问题 3 若事件 A 的对立事件为 A ,则 P(A)＝1－P( A ).那么怎样 证明这个公式？ 答 事件 A 与 A 是互斥事件,所以 P(A∪ A )＝P(A)＋P( A ),又 A∪ A ＝Ω,
而由必然事件得到 P(Ω)＝1,所以 P(A)＋P( A )＝1,故 P(A)＝1 －P( A ).
探究点三 对立事件的概率
问题 1 在上面的例 2 中,若令 A＝“小明考试及格”, A ＝ “小明考试不及格”,则事件 A 与事件 A 能不能同时发生,或 者都不发生？为什么？A 与 A 的并集是什么？ 答 不可能同时发生,由于事件 A 与事件 A 是互斥事件,所以 事件 A 与事件 A 不能同时发生;事件 A 与事件 A 也不可能都 不发生,因为在一次考试中小明的成绩要么及格要么不及格, 二者必居其一,所以 A 或 A 必有一个发生;A∪ A ＝Ω.
(3)不是互斥事件. 理由是:“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“2 名都是男生”,这与“全是男生”可同时发生. (4)是互斥事件. 理由是:“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果,它和“全是女生”不可能同时发生.
小结
判断事件间的关系时,一是要考虑试验的前提条件,无论是包 含、相等,还是互斥、对立,其发生的条件都是一样的,二是考虑 事件间的结果是否有交事件,可考虑利用 Venn 图分析.对于较 难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.
问题 3 如果设事件 C 为“出现奇数点或 2 点”,那么事件 C 是不是随机事件,若把 A,B,C 都看作集合,则事件 C 与事件 A,B 有怎样的关系？
答 事件 C 也是随机事件.若事件 A 和事件 B 中至少有一个 发生,则 C 发生;若 C 发生,则 A,B 中至少有一个发生,所以,从 集合的观点可以看出集合 C 是集合 A,B 的并集. 问题 4 怎样定义事件 A 与 B 的并？ 答 由事件 A 和 B 至少有一个发生(即 A 发生,或 B 发生,或 A、 B 都发生)所构成的事件 C,称为事件 A 与 B 的并(或和).记作 C＝A∪B.事件 A∪B 是由事件 A 或 B 所包含的基本事件所组 成的集合.
