2020天津高考数学冲刺最后一卷【含答案】

天津市武清区2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|3100M x x x =--<，{}29N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}35x x <≤B ．{3x x <-或}5x >C ．{}32x x -≤≤-D ．{}35x x -≤≤ 2．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形3．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30的方向上，再开回C 处，由C 向西开26D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．424．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()U A B ⋂=（ ） A ．()(),35,-∞+∞ B ．(](),35,-∞+∞ C ．(][),35,-∞+∞D ．()[),35,-∞+∞ 5．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 6．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 7．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．b a c <<9．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元10．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知实数,x y 满足约束条件11220220x y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎪⎨-+≥⎪⎪--≤⎩，则23x y -的最小值是 A ．2- B ．72- C ．1 D ．412．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）A ．1112B ．6C ．112D ．223二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020天津高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则的值为（ ）A ．B ．1-C ．D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-< 5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ． C ．7-D ．3- 6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A．3 B．3 CD ．7．已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．已知函数()()23201120x x f x x x a x ax x ⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax =有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（0，1]D ．（1，+∞）第II 卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．10．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________．11．612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．抛物线，直线l 经过抛物线的焦点F ，与抛物线交于A 、B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上一点，且12C P PC =.设三棱锥1P D DB -的体积为1V ，正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V ，则1V V的值为________.14．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>，x ∈R .若函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点，则的取值范围为_________．15．已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 已知函数2()2sin cos 23cos 3,f x x x x x R =-+∈.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值； (3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ；（2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:C y =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =．（1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数，使函数()f x 的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈. （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．2020天津高考压轴卷数学Word 版含解析参考答案1．【答案】B【解析】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B2．【答案】A【解析】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1= 故选A3．【答案】C【解析】()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->Q ，2x m ∴<-或2x m >+， 1x ≤Q 或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件，2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数的最大值为3. 故选：C .4．【答案】C【解析】()f x Q 为上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C .5．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==，所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-.故选：C6．【答案】A【解析】 双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则tan 63π=，所以该条渐近线方程为3y x =；=，解得a =所以c ==，所以双曲线的离心率为3c e a ===． 故选：A ．7．【答案】C【解析】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π.又.又 ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×10－5×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝2.∴β＝4π. 8．【答案】C选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.9．【答案】B【解析】解：由题意0x =满足方程()f x ax =，①当0x <时，只需1x a x =-有一个负根，即01a x a =-＜， 解得：01a <<；②当0x >时，只需()210x a x a -++=有两个正根即可， 方程可化为()()10x x a --=，故两根为：1x =或，由题意只需0a >且1a ≠，综合①②可知，当01a <<时，方程()f x ax =有4个不同的实数根． 所以实数的取值范围是（0，1）.故选：B ．10．【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-11．【答案】-160【解析】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 12．【答案】【解析】由题意可知：，结合焦半径公式有：，解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：， 则， 故的面积.13．【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=， 111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅= 1111116ABCD D P D D A B BC V V --∴=即116V V = 故答案为：1614．【答案】7(6，17]12 【解析】 因为()sin 32sin()3f x x x x πωωω==+， 所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωωL 因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]612 15．【答案】42【解析】已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数恒成立，再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a ++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭ （当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32， 故22a b a b+-=，故答案为16．【答案】(1);(2)最大值为，最小值为;(3) 25m ≥. 【解析】2()2sin cos =-+f x x xx sin 22x x =2sin(2)3x π=- (1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为. (2)当2[,]243x ππ∈时, 2[,]34x πππ-∈-, 当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()24f π=当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为 (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于，对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， 设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t=-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==， 所以，25m ≥. 17．【答案】（1）证明过程见详解；（2）459；（3）13.【解析】（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ， 因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ，又AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =u u u u r ，(0,2,1)MN =-u u u u r ，(1,2,0)BM -=u u u u r，设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =u r，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =u r；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =r，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u u v v ，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩u u u u v v u u u u v v ，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-r，设二面角1B MN B --的大小为θ，则4141cos cos ,9414414m nm n m nθ⋅-++=<>===++⨯++u r r u r r u r r ，所以245sin 1cos θθ=-=； （3）因为是棱11B C 上一点，设[]1110,1B Pt B C =∈，则(0,2,0)P t ， 所以()1,22,0PM t u u u u r=-，由（2）知，平面1MNB 的一个法向量为()2,1,2n =-r，又直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，记直线PM 与平面1MNB 所成角为 则有222222sin cos ,151(22)34853PM n t PM n PM n t t t α⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯u u u u r r u u u u r r u u u ur r ， 整理得221850t t +-=，解得13t =或57t =-（舍）所以11113B P t BC ==.18．【答案】（1）22142x y +=；（2）220x y ++=. 【解析】（1）因为抛物线2:C y =的焦点为)，由题意，可得：椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两焦点为()),，又抛物线C 的准线与交于，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c y a b+=，所以2by a =±，则222b a=，即2b a =①，又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交于点M ，则M 与关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x+=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数的取值范围为(0,2)．【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'xx+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+．当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为1x =2x =． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,2a+上单调递增，在12),(a+∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,2a+单调递增，在12)(a+∞+上单调递减．（2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在1(0,)2a+上单调递增，在12)(a+∞+上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中212x a=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >1>21a >-，显然当0a >|21|a >-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<， 故存在满足条件的实数，使函数()f x 的极值大于，此时实数的取值范围为(0,2)．21. （Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n xn x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠L ，①∴()23411231nn xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅L ，②①﹣②得()()2311111n nn n x x x M x x x x n xn x x++--=++++-⋅=-⋅-L ，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122nn i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。

2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A ．B ．C ．28D ．245．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2B ．83C ．3D ．47．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．已知tan α=，则sin 2α=__________．11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答） 13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________. 三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82817．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误；对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A． B．C ．28 D ．24【答案】A【解析】a i =+r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==. ∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确； 令()0f x =，则0x =或sin 0x =， 当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>，()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=，即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()g e (2)ln e e e e =-=-， 即()g t g …（e ）e =-， 当0t →时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞. 若1(2)ln t e t a -=-有解，则1e a--…，即1e a „，则0a <或1a e…，二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________； 【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______.【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r ，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X 0123P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m⋅===⨯u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r .18．给定()3,n n n N*≥∈个不同的数1、2、3、L、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ； （2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1.因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ， 因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①， 且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②， 考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++， 由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B .（1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+， AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-，∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k-=+， ()3121222124441313k ky y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k+∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k=时，AB =2FN =，FN AB∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数. 【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()f x≤2ln 0x-≥，令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()2ln g x gx =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-== 列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．。

2024届高考考前最后一卷（新课标II 卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】因为2{|5240}{0,1,2,3,4,8}A x x x N ,,{2,0,2,4},B 所以{0,2,4}A B ．故选B ． 2．C 【解析】令i(,)z a b a b R ，则i 2(i)3i 1a b a b ，所以23b b ，解得1b .故选C ．3．D 【解析】因为12AC CB ，所以1(),2OC OA OB OC 所以3115(1,2)(3,0)(,2)2222OC OA OB ,所以54(,33OC ，所以点C 的坐标为54(,33．故选D ． 4．A 【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有44A 种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排列有2223A A 种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率222344A A 1A 2P ．故选A ． 5．D【解析】由题意，知34a .由3a ，10，62a 成等差数列，得63202aa ，所以632a ，所以等比数列{}n a 的公比2q ，所以3121a a q ，438a a q ，47364a a q ，所以14773a a a .故选D ．6．C 【解析】设椭圆C 的半焦距为(0)c c ，因为点Q 在x 轴上，且1223PQ PF PF ，所以13，所以114 ．由13 ，得121233PQ PF PF ，所以1212()()33PQ PF PF PQ ，即121233F Q QF,所以122F Q QF ，即12||2||F Q QF .因为PQ 平分12F PF ，所以1122||||2||||1PF F Q PF QF . 又12||||2PF PF a ，所以14||3a PF，22||3a PF ． 在12PF F △中，由余弦定理的推论，得222222221212122124220()((2)4||||||1339cos 42162||||42339a a a c c PF PF F F F PF a a a PF PF，化简，得2223c a ，即椭圆C 的离心率e ．故选C ．7．B 【解析】二次函数2y x x 图象的对称轴是直线2x，当2x时，2y x x 单调递减，2e xxy 也单调递减，当2x时，2y x x 单调递增，2e xxy 也单调递增.因为2e nnn a 中的自变量n 为正整数，所以由*10,n n a a N ，得1921222，所以2119 ，所以“21 ”是“*10,n n a a N ”的必要不充分条件．故选B ． 8．A 【解析】1e 1ln(0)x x m m m等价于ln e 1ln(1)ln x m x m ， 令ln e x m t ，则1ln(1)(ln )t x t x ，即ln ln(1)1t t x x ． 而ln y x x 在(0,) 上单调递增，所以1t x ，即e 1x m x ，即1e xx m ． 令1()((1,))e x x f x x，则2()exxf x ，当(1,2)x 时，()0,()f x f x 单调递增， 当(2,)x 时，()0,()f x f x 单调递减，所以()f x 在2x 处取得极大值，即最大值为21(2)e f ，所以21e m．故选A ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

南开中学2020届高三数学统练一、选择题（共9小题；共45分）1. 已知集合 A ={2,3a }，b ={a,b }，若 A ∩B ={3}，则 A ∪B = ( ) A. {0,1,2}B. {0,1,3}C. {0,2,3}D. {1,2,3}2. 为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ỳ=b ̀x +à，已知 ∑x i 10i=1=225，∑y i 10i=1=1600，b ̀=4，该班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为 ( )A. 160B. 163C. 166D. 1703. 若 a >b >0，且 ab =1，则下列不等式成立的是 ( )A. a +1b <b 2<log 2(a +b )B.b2<log 2(a +b )<a +1bC. a +1b <log 2(a +b )<b2aD. log 2(a +b )<a +1b <b2a4. 设双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一个焦点为 F (c,0)(c >0)，且离心率等于 √5．若该双曲线的一条渐近线被圆 x 2+y 2−2cx =0 截得的弦长为 2√5，则该双曲线的的标准方程为 ( ) A.x 220−y 25=1 B.x 225−y 2100=1C.x 25−y 220=1 D.x 25−y 225=15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAD =π3，AB =2，AD =1，若 M ，N 分别是边 AD ，CD 上的点，且满足MD AD=NC DC=λ，其中 λ∈[0,1]，则 AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A. [−3,−1]B. [−3,1]C. [−1,1]D. [1,3]6. 如图所示的几何体是由一个三棱锥 P −ABC 与三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 组合而成，现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面 A 1B 1C 1 不涂色），要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有 ( )A. 6 种B. 9 种C. 12 种D. 36 种7. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ∈(0,+∞) 时，都有不等式 f(x)−xfʹ(x)<0 成立，若 a =f(1)，b =20.4f(2−0.4)，c =(log 412)f (log 4116)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A. a >c >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >a >b8. 已知 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点，则 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 ( ) A. 16B. 14C. 12D. 109. 汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是 ( )A. 消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题（共6小题；共30分）10. 若复数 z 满足 (1−2i )z =−12(2+i )，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 ．11. 设 (x −a)8=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，若 a 5+a 8=−6，则实数 a 的值为 ．12. 定义 np1+p 2+⋯+p n为 n 个正数 p 1，p 2，⋯，p n 的“均倒数”，若已知数列 {a n } 的前 n 项的“均倒数”为 12n+1，又 b n =a n +14，则 1b1b 2+1b2b 3+⋯+1b2017b 2018= ．13. 已知下列命题： ①命题：∀x ∈(0,2)，3x >x 3 的否定是：∃x 0∈(0,2)，30x ≤x 03；②若 f (x )=2x −2−x ，则 ∀x ∈R ，f (−x )=−f (x )；③若 f (x )=x +1x+1，则 ∃x 0∈(0,+∞)，f (x 0)=1；④等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，则S7=21；⑤在△ABC中，若A>B，则sinA>sinB．其中真命题是．（只填写序号）14. 已知函数f(x)在R上满足f(−x)=f(x)，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=13x3+23x2．函数g(x)=∣∣sin(3πx2)∣∣，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在R上的零点个数为．15. 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．三、解答题（共5小题；共65分）16. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcosC=2a+c．（1）求角B的大小；（2）若√3sin(A2+π6)cos(A2+π6)−sin2(A2+π6)=1126，求cosC的值．17. 如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PB=PD=√5，PC=2，E是侧棱PC上的动点．（1）求证：不论点E在何位置，都有BD⊥AE；（2）若PA∥平面BDE，求直线AE与平面BDE所成角的正弦值；（3）在（Ⅱ）的条件下，求二面角D−AE−B的大小．18. 等比数列{a n}的各项均为正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足a4=4a32．数列{b n}的前n项和S n=(n+1)b n2，n∈N∗，且b1=1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=b2n+5b2n+1b2n+3a n，n∈N∗，求证：∑c knk=1<13．19. 已知函数f(x)=x−ax−2lnx，a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，证明：f(x2)<x2−1．20. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，焦距为2．（1）求椭圆E的方程．（2）如图，该直线l:y=k1x−√32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2=√24，M是线段OC延长线上一点，且∣MC∣:∣AB∣=2:3，⊙M的半径为∣MC∣，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．答案第一部分 1. D 2. C3. B【解析】因为 a >b >0，且 ab =1，所以可取 a =2，b =12． 则 a +1b =52，b2a =1222=18，log 2(a +b )=log 2(2+12)=log 252∈(1,2)，所以 b 2a <log 2(a +b )<a +1b． 4. C 5. A 6. C 7. D8. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点， 要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0，所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k 2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8， 所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2psin 2θ=4sin 2θ，∣DE∣=2psin2(π2−θ)=2pcos2θ=4cos2θ．所以∣AB∣+DE∣=4sin2θ+4cos2θ=4sin2θcos2θ=16sin22θ．因为：0<sin22θ≤1，所以当θ=45∘时，∣AB∣+∣DE∣最小，最小值为16．9. D 【解析】乙车的燃油效率可以大于5，即消耗1升汽油可以行驶大于5千米的路程，故A错误；以相同的速度行驶相同的里程，甲车的燃油消耗率最高，因此以相同的的速度行驶相同的里程，甲车的消耗汽油最少，B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此在相同的条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，所以D正确．第二部分10. (0,12)11. 1212. 20172018【解析】由题意可得：na1+a2+⋯+a n =12n+1，所以a1+a2+⋯+a n=2n2+n，所以n≥2时，a1+a2+⋯+a n−1=2(n−1)2+n−1，两式相减，得a n=4n−1，n=1时，a1=3，上式也成立．所以a n=4n−1，所以b n=a n+14=n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，则1 b1b2+1b2b3+⋯+1b2017b2018=1−12+12−13+⋯⋯+12017−12018=1−12018=20172018.13. ①②④⑤【解析】对于①，命题：∀x∈(0,2)，3x>x3的否定是：∃x0∈(0,2)，30x≤x03，正确；对于②，若f(x)=2x−2−x，则∀x∈R，f(−x)=−f(x)，正确；对于③，对于函数f(x)=x+1x+1，当且仅当x=0时，f(x)=1，故错；对于④，等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=3，72(a1+a7)=72×2a4=7a4=21，故正确；对于⑤，在△ABC中，若A>B，则a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB，故正确．14. 715. 4√15cm3【解析】由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得 OD ⊥BC ，OG =√36BC ， 即 OG 的长度与 BC 的长度成正比， 设 OG =x ，则 BC =2√3x ，DG =5−x ，三棱锥的高 ℎ=√DG 2−OG 2=√25−10x +x 2−x 2=√25−10x ， S △ABC =12×√32×(2√3x)2=3√3x 2，则 V =13S △ABC ×ℎ=√3x 2×√25−10x =√3⋅√25x 4−10x 5， 令 f (x )=25x 4−10x 5，x ∈(0,52)，fʹ(x )=100x 3−50x 4， 令 fʹ(x )≥0，即 x 4−2x 3≤0，解得 x ≤2， 故 f (x ) 在 (0,2] 上单调递增，在 [2,52) 上单调递减， 则 f (x )≤f (2)=80，所以 V ≤√3×√80=4√15 cm 3， 所以体积最大值为 4√15 cm 3． 第三部分16. （1） 因为 2bcosC =2a +c ，所以由余弦定理，得 2b ⋅a 2+b 2−c 22ab=2a +c ， 整理得 b 2=a 2+c 2+ac ，所以 cosB =a 2+c 2−b 22ac=−12，所以 B =2π3．（2） 因为 √3sin (A2+π6)cos (A2+π6)−sin 2(A2+π6)=1126， 所以 √3sin (A +π3)+cos (A +π3)=2413，所以 sin (A +π3+π6)=1213，所以 cosA =1213，所以 sinA =√1−cos 2A =513．因为 B =2π3，所以 cosC =cos (π3−A)=cos π3cosA +sin π3sinA =12+5√326． 17. （1） 因为在 △PBC 中，PB =√5，PC =2，BC =1，所以 PC 2+BC 2=PB 2，从而 PC ⊥BC ， 同理可得 PC ⊥DC ， 因为 BC ∩DC =C ， 所以 PC ⊥底面ABCD ，如图，以点 C 为原点，CD ，CB ，CP 所在的直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则 A (1,1,0)，B (0,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,2)，从而 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)， 设 E (0,0,a )，则 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,a )， 因为 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即 BD ⊥AE ． （2） BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,a )，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2)， 设平面 BDE 的法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由 {n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 1−y 1=0,−y 1+az 1=0,取 y 1=1，则 x 1=1，z 1=1a ，从而 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1a )， 因为 PA ∥平面BDE ，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n 1⃗⃗⃗⃗ ，即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =2−2a =0，解得 a =1，所以 n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，设直线 AE 与平面 BDE 所成角为 θ，则 sinθ=∣∣cos⟨AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ ⟩∣∣=∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=√3×√3=13，即直线 AE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 13．（3） DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)，n 3⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3,z 3)， 由 {n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得 {y 2=0,−x 2+z 2=0, 取 n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 由 {n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 3⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得 {x 3=0,−y 3+z 3=0, 取 n 3⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 设二面角 D −AE −B 的平面角为 φ，则 ∣cosφ∣=∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣n3⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=12， 由图形可知 φ 为钝角， 所以 φ=2π3，即二面角 D −AE −B 的大小为 2π3． 18. （1） 设等比数列 {a n } 的公比为 q ， 依题意，有 2a 4=2a 5+4a 6， 所以 a 4=a 4q +2a 4q 2， 因为 a n >0，所以 q >0，且 2q 2+q −1=0，解得 q =12或 q =−1（舍），因为 a 4=4a 32=4a 2a 4，所以 a 2=14， 所以 a 1=12，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =(12)n(n ∈N ∗)，当 n ≥2 时，b n =S n −S n−1=(n+1)b n2−nb n−12，所以 (n −1)b n =nb n−1，即 bnn =b n−1n−1(n ≥2)，所以数列 {b n n } 是首项为 b11=1 的常数列， 所以 bn n =1，即 b n =n (n ∈N ∗)，所以数列 {b n } 的通项公式为 b n =n (n ∈N ∗)． （2） 由（Ⅰ），得c n =b 2n+5b2n+1b 2n+3a n=2n+5(2n+1)(2n+3)⋅12n=1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n ,所以∑c k n k=1=(13⋅20−15⋅21)+(15⋅21−17⋅22)+⋯+(1(2n+1)⋅2n−1−1(2n+3)⋅2n )=13−1(2n+3)⋅2n <13.19. （1） 函数 f (x )=x −a x−2lnx 的定义域为 (0,+∞)．fʹ(x )=1+a x 2−2x =x 2−2x +ax 2.令 fʹ(x )=0，得 x 2−2x +a =0，其判别式 Δ=4−4a ． (1) 当 Δ≤0，即 a ≥1 时，x 2−2x +a ≥0,fʹ(x )≥0， 此时，f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增． (2) 当 Δ>0，即 a <1 时，方程 x 2−2x +a =0 的两根为 x 1=1−√1−a ，x 2=1+√1−a >1． 若 a ≤0，则 x 1≤0，则 x ∈(0,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0． 此时，f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增．若 a >0，则 x 1>0，则 x ∈(0,x 1) 时，fʹ(x )>0，x ∈(x 1,x 2) 时，fʹ(x )<0，x ∈(x 2,+∞) 时，fʹ(x )>0．此时，f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增． 综上所述，当 a ≤0 时，函数 f (x ) 在 (0,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增；当 0<a <1 时，函数 f (x )在(0,x 1) 上单调递增，在 (x 1,x 2) 上单调递减，在 (x 2,+∞) 上单调递增； 当 a ≥1 时，函数 f (x )在(0,+∞) 上单调递增．（2） 由（1）可知，函数 f (x ) 有两个极值点 x 1，x 2，等价于方程 x 2−2x +a =0 在 (0,+∞) 有两不等实根，故 0<a <1．（3） 证明：由（1），（2）得 0<a <1，x 2=1+√1−a ，且 1<x 2<2，a =−x 22+2x 2．f (x 2)−x 2+1=x 2−−x 22+2x 2x 2−2lnx 2−x 2+1=x 2−2lnx 2−1.令 g (t )=t −2lnt −1,1<t <2，则 gʹ(t )=1−2t=t−2t．由于 1<t <2，则 gʹ(t )<0，故 g (t ) 在 (1,2) 上单调递减． 故 g (t )<g (1)=1−2ln1−1=0． 所以 f (x 2)−x 2+1=g (x 2)<0 所以 f (x 2)<x 2−1．20. （1） 由题意知，{c a=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1． 所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0． 由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)．所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12． 由题意设知，k 1k 2=√24， 所以 k 2=√24k 1． 因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ． 联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x,得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12．因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12．由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r．而∣OC∣r =√1+8k121+4k122√23√1+k11+8k11+2k12=√2412√1+4k1√1+k1．令t=1+2k12，则t>1，1t∈(0,1)，因此，∣OC∣r =2√2t2+t−1 =2√2+t−t2 =2√−(1t−12)2+94≥1.当且仅当1t =12，即t=2时等式成立，此时k1=±√22．所以sin∠SOT2≤12，因此∠SOT2≤π6．所以∠SOT的最大值为π3．综上所述，∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1=±√22．第11页（共11 页）。

天津市南开区2019-2020学年高考数学最后模拟卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先将2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭化为2cos 26π⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【详解】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型.2．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A．39-B．39C． D．5【答案】B 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,5P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴51,1,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,5PD =-u u u r ，∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.3．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=【答案】D 【解析】 【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到本题答案. 【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，则22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 故选：D 【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.5．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．13【答案】B 【解析】 【分析】基本事件总数15n =，能表示为两个不同费马素数的和只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个，根据古典概型求出概率．【详解】在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数15n =能表示为两个不同费马素数的和的只有835=+，20317=+，22517=+，共有3个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是31155P == 本题正确选项：B 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题．6．记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M ．若平面向量a r 、b r 、c r，满足()22a b a b c a b c ==⋅=⋅+-=r r r r r r r r，则（ ）A ．max372a c+-=r r B ．max372a c-+=r r C ．min37a c+-=r r D ．min37a c-+=r r 【答案】A 【解析】 【分析】设θ为a r 、b r 的夹角，根据题意求得3πθ=，然后建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，根据平面向量数量积的坐标运算得出点C 的轨迹方程，将a c -r r 和a c +r r转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得cos 2a b a b θ⋅=⋅=r r r r ，则1cos =2θ，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=，建立平面直角坐标系，设()2,0a OA ==r u u u r ，()1,3b OB ==r u u u r ，(),c OC x y ==r u u u r，由()22c a b c ⋅+-=r r r r，可得()(),42322x y x y ⋅-=，即224222x x y -+-=，化简得点C 的轨迹方程为()22314x y ⎛-+= ⎝⎭，则a c -=r r ，则a c -r r 转化为圆()22314x y ⎛-+-= ⎝⎭上的点与点()2,0的距离，maxa c ==∴-r r，min a c ==-r r ，a c +=r ra c +r r 转化为圆()223124x y ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭上的点与点()2,0-的距离，max22a c==∴+r r，m 22im a c ==+r r . 故选：A. 【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.7．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】 【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„， 所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 8．把函数()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()()0g x m m ->是偶函数，则实数m 的最小值是（ ）A ．512πB ．56π C ．6π D ．12π【答案】A 【解析】 【分析】先求出()g x 的解析式，再求出()()0g x m m ->的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数m 满足的等式，从而可求其最小值. 【详解】()sin 2(0)6f x A x A π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式为()2sin 2sin 2263g x A x A x πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故()2sin 223g x m A x m π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 令22232x m k πππ--=+，k Z ∈，解得7122k x m ππ=++，k Z ∈. 因为()y g x m =-为偶函数，故直线0x =为其图象的对称轴， 令07122ππ++=k m ，k Z ∈，故7122k m ππ=--，k Z ∈， 因为0m >，故2k ≤-，当2k =-时，min 512m π=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量x 做加减，比如把()2y f x =的图象向右平移1个单位后，得到的图象对应的解析式为()()2122y f x f x =-=-⎡⎤⎣⎦，另外，如果x m =为正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ图象的对称轴，则有()=±f m A ，本题属于中档题．9．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）【解析】【分析】以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可求出点222,a cb bAc⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理计算可得离心率.【详解】解：以O为圆心，以OF为半径的圆的方程为222x y c+=，联立22222221x y cx ya b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取第一象限的解得222a c bxcbyc⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222,a cb bAc c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，则22243bca c b=+，整理得()()22229550c a c a--=，则22519ca=<（舍去），225ca=，5cea∴==.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（）【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．11．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥【答案】A 【解析】 【分析】根据程序框图输出的S 的值即可得到空白框中应填入的内容． 【详解】由程序框图的运行，可得：S ＝0，i ＝0满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝1，S ＝1，i ＝1满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝2×（﹣2），S ＝1+2×（﹣2），i ＝2满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝3×（﹣2）2，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i ＝3 …观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a ＝99×（﹣2）99，S ＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i ＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值，所以判断框中的条件应是i ＜1． 故选：A ． 【点睛】本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．12．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】 【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==， 所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上， 所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年高考数学冲刺卷（三）（天津专用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．集合{}2N120A x x x =∈--≤∣，{}1,1,2,3,4,5B =-，求A B = （）A．{}0,1,3,4,5B．{}1,2,3,4,5C．{}1,2,3,4D．{}1,0,2,3,4-【答案】C【分析】求解一元二次不等式，得集合A ，利用交集定义即得.【详解】由2120x x --≤可得34x -≤≤，则{0,1,2,3,4}A =，于是{}{}{}0,1,2,3,41,1,2,3,4,51,2,3,4A B ⋂=⋂-=.故选：C.2．已知,R R ∈∈a b ．则“1ab >”是“222a b +>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】当1ab >时，则2222a b ab +≥>，当且仅当a b =时取等，所以充分性成立，取4,1a b =-=，满足222a b +>，但1ab <，故必要性不成立，所以“1ab >”是“222a b +>”的充分不必要条件.故选：A.3．已知函数()y f x =的大致图象如图所示，则()y f x =的解析式可能为（）A．3()91x x x f x ⋅=-B．3()91x x x f x ⋅=+C．()2ln 1()1x f x x +=+D．()()2()1ln 2x f x x x -=++【答案】D4．已知521log 2,log ,2a b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A．c b a>>B．c a b >>C．a b c >>D．b c a>>n n 102030A．25B．30C．35D．40【答案】C【分析】根据题意，由等比数列前n 项和的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以1020103020,,S S S S S --成等比数列，即305,155,15S --成等比数列，可得()30515100S -=，所以3035S =.故选：C6．给出下列4个命题：①若事件A 和事件B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋂=；②数据2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位数为10；③已知y 关于x 的回归方程为0.50.7y x =-+，则样本点()2,1-的离差为0.7-；④随机变量X 的分布为01230.20.20.30.3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则其数学期望[] 1.6E X =.其中正确命题的序号为（）A．①②B．①③C．②③D．②④【答案】C【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据离差的定义判断C；根据期望公式判断D.【详解】对于①：因为事件A 和事件B 互斥，所以()0P A B = ，故①错误；对于②：因为870% 5.6⨯=，所以第70百分位数为从小到大排列的第6个数，即可为10，故②正确；对于③：因为0.50.7y x =-+，当2x =时0.520.70.3y =-⨯+=-，所以样本点()2,1-的离差为()10.30.7---=-，故③正确；对于④：[]00.210.220.330.3 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故④错误.故选：C7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+（π2ϕ<）图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A．()f x 在区间ππ,83⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增B．5π6x =是()f x 图象的一条对称轴C．()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡-⎢⎣⎦D．将()f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y 轴对称1111底面所成的夹角大小为60︒，且1O 劣弧 11A B 的弧长为8πcm 3，则三棱台111ABO A B O -的体积为（）A．319cm3B．3C．319cm D．3【答案】C【分析】分别取11A B ，AB 的中点E ，F ，则易知截面11ABB A 与下底面所成的夹角为60EFO ∠=︒，E 作EH FO ⊥于点H ，则1//EH O O ，且1EH O O =，再根据弧度数公式及解三角形可求出圆台的高，最后根据台体的体积公式，即可求解．【详解】如图，分别取11A B ，AB 的中点E ，F ，则111O E A B ⊥，OF AB ⊥且1//O E OF ，又1O O ⊥平面ABO ，AB ⊂平面ABO ，所以1O O AB ⊥，1OF O O O = ，1,OF O O ⊂平面1FEO O ，所以AB ⊥平面1FEO O ，又EF ⊂平面1FEO O ，所以EF AB ⊥，A．2B．4C．12则333(,)22A -，(4,0)B ，由所以D 的轨迹方程为2(2)x -取BD 的中点为M ，设(M x第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：{}U 211B=--，，，则(){}U11A B =-，.故选：C .【考点】补集运算，交集运算 2.【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a ＞可得：1a ＞或0a ＜，据此可知：1a ＞是2a a ＞的充分不必要条件.故选：A . 【考点】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定 3.【答案】A【解析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==+＞，选项B 错误.故选：A . 【考点】函数图象的识辨 4.【答案】B【解析】根据直方图确定直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.根据直方图，直径落在区间[)5.435.47，之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.435.47，内零件的个数为：800.22518⨯=.故选：B . 【考点】频率分布直方图的计算与实际应用 5.【答案】C【解析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即3R ==，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C . 【考点】正方体的外接球的表面积的求法6.【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a ，b ，c 的大小关系.因为0.731a =＞，0.80.80.71333b a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭＞，0.70.7log 0.8log 0.71c ==＜，所以1c a b ＜＜＜.故选：D .【考点】抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，直线与直线的位置关系的应用 8.【答案】B【解析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.因为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以周期22T ππω==，故①正确；51sin sin 122362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故③正确.故选：B .【考点】正弦型函数的性质及图象的平移 9.【答案】D【解析】由()00g =，结合已知，将问题转化为2y kx =-与()()f x h x x=有3个不同交点，分0k =，0k ＜，0k ＞三种情况，数形结合讨论即可得到答案.注意到()00g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()2f x kx x-=恰有3个实根即可，令()()f x h x x=，即2y kx =-与()()f x h x x=的图象有3个不同交点.因为()()2010f x x x h x xx ⎧⎪⎨⎪⎩==，＞，＜，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0＜时，如图2，此时2y kx =-与()()f x h x x=恒有3个不同交点，满足题意；当0k ＞时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得)(22+∞，【考点】函数与方程的应用第Ⅱ卷二、填空题 10.【答案】32i -【解析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.()()()()8i 2i 8i 1510i32i 2i 2i 2i 5----===-++-.故答案为：32i -. 【考点】复数的四则运算 11.【答案】10【解析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出.因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()553155222012345rr r rr r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，，，，，，令532r -=，解得1r =.所以2x 的系数为15210C ⨯=.故答案为：10.【考点】圆的弦长，圆的标准方程，点到直线的距离公式【解析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为11111233⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23.故答案为：16；23. 【考点】独立事件同时发生的概率，利用对立事件求概率 14.【答案】4.0a ＞，b 4b=，当且仅当【考点】应用基本不等式求最值【解析】可得120BAD ∠=，利用平面向量数量积的定义求得λ的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点()0M x ，，则点()10N x +，（其中05x ≤≤），得出DM DN ⋅关于x 的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得DM DN ⋅的最小值.AD BC λ=，AD BC ∴∥，180120BAD B ∴∠=-∠=，13cos12063922AB AD BC AB BC AB λλλλ⎛⎫⋅=⋅=⋅=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，6BC =，()60C ∴，，3AB =，60ABC ∠=，A ∴的坐标为32A ⎛⎝⎭，，又16AD BC =,则52D ⎛ ⎝⎭，，设()0M x ，，则()10N x +，（其中05x ≤≤），52DM x ⎛=- ⎝⎭，32DN x ⎛=- ⎝⎭，()222532113422222DM DN x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132.故答案为：16；132. 【考点】平面向量数量积的计算，平面向量数量积的定义与坐标运算4Cπ【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可.在ABC △中，由a =，5b =，c =及余弦定理222cos 22a b c C ab +-===，又因为()0C π∈，，所以4Cπ.（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案.在ABC △中，由4Cπ，a =c sin sin a C A c===（Ⅲ）先计算出sin A ，cos A ，进一步求出sin2A ，cos2A ，再利用两角和的正弦公式计算即可.由a c ＜知角A 为锐角，由sin A =，可得cos A =，进而12sin 22sincos 13A A A ==，25cos22cos 113A A =-=，所以125sin 2sin 2cos cos2sin 4441313A A A πππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】正、余弦定理解三角形，三角恒等变换在解三角形中的应用17.【答案】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.（Ⅰ）证明：依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥.【解析】（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅=，即可证明出11C M B D ⊥.依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()000C ，，、()200A ，，、()020B ，，、()1003C ，，、()1203A ，，、()1023B ，，、()201D ，，、()002E ，，、()113M ，，.依题意，()1110C M =，，，()1222B D =--，，，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥. （Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果.依题意，()200CA =，，是平面1BB E 的一个法向量，()1021EB =，，，()201ED =-，，.设()n x y z =，，为平面1DB E 的法向量，则10n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()112n =-，，.cos CA ＜，26C CA n A n n ⋅⋅===⨯，230sin 1cos CA n CA n ∴=-=，，.所以，二面角1B B E D --的正弦值为6. （Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.依题意，()220AB =-，，.由（Ⅱ）知()112n =-，，为平面1DB E 的一个法向量，于是cos 22AB n AB n AB n⋅===⋅，.所以，直线AB 与平面1DB E .【解析】（Ⅰ）根据题意，并借助222a b c =+，即可求出椭圆的方程.椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的一个顶点为()03A -，，3b ∴=，由OA OF =，得3c b ==，又由222a b c =+，得2228313a =+=，所以，椭圆的方程为221189x y +=.（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到CP AB ⊥，设出直线AB 的方程，并与椭圆方程联立，求出B 点坐标，进而求出P 点坐标，再根据CP AB ⊥，求出直线AB 的斜率，从而得解. 直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以CP AB ⊥， 根据题意可知，直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为3y kx ，即3y kx =-，2231189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =或21221k x k =+. 将21221kx k =+代入3y kx =-，得222126321213k y k k k k =⋅--=++，所以，点B 的坐标为22212632121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，， 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()03-，， 所以点P 的坐标为22632121kk k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，由3OC OF =，得点C 的坐标为()10，， 所以，直线CP 的斜率为222303216261121CPk k k k k k --+=-+-+=，又因为CP AB ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =或1k =. 所以，直线AB 的方程为132y x =-或3y x =-. 【考点】椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，中点坐标公式以及直线垂直关系的应用19.【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯【解析】（Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果.设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得1d =从而{}n a 的通项公式为n a n =.由11b =，()5434b b b =-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可.证明：由（Ⅱ）可得()12n n n S +=，故()()()211234n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++，从而()()22111202n n n S S S n n ++-=-++＜，所以221n n n S S S ++＜. （Ⅲ）分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211nk k c-=∑和21nkk c=∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.当n 为奇数时，()()()1112323222222n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==，对任意的正整数n ，有222221112221212121nnk k nk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444nnkk n n k k k n n c-==---==+++++∑∑① 由①得22314111352321444444nknn k n n c+=--=+++++∑② 由①②得22111211312221121441444444414nn k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，由于11211121221121156544143344124443414nn n n n n n n ++⎛⎫-⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994nk n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nnnk k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯.【考点】数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等 20.【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-（ii ）()g x 的极小值为()11g =，无极大值（Ⅱ）证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭≥ 32336ln 1t t t t=-++-.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有 ()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【解析】（Ⅰ）（i ）首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可.（i ）当6k =时，()36ln f x x x =+，()263f x x x '=+.可得()11f =，()19f '=，所以曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.（ii ）首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可.依题意，()32336ln g x x x x x=-++，()0x ∈+∞，.从而可得()226336g x x x x x '=-+-，整理可得：()()()32311x x g x x -+'=，令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为()01，，单调递增区间为()1+∞，；()g x 的极小值为()11g =，无极大值. （Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.证明：由()3ln f x x k x =+，得()23k f x x x'=+. 对任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，令()121x t t x =＞，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.① 令()12ln h x x x x=--，[)1x ∈+∞，. 当1x ＞时，()22121110h x x x x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭＞， 由此可得()h x 在[)1+∞，单调递增，所以当1t ＞时，()()1h t h ＞，即12ln 0t t t--＞. 因为21x ≥，()33233110t t t t -+-=-＞，3k -≥， 所以()()332323221133312ln 33132ln 36ln 1x t t t k t t t t t t t t t t t t t +⎛⎫⎛⎫-+-+-------=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t ＞时，()()1g t g ＞，即32336ln 1t t t t-++＞， 故32336ln 10t t t t-++-＞③ 由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+--＞. 所以，当3k -≥时，任意的1x ，[)21x ∈+∞，，且12x x ＞，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+--＞.【考点】研究函数的单调性，极值（最值）最有效的工具。

2020年高考临考押题卷（一）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求．1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．4．已知ABC ∆中4,43,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．-3D ．36．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线32py x =-与C 交于A ，B 两点，若43||AH =||AF =（ ） A ．3B ．83C ．2D ．47．已知实数,x y 满足1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y>D ．33x y >8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 11．6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,23AC PA ==．当四棱锥P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．三、解答题：（本大题5个题，共75分）16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．17．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；（2）若E 是BM 的中点，//CD AB ，2CD AB =，求二面角E CD M --的余弦值.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率； （ⅱ）求||MN 的最小值.20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.一、单选题1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ） A ．{}1- B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x ++„ B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++ D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x ++„ 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且:(0,)p x ∀∈+∞，2112xe x x >++， 故p ⌝：0(0,)x ∃∈+∞，0200112xe x x ++„. 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 4．已知ABC ∆中4,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得4sin sin 30B ==o 60,120B =o o5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13- B ．13C ．-3D ．3【答案】A【解析】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H，直线2py =-与C 交于A ，B两点，若||3AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直线2p y =-过点H，tan 3AHM AHM π∠=∠=，则||||2AM AH =又||3AH =， 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.7．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+ C ．11x y> D ．33x y >【答案】D【解析】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象 D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C【解析】对于函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它的最小正周期为22π=π，故排除A ；令x=4π，求得f （x ）=2，故函数f （x ）的图象不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；故排除B ； 把函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度， 可以得到函数y=sin2（x ﹣8π）+4π]=sin2x 的图象，故C 满足条件； 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，24x π+∈（2π，32π），函数f （x ）单调递减，故排除D ， 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-，则()0f m ≤． 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，1ln ()ln 1m f m m m +=+-，2ln ()m mf m m -'=． 令()lng m m m =-，11()1m g m m m-'=-=，当01m <<时，()0g m '<，()g m 单调递减；当1m >时，()0g m '>，()g m 单调递增，则()g m 的最小值为(1)1g =． 故2ln ()0,()m mf m f m m-'=>单调递增， 又(1)0f =，故当01m <≤时，()0f m ≤．综上可知，当(,1](0,1]m ∈-∞-⋃时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=，二、填空题10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】1|||1|2z i ===+. 11．6x⎛⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20-【解析】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)r C r =L 中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,AC PA ==P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______． 【答案】28π．【解析】设,AB x AD y ==，则22162,8x y xy xy +=厔，故8ABCD S xy =矩形…（当且仅当x y ==， 矩形ABCD 的面积最大为8．当侧棱PA ⊥面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为 底面ABCD 为正方形，对角线4AC =，长方体的外接球半径R ==故外接球的表面积224428===球S R πππ．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．【答案】【解析】由2PBA PAB π=∠+，则1PA PB k k ⋅=．设()00,P x y ，则20020001224y y y x x x ⋅==+--． ∵点P 在双曲线C 上，2200214x y b ∴-=，220244y b x =-， 214b ∴=， 即2b =，则焦距为=14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981．【解析】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-取等号），所以23x yxy+的最小值为1．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，AC AF λ=u u u r u u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.三、解答题16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯=＋＋＋＋，得0.035a =， 平均年龄为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋ （岁）．设中位数为x 岁，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯⨯-⨯=＋＋，解得42.1x ≈， 故这200人年龄的中位数为42.1岁（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3， 设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A ，则()12233535C C P A C == （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为45. 由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，()30341015125P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212341482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为 X123P1125121254812564125因为4 3, 5X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()412355E X=⨯=17．如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，2AB AM AD===，22MB MD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CD AB，2CD AB=，求二面角E CD M--的余弦值.【解析】（1）因为2228AB AM BM+==,所以AB AM⊥,同理可得AD AM⊥.因为AD AB A⋂=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为AB AD⊥,所以AD、AM、AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2AB AM AD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CD AB,2CD AB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0)CE=-u u u r,(0,0,1)DC=u u u r.设平面CED的一个法向量为()111,,m x y z=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y zm CE x y z⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u vru u u vr,得11120zx y=⎧⎨-+=⎩,取11x=,得(1,2,0)m=r.取DM 的中点H ,连接AH ,易证AH ⊥平面CDM ,则平面CDM 的一个法向量为(1,1,0)n AH ==u u u rr .设二面角E CD M --的平面角为θ,由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅r r r r , 所以二面角E CD M --. 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- . 其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n n n b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r.（i ）求直线AB 的斜率； （ⅱ）求||MN 的最小值.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y .抛物线C 的方程可化为2,2x xy y p p'==. 抛物线C 在,A B 两点处的切线的斜率分别为212121212122,,1,x x x xk k k k x x p p p p==∴==-=-. 由题可知直线l 的斜率存在，故可设直线1的方程为1y kx =+，联立212y kx x py=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2220x pkx p --=，122x x p ∴=-.2122x x p p ∴=-=-，解得2p =.∴抛物线C 的标准方程为24x y =； （2）（i ）由（1）可得12124,4x x k x x +==-由4AQ QB =u u u r u u u r，可得124x x =-，又点A 在第一象限，解得1234,1,4x x k ==-=. ∴直线AB 的斜率为34；（ii ）由（i ）易知1(4,4),1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()()()00,,,,,M M N N P x y M x y N x y ，则2004x y =. 由题可知0,0AP BP k k ≠≠，故04x ≠-且01x ≠.∴直线AP 的斜率200044444APx x k x -+==-，同理可得014BP x k -=. ∴直线04:4(4)4x AP y x +-=-，当1y =-时，00444M x x x -=+. 直线011:(1)44x BP y x --=+，当1y =-时，00045111N x x x x +=-+=--. 0000444||41M N x x MN x x x x -+∴=-=++-.令00444,||||41||x m MN m m x m m +=∴=+=+=-…， 当且仅当||2m =，即00421x x +=-，也即06x =或023x =-时，||MN 取得最小值4. 20．已知函数ln ()xxf x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析】（I ）()()21ln '1xxf x x e x-=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210ee ef e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫< ⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点，由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x--≥，令()ln 1x xe x g x x--=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x et =，下面分析0000ln 0xx x e x +=，设00x x e t =，则00ln xt x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -=若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x xg x x x --==-=，即1k …求所求．。

2025届天津市第二南开中学高考数学考前最后一卷预测卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝213i i -+，则|z |＝（ ） A ．13 B ．23 C ．12 D ．222．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 3．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1(0,)e B ．1(0,)2e C ．1(,)2e -∞ D ．11(,)2e e4．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养优于乙B ．乙的数据分析素养优于数学建模素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数学运算最强5．ABC 是边长为3E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF 折起，使点A 翻折到点P的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A ．534 B ．334 C ．64 D ．3646．已知函数32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则1(())f f e =（ ） A ．32 B ．1 C ．-1D ．0 7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．128．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ）A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t =9．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知向量(3sin ,2)a x =-，(1,cos )b x =，当a b ⊥时，cos 22x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1213- B ．1213 C ．613- D ．61311．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）12．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年天津市高考数学压轴试卷(6月份)一、选择题（本大题共9小题，共40.0分）1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|3<x<5}，则A∪B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<5}D. {x|1<x<5}2.已知(m+2i)(2−i)=4+3i,m∈R,i为虚数单位，则m的值为()A. 1B. −1C. 2D. −23.关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是()A. −1<m<−12B. −1<m≤0 C. −2<m<1 D. −3<m<−124.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则()A. B.C. D.5.在等差数列{a n}中，a4=6，a3+a5=a10，则a12=()A. 10B. 12C. 14D. 166.已知双曲线x2a2−y22=1的一条渐近线的倾斜角为π6，则双曲线的离心率为()A. 2√33B. 2√63C. √3D. 27.已知sinα=√55,sin(α−β)=−√1010,α,β均为锐角，则β=()A. 5π12B. π4C. π3D. π68.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. 45B. 35C. 25D. 159.已知函数f(x)=x|x−a|+(a−1)x−1，a>0，若方程f(x)=1有且只有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为()A. (0,2)B. (1+2√22,+∞) C. (1+2√22,2) D. (0,1+2√22)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.若函数f(2x+1)=x2−2x，则f(3)=______________．11.(x−1x )(2x+1x)5的展开式中，常数项为______．12.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．13.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若BPPD1=12，则三棱锥M−PBC的体积为________．14.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，若f(x)在[0,2π]上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______．15.已知a，b∈R，a>b且ab=1，则a2+b2a−b的最小值等于________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）16.设函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+a．(1)写出函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)当时，函数f(x)的最大值与最小值的和为32，求实数a的值．17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M是AB的中点．(1)求证：BC1//平面MCA1．(2)若△BMC是正三角形，且AB=BC1，求直线AB与平面MCA1所成角的正弦值．18.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12，已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若vAPD的面积为√62，求直线AP的方程．19.已知函数f(x)=lnx+12ax2+x，a∈R.．(1)求函数f(x)的单调区间;(2)是否存在实数a，使得函数f(x)的极值大于0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．.求数列{a n}的前n 20.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1−2a n=2n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=a n2n 项和S n．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合并集的求法，考查基本知识，属于基础题目． 直接利用并集的求法，求出A ∪B 即可．解：由已知，集合A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|3<x <5}， 所以A ∪B ={x|1≤x <5}． 故选C ．2.答案：A解析：本题考查了复数的运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．由复数代数形式的乘除运算化简等式左边为a +bi(a,b ∈R)的形式，再由复数相等的条件列式求得实数m 的值．解：因为(m +2i)(2−i) =2m +2+(4−m)i =4+3i ， 所以{2m +2=44−m =3，解得m =1．故选A ．3.答案：A解析：本题考查了不等式的解法、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．关于x 的不等式mx 2+2mx −1<0恒成立，m =0时，可得：−1<0，m ≠0时，可得：{m <0Δ=4m 2+4m <0，解得m 范围，再结合选项寻找充分不必要条件即可． 解：关于x 的不等式mx 2+2mx −1<0恒成立， m =0时，可得：−1<0，恒成立，m≠0时，可得：{m<0Δ=4m2+4m<0,解得−1<m<0，综上可得：−1<m≤0．∴关于x的不等式mx2+2mx−1<0恒成立的一个充分不必要条件是−1<m<−12．故选：A．4.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−3)=f(3)，f(−log313)=f(log313)，有20.6<2<log313<log327=3，又由f(x)在(0,+∞)上单调递增，则有f(20.6)<f(−log313)<f(−3)．故选C．5.答案：C解析：解：∵a4=6，a3+a5=a10，∴2a4=a4+6d，∴d=16a4=1，∴a12=a4+8d=6+8=14，故选：C．根据等差数列的性质和通项公式即可求出本题考查了等差数列的性质和通项公式，属于基础题6.答案：A解析：本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题，由题意可得斜率为√2|a|的渐近线的倾斜角为π6，由tanπ6=√2|a|，求得a的值，可得双曲线的离心率．解：双曲线x2a2−y22=1的一条渐近线的倾斜角为π6，可得斜率为√2|a|的渐近线的倾斜角为π6，∴tanπ6=√2|a|=√33，求得|a|=√6，∴双曲线的离心率为c|a|=√6+2√6=2√33，故选A．7.答案：B解析：本题主要考查了两角差的余弦公式及同角平方关系的应用，解题的关键是利用了拆角的技巧：β=α−(α−β)，要注意一些常用的拆角变换．由已知可求cos(α−β)，cosα，而β=α−(α−β)，再利用两角差的三角公式可求cosβ，结合已知β的范围可求答案．解：，，，，∴cosβ=cos[α−(α−β)]=cosαcos(α−β)+sinαsin(α−β)=2√55×3√1010+√55×(−√1010)=√22，，故选B．8.答案：C解析：本题考查古典概型的概率计算，属于基础题，直接利用古典概型求概率即可．解：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同的取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P=410=25．故选C．9.答案：C解析：本题考查了含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题及区间根问题，属中档题．含参、含绝对值的二次函数的解的个数问题先通过讨论：①当x ≥a 时，②当x <a 时去绝对值符号，再结合区间根问题求解二次方程的根的个数即可． 解：①当x ≥a 时，方程可化为x 2−x −2=0， 解得：x =2或x =−1， 又a >0，所以当0<a ≤2时，此时方程有一个实数根， ②当x <a 时，方程可化为x 2+(1−2a)x +2=0， 由题意有此方程必有两不等实数根， 设g(x)=x 2+(1−2a)x +2 (x <a)， 由二次方程区间根问题有：{(1−2a)2−8>0−1−2a 2<ag(a)>0, 解得：−1<a <1−2√22或1+2√22<a <2，综合①②可得： 实数a 的取值范围为：1+2√22<a <2，故选：C ．10.答案：−1解析：本题考查函数解析式的求法，使用换元法求出函数f(x)的解析式，再将x =3代入进行求解． 解：令t =2x +1，则x =t−12则f(t)=(t−12)2−2·t−12=14t 2−32t +54∴f(x)=14x 2−32x +54∴f(3)=−1故答案为−1．。

天津市2020年高考压轴卷数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =（ ）A ．{|22}x x -<<B ．{|24}x x -≤≤C ．{|22}x x -≤≤D ．{|24}x x -<≤2．已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件是1x ≤或2x ≥，则实数m 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<5．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3B ．7C ．7-D ．3-6．已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ）A 23B ．263C 3D ．27．已知5sin α，sin()1010αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π 8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B．35C．25D．159．已知函数()()2321120xxf x xx a x ax x⎧≤⎪=-⎨⎪-++>⎩，，，若方程()f x ax=有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（0，1] D．（1，+∞）第II卷（非选择题)二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．10．若函数()2212f x x x+=-，则()3f=______________．11．612xx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式的常数项为．（用数字作答）12．抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．13．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，P是侧棱1CC上一点，且12C P PC=.设三棱锥1P D DB-的体积为1V，正四棱柱1111ABCD A B C D-的体积为V，则1VV的值为________.14．已知函数()sin3(0)f x x xωωω=+>，x∈R.若函数()f x在区间(0，4)π内恰有5个零点，则ω的取值范围为_________．15．已知a b>，二次三项式240ax x b++≥对于一切实数x恒成立，又0x R∃∈，使20040ax x b++=成立，则22a ba b+-的最小值为____．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 已知函数2()2sin cos 23cos3,f x x x x x R =-+∈. (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间2[,]243ππ上的最大值和最小值；(3)若关于x 的不等式()3()mf x m f x +≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分． 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，且1111A B B C ⊥，M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点．（1）求证：//MN 平面ABC ； （2）求二面角1B MN B --的正弦值；（3）设P 是棱11B C 上一点，若直线PM 与平面1MNB 所成角的正弦值为215，求111B P B C 的值18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知抛物线2:2C y x =的焦点为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点，C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =． （1）求E 的方程；（2）过E 的左顶点A 作直线l 交E 于另一点B ，且BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，若直线AM 的斜率为1，求l 的方程．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分． 已知函数2(2)1ln f x x ax x =-+，a R ∈． （1）试判断函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，数列{}n b 满足：122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求()*21121 ni i i i a b n N b -=⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∑．参考答案1．【答案】B 【解析】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 2．【答案】A 【解析】∵()()2243,m i i i +-=+ ∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1=故选A 3．【答案】C【解析】()()()()2224220x mx m x m x m -+-=-+-->，2x m ∴<-或2x m >+，1x ≤或2x ≥是不等式22240x mx m -+->成立的必要不充分条件， 2122m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：03m ≤≤，则实数m 的最大值为3. 故选：C . 4．【答案】C【解析】()f x 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 5．【答案】C【解析】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 6．【答案】A【解析】双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则3tan63π=， 所以该条渐近线方程为33y x =； 所以23a =， 解得6a =所以226222c a b +=+=， 所以双曲线的离心率为222336c e a ===． 故选：A ． 7．【答案】C【解析】由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2π. 又10310. 又525 ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝5310251010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2∴β＝4π. 8．【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 9．【答案】B【解析】解：由题意0x =满足方程()f x ax =， ①当0x <时，只需1x a x =-有一个负根，即01ax a =-＜， 解得：01a <<；②当0x >时，只需()210x a x a -++=有两个正根即可，方程可化为()()10x x a --=，故两根为：1x =或a ， 由题意只需0a >且1a ≠，综合①②可知，当01a <<时，方程()f x ax =有4个不同的实数根． 所以实数a 的取值范围是（0，1）. 故选：B ． 10．【答案】-1【解析】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1- 11．【答案】-160【解析】由6662166(2)(1)(2)()r r r r r r r r T C x C x x ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.12．【答案】【解析】 由题意可知：，结合焦半径公式有：， 解得：，故直线AB 的方程为：，与抛物线方程联立可得：，则，故的面积.13．【答案】16【解析】设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长AB BC a ==，高1AA b =， 则111121ABCD A B C D ABCD V S AA a b -=⨯=，111211113326P D DB B D DP D DP V V S BC ab a a b --∆==⋅=⨯⋅=1111116ABCD D P D D A B B C V V --∴=即116V V = 故答案为：1614．【答案】7(6，17]12【解析】因为()sin 32sin()3f x x x x πωωω==+，所以令2sin()03x πω+=，()3x k k Z πωπ+=∈，解得(31)()3k x k Z πω-=∈ 0>ω，则非负根中较小的有：258111417,,,,,,333333ππππππωωωωωω因为函数()f x 在区间(0，4)π内恰有5个零点， 所以1443ππω<且1743ππω≥，解得717612ω<≤. 故答案为：717(,]61215．【答案】42【解析】已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，0a ∴>，且1640,4ab ab ∆=-≤∴≥；再由0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，可得1640,4ab ab ∆=-≥∴≤，4ab ∴=，22221642,,04a a b a a b a a b a a++∴>==>--， 令22168a t a +=>，则()22222221664816161632488a a b t a t a b t t a a ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+===-++≥+= ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪-⎝⎭（当16t =时，等号成立），所以，222a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭的最小值为32，故22a b a b+-3242=，故答案为216．【答案】(1) π;(2) 最大值为2，最小值为2-;(3) 25m ≥. 【解析】2()2sin cos 233=-+f x x x x sin 232x x =2sin(2)3x π=-(1)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π. (2)当2[,]243x ππ∈时, 2[,]34x πππ-∈-,当234x ππ-=-时,即24x π=时函数求得最小值()224f π=-当232x ππ-=时,即512x π=时函数求得最大值5()212f π=; 所以()f x 在区间2,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为2- (3)对x ∀∈R ，2()2f x -≤≤，所以不等式()3()mf x m f x +≥恒成立等价于， 对x ∀∈R ，()()3f x m f x ≥+恒成立，即max()()3f x m f x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，设()()()3f x g x f x =+，则()3()1()3()3f xg x f x f x ==-++，令()t f x =，且313y t =-+在[]22-,上为增函数， 所以，max 2()(2)5g x g ==，所以，25m ≥. 17．【答案】（1）证明过程见详解；（245；（3）13.【解析】（1）取1AA 中点为O ，连接ON ，OM ，因为M 为1CC 的中点，N 为1A B 的中点， 所以//ON AB ，//OM AC ， 又AB平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，AC AB A ⋂=，所以平面//MON 平面ABC ， 又MN ⊂平面MON ， 所以//MN 平面ABC ；（2）因为四边形11ABB A ，11BB C C 均为正方形，所以11B C ，1B B ，11B A 两两垂直，以1B 为坐标原点，分别以1B B ，11B C ，11B A 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设11ABB A 边长为2，则1(0,0,0)B ，(2,0,0)B ，1(0,2,0)C ，(2,2,0)C ，1(0,0,2)A ， 所以(1,0,1)N ，(1,2,0)M ，因此1(1,2,0)B M =，(0,2,1)MN =-，(1,2,0)BM -=， 设平面BMN 的一个法向量为(),,m x y z =，则m BM m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以2020m BM x y m MN y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =⎧⎨=⎩，因此()2,1,2m =；设平面1B MN 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1m B M m MN ⎧⊥⎨⊥⎩，所以12020m B M x y m MN y z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则22x z =-⎧⎨=⎩，因此()2,1,2n =-，设二面角1B MN B --的大小为θ，则4141 cos cos,9414414m nm nm nθ⋅-++=<>===++⨯++，所以245sin1cos9θθ=-=；（3）因为P是棱11B C上一点，设[]1110,1B PtB C=∈，则(0,2,0)P t，所以()1,22,0PM t=-，由（2）知，平面1MNB的一个法向量为()2,1,2n=-，又直线PM与平面1MNB所成角的正弦值为215，记直线PM与平面1MNB所成角为α则有222222 sin cos,151(22)34853PM n tPM nPM n t t tα⋅-+-=<>====+-⨯-+⨯，整理得221850t t+-=，解得13t=或57t=-（舍）所以11113B PtB C==.18．【答案】（1）22142x y+=；（2）220x y++=.【解析】（1）因为抛物线2:2C y x=的焦点为)2,0，由题意，可得：椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>的两焦点为())2,0,2,0-，又抛物线C 的准线与E 交于P ，Q 两点，且2PQ =，将x c =-代入椭圆方程得22221c ya b+=，所以2b y a =±，则222b a=，即2b a =①，又2222c a b =-=②，根据①②解得：24a =，22b =，因此椭圆E 的方程为22142x y +=；（2）由（1）得22142x y +=的左顶点为()2,0A -，设直线l 的方程为2x my =-，()00,B x y ，由222142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)40m y my +-=，所以0242A m y y m +=+，因此0242m y m =+，所以20022422m x my m -=-=+，则222244,22m m B m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又因为BO （O 为坐标原点）的延长线交E 于点M ，则M 与B 关于原点对称，所以222244,22m m M m m ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， 因为直线AM 的斜率为1，所以2224212422mm m m +=--++，解得：2m =-， 因此，直线l 的方程为：220x y ++=.19．【答案】（Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．【解析】（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式，所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122ii i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n xn x x++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数a 的取值范围为(0,2)．【解析】（1）由题可得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1ax x x a f x x'x ---+=-=． ①当0a =时，1()0f x 'xx+=>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． ②当0a ≠时，令'()0f x =，即210ax x x--=，即210ax x --=，14a ∆=+．当0∆≤，即14a -≤时，210ax x --≤， 故'()0f x ≥，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．当>0∆，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为11142a x a -+=，21142a x a++=． 若104a -<<，则10x <，20x <， 此时'()0f x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0a >，则10x <，20x >，此时当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时，'()0f x <，所以函数()f x 在114(0,2a a++上单调递增，在12)1,4(aa++∞+上单调递减．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在114a ++单调递增，在1)14a++∞+上单调递减．（2）由（1）可得，当0a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在114)a ++上单调递增，在1)14a++∞+上单调递减，此时函数()f x 有极大值，极大值为222221ln ()2f x ax x x =-+，其中21142ax a+=． 又2()0f 'x =，所以22210ax x --=，即2221ax x =+，所以2221l 2)n (x f x x -=+． 令1ln (2)x h x x =+-，则11(2)0h'x x =+>，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．又(1)0h =，所以当1x >时，()0h x >，所以222()1ln 02x f x x =+>-等价于21>x ， 即当0a >时，11412aa+>1421a a +>-，显然当0a >14|21|a a +>-，所以214(21)a a +>-，即220a a -<，解得02a <<， 故存在满足条件的实数a ，使函数()f x 的极值大于0，此时实数a 的取值范围为(0,2)．21. （Ⅰ）n a n =；12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122n n n n ++-⋅+．（Ⅰ）当2n ≥时，()221(1)122n n n n n n n a S S n ----+=-=-=， 当1n =时，111a S ==，适合上式， 所以：n a n =；∵122b b ==，()112n n n b b n N +*+=∈， ∴()122nn n b b n -=≥，∴()112,2n n b b n +-=≥，∴数列{}n b 的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222n n n n b n +⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，i a i =， 且21122122i i i b-+-==，22222i i i b ==，212122i i i i i i a b i b -⎛⎫∴-=⋅- ⎪⎝⎭，设()()2311231,0,1n n M x x x n x n x x -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅≠，① ∴()23411231n n xM x x x n x n x +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，②①﹣②得()()2311111n n n n x x x M x x x x n x n x x++--=++++-⋅=-⋅-，∴()()1211n x nx n x M x ++--⋅=-，∴()()112122122122(12)n nin i n n i n ++=+--⋅⋅==-⋅+-∑，12111122222122(1)2n ni ni n n i n +=⎛⎫+--⋅ ⎪+⎝⎭==--∑， ∴()1211212122n n i i n i i n a b n b +-=⎛⎫+-=-⋅+ ⎪⎝⎭∑．。