第2章 线性系统的能控性与能观测性

系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。

如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。

对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。

控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。

如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。

能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。

当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。

2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。

一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。

对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。

观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。

如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。

能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。

当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。

3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。

对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。

零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。

有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。

无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。

线性系统的可控性和可观性摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。

本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。

本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。

通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。

关键词:线性系统；可控性；可观性Linear system controllability and observabilityHou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin HuanAbstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form of linear system controllability and observability of the standard normal form, and the system controllability and observability criterion for a detailed description. This study is beneficial to the linear system controllability and observability of knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory provides a solid foundation, through summarized the relevant knowledge for the future of learning Study provides a good method. Through which a large number of learning and application of advanced mathematics, applied mathematics can improve awareness of the problem solving and capacity-related.Key words: Linear system ；Controllable ；Observability0 引言在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

线性定常系统的能控性和能观测性一、实验设备PC 计算机，MATLAB 软件，控制理论实验台。

二、实验目的（1）学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；（2）通过用 MATLAB 编程、上机调试，掌握系统能控性、能观测性的判别方法，掌握将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。

（3）掌握能控性和能观测性的概念。

学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。

（4）掌握系统的结构分解。

学会用 MATLAB 进行结构分解。

（5）掌握最小实现的概念。

学会用 MATLAB 求最小实现三、实验原理（1）参考教材 P117~118“4.2.4 利用 MATLAB 判定系统能控性”P124~125“4.3.3 利用 MATLAB 判定系统能观测性”（2）MATLAB 现代控制理论仿真实验基础（3）控制理论实验台使用指导四、实验内容（1）已知系统状态空间描述如下（1）判断系统状态的能控性和能观测性，以及系统输出的能控性。

说明状态能控性和输出能控性之间有无联系。

代码：A=[0 2 -1;5 1 2;-2 0 0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)%能控性判断Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];rank(Uo)%判断能观性Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];rank(Uco)%判断输出能控性（2）令系统的初始状态为零，系统的输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。

用 MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。

观察和记录这些曲线。

当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统状态的能控性？单位阶跃输入：代码：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];rank(Uc)%判断状态能控性Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];rank(Uo)%判断能观性Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];rank(Uco)%判断输出能控G=ss(A,B,C,D);t=[0:.04:2];[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线legend('original target positions ','original target positions','X','Y')单位脉冲输入：代码：A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];B=[1;0;-1];C=[1,1,0];D=[0];G=ss(A,B,C,D);t=[0:.04:2];[y,t,x]=impulse(G,t)%单位脉冲输入plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线legend('original target positions','original target positions','X','Y')当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线并没有随着改变。

真验报告之阳早格格创做课程线性系统表面前提真验日期年月日博业班级姓名教号共组人真验称呼系统的能控性、能瞅测性、宁静性领会及真止评分批阅西席签名一、真验手段加深明白能瞅测性、能控性、宁静性、最小真止等概念.掌握怎么样使用MATLAB举止以下领会战真止.1、系统的能瞅测性、能控性领会；2、系统的宁静性领会；3、系统的最小真止.二、真验真质（1）能控性、能瞅测性及系统真止（a）相识以下下令的功能；自选对付象模型，举止运算，并写出截止.gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；（b ）已知连绝系统的传播函数模型，a 分别与-1，0，1时，判别系统的能控性与能瞅测性；（c性；（d .（2）宁静性（a ）代数法宁静性判据已知单位反馈系统的启环传播函数为： （b ）根轨迹法推断系统宁静性已知一个单位背反馈系统启环传播函数为轨迹图上采用一面，供出该面的删益及其系统的关环极面位子，并推断正在该面系统关环的宁静性.（c）Bode 图法推断系统宁静性已知二个单位背反馈系统的启环传播函数分别为用Bode 图法推断系统关环的宁静性.（d）推断下列系统是可状态渐近宁静、是可BIBO宁静.三、真验环境1、估计机120台；2、MATLAB6.X硬件1套.四、真验本理（或者步调框图）及步调1、系统能控性、能瞅性领会设系统的状态空间表白式如（1-1）所示.系统的能控性、能瞅测性领会是多变量系统安排的前提，包罗能控性、能瞅测性的定义战判别.系统状态能控性定义的核心是：对付于线性连绝定常系统（1-1）,若存留一个分段连绝的输进函数u(t)，正在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)变化至预期的末端x(t1)，则称此状态是能控的.若系统所有的状态皆是能控的，则称该系统是状态真足能控的.能控性判别分为状态能控性判别战输出能控性判别.状态能控性分为普遍判别战曲交判别法，后者是针对付系统的系数阵A是对付角尺度形或者约当尺度形的系统，状态能控性判别时没有必估计，应用公式曲交推断，是一种曲交浅易法；前者状态能控性分为普遍判别是应用最广大的一种判别法.输出能控性判别式为：（2-1）状态能控性判别式为：（2-2）系统状态能瞅测性的定义：对付于线性连绝定常系统（2-1）,如果对付t0时刻存留t a，<t a[t0,t a]上的y(t)的丈量值，不妨唯一t天决定系统正在t0时刻的任性初初状态x0，则称系统正在t0时刻是状态真足能瞅测的，或者简称系统正在[t0,t a]区间上能瞅测.状态能瞅测性也分为普遍判别战曲交判别法，后者是针对付系统的系数阵A是对付角尺度形或者约当尺度形的系统，状态能瞅性判别时没有必估计，应用公式曲交推断，是一种曲交浅易法；前者状态能瞅测性分为普遍判别是应用最广大的一种判别法.状态能瞅测性判别式为：（2-3）系统的传播函数阵战状态空间表白式之间的有(1-2)式所示关系.已知系统的传播函数阵表述，供其谦脚(1-2)式所示关系的状态空间表白式，称为真止.真止的办法没有唯一，真止也没有唯一.其中，当状态矩阵A具备最小阶次的真止称为最小真止，此时真止具备最简形式.五、步调源代码1.(a)相识以下下令的功能；自选对付象模型，举止运算，并写出截止.gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal；gram:供解用状态空间表示的系统的可控或者客瞅Gramian矩阵num=[6 -0.6 -0.12];den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];H=tf(num,den,'Ts',0.1)Lc=gram(ss(H),'c')-------------------------------------Sample time: 0.1 secondsDiscrete-time transfer function.Ctrb：估计矩阵可控性A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]B=[6 9;4 6;4 4;8 4];Tc=ctrb(A,B);rank(Tc)ans =3Obsv:估计可瞅察性矩阵A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]B=[6 9;4 6;4 4;8 4];C=[1 2 3 4];Qo=obsv(A,C);Ro=rank(Qo)Ro =4Lyap:解lyapunov圆程A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];B=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];X=lyap(A,B)X =Ctrbf:对付线性系统举止能控性领会A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];B=[3;1;0];C=[0 0 1];[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C) Abar =Bbar =Cbar =-0.9435 0.3315 00.9487 0.3162 0K =1 1 0Obsvf:对付线性系统举止能瞅性领会A=[-2 1;1 -2];B=[1;0];C=[1 -1];[AO,BO,CO,T,K]=obsvf(A,B,C)AO =-1.0000 0K =1 0Minreal最小真止num=[1 1];den=[1 5 20];sys=tf(num,den)[A B C D]=tf2ss(num,den)sys=ss(A,B,C,D);sysr=minreal(sys)sys =s + 1--------------s^2 + 5 s + 20Continuous-time transfer function.A = -5 -201 0B =1C =1 1D =sysr =a = x1 x2x1 -5 -20x2 1 0b = u1x1 1x2 0c = x1 x2y1 1 1d = u1y1 0Continuous-time state-space model.（b）已知连绝系统的传播函数模型，a 分别与-1，0，1时，判别系统的能控性与能瞅测性；a=-1num=[1,-1];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统没有成控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可瞅'), else disp('系统没有成瞅'),end a=0num=[1,0];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统没有成控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可瞅'), else disp('系统没有成瞅'),end a=1num=[1,1];den=[1,10,27,18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统没有成控'),end Qo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可瞅'),else disp('系统没有成瞅'),enda=[6.666 -10.6667 -0.3333;1 0 1;0 1 2]; b=[0;1;1];c=[1 0 2];d=0;n=length(a)Qc=ctrb(a,b)nc=rank(Qc)if n==nc,disp('系统可控'),else disp('系统没有成控'),endQo=obsv(a,c)no=rank(Qo)if n==no,disp('系统可瞅'),else disp('系统没有成瞅'),end（d .num=[1 1];den=[1 10 27 18];G=tf(num,den);Gs=ss(G);Gm=minreal(Gs);1 state removed.Am =Bm =Cm =Dm =（2）宁静性（a）代数法宁静性判据已知单位反馈系统的启环传播函数为：num=[0 0 100 200];den=[1 21 20 0];[z,p,k]=tf2zp(num,den)z =-2p =-20-1k =100（b）根轨迹法推断系统宁静性已知一个单位背反馈系统启环传播函数为轨迹图上采用一面，供出该面的删益及其系统的关环极面位子，并推断正在该面系统关环的宁静性.n1=[1,3];d1=conv([1,0],conv([1,5],conv([1,6],[1,2,2])));s1=tf(n1,d1);rlocus(s1);[k,poles]=rlocfind(s1)（c）Bode 图法推断系统宁静性已知二个单位背反馈系统的启环传播函数分别为用Bode 图法推断系统关环的宁静性.G1(s)num=2.7;den=[1,5,4,0];w=logspace(-1,2,47);[mag,pha]=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('phase deg')G2(s)num=2.7;den=[1,5,-4,0];w=logspace(-1,2,47); [mag,pha]=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag); subplot(211);semilogx(w,magdB);grid on;title('Bode Diagram');xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('Gain dB');subplot(212);semilogx(w,pha);grid on;xlabel('Frequency(rad/sec)');ylabel('phase deg')（d）推断下列系统是可状态渐近宁静、是可BIBO宁静.A=[0 1 0;0 0 1;250 0 -5];B=[0;0;10];C=[-25 5 0];D=0;[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)六、真验数据、截止领会（b）a=-1a =-10 -27 -181 0 00 1 0b =1c =0 1 -1d =n =3Qc =1 -10 73 0 1 -10 0 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 -11 -1 0 -11 -27 -18no =3系统可瞅a=0a =-10 -27 -18 1 0 00 1 0b =1c =0 1 0d =n =3Qc =1 -10 73 0 1 -10 0 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 01 0 0 -10 -27 -18 no =3系统可瞅a=1a =-10 -27 -18 1 0 00 1 0b =1c =0 1 1d =n =3Qc =1 -10 73 0 1 -10 0 0 1 nc =3系统可控Qo =0 1 11 1 0-9 -27 -18 no =2（c性；n =3Qc =nc =3系统可控Qo =no =3系统可瞅（d. Am =Bm =Cm =Dm =（2）宁静性（a）代数法宁静性判据z =-2p =-20-1k =100（b）根轨迹法推断系统宁静性selected_point =k =selected_point =2.4076e+03poles =（c）Bode 图法推断系统宁静性已知二个单位背反馈系统的启环传播函数分别为用Bode 图法推断系统关环的宁静性.G1（s）G2（s）（d）推断下列系统是可状态渐近宁静、是可BIBO宁静.z =p =5.0000k =[P,D]=eig(A)P =0.9798 -0.9900 -0.9900D =5.0000 0 00 -5.0000 + 5.0000i 0。