混频等功能的。
18
3. 非线性电路不满足叠加原理
对于非线性电路来说，叠加原理不再适用了。 例如，将式v = v1 + v2 = V1m sin1t + V2m sin2t 作 用于式i = k v2 所表示的非线性元件时，得到如式(4) 所表征的电流。如果根据叠加原理，电流i应该是v1和 v2分别单独作用时所产生的电流之和，即
15
若设非线性电阻的伏安特性曲线具有抛物 线形状，即 i = k v2 （2）
式中，k 为常数。
当该元件上加有两个正弦电压 v1 = V1m sin1t和 v2 = V2m sin2t时，即 v = v1 + v2 = V1m sin1t + V2m sin2t（3）
16
可求出通过元件的电流为
5
若满足f[vi1(t)]+f[vi2(t)]= f[vi1(t)+vi2(t)]， avo2(t)= f [avi2(t)]，则称为具有均匀性，这里 a是常数。若同时具有叠加性和均匀性，即 a1*f[vi1(t)]+a2*f[vi2(t)]=
f[a1*vi1(t)+a2*vi2(t)]， 则称函数关系f所描述的系统为线性系统。
k 2 k 2 V1m cos 21t V2m cos 22t 2 2
（5）
17
上式说明，电流中不仅出现了输入电压频率的 二次谐波21和22，而且还出现了由1和2组 成的和频(1+ 2)与差频(1 – 2)以及直流 k 2 2 成 V中所没包含的。 V1。这些都是输入电压 V m 2m 2
18
3. 非线性电路不满足叠加原理
对于非线性电路来说，叠加原理不再适用了。 例如，将式v = v1 + v2 = V1m sin1t + V2m sin2t 作 用于式i = k v2 所表示的非线性元件时，得到如式(4) 所表征的电流。如果根据叠加原理，电流i应该是v1和 v2分别单独作用时所产生的电流之和，即
15
若设非线性电阻的伏安特性曲线具有抛物 线形状，即 i = k v2 （2）
式中，k 为常数。
当该元件上加有两个正弦电压 v1 = V1m sin1t和 v2 = V2m sin2t时，即 v = v1 + v2 = V1m sin1t + V2m sin2t（3）
16
可求出通过元件的电流为
5
若满足f[vi1(t)]+f[vi2(t)]= f[vi1(t)+vi2(t)]， avo2(t)= f [avi2(t)]，则称为具有均匀性，这里 a是常数。若同时具有叠加性和均匀性，即 a1*f[vi1(t)]+a2*f[vi2(t)]=
f[a1*vi1(t)+a2*vi2(t)]， 则称函数关系f所描述的系统为线性系统。
k 2 k 2 V1m cos 21t V2m cos 22t 2 2
（5）
17
上式说明，电流中不仅出现了输入电压频率的 二次谐波21和22，而且还出现了由1和2组 成的和频(1+ 2)与差频(1 – 2)以及直流 k 2 2 成 V中所没包含的。 V1。这些都是输入电压 V m 2m 2
非线性电路分析方法
基尔霍夫定律的应用
在非线性电路中，基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫 电压定律（KVL）仍然适用，用于建立节点电流方程和回 路电压方程。
状态变量的引入
对于含有记忆元件（如电容、电感）的非线性电路，需要 引入状态变量，建立状态方程。
数值求解方法
迭代法
有限差分法
有限元法
通过设定初值，采用迭代算法（如牛 顿-拉夫逊法、雅可比迭代法等）逐 步逼近方程的解。
实验设计思路及步骤
实验目的
01
明确实验的目标和意义，如验证非线性电路模型的正确性、探
究非线性电路的特性等。
实验器材
02
列出进行实验所需的设备和器材，如信号发生器、示波器、电
阻、电容、电感等。
实验步骤
03
详细阐述实验的操作过程，包括搭建电路、设置实验参数、记
录实验数据等。
实验结果分析与讨论
数据处理
描述函数法
通过描述函数将非线性元件的特性线性化，构造一个等效的线性化模型，再根据奈奎斯特稳定判据等方法判断稳 定性。
大信号稳定性分析方法
相平面法
在相平面上绘制非线性电路的状态轨迹，通过观察轨迹的形状和趋势来判断电 路的稳定性。
李雅普诺夫法
利用李雅普诺夫稳定性定理及其推论，构造适当的李雅普诺夫函数，通过分析 函数的性质来判断非线性电路的稳定性。
非线性电路分析方法
• 引言 • 非线性元件特性 • 非线性电路方程的建立与求解 • 非线性电路的时域分析 • 非线性电路的频域分析 • 非线性电路的稳定性分析 • 非线性电路仿真与实验验证
01
引言
非线性电路的定义与特点
定义：非线性电路是指电路中至少有一 个元件的电压与电流之间呈现非线性关 系的电路。
在非线性电路中，基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫 电压定律（KVL）仍然适用，用于建立节点电流方程和回 路电压方程。
状态变量的引入
对于含有记忆元件（如电容、电感）的非线性电路，需要 引入状态变量，建立状态方程。
数值求解方法
迭代法
有限差分法
有限元法
通过设定初值，采用迭代算法（如牛 顿-拉夫逊法、雅可比迭代法等）逐 步逼近方程的解。
实验设计思路及步骤
实验目的
01
明确实验的目标和意义，如验证非线性电路模型的正确性、探
究非线性电路的特性等。
实验器材
02
列出进行实验所需的设备和器材，如信号发生器、示波器、电
阻、电容、电感等。
实验步骤
03
详细阐述实验的操作过程，包括搭建电路、设置实验参数、记
录实验数据等。
实验结果分析与讨论
数据处理
描述函数法
通过描述函数将非线性元件的特性线性化，构造一个等效的线性化模型，再根据奈奎斯特稳定判据等方法判断稳 定性。
大信号稳定性分析方法
相平面法
在相平面上绘制非线性电路的状态轨迹，通过观察轨迹的形状和趋势来判断电 路的稳定性。
李雅普诺夫法
利用李雅普诺夫稳定性定理及其推论，构造适当的李雅普诺夫函数，通过分析 函数的性质来判断非线性电路的稳定性。
非线性电路分析方法
• 引言 • 非线性元件特性 • 非线性电路方程的建立与求解 • 非线性电路的时域分析 • 非线性电路的频域分析 • 非线性电路的稳定性分析 • 非线性电路仿真与实验验证
01
引言
非线性电路的定义与特点
定义：非线性电路是指电路中至少有一 个元件的电压与电流之间呈现非线性关 系的电路。
非线性电路分析方法
非线性电路分析方法摘要：我要将电路元件的范围及其相应的分析方法进行拓展，引入对非线性二端元件的分析和总结。
非线性二端元件就是接线端自变量和接线端的函数具有非线性关系的元件。
下面对非线性电路的分析方法进行分类和总结：关键词：非线性电路 直接分析法 数值分析法 图形分析法 分段线性分析法 小信号分析法0．引言到目前为止，我们已经学习过若干种线性元件的电路，也学习过这些元件构成的线性电路分析法。
本文将就非线性问题进行分类和归纳总结。
1.直接分析法此方法一般应用于对非线性二端元件的函数关系较简单时使用，结合并运用线性元件电路的分析方法和一些定理，同时列写出非线性的补充方程，最后通过求解数学问题并结合电路实际解答的方法。
我们首先用直接分析法求解图1.1所示的简单非线性电阻电路。
假设图中非线性电阻的特性可表示为下列v-i 关系：2,00,0D D D DKv v i v ⎧>=⎨≤⎩常熟K 大于零。
D i图1.1该电路的求解过程：（D v -E ）/R +D i = 0 （1.1） 补充方程： D i = K D v 2 （1.2） 注意该元件在D v 大于零的时候才能工作。
如果D v ＜0 则 D i = 0用原件的非线性v-i 关系替换式（1.1）中的D i 就得到了用节点电压表示的节点方程： （D v -E ）/R + Kv D 2 = 0 （1.3）化简式（1.3），得到下列二次方程：RK D v 2 + D v – E = 0 求出D v 并选择正解，即：12D v RK-+=(1.4)对应的i D 表达式可通过将上式替换式(1.2)得到，即：D i= 12K RK ⎛- ⎝⎭小结：这类分析方法很有局限性，通常只适用于函数关系较简单的非线性求解问题，对于较复杂的问题，下面我将讨论到。
2.数值分析法当所求非线性的函数关系不是简单的函数关系时，已经不能用已有的公式去求解，这是就需要在误差精度允许的范围内，运用计算方法学的知识寻求所需的解，下面介绍常用到的计算方法：《电路基理论础》中给出的3种方法： ① 前向欧拉法（Forward Euler method ）:（以后本论文均以(,)dy f y x dx =表示dy dx） 1k y + = k y + h f (k y , k x )其中h 为积分步长② 后向欧拉法 （Backward Euler method ）1k y + = k y + h f ( 1k y + , 1k x + )③ 梯形法（trapezoidal method ）1k y += k y + 0.5[f (k y , k x ) + f ( 1k y + , 1k x +) ] 也就是我们所熟悉的梯形公式 还有几种常用的计算方法：④ 辛普森公式（Simpson ）也作抛物线公式： 1k y += k y +16{f ( k y , k x )+ 4f [0.5(k y + y k+1) ,0.5(k x + 1k x +)] +f (1k y + , 1k x + )} ⑤ 牛顿（Newton ）法 （也作切线迭代法）：该公式多用于复杂的函数的求根运算，设()y f x =1n x += n x -()()n n f x f x '⑥ 拉格朗日差值n 次型对于无法求出具体表达式的非线性函数，在已知图像上若干点的情况时，可以用n 次多项式进行近似的拟合，我所学过的有牛顿型差值公式和拉格朗日型差值，下面只介绍拉格朗日型差值公式，牛顿型差值比较类似。
非线性电路及其分析方法
非线性元件的基本特性
非线性电阻 ：二极管、三极管、场效应管
非线性元件
非线性电抗 ：磁芯电感、钛酸钡介质电容
这里以非线性电阻（半导体二极管）为例，讨论非线性元件的特性
非线性元件的基本特性
非线性元件的工作特性
线性电阻的伏安特性曲线
半导体二极管的伏安特性曲线
与线性电阻不同，非线性电阻的伏安特性曲线不是直线。
非线性电路的分析方法
分析原则：
对于电路的分析，应当基于其所包含的电子元器件的基本物 理特性及其相互作用关系
在电路的分析与计算中，基尔霍夫定律对于线性电路和非线 性电路均适用，对于非线性电路的求解最终要归结于求应用 基尔霍夫定律得到的非线性方程或方程组的解的问题
非线性电路的分析方法
分析方法：
对非线性电路的分析没有统一的方法。对非线性电路的分析 只能针对某一类型的非线性电路采用适合这种电路的分析方 法。 常见的非线性电路分析方法有：直接分析法、数值分析法、 图解分析法、微变等效电路分析法、分段线性分析法、小信 号分析法等
非线性元件的基本特性
非线性元件的频率变换作用
线性电阻上的电压
正弦电压作用于二极管
与电流波形
产生非正弦周期电流
非线性电阻的输出电流与输入电压相比，波形不同，周期相同。
可知，电流中包含电压中没有的频率成分。
非线性元件的基本特性
例：设非线性电阻的伏安特性曲线具有抛物线形状，即：i kv2 ，式中 k 为常数。
非线性电路的分析方法
数值分析法——应用“牛顿法”求解非线性电阻电路
牛顿法： 对于含有一个非线性电阻元件的电路应用基尔霍夫电压定律可 以得到一个一元非线性方程 f( x) = 0， x 为待求解的变量，一 般为电压或者电流。牛顿法是将f( x) = 0 逐步归结为某种线性 方程来求解。设已知方程 f( x) = 0 有近似根 xk， 将 f( x) = 0 在点 xk处泰勒展开:
第四章 非线性电路直流分析
i1
i2
对等效电阻伏安特性曲线上每一个电流值，分别在 R1和R2的特性曲线上找到v1=v和v2=v所对应的i1和i2， 求出i=i1+i2，并在等效电阻伏安特性曲线上描绘出一 个点（v，i），重复上述步骤，直到描绘出一条完整 的等效电阻的伏安特性曲线。
国家电工电子教学基地 电路理论系列课程组 2005.3
df f ( x0 x0 ) f ( x0 ) x0 dx df f ( x0 x0 ) 0 f ( x0 ) x0 dx
x0 f ( x0 ) / df dx
线性化近似
df x1 x0 f ( x0 ) /( ) x x0 dx
一般
x1=x0+Δx0
i1 Vs
R1
R2
i3 R3
v3
1/ 3 v3 50i3
解1 将图中的非线性电阻视为电流控制型，采用网孔法比较简单。 ( R1 R2 )i1 R2 i3 V s V s R1 R2 1 i3 50i3 / 3 R2 i1 R2 i3 v3 R1 R1 R2 1/ 3 v3 50i3
非线性电路直流分析
第一节
非线性电阻电路及其方程的建立
国家电工电子教学基地 电路理论系列课程组 2005.3
非线性电阻元件
v
v
斜率为R
线性电阻 VAR
i
i
非线性电阻 VAR
v i
v i
v i
电流控制型 非线性电阻
电压控制型 非线性电阻
电路理论系列课程组 2005.3
严格单调特性 的非线性电阻
国家电工电子教学基地
简单电路方程的建立基本思路
第四章、非线性电路分析
u ' (t ) 和 i ' (t )之间满足线性关系
Rs [I Q i ' (t )] U Q u ' (t ) U s us (t )
因为 Rs I Q U Q U s ' ' R i ( t ) u (t ) us (t ) 所以 s 即
Rs i ' (t ) Rd i ' (t ) u s (t )
k
j 1,2,, n ——迭代公式
一元非线性代数方程组的解
展开写为矩阵形式如下：
F1 x 1 F2 x1 Fn x1 F1 x 2 F2 x 2 Fn x 2 F1 x n x k F k 1 1 F2 k k x F 2 2 x n x k F k Fn n n x n
u Us A B 0 I1 I2 Us/Rs u=f(i) C
u Us Q2 A Q1 B 0 I1 I2 Us/Rs i u=f(i) C Q3
i
§4-5 小信号分析法
北京邮电大学
电子工程学院 俎云霄
小信号是一个相对于直流电源来说振幅很小的振荡，可以 看作是信号或扰动。
Rs
+ us(t) + R i + u(t) -
I 5 G5 (U n 2 U n3 )
1 2 1 2 I6 U6 3U 6 U n 3 3U n 3 2 2
整理得节点电压方程如下：
2 2 U n1 U n 2 2U n1U n 2 (2 G2 )U n1 2U n 2 I s 2 2 U n1 U n 2 2U n1U n 2 2U n1 (2 G4 G5 )U n 2 G5U n3 G4U s 1 2 U n 3 G5U n 2 (3 G5 )U n 3 0 2
非线性电路分析法
0
i
i
i
u
D
u
i
i
i
i
D
u
u
D
u
3 2 1
u
u
u
例：试绘出各电路的U~I关系曲线（D为理想二极管）。
I
D
U
5V
I 100 +
D U
15V -
I
+
D
U -
R+ US -
I
+
R1
R2
U
DD
-
E1
E2
IБайду номын сангаас
I
I
0
5V U
0
15V U
0 US U I -E2 0 E1 U
二、非线性电阻电路的解析法 ：如果电路中的非线性电阻VAR可用精确的函数表达式表示，则设出其电压、电流，
第三节 小信号分析法 一、小信号电路
工程上，非线性电阻电路除了作用有直流电源外，往往同时作用有时变电源，因 此在非线性电阻的响应中除了有直流分量外，还有时变分量。例如：半导体放大电路 中，直流电源是其工作电源，时变电源是要放大的信号，它的有效值相对于直流电源 小得多（10-3），一般称之为小信号（small-sigal）。对含有小信号的非线性电阻电 路的分析在工程上是经常遇到的。
i0
VAR曲线与方向无关，电阻两端子可互换。称为双向性 (bilateral)。
0
u1 u2
i3 i u3 u
②静态电阻（static resistance）
在某一工作点的电压与电流的比 ③值动。态电阻（dynamic resistance）在某一
第4章——非线性电路、时变参量电路、变频器_1
一、时变跨导电路分析
振幅较大的振荡电压与幅度 较小的任意形式电压信号同时作 用于调谐放大器的非线性器件的 输入端。
V0m Vsm 的情况下，工作点电压为：
vB VBB V0m cos0t
iC f (vBE ) 其中：vBE vB vs
将集电极电流用泰勒级数在 vB 点展开
和差角公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
tg( ) tg tg 1 tg tg
tg( ) tg tg 1 tg tg
一、幂级数分析法
常用的非线性元件的特性曲线可表示为 i f (v)
上述特性曲线可用幂级数表示为
i = a0+a1v+a2v2+a3v3+ … +anvn+…
式中a0，a1，… ，an为各次方项的系数，它们由下
列通式表示
an
1 dn f (v ) n! dv n
1 n!
f
(n) (VQ )
v VQ
v(t) V1m cos1t V2m cos2t
将和项展开，可得
i
n0
n
an[
m0
n! m!(n
m)!(V1m
co s1t ) nm
(V2m
cos2t)m
]
i
n0
n
an[
m0
n! m!(n
m)!(V1m
co s1t ) n m
(V2m
cos2t)m
]
三角积化和差公式：
cos
1t
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结论： 1、线性时变电路相对非线性电路输出 组合频率分量减少 2、两者的本质是相同的——都是非线 性电路
线性时变电路实现频谱搬移的原理框图如下
u1
线性时 变电路 滤波器
u0
u2
例1：4.3.2节
解：
其波形如下：
U2/2
-U2/2 gm(t) gD - EQ+u2
g D di gm t du uEQ u2 0
式中a0、a1、a2、、an均为系数 讨论：1、当u1=U1cos1t u2=0时，则
i=a0+a1u1+a2u1 =a0+a1U1cos1t+a2U1 ++anU1ncosn1t
2+……+a
n nu1 2cos2
1t
1 利用三角公式 cos x 1 cos 2 x 2 可以得到i中的频谱分量为
第一节 非线性元件和非线性电路
非线性元件特点：
（1）工作特性（伏安特性曲线）：
静态电阻 动态电阻
（2）频率变换作用：
（3）不满足叠加原理 分析方法： 幂级数展开分析法 线性时变电路分析法---变跨导分析法
第二节 非线性电路的分析方法
一、幂级数展开分析法
非线性器件的伏安特性，用非线性函数表示为
i1=K(2t)gD(u1+u2)
i2=K(2t)gD(-u1+u2)
i1 VD1
uD1=u1+u2 uD2= -u1+u2
+ u1 N1 -
+
N2
N2
uD1
N1 N1
iL
N2
i2 VD2 + + uD2 u2 -
+ 带通 u 滤波器 - o
因为U2>>U1， 所以VD1 、VD2的通 断由u2决定。 u20， VD1 、VD2 导通，回 路有电流； u2<0， VD1 、VD2 截止，回 路无电流。即
K 2t 1 2 2 cos 2t cos3 2t 2 3 2 2 cos5 2t cos 7 2t 5 7
4 4 K 2t cos2t cos32t 3 4 4 cos52t cos72t 5 7
+u ~ D
~
1 2 2 2 g D ( cos 2 t cos 3 2 t cos 5 2 t )u1 u2 2 3 5 1 2 2 2 g D ( cos 2 t cos 3 2 t cos 5 2 t ) 2 3 5 U 1 cos 1t U 2 cos 2 t
n 1,2,3,
若f(x)为奇函数，则an=0；若f(x)为偶函数，则bn=0。
开关函数小结:
1、定义式
K(2t)=
1 0 0 1 +1 cos2t 0 cos2t<0 cos2t 0 cos2t<0 cos2t 0 o K(2t) 1 o K(2t-) 1 o K'(2t) 1 o -1
2
可以得到i中的频谱分量为
1、2—— 信号频率分量 p1、q2(p,q=2,3,4,)—— 谐波频率分量 |± p1 ±q2 |(p,q≠0)——组合频率分量
把(p+q)的大小称为组合频率分量的阶数
结论：当多个信号作用于非线性器件 时，输出电流中就会包含有无限多个频率 分量，即能实现频谱的任意搬移。
二、线性时变跨导分析法
非线性器件的伏安特性表示式为 通常 u=EQ+u1+u2 EQ为静态工作点电压 u1、u2为两个输入电压
i = ƒ(u)
在(EQ+u2) 上对u1 用泰勒级数展开：
i=a0+a1u1+a2u12+…..+anu1n
a0= ƒ(u)|u= EQ+u2= ƒ(EQ+u2 ) a1= ƒ(u)|u= EQ+u2=ƒ(EQ+u2 )
若u1的幅度足够小 ，则可忽略其高次项，
i=ƒ(EQ+u2)+ƒ(EQ+u2)u1
式中ƒ(EQ+u2)和ƒ(EQ+u2)是随时间变化的 系数，称时变系数或时变参量。 ƒ(EQ+u2)是u1=0时的电流，称时变静态电 流或时变工作点电流，用I0(t)表示。 ƒ(EQ+u2)是u1=0时的增量电导，称时变跨 导或时变电导，用g(t)表示。
u2 2、波形 2t
K(2t-)=
2t
K'(2t) ＝K(2t)-K(2t-) =
2t
2t
-1
cos2t<0
K(2t)+K(2t-)=1
3、傅里叶级数展开式
1 2 2 K 2 t cos 2 t cos 3 2 t 2 3 2 2 cos 5 2 t cos 7 2 t 5 7
EQ u2 0 EQ u2 0
当2t=时，-U2/2+U2cos=0， 因此，cos=1/2， =/3
2t
用傅里叶级数展开后可得：
1 3 3 gm t gD ( cos2t cos22t 3 2 3 cos42t 4
2t
复习：傅里叶级数 设f(x)是以2l为周期的函数，且在区间[-l，l] 上绝对可积，则三角级数
1
u20即cos2t 0
0
u2<0即cos2t<0
则
iD=K(2t)gD(u1+u2)，其中K(2t)称为开关函数 K(2t)是一周期性函数，其周期与控制信号 u2的周期相同。如图所示。 u2 K(2t)的傅里叶级数展开为
1 2 2 K 2 t cos 2 t cos 3 2 t 2 3 K(2t) 2 2 cos 5 2 t cos 7 2 t 1 5 7
二、二极管平衡电路
1、工作原理
i1 VD1 +
工作条件： N1=N2 电路上下对称
+ u1 N1 -
N2 N2
uD1
N1 N1
iL
N2
i2 VD2
+ 带通 u 滤波器 - o
+ +
uD2 u2
-
u1=U1cos1t ——输入信号 u2=U2cos2t ——控制信号 条件：U2>>U1 U2>0.5V u =u + u D1 1 2 若忽略输出电压的反作用，则 uD2= -u1+u2
iD中频谱分量：
(1) 1、2 (2) 2n2 (n=1、2、3 …) (3) (2n+1)2±1 (n=0 、1、2、3 …)
用带通滤波器H(j)取出 (2+1)或(2-1)组合频率分量， 完成频谱的线性搬移。
为了减少单二极管电路中一些不必要的频率 分量，就要对单二极管电路进行改进。
例2、二极管伏安特性的折线近似
+ i
uD
i
i gD=1/rD o o
igDuD-来自ouDVp
uD
gDuD 结论：i = 0
uD>0 uD<0
+u 设u1=U1cos1t ——输入信号 + ~ D u2=U2cos2t ——控制信号 H(j) u0 _ 条件：U2>>U1 U2>0.5V ~ 则：uD=u1+u2-uo≈u1+u2 (忽略u0反作用，不影响对频谱的分析)
2、当u1=U1cos1t为输入信号 ， u2=U2cos2t为控制或参考 信号， 则 i=a0+a1(u1+u2)+a2(u1+u2)2+……+an(u1+u2)n
1 利用三角公式 cos x 1 cos 2 x 2 1 cos x cos y cos x y cos x y 2
a0 n n a n cos x bn sin x 2 n 1 l l
叫做函数f(x)的傅里叶级数，记为
a0 n n f x an cos x bn sin x 2 n1 l l
式中
1 l n bn l f xsin xdx l l
在多数情况下，仅仅利用p=q=1的组合 频率分量|12|实现频谱的任意搬移，而 其余频率分量需要加以滤除，如图所示。
u1
非线性器件 滤波器
uo
u2
p=q=1的组合频率分量|12|是由幂级数中乘 积项u1u2产生的。因此，实际应用中，可以采 用以下措施减少无用频率分量，（1）选择平 方律器件，如场效应管；（2）利用乘法器； （3）采用平衡电路。
o
2t
o
2t
1 2 2 2 i D g D ( cos 2 t cos 3 2 t cos 5 2 t )u1 u2 2 3 5 1 2 2 2 g D ( cos 2 t cos 3 2 t cos 5 2 t ) 2 3 5 U 1 cos 1t U 2 cos 2 t
三、开关函数分析法
VD
+ u _1 + u _2
iD
因为U2>>U1，所以VD的通断由u2决定。 u20，VD导通，回路有电流； u2<0，VD 截止，回路无电流。即
iD =
gD(u1+u2) 0 u20 u2<0
或 iD =
1×gD(u1+u2)
u20
u2<0
0×gD(u1+u2)
若定义 K(2t)=
2
i=a0+a1u1+a2u1 nu1 =a0+a1U1cos1t+a2U12cos21t ++anU1ncosn1t